(完整版)集合问题中常见易错点归类分析答案与解析

集合问题中常见易错点归类分析

有关集合问题，涉及范围广，内容多，难度大，题目灵活多变．初学时，由于未能真正理解集合的意义，性质，表示法或考虑问题不全，而造成错解．本文就常见易错点归纳如下：

1．代表元素意义不清致误

例1 设集合A ＝｛（x , y ）∣x ＋2 y ＝5｝，B ＝｛（x , y ）∣x －2 y ＝－3｝，求A I B ． 错解： 由⎩⎨⎧-=-=+3252y x y x 得⎩⎨⎧==2

1y x 从而A I B ＝{1，2}． 分析 上述解法混淆了点集与数集的区别，集合A 、B 中元素为点集，

所以A I B ＝{(1，2)}

例2 设集合A ＝{y ∣y ＝2x ＋1，x ∈R }，B ＝{x ∣y ＝x ＋2}，求Ａ∩Ｂ．

错解： 显然Ａ＝｛y ∣ｙ≥１｝Ｂ＝｛x ∣ｙ≥２｝．所以A ∩B=B ．

分析 错因在于对集合中的代表元素不理解，集合A 中的代表元素是y ，从而A ＝{ｙ∣ｙ≥1}，但集合B 中的元素为x , 所以B ＝{ x ∣x ≥0}，故A ∩B=A ．

变式：已知集合}1|{2+==x y y A ，集合}|{2y x y B ==，求B A I

解：}1|{}1|{2≥=+==y y x y y A ，R y x y B ===}|{2

}1|{≥=y y B A I

例3 设集合}06{2=--=x x A ,}06|{2

=--=x x x B ，判断A 与B 的关系。

错解：}32{，-==B A

分析：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。元素的属性可以是方程，可以是数，也可以是点，还可以是集合等等。集合A 中的元素属性是方程，集合B 中的元素属性是数，故A 与B 不具包含关系。

例4设B ＝{1,2}，A ＝{x |x ⊆B }，则A 与B 的关系是( )

A ．A ⊆

B B ．B ⊆A

C ．A ∈B

D ．B ∈A

错解：B

分析：选D.∵B 的子集为{1}，{2}，{1,2}，∅，

∴A ＝{x|x ⊆B}＝{{1}，{2}，{1,2}，∅}，从集合与集合的角度来看待A 与B ，集合A 的元素属性是集合，集合B 的元素属性是数，两者不具包含关系，故应从元素与集合的角度来看待B 与Ａ，∴B ∈A.

评注：集合中的代表元素，反映了集合中的元素所具有的本质属性，解题时应认真领会，以防出错．

2 忽视集合中元素的互异性致错

例5 已知集合A={１，3，a }，B={１，2a －a ＋１}, 且A ⊇B ，求a 的值．

错解：经过分析知，若2a －,31=+a 则2a ,02=--a 即1-=a 或2=a ．若2a ,1a a =+-则2a ,012=+-a 即1=a ．从而a ＝－１，１，２．

分析 当a ＝１时，A 中有两个相同的元素1，与元素的互异性矛盾，应舍去，故a ＝－１，２．

例6 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 错解：由2x ＋（ｂ＋２）ｘ＋ｂ＋１＝０得 （ｘ＋１）（ｘ＋ｂ＋１）＝０

（１）当ｂ＝０时，ｘ1 ＝x 2 －１，此时Ａ中的元素之和为－２．

（２）当ｂ≠０时，ｘ1 ＋x 2 ＝－ｂ－２．

分析 上述解法错在（１）上，当ｂ＝０时，方程有二重根－１，集合Ａ＝｛－１｝，故元素之和为－１，犯错误的原因是忽视了集合中元素的“互异性”．因此，在列举法表示集合时，要特别注意元素的“互异性”．

评注：集合中的元素具有确定性、无序性、互异性，集合元素的三性中互异性对解题的影响最大，特别是带有字母参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。在解题时也可以先确定字母参数的范围后，再具体解决问题。

３．忽视空集的特殊性致误

例7 若集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，且B

A ，求实数m 的值． 错解：A ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3,2}．

∵B A ，

（１）}3{-=B

mx ＋1＝0的解为－3，

由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13

； （２）}2{=B

mx ＋1＝0的解为2，

由m ·2＋1＝0，得m ＝－12

； 综上所述，31=m 或2

1-=m 分析：空集是任何集合的子集，此题忽略了φ=B 的情况。

正解：A ＝{x |x 2

＋x －6＝0}＝{－3,2}．

∵B A ，

（１）φ=B ，此时方程01=+mx 无解，0=∴m

（２）}3{-=B

mx ＋1＝0的解为－3，

由m ·(－3)＋1＝0，得m ＝13

； （３）}2{=B

mx ＋1＝0的解为2，

由m ·2＋1＝0，得m ＝－12； 综上所述，31=

m 或2

1-=m 或0=m 例8 已知}04|{2=+=x x x A ，}01)1(2|{22=-+++=a x a x x B ，若A B ⊆，求ａ的取值范围。

解：}0,4{}04|{2

-==+=x x x A

（１）φ=B ，0)1(8)1(4)1(422<+=--+=∆a a a ，即1-

（２）}4{-=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根－４ 由⎩⎨⎧=-++-=∆01)1(81602a a 得⎩⎨⎧=-=7

11或a a ，所以无解 （３）}0{=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两等根０

由⎩⎨⎧=-=∆0102a 得⎩⎨⎧±=-=1

1a a ，所以1-=a

（４）}0,4{-=B ，方程01)1(222=-+++a x a x 有两不等根－４，０

由⎪⎩

⎪⎨⎧-=*-+-=+->∆104)1(20402a a 得⎪⎩⎪⎨⎧±==->111a a a ，所以 1=a

综上所述，1=a 或1-≤a

例9 已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}32|{+≤≤=a x a x B ，若A B ⊆，求ａ的取值范围。

解：（１）φ=B ，32+>a a 得3>a

（２）φ≠B ，则3≤a

⎩⎨⎧-<+≤133a a 或⎩⎨⎧>≤4

23a a 得4-a

例１０ 已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}11|{a x a x B +≤≤-=，若Φ=B A I ，求ａ的取值范围。

解：（1）Φ=B ，则0

（2）Φ≠B ，则2041110≤≤⇒⎪⎩

⎪⎨⎧<+-≥-≥a a a a

综上所述，2≤a

变式：已知集合}41|{>-<=x x x A 或，}11|{a x a x B +≤≤-=，若Φ≠B A I ，求ａ的取值范围。

解：当Φ=B A I 时，2≤a

所以当Φ≠B A I 时，2>a

评注：对于任何集合Ａ，皆有ＡI φ＝φ，Ａ∪φ＝Ａ，φ⊆Ａ．φ的特殊性不容忽视．尤其是在解含有参数的集合问题时，更要充分注意当参数在某个范围内取值时所给的集合可能是空集这种情况。空集是一个特殊的集合，由于思维定式的原因，考生往往会在解题中遗忘了这个集合，导致解题错误或是解题不全面。

４．忽视端点值能否取得致误

例11 已知集合A ＝{ｘ∣ｘ≥４，或ｘ＜－５}，Ｂ＝｛ｘ∣a ＋１≤ｘ≤a ＋３｝，若Ａ∪Ｂ＝Ａ，求a 得取值范围．

错解：由Ａ∪Ｂ＝Ａ得 Ｂ⊆Ａ．

∴a ＋３≤－５，或a ＋１≥４，解得a ≤－８，或a ≥３．