两个随机变量函数的分布

P(M≤z)=P(X≤z,Y≤z)
又由于X和Y 相互独立,于是得到M=max(X,Y)的分布函数为:
FM(z)=P(M≤z) =P(X≤z,Y≤z) 即有 FM(z)= FX(z)FY(z)
=P(X≤z)P(Y≤z)
类似地，可得N=min(X,Y)的分布函数是 FN(z)=P(N≤z) =1-P(N>z) =1-P(X>z,Y>z) =1- P(X>z)P(Y>z) 即有 FN(z)= 1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
所以
n PZ n PX Y n P {X k , y n k} k 0
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P X k， Y n k P X k PY n k
k 0 k 0
n
n

k 0
0 z0 z 3 1 (1 z )(1 ) 0 z 1 f ( z ) F ( z ) z 0 z 1 2 FZ ( z ) 2 1 1 z 2 其它 0 1 z2
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作业： 80页
0
1

z 1
z
fY (u )du
z
z 1
fY (u )du
z-1 0 z 1 2 u
fZ(z) =
1du z
0
z
当1＜z＜2时， fZ(z) =

1
z 1
1 du 2 z
0 z-1 1 z 2 u
所以
z, f z ( z ) 2 z , 0,
当0 z 1 当1 z 2 其它
设随机变量Z X Y 的密度函数为f Z z ，则有
f Z ( z)


f X ( x) fY ( z x)dx
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法一
f Z ( z)


u zx
当0≤z≤1时，
f X ( x) fY ( z x)dx fY ( z x)dx
' Z

由X和Y的对称性, fZ (z)又可写成
f Z ( z ) F ( z ) f ( x, z x)dx
' Z

以上两式即是两个随机变量和的概 率密度的一般公式.
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卷积公式 .
当X和Y独立，设(X,Y)关于X,Y的 边缘密度分别为fX(x) , fY(y) , 则
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《概率统计》
例3 设X和Y是两个互相独立的随机变量，且X～N（0，1）， Y ～N（0，1），求Z = X +Y 的概率密度。
解 由于X、Y互相独立，由卷积公式
f X ( x)
1
2
1 2
e
x2 2
f z ( z)
e f x ( x) f y ( z x)dx 2 e 2 z ( x z ) 1 { x ( z x ) } 1 4 2 dx e 2 2 dx e e 2 2
2 1
2 2
)，
X1+X2~N ( 1 2 , )
2 1 2 2
（2）如果Xi(i=1,2,…,n)为 n 个互相独立的 随机 变量，且 Xi ~ N( μi，σi2)，则
X
i 1
n
i
~ N ( i , )
i 1 i 1 2 i
n
n
注意：1. 卷积公式的条件及选择；
2. 一般地，如求 XY，X/Y，max(X,Y) 可考虑分布函数法
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（二）Z= X/Y 与 Z=XY 的概率分布
设（X、Y）是二维连续型随机向量，概率密度为f(x,y) 求 Z=X / Y的概率分布。 解 Fz ( z) P{Z z} P{X / Y z} f ( x, y)dxdy
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3 0
5 4/10
二、连 续 型
已知X和Y的联合密度为 f (x,y),求Z=g(X,Y)的密度.
(一 ) Z = X + Y 的分布
Z=X+Y的分布函数是: FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y ≤ z)
f ( x, y)dxdy
D
这里积分区域D={(x, y): x+y ≤z} 是直线x+y =z 左下方的半平面.
1/10 1/20 3/20 3/10 0 4/10
-1, 0, 2, 3, 5, 且 P{Z= -1}=P{X+Y= -1}=P{X= -1，Y=0}=1/10 P{Z= 0}=P{X+Y=0}=P{X= -1，Y=1}=1/20 P{Z= 2}=P{X+Y=2}=P{X= -1，Y=3}+P{X=2，Y=0}= 3/20+3/10 Z -1 0 2 pk 1/10 1/20 9/20 问题：Z = XY 的概率分布？
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具体见下例
结束
例 设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形Ｇ＝{(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤2}
上均匀分布，试求Z= min（Ｘ，Ｙ)概率密度 。
解：容易判定Ｘ和Ｙ相互独立，且
x0 0 FX ( x) x 0 x 1 1 x 1
2 1
y0 0 y FY ( y ) 0 y2 2 y2 1 设Z= min（Ｘ，Ｙ)的分布函数为FＺ(z), 则 FZ(z)=1-[1-FX(z)][1-FY(z)]
0 其它
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补充4(课后习题19) M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布
设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别 为FX(x)和FY(y),我们来求M=max(X,Y)及N=min(X,Y)的分布函数.
分析： 由于M=max(X,Y)不大于z等价于X和Y都不大于z，故有
交换积分次序
[ f (u y, y)dy]du

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FZ ( z ) [ f (u y, y)dy]du

z

由概率密度与分布函数的关系, 即得Z=X+Y的概率 密度为:
f Z ( z ) F ( z ) f ( z y, y)dy
下面我们用卷积公式来求Z=X+Y的 概率密度
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例2 设X、Y的相互独立，且都在[0，1]上服从均匀 分布，求 Z=X+Y的分布。
解
X 、Y 的概率密度
1, f X ( x) 0, x [0,1] 其它
1, fY ( y ) 0,
y [0,1] 其它
1
xy=2
2
S<0,则 FS(s)＝P{S≤s}=0 S>2,则 FS(s)＝P{S≤s}=1 所以
1
2
s
1 dx s dy x 2
1
1
2
s
1 s ln 2 s s ln s 2 2 2
《概率统计》
1 s (1 )dx 1 2 x (ln 2 ln s) 0 s 2 f ( s) F ( s) 2 1 1

z
f ( yu, y) ydudy
[



f ( yu, y) | y | dy]du
x D: z y
故Z=X / Y的概率密度为 f z ( z ) 特别地，当X、Y相互独立时有



f ( yz, y) | y | dy
f z ( z)
《概率统计》


f X ( yz ) fY ( y) | y | dy
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补充例1. 设X,Y相互独立服从同一分布,且P{X=i}=1/3 (i=1,2,3)
令Z=max(X,Y). 求Z的概率分布 解：先求X,Y的联合分布律。因为X,Y独立， X Y 所以 P{X=iY=j}=P{X=i}P{Y=j} Z =max(X,Y)的所有可能取值为1,2,3
P{Z=1}=P{X=1,Y=1}=1/9
18 补充题：
设X、Y相互独立 , fX(x)和fY(y)如下 , 求Z=X+Y的密度函数.
1, f X ( x) 0,
x [0,1] 其它
2 y, fY ( y ) 0,
y [0,1] 其它
n

k 1
k!
e
1

n k !

nk 2
e
2
e
1 2
1 k nk 1 2 k 0 k!n k !
1 2
n
e 1 2 n n! e k nk 1 2 n! k 0 k!n k ! n!
1 2的 Poisson分布．
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补充例3 (99数学4—积的分布）设随机向量（Ｘ，Ｙ）在矩形 Ｇ＝{(x,y)| 0≤x≤2,0≤y≤1}上均匀分布，试求边长Ｘ和Ｙ的矩形 面积Ｓ的概率分布。
解：设面积Ｓ的分布函数为FS(s),
则 FS(s)＝P{S≤s} 若 0≤s≤2,则 FS(s)＝P{S≤s}＝P{ＸＹ≤s} =1-P{ＸＹ>s}
2 2


x2 Baidu Nhomakorabea2
1
( z x)2 2
dx
2
t x
z 2
1 e 2
z2 4



e dt
t 2

1 e 2
z2 4

1 2 2
e
z2 4
即
《概率统计》
Z=X+Y～N（0，2）
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一般地（1）若X1~ N ( 1 , ) ，X2~N( 2 , 且X1、X2相互独立，则有
令x yu


0
x/y=z

0
yz

f ( x, y) dxdy
z
0



D
yz
0
f ( x, y)dxdy



f ( yu, y) ydudy
0
z

f ( yu, y) ydudy

0
z

z

f ( yu, y) ydudy

§3.3 二维随机变量函数的分布
内容： 已知（X，Y）的分布，求其函数
Z= g (X,Y)的分布
要点： 一、离散型
二、连续型（和的分布）
要求： 掌握基本方法
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一、离 散 型
例1． 已知（X, Y ) 的联合分布律 求 Z = X+Y的概率分布.
X Y
0
1
3
-1 解： Z = X + Y 的所有可能取值为： 2
1
2
3
1 2 3
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
1/9 1/9 1/9
P{Z=2}=P{X=1,Y=2}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}=1/3 P{Z=3}=P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3} +P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=3}=5/9
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FZ ( z )
x y z

f ( x, y )dxdy
z y
化成累次积分,得
FZ ( z ) [



f ( x, y)dx]dy
令
变量代换 , 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换 x=u-y,得
z z
FZ ( z ) [ f (u y, y)du]dy
e
1 2 n

k k nk C n 1 2 k 0
n
n!
1 2 1 2 ,即PZ n e n! n 0， 1， 2，
n
1 2
由Poisson分布的定义，知Z X Y 服从参数为
上述两式化为:

fZ ( z) fZ ( z)


f ( z y, y )dy f ( x, z x)dx

f Z ( z ) f X ( z y) fY ( y)dy
f Z ( z ) f X ( x) fY ( z x)dx


这两个公式称为卷积公式 .
Z P
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1 1/9
2 1/3
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补充例 2(课后习题17).
设随机变量X 与Y 相互独立，且分别服从 参数为
1 与 2 的 Poisson分布，令 Z X Y ，试求随
机变量 Z 的分布律．
解: 由随机变量X 与Y 的取值都是0， 1， 2， ，
可知随机变量Z X Y 的取值也是0， 1 ， 2， ，