第21讲 正整数简单性质的复习

第21讲 正整数简单性质的复习一. 连续正整数1. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；100110021003……19881989是_______位数.3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.2. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.6.1+3+5+……+99=____________. 7.5+10+15+……+100=_________. 8.1+4+7+……+100=____________. 9.1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10.和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.3. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：位198011121234567891这个数用9除的余数是__________. 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：① 它是一个________位数；② 它的各位上的数字和等于________；③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十位是___________________________.4.连续正整数的积：① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.② n 个连续正整数的积能被n!整除.如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.③ n! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≤n如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零______个17. 求证：10494 | 1989!18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数5. 两个连续正整数必互质练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.二. 正整数十进制的表示法1. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0其中n 是正整数，且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.例如：54321=5×104+4×103+3×102+2×10+1.例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)=99k+45×11=99k+99×5.∴A 能被99整除.练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整除2. 常见的一些特例99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的正整数的积.证明：第n 个数是2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(92-n =)110(91-n (10 n +2) =331103110+-⨯-n n =)13110(3110+-⨯-n n =33333个n ×433333)1( 个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +199999个n =_______________________________. 22. 化简2122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证119901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数11111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n77777个n 和 数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n717777个+n 都能被1987整除. 25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.26. 求证： 11111个n ×110000个-n 5+1是完全平方数. 三. 末位数的性质1.用N (a)表示自然数的个位数. 例如a=124时，N (a)=4； a=－3时，N (a)=3.（1）.N (a 4k+r )=N (a r) a 和k 都是整数，r=1,2,3,4. 特别的： 个位数为0，1，5，6的整数，它们的正整数次幂的个位数是它本身.个位数是4，9 的正偶数次幂的个位数也是它本身.(2). N (a)=N (b)⇔N (a －b)=0⇔10 |(a －b).（3）. 若N (a)=a 0, N (b)=b 0. 则N (a n )=N (a 0n )； N (ab)=N (a 0b 0).例题1：求①53100 ； 和 ②777的个位数. 解：①N (53100)=N (34×24+4)=N (34)=1 ②先把幂的指数77化为4k+r 形式，设法出现4的因数.77=77－7+7=7(76－1)+4+3=7(72－1)(74+72+1)+4+3=7×4×12× (74+72+1)+4+3=4k+3∴N(777)=N(74k+3)=N(73)=3.练习：27. 19891989的个位数是______，999的个位数是_______. 28. 求证：10 | (19871989－19931991). 29. 2210×3315×7720×5525的个位数是______.2. 自然数平方的末位数只有0，1，4，5，6，9；连续整数平方的个位数的和，有如下规律：12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.(1). 用这一性质计算连续整数平方的个位数的和例题1. 填空：12，22，32，……，1234567892的和的个位数的数字是_______.解：∵12，22，32，……，102的个位数的和等于 1+4+9+6+5+5+9+4+0=45.11到20；21到30；31到40；………123456781到123456789，的平方的个位数的和也都是45. 所以所求的个位数字是：(1+4+9+6+5+5+9+4+0)×(12345678+1)的个位数5.（2）. 为判断不是完全平方数提供了一种方法例题2. 求证：任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.证明：(用反证法)设五个连续整数的平方和是完全平方数，那么可记作：(n －2)2+(n －1)2+n 2+(n+1)2+(n+2)2=k 2 (n, k 都是整数)5(n 2+2)=k 2 .∵ k 2是5的倍数，k 也是5的倍数.设k=5m, 则5(n 2+2)=25m 2.n 2+2=5m 2.n 2+2是5的倍数，其个位数只能是0或5，那么 n 2的倍数是8或3.但任何自然数平方的末位数，都不可能是8或3.∴假设不能成立∴任何五个连续整数的平方和不能是完全平方数.(3).判断不是完全平方数的其他方法例题3. 已知：a 是正整数.求证： a(a+1)+1不是完全平方数证明：∵a(a+1)+1=a 2+a+1，且a 是正整数∴ a 2< a(a+1)+1=a 2+a+1<(a+1)2，∵a 和a+1是相邻的两个正整数，a(a+1)+1介于它们的平方之间∴a(a+1)+1不是完全平方数例题4. 求证：11111个n (n>1的正整数) 不是完全平方数 证明：根据奇数的平方数除以4必余1，即(2k+1)2=4(k+1)+1.但 11111个n =1100111112-个n =4k+11=4k+4×2+3=4(k+2)+3 即11111个n 除以4余数为3，而不是1， ∴它不是完全平方数.例题5. 求证：任意两个奇数的平方和，都不是完全平方数.证明：设2a+1,2b+1(a,b 是整数)是任意的两个奇数.∵(2a+1)2+(2b+1)2=4a 2+4a+1+4b 2+4b+1=4(a 2+b 2+a+b)+2.这表明其和是偶数，但不是4的倍数，故任意两个奇数的平方和，都不可能是完全平方数.3. 魔术数：将自然数N 接写在每一个自然数的右面，如果所得到的新数，都能被N 整除，那么N 称为魔术数.常见的魔术数有：a) 能被末位数整除的自然数，其末位数是1，2，5 (即10的一位正约数是魔术数) b) 能被末两位数整除的自然数，其末两位数是10，20，25，50(即100的两位正约数也是魔术数))c) 能被末三位数整除的自然数，其三末位数是100，125，200，250，500(即1000的三位正约数也是魔术数)练习：30. 在小于130的自然数中魔术数的个数为_________.4. 两个连续自然数，积的个位数只有0，2，6；和的个位数只有1，3，5，7，9.练习：31. 已知：n 是自然数，且9n 2+5n+26的值是两个相邻自然数的积，那么n 的值是：___________________.四. 质数、合数 1. 正整数的一种分类：⎪⎩⎪⎨⎧).1(.)1( 1然数整除和本身外还能被其他自除合数；然数整除和本身外不能被其他自除质数； 2. 质数中，偶数只有一个是2，它也是最小的质数.3. 互质数：是指公约数只有1的两个正整数. 相邻的两个正整数都是互质数.例题：试写出10个连续自然数，个个都是合数.解：答案不是唯一的，其中的一种解法是：令A=1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11那么A+2，A+3，A+4，A+5，A+6，A+7，A+8，A+9，A+10，A+11就是10个连续数，且个个都是合数.一般地，要写出n 个连续自然数，个个是合数，可用令m=n+1, 那么m!+2, m!+3, m!+4, +……+ m!+n+1 就是所求的合数.∵m!+i (2≤i ≤n+1) 有公约数i.练习：32. 已知质数a ， 与奇数b 的和等于11，那么a=___,b=___.33. 两个互质数的最小公倍数是72，若这两个数都是合数，那么它们分别等于____，____.34. 写出10个连续正奇数，个个都是合数，可设m=(10+1)×2， m!=22!那么所求的合数是22!+3，_____,____,____,……35. 写出10个连续自然数，个个都是合数，还可令 N=2×3×5×7×11.(这里11=10+1，即N 是不大于11的质数的积).那么 N+2，N+3，N+4，……N+11就是所求的合数.这是为什么？如果 要写15个呢？36. 已知：x, m, n 都是正整数 . 求证：24m+2+x 4n是合数. 五.奇数和偶数 1.整数的一种分类：⎩⎨⎧)12(.2)02(2，余数为即除以整除的整数奇数：不能被，余数为即除以整除的整数；偶数：能被 2. 运算性质：奇数+奇数=偶数， 偶数+偶数=偶数， 奇数+偶数=奇数.奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数，奇数×偶数=偶数.(奇数)正整数=奇数，(偶数)正整数=偶数.4. 其他性质：① 两个连续整数必一奇一偶，其和是奇数，其积是偶数.② 奇数的平方被4除余1；偶数的平方能被4整除；除以4余2或3的整数不是平方数.例10 2n (n 为正整数)不含大 于1的奇因数.例11 若两个整数的和(差)是奇数，则它们必一奇一偶.例12 若n 个整数的积是奇数，则它们都是奇数.例1. 设m 与n 都是正整数，试证明m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.证明：∵m 3－n 3＝（m －n ）(m 2+mn+n 2).当m －n 为偶数时，不论m 2+mn+n 2是奇数或偶数，m 3－n 3都是偶数；∴m －n 为偶数是m 3－n 3为偶数的充分条件.当m －n 为奇数时，m, n 必一奇一偶，m 2，mn ，n 2三个数中只有一个奇数，∴m 2+mn+n 2是奇数，从而m 3－n 3也是奇数.∴m －n 为偶数，是m 3－n 3为偶数的必要条件.综上所述m 3－n 3为偶数的充分必要条件是m －n 为偶数.例2. 求方程x 2－y 2=1990的整数解.解：(x+y)(x －y)=2×5×199.若x, y 同是奇数或同是偶数，则 x+y ，x －y 都是偶数，其积是4的倍数，但1990不含4的因数，∴方程左、右两边不能相等.若x, y 为一奇一偶，则x －y ，x+y 都是奇数，其积是奇数，但1990不是奇数，∴方程两边也不能相等.综上所述，不论x, y 取什么整数值，方程两边都不能相等.所以 原方程没有整数解本题是根据整数的一种分类：奇数和偶数，详尽地讨论了方程的解的可能性.练习：37. 设n 为整数，试判定n 2－n+1是奇数或偶数.38. 1001+1002+1003+……+1989其和是偶数或奇数，为什么？39. 有四个正整数的和是奇数，那么它们的立方和，不可能是偶数，试说明理由.40. 求证：方程x 2+1989x+9891=0没有整数根.41. 已知： ⎩⎨⎧=⨯⨯⨯⨯=++++.0321321n x x x x x x x x n n ； 求证：n 是4的倍数.42. 若n 是大于1的整数，p=n+(n 2－1)2)1(1n --试判定p 是奇数或偶数，或奇偶数都有可能.六. 按余数分类1. 整数被正整数 m 除，按它的余数可分为m 类，称按模m 分类.如：模m=2，可把整数分为2类:{2k}, {2k+1} k 为整数，下同模m=3，可把整数分为3类:{3k}, {3k+1}，{3k+2}.……模m=9，可把整数分为9类:{9k},{9k+1},{9k+2}.…{9k+8}.2. 整数除以9的余数，与这个整数各位上的数字和除以9的余数相同.如：6372，5273，4785各位数字和除以9的余数分别是0，8，6. 那么这三个数除以9的余数也分别是0，8，6.3. 按模m 分类时，它们的余数有可加，可乘，可乘方的性质.如：若a=5k 1+1, b=5k 2+2.则a+b 除以5 余数 是3 (1+2)；ab 除以5余2 (1×2)；b 2 除以5余4 (22).例1. 求19891989除以7的余数.解：∵19891989=(7×284+1)1989， ∴19891989≡11989 ≡1 (mod 7).即19891989除以7的余数是1.练习：43. 今天是星期一，99天之后是星期________.44. n 个整数都除以 n －1, 至少有两个是同余数，这是为什么？45. a 是整数，最简分数7a 化为小数时，若为循环小数，那么一个循环节最多有几位？4. 运用余数性质和整数除以9的余数特征，可对四则运算进行检验例2. 下列演算是否正确？① 12625+9568=21193 ； ② 2473×429=1060927.解：①用各位数字和除以9，得到余数：12625，9568，21193除以9的余数分别是7，1，7.∵ 7+1≠7， ∴演算必有错.② 2473，429，1060927除以9的余数分别是7，6，7.而7×6=42，它除以9余数为6，不是7，故演算也有错.注意：发现差错是准确的，但这种检验并不能肯定演算是绝对正确.练习：46. 检验下列计算有无差错：①372854－83275=289679 ； ②23366292÷6236=3748.5. 整数按模分类，在证明题中的应用例3. 求证：任意两个整数a 和b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.证明：把整数a 和b 按模3分类，再详尽地讨论.如果a, b 除以3，有同余数 (包括同余0、1、2)，那么a, b 的差是3的倍数；如果a, b 除以3，余数不同，但有一个余数是0，那么a, b 的积是3的倍数；如果a, b 除以3，余数分别是1和2，那么a, b 的和是3的倍数.综上所述任意两个整数a ，b ，它们的和、差、积中，至少有一个是3的倍数.(分类讨论时，要求做到既不重复又不违漏)例4. 已知： p ≥5，且 p 和2p+1都是质数.求证：4p+1是合数.证明：把整数按模3分类. 即把整数分为3k,3k+1,3k+2 (k 为整数)三类讨论∵p 是质数，∴不能是3的倍数，即p ≠3k ；当p=3k+1时, 2p+1=2(3k+1)+1=3(2k+1). ∴ 2p+1不是质数，即p ≠3k+1； 只有当质数p=3k+2时， 2p+1=2(3k+2)+1=6k+5.∴2 p+1也是质数， 符合题设.这时，4p+1=4(3k+2)+1=3(4k+3)是合数. 证毕练习：47. 已知：整数a 不能被2和3整除 . 求证：a 2+23能被24整除.48. 求证：任何两个整数的平方和除以8，余数不可能为6.49. 若正整数a 不是5的倍数. 则a 8+3a 4－4能被100整除.50. 已知：自然数n>2求证：2n －1和2n +1中，如果 有一个是质数，则另一个必是合数.51.设a,b,c 是三个互不相等的正整数，求证 a 3b －ab 3,b 3c －bc 3,c 3a －ca 3三个数中，至少有一个能被10整除.七. 整数解1. 二元一次方程 ax+by=c 的整数解：当a,b 互质时，若有一个整数的特解⎩⎨⎧==00y y x x 那么可写出它的通解)(00为整数k ak y y bk x x ⎩⎨⎧-=+= 2. 运用整数的和、差、积、商、幂的运算性质整数±整数=整数， 整数×整数=整数，整数÷(这整数的约数)=整数， (整数)自然数=整数3. 一元二次方程，用求根公式，根的判别式，韦达定理讨论整数解.4. 根据已知条件讨论整数解.例1. 小军和小红的生日.都在10月份，且星期几也相同，他们生日的日期的和等于34，小军比小红早出生，求小军的生日.解：设小军和小红的生日分别为x, y ，根据题意，得⎩⎨⎧=+=-347x y k x y (k=1,2,3,4) 2x=34－7k x=17－k 27 k=1, 3时， x 没有整数解；当k=2时， ⎩⎨⎧==.2410y x ， 当k=4时，⎩⎨⎧==.313y y x ， (10月份没有31日，舍去)∴小军的生日在10月10日例2. 如果一个三位数除以11所得的商，是这个三位数的各位上的数的平方和，试求符合条件的所有三位数.解：设三位数为100a+10b+c, a, b, c 都是整数，0<a ≤9，0≤b, c ≤9.那么 1191110100c b a b a c b a +-++=++ ， 且－8<a －b+c<18. 要使a －b+c 被11整除，其值只能是0和11. ( 1)当a －b+c=0时， 得9a+b=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －5)a+2c 2－c=0 根据韦达定理⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.2522121c c a a c a a ， 这是必要而非充分条件. ∵5－c>0, 以c=0, 1, 2, 3, 4 逐一讨论a 的解.当 c=2, 4时，无实数根； 当c=1, 3时，无整数解；只有当c=0时，a=5；或 a=0. (a=0不合题意，舍去)∴只有c=0, a=5, b=5适合∴所求的三位数是550；(2)当a －b+c=11时， 得9a+b+1=a 2+b 2+c 2.以b=a+c 代入，并整理为关于a 的二次方程，得2a 2+2(c －16)a+2c 2－23c+131=0.仿(1)通过韦达定理，由c 的值逐一以讨论a 的解.只有当c=3时, a=8, b=0适合所有条件.即所求三位数为803.综上所述，符合条件的三位数有550和803.练习：52. 正整数x 1, x 2, x 3,……x n 满足等式x 1＋x 2＋x 3＋x 4+x 5=x 1x 2x 3x 4x 4x 5那么 x 5的最大值是________.53. 如果p, q, pq q p 12,12-- 都是整数，.且p>1, q>1, 试求p+q 的值.54.能否找到这样的两个正整数m和n，使得等式m2+1986=n2成立. 试说出你的猜想，并加以证明.55.当m取何整数时，关于x的二次方程m2x2－18mx+72=x2－6x的根是正整数，并求出它的根.56.若关于x的二次方程（1+a）x2+2x+1－a=0的两个实数根都是整数，那么a的取值是________________.57.不等边三角形的三条边都是整数，周长的值是28，最大边与次大边的差比次大边与最小边的差大1，适合条件的三角形共有____个，它们的边长分别是：______________________________________________________________.58.直角三角形三边长都是整数，且周长的数值恰好等于面积的数值，求各边长.59.鸡翁一，值钱；，鸡母一，值钱三；鸡雏三，值钱一.百钱买百鸡，问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？60.甲买铅笔4支，笔记本10本，文具盒1个共付1.69元，乙买铅笔3支，笔记本7本，文具盒1个共付1.26元，丙买铅笔、笔记本、文具盒各1，应付几元？若1×2×3×4×……×99×100=12 n×M，其中M为自然数，n为使得等式成立的最大自然数，则M是( )(A).能被2整除，不能被3整除 . (B).能被3整除，但不能被2整除.(C).被4整除，不能被3整除. (D).不能被3整除，也不能被2整除.。