规律探索专题1
中考数学重难点突破专题一：规律探索型问题试题(含答案)
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！专题一 规律探索问题类型1 数字规律1．甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2020时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是__337__分．解析：甲报的数中第一个数为1，第2个数为1＋3＝4，第3个数为1＋3×2＝7，第4个数为1＋3×3＝10，…，第n 个数为1＋3(n －1)＝3n －2，3n －2＝2020，则n ＝674，甲报出了674个数，一奇一偶，所以偶数有674÷2＝337个，得337分．2．如图，给正五边形的顶点依次编号为1，2，3，4，5，若从某一顶点开始，沿五边形的边顺时针行走，顶点编号是几，就走几个边长，则称这种走法为一次“移位”．如：小宇在编号为3的顶点上时，那么他应走3个边长，即从3→4→5→1为第一次“移位”，这时他到达编号为1的顶点；然后从1→2为第二次“移位”．若小宇从编号为2的顶点开始，第10次“移位”，则他所处顶点的编号为__3__．3．(2017·六盘水)计算1＋4＋9＋16＋25＋…的前29项的和是__8555__．解析：12＋22＋32＋42＋52＋…＋292＋…＋n 2＝0×1＋1＋1×2＋2＋2×3＋3＋3×4＋4＋4×5＋5＋…(n －1)n ＋n＝(1＋2＋3＋4＋5＋…＋n)＋[0×1＋1×2＋2×3＋3×4＋…＋(n －1)n]＝n （n ＋1）2＋{13(1×2×3－0×1×2)＋13(2×3×4－1×2×3)＋13(3×4×5－2×3×4)＋…＋13[(n －1)·n·(n ＋1)－(n －2)·(n －1)·n]}＝n （n ＋1）2＋13[(n －1)·n·(n ＋1)]＝n （n ＋1）（2n ＋1）6， ∴当n ＝29时，原式＝29×（29＋1）×（2×29＋1）6＝8555. 类型2 图形规律4．(2017·天水)观察下列的“蜂窝图”则第n 个图案中的“”的个数是__3n ＋1__．(用含有n 的代数式表示)5．(2017·临沂)将一些相同的“○“按如图所示摆放，观察每个图形中的“○“的个数，若第n 个图形中“○“的个数是78，则n 的值是( B )A ．11B ．12C ．13D ．14解：第1个图形有1个小圆；第2个图形有1＋2＝3个小圆；第3个图形有1＋2＋3＝6个小圆；第4个图形有1＋2＋3＋4＝10个小圆；第n 个图形有1＋2＋3＋…＋n ＝n （n ＋1）2个小圆；∵第n 个图形中“○“的个数是78，∴78＝n （n ＋1）2，解得：n 1＝12，n 2＝－13(不合题意舍去)．6．(2017·德州)观察下列图形，它是把一个三角形分别连接这个三角形三边的中点，构成4个小三角形，挖去中间的一个小三角形(如图1)；对剩下的三个小三角形再分别重复以上做法，…将这种做法继续下去(如图2，图3…)，则图6中挖去三角形的个数为( C )A ．121B ．362C ．364D ．729解：图1挖去中间的1个小三角形，图2挖去中间的(1＋3)个小三角形，图3挖去中间的(1＋3＋32)个小三角形，…则图6挖去中间的(1＋3＋32＋33＋34＋35)个小三角形，即图6挖去中间的364个小三角形，类型3 坐标变化规律7．在平面直角坐标系中，对于平面内任一点(a ，b)，若规定以下三种变换：①△(a ，b)＝(－a ，b)；②○(a ，b)＝(－a ，－b)；③Ω(a ，b)＝(a ，－b)，按照以上变换例如：△(○(1，2))＝(1，－2)，则○(Ω(3，4))等于__(－3，4)__．8．(2017·衢州)如图，正△ABO 的边长为2，O 为坐标原点，A 在x 轴上，B 在第二象限，△ABO 沿x 轴正方向作无滑动的翻滚，经一次翻滚后得到△A 1B 1O ，则翻滚3次后点B的对应点的坐标是__(5，3)__，翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为 (134633＋896)π ．解析：如图作B 3E ⊥x 轴于E ，易知OE ＝5，B 3E ＝3，∴B 3(5，3)，观察图象可知三次一个循环，一个循环点M 的运动路径为120·π·3180＋120π·1180＋120π·1180＝(23＋43)π，∵2017÷3＝672…1，∴翻滚2017次后AB 中点M 经过的路径长为672·(23＋43)π＋233π＝(134633＋896)π.9．(2017·菏泽)如图，AB ⊥y 轴，垂足为B ，将△ABO 绕点A 逆时针旋转到△AB 1O 1的位置，使点B 的对应点B 1落在直线y ＝－33x 上，再将△AB 1O 1绕点B 1逆时针旋转到△A 1B 1O 2的位置，使点O 1的对应点O 2落在直线y ＝－33x 上，依次进行下去…若点B 的坐标是(0，1)，则点O 12的纵坐标为__(－9－93，9＋33)__．解：观察图象可知，O 12在直线y ＝－33x 时，OO 12＝6·OO 2＝6(1＋3＋2)＝18＋63， ∴O 12的横坐标＝－(18＋63)·cos30°＝－9－93，O 12的纵坐标＝12OO 12＝9＋33，∴O 12(－9－93，9＋33)． 10．定义：直线l 1与l 2相交于点O ，对于平面内任意一点M ，点M 到直线l 1、l 2的距离分别为p 、q ，则称有序实数对(p ，q)是点M 的“距离坐标”，根据上述定义，“距离坐标”是(1，2)的点的个数是( C )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：如图，∵到直线l 1的距离是l 的点在与直线l 1平行且与l 1的距离是1的两条平行线a 1、a 2上，到直线l 2的距离为2的点在与直线l 2平行且与l 2的距离是2的两条平行线b 1、b 2上，∴“距离坐标”是(1，2)的点是M 1，M 2，M 3，M 4，一共4个．11．(2017·绍兴模拟)在平面直角坐标系中，对图形F 给出如下定义：如图形F 上的所有点都在以原点为顶点的角的内部或边界上，在所有满足条件的角中，其度数的最小值称为图形的坐标角度．例如，图中的矩形ABCD 的坐标角度是90°.现将二次函数y ＝ax 2(1≤a ≤3)的图象在直线y ＝1下方的部分沿直线y ＝1向上翻折，则所得图形的坐标角度α的取值范围是( B )A ．30°≤α≤60°B ．60°≤α≤90°C ．90°≤α≤120°D ．120°≤α≤150°12．(2017·昆山二模)赵爽弦图是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，若这四个全等直角三角形的两条直角边分别平行于x 轴和y 轴，大正方形的顶点B 1，C 1，C 2，C 3，…，C n 在直线y ＝－12x ＋72上，顶点D 1，D 2，D 3，…，D n 在x 轴上，则第n 个阴影小正方形的面积为__(23)2n －2__．解：设第n 个大正方形的边长为a n ，则第n 个阴影小正方形的边长为55a n，当x ＝0时，y ＝－12x ＋72＝72，∴72＝55a 1＋52a 1，∴a 1＝ 5.∵a 1＝a 2＋12a 2，∴a 2＝235，同理可得：a 3＝23a 2，a 4＝23a 3，a 5＝23a 4，…，∴a n ＝(23)n －1a 1＝5(23)n －1，∴第n 个阴影小正方形的面积为(55a n )2＝[(23)n －1]2＝(23)2n －2.。
中考数学复习攻略 专题1 规律探索与归纳推理(含答案)
重点专题突破专题一 规律探索与归纳推理中考重难点突破数式规律数式规律类问题通常是先给出一组数或式子，要求通过观察、归纳这组数或式子的共性规律，写出一个一般性的结论．解决这类题目的关键是找出题目中的规律，即不变的和变化的，变化部分与序号的关系．常见数列 规律❶2，4，6，8，10，12，… 2n (从2开始的连续偶数) ❷1，3，5，7，9，11，… 2n －1(从1开始的连续奇数)❸1，4，9，16，25，36，… n 2(正整数平方) ❹2，4，8，16，32，64，… 2n (2的整数次幂) ❺－1，1，－1，1，－1，1，…(－1)n (奇负偶正)❻1，－1, 1，－1, 1，－1，… (－1)n ＋1或(－1)n －1(奇正偶负)【例1】(2021·铜仁中考)观察下列各项：112 ，214 ，318 ，4116 ，…，则第n 项是__n ＋12n __．【解析】根据已知可得出规律：第一项：112 ＝1＋121 ，第二项：214 ＝2＋122 ，第三项：318 ＝3＋123 ，…，从而可以得出第n 项．本题属于数字类规律问题，根据已知各项的规律得出结论是解决此类题目的关键． 【例2】(2020·百色一模)观察下列等式：1－12 ＝12 ，2－25 ＝85 ，3－310 ＝2710 ，4－417 ＝6417，…，根据你发现的规律，则第20个等式为 __20－20401 ＝8 000401__ .【解析】根据题意可知，这列等式的左边的被减数是从1开始的连续整数，减数是一个分数，并且分子和被减数相同，分母是被减数的平方加1；右边也是一个分数，分子是被减数的立方，分母和减数的分母相同，由此可写出第20个等式为：20－20202＋1 ＝203202＋1 ，最后化简即可．1．按一定规律排列的单项式：a ，－2a ，4a ，－8a ，16a ，－32a ，…，则第n 个单项式是( A )A ．(－2)n －1a B ．(－2)n aC ．2n －1a D ．2n a 2．(2020·百色二模)小说《达·芬奇密码》中的一个故事里出现了一串神秘排列的数：1，1，2，3，5，8，…，则这列数的第8个数是__21__.3．观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：1＋3＝4＝22，1＋3＋5＝9＝32， 1＋3＋5＋7＝16＝42， 1＋3＋5＋7＋9＝25＝52， ……猜想：1＋3＋5＋7＋9＋…＋(2n －1)＋(2n ＋1)＋(2n ＋3)＝__(n ＋2)2__．图形规律图形规律类问题主要涉及图形的组成、分拆等过程，解答此类问题时，要将后一个图形与前一个图形进行比较，明确哪部分发生了变化，哪部分没有发生变化，分析其联系和区别，有时需要多画出几个图形进行观察，有时规律是循环性的，在归纳时要运用对应思想和数形结合思想．【例3】观察下列砌钢管的横截面图：则第n 个图的钢管数是__32 n 2＋32 n __(用含n 的式子表示).【解析】本题可先依次列出n ＝1，2，3，…时的钢管数，再根据规律依次类推，可得出第n 个图的钢管数．第1个图的钢管数为1＋2＝3＝3×1； 第2个图的钢管数为2＋3＋4＝9＝3×(1＋2)； 第3个图的钢管数为3＋4＋5＋6＝18＝3×(1＋2＋3)；第4个图的钢管数为4＋5＋6＋7＋8＝30＝3×(1＋2＋3＋4)；……依次类推，第n 个图的钢管数为3×(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝32 n 2＋32n .4．(源于沪科七上P83)在公园内，牡丹按正方形种植，在它的周围种植芍药，如图反映了牡丹的列数(n )和芍药的数量规律，那么当n ＝11时，芍药的数量为( B )A ．84株B ．88株C ．92株D ．121株 5．(2021·遂宁中考)下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第__20__个图形共有210个小球．6．下图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，依此规律，第n 个图案中有m 个涂有阴影的小正方形，那么m 与n 的函数关系式为__m ＝4n ＋1__．与坐标有关的规律与坐标有关的规律类问题要求探索图形在运动过程中的规律，通常以平面直角坐标系为载体探索点的坐标的变化规律．解答时，应先写出前几次的变化过程，并将相邻两次的变化过程进行比照，明确哪些地方发生了变化，哪些地方没有发生变化，逐步发现规律，从而使问题得以解决．【例4】如图，直线l 为y ＝3 x ，过点A 1(1，0)作A 1B 1⊥x 轴，与直线l 交于点B 1，以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2；再作A 2B 2⊥x 轴，交直线l 于点B 2，以原点O 为圆心，OB 2长为半径画圆弧交x轴于点A 3……按此作法进行下去，则点A n 的坐标为(__2n －1，0__).【解析】∵直线l 为y ＝3 x ，点A 1(1，0)，A 1B 1⊥x 轴，∴当x ＝1时，y ＝3 ，即B 1(1，3 ).∴tan ∠A 1OB 1＝3 .∴∠A 1OB 1＝60°，∠A 1B 1O ＝30°.∴OB 1＝2OA 1＝2.∵以原点O 为圆心，OB 1长为半径画圆弧交x 轴于点A 2，∴A 2(2，0).同理可得A 3(4，0)，A 4(8，0)，…，∴A n (2n －1，0).7．如图，在平面直角坐标系中，A (－1，1)，B (－1，－2)，C (3，－2)，D (3，1)，一只瓢虫从点A 出发以2个单位长度/秒的速度沿A →B →C →D →A 循环爬行，问第2 021 s 瓢虫所在点的坐标是( A )A ．(3，1)B ．(－1，－2)C ．(1，－2)D ．(3，－2)8．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1(3，3)，P 2，P 3，…均在直线y ＝－13 x ＋4上，设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S 2 022＝__942 021 __．中考数学专题过关1．如图，第1个图形中有1个正方形，按照如图所示的方式连接对边中点得到第2个图形，图中共有5个正方形；连接第2个图形中右下角正方形的对边中点得到第3个图形，图中共有9个正方形；按照同样的规律得到第4个图形、第5个图形……，则第7个图形中共有正方形( B )A ．21个B ．25个C ．29个D ．32个2．如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 沿x 轴向右滚动到△AB 1C 1的位置，再到△A 1B 1C 2的位置……依次进行下去，若已知点A (4，0)，B (0，3)，则点C 100的坐标为( B )A ．⎝⎛⎭⎫1 200，125 B ．(600，0)C ．⎝⎛⎭⎫600，125 D ．(1 200，0)3．(2021·百色一模)有一列有序数对：(1，2)，(4，5)，(9，10)，(16，17)，…，按此规律，第11对有序数对为 __(121，122)____．4．观察下列一组数：－23 ，69 ，－1227 ，2081 ，－30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是__(－1)n ·n （n ＋1）3n__．5. (2021·眉山中考)观察下列等式：x 1＝1＋112＋122 ＝32 ＝1＋11×2 ；x 2＝1＋122＋132 ＝76 ＝1＋12×3 ；x 3＝1＋132＋142 ＝1312 ＝1＋13×4；……根据以上规律，计算x 1＋x 2＋x 3＋…＋x 2 020－2 021＝__－12 021__．6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的正三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形……按此规律摆下去，第n 个图案有__(3n ＋1)__个三角形(用含n 的代数式表示)．7．(2021·扬州中考)将黑色圆点按如图所示的规律进行排列：图中黑色圆点的个数依次为：1，3，6，10，…，将其中所有能被3整除的数按从小到大的顺序重新排列成一组新数据，则新数据中的第33个数为__1__275__．。
初中复习方略数学微专题一 规律探索问题
【变式】(2021·济宁中考)按规律排列的一组数据：12 ，35 ，□，177 ，296 ，3117 ，…，
其中□内应填的数是( D )
A．23
B．151
C．95
D．21
类型二：算式规律类
1．算式规律类试题一般有以下两种类型 (1)由给定的一些等式找出规律． (2)给出计算公式，通过具体的计算猜想规律． 2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目提供的算式，发现结果和式子序列号之间的关系． (2)将这个关系式表示出来，继而再运用其关系式解决问题．
微专题一 规律探索问题
类型一：数字规律类
1．数字规律类试题一般有以下四种类型 (1)“等差数列”类．即相邻数字的差值相等，整个数字序列依次递增或递减的一类 数．(2)“等比数列”类．即相邻数字的比值相等．(3)加、减、乘、除、平方规律 类．(4)个位数字规律类．
2．解决此类题目的一般思路 (1)仔细观察题目给出的几个特殊情形．(2)分析、比较，寻找这些数字之间的内 在联系．(3)发现其内在规律并利用规律解决问题．
【变式】(2021·云南中考)按一定规律排列的单项式：a2，4a3，9a4，16a5，25a6，…，
第 ＋1
B．n2an－1
C．nnan＋1 D．(n＋1)2an
类型三：图形规律类
1．图形规律类试题一般有以下三种类型 (1)图形数量方面的规律． (2)图形形状方面的规律． (3)图形各组成部分的相对位置的规律．
2．解决此类题目的一般思路 (1)根据图形的变化规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的 坐标与序号之间的关系，归纳得出第n个点的坐标与变换次数之间的关系． (2)若坐标是循环变换，应先确定循环一周的变换次数，然后用总次数除以变换 次数来确定点的坐标．
总复习：专题一规律探索型问题
专题一 规律探索型问题要点梳理：规律探索型问题也是归纳猜想型问题，1．数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通过适当的计算回答问题．2．数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．3．图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决相关问题．解题方法：规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等)中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论去检验特殊情况，以肯定结论的正确．重点讲解【例1】 (2014·钦州)甲、乙、丙三位同学进行报数游戏，游戏规则为：甲报1，乙报2，丙报3，再甲报4，乙报5，丙报6，…依次循环反复下去，当报出的数为2014时游戏结束，若报出的数是偶数，则该同学得1分．当报数结束时甲同学的得分是 分．1．(2014·兰州)为了求1＋2＋22＋23＋…＋2100的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋2100，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2101，因此2S －S ＝2101－1，所以S ＝2101－1，即1＋2＋22＋23＋…＋2100＝2101－1，仿照以上推理计算1＋3＋32＋33＋…＋32014的值是 ．2．数式规律型问题【例2】 (2014·扬州)设a 1，a 2，…，a 2014是从1，0，－1这三个数中取值的一列数，若a 1＋a 2＋…＋a 2014＝69，(a 1＋1)2＋(a 2＋1)2＋…＋(a 2014＋1)2＝4001，则a 1，a 2，…，a 2014中为0的个数是 ．3．(2013·南宁)有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n ，满足以下规律：a 1＝12，a 2＝11－a 1，a3＝11－a 2，…，a n ＝11－a n －1(n ≥2且n 为正整数)，则a 2013的值为 ．(结果用数字表示)图形规律型问题【例3】 (2013·安徽)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图①所示基本图的特征点，显然这样的基本图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图②，图③，……(1)观察以上图形并完成下表：图形的名称 基本图的个数 特征点的个数图①1 7 图②2 12 图③3 17 图④4 22 … … …猜想：（1）在图中，特征点的个数为 ；(用n 表示)(2)如图，将图放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x 1，2)，则x 1＝ ；图的对称中心的横坐标为 ．3．(2014·深圳)如图，下列图形是将正三角形按一定规律排列，则第5个图形中所有正三角形的个数有 ．数形结合猜想型问题【例4】 (2014·泰安)如图，在平面直角坐标系中，将△ABO 绕点A 顺时针旋转到△AB 1C 1的位置，点B ，O 分别落在点B 1，C 1处，点B 1在x 轴上，再将△AB 1C 1绕点B 1顺时针旋转到△A 1B 1C 2的位置，点C 2在x 轴上，将△A 1B 1C 2绕点C 2顺时针旋转到△A 2B 2C 2的位置，点A 2在x 轴上，依次进行下去….若点A(53，0)，B(0，4)，则点B 2014的横坐标为 ．试题(1 )(2012·桂林)下图是在正方形网格中按规律填成的阴影，根据此规律，则第n个图中阴影部分小正方形的个数是____．(2)(2012·黔东南)如图，第①个图有2个相同的小正方形，第②个图有6个相同的小正方形，第③个图有12个相同的小正方形，第④个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第个图有________个相同的小正方形．(3)如图，由等圆组成的一组图中，第1个图由1个圆组成，第2个图由7个圆组成，第3个图由19个圆组成，…，按照这样的规律排列下去，则第9个图形由________个圆组成．规律探索型问题一、选择题(每小题6分，共30分)1．(2013·泰安)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，37＝2187，…解答下列问题：3＋32＋33＋34＋…＋32013的末位数字是( )A．0 B．1 C．3 D．72．(2014·武汉)观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图中共有4个点，第2个图中共有10个点，第3个图中共有19个点，…按此规律第5个图中点的个数是( )A．31 B．46 C．51 D．663．(2014·十堰)根据如图中箭头的指向规律，从2013到2014再到2015，箭头的方向是以下图示中的( )4．A .B .C .D .4．(2014·重庆)下列图形都是按照一定规律组成，第一个图形中共有2个三角形，第二个图形中共有8个三角形，第三个图形中共有14个三角形，…，依此规律，第五个图形中三角形的个数是( )A ．22B ．24C ．26D ．285．(2014·内江)如图，已知A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1是x 轴上的点，且OA 1＝A 1A 2＝A 2A 3＝…＝A n A n ＋1＝1，分别过点A 1，A 2，A 3，…，A n ，A n ＋1作x 轴的垂线交直线y ＝2x 于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，B n ＋1，连接A 1B 2，B 1A 2，B 2A 3，…，A n B n ＋1，B n A n ＋1，依次相交于点P 1，P 2，P 3，…，P n .△A 1B 1P 1，△A 2B 2P 2，△A n B n P n 的面积依次记为S 1，S 2，S 3，…，S n ，则S n 为( )A.n ＋12n ＋1 B .n 3n －1C .n 22n －1D .n 22n ＋1二、填空题(每小题6分，共30分)6．(2014·毕节)观察下列一组数：14，39，516，725，936，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 ．7．(2014·娄底)如图是一组有规律的图案，第一个图案由4个▲组成，第二个图案由7个▲组成，第三个图案由10个▲组成，第四个图案由13个▲组成，…，则第n(n 为正整数)个图案由 个▲组成．8．(2014·梅州)如图，弹性小球从点P(0，3)出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为P1，第2次碰到矩形的边时的点为P2，…，第n次碰到矩形的边时的点为P n，则点P3的坐标是_ ；点P2014的坐标是．9．(2014·菏泽)下面是一个按照某种规律排列的数阵：根据数阵的规律，第n(n是整数，且n≥3)行从左到右数第n－2个数是．(用含n的代数式表示)10．(2013·潍坊)当白色小正方形个数依次等于1，4，9…时，由白色小正方形和黑色小正方形组成的图形分别如图所示．则第n个图形中白色小正方形和黑色小正方形的个数总和等于．(用n表示，n是正整数)三、解答题(共40分)11．(12分)(2014·宜宾)在平面直角坐标系中，若点P(x，y)的坐标x，y均为整数，则称点P为格点，若一个多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如图中△ABC是格点三角形，对应的S＝1，N＝0，L＝4.(1)求出图中格点四边形DEFG对应的S，N，L；(2)已知格点多边形的面积可表示为S＝N＋aL＋b，其中a，b为常数，若某格点多边形对应的N＝82，L＝38，求S的值．12．(12分)(2012·宁波)用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：(1)第5个图形有多少颗黑色棋子？(2)第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．13．(16分)(2014·凉山州)实验与探究：三角点阵前n 行的点数计算． 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点…第n 行有n 个点…容易发现，10是三角点阵中前4行的点数的和，你能发现300是前多少行的点数的和吗？如果要用试验的方法，由上而下地逐行的相加其点数，虽然你能发现1＋2＋3＋4＋…＋23＋24＝300.得知300是前24行的点数的和，但是这样寻找答案需我们先探求三角点阵中前n 行的点数的和与n 的数量关系是1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ，可以发现．2×[1＋2＋3＋4＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＝[1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n]＋[n ＋(n －1)＋(n －2)＋(n －3)＋…＋3＋2＋1]．把两个中括号中的第一项相加，第二项相加…第n 项相加，上式等号的后边变形为这n 个小括号都等于n ＋1，整个式子等于n(n ＋1)，于是得到1＋2＋3＋…＋(n －2)＋(n －1)＋n ＝12n(n ＋1)， 这就是说，三角点阵中前n 项的点数的和是12n(n ＋1)．下列用一元二次方程解决上述问题：设三角点阵中前n 行的点数的和为300，则有12n(n ＋1)整理这个方程，得n 2＋n －600＝0， 解方程得n 1＝24，n 2＝－25.根据问题中未知数的意义确定n ＝24，即三角点阵中前24行的点数的和是300. 请你根据上述材料回答下列问题：(1)三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．(2)如果把图中的三角点阵中各行的点数依次换成2，4，6，…，2n ，…，你能探究出前n 行的点数的和满足什么规律吗？这个三角点阵中前n 行的点数的和能是600吗？如果能，求出n ；如果不能，试用一元二次方程说明道理．。
中考规律探索题(类型一：数式规律)
中考规律探索题——（类型一：数式规律）一、典题讲解题型1 :数的变化规律例1（2020云南昆明）观察下列一组数： -23，69，-1227，2081，-30243，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n 个数是 .例2：（2021湖南怀化）观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，……，已知按一定规律排列的一组数：1002，1012，1022，……，1992，若1002m =，用含m 的代数式表示这组数的和是 .例3．（2021浙江嘉兴）观察下列等式：1＝12﹣02，3＝22﹣12，5＝32﹣22，…按此规律，则第n 个等式为2n ﹣1＝ ．题型2 :式的变化规律例1（2021甘肃）一组按规律排列的代数式：a +2b ，a 2﹣2b 3，a 3+2b 5，a 4﹣2b 7，…，则第n 个式子是 ．例2（2019•贵州省铜仁市）按一定规律排列的一列数依次为：﹣，，﹣，，…（a ≠0），按此规律排列下去，这列数中的第n 个数是 ．（n 为正整数）题型3:数阵的变化规律例1. (2021荆门)如图，将正整数按此规律排列成数表，则2021是表中第______行第______列．例2．(2021湖北十堰市)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列，例如，位于第4行第3列的数为27，则位于第32行第13列的数是（）A．2025B．2023C．2021D．2019题型4:表格数的变化规律例1.(2020湖北十堰)根据图中数字的规律，若第n个图中出现数字396，则n （）A. 17B. 18C. 19D. 20例2.在计数制中，通常我们们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数据的依据。
已知二进位制与十进位制的比较如下表：请将二进位制10101010写成十进位制数为．二、跟踪练习1.（2015•永州）设a n 为正整数n 4的末位数，如a 1=1，a 2=6，a 3=1，a 4=6．则a 1+a 2+a 3+…+a 2013+a 2014+a 2015= ．2. (2016郴州16题)观察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，…，试猜想，32016的个位数字是 ．3. (2021云南)按一定规律排列的单项式：a 2，4a 3，9a 4，16a 5，25a 6，…，第n 个单项式是( ) A. n 2a n ＋1 B. n 2a n－1C. n n a n ＋1D. (n ＋1)2a4. (2020张家界14题3分)观察下面的变化规律： 21×3＝1－13，23×5＝13－15，25×7＝15－17，27×9＝17－19，… 根据上面的规律计算：21×3＋23×5＋25×7＋…＋22019×2021＝________．5. (2021湘潭16题3分)天干地支纪年法是上古文明的产物，又称节气历或中国阳历．有十天干与十二地支，如下表：算法如下：先用年份的尾数查出天干，再用年份除以12的余数查出地支．如2008年，尾数8为戊，2008除以12余数为4，4为子，那么2008年就是戊子年.2021年是伟大、光荣、正确的中国共产党成立100周年，则2021年是________年．(用天干地支纪年法表示)6. (万唯原创)观察下列等式：第一个等式：a 1＝11×4＝13×(1－14)； 第二个等式：a 2＝14×7＝13×(14－17)；第三个等式：a 3＝17×10＝13×(17－110)；第四个等式：a 4＝110×13＝13×(110－113)；…按照上述规律，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 2022＝( ) A. 20212022 B.20226067 C.20202021 D.606660677.（2020湖南娄底）下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，x 的值为（ ）A ．135B ．153C ．170D ．1898.已知1a 为实数﹐规定运算：2111a a =-，3211a a =-，4311a a =-，5411a a =-，……，111n n a a -=-．按上述方法计算：当13a =时，2021a 的值等于（ ） A ．23-B ．13C ．12-D ．239.观察下列算式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，28＝256，…则2＋22＋23＋24＋25＋…＋22021的末位数字是( ) A ．8B ．6C ．4D ．010．(2019永州)我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方（a +b ）n 的展开式（按b 的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将（s +x ）15的展开式按x 的升幂排列得：（s +x ）15＝a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 15x 15．依上述规律，解决下列问题： （1）若s ＝1，则a 2＝ ；（2）若s ＝2，则a 0+a 1+a 2+…+a 15＝ ．。
中考数学《规律探索》专题复习试题含解析
中考数学《规律(Lv)探索》专题复习试题含解析一(Yi)、选择题1. 如图，将一张等边(Bian)三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按(An)同样方式再剪成4个小三(San)角形，共得到7个小(Xiao)三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得(De)到10个小三角形，称为第三次操(Cao)作；…根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是（）A．25 B．33 C．34 D．50【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第一次操作后三角形共有4个、第二次操作后三角形共有（4+3）个、第三次操作后三角形共有（4+3+3）个，可得第n次操作后三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个，根据题意得3n+1=100，求得n的值即可．【解答】解：∵第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4+3=7个；第三次操作后，三角形共有4+3+3=10个；…∴第n次操作后，三角形共有4+3（n﹣1）=3n+1个；当3n+1=100时，解得：n=33，故选：B．2.观察图中正方形四个顶点所标的数字规律，可知，数2016应标在（）A．第504个正方形的左下角B．第504个正方形的右下角C．第505个正方形的左上角D．第505个正方形的右下角【考点】规律型：点的坐标．【分(Fen)析】根据图形中对应的数字和各个(Ge)数字所在的位置，可以推出数2016在第多少个正方形和它所在的位置，本(Ben)题得以解决．【解(Jie)答】解(Jie)：∵2016÷4=504，又(You)∵由题目中给出的几个(Ge)正方形观察可知，每个正方形对应四个数，而第一个最小的数是0，0在(Zai)右下角，然后按逆时针由小变大，∴第504个正方形中最大的数是2015，∴数2016在第505个正方形的右下角，故选D．3．（2016.山东省临沂市，3分）用大小相等的小正方形按一定规律拼成下列图形，则第n个图形中小正方形的个数是（）A．2n+1 B．n2﹣1 C．n2+2n D．5n﹣2【考点】规律型：图形的变化类．【分析】由第1个图形中小正方形的个数是22﹣1、第2个图形中小正方形的个数是32﹣1、第3个图形中小正方形的个数是42﹣1，可知第n个图形中小正方形的个数是（n+1）2﹣1，化简可得答案．【解答】解：∵第1个图形中，小正方形的个数是：22﹣1=3；第2个图形中，小正方形的个数是：32﹣1=8；第3个图形中，小正方形的个数是：42﹣1=15；…∴第n个图形中，小正方形的个数是：（n+1）2﹣1=n2+2n+1﹣1=n2+2n；故选：C．【点评】本题主要考查图形的变化规律，解决此类题目的方法是：从变化的图形中发现不变的部分和变化的部分及变化部分的特点是解题的关键．二、填空题1．如图，①是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图②，再连接图②中间小三角形三边的中点得到图③，按这样的方法进行下去，第n个图形中共有三角形的个数为4n﹣3 ．【考点】规律型：图形的变化类．【分析】结合题意，总结可知，每(Mei)个图中三角形个数比图形的编号的(De)4倍(Bei)少(Shao)3个三角形，即可(Ke)得出结果．【解(Jie)答】解：第(Di)①是(Shi)1个三角形，1=4×1﹣3；第②是5个三角形，5=4×2﹣3；第③是9个三角形，9=4×3﹣3；∴第n个图形中共有三角形的个数是4n﹣3；故答案为：4n﹣3．【点评】此题主要考查了图形的变化，解决此题的关键是寻找三角形的个数与图形的编号之间的关系．2．如图，直线l：y=－x，点A1坐标为（－3，0）. 过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x 轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A 3，…，按此做法进行下去，点A2016的坐标为 .【考点】一次函数图像上点的坐标特征，规律型：图形的变化类．【分析】由直线l：y=－x的解析式求出A1B1的长，再根据勾股定理，求出OB1的长，从而得出A2的坐标；再把A2的横坐标代入y=－x的解析式求出A2B2的长，再根据勾股定理，求出OB2的长，从而得出A3的坐标；…，由此得出一般规律．【解(Jie)答】解(Jie)：∵点(Dian)A1坐(Zuo)标为（－3，0），知(Zhi)O A1=3，把(Ba)x=－3代入(Ru)直线(Xian)y=－x中，得y= 4 ，即A1B1=4.根据勾股定理，OB1===5，∴A2坐标为（－5，0），O A2=5；把x=－5代入直线y=－x中，得y=，即A2B2=.根据勾股定理，OB2====，∴A3坐标为（－3512，0），O A3=3512；把x=－3512代入直线y=－x中，得y=，即A3B3=.根据勾(Gou)股定理，OB 3====，∴A 4坐标(Biao)为（－3523，0），O A 4=3523；……同理(Li)可得(De)A n 坐(Zuo)标为（－，0），O A n =3521--n n ；∴A 2016坐(Zuo)标为（－，0）故(Gu)答案为：（− 3520142015，0）【点(Dian)评】本题是规律型图形的变化类题是全国各地的中考热点题型，考查了一次函数图像上点的坐标特征. 解题时，要注意数形结合思想的运用，总结规律是解题的关键. 解此类题时，要得到两三个结果后再比较、总结归纳，不要只求出一个结果就盲目的匆忙得出结论。
中考数学总复习第三编综合专题闯关篇专题1规律探索猜想类试题(2021-2022学年)
专题一规律探索猜想类规律探索与猜想是中考中常见题型之一,它主要用于考查学生观察、分析、归纳、猜想等方面的能力,既可以命基础题，也可命中高档题，题型不限,方法灵活,主要有数式规律、图形规律、坐标规律等,解这类问题要善于发现其过程中的特点，抓住其周期是解决此类问题的关键.纵观遵义近五年中考,每年都会涉及一道规律探索问题，一般难度不大，预计20１８年遵义中考也有可能命一道中基础（选择或填空)规律探索题．,中考重难点突破）数字规律【例1】（临夏中考)古希腊数学家把数1，3，6,１0,15,２1,…叫做三角形数,它有一定的规律性，若把第一个三角形数记为x1，第二个三角形数记为ｘ2,…第n个三角形数记为x n，则x n＋x n+1＝____＿_＿_．【解析】根据三角形数得到ｘ1＝1，x2＝3=1+2，x3＝6=１＋２＋３,x4=10＝1＋２＋３＋4,ｘ5＝１5=1+2＋3+4+5，即三角形数为从1到它的顺号数之间所有整数的和,即ｘｎ＝１＋2+3+…+n=错误!未定义书签。
，xｎ＋1=错误!,然后计算ｘn＋ｘｎ＋1可得.【答案】(n＋1)2◆模拟题区1．（２017遵义二中二模)计算下列各式的值:92+１9;错误!;错误!；错误!.观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得错误!未定义书签。
+１99…9,２０15个9））＝_＿102__0１5＿_.2．（2017遵义六中三模)将自然数按以下规律排列：第一列第二列第三列第一行１４ 5…第二行 2 3 ６…第三行98７………表中数2在第二行第一列，与有序数对（2，1)对应;数5与(１,3)对应；数１4与（3,4)对应；根据这一规律,数2 014对应的有序数对为＿_(４５，１2)_＿.3．（2０17遵义十一中三模)已知：错误!未定义书签。
＝＼ｆ（1，3)；错误!=错误!;计算:错误!未定义书签。
=__错误!__；猜想：错误!未定义书签。
＝__错误!未定义书签。
_＿.4．（天水中考)观察下列运算过程:S=1＋3＋32＋33+…＋3２ 012+32 01３①，①×3得3S=3+32＋33+…+32 ０１3+32 014 ②,②－①得2S＝32014－1,S＝错误!未定义书签。
专题一--图形规律探索题
图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去，第⑥个图中黑色正方
形纸片旳张数为
（ B）
A. 11
B. 13
C. 15
D. 17
第2题图
3. (2023随州)我们将如图所示旳两种排列形式旳点旳个数分别称作“三角形
数”(如1，3，6，10，…)和“正方形数”(如1，4，9，16，…)，在不大于
200旳数中，设最大旳“三角形数”为m，最大旳“正方形数”为n，则m＋n
【解答】解：∵第一个图形有 2+1×2=4 个， 第二个图形有 2+2×3=8 个， 第三个图形有 2+3×4=14 个， 第四个图形有 2+4×5=22 个， … ∴第 n 个图形共有：2+n×（n+1）=n2+n+2． 故答案为：n2+n+2．
6. (2023潍坊)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个 等边三角形构成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形 组成；第3个图由3个正六边形、16个正方形和14个等边三角形构成；…； 按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形旳个数之和为 9n+3 个．
动到⊙O上旳点A2处；接着又从A2点出发，沿着射线A2O方向运动到⊙O上旳
点A3处；再向左沿着与射线A3O夹角为60°旳方向运动到⊙O上旳点A4处；…；
按此规律运动到点A2023处，则点A2023与点A0间旳距离是
（ A）
A. 4
B. 2 C. 2 3
D. 0
解：如图，∵⊙O旳半径=2， 由题意得，
A. 32023
B. 32023
C. ( 3 )2023
D. ( 3 )2023
2024年中考数学二轮复习课件：专题一 规律探索题
图1
A.正十二边形
图2
B.正十边形
C.正九边形
D.正八边形
10.如图，分别用火柴棍连续搭建正三角形和正六边形，公共边只用一根火柴棍.如
果搭建正三角形和正六边形共用了172根火柴棍，并且正三角形的个数比正六边形
30
的个数多8个，那么连续搭建正三角形的个数是____.
综与语文之间，得到如图3，称为2次整理；…若从如图1开始，经过 n 次整理后，
得到的顺序与如图1相同，则 n 的值可以是( B )
A.11
B.12
C.13
D.14
9.（2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ23石家庄裕华区模拟）小明同学用一些完全相同的 △ ABC 纸片，已知六个
△ ABC 纸片按照图1所示的方法拼接可得外轮廓是正六边形图案，若用 n 个 △ ABC
再证明结论的正确性；
解：由题意规律，得 +
= + + .
证明：等式左边 = + + ，
等式右边 = + + ，
∴ 左边 = 右边，故等式成立.
【迁移】 思考“ 152 = 15 × 15 ， 252 = 25 × 25 ， ⋯ ”的特征：两个乘数十位上
上分别取点 A2 ， B2 ，使 B1 A2 = B1 B2 ，
连接 A2 B2 ⋯ 按此规律下去，记
∠A2 B1 B2 = θ1 ， ∠A3 B2 B3 = θ2 ， ⋯ ， ∠An+1 Bn Bn+1 = θn ，则：
180∘ +α
（1） θ1 = _______；
2
专题一 规律探索型问题
专题一规律探索型问题考点知识梳理：探索规律型问题也是归纳猜想型问题，其特点是：给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．类型有“数列规律”、“计算规律”、“图形规律”与“动态规律”等题型，近年来关于数列与图形排列规律的题目越来越多．1．数列规律数列规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式即函数关系式为主要内容．2．计算规律计算规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，然后通过适当的计算(主要以等差数列的计算为主)回答问题．3．图形规律图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合．4．动态规律动态规律问题是探求图形在运动变换过程中的变化规律，解答此类问题时，要将图形每一次的变化与前一次变化进行比较，明确哪些结果发生了变化，哪些结果没有发生变化，从而逐步发现规律．中考典例精析例1、例2、如图，将n个边长都为1 cm的正方形按如图所示摆放，点A1、A2、…、An分别是正方形的中心，则n个这样的正方形重叠部分的面积和为________．例3、专题训练1．如图，依次连接第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连接菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去，已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为________.2．观察下列算式：①1×3－22＝3－4＝－1；②2×4－32＝8－9＝－1；③3×5－42＝15－16＝－1；④________；….(1)请你按以上规律写出第4个算式；(2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．3．在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位，其行走路线如图所示．(1)填写下列各点的坐标：A1(______，______)， A3(______，______)，A12(______，______)； (2)写出点A4n 的坐标(n 是正整数)；(3)指出蚂蚁从点A100到点A101的移动方向．4．在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…，则边长为8的正方形内部的整点的个数为_____（第4题） （第10题） （第11题）5、如下数表是由从1开始的连续自然数组成，观察规律并完成各题的解答．6、7、在右表中，我们把第i 行第j 列的数记为a i ，j （其中i ，j 都是不大于5的正整数），对于表中的每个数a i ，j ，规定如下：当i≥j 时，a i ，j =1；当i ＜j 时，a i ，j =0．例如：当i=2，j=1时，a i ，j =a 2，1=1．按此规定，a 1，3=____；表中的25个数中，共有____个1；计算a 1，1•a i ，1+a 1，2•a i ，2+a 1，3•a i ，3+a 1，4•a i ，4+a 1，5•a i ，5的值为____9．甲、乙、丙、丁四位同学围成一圈依序循环报数，规定：①甲、乙、丙、丁首次报出的数依次为1、2、3、4，接着甲报5，乙报6……按此规律，后一位同学报出的数比前一位同学报出的数大1.当报到的数是50时，报数结束； ②若报出的数为3的倍数，则报该数的同学需拍手一次． 在此过程中，甲同学需拍手的次数为____________．10．如图为手的示意图，在各个手指间标记字母A ，B ，C ，D.请你按图中箭头所指方向(即A →B →C →D →C →B →A →B →C →…的方式)从A 开始数连续的正整数1,2,3,4，…，当数到12时，对应的字母是________；当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是________；当字母C 第2n ＋1次出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是________．(用含n 的代数式表示)11．如图是圆心角为30°，半径分别是1、3、5、7、…的扇形组成的图形，阴影部分的面积依次记为S1、S2、S3、…，则S50＝________.(结果保留π)12、如图所示，在x 轴的正半轴上依次截取OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=A 4A 5…，过A 1、A 2、A 3、A 4、A 5…分别作x 轴的垂线与反比例函数的图象交于点P 1、P 2、P 3、P 4、P 5…，并设△OA 1P 1、△A 1A 2P 2、△A 2A 3P 3…面积分别为S 1、S 2、S 3…，按此作法进行下去，则S n 的值为 ______（n 为正整数）．（第12题） （第13题）13、如图，n ＋1个上底、两腰皆为1，下底长为2的等腰梯形的下底均在同一直线上，设四边形P1M1N1N2的面积为S1，四边形P2M2N2N3的面积为S2，…，四边形PnMnNnNn ＋1的面积为Sn ，通过逐一计算S1，S2，…，可得Sn ＝________.14、如图，在平面直角坐标系中，线段OA 1=1，OA 1与x 轴的夹角为30°，线段A 1A 2=1，A 2A 1⊥OA 1，垂足为A 1；线段A 2A 3=1，A 3A 2⊥A1A 2，垂足为A 2；线段A 3A 4=1，A 4A 3⊥A2A 3，垂足为A 3；…按此规律，点A 2012的坐标为________（第14题） （第20题）15、如图，一串有趣的图案按一定的规律排列，请仔细观察，按此规律第2010个图案是A ．B．C ．D ．16．A ．3B ．9C ．7D ．117、18、如图，将边长为a 的正六边形A 1A 2A 3A 4A 5A 6在直线l 上由图1的位置按顺时针方向向右作无滑动滚动，当A 1第一次滚动到图2位置时，顶点A 1所经过的路径的长为（ ）19、请先观察下列算式，再填空：32-12=8×1，52-32=8×2． ①72-52=8×_____； ②92-（_____）2=8×4； ③（_____）2-92=8×5；④132-（_____）2=8×_____； …（1）通过观察归纳，你知道上述规律的一般形式吗？请把你的猜想写出来． （2）你能运用本章所学的平方差公式来说明你的猜想的正确性吗？20、在课本的阅读材料中，介绍了一个第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA 1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=…=A 8A 9=1，（1）请你先计算图中的线段OA 7，OA 8，OA 9的长，再猜想OA n 的长 （2）若∠A n-1OA n 是第一个小于15°的角，求n 的值．（备选数据：Sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）中考演练1．(2012年广东肇庆)观察下列一组数：23，45，67，89，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是________．2．(2012年湖南株洲)一组数据为：x ，－2x 2,4x 2，－8x 2，…，观察其规律，推断第n 个数据应为______． 3．(2011年浙江)如图Z4－2，下面是按照一定规律画出的“树形图”，经观察可以发现：图A 2比图A 1多出2个“树枝”， 图A 3比图A 2多出4个“树枝”， 图A 4比图A 3多出8个“树枝”，…，照此规律，图A 6比图A 2多出“树枝”()图Z4－2A ．28个B ．56个C ．60个D ．124个4．(2012年山东)求1＋2＋22＋23＋…＋22 012的值，可令S ＝1＋2＋22＋23＋…＋22 012，则2S ＝2＋22＋23＋24＋…＋22 013，因此，2S －S ＝22 013－1.仿照以上推理，计算出1＋5＋52＋53＋…＋52 012的值为( )A ．52 012－1B ．52 013－1 C.52 013－14 D.52 012－145．(2012年贵州毕节)在图Z4－3中，每个图案均由边长为1的小正方形按一定的规律堆叠而成，照此规律，第10个图案中共有______个小正方形．图Z4－3图Z4－46．(2011年湖南常德)先找规律，再填数： 11＋12－1＝12，13＋14－12＝112，15＋16－13＝130，17＋18－14＝156，…… 则12 011＋12 012－________＝12 011×2 012. 7．(2012年河北)某数学活动小组的20位同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位同学开始，每位同学依次报自己顺序的倒数加1，第1位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫11＋1，第2位同学报⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1……这样得到的20个数的积为________________．8．(2010年浙江嵊州)如图Z4－4，平面内有公共端点的六条射线OA ，OB ，OC ，OD ，OE ，OF ，从射线OA 开始按逆时针方向依次在射线上写出数字1,2,3,4,5,6,7，…，则“17”在射线__________上；“2 007”在射线____________上．9．(2012年云南)观察图Z4－5的图形的排列规律(其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星)．若第一个图形是三角形，则第18个图形是________________(填图形名称)．▲■★■▲★▲■★■▲★▲……图Z4－510．(2011年广东湛江)已知：A 23＝3×2＝6，A 35＝5×4×3＝60，A 45＝5×4×3×2＝120，A 46＝6×5×4×3＝360，…，观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A 37＝_______________(直接写出计算结果)，并比较A 310________A 410(填“>”或“<”或“＝”)． 11．(2012年广东汕头)观察下列等式：第1个等式：a 1＝11×3＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13； 第2个等式：a 2＝13×5＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15；第3个等式：a 3＝15×7＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫15－17； 第4个等式：a 4＝17×9＝12×⎝ ⎛⎭⎪⎫17－19；……请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：a 5＝______＝______；(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：a n ＝______＝______(n 为正整数)； (3)求a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100的值．12．(2010年浙江宁波)18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数V 、面数F 、棱数E 之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察图Z4－6中的几种简单多面体模型，解答下列问题： (1)根据上面的多面体模型，完成表格中的空格：你发现顶点数V 、面数F 、棱数E 之间存在的关系式是______________；(2)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这个多面体的面数是__________；(3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点处都有3条棱．设该多面体外表面三角形的个数为x 个，八边形的个数为y 个，求x ＋y 的值．。
七年级探索规律1知识讲解
七年级探索规律1规律题训练专题第一讲 数字规律找出变化规律，猜想出一般性的结论. 方法和步骤是（1）通过对观察几个特例的分析；（2）猜想符合规律的一般性结论，寻找规律并且归纳； （3）验证或证明结论是否正确,下面通过举例来说明这些问题. 等差规律1、有一串数字3 7 11 15 …… 第30个数是 第n 个数是 。
2、有一串数字3 6 9 12 ……第30个数是差递增规律3、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规律确定第8个数为 ．4、古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，它有一定的规律性，则第24个三角形数与第22个三角形数的差为 。
等比规律5、观察下面三行数，2, -4， 8， -16， 32， -64，… ①-2， -8， 4， -20， 28， -68，… ② -1， 2， -4， 8， -16， 32，… ③(1) 第①行第10个数是多少？(2) 第②,③行与第①行分别有什么对应关系？ (3) 取每行第10个数，计算这三个数的和.与平方数有关6、有一列数…，那么第7个数是 ．第20个数是7、 观察下面一列有规律的数ΛΛ,486,355,244,153,82,31， 根据这个规律可知第n 个数是 （n 是正整数）数字循环问题8、观察下列算式：21＝2、22＝4、23＝8、24＝16、55＝32、26＝64、27＝128、28＝256……。
观察后，用你所发现的规律写出223的末位数字是 。
排列规律9、下面是一个三角形数阵： 1 2 4 23 6 9 6 34 8 12 16 12 8 4……根据该数阵的规律，猜想第10行所有数的和是 .符号综合规律10、在一列数：2，23-，34，45-，56…中，第n 个数（n 为正整数）是 . 11、观察下面的一列数：21，－61，121，－201…… 请你找出其中排列的规律，并按此规律填空． （1）第9个数是________，第14个数是________． （2）若n 是大于1的整数，按上面的排列规律，写出第n 个数．观察推理规律12、填在下面三个田字格内的数有相同的规律，根据此规律，C= ．1234251017--，，，，13、观察右图并寻找规律，xA．－136B．－150C．－158D．－162过关检测1、某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为12，从第2排开始，每一排都比前一排增加a个座位。
微专题一 有关代数式的规律探索
2.解答图形规律探索题的方法 数形结合是探求规律的常用方法:从简单图形入手,抓 住随着“编号”或“序号”增加时,后一个图形与前一 个图形相比的变化,通过类比、计算等方法找出数量上 的变化规律,从而推出一般性的结论,再验证所总结规 律的正确性.
【题组过关】
1.(2019·常德中考)观察下列等式:70=1,71=7,72=49,
【解析】(1)该多项式每一项中x的次数从10依次减少1, 每一项中y的次数从0依次增加1;所有项的次数均为 10,x次数为偶数时系数为1,为奇数时系数为-1. (2)根据规律可得第六项为:-x5y5,它的系数是-1,次数 是10. (3)这个多项式是10次11项式.
【类型二】 有关式的规律探索
【例2】(2018·云南中考)按一定规律排列的单项
式:a,-a2,a3,-a4,a5,-a6,…,第n个单项式是( C )
A.an
B.-an
C.(-1)n+1an
D.(-1)nan
【类型三】 有关图形的规律探索 【例3】(2018·绥化中考)将一些圆 按照如图方式摆放,从上向下有无数 行,其中第一行有2个圆,第二行有4 个圆,第三行有6个圆…按此规律排列下去,则前50行共 有圆___2__5_5_0___个.
微专题一 有关代数式的规律探索
【主干必备】 有关代数式的规律探索有数的规律、式的规律和
图形的规律探索等. 【微点警示】 探求规律运用从特殊到一般的数学思想 方法寻找规律.一般需要经过观察、计算、猜想、验证 等手段来完成.
【核心突破】 【类型一】有关数的规律探索 【例1】(2019·咸宁中考)有一列数,按一定规律排列 成1,-2,4,-8,16,-32,…,其中某三个相邻数的积是412, 则这三个数的和是___-_3_8_4___.
初中数学专题探索规律(一)(含答案)
4.6.1 探索规律（一）想一想●怎样从几个简单的、个别的、特殊的情况出发去研究、探索、归纳出一般的规律和性质？怎样应用一般的规律和性质去解决特殊的问题？做一做1．观察规律，填数：（1）9，11，13，______…，第10个数是________；（2）11，17，27，_____，______，______…，使这列数从第三个数开始，•每个数都是前两个数的和减去1．2．观察右图，填空：由上而下，第n 行，白球有______个，黑球有_______，黑白球的数目共________个．3．给出算式：32-12=8=8*1，52-32=16=8*2，72-52=24=8*3，92-72=32=8*4，…观察上面一系列算式，你能发现什么规律？*表示哪种运算？用代数式表示这一规律．4．观察如图星阵后，推测：1+3=______；1+3+5=______；1+3+5+7=_______；1+3+5+7+9=______；…1+3+5+…+（2n-1）=_______．试一试5．探索规律：（1）计算并观察下列各组算式：88____,79____;⨯=⎧⎨⨯=⎩ 55______,46______;⨯=⎧⎨⨯=⎩ 1212______,1113______;⨯=⎧⎨⨯=⎩（2）已知25×25=625，那么24×26=_________；（3）你能举一个类似的例子吗？（4）从以上的过程中，你发现了什么规律？用语言叙述这个规律，并用代数式表示出来．答案:1．（1）15，27 （2）43，69，111 2．n，2n-1，3n-13．（2n+1）2-（2n-1）2=8n，*表示乘法 4．4；9；16；25；n2 5．（1）略（2）624 （3）略（4）（n-1）（n+1）=n2-1。
中考数学 专题一 规律探索与猜想复习1
专题一 规律探索与猜想
规律探索与猜想问题是指由几个具体结论通过类比、猜想、推理等一 系列的数学思维过程，来探求一般性结论的问题．在中考中主要包括 “数字规律探索”、“代数式规律探索”和“图形规律探索”及“坐 标规律探索”四种类型． 解决规律探索问题的策略是：通过对所给的一组(或一串)式子及结论进 行全面细致的观察、分析、比较，从中发现其变化规律，并由此猜想 出一般性的结论，然后再给出合理的证明或加以应用．
分析：由图可知：第1个图案中有5＋1＝6根小棒，第2个图案中有2×5 ＋1＝11根小棒，第3个图案中有3×5＋1＝16根小棒，…由此得出第n个 图案中有(5n＋1)根小棒．
坐标规律
【例3】(2015·成都)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对 角线A1C1，B1D1相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在 直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系，以B1D1为对角线作菱形 B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形 B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按 此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则 点An的坐标为___(_3_n－__1，__0_)__． 分析：由题意，点A1的坐标为(1，0)，点A2的坐标为(3，0)，即(32－1， 0), 点A3的坐标为(9，0)，即(33－1，0)，A4的坐标为(27，0)，即(34－1，0) ，…，∴点An的坐标为(3n－1，0)．
1000a＋100b＋10c＋d 11
＝
1000a＋100b＋10b＋a 11
＝
1001a＋110b 11＝Leabharlann 91a＋10b
专题一 规律探究问题
第2个图Y2=3
第3个图Y3=7
第4个图Y4=15
A.15×24
C.33×24
B.31×24
D.63×24
B )
2.(2022 临淄一模)如图所示,将形状、大小完全相同的“•”和线段按照一定规律摆成下列图形,第
1 幅图形中“•”的个数为 a1,第 2 幅图形中“•”的个数为 a2,第 3 幅图形中“•”的个数为 a 3,…,以此
2.(2021十堰)将从1开始的连续奇数按如图所示的规律排列,例如,位于第4行第3列的数为27,则位
于第32行第13列的数是( B )
A.2 025
B.2 023
C.2 021
D.2 019
3.(2022 淄川一模)观察下列等式:4-2=4÷2, -3= ÷3,- - =- ÷ .请你找出一个满足以上特征的两个
类推,则 + + +…+
A.
C.
B.
D.
的值为(
C )
3.(2022芝罘一模)如图所示,某果农将苹果树种在正方形的果园,为了保护苹果树不被风吹,他在苹
果树的周围种植针叶树,根据图中规律,该果农计划种植100棵苹果树,需要种植针叶树的棵数
A.18
B.19
C.20
D.21
A)
(1)等差数列是指从第二项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数的一种数列,这个常数叫做
等差数列的公差,公差常用字母d表示,例如:等差数列1,3,5,7,9,…,2n-1中,通项公式为a n =
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规律探索专题
一、通过数字探索规律
典例解析 例1、（2013•南宁）有这样一组数据a 1，a 2，a 3，…a n
，满足以下规律：，（n≥2且n 为正整数），
则2013a 的值为 （结果用数字表示）．
例2、(2013年黄石)在计数制中，通常我们使用的是“十进位制”，即“逢十进一”。
而计数
制方法很多，如60进位制：60秒化为1分，60分化为1小时；24进位制：
24小时化为1天；7进位制：7天化为1周等…而二进位制是计算机处理数
请将二进制数10101010（二）写成十进制数为 .
巩固训练1、一组按规律排列的式子：2a ，43a ，65a ,8
7a ,….则第n 个式子是________
2、观察下面的单项式：a ，22a -，34a ，48a -，…根据规律，第8个式子是 ．
3、（2013•滨州）观察下列各式的计算过程：5×5=0×1×100+25，15×15=1×2×100+25，
25×25=2×3×100+25，35×35=3×4×100+25，…
请猜测，第n 个算式（n 为正整数）应表示为 ．
4、（2013•莱芜）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个
数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为 ．
5、（2013泰安）观察下列等式：31=3，32=9，33=27，34=81，35=243，36=729，37=2187…
解答下列问题：3+32+33+34…+32013的末位数字是（ ）A ．0 B ．1 C ．3 D ．7
6、把奇数列成下表，根据表中数的排列规律，则上起第8行，左起第6列的数是 ．
二、通过图形探索规律
典例解析 例3、（2013•烟台）
将正方形图1作如下操作：第1次：分别连接各边中点如图2，得到5个正方形；第2次：将图2左上角正方形按上述方法再分割如图3，得到9个正方形…，以此类推，根据以上操作，若要得到2013个正方形，则需要操作的次数是（ ）
7、把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：（1），
（3，5，7），（9，11，13，15，17），（19，21，23，
25，27，29，31），…，现用等式A M =（i ，j ）表示正
奇数M 是第i 组第j 个数（从左往右数），
如A 7=（2，3），则A 2013=（ ）
A ．（45，77）
B ．（45，39）
C ．（32，46）
D ．（32，23）
例4、（2013•德州）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边
巩固训练8、(2013年武汉)两条直线最多有1个交点，三条直线最多有3个交点，
四条直线最多有6个交点，……，那么六条直线最多有（）
A．21
个交点 B．18个交点 C．15个交点 D．10个交点
9、（2013•资阳）从所给出的四个选项中，选出适当的一个填入问号所在位置，使之呈现相同的特征（）
10、（2013济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，
则平行四边形AO4C5B的面积为（）A．cm2B．cm2C．cm2D．cm2
11、（2013•呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1
个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火当堂检测：A层：(2013年南京)计算(1-
1
2
-
1
3
-
1
4
-
1
5
)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
+
1
6
)-(1-
1
2 -
1
3
-
1
4
-
1
5
-
1
6
)(
1
2
+
1
3
+
1
4
+
1
5
)的结果是。
B层：要把一个正方体分割成8个小正方体，至少需要切3刀，因为这8个小正方体都只有三个面现成的，其它三个面必须用刀切3次才能切出来，那么，要把一个正方体分割成27个小正方体，至少需要要刀切__________次，分割成64个小正方体，至少需要用刀切_________次。
C层：（2013聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）
B。