第21讲 正整数简单性质的复习

第21讲 正整数简单性质的复习

一. 连续正整数

1. n 位数的个数：一位正整数从1到9，共9个，两位数从10到99，共90个，三位数从100到999共9×102个，那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)

练习：1. 一本书共1989页，用0到9的数码，给每一页编号，总共要用数码＿＿＿个.

2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数；

100110021003……19881989是_______位数.

3. 除以3余1的两位数有____个，三位数有____个，n 位数有_______个.

4. 从1到100的正整数中，共有偶数____个，含 3的倍数____个；

从50到1000的正整数中，共有偶数____个，含3的倍数____个.

2. 连续正整数的和：1+2+3+……+n=(1+n)×2

n . 把它推广到连续偶数，连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.

练习：5.计算2+4+6+……+100=__________.

6.

1+3+5+……+99=____________. 7.

5+10+15+……+100=_________. 8.

1+4+7+……+100=____________. 9.

1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数？答______ 10.

和等于100的连续正整数共有______组，它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组，它们是__________________________.

3. 由连续正整数连写的整数，各位上的数字和

整数 123456789各位上的数字和是：(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45；

1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.

练习：12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.

13. 把由1开始的正整数依次写下去，直到第198位为止：

位

198011121234567891这个数用9除的余数是__________. 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中：

① 它是一个________位数；

② 它的各位上的数字和等于________；

③ 从这一数中划去100个数字，使剩下的数尽可能大，那么 剩下的数的前十

位是___________________________.

4.连续正整数的积：

① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.

② n 个连续正整数的积能被n!整除.

如：2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n －1). a 为整数.

③ n! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数，i=1,2,3… m i ≤n

如：1×2×3×…×10的积中，含质因数3的个数是：⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习：15. 在100!的积中，含质因数5的个数是：____

16.一串数1，4，7，10，……，697，700相乘的积中，末尾共有零______个

17. 求证：10494 | 1989!

18. 求证：4! | a(a 2－1)(a+2) a 为整数

5. 两个连续正整数必互质

练习：19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数，试证之.

二. 正整数十进制的表示法

1. n+1位的正整数记作：a n ×10n +a n －1×10n －1+……+a 1×10+a 0

其中n 是正整数，且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.

例如：54321=5×104+4×103+3×102

+2×10+1.

例题：从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证：A 能被99整除.

证明：A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33

=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.

∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1，即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)

∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )

=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)

=99k+45×11

=99k+99×5.

∴A 能被99整除.

练习：20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整

除

2. 常见的一些特例

99999个n =10 n －1, 33333个n =31(10 n －1), 9111111

= 个n (10 n －1). 例题：试证明12，1122，111222，11112222，……这些数中的任何一个，都是两个相邻的

正整数的积.

证明：第n 个数是

2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(9

2-n =)110(9

1

-n (10 n +2) =3

31103110+-⨯-n n =)13

110(3110+-⨯-n n =

33333个n ×433333

)1( 个-n . 证毕. 练习：21. 化简 99999个n × 99999个n +1

9

9999个n =_______________________________. 22. 化简

2

122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证

1

19901111个是合数. 24. 已知：存在正整数 n,能使数

1

1111个n 被1987整除. 求证：数p= 11111个n 99999个n 88888个n

7

7777个n 和 数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n

7

17777个+n 都能被1987整除. 25. 证明： 把一个大于1000的正整数分为末三位一组，其余部分一组，若这两组数

的差，能被7(或13)整除，则这个正整数就能被7(或13)整除.