第21讲 正整数简单性质的复习
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第21讲 正整数简单性质的复习
一. 连续正整数
1. n 位数的个数:一位正整数从1到9,共9个,两位数从10到99,共90个,三位数从100到999共9×102个,那么 n 位数的个数共__________.(n 是正整数)
练习:1. 一本书共1989页,用0到9的数码,给每一页编号,总共要用数码___个.
2. 由连续正整数写成的数1234……9991000是一个_______位数;
100110021003……19881989是_______位数.
3. 除以3余1的两位数有____个,三位数有____个,n 位数有_______个.
4. 从1到100的正整数中,共有偶数____个,含 3的倍数____个;
从50到1000的正整数中,共有偶数____个,含3的倍数____个.
2. 连续正整数的和:1+2+3+……+n=(1+n)×2
n . 把它推广到连续偶数,连续奇数以及以模m 有同余数的连续数的和.
练习:5.计算2+4+6+……+100=__________.
6.
1+3+5+……+99=____________. 7.
5+10+15+……+100=_________. 8.
1+4+7+……+100=____________. 9.
1+2+3+……+1989其和是偶数或奇数?答______ 10.
和等于100的连续正整数共有______组,它们是______________________. 11. 和等于100的连续整数共有_____组,它们是__________________________.
3. 由连续正整数连写的整数,各位上的数字和
整数 123456789各位上的数字和是:(0+9)+(1+8)+…+(4+5)=9×5=45;
1234…99100各位数字和是(0+99)+(1+98)+…+(49+50)+1=18×50+1=901.
练习:12. 整数 1234……9991000各位上的数字和是_____________.
13. 把由1开始的正整数依次写下去,直到第198位为止:
位
198011121234567891这个数用9除的余数是__________. 14. 由1到100这100个正整数顺次写成的数1234……99100中:
① 它是一个________位数;
② 它的各位上的数字和等于________;
③ 从这一数中划去100个数字,使剩下的数尽可能大,那么 剩下的数的前十
位是___________________________.
4.连续正整数的积:
① 1×2×3×…×n 记作n ! 读作n 的阶乘.
② n 个连续正整数的积能被n!整除.
如:2!|a(a+1), 3!|a(a+1)(a+2), n !|a(a+1)(a+2)…(a+n -1). a 为整数.
③ n! 中含有质因数m 的个数是⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n +⎥⎦⎤⎢⎣⎡2m n +…+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡i m n . [x]表示不大于x 的最大正整数,i=1,2,3… m i ≤n
如:1×2×3×…×10的积中,含质因数3的个数是:⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡2310310=3+1=4 练习:15. 在100!的积中,含质因数5的个数是:____
16.一串数1,4,7,10,……,697,700相乘的积中,末尾共有零______个
17. 求证:10494 | 1989!
18. 求证:4! | a(a 2-1)(a+2) a 为整数
5. 两个连续正整数必互质
练习:19. 如果n+1个正整数都小于2n, 那么必有两个是互质数,试证之.
二. 正整数十进制的表示法
1. n+1位的正整数记作:a n ×10n +a n -1×10n -1+……+a 1×10+a 0
其中n 是正整数,且0≤a i ≤9 (i=1,2,3,…n)的整数, 最高位a n ≠0.
例如:54321=5×104+4×103+3×102
+2×10+1.
例题:从12到33共22个正整数连写成A=121314…3233. 试证:A 能被99整除.
证明:A=12×1042+13×1040+14×1038+……+31×104+32×102+33
=12×10021+13×10020+14×1019+……+31×1002+32×100+33.
∵ 100的任何次幂除以9的余数都是1,即100 n =(99+1) n ≡1 (mod 9)
∴ A=99k+12+13+14+……+31+32+33 (k 为正整数 )
=99 k+(12+33)+(13+32)+…+(22+23)
=99k+45×11
=99k+99×5.
∴A 能被99整除.
练习:20. 把从19到80的连结两位数连写成19202122…7980.试证明这个数能被1980整
除
2. 常见的一些特例
99999个n =10 n -1, 33333个n =31(10 n -1), 9111111
= 个n (10 n -1). 例题:试证明12,1122,111222,11112222,……这些数中的任何一个,都是两个相邻的
正整数的积.
证明:第n 个数是
2122221111个个n n =)110(91 -n ×10 n +)110(9
2-n =)110(9
1
-n (10 n +2) =3
31103110+-⨯-n n =)13
110(3110+-⨯-n n =
33333个n ×433333
)1( 个-n . 证毕. 练习:21. 化简 99999个n × 99999个n +1
9
9999个n =_______________________________. 22. 化简
2
122222-1111个个n n =____________________________________________. 23. 求证
1
19901111个是合数. 24. 已知:存在正整数 n,能使数
1
1111个n 被1987整除. 求证:数p= 11111个n 99999个n 88888个n
7
7777个n 和 数q= 111111个+n 919999个+n 818888个+n
7
17777个+n 都能被1987整除. 25. 证明: 把一个大于1000的正整数分为末三位一组,其余部分一组,若这两组数
的差,能被7(或13)整除,则这个正整数就能被7(或13)整除.