两个随机变量函数的分布
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两个随机变量的函数的分布
f (x, z x)dx
fX (x) fY (z x)dx
f (z y, y)dy fX (z y) fY (y)dy
连续场合 的卷积公 式
类似可得： fX Y (z)
f (x, x z)dx
fX (x) fY (x z)dx
f (z y, y)dy
fX (z y) fY ( y)dy
(3) 当 1 < z 时,
fZ (z)
1 e(zx)dx ez (e 1).
0
1x
1 ez, 0 z 1
故 fZ (z) ez (e 1), z 1 .
0,
其他
例6 设 X与Y 是独立同分布的标准正态变量，求Z = X+Y 的分布.
解
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
fXY (z)
f (x, z ) 1 dx x | x |
fX
(x)
fY
(
z) x
|
1 x
|
dx
f ( z , y) 1 dy y | y |
z
1
fX
(
) y
fY
(
y)
|
y
|
dy
fX /Y (z)
f (yz, y) | y | dy
fX ( yz) fY ( y) | y | dy
应用：若 Xi b(1, p)， i=1, 2, …, n且相互独立，则 Z = X1 + X2 + … + Xn b(n, p). 相互独立的0-1分布随机变量之和服从二项分布
二、两个连续型随机变量的和差积商概率密度公式
定理1 数为
设连续型随机变量X与Y 独立，则 Z=X+Y 的密度函
两个随机变量函数的分布
z
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
x 0 x 0
z
x
0
z
x
zx
0
x
fZ (z)
z xe x (z x)e(z x)dx,
0
当z 0
fZ (z) ez
z
x(z x)dx
0
fZ (z) ez
z (zx x2 )dx
0
z3ez 6
,
z0
0, z 0
作业中的问题
习题二 P70
5. (1) 设随机变量X的分布律为
P(Z 1) P( X 0,Y 1) 0
P(Z 2) P( X 1,Y 1) 3 8
P(Z 3) P(X 2,Y 1) P(X 0,Y 3)
314 88 8
Z123456 pk 0 3/8 4/8 0 0 1/8
例: (P73) 泊松分布的可加性
若X,Y相互独立, X~P(
1
x2
e 2,
x
2
1
y2
e 2,
y
2
求Z=X+Y的概率密度。
解：由卷积公式
fZ z
f
X
x
fY
z
x dx
1
x2 zx2
e 2 e 2 dx
2
( x2 zx z2 ) ( x z )2 z2
2
24
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令x z t
y0
试就以上三种联接方式分别写出L的寿命Z的概率密度.
解:(1)串联的情况: Z = min (X,Y) X,Y的分布函数分别为：
1 e x , x 0
FX
(
x)
两个随机变量函数的分布
解: X 0
1
P 1/2 1/2
Y0
1
P 1/2 1/2
(XP,{YZ)=的zk取} 值= P数{对g(为X,(Y0),0=),(z0k,}1=),(1,0),(1p,i1j ,),k 1,2,
Z=max(X,Y)的取值为:0,1
i, j
g( xi , y j )zk
P{Z=0}=P{X=0,Y=0}= P{X=0}P{Y=0} =1/4
（1）
1
f(x, y)dxdy
ke(xy)dxdy k k 1
00
(2)F(x,
y)
x 0
y e-(uv)dudv
0
(1 e-x )(1 ey ),0 x ,0 y
0, 其 它
( 3 )P( 0 X 1,0 Y 2 ) 1 2 e( x y )dxdy ( 1 e1 )( 1 e2 ) 00
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
fZ ( z ) fX ( x ) fY ( z x )dx
1
x2
e2
2
1
( z x )2
e 2 dx
2
1
z2
e4
( x z )2
e 2 dx
2
令 t x z ，得
2
fZ (
z
)
1
2
z2
e4
et2 dt
1
z2
g( xi , y j )zk
概率 1/10 2/10 3/10 2/10 1/10 1/10
（X,Y）(-1,-1) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,1) (2,2)
两个随机变量的函数的分布
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) < f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递增。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
单调递减
如果对于所有x1 < x2，都有f(x1) > f(x2)，则函数f(x)在其定义 域内单调递减。
有界性
有上界
如果存在一个实数M，使得对于所有x 属于定义域，都有f(x) <= M，则称 函数f(x)有上界。
两个随机变量的函数的实际 应用
金融领域
金融风险评估
在金融领域中，两个随机变量的函数可以用于评估投资组合的风险。例如，通过计算两 个资产收益率的协方差矩阵，可以了解不同资产之间的相关性，从而制定风险管理策略。
期权定价
在期权定价模型中，标的资产的价格通常被视为一个随机变量。通过引入另一个随机变 量，如无风险利率或波动率，可以构建更复杂的期权定价模型，如二叉树模型和蒙特卡
幂函数
若$X$是随机变量，$n$是自然数，则$X^n$的期望是 $E(X^n)=nE(X)$。
方差的计算
1 2 3
线性函数
若$X$是随机变量，$a$和$b$是常数，则 $aX+b$的方差是$D(aX+b)=a^2D(X)$。
乘积函数
若$X$和$Y$是随机变量，则$X times Y$的方差 是$D(X times Y)=D(X) times D(Y)+[E(X)E(Y)]^2$。
04
CHAPTER
两个随机变量的函数的图像 和性质
图像的绘制
直方图
通过将数据分组并在每个组上绘制矩 形来绘制直方图，矩形的面积等于该 组的频数，高度等于组的中位数。
折线图
散点图
将两个随机变量在坐标系上标出，并 绘制点来表示它们的值。
两个随机变量函数的分布
P{Z 3} P{X Y 3} P{X 3，Y 1} 3 ， 20
P{Z 4} P{X Y 4} P{X 4，Y 4} 1 ， 20
于是得Z =X +Y 的分布律(表3-13)
表3-13
同理可得，Z = XY 的分布律为(表3-14)。
表3-14
例3.17 设X，Y 相互独立，且分别服从
求随机变量Z =X +Y 的分布密度.
解 X，Y 相互独立，所以由卷积公式知
fZ (z) f X (x) fY (z x) dx
。
由题设可知 fX (x) fY ( y)只有当0 x 1 ，y 0 ，即当0 x 1
且z x 0 时才不等于零。现在所求的积分变量为x，z 当作参数,
当积分变量满足x 的不等式组时，被积函数
概率学与数理统计
两个随机变量函数的分布
设( X , Y )为二维随机变量，则 Z ( X ，Y ) 是( X , Y )的
函数，Z 是一维随机变量，现在的问题是如何由( X , Y )的分 布，求出Z 的分布，就是已知二维随机变量( X , Y )的分布律
或密度函数，求Z ( X ，Y ) 的分布律或密度函数问题。
特别地，当X 和Y 相互独立时，设( X , Y )关于X，Y 的边缘
概率密度分别为fX (x)，fY (y)，则有
fZ (z)
fX
(z
y)
fY
dy
，
及
(3.18)
fZ (z)
fX
(x)
fY
(z
x) dx
。
(3.19)
这两个公式称为卷积(Convolution)公式，记为 fX fY 即
0 x 1
3.5两个随机变量的函数的分布
1
2
x2 y2 z
x2 y2
e 2 dxdy
x2 y2 z
作极坐标变换 x r cos ， y r sin ， 则有
FZ
z
1
2
z r2
z r2
d e 2 rdr e 2 rdr
2 0 0
0
z r2
FZ
z
0
e
2 rdr 0
z0 z0
Z= X2 +Y2的概率密度
f
Z
z
ze
Fm ax( z )
FX
( z ) FY
(z)
(1 0,
ez
)(1
e z
),
z 0, z 0.
于是Z的概率密度为
fmax(z)
ez
0,
e z
(
)
e(
)z
,
z 0, z 0.
(3)备用的情况
由于这时当系统L1损坏时系统L2才开始工作, 因此整个系统L的寿命Z是L1,L2两者寿命之和, 即 Z=X+Y 按(5.3)式, 当z>0时Z=X+Y的概率密度为
f (z)
fX (z y) fY ( y) d y
e (z y) ey d y
ez
z 0
e( ) y
d
y
[ez
ez ].
当z0时, f(z)=0, 于是Z=X+Y的概率密度为
f
(
z
)
[ez
e
z
],
z 0,
0,
z 0.
作业 第三章习题
第106-108页 第19、21题
PX 10 PY 6 0.3 0.6 0.5 0.4 0.38 PZ=17 PX 10,Y 7 PX 11,Y 6 PX 10 PY 7
3.5 两个随机变量的函数的分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人 , 令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压 ,并且已知 Z 与
X , Y 的函数关系 Z = g ( X ,Y ),如何通过 X ,Y 的分
(iii)备用的情况
由于这时当系统 L1 损坏时,系统 L2 才开始工 作, 因此整个系统 L 的寿命 Z 是 L1 , L2 两者之和： 两者之和：
Z = X +Y
当 z > 0 时 Z = X + Y 的概率密度为
f (z ) = ∫
∞
−∞
f X ( z − y ) fY ( y ) d y
= ∫ αe − α ( z − y ) βe − βy d y
(1 − e − αz )(1 − e − βz ), z > 0, Fmax ( z ) = FX ( z ) ⋅ FY ( z ) = 0, z ≤ 0.
Z = max{ X , Y }的概率密度为
αe − αz + βe − βz − (α + β )e −( α + β ) z , z > 0, f max ( z ) = z ≤ 0. 0,
分布函数为
Fmax ( z ) = P { M ≤ z } = P { X ≤ z ,Y ≤ z }
=P { X ≤ z } P {Y ≤ z }.
即有 Fmax ( z ) = FX ( z )FY ( z ). 类似地, 类似地
可得 N = min{ X , Y }的分布函数为
Fmin (z ) = P { N ≤ z } = 1 − P{ N > z } (z
概率统计课件3.5两个随机变量的函数的分布.
2018/10/8
e
1
k 2
k!
e
2
1
1!
e
1
k 1 2
( k 1)!
e
2
k 1
k!
e
1
e
2
1 ( 1 2 ) k k e [2 12k 1 k! 1!
1k ]
k
(1 2 ) ( 1 2 ) 1 ( 1 2 ) k e (1 2 ) e k! k!
参数为 i , 的分布, 则其和 X1 X 2
服从参数为 2018/10/8
Xn
i 1
n
i
, 的分 布.
1 1 ▲ 特别当 1 2 n , 时， 2 2 X X1 X 2 X n 的密度函数为：
x n 1 1 2 2 x e x0 n f X ( x ) 2 2 ( n 2 ) 0 x0 此时则称 X 服从自由度为 n 的开平方分布，记 2 X ~ (n) 为：
第五节 两个随机变量的函数的分布
Z X Y
的分布
M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
小结
研究的问题 在一维随机变量中讨论了：已知随机 变量 X 及它的分布，如何求其函数 Y g( X ) 的分布。 在多维随机变量中需讨论：已知随机变 量X1, X2, …,Xn 及其联合分布，如何求 出它们的函数： Yi =gi (X1, X2, …,Xn ), i = 1, 2,…, m 的联合分布。
X 与 Y 的取值均为： 0, 1, 2,
Z 的取值也为非负的整数 k P (Z k) P ( X Y k)
§3.3 随机变量的独立性§3.4 两个随机变量函数的分布
第9页
例3.3.2 已知 (X, Y) 的联合密度为
e x y , f (x, y ) 0, 问 X 与Y 是否独立？
解: 边缘分布密度分别为:
( x y ) dy e x x 0 0 e f (x) x0 0
x 0, y 0; 其 他.
若(X,Y)的所有可能取值为(xi, yj) (i, j=1, 2, …), 则X与 Y相互独立的充分必要条件是对一切 i, j=1, 2,… , 有 P{X = xi，Y= yj}= P{X= xi}· P{Y= yi}
（Pij Pi P ） j
第3章
§3.3—3.4
第7页
2. (X, Y)是连续型
14
14
16
18
18
1 12
( X,Y ) (-1,-1) (-1,0) (1,-1) (1,0) (2,-1) (2,0) X +Y -2 0 1 -1 -1 0 0 2 -1 1 1 0 1 3 -2 2 2 0
dx
0
1/2
e y dy
1 2
1 e1 2e
第3章
§3.3—3.4
第6页
§3.3 随机变量的独立性
定义 设两个随机变量X, Y, 若对任意的实数 x, y 有 F(x，y) = FX(x) FY(y) 即 P{X≤x, Y≤y} = P{X≤x} P{Y≤y}
则称随机变量X与Y是相互独立的。 1. (X, Y)是离散型
e y , 0 x y f ( x, y ) 其他 0,
求概率P{X+Y≤1}.
第3章
§3.3—3.4
第4页
D为 2x+3y≤6. 1.解:
《概率论》第3章§5两个随机变量的函数的分布
FP( X i z1 P n } 设 Xi ~ = Xi {x),≤=},2,{Y,≤,z且 X1 , X2 ,, Xn 相互独立
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
= P{X ≤ z,Y ≤ z}
则
Fmax (z) = F (z)
F (z) = P{min(X ,Y) ≤ z} min = FX1 (z)FX,2 (z)z} FXn (z) = 1 P{min(X Y) > F (z) =1P{{min(,Y 1,zX2 ,, Xn ) ≤ z } = P X > z X> } min n = 1∏ > } P(z > [ =1 P{X1zFXi {Y )] z} i =1 =1 ,[1,,{X 独立同分布于 F(x)时有 X1 X2 P Xn ≤ z}][1 P{Y ≤ z}] 特别当 n = 1[1 FX (z)][1 F (z)] n Y
z
2σ 2
∴
z e ,z ≥0 2 fZ (z) = σ 分布) (瑞利Rayleigh分布) 0 , z第三章 多维随机变量及其分布 <0
ρ d 2 =1 e 2σ2 2σ 2
z 2σ 2
(z ≥ 0)
§5 两个随机变量的函数的分布
11/15 11/15
设 X ~ FX (x),Y ~ F ( y) ,且 X,Y 相互独立 ,则 Y F (z) = P{max(X ,Y) ≤ z} max
∵ Fmax (z) = F (z) ∴ fmax (z) = 2 f (z)F(z)
2
= 2 f (z)∫∞ f (t)dt ∵ Fmin (z) = 1[1 F(z)]2
∴ fmax (z) = 2 f (z)[1 F(z)]
= 2 f (z)[1 ∫∞ f (t)dt]
第三章第五讲 两个随机变量的函数的分布
FY y 1 ；y<a, FY y 0
=X的分布函数值表示此区间概率
二 连续型 已知 ( X , Y ) 的联合密度函数 f ( x, y) , Z g ( X , Y ) ,其中
z g ( x, y) 为连续函数,求 Z 的密度函数.
思路：分布函数方法（先求Z的分布函数，然后对其 求导得其密度函数）
FZ ( z )
g ( x , y ) z
f ( x, y )dxd y (u )du
z
得f Z ( z )=FZ ( z )= ( z )
二 U max( X , Y )及V min( X , Y )的分布
设X , Y是两个相互独立的随机变量, 它们的分布函数 分别为FX ( x)和FY ( y)。现求U及V的分布函数
0
z
z 1
Z
1
0
X
即
fZ ( z)
( x) fY ( z x)dx e
0
1
( z x)
dx, z 1
其它
(e 1)e z ,
1－e , 0 z 1
z
0
z 1
其它
总结公式 （1）Z X Y的分布
f Z ( z)
f ( x, z x) d x=
1 2
z2 4
e
x2 2
e
( z x )2 2
dx
1 e 2
2
e
z ( x ) 2 2
dx
令
1 fZ ( z) e 2
z t x 2
两个随机变量函数的分布
解 X 、Y 的概率密度
1, fX (x) 0,
x [0,1] 其它
1, fY ( y) 0,
y [0,1] 其它
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 fZ z，则有
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
《概率统计》
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结束
法一
0
z
[ f ( yu, y) | y | dy]du
D: x z y
故Z=X / Y的概率密度为 fz (z) f ( yz, y) | y | dy
特别地，当X、Y相互独立时有
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结束
（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)
求 Z=X / Y的概率分布。
解 Fz (z) P{Z z} P{X /Y z} f (x, y)dxdy
y z
0
D
结束
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
0 4/10
P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10
Z -1 0 2 3 5 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10
1, fX (x) 0,
x [0,1] 其它
1, fY ( y) 0,
y [0,1] 其它
设随机变量 Z X Y 的密度函数为 fZ z，则有
fZ (z) fX (x) fY (z x)dx
《概率统计》
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结束
法一
0
z
[ f ( yu, y) | y | dy]du
D: x z y
故Z=X / Y的概率密度为 fz (z) f ( yz, y) | y | dy
特别地，当X、Y相互独立时有
《概率统计》
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结束
（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y)
求 Z=X / Y的概率分布。
解 Fz (z) P{Z z} P{X /Y z} f (x, y)dxdy
y z
0
D
结束
z
FZ (z)
[ f (u y, y)dy]du
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
fZ (z) FZ' (z)
f (z y, y)dy
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
fZ (z) FZ' (z)
f (x, z x)dx
0 4/10
P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10
Z -1 0 2 3 5 pk 1/10 1/20 9/20 0 4/10
概率论-两个随机变量函数的分布
由此可得
0, 1 e z , 4 f Z ( z ) 1 z 1 ( z 1) , 4 e 2 e 1 e z 1 e ( z 1) 1 e ( z 2) , 4 2 4 z 0, 0≤z 1, 1≤z 2, z≥2.
第三章
多维随机变量及其分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
1、二维离散型随机变量的函数分布
问题
已知随机变量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法
将关于 Z 的事件转化为关于( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散型随机变量时, Z 也是离散型.
Y 服从参数为λ 的指数分布，求 Z = X + Y 的概率密度 函数. 解 由题意知, Y的概率密度函数为
e y , fY ( y ) 0, y 0, y≤0.
记 Y 的分布函数为FY ( y )，Z 的分布函数为FZ(z). 显然， X i Ω, 由分布函数的定义及全概率公式
Z z k g ( xi , y j )
k k
P Z zk
g ( xik , y jk ) zk
P X xik , Y y jk
k 1,2,
当( X ,Y )为连续随机变量时，
FZ ( z ) P Z z P g ( X , Y ) z
求出Z的概率密度 f Z ( z ).
例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1, 0 x 1, 0 y 2 x, f ( x, y ) 0, 其他.
求 Z = 2X – Y 的分布函数 FZ ( z ) 和概率密度 fZ (z). 解 采用分布函数法,如图所示. 当 z ≤0 时, 有 FZ ( z ) 0;
0, 1 e z , 4 f Z ( z ) 1 z 1 ( z 1) , 4 e 2 e 1 e z 1 e ( z 1) 1 e ( z 2) , 4 2 4 z 0, 0≤z 1, 1≤z 2, z≥2.
第三章
多维随机变量及其分布
第五节
两个随机变量的函数的分布
1、二维离散型随机变量的函数分布
问题
已知随机变量( X ,Y )的概率分布, g(x, y) 为已知的二元函数, 求 Z = g( X ,Y )的概率分布
方法
将关于 Z 的事件转化为关于( X ,Y )的事件
当( X ,Y )为离散型随机变量时, Z 也是离散型.
Y 服从参数为λ 的指数分布，求 Z = X + Y 的概率密度 函数. 解 由题意知, Y的概率密度函数为
e y , fY ( y ) 0, y 0, y≤0.
记 Y 的分布函数为FY ( y )，Z 的分布函数为FZ(z). 显然， X i Ω, 由分布函数的定义及全概率公式
Z z k g ( xi , y j )
k k
P Z zk
g ( xik , y jk ) zk
P X xik , Y y jk
k 1,2,
当( X ,Y )为连续随机变量时，
FZ ( z ) P Z z P g ( X , Y ) z
求出Z的概率密度 f Z ( z ).
例3 设二维随机变量(X,Y)的概率密度为
1, 0 x 1, 0 y 2 x, f ( x, y ) 0, 其他.
求 Z = 2X – Y 的分布函数 FZ ( z ) 和概率密度 fZ (z). 解 采用分布函数法,如图所示. 当 z ≤0 时, 有 FZ ( z ) 0;
两个随机变量的函数的分布
+∞ −∞
fZ (z) = ∫ fZV (z, v)dv =
∫
+∞
−∞
f (zv, v) | v | dv
Hale Waihona Puke 例5 已知( X, Y ) 的联合分布函数为 −x −y −( x+ y ) , x > 0, y > 0 ⎧1− e − e + e F(x, y) = ⎨ 0, 其他 ⎩ 求Z = X / Y 的 p.d.f. 解
r i =0
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
由卷积公式
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
= ∑e
i =0
r
i =0 r
-λ1
i λ1
i!
⋅e
r
-λ2
r λ2-i
(r - i)!
e − ( λ1 + λ2 ) = r!
§3.4
两个随机变量的函数的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分 布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
⎧e , x > 0, 1 − FX ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 1,
i
−λx
⎧nλe , x > 0 f X ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0,
− nλx
(2) X = max{ X 1 , X 2 ,
FX ( x ) = ∏ FX ( x )
fZ (z) = ∫ fZV (z, v)dv =
∫
+∞
−∞
f (zv, v) | v | dv
Hale Waihona Puke 例5 已知( X, Y ) 的联合分布函数为 −x −y −( x+ y ) , x > 0, y > 0 ⎧1− e − e + e F(x, y) = ⎨ 0, 其他 ⎩ 求Z = X / Y 的 p.d.f. 解
r i =0
i=0,1,2,… j=0,1,2,…
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
由卷积公式
P ( Z = r ) = ∑ P ( X = i,Y = r − i )
= ∑e
i =0
r
i =0 r
-λ1
i λ1
i!
⋅e
r
-λ2
r λ2-i
(r - i)!
e − ( λ1 + λ2 ) = r!
§3.4
两个随机变量的函数的分布
在第二章中，我们讨论了一维随机函数的分 布，现在我们进一步讨论: 当随机变量X1, X2, …,Xn的联合分布已知时， 如何求出它们的函数 Y=g(X1, X2, …,Xn), i=1,2,…,m 的分布? 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题， 然后将其推广到多个随机变量的情形.
⎧e , x > 0, 1 − FX ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 1,
i
−λx
⎧nλe , x > 0 f X ( x) = ⎨ x≤0 ⎩ 0,
− nλx
(2) X = max{ X 1 , X 2 ,
FX ( x ) = ∏ FX ( x )
两个随机变量的函数的分布
它们的分布函数分别为
FX1 (x1), FX2 (x2 ),L, FXn (xn )
y
则M = max(X1,X2,L,Xn )的分布函数为
Fmax (z) = FX1 (z) * FX2 (z)L FXn (z)
O
x
同样, N = min(X1,X2,L,Xn ),有
Fmin (z) = 1- [1- FX1 (z)]*[1- FX2 (z)]*L[1- FXn (z)]
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解 由于
fX (x) = fY ( y) =
1
-x2
e2
2
1
- y2
e2
2
- < x < - - < y < +
因此,由卷积公式有
fZ (z) = + fX (x) fY (z - x)dx = 1
其 它.
得所求密度函数 (当z 0时)
pZ (z) =
2 ye- e yz -2 y d y =
0
2 ye- y(2+z) d y
0
2 = (2 + z)2 ,
( 当 z 0 时 ) pZ (z) = 0,
得
pZ
(z)
=
(2
2 + z)2
,
z
0,
0,
z 0.
变量代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z) =
[
-
-
f (u - y, y)du]dy
z
= [ f (u - y, y)dy]du - -
FX1 (x1), FX2 (x2 ),L, FXn (xn )
y
则M = max(X1,X2,L,Xn )的分布函数为
Fmax (z) = FX1 (z) * FX2 (z)L FXn (z)
O
x
同样, N = min(X1,X2,L,Xn ),有
Fmin (z) = 1- [1- FX1 (z)]*[1- FX2 (z)]*L[1- FXn (z)]
例2 设X,Y是相互独立的服从标准正态分布N(0, 1)的 随机变量。求Z=X +Y的概率密度。
解 由于
fX (x) = fY ( y) =
1
-x2
e2
2
1
- y2
e2
2
- < x < - - < y < +
因此,由卷积公式有
fZ (z) = + fX (x) fY (z - x)dx = 1
其 它.
得所求密度函数 (当z 0时)
pZ (z) =
2 ye- e yz -2 y d y =
0
2 ye- y(2+z) d y
0
2 = (2 + z)2 ,
( 当 z 0 时 ) pZ (z) = 0,
得
pZ
(z)
=
(2
2 + z)2
,
z
0,
0,
z 0.
变量代换, 令x=u-y,得
z
FZ (z) =
[
-
-
f (u - y, y)du]dy
z
= [ f (u - y, y)dy]du - -
两个随机变量的函数的分布-m
如果两个随机变量相互独立，那么它们的积的分布可以通过乘积概率质量 函数计算。
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
如果两个随机变量不是独立的，那么它们的积的分布可能需要使用联合概 率质量函数进行计算。
应用
金融领域
在金融领域中，两个随机变量的函数的分布可以用于计算投资组合的风险和回报。例如，股票价格的两个随机变量的 函数的分布可以用于计算股票的波动率和相关性。
1. 深入研究两个随机变量的函数的分布-m的性质，探索更多有趣的性质和结论 。
03
2. 将两个随机变量的函数的分布-m的理论应用于实际问题中，为解决实际问题 提供新的思路和方法。
展望
3. 进一步拓展两个随机变量的函数的分布-m的理论，与其他相关理论进行交叉研究，以期取得更多 的创新成果。
实际应用前景：两个随机变量的函数的分布-m的理论不仅在理论上具有重要意义，在实际应用中也具 有广阔的前景。例如，在金融、通信、物理等领域中，都可以利用两个随机变量的函数的分布-m的理 论进行建模和分析。未来，随着科技的不断发展，这一理论的应用前景将更加广阔。
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03 两个随机变量的函数的期 望和方差
联合期望和方差
联合期望
E[g(X,Y)]，其中g(X,Y)是两个随机变 量X和Y的函数。
联合方差
D[g(X,Y)]，衡量g(X,Y)的取值与其期望 的偏离程度。
条件期望和方差
条件期望
E[g(X,Y)|X=x]或E[g(X,Y)|Y=y]，即在给定X或Y的条件下， g(X,Y)的期望。
独立性
01
如果两个随机变量X和Y相互独立，那么它们的函数也具有独立 性。
02
独立性意味着一个随机变量的取值不会影响到另一个随机变量
概率论3-4节两个随机变量的函数的分布-优质课件
第3.4节 两个随机变量的函数的分布
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知Z 与 X , Y 的函数关系Z f ( X ,Y ), 如何通过X ,Y 的 分布确定Z 的分布.
1113 22 22 22 22 .
故Z max(X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1
3
P
4
4
三、连续型随机变量函数的分布
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为p(x, y), 则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} p(x, y) d x d y x yz
解 由于 pX ( x)
1
x2
e 2 , x ,
2
pY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
pZ (z) pX (x) pY (z x) d x.
得
pZ (z)
1
x2 ( z x )2
e 2e 2 dx
1
1
3
1
12 12 12
1 2 3
概率 1
12
2
1
12 12
2
0
12
132
12 12 12
0 等价于
2 12 12 2 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
一、问题的引入 二、离散型随机变量函数的分布 三、连续型随机变量函数的分布 四、小结
一、问题的引入
有一大群人,令 X 和 Y 分别表示一个人的 年龄和体重, Z 表示该人的血压,并且已知Z 与 X , Y 的函数关系Z f ( X ,Y ), 如何通过X ,Y 的 分布确定Z 的分布.
1113 22 22 22 22 .
故Z max(X ,Y ) Z 0
1
的分布律为
1
3
P
4
4
三、连续型随机变量函数的分布
1. Z=X+Y 的分布
设( X ,Y )的概率密度为p(x, y), 则Z X Y
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} p(x, y) d x d y x yz
解 由于 pX ( x)
1
x2
e 2 , x ,
2
pY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
pZ (z) pX (x) pY (z x) d x.
得
pZ (z)
1
x2 ( z x )2
e 2e 2 dx
1
1
3
1
12 12 12
1 2 3
概率 1
12
2
1
12 12
2
0
12
132
12 12 12
0 等价于
2 12 12 2 12 12 12
( X ,Y )
(1,2)
(1,1) (1,0)
1 2
,2
两个随机变量的函数的分布
yf ( yu, y) d y d u
0
0
同理可得
z0
f
(x,
y) d
xd
y
yf
( yu,
y) d
y du,
G2
故有 FZ (z) P{Z z}
f (x, y) d x d y f (x, y) d x d y
G1
G2
z
0
[ yf (yu, y)d y yf (yu, y)d y]du.
的分布函数为
FZ (z) P{Z z} f (x, y) d x d y x yz
zy
[ f (x, y) d x] d y
x u y
z
[ f (u y, y) d u]d y
y x yz
O
x
z
[ f (u y, y) d y]d u.
例4 设两个独立的随机变量 X 与Y 都服从标准正 态分布,求 Z=X+Y 的概率密度.
解
由于 fX (x)
1
x2
e 2,
2
x ,
fY ( y)
1
y2
e 2,
2
y ,
由公式
fZ (z) f X (x) fY (z x) d x.
G1
G2
yz f (x , y) d x d y 0
f (x, y)d xd y,
0
yz
O
xz y
x
令u x y ,
G2
yz
《概率论与数理统计》课件3-6两个随机变量的函数的分布
o
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
1
2
0.2
0.1
0.2
.
2 0.1 0.3 0.1
(2) Z2 = XY可能的取值为0, 1, 2, 4，相应的概率为P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0}+ P {X = 2, Y = 0} = 0.2 + 0.1 = 0.3P {Z = 1} = P {X = 1, Y = 1} = 0.1P {Z = 2} = P {X = 2, Y = 1} + P {X = 1, Y = 2} = 0.3 + 0.2 = 0.5
上服从均匀分布.求以X和Y为边长的矩形面积S 的概率密度f (s 1.
思路先求戶(s)
SharVHng Nonrtf Unmnly
解由题设知，二维随机变量(x, Y)的概率密度为若(x,y)g G,f (x, y ) = p i 丿、0,若(x, y )w G.设S = XW,E(s) = P{S < s}为S的分布函数，则:当 s < 0 时，F(s) = P{XY < s} = 0,当 s > 2 时，F (s) = P {XY < s} = 1,当0 < s < 2时，曲线xy = s与矩形G的上边交于点(s,1)，于是
SharVHng Nonrtf Unmnly
7
设二维离散型随机变量(X, Y)的概率分布如下,
单选题1分
◎设置
则 P{min {X, Y} = 0}().A) 0.2 B) 0. 3 C) 0.4 D)0. 5
STHnVangi Nonni UnMnCy
单选题1分
问题设(X, D为连续型随机向量,联合概率密度为/ (x,尹), g (x,尹)为平面舟上的实值函数，求Z = g (X, Y )的概率密度.
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z
f ( yu, y) ydudy
[
f ( yu, y) | y | dy]du
x D: z y
故Z=X / Y的概率密度为 f z ( z ) 特别地，当X、Y相互独立时有
f ( yz, y) | y | dy
f z ( z)
《概率统计》
f X ( yz ) fY ( y) | y | dy
交换积分次序
[ f (u y, y)dy]du
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《概率统计》
FZ ( z ) [ f (u y, y)dy]du
z
由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
f Z ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy
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《概率统计》
例3 设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0，1）， Y ～N（0，1），求Z = X +Y 的概率密度。
解 由于X、Y互相独立，由卷积公式
f X ( x)
1
2
1 2
e
x2 2
f z ( z)
e f x ( x) f y ( z x)dx 2 e 2 z ( x z ) 1 { x ( z x ) } 1 4 2 dx e 2 2 dx e e 2 2
' Z
由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
f Z ( z ) F ( z ) f ( x, z x)dx
' Z
以上两式即是两个随机变量和的概 率密度的一般公式.
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卷积公式 .
当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的 边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则
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补充例1. 设X,Y相互独立服从同一分布,且P{X=i}=1/3 (i=1,2,3)
令Z=max(X,Y). 求Z的概率分布 解：先求X,Y的联合分布律。因为X,Y独立， X Y 所以 P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j} Z =max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3
P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9
2. 一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考虑分布函数法
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（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y) 求 Z=X / Y的概率分布。 解 Fz ( z) P{Z z} P{X / Y z} f ( x, y)dxdy
0 其它
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补充4(课后习题19) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别 为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.
分析： 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有
令x yu
0
x/y=z
0
yz
f ( x, y) dxdy
z
0
D
yz
0
f ( x, y)dxdy
f ( yu, y) ydudy
0
z
f ( yu, y) ydudy
0
z
z
f ( yu, y) ydudy
P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z) =1- P(X>z)P(Y>z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
设随机变量Z X Y 的密度函数为f Z z ，则有
f Z ( z)
f X ( x) fY ( z x)dx
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法一
f Z ( z)
u zx
当0≤z≤1时，
f X ( x) fY ( z x)dx fY ( z x)dx
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具体见下例
结束
例 设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤2}
上均匀分布，试求Z= min（Ｘ，Ｙ)概率密度 。
解：容易判定Ｘ和Ｙ相互独立，且
x0 0 FX ( x) x 0 x 1 1 x 1
2 1
y0 0 y FY ( y ) 0 y2 2 y2 1 设Z= min（Ｘ，Ｙ)的分布函数为FＺ(z), 则 FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
1
xy=2
2
S<0,则 FS(s)＝P{S≤s}=0 S>2,则 FS(s)＝P{S≤s}=1 所以
1
2
s
1 dx s dy x 2
1
1
2
s
1 s ln 2 s s ln s 2 2 2
《概率统计》
1 s (1 )dx 1 2 x (ln 2 ln s) 0 s 2 f ( s) F ( s) 2 1 1
上述两式化为:
fZ ( z) fZ ( z)
f ( z y, y )dy f ( x, z x)dx
f Z ( z ) f X ( z y) fY ( y)dy
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx
这两个公式称为卷积公式 .
2 1
2 2
)，
X1+X2~N ( 1 2 , )
2 1 2 2
（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为 n 个互相独立的 随机 变量，且 Xi ~ N( μi，σi2)，则
X
i 1
n
i
~ N ( i , )
i 1 i 1 2 i
n
n
注意：1. 卷积公式的条件及选择；
所以
n PZ n PX Y n P {X k , y n k} k 0
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P X k， Y n k P X k PY n k
k 0 k 0
n
n
k 0
0
1
z 1
z
fY (u )du
z
z 1
fY (u )du
z-1 0 z 1 2 u
fZ(z) =
1du z
0
z
当1＜z＜2时， fZ(z) =
1
z 1
1 du 2 z
0 z-1 1 z 2 u
所以
z, f z ( z ) 2 z , 0,
当0 z 1 当1 z 2 其它
§3.3 二维随机变量函数的分布
内容： 已知（X，Y）的分布，求其函数
Z= g (X,Y)的分布
要点： 一、离散型
二、连续型（和的分布）
要求： 掌握基本方法
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一、离 散 型
例1． 已知（X, Y ) 的联合分布律 求 Z = X+Y的概率分布.
X Y
0
1
3
-1 解： Z = X + Y 的所有可能取值为： 2
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的 概率密度
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例2 设X、Y的相互独立，且都在[0，1]上服从均匀 分布，求 Z=X+Y的分布。
解
X 、Y 的概率密度
1, f X ( x) 0, x [0,1] 其它
1, fY ( y ) 0,
y [0,1] 其它
e
1 2 n
k k nk C n 1 2 k 0
n
n!
1 2 1 2 ,即PZ n e n! n 0， 1， 2，
n
1 2
由Poisson分布的定义，知Z X Y 服从参数为
0 z0 z 3 1 (1 z )(1 ) 0 z 1 f ( z ) F ( z ) z 0 z 1 2 FZ ( z ) 2 1 1 z 2 其它 0 1 z2
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作业： 80页
2 2
x2 2
1
( z x)2 2
dx
2
t x
z 2
1 e 2
z2 4
e 4
1 2 2
e
z2 4
即
《概率统计》
Z=X+Y～N（0，2）
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一般地（1）若X1~ N ( 1 , ) ，X2~N( 2 , 且X1、X2相互独立，则有
Z P
《概率统计》
1 1/9