第7章 随机利率模型 0
随机利率模型下的风险度量
（ ｔｔｔ ｓＤ ｐｒ ｅｔＥ ｏｏ ｉｓ ｎｔｕｅ Ｊ ｎｎＵ ｉ ｒｉ ， ｕｎｄ ｎ ｕｎ ｚｏ １６２Ｐ Ｃ） Ｓａ ｓｃ ｅａｔ ｎ， ｃｎｍ ｃ ｓｔｔ， ａ ｎｖ ｓｙ Ｇ ａ ｇｏｇＧ ａ ｇｈｕ５ ０ ３ Ｒ ｉｉ ｍ Ｉ ｉ ｉ ｅ ｔ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｗ ｉ ｈ ｒ ｃ ｓ ｆｉ ｔｒ ｓ ｒ ｅ ｉａｉｎ ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｙ ａ ｃ ｌｒ ｔ ｇ， ｅ ｒ ｏ ｂ ｕ ｓｒ ｃ ： ｔ ｔ ｅ ｐ ｏ ｅ ｓｏ ｅ ｅ ｔ ｈ ｎ ｍａ ｋ ｔ ｔ ｒ ｏｉ ａ ｌ ｃ ｅｅ ａｉ ｗｅ ｌ ａｎ ａ ｌｔａ ｏ ｔ ｚ ｏ ｃ ｎ ｂ ｎ ｏ ａｉ ｔ ０ ａ ｏ ａ ａｙ ｅ ｔ ｅ ｃ ｕ ｅ ｏ ｈ ｎ ｅ ｎ ｔ ｅ ｂ ｎ ｒ ｅ ａ ｄ ｍａ ｅ ｐ ｒ ｃ ｎ ｅ ｔ ｎ ｏ ｄ ｖ ｌｔ ｉ ８ ｓ ｔ ｎ ｌｓ ｈ ａ ｓ ｆｃ ａ ｇ ｓ ｉ ｏ ｄ ｐ ｃ ｎ ｋ ｅ ｆ ｔｉ ｖ ｓ ｌｙ ｈ ｉ ｅ ｍｅ ｔ
债券的价格 的研 究成果 ， 推广到 了随机 利率模型 下的债 券的 价格 ， 并在 此基 础上 介绍 了债券 价格 波动率 的 ２ 种重要测度 ： 久期和 凸度 ， 出了久期 凸度对 国债 价格波动 率预测的 实证 分析 ， 给 以及基 于久期和 凸度 的套期保
值方 法。
关键词 ： 债券 的价格 ； 价格波动率 ； 久期 ； 凸度 ； 套期保值
中 图分 类 号 ：８０ ５ Ｆ １ ． Ａ 的 文献 标 识 码 ：
－
冈Ｖ
Ｔｈｅ Ｒｉｋ Ｍ ｅ ｓ ｒ ｏ ｅ ｎｄｅ ｏ ｈａ ｔｃ Ｉ ｅ ｅ ｔＲａ ｅ ｓ ａ ｕ ｅ Ｍ ｄ ｌｕ ｒ Ｓｔ ｃ ｓｉ ｎｔ ｒ ｓ ｔｓ
险
ＫＯＵ Ｌｕ， Ｉ Ｘｉ ｎ － ｏ ｇ’ Ｌ Ｕ ａ ｇ ｄ ｎ
基于随机利率模型的零息债券定价方法研究
基于随机利率模型的零息债券定价方法研究作者：谌雪莺黄宜平来源：《中小企业管理与科技·下旬》2011年第01期摘要：债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。
本文对三种随机利率模型的优劣作了比较，并在此基础上，讨论了零息债券的定价，给出了Vasicek模型和CIR模型的解析解，同时讨论了Hull-White模型的数值方法。
关键词：Vasicek模型 CIR模型 Hull-White模型零息债券债券融资是直接融资的一种方式，债券定价的高低直接影响到发行人的融资成本和投资人的获利空间，所以债券定价是当前金融市场研究的重要内容之一。
正是基于此，本文研究了零息债券的定价方法。
零息债券是一种以贴现方式发行，不附息票，在到期日按票面值支付的债券。
假定到期日t=T，则零息债券的价格是r，t，T的函数，不妨记作P(r，t，T)。
当利率r（t）是确定的函数时，零息债券的价格满足r（t）P（t），（0≤t≤T），P（r，T，T）=1可解得零息债券的价格为，特别地，当利率为常数r时，债券的价格为P(r，t，T)=e-(T-t)r。
当利率r（t）为随机过程时，零息债券的价格为此时零息债券的价格依赖于随机利率的模型。
现代利率期限结构理论认为，在确定利率时，许多因素都在同时起作用，各种利率的运动过程均表现出一定的随机性，但同时又具有向一个均值水平靠拢的行为，即，当利率较高时，利率呈现下降趋势；当利率较低时，利率呈现上升趋势，一般将利率的这一特性称为均值回复(mean reversion)现象。
随机利率模型有很多，如Brennan and Schwartz(1979，1982)，Courtadon(1982)，Cox，Ingersoll，Ross(1985)， Dothan(1978)， Longstaff(1989)， Vasicek(1977) and Hull，White(1990)等。
这些模型所考虑的利率过程都具有均值回复现象。
随机波动率和随机利率下离散采样方差互换定价问题
02
随机波动率与随机利 率模型
随机波动率模型介绍
定义
随机波动率模型是用于描述金融 市场中资产价格波动率的模型， 其中波动率不是常数，而是随时
间随机变化。
Heston模型
一种常用的随机波动率模型，它假 设波动率是由一个均值回复过程驱 动的，能够捕捉到波动率的聚集效 应和微笑效应。
02
参数法
这种方法通过拟合波动率和利率的参数模型（如随机波动率模型、随机
利率模型等）来估计未来分布。参数法可以提供更灵活的定价框架，但
也需要对模型的参数进行准确的估计和校准。
03
蒙特卡洛模拟
这种方法通过大量模拟标的资产价格的随机路径来计算方差互换的预期
收益和价格。蒙特卡洛模拟可以处理复杂的定价问题，但计算量通常较
有限差分法
通过数值求解偏微分方程来得到方差互换价格
有限差分法是一种将偏微分方程离散化，并利用差分 近似求解的方法。在方差互换定价中，可以将随机波 动率和随机利率的偏微分方程进行离散化处理，并利 用已知的边界条件和初始条件，通过迭代计算得到方 差互换价格的数值解。有限差分法的优点是计算效率 较高，可以处理高维问题，缺点是对边界条件和初始 条件敏感，可能存在数值稳定性和收敛性问题。
SABR模型
另一种随机波动率模型，它通过使 用随机过程来模拟资产价格和波动 率之间的相关性，常用于期权定价 。
随机利率模型介绍
• 定义：随机利率模型用于描述金融市场中的利率动态，其中利率被建模为随机 过程，以捕捉利率的随机波动和期限结构效应。
• Vasicek模型：一种常用的随机利率模型，它假设利率遵循一个均值回复过程 ，通过调整参数可以拟合不同的利率期限结构。
随机波动模型
含有外生因素的SV模型
金融资产收益的均值与波动常会受到一些外生解释变量的 影响，这些变量主要包括虚拟变量，季节成分，周末效应， 成交量等。Watanabe在分析东京股市收益时，将基本SV模型 扩展为： yt a b1 yt 1 b2 yt 2 c t2 dDt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1) ht ht 1 Dt yt 1 t ,t i.i.d .(0,1) 其中 t exp(ht / 2)表示测度序列的波动，Dt 是表示周末效应 的虚拟变量，在周末后的第一个交易日取1，其余时间取0。 上式中的c t2项是刻画风险溢价的，而 yt 1是刻画当期收益与 未来收益波动的相关性。实证表明，参数c，d， 和 都具有 较高的显著性，这与金融市场中的一些波动特性相一致。
长记忆SV模型（LMSV）
为了刻画波动过程中所表现的长记忆特征，把ARFIMA 过程纳入到基本SV模型中，提出了一类长记忆随机波动 模型如下： yt exp(ht / 2) t , t i.i.d .(0,1)
2 (1 L) d ( L)ht ( L)t ,t i.i.N (0, )
其中参数 为自由度。当4 时，t分布的峰度大于 3, 时就变成正态分布， 4时其峰度不存在。
②SV -GED模型 另一种峰度大于3的分布是广义误差分布(GED)，在SV GED 模型下，扰动部分 t 服从均值为0方差为1的正规化GED，这时 1 cesp{ ( t )c } 2 f ( t ) ,0 c 2 11/ c (1/ c)2 2/ c (1/ c ) 1/2 其中 [2 ] (3 / c) 这里c为自由度，当c 2时，GED为正态分布，c 2时期峰度 大于3，为厚尾分布。 一些实证研究表明，这两种分布假设下的模型，能较好地描 述许多金融序列中所表现出的“高峰厚尾”与平方收益的长 记忆性。
金融工程第七章股票价格的随机模型
表7-1只表示了股价运动的一种可能方式。不同的随 机取样将会导致不同的价格运动。
在模拟中可使用任意小的时间段△t。然而，只有当 极限△t→0时才能得到几何布朗运动的真实描述。 表7-1的最后股票价格21.124元可以被看作10个时间 段或十分之一年末股票价格分布的随机抽样值。
通过如表7-1中所示的反复模拟运动，就可以在一年 的十分之一时间结束时，求出完整的股票价格的随 机分布。
每个周期 （0，1）中 (0.0014,0.02)
开始时的 抽样的随机 抽取对应随机
股票价格 20.000
样本v1 0.52
样本v2 0.0118
20.236
1.44
0.0302
20.847
–0.86
–0.0158
20.518
1.46
0.0306
21.146
–0.69
–0.0124
20.883
–0.74
35
第一节 马尔可夫过程 第二节 股票价格变化的随机模型 第三节 蒙特卡罗模拟 第四节 伊托引理及在股票格中的应用 第五节 收益率与波动率 第六节 股票价格的二叉树模型
36
一、伊托引理 假若变量x的价值遵循伊托过程：
dx a(x,t)dt b(x,t)dz
式中dz是一种维纳过程。变量x的偏差率是a， 方差率为b2。则变量x和时间t的函数G遵循过程：
8
股票价格的变化可被假定遵循马尔可夫过程。
假设某公司股票价格为50元。 如果股价遵循马尔可夫过程，那么以前的股价 并不影响对将来的预测。
马尔可夫性质隐含了在将来任一特定时刻股价 的概率分布仅仅取决于股票当前的价格。股票 的现在价格已经包含了所有信息，当然也包括 了过去的记录。
第7章 利率期限结构：动态模型
dB B r , t , T dt B r , t , T dz t B PDE或者鞅测度方法为利率产品定价B。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
9/18/2018 固定收益证券 8
第一节 动态利率模型概述
dr t r r t , t dt r r t , t dz t
即期利率与瞬时利率
给定瞬时利率在t时刻的初始值及其动态过程， t时刻的任意期限即期利率（利率期限结构）及其 动态的时变特征， 利率产品价格。
9/18/2018 固定收益证券 4
~ 1 R t,T ln E t [e t T t
T
r s ds
]
第一节 动态利率模型概述
9/18/2018
固定收益证券
11
第一节 动态利率模型概述
偏微分方程法（无套利法）
构造PDE 构造无风险组合（无风险组合在无套利条件下只 能获得无风险利率） dW 卖空债券1：T1 时刻到期，价值 W r, t , T1 dz t 1 W1 B r , t , T1 dt W 1 B 1； r , t , T2 dz t 买入债券2：TdW W 2 W2 B r , t , T2 dt W 2 2时刻到期，价值 2B。 dW W(t)=W (t ) (W2 B 2 r, t, T -W W1B r, t , T1 )dt t时刻总价值： 12
等价测度：对于概率为0和概率为1的事件看法是一 致的。 称一个事件几乎必然发生时，不必指明是在哪一 个测度下； 在一个测度下构造的无风险组合，在其等价测度 下必然也是无风险组合； 等价测度意味着“哪些情形可能出现”是一致的 ，不同的只是发生的概率。
布莱克-舒尔斯-默顿期权定价模型
第四节 期权定价的鞅方法
• 一、问题 • 前述B-S微分方程解法很复杂，不实用
• 二、鞅方法的提出
• 是随机过程的一种，它的显著特点是未来的期望等于 现在。一个随机过程一般伴随着一个测度。等价鞅测 度即是把不是鞅的随机过程转化成鞅的测度。这一测 度和原来随机过程伴随的测度等价。转化成鞅后，可 是直接采用求数学期望的方法来获得金融衍生产品的 价格，如期权，而不用解偏微分方程了。
• 五、伊藤引理 • 若变量x遵循伊藤过程
dx=a(x,t)dt b(x,t)dz
• 则变量x和t的函数G将遵循如下过程：
dG
( G x
a
G t
1 2
2G x2
b2
)dt
G x
bdz
• 证明如下：
• 由于G是x和t的函数，根据泰勒展开式：
G
G x
x
G t
• BSM 期权定价公式在定价方面存在一定偏差， 但它依然是迄今为止解释期权价格动态的最佳 模型之一，应用广泛，影响深远
• BSM 期权定价与市场价格存在差异的主要原 因： 期权市场价格偏离均衡； 使用错误的参数； BSM 定价公式建立在众多假定的基础上
BS 期权定价公式的缺陷与拓展
• 无交易成本假设的放松 • 常数波动率假设的放松 • 参数假设的放松 • 资产价格连续变动假设的放松
f t
rS f S
1 2S2
2
2 f S 2
rf
此即B S微分方程
三、风险中性定价原理
四、无收益资产欧式看涨期权的定价公式
五、 对BS 定价公式的理解之一
六、 对BS 定价公式的理解之二
中国精算师金融数学考试资料合集
中国精算师《金融数学》考试资料合集内容简介本书特别适用于参加中国精算师考试的考生。
本书是一本中国精算师资格考试科目“金融数学”过关必做习题集。
基本遵循中国精算师资格考试指定教材《金融数学》（徐景峰主编，杨静平主审，中国财政经济出版社）的章目编排，共分11章，根据最新《中国精算师资格考试-考试指南》中“金融数学”的考试内容和要求精心编写了约1000道习题，其中包括了部分历年真题、样题和教材习题，所选习题基本覆盖了考试指南规定需要掌握的知识内容，并对全部习题进行了详细的分析和解答。
本题库是详解中国精算师资格考试《金融数学》科目的题库，包括历年真题、章节题库和考前押题三部分。
具体如下：第一部分为历年真题。
该题库包括两套真题，分别是2011年春季和2011年秋季，我们邀请专家对2011年春季的每道真题进行了详细解析，2011年秋季真题只有答案还未有解析。
同时，系统自动评分，既可以体验真实考试，也可以测试自己的水平。
如有最新历年真题，可免费升级获得。
第二部分为章节题库。
遵循最新版中国精算师资格考试教材《金融数学》的章目编排，共分为11章。
根据《中国精算师资格考试指南》中“金融数学”部分的要求及相关法律法规对题库每一道试题详细解析。
第三部分为考前押题。
完全遵循实际的中国精算师考试《金融数学》科目的命题规律，其试题数量、试题难度完全仿真中国精算师资格考试。
目录第一部分历年真题2011年秋季中国精算师《A2金融数学》真题及答案2011年春季中国精算师《A2金融数学》真题及详解第二部分章节题库第一章利息的基本概念第二章年金第三章收益率第四章债务偿还第五章债券及其定价理论第六章利率期限结构理论第七章随机利率模型第八章金融衍生工具介绍第九章金融衍生工具定价理论第十章投资组合理论第十一章CAPM和APT第三部分考前押题中国精算师《金融数学》考前押题及详解（一）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（二）中国精算师《金融数学》考前押题及详解（三）第一篇利息理论第1章利息的基本概念第2章年金第3章收益率第4章债务偿还第5章债券及其定价理论第二篇利率期限结构与随机利率模型第6章利率期限结构理论第7章随机利率模型第三篇金融衍生工具定价理论第8章金融衍生工具介绍第9章金融衍生工具定价理论第四篇投资组合理论第10章投资组合理论第11章CAPM和APT附录2011年秋季中国精算师考试《金融数学》真题及详解第一篇利息理论第1章利息的基本概念单项选择题（以下各小题所给出的5个选项中，只有一项最符合题目要求，请将正确选项的代码填入括号内）1．已知在未来三年中，银行第一年按计息两次的名义年利率10%计息，第二年按计息四次的名义年利率12%计息，第三年的实际年利率为6.5%。
《随机利率模型》课件
随机利率模型在应用过程中困 难重重，需要克服参数选择、 模型识别等难题。
未来研究方向
未来研究方向将集中在基于市 场微观结构、大数据、人工智 能等技术手段的模型建立和改 进。
随机微分方程
随机微分方程是随机利率模型的代数描述，用于描述金融市场中利率随机变动的数学方程。
常见的随机利率模型
1
胡尔模型
2
胡尔模型是随机利率模型的一种扩散
模型，适用于衡量不同期限的债券收
益率之间的关系。
3
HJM模型
4
HJM模型是随机利率模型的一种经典 模型，可以描述不同期限、不同币种
的市场利率结构。
利率债券定价
利率债券的定价是金融市场 中的重要问题，随机利率模 型可以为债券定价和风险管 理提供强有力的工具。
风险管理
随机利率模型是金融风险管 理的重要手段之一，可以为 投资组合的风险度量和套期 保值等提供理论支持。
总结
发展趋势
局限性
随机利率模型的应用前景广阔， 特别是随着金融市场的不断变 化。未来该领域将面临更多的 机遇和挑战。
重要意义
随机利率模型的研究和应用有 助于金融市场的稳健发展，提 高风险管理水平。
随机利率模型的基本框架
基本假设
随机利率模型的基本假设包括独立不相关性假设、完备市场假设、连续交易假设等。
随机过程及应用
随机过程是随机利率模型的核心，主要包括布朗运动过程、泊松过程、扩散过程等，应用于 金融衍生品的定价。
《随机利率模型》 PPT 课 件
本 PPT 课件将为您介绍随机利率模型的基本概念和应用场景，帮助您深入理 解金融市场中的关键因素。
随机利率模型简介
什么是随机利率模型
(11)随机利率
2
= X (1.052 )
2
令第2年末的期望累积值为1元，则有：
X (1.052 ) = 1
2
解得 X = 0.903584 即：如果现在投资0.903584元，则第2年末的期望累积值为 1元。
(2) 为了计算第2年末支付的1元的期望现值，首先计算 v ：
⎛ 1 ⎞ v = E⎜ ⎟ ⎝ 1 + it ⎠
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，相应的 概率分别为0.2、0.5和0.3。 (1) 为了使得第2年末的期望累积值为1元，现在必须投 资多少? (2) 在第2年末支付1元，它的期望现值是多少?
解：(1) 假设现在投资X，则第2年末的期望累积值为：
X ⋅ E ( AV2 ) = X (1 + i )
n
�
1 ⎞ 其中 v = E ⎛ ⎜ ⎟ ⎝ 1 + it ⎠
，t =1，2，…，n。
⎞ 1 1 ≠ ，即 v ≠ ⎟ 1 + E i ( t) 1+ i ⎠
�
⎛ 1 在通常情况下 E ⎜ ⎝ 1 + it
。
�
注意，期望现值并不等于为了在时刻 n 获得单位1的期望 累积值而在0时刻必须进行的投资。下面的例子可以说明 这一点。
例：假设未来每年的实际利率可能是3%、5%或7%，而相应 的概率分别为0.2、0.5和0.3。利率一旦被确定，将在今后 两年保持不变。 （1）试计算现在投资单位1在两年末的期望累积值。 （2）试计算现在投资单位1在两年末的累积值的方差。
解： 两年末的累积值 AV2具有下述分布：
i1 ，i2
0.03 0.05 0.07 概率 0.2 0.5 0.3
�
随机利率的三因子模型及其参数估计
随机利率的三因子模型及其参数估计本文在分析利率期限结构模型的基础上，将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型。
并且对模型参数进行了有效矩估计，比较几个同类模型，结果表明三因子模型对我国国债回购利率具有较好的拟合能力。
关键词：随机利率三因子模型有效矩估计随机利率模型概述利率作为金融市场上最重要的价格变量之一，一直是金融学研究的重点，特别是短期利率，它直接影响着资产定价、金融产品设计、保值和风险管理、套利以及投机等金融活动。
因此，学者们提出了许多利率期限结构模型来刻画利率的随机行为，例如，Merton(1973)、Vasicek(1977)、Cox(1985)、CKLS(1992)模型等，这些模型假设利率的动态变化都遵循扩散过程，即瞬时利率可用下列随机微分方程的一般形式来表达：drt=m(rt)dt+s(rt)dWt其中，m(rt)为漂移项，表示利率变化的瞬时期望；s(rt)为扩散项；s2(rt)为利率变化的瞬时方差；dWt为布朗运动的微分增量。
当漂移项或波动率函数选择不同形式时，就能得到已有的各个著名随机利率模型，它们都属于单因子利率参数模型。
但金融市场自身的复杂性决定了仅仅用单因子模型来描述是不完全的，国内外大部分的实证研究表明，瞬时利率变动的总体方差绝大部分来自于两到三个因素的贡献，并且三个主要因素基本上能解释短期利率曲线80%以上的动态特征。
因此本文将影响短期利率行为特征的均值回复、随机波动和跳跃因素同时考虑到利率期限结构模型的构建中，建立了三因子模型；并利用上海证交所国债回购利率数据，对模型参数进行了有效矩估计，比较已有的同类模型，说明该模型具有较好的拟合能力。
三因子模型的建立在已有的期限结构模型中，CKLS模型对短期利率的动态行为特点的研究具有推动作用，现今几乎所有与期限结构相关的实证大都基于CKLS 模型或与其有关，其具体形式为：drt=(α+βrt)dt+σrtγdWt（1）式中，(α+βrt)dt为漂移项，α为短期利率的长期均值水平。
第7章-资本资产定价模型
• 需要注意的是，资本市场线代表有效组合预期收益 率和 标准差之间的均衡关系，它说明了有效投资组 合和回报率之间的关系及衡量其风险的适当方法， 但没有说明对于无效投资组合即单个证券的相应情 况。
• 对于这样的一种情况，夏普（1964）在他的研究中 指出，分析可以通过一种相关但不相同的方法得到 扩展。
• 其中，
i
cov(ri , rM
2 M
)
Beta系数定理
假设在资产组合中包括无风险资产，那么，当市
场达到买卖交易均衡时，任意风险资产的风险溢
价E(ri)-rf与全市场组合的风险溢价E(rm)-rf成正 比，该比例系数即Beta系数，它用来测度某一资
产与市场一起变动时证券收益变动的程度。
上述β系数定理可以表示为：
投资者持有的最优资产组合中不包括某只股票 X。这就意味着市场中所
有投资者对该股票的需求都为零，因此，该股票的价格将会下跌，当股
价变得异常低廉时，它对投资者的吸引力就会相当大。最终，投资者会 将该股票吸纳到最优股票的资产组合中。因此，价格的动态调整保证了 所有股票都能进入最优资产组合中，问题只在于以什么价位进入。
E(ri)-rf＝βi[E(rM)-rf] 其中：
（7.3）
βi＝cov(ri,rM)/σM2
（7.4）
17
资本资产定价模型
将公式（7.4）的β系数代入公式（7.2），得
到：
E(ri)=rf+[E(rm-rf)]β
（7.5）
该式即是CAPM的经典形式——期望收益－β关
系。
18
CAPM模型的意义
市场组合的收益可以表示为组合中每个资产收益率的加权
E(ri)rf
E(rj)rf
随机利率课件
平均绝对误差（MAE）
R^2值
平均每个预测值与实际值之间的绝对误差 。
衡量预测模型对数据的拟合程度，R^2越 接近于1表示模型拟合越好。
CHAPTER
05
随机利率的未来发展
随机利率理论的完善与创新
随机利率理论的深入研究
随着金融市场的不断发展和复杂化，随机利率理论需要进一步深 入研究，以更好地描述和预测利率的随机波动。
创新研究方法
引入新的研究方法，如机器学习和大数据分析，以提高随机利率模 型的预测能力和准确性。
考虑更多影响因素
在构建随机利率模型时，应考虑更多的经济和金融因素，以更全面 地反映利率的变动。
随机利率在金融市场的应用拓展
衍生品定价
利用随机利率模型对衍生品进行定价，如债券、 期权等，以更准确地评估其内在价值和风险。
来走势。
机器学习方法
利用机器学习算法（如支持向量 机、神经网络等）对历史数据进
行训练，预测未来随机利率。
统计学习方法
基于统计学习理论，构建预测模 型，对随机利率进行预测。
随机利率模拟与预测的准确性评估
均方误差（MSE）
均方根误差（RMSE）
衡量预测值与实际值之间的平均平方误差 。
均方误差的平方根，用于衡量预测结果的 波动性。
在金融衍生品定价中的应用
衍生品定价
随机利率模型用于评估衍生品（如债券、期货、期权等）的价格，考虑了利率 波动对衍生品价值的影响。
利率风险
在衍生品定价中，随机利率模型可以帮助确定利率风险，即利率变动对衍生品 价格的影响程度。
在投资组合管理中的应用
资产配置
随机利率模型用于确定投资组合中不同资产的配置比例，以实现预期收益并控制 风险。
第7章 随机利率模型 0
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利 Fc (t,T , S ) 的定义为：
说明： Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S ) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t , t ) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令 其中βt是银行账户过程，显然Z(T，T)=βT-1。 由 Ito ˆ 引理可得： （7.6） 因此Z(t，T)是一个Q鞅，所以， 将Z(t，T)和Z(T，T)的表达式代入(7.6)式可得：
§7.4 Vasicek模型 短期利率rt最著名的两个模型是Vasicek模型和CIR模型。这两个模型都是时间齐性，即rt未来的变化仅依赖于rt 的当前值，而不是当前的时刻t。 1．Vasicek模型及模型求解 （1）客观概率测度下的Vasicek模型 ①模型的形式 该模型形式为：
一般的，对于一个到期日为T的利率衍生品，如果其到期支付为f(T)，则该衍生品t时刻的价格为：
4．基于鞅方法的零息债券定价公式 在风险中性概率测度Q下，任何资产的期望收益率均为无风险收益率 rt，因此债券价格满足的随机微分方程变为：
根据零息债券满足的随机微分方程
可得
由
得：
说明：这里需要假定Girsanov定理的条件成立。
§7.2
Ho-Lee模型
1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第nห้องสมุดไป่ตู้市场的状态空间；
第七章 营运资本管理-目标现金余额的确定(三)——随机模型(米勒-奥尔模型)
2015年全国会计专业技术中级资格考试内部资料财务管理第七章 营运资本管理知识点：目标现金余额的确定（三）——随机模型（米勒-奥尔模型）● 详细描述：1.控制原理企业根据历史经验和现实需要，测算出一个现金持有量的控制范围，即制定出现金持有量的上限和下限，将现金量控制在上下限之内。
2.三条线的确定（1）下限（L）的确定现金管理部经理在综合考虑以下因素的基础上确定：①短缺现金的风险程度；②公司借款能力；③公司日常周转所需资金；④银行要求的补偿性余额。
（2）回归线R的计算公式：（3）最高控制线H的计算公式为：H=3R-2L【例7-3】设某企业现金部经理决定L值应为10000元，估计公司现金流量标准差为1000元，持有现金的年机会成本为15%，换算为i值是0.00039，b=150元。
【补充要求】根随机模型计算目标现金余额，并且分析如何控制企业的现金持有额目标现金余额16607元当现金余额达到29821元时：应买进证券=29821-16607=13214（元）当现金余额达到10000元时：应出售证券=16607-10000=6607（元）3.特点适用于所有企业最佳现金持有量的测算.建立在企业的现金未来需求总量和收支不可预测的前提下,计算出来的现金持有量比较保守。
例题：1.某公司持有有价证券的平均年利率为5%，公司的现金最低控制线为1500元，现金余额的回归线为8000元。
如果公司现有现金20000元，根据米勒—奥尔模型，此时应当投资于有价证券的金额是（）元。
A.0B.6500C.12000D.18500正确答案：A解析：H=3R-2L=3×8000-2×1500=21000（元）＞20000元，所以不需要进行有价证券投资。
2.下列关于目标现金余额确定的随机模式中“回归线”的表述中，正确的是（）。
A.回归线的确定与企业最低现金每日需求量无关B.有价证券利息率增加，会导致回归线上升C.有价证券的每次固定转换成本上升，会导致回归线上升D.当现金的持有量高于或低于回归线时，应立即购入或出售有价证券正确答案：C解析：确定现金回归线时需要考虑最低现金每日需求量，所以选项A不正确；有价证券利息率与回归线是呈反向变动的，选项B不正确；转换成本与回归线同向变动，所以选项C正确；现金高于或达到上限时购入有价证券，低于或达到下限时出售有价证券，所以选项D不正确。
《利息理论》复习提纲
?利息理论?复习提纲第一章利息的根本概念第一节利息度量一.实际利率某一度量期的实际利率是指该度量期内得到的利息金额与此度量期开场时投资的本金金额之比，通常用字母i来表示。
利息金额I n=A(n)-A(n-1)对于实际利率保持不变的情形，i=I1/A(0)；对于实际利率变动的情形，那么i n=I n/A(n-1；)例题：1.1.1二．单利和复利考虑投资一单位本金，〔1〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=1+i*，t那么称这样产生的利息为单利；实际利率i n a(n)a(na(n1)1)1ii(n1)〔2〕如果其在t时刻的积累函数为a(t)=(1+i)t，那么称这样产生的利息为复利。
实际利率i n i例题：1.1.3三..实际贴现率一个度量期的实际贴现率为该度量期内取得的利息金额与期末的投资可回收金额之比，通常用字母d来表示实际贴现率。
等价的利率i、贴现率d和贴现因子〔折现因子〕v之间关系如下：dii,d(1i)i,d1d1i1v1d,div,v,idid1i例题：1.1.6四．名义利率与名义贴现率(m)用i表示每一度量期支付m次利息的名义利率，这里的m可以不是整数也可以小于1。
所谓名义利率，是指每1/m个度量期支付利息一次，而在每1/m个度量期的实际利率为im。
(m)(m)m与i等价的实际利率i之间的关系：1i(1i/m)。
(m)(m)m名义贴现率d，1d(1d/m)。
(m )(m )()m ()midid 名义利率与名义贴现率之间的关系： mmmm。
例题：1.1.9五．利息强度定义利息强度〔利息力〕为tA(t)a(t) A(t)a(t)，t s dsa(t)e 。
(m)(p)idm11p一个常用的关系式如下：[1]1iv(1d )[1]emp。
例题：1.1.12(m d(p ))要求：,,,,idi ，之间的计算。
习题：1、2、3、4、15、16、19、24。
第二节利息问题求解 一.价值等式例题：1.2.1 二.投资期确实定计算利息的根本公式是：利息＝金额×利率×年数，其中年数＝投资期天数/根底天数。
硕士论文-随机利率模型下寿险准备金的MonteCarlo分析.pdf
硕士学位论文图２．１长期确定利军准备金情景分析从图中可以看出，定期寿险的准备金是一个中间高，两头低的曲线，在前半期，准备金的提留额度是随着固定利率值的增加而降低的，也即前半期低利率情景的准备金曲线处于最上面，当过了准备金提留额最大值后并通过交汇点后（此处大约在第１６期），不同固定利率情景下的准备金提留额排序反转且直至到期。
这里利率等额变化给准备金造成的影响在不同的期间表现不同。
利率假设的变化能同时影响准备金资产和纯保费的增值，两方面影响的净值决定了最后的准备金水平。
在同时考虑过去法和未来法计算准备金时，利率变化而造成的影响能够在两种方法中产生相同的结果，这里就不做具体说明，有兴趣者可参阅南开大学出版社《寿险精算实务》第２８６页【２４】。
２．２．３．２利率趋势情景分析所谓利率趋势情景分析是指，利率在每一情景条件下都采用不同的利率趋势假设，即在每一情景中，利率假设随着保单期的变化而变化。
较为常见的利率趋势分析方法是“纽约利率七景”【１‘”。
在中国精算师考试０１３课程中也被称为主观法０３］。
它原是纽约证券交易中心金融分析人员用于进行现金流测试的利率情景模型，是指在进行利率风险评估过程中所采取的７种不同变化趋势的利率走向，对金融产品的现金流进行测试，从而获得在不同利率趋势假设下各种指标的预先评价。
显然这七种利率趋势要反映利率市场中最典型的七种情景。
通常采用的七组不同利率假设如下：随机利率模型下寿险准备金的ＭｏｎｔｅＣａｒｌｏ分析根据上面的利率趋势假设，通过前面推导的变动利率条件下的换算函数表，可以计算出每种情景下对应的利率趋势的准备金。
图２．３即为所示在七种不同情景下准备金趋势图。
在图中可以看到，情景３—“先增后减”是令准备金变动幅度最大的一种情景，它对未来中期带来的准备金最大值要高与其它利率情景条件。
而情景２一“逐增”情景产生了相对最小的各期准备金变动幅度。
各情景按照在准备金最大值时刻附近大小排序后如下所示：情景３）情景５）情景７）情景１）情景６＞情景４＞情景２从以上可以看出，准备金各期提留最大额度取决于未来利率的高低。
随机利率下多维吉萨诺夫定理
随机利率下多维吉萨诺夫定理随机利率是金融领域中一个重要的概念，它指的是利率的变动具有一定的随机性。
在金融市场中，利率的变动对于投资者和借款人来说具有重要的影响。
为了能够更好地理解随机利率下的金融市场行为，学者们提出了多维吉萨诺夫定理。
多维吉萨诺夫定理是由俄罗斯数学家维亚切斯拉夫·伊万诺维奇·吉萨诺夫于20世纪50年代提出的。
它是关于随机过程的一种重要定理，可以用于研究金融市场中的随机利率行为。
在金融市场中，利率的变动是一个复杂的过程。
它受到多种因素的影响，包括经济基本面、市场情绪、政策调控等。
这些因素的变化会导致利率的波动，从而影响到金融市场的行为。
多维吉萨诺夫定理的核心思想是将随机利率看作一个随机过程，通过对其进行建模和分析，可以得出关于其行为的一些重要结论。
多维吉萨诺夫定理给出了随机利率的平均水平、方差、协方差等统计特征，从而帮助投资者和借款人更好地理解利率的变动规律。
在金融市场中，投资者和借款人对于随机利率的行为非常关注。
他们希望能够预测利率的走势，以便做出更合理的投资和融资决策。
多维吉萨诺夫定理为他们提供了一种分析工具，可以帮助他们更好地理解利率的变动规律，从而提高投资和融资的效果。
随机利率下的多维吉萨诺夫定理在金融学的研究中具有重要的应用价值。
它不仅可以用于分析利率的变动规律，还可以用于研究其他金融市场中的随机行为。
通过对随机利率进行建模和分析，可以为投资者和借款人提供更准确的决策依据，帮助他们更好地把握市场机会。
随机利率下的多维吉萨诺夫定理是金融学中的一个重要理论工具，它可以帮助我们更好地理解金融市场中利率的变动规律。
通过对随机利率进行建模和分析，可以为投资者和借款人提供更准确的决策依据，提高他们的投资和融资效果。
通过进一步的研究和应用，我们可以进一步提升金融市场的运行效率，推动经济的稳定和发展。
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d (t ) rt (t )dt
其中 rt 是瞬时利率。由上式可以进一步的推出： 说明：如果瞬时利率rt是随机的，银行账户过程 (t )也是随机的。 （2）随机折现因子 ①在t时刻到T时刻的随机折现因子D(t，T)是：
②随机折现因子的含义 假设在0时刻向银行账户存入A单位货币，则在t>0时刻银行账户将有 A 单位货币。若希望在 T(T>t)时银行账户 (t ) 有1单位货币，即 A (T ) 1 ，需在0时刻投入 A 所以，T时刻的1单位货币，在t时刻的价值为
dB(t ,T ) B(t ,T )[m(t, T )dt v(t,T )dWt ]
其中，
m(t , T ) 和v(t,T ) 分别为零息债券的瞬时收益率和瞬时波动率。
由
可以得到：
因此可以看出，λt的含义是承担单位风险获得的超额收益，即利率风险的市场价格。
3．零息债券价格满足的偏微分方程 模型推导： 由
则零息债券满足的随机微分方程：
方法二：直接对B(t，T，rt)应用 Ito ˆ 引理，也可以得到上面的随机微分方程。
2．利率风险的市场价格 用两种不同到期日的零息债券(即T1≠T2)构造无风险资产组合，设组合 为： （7.1） 选择适当的头寸 ，使得 的风险为零，即 （7.2）
是两种零息债券对利率风险的敏感度之比，也是用到期日为T2的零息债券对到期日为T1的零息债券做套期保
§7.2
Ho-Lee模型
1．Ho-Lee模型（假定市场是完备的、考虑离散时间） 该模型假定初始利率期限结构是已知的，使用了当前可观测的期限结构所包含的全部信息来给衍生证券定价， 以保证不出现套利机会，是无套利模型。 sn ：第n期市场的状态空间；
Di( n) (T )（贴现函数）：第n期、状态 i sn 出现、到期时刻为T的零息票债券的价格。
图7-1 （2）极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率
零息债券价格的二叉树模型
在极限情况下，Ho-Lee模型下的短期利率满足：
drt a (t )dt dWt
其中，a(t ) 为时间t的函数，描述了 rt 变动的趋势； 为一常数，描述了利率的波动幅度；Wt 为标准布朗运动。
2．Ho-Lee模型的应用 由 drt a (t )dt dWt 可得
期限(年) l 2
市场观测数据
零息债券价格(元) 94.49 88.50 5.83 6.30
零息利率(％)
期限(年)零息利率(％)零息债券价格(元)l5.8394.4926.3088.50构建Ho-Lee模型下利率的二叉树及债券价格的二叉树。 解：债券价格的树形结构如图7-2所示，其中2年期的零息票债券在一年后其价格以0．5的概率变为Pu ，或者以 0.5的概率变为Pd 。
图7-2
基于Ho-Lee模型的定价二叉树(2年期零息票债券)
该价格是受相应利率变动影响的，与其相对应的短期利率的结构如图7-3所示。
图7-3 首先可以得到Pu和Pd的表达式分别为：
基于Ho-Lee模型的短期利率树形结构
再由债券价格可得：
解该方程得a 1 0.96% 。
也可得到 r u 8.29%, r d 5.29% ， Pu =92.34，Pd =94.98 。 债券的价格二叉树、利率的二叉树分别如图7-4和图7-5所示：
图7-4
基于Ho-Lee模型的债券价格二叉树
图7-5
基于Ho-Lee模型的短期利率树
【例题7.3】图7-6给出了一利率二叉树图，假设所有分支上的概率都是1／2，用倒向法计算两年期零息债券的 价格为（ ）。
图7-6 A．0.8865 【答案】C 【解析】两年期零息债券的价格为： B．0.8925 C．0.9071 D．0.9123 E．0.9257
2 E (drt ) E (a (t ))dt ，Var (drt ) dt 。 在计算债券价格时，通常将 drt a(t )dt dWt 离散化为：
其中随机变量ε在u出现时取+1，在d出现时取-1，u和d分别代表向上移动和向下移动。
【 例 题 7.2】 表 7-1 为 一 组 面 值 为 100 元 的 零 息 票 债 券 的 数 据 ， 设 利 率 变 动 符 合 Ho-Lee 模 型 ， 其 中 1.5% ， t 1 。 表7-1
值的比率。 对 B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 微分可得：
由 B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 0 可得：
r
r
故组合 是无风险的，因此其收益率与无风险收益率相等，即
d
将d 的表达式价格满足的偏微分方程：
整理上式，可得：
（7.5）
边界条件为：B(T，T)=1
模型求解方法： 可以利用有限差分方法或者蒙特卡罗模拟法对上式进行求解，因此可对任意特定的随机利率模型求出上式的数 值解。利用Feynman-Kac公式，债券价格满足的微分方程的解为：
其中Q是风险中性概率测度，
表示在t时刻的信息集。
一般的，对于一个到期日为T的利率衍生品，如果其到期支付为f(T)，则该衍生品t时刻的价格为：
4．基于鞅方法的零息债券定价公式 在风险中性概率测度Q下，任何资产的期望收益率均为无风险收益率 rt，因此债券价格满足的随机微分方程变为：
根据零息债券满足的随机微分方程
可得
由
得：
说明：这里需要假定Girsanov定理的条件成立。
t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期复利 Fc (t,T , S ) 的定义为：
说明： Fl (t,T , S ) 和 Fc (t,T , S ) 是基于t时刻的信息对未来的期限为[T，S]的即期单利和即期复利的预期值。
（5）远期瞬时利率 远期瞬时利率的定义为： 由定义可知 rt f (t , t ) 。 由上面的等式可以推出，零息债券的价格可表示为：
1 1 =0.9434, =0.9615 1.06 1.04 0.9434 /1.05 0.9615 /1.05 0.9071 2
§7.3 （1）随机利率模型的一般形式
连续时间随机利率模型下零息债券的定价
1．随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 考虑单因素模型。关于短期利率rt的随机微分方程的一般形式为： 其中， (t , rt ) 被称为漂移项，被称为 (t , rt ) 波动项， Wt 为客观概率测度P下的标准布朗运动。 （2）零息债券价格满足的随机微分方程 由于零息债券价格B(t，T)与rt有关，则可以把B(t，T)视为关于t，T，rt的函数，即： 方法一：对B(t，T，rt)微分可得：
1 单位的货币，这笔金额在t时刻银行账户的价值为： (t ) A (t ) (T ) (T )
(t ) 。 (T )
（3）连续复利收益率 用B(t，T)表示T时刻到期的零息票债券1单位面值在t时刻的价格。连续复利收益率R(t，T)定义为： 由这个等式可以推出： R(t，T)是零息债券在[t，T]上的平均收益率。 说明：尽管B(t，T)与D(t，T)二者都是从T到t的贴现因子，但B(t，T)在t时刻是一个数，而D(t，T)则可能是一个 随机变量。 （4）远期单利和远期复利 t时刻的期限为[T，S] (T<S)的远期单利 Fl (t , T , S ) 的定义为：
第7章 【考试要求】 7.1 引言 相关概念 利率模型的评价标准 均衡模型与无套利模型 7.2 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型 Ho-Lee模型的应用 7.3 连续时间随机利率模型下零息债券的定价
随机利率模型
随机利率模型的一般形式及零息债券价格满足的随机微分方程 利率风险的市场价格
零息债券价格满足的偏微分方程
3．均衡模型与无套利模型 （1）均衡利率模型（绝对定价模型） 可以对债券和利率衍生品定价。由于货币市场和资本市场的复杂性，单因素均衡模型推导出来的收益率曲线一 般不能精确地拟合实际的收益率曲线，所以实际中也常常采用多因素模型。 单因素模型：是指模型中只涉及一个布朗运动，或者说模型只有一个风险源； 多因素模型：是指涉及多个布朗运动，因而对应了多个风险源。 说明：在均衡模型中，远期利率是由随机模型预测得到； （2）无套利模型（相对定价模型或拟合模型） 基本思想是基于已知的市场债券或其他利率衍生品的价格构造收益率曲线，再利用得到的收益率曲线对其他的 利率衍生品定价。基于无套利模型得到的价格是一种相对价格，即相对于已知的价格的无套利价格。 说明：在无套利模型中，远期利率是通过债券或某些利率衍生品的价格得到。
基于鞅方法的零息债券定价公式
7.4
Vasicek模型
Vasicek模型及模型求解 Vasicek模型下的债券的定价 7.5 CIR模型 CIR模型及模型求解 CIR模型下债券的定价 7.6 单因素模型的局限性 单因素模型的局限 多因素模型简介
【要点详解】 §7.1 1．相关概念 （1）银行账户过程 定义 (t ) 为t时刻银行账户过程(的价值)。假设β(0)=1，且银行账户满足以下的微分方程： 引言
可通过测度变换将贴现的债券价格过程转化为鞅。令 其中βt是银行账户过程，显然Z(T，T)=βT-1。 由 Ito ˆ 引理可得： （7.6） 因此Z(t，T)是一个Q鞅，所以， 将Z(t，T)和Z(T，T)的表达式代入(7.6)式可得：
§7.4 Vasicek模型 短期利率rt最著名的两个模型是Vasicek模型和CIR模型。这两个模型都是时间齐性，即rt未来的变化仅依赖于rt 的当前值，而不是当前的时刻t。 1．Vasicek模型及模型求解 （1）客观概率测度下的Vasicek模型 ①模型的形式 该模型形式为：
rt dt （7.3）
由
B(t , T1 , rt ) B(t , T2 , rt ) 0 可得： r r