北师大版高二数学抛物线同步练习题

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北师大版高中数学选修2-1同步练习：17 抛物线的简单性质

课时分层作业(十七)(建议用时：60分钟)[基础达标练]一、选择题1．已知点A(－2,3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上,记C 的焦点为F,则直线AF 的斜率为( )A ．－43B ．－1C ．－34D ．－12 C [因为抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p 2,且点A(－2,3)在准线上,故－p 2＝－2,解得p ＝4,所以y 2＝8x,焦点F 的坐标为(2,0),直线AF 的斜率k AF ＝3－0－2－2＝－34.] 2．将两个顶点在抛物线y 2＝2px(p ＞0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角个数记为n,则( )A ．n ＝0B ．n ＝1C ．n ＝2D ．n ≥3 C [结合图像可知,过焦点的斜率为33和－33的直线与抛物线各有两个交点,所以能够构成两个正三角形．]3．已知抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F,点P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2),P 3(x 3,y 3)在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,则有 ( )A ．|P 1F|＋|P 2F|＝|FP 3|B ．|P 1F|2＋|P 2F|2＝|P 3F|2C ．2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|D ．|P 2F|2＝|P 1F|·|P 3F|C [∵点P 1,P 2,P 3在抛物线上,且2x 2＝x 1＋x 3,两边同时加上p,得2⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋p 2＝x 1＋p 2＋x 3＋p 2, 即2|P 2F|＝|P 1F|＋|P 3F|,故选C.]4．已知点A(2,0),抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F,射线FA 与抛物线C 相交于点M,与其准线相交于点N,则|FM|∶|MN|＝( )A ．2∶ 5B ．1∶2C ．1∶ 5D ．1∶3C [如图,直线MF 的方程为x 2＋y 1＝1, 即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α,则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF|＝|MQ|.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.] 5．如图,过抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点F 的直线交抛物线于点A,B,交其准线l 于点C,若|BC|＝2|BF|,且|AF|＝3,则此抛物线的方程为( )A ．y 2＝9xB ．y 2＝6xC ．y 2＝3xD ．y 2＝3xC [如图,分别过A,B 作AA 1⊥l 于点A 1,BB 1⊥l 于点B 1,由抛物线的定义知：|AF|＝|AA 1|,|BF|＝|BB 1|, ∵|BC|＝2|BF|,∴|BC|＝2|BB 1|,∴∠BCB 1＝30°,∴∠AFx ＝60°,连接A 1F,则△AA 1F 为等边三角形,过点F 作FF 1⊥AA 1于点F 1,则F 1为AA 1的中点,设l 交x 轴于点K,则|KF|＝|A 1F 1|＝12|AA 1|＝12|AF|,即p ＝32, ∴抛物线方程为y 2＝3x,故选C.]二、填空题6．顶点在原点,对称轴为y 轴且过(1,4)的抛物线方程是________．x 2＝14y [由题意知抛物线开口向上,设标准方程为x 2＝2py,∴1＝2p·4,∴2p ＝14,∴x 2＝14y.] 7．已知直线x －y ＋1＝0与抛物线y ＝ax 2相切,则a ＝________．－14 [由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝ax 2，消去y 得ax 2－x －1＝0, ∵直线与抛物线相切,∴a ≠0且Δ＝1＋4a ＝0.∴a ＝－14.] 8．已知直线l 过抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点且与抛物线相交,其中一交点为(2p,2p),则其焦点弦的长度为________．25p 8 [由题意知直线l 过⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0和(2p,2p), 所以l ：y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2. 联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫x －p 2，整理得8x 2－17px ＋2p 2＝0. 由根与系数的关系,得x 1＋x 2＝17p 8, 所以焦点弦的长度为x 1＋x 2＋p ＝25p 8.] 三、解答题9．已知顶点在原点,焦点在y 轴上的抛物线截直线x －2y －1＝0所得的弦长为15,求此抛物线的方程．[解] 设抛物线方程为x 2＝ay(a≠0),由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝ay ，x －2y －1＝0，消去y,得2x 2－ax ＋a ＝0. ∵直线与抛物线有两个交点,∴Δ＝(－a)2－4×2×a>0,即a<0或a>8.设两交点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1＋x 2＝a 2,x 1x 2＝a 2, ∴|AB|＝54（x 1－x 2）2＝54[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝145（a 2－8a ）.∵|AB|＝15,∴145（a 2－8a ）＝15, 即a 2－8a －48＝0,解得a ＝－4或a ＝12,∴所求抛物线的方程为x 2＝－4y 或x 2＝12y.10．在平面直角坐标系xOy 中,直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A,B 两点,OA →·OB →＝－4,求证：直线l 必过一定点．[证明] 设l ：x ＝ty ＋b,代入抛物线y 2＝4x,消去x 得y 2－4ty －4b ＝0,设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1＋y 2＝4t,y 1y 2＝－4b.又∵OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b)(ty 2＋b)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋bt(y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b,又∵OA →·OB →＝－4,∴b 2－4b ＝－4,解得b ＝2,故直线过定点(2,0)．[能力提升练]1．抛物线y ＝4x 2上一点到直线y ＝4x －5的距离最短,则该点坐标为( )A ．(1,2)B ．(0,0)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(1,4)C [因为y ＝4x 2与y ＝4x －5不相交,设与y ＝4x －5平行的直线方程为y ＝4x ＋m. 则⎩⎪⎨⎪⎧y ＝4x 2，y ＝4x ＋m ，⇒4x 2－4x －m ＝0. ①设此直线与抛物线相切,此时有Δ＝0,即Δ＝16＋16m ＝0,∴m ＝－1.将m ＝－1代入①式,x ＝12,y ＝1, 故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.] 2．设F 为抛物线y 2＝4x 的焦点,A,B,C 为该抛物线上三点,若FA →＋FB →＋FC →＝0,则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．9B ．6C ．4D ．3B [设A(x A ,y A ),B(x B ,y B ),C(xC ,y C ),由FA →＋FB →＋FC →＝0,得x A ＋x B ＋x C ＝3.∴|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋32p ＝3＋32×2＝6.] 3．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F,准线与x 轴的交点为K,点A 在抛物线C 上,且|AK|＝2|AF|,则△AFK 的面积为________．8 [易知F(2,0),K(－2,0),过点A 作AM 垂直准线于点M,则|AM|＝|AF|,∴|AK|＝2|AM|,∴△AMK 为等腰直角三角形．设A(m 2,22m)(m>0),则S △AFK ＝4×22m×12＝42m. 又由|AK|＝2|AM|,得(m 2＋2)2＋8m 2＝2(m 2＋2)2,解得m ＝2,∴△AFK 的面积S ＝42m ＝8.]4．已知定点A(－3,0),B(3,0),动点P 在抛物线y 2＝2x 上移动,则PA →·PB →的最小值等于________．－9 [设P(x 0,y 0),则y 20＝2x 0,x 0≥0,∴PA →·PB →＝(－3－x 0,－y 0)·(3－x 0,－y 0)＝x 20＋y 20－9＝x 20＋2x 0－9,当x 0＝0时,PA →·PB →min ＝－9.]5．抛物线y 2＝2px(p>0)上有两动点A,B 及一个定点M,F 为抛物线的焦点,若|AF|,|MF|,|BF|成等差数列．(1)求证：线段AB 的垂直平分线过定点Q ；(2)若|MF|＝4,|OQ|＝6(O 为坐标原点),求抛物线的方程．[解] (1)证明：设点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),M(x 0,y 0),则|AF|＝x 1＋p 2,|BF|＝x 2＋p 2,|MF|＝x 0＋p 2,x 0为已知值．由题意得x 0＝x 1＋x 22,∴线段AB 的中点坐标可设为(x 0,t), 其中t ＝y 1＋y 22≠0(否则|AF|＝|MF|＝|BF|⇒p ＝0)．而k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝y 1－y 212p（y 21－y 22）＝2p y 1＋y 2＝p t , 故线段AB 的垂直平分线的方程为y －t ＝－t p(x －x 0), 即t(x －x 0－p)＋yp ＝0,可知线段AB 的垂直平分线过定点Q(x 0＋p,0)．(2)由(1)知|MF|＝4,|OQ|＝6,得x 0＋p 2＝4,x 0＋p ＝6,联立解得p ＝4,x 0＝2.∴抛物线方程为y 2＝8x.。

高中数学第3章抛物线及其标准方程同步练习北师大版选修21

抛物线及其标准方程同步练习【选择题】1．点P 到点F(4, 0)的距离比它到直线l: x=－6的距离小2，则点P 的轨迹方程是（A ）y2=61x （B）y2=34x （C ）y2=16x （D ）y2=4x2．抛物线上的点(－5, 25)到焦点F(m, 0)的距离是6，则抛物线的标准方程是（A ）y2=－2x, y2=－18x （B ）y2=－4x, y2=6x（C ）y2=－4x （D ）y2=－18x, y2=－36x3．在抛物线y2=8x 上有一点P ，它到焦点的距离是20，则点P 的坐标是（A ）(18, 12) （B ）(18, －12)（C ）(18, 12)或(18, －12) （D ）(12, 18)或(12, －18)4．抛物线y2=2px (p>0)上一点M 到焦点的距离是a(a>2p)，则点M 的横坐标是（A ）a+2p （B ）a －2p（C ）a+p （D ）a －p5．如图所示，方程x=ay2与y=ax+b2(ab ≠0)的图象只能是（A ）（B ）（C ）（D ） 6．抛物线y2=41x 关于x －y=0对称的抛物线的焦点坐标是（A ）(0, 116) （B ）(0, －116) （C ）(116, 0) （D ）(－116, 0)7．经过点P(4, －2)的抛物线的标准方程是（A ）y2=x 或x2=y （B ）y2=－x 或x2=8y（C ）x2=－8y 或y2=x （D ）x2=－8y 或y2=－x8．平面上动点P 到定点F(1, 0)的距离比到y 轴的距离大1，则动点P 的轨迹方程是（A ）y2=2x （B ）y2=4x （C ）y2=2x 和y=0(x ≤0) （D ）y2=4x 和y=0(x ≤0)9．探照灯的反光镜的纵断面是抛物线的一部分，光源在抛物线的焦点处，已知灯口直径是60cm ，灯深40cm ，则光源到反光镜顶点的距离是（A ）11.25cm （B ）5.625cm （C ）20cm （D ）10cm10．抛物线y=ax2(a<0)的焦点坐标是（A ）(21a, 0) （B ）(0, 21a) （C ）(0, 14a ) （D ）(0,－14a )【填空题】11．抛物线方程是y2=2px(p>0)，点(－2, 3)到其焦点的距离是5，则p= .12．已知A(0, 4)，P 是抛物线y=x2+1上任意一点，则|PA|的最小值是 .13．抛物线型拱桥，当水面离拱顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m 后，则水面宽是 .14．动圆M 过点F(0, 2)与直线y=－2相切，则动圆圆心的轨迹方程是 .15．抛物线y2=2x 上两点A, B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点的横坐标是 .16．以y 轴为对称轴，焦参数p=21的抛物线的标准方程是 .17．有一个正三角形，它的两个顶点在抛物线y2=－4x 上，另一个顶点在原点，则此正三角形的面积是 .【解答题】18．求满足下列条件的抛物线的标准方程：（1）过点(－3, 2)；（2）焦点在直线x －2y －4=0上.19．若抛物线y2=－2px(p>0)上有一点M ，且M 的横坐标为－9，它到焦点的距离是10，求抛物线方程和M 点的坐标。

北师大版高中数学选修2-1《抛物线》同步测试题

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）《抛物线》同步测试题1、根据下列条件，写出抛物线的标准方程（1）焦点是F （3，0）；（2）准线方程是 x = 41-；（3）准线是2=x（4）焦点到准线的距离是2（5）过点A （-3，2）（6）顶点在原点，焦点是（0，—2）（7）焦点在直线3x-4y+12=0上2、写出下列抛物线的焦点坐标和准线方程 x y 12)1(2=，212)2(x y =（3） 281x y -= （4）22x y =（5）抛物线)0(42<=a ax y3、抛物线y 2=24ax(a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，抛物线方程为4、已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为5、抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是6、抛物线y x 42=上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为7、如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为8、已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切，则p 的值为9、已知点P 在抛物线24y x =上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为10、若点P 到直线x=-1的距离比它到点(2,0)的距离小1，则点P 的轨迹为11、x y 122=上与焦点的距离等于9的点为 12、一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为13、在抛物线x y 22=上求一点P, 使P 到焦点F 与到点 A ( 3,2 )的距离之和最小值 . .14、已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为15、过抛物线x y 42=的焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点，则BFAF 11+＝ 16、抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于17、过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于,A B 两点，若||3AF =，则||BF =18、已知直线y x b =+与抛物线22x y =交于两点，为坐标原点，且OA OB ^，则b = 19、已知直线)0)(2(>+=k x k y 与抛物线C:x y 82=相交A 、B 两点，F 为C 的焦点.若FB FA 2=，则=k20、抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是21、已知F 是抛物线24C y x =：的焦点，A B ，是C 上的两个点，线段AB 的中点为(22)M ，，则ABF △的面积等于．22、抛物线C 的顶点在原点，关于x 轴对称，且经过点)2,1(-M .（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）斜率为1-的直线经过抛物线C 的焦点F ，与抛物线相交于A 、B 两点，求线段AB 的长.。

高中数学 2.2抛物线(二)同步练习(含解析)北师大版选修1-1

§2 抛物线(二)课时目标 1.了解抛物线的几何图形，知道抛物线的简单几何性质，学会利用抛物线方程研究抛物线的几何性质的方法.2.了解抛物线的简单应用．1．抛物线的简单几何性质设抛物线的标准方程为y 2＝2px(p>0) (1)范围：抛物线上的点(x ，y)的横坐标x 的取值范围是________，抛物线在y 轴的______侧，当x 的值增大时，|y|也________，抛物线向右上方和右下方无限延伸． (2)对称性：抛物线关于________对称，抛物线的对称轴叫作________________． (3)顶点：抛物线和它的轴的交点叫作抛物线的____________．抛物线的顶点为_______． (4)离心率：抛物线上的点到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫作抛物线的____，用e 表示，其值为______．(5)抛物线的焦点到其准线的距离为______，这就是p 的几何意义，顶点到准线的距离为p2，焦点到顶点的距离为________． 2．直线与抛物线的位置关系直线y ＝kx ＋b 与抛物线y 2＝2px(p>0)的交点个数决定于关于x 的方程________的解的个数．当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有______个不同的公共点；当Δ＝0时，直线与抛物线有______个公共点；当Δ<0时，直线与抛物线________公共点．当k ＝0时，直线与抛物线的轴______________，此时直线与抛物线有______个公共点． 3．抛物线的焦点弦设抛物线y 2＝2px(p>0)，AB 为过焦点的一条弦，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x 0，y 0)，则有以下结论．(1)以AB 为直径的圆与准线相切．(2)|AB|＝2(x 0＋p2)(焦点弦长与中点坐标的关系)．(3)|AB|＝x 1＋x 2＋p.(4)A 、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x 1x 2＝p 24，y 1y 2＝－p 2.一、选择题1．顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线过点(－2,3)，它的方程是( )A ．x 2＝－92y 或y 2＝43xB ．y 2＝－92x 或x 2＝43yC ．y 2＝－92xD ．x 2＝43y2．若抛物线y 2＝2px (p>0)上三个点的纵坐标的平方成等差数列，那么这三个点到抛物线焦点F 的距离的关系是( ) A ．成等差数列B ．既成等差数列又成等比数列C ．成等比数列D ．既不成等比数列也不成等差数列3．已知点P 是抛物线y 2＝2x 上的一个动点，则点P 到点(0,2)的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )A .172B ．3C . 5D .924．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax(a≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( ) A ．y 2＝±4x B ．y 2＝±8x C ．y 2＝4x D ．y 2＝8x5．设直线l 1：y ＝2x ，直线l 2经过点P(2,1)，抛物线C ：y 2＝4x ，已知l 1、l 2与C 共有三个交点，则满足条件的直线l 2的条数为( )A ．1B ．2C ．3D ．46．过抛物线y 2＝ax (a>0)的焦点F 作一直线交抛物线于P 、Q 两点，若PF 与FQ 的长分别为p 、q ，则1p ＋1q等于( )A ．2aB .12aC ．4aD .4a二、填空题7．已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，直线y ＝x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若P(2，2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．8．已知F 是抛物线C ：y 2＝4x 的焦点，A 、B 是抛物线C 上的两个点，线段AB 的中点为M(2,2)，则△ABF 的面积等于________．9．过抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点F 作倾斜角为30°的直线，与抛物线分别交于A 、B两点(点A 在y 轴的左侧)，则|AF||FB|＝________.三、解答题10．设抛物线y ＝mx 2(m≠0)的准线与直线y ＝1的距离为3，求抛物线的标准方程．11．过点Q(4,1)作抛物线y 2＝8x 的弦AB ，恰被Q 所平分，求AB 所在的直线方程．能力提升12．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－3，那么|PF|等于( )A．4 3 B．8 C．8 3 D．1613.已知直线l经过抛物线y2＝4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)若|AF|＝4，求点A的坐标；(2)求线段AB的长的最小值．1．抛物线上一点与焦点的距离问题，可转化为该点到准线的距离．2．直线与抛物线的位置关系，可利用直线方程与抛物线方程联立而成的方程组的解来判定；“中点弦”问题也可使用“点差法”．§2 抛物线(二)知识梳理1．(1)x≥0 右增 (2)x 轴抛物线的轴(3)顶点坐标原点 (4)离心率 1 (5)p p22．k 2x 2＋2(kb －p)x ＋b 2＝0 两一没有平行或重合一作业设计 1．B 2．A 3．A如图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线x ＝－12的距离d 等于点P 到焦点的距离|PF|.因此点P 到点(0,2)的距离与点P 到准线的距离之和可转化为点P 到点(0,2)的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点M(0,2)到点F ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0的距离，则距离之和的最小值为4＋14＝172.]4．B 5．C 6．D7．y 2＝4x 解析设抛物线方程为y 2＝ax.将y ＝x 代入y 2＝ax ，得x ＝0或x ＝a ，∴a 2＝2.∴a＝4.∴抛物线方程为y 2＝4x. 8．2解析设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则y 21＝4x 1，y 22＝4x 2.∴(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)．∵x 1≠x 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝1.∴直线AB 的方程为y －2＝x －2，即y ＝x.将其代入y 2＝4x ，得A(0,0)、B(4,4)．∴|AB|＝4 2.又F(1,0)到y ＝x 的距离为22，∴S △ABF ＝12×22×42＝2.9.13解析抛物线x 2＝2py (p>0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则直线AB 的方程为y ＝33x ＋p 2，由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝2py ，y ＝33x ＋p2，消去x ，得12y 2－20py ＋3p 2＝0，解得y 1＝p 6，y 2＝3p 2.由题意可设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由抛物线的定义，可知|AF||FB|＝y 1＋p 2y 2＋p 2＝p 6＋p 23p 2＋p 2＝13.10．解由y ＝mx 2 (m≠0)可化为x 2＝1my ，其准线方程为y ＝－14m.由题意知－14m ＝－2或－14m ＝4，解得m ＝18或m ＝－116.则所求抛物线的标准方程为x 2＝8y 或x 2＝－16y. 11．解方法一设以Q 为中点的弦AB 端点坐标为A(x 1，y 1)、B(x 2，y 2)，则有y 21＝8x 1，① y 22＝8x 2，②∵Q(4,1)是AB 的中点， ∴x 1＋x 2＝8，y 1＋y 2＝2.③①－②，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝8(x 1－x 2)．④ 将③代入④得y 1－y 2＝4(x 1－x 2)，即4＝y 1－y 2x 1－x 2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为y －1＝4(x －4)，即4x －y －15＝0. 方法二设弦AB 所在直线方程为y ＝k(x －4)＋1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝8x ，y ＝－＋1，消去x ，得ky 2－8y －32k ＋8＝0，此方程的两根就是线段端点A 、B 两点的纵坐标，由根与系数的关系和中点坐标公式，得y 1＋y 2＝8k，又y 1＋y 2＝2，∴k＝4.∴所求弦AB 所在的直线方程为4x －y －15＝0. 12.B13．解由y 2＝4x ，得p ＝2，其准线方程为x ＝－1，焦点F(1,0)．设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)．分别过A 、B 作准线的垂线，垂足为A′、B′.(1)由抛物线的定义可知，|AF|＝x 1＋p2，从而x 1＝4－1＝3.代入y 2＝4x ，解得y 1＝±2 3. ∴点A 的坐标为(3,23)或(3，－23)． (2)当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k(x －1)．与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－y 2＝4x，消去y ，整理得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0，因为直线与抛物线相交于A 、B 两点，则k≠0，并设其两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝2＋4k2.由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4＋4k2>4.当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x ＝1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1，－2)，此时|AB|＝4，所以，|AB|≥4，即线段AB 的长的最小值为4.。

高中数学 321抛物线及其标准方程同步练习北师大版选修21.doc

2. 4. 1《抛物线及其标准方程》同步练习一、选择题1.抛物线尸一2#的焦点坐标是（A.（—ojB. （-1,0）2.抛物线y=8x的焦点到双曲线吉—寸'=1的渐近线的距离为（）A. 1B. A/3C.~^~D.v 3 b3.边长为1的正三角形/仞，0为坐标原点，AB_Lx轴，以。

为顶点且过/、於两点的抛物线方程是（）A 2 p 2 r 2 I n 2 |A. y=^~xB. y = —^~xC. y = ±-^~xD. y = 士电p4.已知点於（1,0）,直线厶—1,点於是/上的动点，过点〃垂直于y轴的直线与线段別的垂直平分线交于点P,则点户的轨迹是（）A.抛物线B.椭圆C.双曲线的一支D.直线5.设°H O,QW R,则抛物线y=4a/的焦点坐标为（）A. @,0）B. （0,a）C.（0,丄）D.随E的符号而定16a6.顶点在原点，准线为尸2的抛物线方程为（D）A. y=SxB. y-SxC. x-SyD. /= —8y1 ,7.已知P为抛物线『=—/上的任意一点，F为抛物线的焦点，点A坐标为（1, 1）,4则I PF I + I PA I的最小值为（）A. —B. 2C. V2+1D. V2-116二、填空题&已知抛物线#=4x过点P（4, 0）的直线与抛物线相交于£ （xi,必）』（血北）两点，则Zl2 +J22的最小值是______ •9.已知抛物线Ci：产2#与抛物线Q关于直线尸-x对称，则G的准线方程是____________ .10.抛物线y = -x±的点到直线3卄4尸一8=0的距离的最小值为____________ .三、解答题11.抛物线的焦点尸在x轴上，直线y=-3与抛物线相交于点|AF| = 5，求抛物线的标准方程.参考答案1.D【解析】抛物线的标准方程为/=—|y, p=|,所以焦点坐标为［o, —£故选D.2.A【解析】抛物线y=8x的焦点F(2, 0)到双曲线^=1的渐近线y=±¥x的距离〃=1.故选A.、/5 13.C【解析】设ABLx轴于点〃，贝i\OD\=l• cos30° =专，|初=1 • sin30。

[推荐学习]高中数学第三章第2节抛物线同步练习理北师大版选修2-1

高二数学北师大版（理）选修2-1 第三章第2节抛物线同步练习（答题时间：100分钟）一、选择题：（共5小题，每题6分，计30分）1、经过点P （－2，－4）的抛物线的标准方程是（）A. y x -=2B. x y 82-=C. x y y x 822-=-=或D. x y x y 822-=-=或2、抛物线)0(,2<=a ax y 的焦点坐标是（） A. )0,41(a B. （)0,4a C. （)0,4a - D.（0，)4a 3、到直线x=2的距离与定点P （0，2）距离相等的点的轨迹是（）A. 抛物线B. 双曲线C. 椭圆D. 直线*4、设F 是抛物线x y 42=的焦点，A ，B ，C 是抛物线上三个点，若0=++FC FB FA ，则(||||||=++FC FB FA ）A. 9B. 6C. 4D. 3*5、若A （3，2）， F 为抛物线x y 22=的焦点，P 点在抛物线上移动，当|PA|+|PF|取得最小值时P 点坐标是（）A. （3，3）B.（2，2）C.（)1,21 D.（0，0） **6、若抛物线231x y =上的两点A ，B 的横坐标恰是方程02=++q px x 两根，（p ，q 为实常数），则AB 的直线方程是（）A. qx+3y+p=0B. qx －3y+p=0C. px+3y+q=0D. px －3y+q=0二、填空题：（每小题5分，计30分）**7、过抛物线py x 22=（p>0）的焦点F 作倾斜角为θ的弦，则弦长是。

8、抛物线2x y =的准线方程是。

*9、抛物线y x 22=上离点A （0，a ）最近的点恰好是顶点，则a 的取值范围是。

10、在平面直角坐标系中，有一定点A （4，2），若线段OA 的垂直平分线过抛物线)0p (px 2y 2>=的焦点，则该抛物线的准线方程是。

*11、已知P （x ，y ）满足：|1243|)2()1(522++=-+-y x y x ，则点P 的轨迹是。

高中数学北师大版高二选修2-1练习：第三章2.2抛物线的简单性质(一)1含解析

[基础达标]1.顶点在原点，关于y 轴对称，并且经过点M (－4，5)的抛物线方程为( ) A ．y 2＝165xB ．y 2＝－165xC ．x 2＝165yD ．x 2＝－165y解析：选C.由题设知，抛物线开口向上，设方程为x 2＝2py (p >0)，将(－4，5)代入得p ＝85，所以，抛物线方程为x 2＝165y .2.已知点(x ，y )在抛物线y 2＝4x 上，则z ＝x 2＋12y 2＋3的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．0解析：选B.z ＝x 2＋12×4x ＋3＝(x ＋1)2＋2，∵x ≥0，∴x ＝0时，z 有最小值，z min ＝3.3.设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据已知只要|FM |>4即可，根据抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．4.若抛物线x 2＝2y 上距离点A (0，a )的最近点恰好是抛物线的顶点，则a 的取值范围是( ) A ．a >0 B ．0<a ≤1 C ．a ≤1D ．a ≤0解析：选C.设抛物线上任一点P 的坐标为(x ，y )，则|P A |2＝d 2＝x 2＋(y －a )2＝2y ＋(y －a )2 ＝y 2－(2a －2)y ＋a 2 ＝[y －(a －1)]2＋(2a －1)． ∵y ∈[0，＋∞)，根据题意知，(1)当a －1≤0，即a ≤1，y ＝0时，d 2min ＝a 2.这时d min ＝|a |.(2)当a －1>0，即a >1时，y ＝a －1时d 2取到最小值，不符合题意．综上可知a ≤1.5.已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0，则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)， ∵P A ⊥PQ ， ∴P A →·PQ →＝0.∴－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0，即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0， ∴x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2.∴x ≥2－1＝1；当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，∴x ≤－2－1＝－3，故Q 横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6.已知抛物线顶点为坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上的点M (m ，－2)到焦点的距离为4，则m ＝________．解析：由已知，可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)．由抛物线定义有2＋p2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y .将(m ，－2)代入上式，得m 2＝16.∴m ＝±4.答案：±47.已知直线y ＝k (x －2)，(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2）y 2＝8x，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0， ∴x 1x 2＝4. ① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |， ∴x 1＝3x 2＋4， ② 由①②解得x 2＝23，∴B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 38.已知抛物线y 2＝4x ，过点P (4，0)的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则y 21＋y 22的最小值是________．解析：若k 不存在，则y 21＋y 22＝32.若k 存在，设直线AB 的斜率为k ，当k ＝0时，直线AB 的方程为y＝0，不合题意，故k ≠0.由题意设直线AB 的方程为y ＝k (x －4)(k ≠0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －4），y 2＝4x ，得ky 2－4y －16k ＝0，∴y 1＋y 2＝4k，y 1y 2＝－16.∴y 21＋y 22＝(y 1＋y 2)2－2y 1y 2＝⎝⎛⎭⎫4k 2＋32>32.∴y 21＋y 22的最小值为32.答案：329.抛物线的顶点在原点，以x 轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线被抛物线截得的弦长为8，试求抛物线的方程．解：如图，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点为F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，所以直线方程为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －p 2.设直线交抛物线于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则根据抛物线的定义，得|AB |＝|AF |＋|BF |＝|AC |＋|BD |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2，即x 1＋x 2＋p ＝8. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋p 2，y 2＝2px ，消去y ，得x 2－3px ＋p 24＝0，∴x 1＋x 2＝3p ，∴3p ＋p ＝8，即p ＝2.∴所求抛物线的方程为y 2＝4x .当抛物线方程设为y 2＝－2px (p >0)时，同理可以求得抛物线的方程为y 2＝－4x . 综上，抛物线的方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .10.设点P (x ，y )(y ≥0)为平面直角坐标系xOy 中的一个动点(其中O 为坐标原点)，点P 到定点M (0，12)的距离比点P 到x 轴的距离大12.(1)求点P 的轨迹方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋1与点P 的轨迹相交于A ，B 两点，且|AB |＝26，求k 的值．解：(1)由题意知，动点P 到定点M 的距离等于它到直线x ＝－12的距离，根据抛物线的定义，得动点P的轨迹是抛物线，其中p 2＝12，则2p ＝2，故动点P 的轨迹方程为x 2＝2y .(2)将直线的方程代入抛物线方程并整理，得x 2－2kx －2＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k ，x 1x 2＝－2，|AB |＝（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]＝（1＋k 2）[（2k ）2＋8]＝26，解之得k ＝±1.[能力提升]1.设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线l 过F 且与C 交于A ，B 两点．若|AF |＝3|BF |，则l 的方程为( ) A ．y ＝x －1或y ＝－x ＋1 B ．y ＝33(x －1)或y ＝－33(x －1) C ．y ＝3(x －1)或y ＝－3(x －1) D ．y ＝22(x －1)或y ＝－22(x －1) 解析：选C.法一：如图所示，作出抛物线的准线l1及点A ，B 到准线的垂线段AA 1，BB 1，并设直线l 交准线于点M .设|BF |＝m ，由抛物线的定义可知|BB 1|＝m ，|AA 1|＝|AF |＝3m .由BB 1∥AA 1可知|BB 1||AA 1|＝|MB ||MA |，即m 3m ＝|MB ||MB |＋4m ，所以|MB |＝2m ，则|MA |＝6m .故∠AMA 1＝30°，得∠AFx ＝∠MAA 1＝60°，结合选项可知答案．法二：由|AF |＝3|BF |可知AF →＝3FB →，易知F (1，0)，设A (x A ，y A )，B (x 0，y 0)，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x A ＝3（x 0－1）－y A ＝3y 0，从而可解得A 的坐标为(4－3x 0，－3y 0)．因为点A ，B 都在抛物线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧y 20＝4x 0（－3y 0）2＝4（4－3x 0），解得x 0＝13，y 0＝±23，所以k l ＝y 0－0x 0－1＝±3.法三：结合焦点弦公式|AB |＝2p sin 2θ及1|F A |＋1|FB |＝2p 进行求解．设直线AB 的倾斜角为θ，由题意知p ＝2，F (1，0)，|AF ||BF |＝3.又1|F A |＋1|FB |＝2p ，∴13|BF |＋1|BF |＝1，∴|BF |＝43，|AF |＝4，∴|AB |＝163.又由抛物线焦点弦公式：|AB |＝2psin 2θ，∴163＝4sin 2θ，∴sin 2θ＝34，∴sin θ＝32，∴k ＝tan θ＝± 3.故选C. 2.抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝120°.过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则|MN ||AB |的最大值为________．解析：由余弦定理，得AB 2＝AF 2＋BF 2－2|AF |·|BF |cos 120°＝AF 2＋BF 2＋|AF |·|BF |，过A ，B 作AA ′，BB ′垂直于准线，则|MN |＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|F A |＋|FB |)，∴|MN ||AB |＝|F A |＋|FB |2|AB | ＝|F A |＋|FB |2AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |＝12AF 2＋BF 2＋|F A |·|FB |（|AF |＋|BF |）2＝12（AF ＋BF ）2－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2＝121－|AF |·|BF |（|AF |＋|BF |）2≤121－（|AF |＋|BF |2）2（|AF |＋|BF |）2＝33. 答案：333.已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)． ∵点P (1，2)在抛物线上，∴22＝2p ×1，解得p ＝2. ∴所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB .则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1，∵P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，∴k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②∴y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，∴y 1＋2＝－(y 2＋2)，∴y 1＋y 2＝－4. 由①－②得直线AB 的斜率为－1.4．抛物线C 的方程为y ＝ax 2(a <0)，过抛物线C 上一点P (x 0，y 0)(x 0≠0)作斜率为k 1，k 2的两条直线分别交抛物线C 于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点(P ，A ，B 三点互不相同)，且满足k 2＋λk 1＝0(λ≠0且λ≠－1)．(1)求抛物线C 的焦点坐标和准线方程；(2)设直线AB 上一点M ，满足BM →＝λMA →，证明线段PM 的中点在y 轴上；(3)当λ＝1时，若点P 的坐标为(1，－1)，求∠P AB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围．解：(1)由抛物线C 的方程y ＝ax 2(a <0)得，焦点坐标为(0,14a )，准线方程为y ＝－14a. (2)证明：设直线P A 的方程为y －y 0＝k 1(x －x 0)，直线PB 的方程为y －y 0＝k 2(x －x 0)．点P (x 0，y 0)和点A (x 1，y 1)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 1（x －x 0）①y ＝ax 2②的解．将②式代入①式得ax 2－k 1x ＋k 1x 0－y 0＝0，于是x 1＋x 0＝k 1a ，故x 1＝k 1a－x 0，③又点P (x 0，y 0)和点B (x 2，y 2)的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0＝k 2（x －x 0）④y ＝ax 2⑤的解．将⑤式代入④式得ax 2－k 2x ＋k 2x 0－y 0＝0.于是x 2＋x 0＝k 2a ，故x 2＝k 2a －x 0.由已知得，k 2＝－λk 1，则x 2＝－λak 1－x 0.⑥设点M 的坐标为(x M ，y M )，由BM →＝λMA →，则x M ＝x 2＋λx 11＋λ.将③式和⑥式代入上式得x M ＝－x 0－λx 01＋λ＝－x 0，即x M ＋x 0＝0.所以线段PM 的中点在y 轴上． (3)因为点P (1，－1)在抛物线y ＝ax 2上，所以a ＝－1，抛物线方程为y ＝－x 2. 由③式知x 1＝－k 1－1，代入y ＝－x 2得y 1＝－(k 1＋1)2. 将λ＝1代入⑥式得x 2＝k 1－1，代入y ＝－x 2得y 2＝－(k 1－1)2.因此，直线P A 、PB 分别与抛物线C 的交点A 、B 的坐标为A (－k 1－1，－k 21－2k 1－1)，B (k 1－1，－k 21＋2k 1－1)．于是AP →＝(k 1＋2，k 21＋2k 1)，AB →＝(2k 1，4k 1)，AP →·AB →＝2k 1(k 1＋2)＋4k 1(k 21＋2k 1)＝2k 1(k 1＋2)·(2k 1＋1)．因∠P AB 为钝角且P 、A 、B 三点互不相同，故必有AP →·AB →<0.求得k 1的取值范围是k 1<－2或－12<k 1<0.又点A 的纵坐标y 1满足y 1＝－(k 1＋1)2，故当k 1<－2时，y 1<－1；当－12<k 1<0时，－1<y 1<－14.即y 1∈(－∞，－1)∪(－1，－14)．。

北师大版高中数学选修抛物线同步练习(3)

抛物线当堂练习：1．抛物线22x y =的焦点坐标是（） A ．)0,1( B ．)0,41(C ．)81,0( D ． )41,0(2．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y 轴上，其上的点)3,(-m P 到焦点的距离为5，则抛物线方程为（）A ．y x 82=B ．y x 42=C ．y x 42-=D ．y x 82-=3．抛物线x y 122=截直线12+=x y 所得弦长等于（）A ．15B ．152C ．215D ．154．顶点在原点，坐标轴为对称轴的抛物线过点(－2,3)，则它的方程是（）A ．y x 292-=或x y 342=B ．x y 292-=或y x 342= C ．y x 342=D ．x y 292-= 5．点)0,1(P 到曲线⎩⎨⎧==ty t x 22（其中参数R t ∈）上的点的最短距离为（）A ．0B ．1C ．2D ．26．抛物线)0(22>=p px y 上有),,(),,(2211y x B y x A ),(33y x C 三点，F 是它的焦点，若CF BF AF ,, 成等差数列，则（）A ．321,,x x x 成等差数列B ．231,,x x x 成等差数列C ．321,,y y y 成等差数列D ．231,,y y y 成等差数列 7．若点A 的坐标为（3，2），F 为抛物线x y 22=的焦点，点P 是抛物线上的一动点，则PFPA +取得最小值时点P 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（1，1）C ．（2，2）D ．)1,21(8．已知抛物线)0(22>=p px y 的焦点弦AB 的两端点为),(11y x A ,),(22y x B ,则关系式 2121x x y y 的值一定等于（） A ．4p B ．－4p C ．p 2D ．－p9．过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是q p ,，则qp11+（）A ．a 2B ．a21C ．a 4D ．a410．若AB 为抛物线y 2=2p x (p>0)的动弦，且|AB|=a (a >2p)，则AB 的中点M 到y 轴的最近距离是（） A ．21a B ．21p C ．21a ＋21p D ．21a －21p11．抛物线x y =2上到其准线和顶点距离相等的点的坐标为 ______________． 12．已知圆07622=--+x y x ，与抛物线)0(22>=p px y 的准线相切，则=p ___________．13．如果过两点)0,(a A 和),0(a B 的直线与抛物线322--=x x y 没有交点，那么实数a的取值范围是．14．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件；（1）焦点在y 轴上；（2）焦点在x 轴上；（3）抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；（4）抛物线的通径的长为5；（5）由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2，1）．其中适合抛物线y 2=10x 的条件是(要求填写合适条件的序号） ______． 15．已知点A （2，8），B （x 1，y 1），C （x 2，y 2）在抛物线px y 22=上，△ABC 的重心与此抛物线的焦点F 重合（如图）（1）写出该抛物线的方程和焦点F 的坐标；（2）求线段BC 中点M 的坐标；（3）求BC 所在直线的方程.16．已知抛物线y=ax 2－1上恒有关于直线x +y=0对称的相异两点，求a 的取值范围.17．抛物线x 2=4y 的焦点为F ，过点(0，－1)作直线L 交抛物线A 、B 两点，再以AF 、BF 为邻边作平行四边形FARB ，试求动点R 的轨迹方程.18．已知抛物线C ：2742++=x x y ，过C 上一点M ，且与M 处的切线垂直的直线称为C 在点M 的法线．（1）若C 在点M 的法线的斜率为21-，求点M 的坐标（x 0，y 0）；（2）设P （－2，a ）为C 对称轴上的一点，在C 上是否存在点，使得C 在该点的法线通过点P ？若有，求出这些点，以及C 在这些点的法线方程；若没有，请说明理由.抛物线当堂练习：1.C;2.D;3.A;4.B;5.B;6.A;7.C;8.B;9.C; 10.D; 11. )42,81(±; 12. 2; 13.)413,(--∞;14. （2），（5）; 15．[解析]：（1）由点A （2，8）在抛物线px y 22=上，有2282⋅=p ，解得p=16. 所以抛物线方程为x y 322=，焦点F 的坐标为（8，0）.（2）如图，由于F （8，0）是△ABC 的重心，M 是BC 的中点，所以F 是线段AM 的定比分点，且2=FMAF，设点M 的坐标为),(00y x ，则02128,8212200=++=++y x ，解得4,1100-==y x ，所以点M 的坐标为（11，－4）．（3）由于线段BC 的中点M 不在x 轴上，所以BC 所在的直线不垂直于x 轴.设BC 所在直线的方程为：).0)(11(4≠-=+k x k y由⎩⎨⎧=-=+xy x k y 32),11(42消x 得0)411(32322=+--k y ky ，所以ky y 3221=+，由（2）的结论得4221-=+y y ，解得.4-=k 因此BC 所在直线的方程为：.0404=-+y x16．[解析]：设在抛物线y=ax 2－1上关于直线x +y=0对称的相异两点为P(x ,y),Q(－y,－x )，则⎪⎩⎪⎨⎧-=--=1122ay x ax y ②①，由①－②得x +y=a (x +y)(x －y),∵P、Q 为相异两点，∴x +y≠0，又a ≠0，∴a1y ,1-==-x a y x 即，代入②得a 2x 2－ax －a +1=0，其判别式△=a 2－4a 2(1－a )＞0，解得43>a ． 17．[解析]：设R(x ,y),∵F(0,1), ∴平行四边形FARB 的中心为)21,2(+y x C ，L:y=k x －1,代入抛物线方程得x 2－4k x +4=0, 设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),则x 1+x 2=4k,x 1x 2=4，且△=16k 2－16＞0，即|k|＞1 ①，2442)(4221221222121-=-+=+=+∴k x x x x x x y y ，∵C 为AB 的中点.∴ 1222122222222-=+=+=+=k y y y k x x x⇒3442-==k y k x ，消去k 得x 2=4(y+3),由① 得，4>x ，故动点R 的轨迹方程为x 2=4(y+3)(4>x )．18． [解析]：（1）由题意设过点M 的切线方程为：m x y +=2，代入C 得0)27(22=-++m x x ，则250)27(44=⇒=--=∆m m ，21252,100=+-=-=∴y x ，即M （－1，21）．（2）当a ＞0时，假设在C 上存在点),(11y x Q 满足条件．设过Q 的切线方程为：n kx y +=，代入2742++=x x y 0)27()4(2=-+-+⇒n x k x ，则 414)4(02n k -=-⇒=∆，且,241-=k x 4221-=k y ．若0≠k 时，由于a k a k kx a y k k PQ24121211±=⇒=⇒-=+-⇒-=，∴21211-=-=a y a x 或 21211-=--=a y a x ；若k=0时，显然)21,2(--Q 也满足要求．∴有三个点（－2212a -），（－2，212a -）及（－2，－21），且过这三点的法线过点P （－2，a ），其方程分别为：x ＋＋2－20，x －y ＋2＋20，x ＝－2.当a ≤0时，在C 上有一个点（－2，－21），在这点的法线过点P （－2，a ），其方程为：x ＝－2.。

高二数学第二章第2节抛物线同步练习 (文) 北师大版选修1-1

高二数学北师大版（文）选修1－1第二章第2节抛物线同步练习（答题时间：100分钟）一、选择题（每题5分，计40分）1、抛物线)0m (,x m 1y 2≠=的焦点坐标是（） A. )4,0(m B. （)4,0m - C . （0，)41mD. )41,0(m - 2、若抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，焦点在直线3x －4y －12=0上，则抛物线的标准方程是（）A. ,162x y -= B . x y 122= C. x y 162= D. x y 122-=3、动点P 到直线x+4=0的距离与它到定点M （2，0）的距离之差是2，则P 点的轨迹是（）A. 椭圆B. 直线C. 双曲线D. 抛物线*4、过点（0，2）与抛物线,82x y =只有一个公共点的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 无数 *5、已知M 是抛物线x y 42=上的动点，F 为抛物线的焦点，定点P （3，1），则|MP|+|MF|的最小值是（）A. 3B. 4C. 5D. 6**6、已知A ，B 是抛物线)0(,22>=p px y 上两点，O 为坐标原点，若|OA|=|OB|，且三角形AOB 的垂心是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（）A. x=pB. x=3pC. p x 23=D. p x 25= 7、倾斜角为4π的直线过抛物线x y 42=的焦点且与抛物线交于A ，B 两点，则|AB|=（） A. 13 B. 82 C. 16 D. 8*8、一个正三角形的三个顶点都在抛物线x y 42=上，其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是（） A. 348 B. 243 C.3716 D. 3916二、填空题：（每题5分，计20分）9、已知抛物线x y 42=的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=34，则焦点到AB 的距离是10、已知圆07622=--+x y x 与px y 22=的准线相切，则p=__________ **11、在抛物线24x y =上求一点，使该点到直线y=4x －5的距离最短，则该点坐标是12、椭圆的中心在原点，且有一焦点与抛物线x y 82=的焦点重合，椭圆的离心率是21，则椭圆的标准方程是三、计算题：（40分）*13、已知抛物线px y 22=（p>0）有一内接直角三角形，直角顶点是原点，一条直角边的方程是x y 2=，斜边是35，求抛物线的标准方程。

高二数学北师大版选修1-1同步精练：2.2抛物线第1课时 Word版含答案

1．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为( )A ．(0,1)B ．(1,0)C ．(0,2)D ．(2,0)2．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，则抛物线的方程可能是( )A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y 3．抛物线x 2＝14y 上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 到x 轴的距离是( ) A .1716 B.78 C ．1 D.15164．抛物线y 2＝24ax (a ＞0)上有一点M ，它的横坐标是3，它到焦点的距离是5，则抛物线的方程为( )A ．y 2＝8xB ．y 2＝12xC ．y 2＝16xD ．y 2＝20x5．抛物线y 2＝2px (p ＞0)上有A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)三点，F 是焦点，|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，则( )A ．x 1，x 2，x 3成等差数列B ．x 1，x 3，x 2成等差数列C ．y 1，y 2，y 3成等差数列D ．y 1，y 3，y 2成等差数列6．设斜率为2的直线l 过抛物线y 2＝ax (a ≠0)的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△OAF (O 为坐标原点)的面积为4，则抛物线方程为( )A ．y 2＝±4xB ．y 2＝±8xC ．y 2＝4xD ．y 2＝8x7．已知过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，|AF |＝2，则|BF |＝__________.8．在平面直角坐标系xOy 中，有一定点A (2,1)．若线段OA 的垂直平分线过抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，则该抛物线的准线方程是__________．9．若点P 到点(1,0)的距离比到直线x ＋2＝0的距离小1，则点P 的轨迹方程是________．10.如图，AB 为抛物线y=x 2上的动弦，且|AB|=a(a 为常数，且a ≥1)，求弦AB 的中点M 与x 轴的最近距离．11．求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点在直线3x ＋4y －12＝0上；(2)焦点是(－2,0)；(3)准线是y ＝－32； (4)焦点到准线的距离是2；(5)焦点到直线x ＝－5的距离是8.12．某河上有座抛物线形拱桥，当水面距拱顶5 m 时，水面宽8 m ，一木船宽4 m ，高2 m ，载货后此船露在水面上的部分高为34m ，问水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？参考答案1. 解析：(直接计算法)因为p ＝2，所以抛物线y 2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，应选B. 答案：B2. 答案：A3. 解析：由准线方程为y ＝－116，可知M 到准线的距离为1，∴点M 到x 轴的距离等于1－116＝1516. 答案：D4. 解析：由题意知，3＋6a ＝5，∴a ＝13，∴抛物线方程为y 2＝8x . 答案：A5. 解析：由定义，知|AF |＝x 1＋p 2，|BF |＝x 2＋p 2，|CF |＝x 3＋p 2. ∵|AF |，|BF |，|CF |成等差数列，∴2⎝⎛⎫x 2＋p 2＝⎝⎛⎫x 1＋p 2＋⎝⎛⎫x 3＋p 2，即2x 2＝x 1＋x 3.故选A.答案：A6. 解析：由已知可得抛物线y 2＝ax 的焦点F 的坐标为⎝⎛⎭⎫a 4，0.过焦点且斜率为2的直线方程为y ＝2⎝⎛⎭⎫x －a 4，令x ＝0得y ＝－a 2，故点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0，－a 2.由题意可得12×|a |4×|a |2＝4，∴a 2＝64，∴a ＝±8.答案：B7. 解析：设点A 的坐标为(x ，y )．因为|AF |＝2，所以x －(－1)＝2，所以x ＝1.所以A (1，±2)．又点F 的坐标为(1,0)，所以|BF |＝|AF |＝2.答案：28. 解析：OA 的垂直平分线交x 轴于点⎝⎛⎭⎫54，0，此为抛物线的焦点，故准线方程为x ＝－54. 答案：x ＝－549. 解析：(方法1)设点P 的坐标为(x ，y )，由题意得(x －1)2＋y 2＋1＝|x ＋2|， ∴(x －1)2＋y 2＝|x ＋2|－1＝x ＋1.两边平方得(x －1)2＋y 2＝(x ＋1)2，∴x 2－2x ＋1＋y 2＝x 2＋2x ＋1，∴y 2＝4x ，∴点P 的轨迹方程为y 2＝4x .(方法2)由题意可知，点P 到点(1,0)的距离比到直线x ＋2＝0的距离小1，∴点P 到点(1,0)与到x ＋1＝0的距离相等．故点P 的轨迹是以(1,0)为焦点，x ＋1＝0为准线的抛物线，其方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x10. 解：设点A ，M ，B 的纵坐标分别为y 1，y 2，y 3.A ，M ，B 三点在抛物线准线上的射影分别为A ′，M ′，B ′(如图)．由抛物线的定义，得|AF |＝|AA ′|＝y 1＋p 2＝y 1＋14， |BF |＝|BB ′|＝y 3＋p 2＝y 3＋14， ∴y 1＝|AF |－14，y 3＝|BF |－14. 又M 是线段AB 的中点，∴y 2＝12(y 1＋y 3)＝12⎝⎛⎭⎫|AF |＋|BF |－12≥12⎝⎛⎭⎫|AB |－12＝12⎝⎛⎭⎫a －12.等号在AB 过焦点F 时成立，即当定长为a 的弦AB 过焦点F 时，M 点与x 轴的距离最小，最小值为12⎝⎛⎭⎫a －12. 11. 解：(1)直线与坐标轴的交点为(4,0)和(0,3)，故抛物线有两种情况：焦点为(4,0)时，p 2＝4，∴p ＝8，∴方程为y 2＝16x ；焦点为(0,3)时，p 2＝3，∴p ＝6，∴方程为x 2＝12y . 故所求方程为y 2＝16x 或x 2＝12y .(2)焦点为(－2,0)，∴p 2＝2，∴p ＝4，∴方程为y 2＝－8x . (3)准线为y ＝－32，∴p 2＝32，∴p ＝3，开口向上，∴方程为x 2＝6y . (4)由于p ＝2，开口方向不确定，故有四种情况．∴方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x 或x 2＝4y 或x 2＝－4y .(5)焦点在x 轴上，设为(x 0,0)，∴|x 0＋5|＝8，∴x 0＝3或x 0＝－13，∴焦点为(3,0)或(－13,0)，∴p 2＝3或－13，∴p ＝6或－26. ∴方程为y 2＝12x 或y 2＝－52x .12. 解：以拱桥的拱顶为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)，由题意知，点A (4，－5)在抛物线上(设AA ′为水面宽，且AA ′＝8 m)，所以16＝－2p ×(－5),2p ＝165，所以抛物线方程为x 2＝－165y (－4≤x ≤4)，设水面上涨到船面两侧与拱桥接触于B ，B ′(B ′与B 关于y 轴对称)时，船开始不能通航，设B 点坐标为(2，y )，由22＝－165y ，得y ＝－54，此时水面与抛物线拱顶相距|y |＋34＝54＋34＝2(m)．故水面上涨到与拱顶相距2 m 时，船开始不能通航．。

北师大版高中数学选修抛物线同步练习(1)

抛物线AⅠ 学习目标1．初步掌握抛物线的定义、简单性质和抛物线的四种形式的标准方程．2．初步了解用抛物线的定义及性质去求抛物线的方程，了解抛物线的简单应用．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．顶点在原点，焦点是(0，5)的抛物线的方程是( ) (A )y 2＝20x(B )x 2＝20y(C )x y 2012=(D )y x 2012=2．抛物线x 2＝－8y 的焦点坐标是( ) (A )(－4，0) (B )(0，－4) (C )(－2，0) (D )(0，－2) 3．若抛物线y 2＝8x 上有一点P 到它的焦点距离为20，则P 点的坐标为( ) (A )(18，12) (B )(18，－12) (C )(18，12)，或(18，－12) (D )(12，18)，或(－12，18)4．点M 到点F (0，2)的距离与它到直线l ：y ＋2＝0的距离相等，则动点M 的轨迹方程为 ( )(A )8y 2＋x ＝0 (B )x 2－8y ＝0 (C )x 2＋8y ＝0 (D )8y 2－x ＝0 5．方程2x 2－5x ＋2＝0的两根可分别作为( ) (A )一椭圆和一双曲线的离心率 (B )两抛物线的离心率 (C )一椭圆和一抛物线的离心率 (D )两椭圆的离心率二、填空题6．焦点为(0，－1)的抛物线的标准方程是____________． 7．准线为x －2＝0的抛物线的标准方程是____________． 8．抛物线y ＝4x 2的准线方程为____________．9．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，若点A (－2，3)到其焦点的距离是5，则p ＝____________． 10．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2，1)．能使该抛物线的方程为y 2＝10x 的条件是______．(要求填写合适条件的序号) 三、解答题11．抛物线的顶点在原点，焦点在直线x －2y －4＝0上，求抛物线的标准方程．12．求以抛物线y 2＝8x 的顶点为中心，焦点为右焦点且渐近线为x y 3±=的双曲线方程．13．求出直线2x －y －3＝0与抛物线y 2＝8x 的公共点A ，B 的坐标，并求|AB |．Ⅲ 拓展性训练14．设P 是抛物线221x y上任意一点，A (0，4)，求|PA |的最小值．抛物线BⅠ 学习目标1．进一步掌握抛物线定义、性质、图形及其应用．2．通过解决与抛物线有关的问题，进一步体会数形结合的思想，函数与方程的思想．Ⅱ 基础性训练一、选择题1．抛物线x 2＝y 的准线方程是( ) (A )4x ＋1＝0 (B )4y ＋1＝0 (C )2x ＋1＝0 (D )2y ＋1＝02．抛物线的顶点在原点，焦点是椭圆4x 2＋y 2＝1的一个焦点，则此抛物线的焦点到准线的距离是( ) (A )32(B )3(C )213(D )3413．点P 到点F (4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－6的距离小2，则点P 的轨迹方程为( ) (A )x y 612=(B )y 2＝4x (C )y 2＝16x (D )y 2＝24x4．连接抛物线x 2＝4y 的焦点F 与点M (1，0)所得的线段与抛物线交于点A ，设点O 为坐标原点，则三角形OAM 的面积为( ) (A )－1＋2(B )223- (C )21+(D )223+ 5．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是( ) (A )34 (B )57 (C )58 (D )3二、填空题6．过点A (3，2)的抛物线的标准方程是____________．7．过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，作垂直于抛物线对称轴的直线l ，设l 交抛物线于A ，B 两点，则|AB |＝____________．8．抛物线y ＝－ax 2(a ＞0)的焦点坐标为____________．9．设抛物线的顶点是椭圆14822=+y x 的中心，焦点是这个椭圆的左顶点，则此抛物线的方程是____________．10．设F 是抛物线y 2＝6x 的焦点，A (4，－2)，点M 为抛物线上的一个动点，则|MA |＋|MF |的最小值是____________．三、解答题11．设抛物线C 的焦点在y 轴正半轴上，且抛物线上一点Q (－3，m )到焦点的距离为5，求此抛物线的标准方程．12．过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 作直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点横坐标为3，求|AB |.13．已知点A (0，－3)，B (2，3)，设点P 为抛物线x 2＝y 上一点，求△PAB 面积的最小值及取到最小值时P 点的坐标．Ⅲ 拓展性训练14．设F 为抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点，点P 为抛物线C 上一点，若点P 到点F 的距离等于点P 到直线l ：x ＝－1的距离． (1)求抛物线C 的方程；(2)设B (m ，0)，对于C 上的动点M ，求|BM |的最小值f (m )．答案：抛物线A一、选择题1．B 2．D 3．C 4．B 5．A 二、填空题6．x 2＝－4y 7．y 2＝－8x 8．161-=y 9．4 10．②，④ 三、解答题11．由题意，焦点既在坐标轴上，又在直线x －2y －4＝0上，令x ＝0，得焦点为(0，－2)；令y ＝0，得焦点为(4，0)．当焦点为(0，－2)时，抛物线方程为x 2＝－8y ；当焦点为(4，0)时，抛物线方程为y 2＝16x ． 12．抛物线y 2＝8x 的顶点为(0，0)，焦点为(2，0)，所以，双曲线的中心为(0，0)，右焦点为(2，0)，由双曲线的渐近线为x y 3±=，知可设所求双曲线方程为)0(322>=-λλy x ，即1322=-λλy x ，由c 2＝a 2＋b 2，得λ＋3λ＝4，解得λ＝1，所以，所求双曲线方程为1322=-y x ．13．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由直线方程2x －y －3＝0，得y ＝2x －3，代入抛物线方程y 2＝8x ，消去y ，得4x 2－20x ＋9＝0，解得29,2121==x x ，所以，)6,29(),2,21(B A -，故54)62()2921(||22=--+-=AB ． 14．由题意，设P (x ，y )，则168)4()0(||2222+-+=-+-=y y x y x PA ，因为P (x ，y )是抛物线221x y =上任意一点，所以x ＝2y ，y ≥0，代入上式，得7)3(166||22+-=+-=y y y PA ，因为y ≥0，所以当y ＝3时，7||min =PA ，即当点)3,6(±P 时，|PA |有最小值7．抛物线B一、选择题1．B 2．B 3．C 4．B 5．A 二、填空题 6．x y 342=，或y x 292= 7．6 8．)41,0(a - 9．x y 282-= 10．211 三、解答题11．由题意，设抛物线为x 2＝2py (p ＞0)，因为点Q (－3，m )在抛物线上，所以(－3)2＝2pm ，即Pm 29=① 因为点Q (－3，m )到焦点的距离为5，所以52||=+Pm ②由①②得，5229=+PP ，解得p ＝1或9，所以抛物线的标准方程为x 2＝2y ，或x 2＝18y ．12．设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，AB 中点坐标为(x 中，y 中)，则2,2BAB A y y y x x x +=+=中中，由抛物线定义，知2||,2||Px BF P x AF B A +=+=，所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝2x 中＋2＝8． 13．直线AB 的方程为30233--+=x y ，即3x －y －3＝0， 102)33()20(||22=--+-=AB ，因为点P 在x 2＝y 上，所以设P (x ，x 2)，所以点P 到直线AB 的距离10|43)23(|91|33|22+-=+--=x x x d ，因为x ∈R ，所以当23=x 时，1043min =d ，故当)49,23(P 时，△PAB 面积有最小值43104310221=⨯⨯=S .14．(1)由抛物线定义，知抛物线的方程为y 2＝4x ；(2)设C 上的动点M 的坐标为(x 0，y 0)，∴20202020202)0()(||y m mx x y m x BM ++-=-+-=∵0204x y =，∴44)]2([42||2002020-+--=-+-=m m x x m mx x BM∵x 0≥0，∴当m －2＜0时，||||min m BM =；当m －2≥0时，44||min -=m BM ；综上，对于C 上的动点M ，|BM |的最小值⎩⎨⎧≥-<=)2(,12)2(|,|)(m m m m m f。

备课参考高二数学北师大选修同步练习：第章抛物线的简单性质含答案

抛物线的简单性质同步练习一,选择题:1、焦点为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线的标准方程为( ) A 、214x y =- B 、22x y =- C 、22y x =- D 、22y x = 2、抛物线22y x =-的通径长为( )A 、4B 、2C 、1D 、0.53、抛物线216y x =-的顶点到准线的距离为( )A 、2B 、4C 、8D 、164、抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线20x y ++=上，求抛物线的方程( )A 、2244y x x y ==-或B 、2244x y y x ==-或C 、2288x y y x =-=-或D 、2288x y y x ==-或5、已知抛物线26y x =定点()2,3A ，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值( )A 、5B 、4.5C 、3.5D 、不能确定6、已知抛物线24x y =，过焦点F ，倾斜角为4π的直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 长为( )A 、8B 、、6 D 、 7、过点(2,4)作直线于抛物线28y x =有且只有一个公共点，这样的直线有( )A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条8、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是( )A 、（2，4）B 、（2，±4）C 、（1，）D 、（1，± ）9、直线3y x =-与抛物线24y x =交于A B 、两点，过A B 、两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q 、则梯形ABPQ 的面积为（）．A 、48B 、56C 、64D 、7210、抛物线2y x =与圆()()22210x y r r +-=>有4个不同的交点，则r 的取值范围是( )A 、32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B 、32⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、3,12⎫⎪⎪⎣⎭D 、32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭ 二、填空题11、已知抛物线经过点()4,2P -，则其标准方程为。

高中数学北师大版 3.2 抛物线的简单几何性质课后练习、课时练习

一、单选题1. 曲线上存在两点A，B到直线到距离等于到的距离，则（）A．12 B．13 C．14 D．152. 抛物线的焦点为，过且倾斜角为的直线与抛物线交于，两点，点为抛物线上的动点，且点在的右下方，则面积的最大值为（）A．B．C．D．3. 已知是抛物线上的一个动点，则点到直线和的距离之和的最小值是（）A．3 B．4D．6C．4. 已知抛物线的焦点为F，直线与抛物线交于两点，则直线FA与直线FB的斜率之和为（）A．0 B．2 C．－4 D．45. 抛物线的准线方程是（）A．B．C．D．6. 过抛物线的焦点的直线与相交于，两点，则的最小值为（）A．15 B．18 C．21 D．27二、多选题7. 已知抛物线C的焦点为F，准线为l，点P在C上，PQ垂直l于点Q，直线QF与C相交于M､N两点.若M为QF的三等分点，则（）A．cos∠B．sin∠C．D．8. 已知O为抛物线的顶点，直线l交抛物线于M，N两点，过点M，N分别向准线作垂线，垂足分别为P，Q，则下列说法正确的是（）A．若直线l过焦点F，则N，O，P三点不共线B．若直线l过焦点F，则C．若直线l过焦点F，则抛物线C在M，N处的两条切线的交点在某定直线上D．若，则直线l恒过点三、填空题9. 已知抛物线上的点到轴的距离比到焦点的距离小1，过的直线交抛物线于两点，若恒成立，则实数的取值范围是___________.10. 抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则______________．11. 已知抛物线的焦点为F，点M在C上，点，若，则______．12. 已知抛物线的焦点为F，点Р是其准线上一点，过点P作PF的垂线，交y轴于点A，线段AF交抛物线于点B.若PB平行于轴，则AF的长度为____________.四、解答题13. 已知抛物线上一点到焦点的距离为(1)求抛物线的方程；(2)若直线与抛物线交于两点，且满足(为坐标原点)，证明：直线与轴的交点为定点.14. 已知抛物线的焦点为F，过点的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．(1)证明：点F在直线上；(2)设，求的内切圆M的方程．15. 如图，已知抛物线的焦点为，圆心为焦点的圆与轴相切.过点的直线交抛物线与圆分别为（从上到下）.(1)证明：是定值；(2)若，的面积比是，求直线的方程.16. 已知抛物线C的顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点A（4，2），F为抛物线的焦点．(1)求抛物线C的方程；(2)若B（4，1），P为抛物线上一动点，求的最小值．。

高中数学北师大版高二选修2-1练习：第三章2.2抛物线的简单性质(一)2含解析

[A.基础达标]1．以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋9＝0的圆心的抛物线的方程是( ) A ．y ＝3x 2或y ＝－3x 2 B ．y ＝3x 2C ．y 2＝－9x 或y ＝3x 2D ．y ＝－3x 2或y 2＝9x解析：选D.圆的方程可化为(x －1)2＋(y ＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝－2py (p >0)．把(1，－3)代入得9＝2p 或1＝6p ，所以p ＝92或p ＝16，所以y 2＝9x 或x 2＝－13y .2．设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则y 0的取值范围是( )A ．(0，2)B ．[0，2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选C.圆心到抛物线准线的距离为p ＝4，根据题意只要|FM |>4即可，由抛物线定义，|FM |＝y 0＋2，由y 0＋2>4，解得y 0>2，故y 0的取值范围是(2，＋∞)．3．已知抛物线y 2＝2px (p >0)的经过焦点的弦AB 的两端点坐标分别为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2的值一定等于( )A ．4B ．－4C ．p 2D ．－p 2解析：选B.当AB 的斜率为k 时，AB 所在的直线方程为y ＝k ⎝⎛⎫x －p2，代入y 2＝2px 得：k 2x 2－(k 2p ＋2p )x ＋k 2p 24＝0.根据根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2p ＋2pk 2，x 1x 2＝p24，y 1y 2＝k 2⎝⎛⎭⎫x 1－p 2⎝⎛⎭⎫x 2－p 2＝－p 2，故y 1y2x 1x 2＝－4. 当AB 斜率不存在时，即AB ⊥x 轴，易得y 1y 2x 1x 2＝－4.4．过抛物线y ＝ax 2(a >0)的焦点F 的直线交抛物线于P ，Q 两点，若线段PF 与FQ 的长分别是p ，q ，则1p ＋1q等于( ) A ．2a B.12aC ．4a D.4a解析：选C.设直线方程为y ＝kx ＋14a ，代入y ＝ax 2，得ax 2－kx －14a ＝0.由根与系数的关系可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝ka，x 1x 2＝1－4a2.p ＝y 1＋14a ＝kx 1＋12a ，q ＝y 2＋14a ＝kx 2＋12a ，所以1p ＋1q ＝1kx 1＋12a ＋1kx 2＋12a＝k 2＋1a k 2＋14a 2＝4a . 5．已知抛物线y ＝x 2上有一定点A (－1，1)和两动点P 、Q ，当P A ⊥PQ 时，点Q 的横坐标的取值范围是( )A ．(－∞，－3]B ．[1，＋∞)C ．[－3，1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析：选D.设P (x 0，x 20)，Q (x ，x 2)，其中x 0≠－1，x ≠x 0，则P A →＝(－1－x 0，1－x 20)，PQ →＝(x －x 0，x 2－x 20)，因为P A ⊥PQ ，所以P A →·PQ →＝0.所以－(1＋x 0)(x －x 0)＋(1－x 20)(x 2－x 20)＝0，即－1＋(1－x 0)(x ＋x 0)＝0，所以x ＝－x 0＋11－x 0＝(1－x 0)＋11－x 0－1，当x 0<1时，1－x 0＋11－x 0≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立．所以x ≥2－1＝1；当x 0>1时，1－x 0＋11－x 0＝－[(x 0－1)＋1x 0－1]≤－2，当且仅当x 0＝2时，等号成立，所以x ≤－2－1＝－3，故点Q 的横坐标的取值范围是(－∞，－3]∪[1，＋∞)．6．将两个顶点在抛物线y 2＝2px (p >0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n ，则n ＝________．解析：根据抛物线对称性知正三角形的一边平行于y 轴，又过焦点且与x 轴的夹角为30°的直线有两条，故符合题意的正三角形有两个．答案：27．已知点A 、B 是抛物线y 2＝4x 上的两点，O 是坐标原点，OA →·OB →＝0，直线AB 交x 轴于点C ，则|OC →|＝________．解析：设A 、B 的坐标分别为⎝⎛⎭⎫y 214，y 1、⎝⎛⎭⎫y 224，y 2，因为OA →·OB →＝0，所以y 214·y 224＋y 1y 2＝0，即y 1y 2＝－16.AB 所在的直线方程为y －y 1＝y 2－y 1y 224－y 214(x －y 214)＝4y 1＋y 2(x －y 214)，令y ＝0，得x ＝－y 1y 2－y 214＋y 214＝－y 1y 24＝4.答案：48．已知直线y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线y 2＝8x 相交于A 、B 两点，F 为抛物线的焦点，若|F A |＝3|FB |，则k 的值为________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，易知x 1>0，x 2>0，y 1>0，y 2<0.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，所以x 1x 2＝4.① 又|AF |＝x 1＋2，|BF |＝x 2＋2且|AF |＝3|FB |，所以x 1＝3x 2＋4，②由①②解得x 2＝23，所以B (23，－433)，代入y ＝k (x －2)得k ＝ 3.答案： 39．已知M (3，y 0)(y 0>0)为抛物线C ：y 2＝2px (p >0)上一点，F 为抛物线C 的焦点，且|MF |＝5. (1)求抛物线C 的方程；(2)MF 的延长线交抛物线于另一点N ，求N 的坐标．解：(1)因为|MF |＝3＋p2＝5，所以p ＝4，所以抛物线方程为y 2＝8x .(2)由题意知MF 不垂直于x 轴，故设MF 所在直线方程为y ＝k (x －2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －2），y 2＝8x ，得k 2x 2－(4k 2＋8)x ＋4k 2＝0，由根与系数的关系得x M ·x N ＝4k 2k 2＝4，因为x M ＝3，所以x N ＝43.因为N 为MF 的延长线与抛物线的交点，由图像可知y N <0.所以y N ＝－2px N ＝－463，所以N (43，－463)．10．已知动点M 到点(4，0)的距离比它到直线l ：x ＝－3的距离多1. (1)求动点M 的轨迹C 的方程；(2)求过点(4，0)且倾斜角为30°的直线被曲线C 所截得线段的长度．解：(1)由题意易知，动点M 到点(4，0)的距离与到直线x ＝－4的距离相等，故M 点的轨迹为以(4，0)为焦点，x ＝－4为准线的抛物线，此抛物线方程为y 2＝16x .(2)设直线与抛物线的交点为A ，B ，直线AB 的方程为y －0＝33(x －4)，即y ＝33x －433，将直线方程与抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝33x －433，y 2＝16x ，得x 2－56x ＋16＝0，故x A ＋x B ＝56，|AB |＝x A ＋x B ＋p ＝56＋8＝64.[B.能力提升]1．已知抛物线y ＝2px 2(p >0)的准线与圆x 2＋y 2－4y －5＝0相切，则p 的值为( )A ．10B ．6C.18D.124解析：选C.抛物线方程可化为x 2＝12p y (p >0)，由于圆x 2＋(y －2)2＝9与抛物线的准线y ＝－18p相切，所以3－2＝18p ，所以p ＝18.2．如图，F 为抛物线y 2＝4x 的焦点，A ，B ，C 在抛物线上，若F A →＋FB →＋FC →＝0，则|FA →|＋|FB →|＋|FC →|＝( )A ．6B ．4C ．3D ．2解析：选A.设A ，B ，C 三点的横坐标分别为x A ，x B ，x C 由F A →＋FB →＋FC →＝0得x A ＋x B ＋x C ＝3，所以|F A →|＋|FB →|＋|FC →|＝x A ＋p 2＋x B ＋p 2＋x C ＋p 2＝3＋3＝6.3．已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为M ，N 为抛物线上的一点，且满足|NF |＝32|MN |，则∠NMF ＝____________．解析：过点N 作准线的垂线交准线于点N 1，则cos ∠NMF ＝cos ∠N 1NM ＝|NN 1||MN |＝|NF ||MN |＝32，故∠NMF ＝π6.答案：π64．已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，抛物线C 上的两点A ，B 满足AF →＝2FB →.若点T ⎝⎛⎭⎫－12，0，则|TA ||TB |的值为____________．解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，(y 1>0，y 2<0)，因为AF →＝2FB →，所以AB 是过焦点F 的直线，F (12，0)，故AB 的直线方程为y ＝k (x －12)，代入y 2＝2x ，整理得：k 2x 2－(k 2＋2)x ＋k24＝0，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝k 2＋2k 2，x 1x 2＝14，由AF →＝2FB →得x 1＋12x 2＋12＝2，即x 1＝2x 2＋12，得：A (1，2)，B (14，－22)，所以|TA ||TB |＝（1＋12）2＋（2）2（14＋12）2＋（22）2＝2.答案：25．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1，2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上． (1)写出该抛物线的标准方程及其准线方程；(2)当直线P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)．因为点P (1，2)在抛物线上，所以22＝2p ×1，解得p ＝2. 所以所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1.(2)设直线P A 的斜率为k P A ，直线PB 的斜率为k PB ，则k P A ＝y 1－2x 1－1，k PB ＝y 2－2x 2－1，因为P A 与PB 的斜率存在且倾斜角互补，所以k P A ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，② 所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)，所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得直线AB 的斜率为－1.6．(选做题)已知直线l 过坐标原点，抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上．若点A (－1，0)和点B (0，8)关于l 的对称点都在C 上，求直线l 和抛物线C 的方程．解：依题设抛物线C 的方程可写为y 2＝2px (p >0)，且x 轴和y 轴不是所求直线，又l 过原点，因而可设l 的方程为y ＝kx (k ≠0)，①设A ′，B ′分别是A ，B 关于l 的对称点，因而A ′A ⊥l ，直线A ′A 的方程为y ＝－1k(x ＋1)，②由①②联立解得AA ′与l 的交点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1，－k k 2＋1.又M 为AA ′的中点，从而点A ′的横坐标为x A ′＝ 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k 2＋1＋1＝k 2－1k 2＋1，纵坐标为y A ′＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－k k 2＋1＋0＝－2kk 2＋1.③同理得点B ′的横、纵坐标分别为x B ′＝16kk 2＋1，y B ′＝8（k 2－1）k 2＋1.④又A ′，B ′均在抛物线y 2＝2px (p >0)上，由③得⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k k 2＋12＝2p ·k 2－1k 2＋1，由此知k ≠±1，即p ＝2k 2k 4－1.⑤同理由④得⎣⎢⎡⎦⎥⎤8（k 2－1）k 2＋12＝2p ·16kk 2＋1即p ＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k .从而2k 2k 4－1＝2（k 2－1）2（k 2＋1）k，整理得k 2－k －1＝0，解得k 1＝1＋52，k 2＝1－52.但当k ＝1－52时，由③知x A ′＝－55<0，这与点A ′在抛物线y 2＝2px (p >0)上矛盾，故舍去k 2＝1－52.所以k ＝1＋52，则直线l 的方程为y ＝1＋52x .将k ＝1＋52代入⑤，求得p ＝255.所以直线方程为y ＝1＋52x .抛物线方程为y 2＝455x .。

北师大版高中数学选修2-1抛物线的简单性质同步练习

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）抛物线的简单性质同步练习【选择题】1．抛物线y =ax 2(a <0)的焦点坐标和准线方程分别是（A ）(14a , 0), x =－14a （B ）(－14a , 0), x =－14a（C ）(0, 14a ), y =－14a （D ）(0, －14a ), y =14a2．已知抛物线x 2=4y 的焦点为F ，点A 的坐标是(－1, 8)，P 是抛物线上一点，|PA |+|PF |则的最小值是（A ）8 （B ）9 （C ）651 （D ）103．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（A ）x 2+y 2－x －2y －41=0 （B ）x 2+y 2+x －2y +1=0 （C ）x 2+y 2－x －2y +1=0 （D ）x 2+y 2－x －2y +41=0 4．抛物线y = 4x 2上一点到直线y = 4x －5的距离最短，则该点的坐标是（A ）(1, 2) （B ）(0, 0) （C ）(21, 1) （D ）(1, 4) 5．抛物线x 2=－32y 的焦点的纵坐标与它的通径的比是（A ）4 （B ）－4 （C ）41 （D ）－41 6．对于抛物线，有如下说法：① 抛物线只有一个顶点，一个焦点；② 抛物线没有对称轴，也没有对称中心；③ 抛物线的焦点与准线之间的距离为2p ，其中说法正确的个数有（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个7．已知点A (4, －2)，F 为y 2=8x 的焦点，点M 在抛物线上移动，当|MA |+|MF |取最小值时，点M 的坐标是（A ）(0, 0) （B ）(1, －22) （C ）(2, －2) （D ）(21, －2) 8．过点M (－p , p )作直线l 与抛物线y 2=2px 仅有一个公共点的直线共有（A ）3条（B ）2条（C ）1条（D ）不能确定9．过抛物线的焦点F 的直线交抛物线于A , B 两点，A , B 在准线上的射影分别为A 1, B 1，则∠A 1FB 1为（A ）等于90° （B ）大于90° （C ）小于90° （D ）不能确定10．以过抛物线的焦点弦为直径的圆与它的准线的位置关系是（A ）相切（B ）相交（C ）相离（D ）不确定11．已知A , B 是抛物线y 2=2px (p >0)上两点，O 为坐标原点，若|OA |=|OB |，且△AOB 的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB 的方程是（A ）x =p （B ）x =3p （C ）x =23p （D ）x =25p 12．若抛物线的准线为2x +3y －1=0，焦点坐标为(－2, 1)，则抛物线的对称轴方程是（A ）2x +3y +1=0 （B ）3x －2y +8=0 （C ）3x －2y +6=0 （D ）3x +2y +4=0【填空题】13．若抛物线y 2==2px (p >0)上一点到其准线和抛物线的对称轴的距离分别为10和6，则该点的横坐标是 .14．已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点在y 轴上，抛物线上一点的纵坐标是－4，且该点到焦点的距离是6，则抛物线的标准方程是 .15．已知三点A (2, y 1), B (x 2, －4), C (6, y 2)，三点均在抛物线y 2=2px (p >0)上，且2<x 2<6，若A , B , C 三点到焦点的距离依次成等差数列，则x 2= ;y 1= ;y 2= .16．已知圆x 2+y 2－6x －7=0与抛物线y 2=2px (p >0)的准线相切，则p = .17．已知M ={(x , y )| y 2=21x }, N ={(x , y )| (x －23)2+y 2=49}，则M ∩N 中元素的个数是 .18．斜率为1的直线与抛物线x 2=2y 相交于A , B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 .19．对于抛物线y2=2x上任意一点Q，点P(a, 0)都满足|PQ|≥a，则a的取值范围是 .【解答题】20. 过(0,-2)的直线与抛物线y2=8x交于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为2，求|AB|21．已知抛物线y2=2px(p>0)，过动点M(a, 0)且斜率为1的直线l与该抛物线交于不同的两点A, B，（1）若|AB|≤2p，求a的取值范围；（2）若线段AB的垂直平分线交AB于点Q，交x轴于点N，试求△MNQ的面积。

北师大版选修21高中数学32《抛物线》第2课时练习题

第三章3、2第2课时一、选择题1。

动圆的圆心在抛物线y2＝8x上，且动圆恒与直线x＋2＝0相切,则动圆必过定点( )A.(4,0)B.（2，0）C。

（0,2) D。

(0,－2)［答案] B［解析] ∵圆心到直线x＋2＝0的距离等于到抛物线焦点的距离，∴定点为(2，0).2。

过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A,B两点,O为坐标原点，若｜AF｜＝3，则△AOB的面积为（）A。

错误!B。

错误!C。

错误! D.2错误!［答案］C［解析] 本题考查了抛物线的定义、三角形面积的求法及数形结合的应用.设∠AFx＝θ(0〈θ<π）及｜BF|＝m；由点A到准线l:x＝－1的距离为3,得：3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝1 3 ,又m＝2＋m cos(π－θ)⇔m＝错误!＝错误!，△AOB的面积为S＝错误!×｜OF|×｜AB｜×sinθ＝错误!×1×（3＋错误!）×错误!＝错误!、故选C。

在解决解析几何有关问题时,要加强与图形的结合，合理的选取方法求解.3。

(2013·新课标Ⅰ文,8)O为坐标原点,F为抛物线C：y2＝4错误!x的焦点,P为C上一点，若｜PF｜＝4错误!,则△POF的面积为（）A.2B.2错误!C。

2 3 D。

4。

若点P在抛物线y2＝x上，点Q在圆（x－3）2＋y2＝1上，则｜PQ|的最小值是（）A.2B.错误!C。

错误!D。

北师大版高中数学选修1-1抛物线的简单性质同步练习

抛物线的简单性质同步练习一,选择题:1、焦点为10,8⎛⎫- ⎪⎝⎭的抛物线的标准方程为()A 、214x y =-B 、22x y =-C 、22y x =-D 、22y x = 2、抛物线22y x =-的通径长为() A 、4B 、2C 、1D 、0.53、抛物线216y x =-的顶点到准线的距离为() A 、2B 、4C 、8D 、164、抛物线的顶点在原点，以坐标轴为对称轴，且焦点在直线20x y ++=上，求抛物线的方程()A 、2244y x x y ==-或B 、2244x y y x ==-或C 、2288x y y x =-=-或D 、2288x y y x ==-或5、已知抛物线26y x =定点()2,3A ，F 为焦点，P 为抛物线上的动点，则PF PA +的最小值()A 、5B 、4.5C 、3.5D 、不能确定6、已知抛物线24x y =，过焦点F ，倾斜角为4π的直线交抛物线于A B 、两点，线段AB 长为()A 、8B 、42、6D 、327、过点(2,4)作直线于抛物线28y x =有且只有一个公共点，这样的直线有() A 、一条B 、两条C 、三条D 、四条8、抛物线28y x =上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是() A 、（2，4）B 、（2，±4）C 、（1，2）D 、（1，±29、直线3y x =-与抛物线24y x =交于A B 、两点，过A B 、两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q 、则梯形ABPQ 的面积为（）． A 、48B 、56C 、64D 、7210、抛物线2y x =与圆()()22210x y r r +-=>有4个不同的交点，则r 的取值范围是()A 、32⎫+∞⎪⎪⎣⎭B 、32⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭C 、3,12⎫⎪⎪⎣⎭D 、32⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭二、填空题11、已知抛物线经过点()4,2P -，则其标准方程为。

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高二(2)部数学《抛物线》同步训练一
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．抛物线y 2=ax(a ≠0)的准线方程是 ( ) (A)x= -4a (B)x=4a (C)x= -4|a | (D)x=4
|a | 2．已知M(m,4)是抛物线x 2=ay 上的点，F 是抛物线的焦点，若|MF|=5，则此抛物线的焦点
坐标是 ( )
(A)(0,-1) (B)(0,1) (C)(0,-2) (D)(0,2)
3．抛物线的顶点在原点，对称轴为x 轴，焦点在直线3x-4y-12=0上，此抛物线的方程是
( )
(A)y 2=16x (B)y 2=12x (C)y 2= -16x (D)y 2= -12x
4．抛物线2y 2
＋x ＋12
=0的焦点坐标是 ( ) (A)(-38，0) (B)(0，-38) (C)(-58，0) (D)(0，-58) 5．过点(0，1)且与抛物线y 2=x 只有一个公共点的直线有 ( )
(A)一条 (B)两条 (C)三条 (D)无数条
6．若直线3x ＋4y ＋24=0和点F （1，－1）分别是抛物线的准线和焦点，则此抛物线的顶点坐标是 ( ) (A)(1,2) (B)(4,3) (C))2571,5019(--
(D)(－2,－5) 7．过抛物线y 2=4x 的焦点F 作倾斜角为
34
π的直线交抛物线于A 、B 两点，则AB 的长是 ( ) (A)42 (B)4 (C)8 (D)2
8．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）焦点是F （－2，0）（2）准线方程是31=y （3）焦点到准线的距离是4，焦点在y 轴上
（4）经过点A （6，－2）
9．抛物线x2＝4y 上的点p 到焦点的距离是10，求p 点坐标
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．已知抛物线方程为y ＝ax 2
（a ＞0），则其准线方程为（） (A) 2a x -
= (B) 4a x = (C) a y 21-= (D) a
y 41-= 2．抛物线21x m y =（m ≠0）的焦点坐标是（）(A) （0，4m ）或（0，4
m -） (B) （0，4m ）(C) （0，m 41）或（0，m 41-）(D) （0，m 41） 3．焦点在直线3x －4y －12＝0上的抛物线标准方程是（）
(A) y 2＝16x 或x 2＝16y (B) y 2＝16x 或x 2＝12y
(C) x 2＝－12y 或y 2＝16x (D) x 2＝16y 或y 2＝－12x
4．抛物线y ＝2x 2的焦点坐标是（）
(A) （0，41） (B) （0，81） (C) （21，0） (D) （4
1，0） 5．以椭圆19
252
2=+y x 的中心为顶点，左准线为准线的抛物线标准方程（） (A) y 2＝25x (B) x y 2252= (C) x y 3252= (D) x y 4
252= 3．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是
4．平面上的动点P 到点A （0，－2）的距离比到直线l ：y ＝4的距离小2，则动点P 的轨迹方程是
5．已知抛物线y 2＝x 上的点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，求P 点的坐标．
6．根据下列条件写出抛物线的标准方程
（1）过点（－3，4）
（2）过焦点且与x 轴垂直的弦长是16
7．点M 到点（0，8）的距离比它到直线y ＝－7的距离大1，求M 点的轨迹方程．
8．抛物线y 2＝16x 上的一P 到x 轴的距离为12，焦点为F ，求｜PF ｜的值．
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．过抛物线x y 42
=的焦点作直线交抛物线于()11,y x A ，()22,y x B 两点，如果621=+x x ，那么||AB =（）
（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4
2．已知M 为抛物线x y 42
=上一动点，F 为抛物线的焦点，定点()1,3P ，则||||MF MP +的最小值为（）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
3．过抛物线()02>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线于P 、Q 两点，若线段PF 、QF 的
长分别是p 、q ，则
q p 11+=（）（A ）a 2 （B ）a 21 （C ）a 4 （D ）a 4 4．过抛物线x y 42=焦点F 的直线l 它交于A 、B 两点，则弦AB 的中点的轨迹方程是 ______
5．过抛物线焦点F 的直线与抛物线交于A 、B 两点，若A 、B 在准线上的射影是A 2，B 2，则∠A 2FB 2等于
6．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长为16，求抛物线方程．
7.定长为3的线段AB 的端点A 、B 在抛物线x y =2
上移动，求AB 中点M 到y 轴距离的最小值，并求出此时AB 中点M 的坐标
9．有一抛物线型拱桥，当水面距拱顶4米时，水面宽40米，当水面下降1米时，水面宽是多少米？
班级＿＿＿＿姓名＿＿＿＿＿
1．顶点在原点，焦点在y 轴上，且过点P （4，2）的抛物线方程是（）
(A) x 2＝8y (B) x 2＝4y (C) x 2
＝2y (D) y x 212= 2．抛物线y 2＝8x 上一点P 到顶点的距离等于它们到准线的距离，这点坐标是
(A) （2，4） (B) （2，±4） (C) （1，22） (D) （1，±22）
3．抛物线顶点在原点，以坐标轴为对称轴，过焦点且与y 轴垂直的弦长等于8，则抛物线方程为
4．抛物线y 2＝－6x ，以此抛物线的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程是
5．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022
>=p px y 上，原点在直线AB 上的射影为()1,2D ，求抛物线的方程
6．已知抛物线()022
>=p px y 与直线1+-=x y 相交于A 、B 两点，以弦长AB 为直径的圆恰好过原点，求此抛物线的方程
7．已知直线b x y +=与抛物线px y 22
=()0>p 相交于A 、B 两点，若OB OA ⊥，（O 为坐标原点）且52=∆AOB S ，求抛物线的方程
8．顶点在坐标原点，焦点在x 轴上的抛物线被直线12+=x y 截得的弦长为
9．以双曲线19
162
2=-y x 的右准线为准线，以坐标原点O 为顶点的抛物线截双曲线的左准线得弦AB ，求△OAB 的面积．
10．已知直角OAB ∆的直角顶点O 为原点，A 、B 在抛物线()022
>=p px y 上，（1）分别求A 、B 两点的横坐标之积，纵坐标之积；（2）直线AB 是否经过一个定点，若经过，求出该定点坐标，若不经过，说明理由；（3）求O 点在线段AB 上的射影M 的轨迹方程
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