第9章 因子分析
第九章因子分析
要点：因子内高相关、因子间低相关，简化解释维度
误区：因子分析就是抱弃一些变量，用最少的变量代替全体变量
因子分析是简化结构ห้องสมุดไป่ตู้以较少的变量说明原始总体的全部信息。
A2-b2=(a+b)(a-b)
因素分析
四、常用术语
1.因子载荷(factor loading)
因子载荷也叫因素负荷，是指因子分析模型中各公共因素和 独特因素的加权系数。通常称公共因素的系数为因素负荷。若 从p个观测变量提取m个公共因素，第i个变量zi在第j个公共因 素fj上的因子负荷记作aij（也可称fj在zi上的因子负荷）， i=1,2,...p,j=1,2,...,m。因素负荷aij 是变量zi与公共因素 fj
因素分析
一、基本含义
因素分析就是用最少的因素概括和解释大量的观测事实， 建立起最简洁的，基本的概念系统，以揭示事物之间，各种 复杂现象背后本质联系的一种统计分析方法。 当因素分析的重点放在从一堆观测变量中去探索/挖掘 出潜变量的时候，称为探索性因素分析。当方法的重点放在 检验假设（即事先对潜变量的维度有了假设）时候，称为验 证性因素分析。
四、常用术语
3.因子的贡献率(contributions)
每个公因子对原始数据的解释能力，可以用该因子所解释 的总方差来衡量，通常称为该因子的贡献率，记作Vp。它等于
和该因子有关的因子负载的平方和。实际中常用相对指标来表
示，相对指标体现着公因子的相对重要性。即每个公共因子所 解释的方差占所有变量总方差的比例。设k表示观测变量数， Vp/k表示第p个因子所解释的方差比例，则V/k表示所有公因子 累积解释的方差比例，它可以用来作为因子分析结束的判断指 标。
因素分析
五、数据处理过程
SAS统计之第十章-因子分析
正交旋转
正交旋转是一种比较简单的方法， 它将因子矩阵进行正交变换，使 得每个因子只与一个原始变量的 相关性较高，与其他变量的相关 性较低。
斜交旋转
斜交旋转是一种更复杂的方法， 它可以使得一个因子与多个原始 变量的相关性较高，但与其他变 量的相关性较低。
因子的解释
因子的解释
因子的解释是根据实际背景和专业知 识，对每个因子的含义进行解释。解 释时需要综合考虑原始变量的含义和 因子的相关性。
03
解释性。
实例分析
01
为了更好地理解PROC Factor过程，我们将通过一个实例来演示其应 用。
02
假设我们有一个包含多个变量的数据集，并且我们想要提取两个公因 子来解释这些变量之间的相关性。
03
我们将使用PROC Factor过程进行因子分析，并选择适当的选项来提 取两个公因子。
04
分析结果将包括因子载荷表、因子图和轮廓图等输出，以帮助我们理 解公因子和变量之间的关系。
04 因子分析的注意事项
因子分析的前提假设
因子分析的前提假设是数据应具有相关 性。在进行因子分析之前，需要检查变 量之间的相关性，以确保分析的有效性。
因子分析的前提假设是变量应具有共同因子。 共同因子是指多个变量之间存在的共同因素， 这些因素反映了变量之间的共同变化趋势。
因子分析的前提假设是变量应具有 可解释性。在进行因子分析之前， 需要对变量进行解释性分析，以确 定变量之间的潜在关系和共同因素。
因子命名
根据解释结果，可以对每个因子进行 命名，使其更加符合实际背景和专业 知识。命名时需要简洁明了，能够准 确地反映因子的含义。
03 因子分析的SAS实现
Байду номын сангаас
对应分析
第九章 对应分析§9.1 什么是对应分析及基本思想对应分析又称为相应分析，于1970年由法国统计学家J.P.Beozecri 提出来的。
它是在R 型和Q 型因子分析基础上发展起来的一种多元统计方法。
由前一章我们知道应用因子分析的方法，可以用较少的几个公共因子去提取研究对象的绝大部分信息，即可减少因子的数目，又把握住了研究对象之间的相互关系。
但是因子分析根据研究对象的不同又分为R 型因子分析和Q 型因子分析，即对指标（变量）作因子分析和对样品作因子分析是分开进行的，这样做往往会漏掉一些指标与样品之间有关的一些信息，另外在处理实际问题中，样品的个数远远地大于变量个数。
比如有100个样品，每个样品测10项指标，要作Q 型因子分析，就要计算（100×100）阶相似系数阵的特征根和特征向量，这对于一般小型计算机的容量和速度都是难以胜任的。
对应分析是将R 型因子分析与Q 型分子分析结合起来进行统计分析，它是从R 型因子分析出发，而直接获得Q 型因子分析的结果。
克服了由样品容量大，作Q 型分析所带来的计算上的困难。
另外根据R 型和Q 型分析的内在联系，可将指标（变量）和样品同时反映到相同坐标轴（因子轴）的一张图形上，便于对问题的分析。
比如在图形上邻近的一些样品则表示它们的关系密切归为一类，同样邻近的一些变量点则表示它们的关系密切归为一类，而且属地同一类型的样品点，可用邻近的变量点来表征。
因此，对应分析，概括起来可提供如下三方面的信息即指标之间的关系，样品之间的关系，以及指标与样品之间的关系。
基本思想：由于R 型因子分析和Q 型因子分析都是反映一个整体的不同侧面，因此它们之间一定存在内在的联系。
对应分析就是通过一个过渡矩阵Z 将二者有机地结合起来，具体地说，首先给出变量点的协差阵Z Z A '=和样品点的协差阵Z Z B '=，由于Z Z '和Z Z '有相同的非零特征根记为),m i n(0,21n p m m ≤<≥≥≥λλλ ，如果A 的特征根i λ对应的特征向量为i U ，则B 的特征根i λ对应的特征向量就是i i V ZU ∆，根据这个结论（后面有证明）就可以很方便的借助R 型因子分析而得到Q 型因子分析的结果。
第九章 因子分析
(9-4)
可以证明，上式系数的平方和满足： 可以证明，上式系数的平方和满足：
4
2 aki = 1 (i = 1,2,L, m) ∑ k =1
m
在此条件下， 在此条件下，由原始变量经线性组合而得到的新 主因子或 变量f 叫做主因子 综合变量。 变量 i叫做主因子或综合变量。 组合成新变量有什么用途呢？ 组合成新变量有什么用途呢？ m个原始变量表示为 个主因子的线性组合， 个原始变量表示为p个主因子的线性组合 把m个原始变量表示为p个主因子的线性组合， 小于m， 当p小于 ，特别是 p=2时，可以在二维空间对变 小于 时 量作图，进而对变量的相关性及成因联系进行研 量作图， 究。
xi = ai1 f1 + ai 2 f2 +L+ aim fm (i = 1,2,L, m)
a11 a12 a 21 a22 其中 A = L L am1 am2 L L L L
(9-5)
a1m a 2m 因子载荷矩阵。 称因子载荷矩阵。 L amm
7
在进行综合地质研究时，如果用前 在进行综合地质研究时，如果用前p(p << m)个主 个主 因子就能解释原始数据80～ 以上的信息， 因子就能解释原始数据 ～90%以上的信息，那么 以上的信息 可改写为： 式(9-5)可改写为： 可改写为
那么可以证明前p个主因子载荷矩阵为 那么可以证明前 个主因子载荷矩阵为: 个主因子载荷矩阵为
A1 = [ a ij ] m× p = [u ij λ j ] m× p
相应的R型因子分析模型为： 型因子分析模型为：
xi = ai1 f1 + ai 2 f 2 + L+ aip f p + αi ei
因子分析与主成分分析
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基本原理
01
主成分分析
02
因子分析
03
本章小结
04
提 纲
主成分分析（Primary Component Analysis）主要是通过降维过程，将多个相关联的数值指标转化为少数几个互不相关的综合指标的统计方法，即用较少的指标来代替和综合反映原来较多的信息，这些综合后的指标就是原来多指标的主要成分。
进行分析，按一定标准确定提取的因子数目；
如果进行的是主成分分析，则将主成分存在的新变量用于继续分析，步骤到此结束；
如果进行的是因子分析，则考察因子的可解释性，并在必要时进行因子旋转，以寻求最佳解释方式；
如有必要，可计算出因子得分等中间指标供进一步分析使用。
因子分析
因子分析是多元统计分析的一个重要分支。其主要目的是运用对诸多变量的相关性研究，即可以用假设的少数几个变量来表示原来变量的主要信息，以便浓缩数据（Data Reduction）。
基本原理
因子分析（Factor Analysis）是主成分分析的推广和发展，也是利用降维方法进行统计分析的一种多元统计方法。因子分析研究相关矩阵或协方差的内部依赖关系，由于它将多个变量综合为少数几个因子，以再现原始变量与因子之间的相互关系，故得到了广泛的应用。
因子分析一般要求提取出的公因子有实际含义，如果分析中各因子难以找到合适的意义，则可以运用适当的旋转，以改变信息量在不同因子上的分析，最终方便对结果的解释。
因子分析
在理论分析和具体SPSS操作方面，因子分析过程需经过如下几个重要步骤。 因子提取。 因子旋转。 计算因子得分。
因子分析
依次单击菜单“分析→降维→因子分析”命令，打开 “因子分析”主对话框
医学统计学第3版课程设计
医学统计学第3版课程设计1. 课程概述本课程是医学统计学第3版课程设计，是为了帮助医学生掌握医学统计学的基本概念、方法和技能，以及其在临床、流行病学和健康科研中的应用。
该课程通过课堂讲授、案例分析和实践练习等方式，授予学生医学统计学的知识和技能，是医学生必修课程之一。
2. 课程目标•掌握医学统计学的基本知识和方法；•学会应用医学统计学进行数据分析和推断；•了解医学统计学在临床、流行病学和健康科研中的应用；•能够运用医学统计学方法分析和评估临床研究和公共卫生问题；•能够熟练运用SPSS等统计软件进行数据管理和分析。
3. 课程内容和教学方法3.1 课程内容本课程内容包括基本概念、计量方法、推断方法、回归分析、实验设计、临床试验、流行病学和生存分析等方面的内容。
具体包括以下章节：•第一章：绪论•第二章：描述性统计学•第三章：概率理论和分布•第四章：参数估计•第五章：假设检验•第六章：回归分析•第七章：方差分析•第八章：因子分析•第九章：生存分析•第十章：实验设计•第十一章：临床试验•第十二章：流行病学3.2 教学方法本课程采用面授讲解、案例分析和实践练习相结合的方式，教师将采用多媒体辅助教学和互动式教学方法，引导学生积极思考和参与，培养学生的分析思维和解决实际问题的能力。
具体教学方法包括：•面授讲解•小组案例分析•课堂讨论•实践练习•课程作业4. 评估方法本课程评估分为平时成绩和期末考试两部分。
平时成绩包括：•课堂出席率•作业完成情况•小组案例分析报告期末考试为闭卷考试，考试题型包括选择题、计算题和应用题。
5. 参考教材本课程参考教材为《医学统计学》第3版，作者为雷公达、叶志明、王立平。
此外，教师还会补充相关的学术论文和国际标准等资料。
6. 总结医学统计学是医学生必修课程之一，是医学生进行临床医学和公共卫生研究的重要工具。
本课程将通过多种教学方法，为学生提供全面的医学统计学知识和技能，为学生未来的学习和研究奠定坚实基础。
财务报表分析方法 第9章 因子分析与主成分分析.ppt
因子分析法在财务比率分类中的应用
（三）应用的基本步骤
1．收集所要研究企业的财务比率数据， 得到样本原始数据矩阵
Y11 Y12
Y
Y21
Y22
Y31 Y32
Y13
Y23
Y33
因子分析法在财务比率分类中的应用
2．对样本原始数据进行标准化处理 变量标准化的公式为：
财务比率因子分析法的作用
财务比率因子分析法的作用主要体现在如下几 个方面：
首先，因子分析法能够应用实际的数据提供对这些 财务比率的关系的实质性测试及使分类合理化，这 种研究是有用的，它基于的思想是：相关的比率归 为一类，不相关的归为不同类。
其次，因子分析法会因为数据及方法的不同产生不 同的分类。财务比率分类的研究表明了财务比率相 互之间的关系，有助于研究者或使用者通过财务比 率的分类来选择财务比率。
因子分析法在财务比率分类中的应用
（一）应用的理论依据
将因子分析法的基本思想应用于其中，一 方面将相类似的指标（比率）归为一个因 子，另一方面将不相似的指标归为不同的 因子，可以有效地将大量的财务比率由几 个因子来进行代表。基于财务比率的来源 与构成，利用因子分析的方法，可以将它 们按照特性进行分类，将相类似的项目归 为一组，而不相类似的归在不同的类别中， 不同组的比率反映企业不同的特性。
8．运算过程的辅助实现
实务中，我们可以借助计算机进行辅助处理，例如 可直接利用SPSS软件、SAS软件，或者运用高级 语言（如Visual C++，Visual Basic）编制运算 程序等进行辅助运算。
财务比率因子分析法的特征评价
（一）因子分析法的性质
第9章因子分析
第9章因子分析与主成份分析因子分析与因子分析进程因子分析是将多个实测变量转换为少数几个不相关的综合指标的多元统计分析方式。
线性综合指标往往是不能直接观测到的，但它更能反映事物的本质。
因子分析概念在各个领域的科学研究中往往需要对反映事物的多个变量进行大量的观测，搜集大量数据以便进行分析寻觅规律。
多变量大样本无疑会为科学研究提供丰硕的信息，但也在必然程度上增加了数据收集的工作量，更重要的是在大多数情形下，许多变量之间可能存在相关性而增加了问题分析的复杂性。
由于各变量之间存在必然的相关关系，因此有可能用较少的综合指标别离综合存在于各变量中的各类信息，而综合指标之间彼此不相关，即各指标代表的信息不重叠。
如此就可以够对综合指标按照专业知识和指标所反映的独特含义给予命名。
这种分析方式成为因子分析，代表各类信息的综合指标就称为因子或主成份。
按照因子分析的目的咱们明白，综合指标应该比原始变量少，但包括的信息量应该相对损失较少。
原始变量：X一、X二、X3、X4……Xm主成份：Z一、Z二、Z3、Z4……Zn则各因子与原始变量之间的关系能够表示成：X1=b11Z1+b12Z2+b13Z3……+b1n Z n+ｅ1X2=b21Z1+b22Z2+b23Z3……+b2n Z n+ｅ2X3=b31Z1+b32Z2+b33Z3……+b3n Z n+ｅ3……X m=b m1Z1+b m2Z2+b m3Z3……+b mn Z n+ｅn写成矩阵形式为：X=BZ+E。
其值X为原始变量向量，B为公因子负荷系数矩阵，Z为公因子向量，E为残差向量。
公因子Z一、Z二、Z3…Zn之间彼此不相关，称为正交模型。
因子分析的任务就是求出公因子负荷系数和残差。
若是残差E的影响很小能够忽略不计，数学模型变成X=BZ。
若是Z中各分量之间彼此不相关，形成特殊形式的因子分析，称为主成份分析。
主成份分析的数学模型能够写成：Z1=ａ11X 1+ａ12X2+ａ13X 3……+ａ1m X mZ2=ａ21X 1+ａ22X2+ａ23X 3……+ａ2m X mZ3=ａ31X 1+ａ32X2+ａ33X 3……+ａ3m X m……Z n=ａn1X 1+ａn2X2+ａn3X 3……+ａnm X m写成矩阵形式为：Z=AX。
第八章_因子分析
第八章_因子分析因子分析是一种常用的多元统计分析方法，它通过对观测变量之间的关系进行综合考虑，将它们归纳为较少数量的共同因子，并解释这些因子与观测变量之间的关系。
因子分析可以用来发现数据背后的隐藏结构和模式，从而提高数据的解释力和预测能力。
1.因子分析的主要应用领域因子分析在许多领域中都有广泛应用。
在社会科学领域，因子分析常用于对人的主观评价和态度的研究，例如对消费者满意度、领导能力等方面的研究。
在市场研究中，因子分析可以将众多的市场指标归纳为几个关键的影响因素，从而更好地了解市场的特点和消费者的需求。
在心理学领域，因子分析可以用来研究人的智力、性格、态度等方面的因素。
在生物医学领域，因子分析可以用来研究疾病的病因，如心脏病的发病机制等。
2.因子分析的基本原理因子分析的基本原理是通过对观测变量之间的协方差矩阵进行特征值分解，找出最能解释观测变量之间关系的共同因子。
首先，将原始数据标准化，然后计算变量之间的协方差矩阵。
接下来，对协方差矩阵进行特征值分解，得到一组特征值和特征向量。
根据特征值的大小，选择前k个最大的特征值对应的特征向量，作为共同因子的估计。
最后，通过因子载荷矩阵和因子得分矩阵，将观测变量映射到共同因子上进行解释。
3.因子分析的步骤因子分析的步骤主要包括：确定研究对象和目标、准备数据、选择因子提取方法、确定因子数目、因子旋转和解释因子。
（1）确定研究对象和目标：确定要进行因子分析的变量和要研究的问题，例如对消费者满意度进行因子分析，研究消费者满意度的主要影响因素。
（2）准备数据：收集数据并进行预处理，包括缺失值处理、异常值处理和变量标准化。
（3）选择因子提取方法：根据数据的特点和研究目标选择适合的因子提取方法，常见的方法包括主成分分析、主因子分析和最大似然估计。
（4）确定因子数目：根据特征值和方差贡献率等指标，确定最优的因子数目。
（5）因子旋转：对提取的因子进行旋转，使得每个因子上的变量载荷更加清晰和有意义。
因子分析在STATA中实现和案例
第13章因子分析因子分析始于1904年Chars Spearman对学生成绩的分析，在经济领域有着极为广泛的用途。
在多个变量的变化过程中，除了一些特定因素之外，还受到一些共同因素的影响。
因此，每个变量可以拆分成两部分，一是共同因素，二是特殊因素。
这些共同因素称为公因子，特殊因素称为特殊因子。
因子分析即是提出多个变量的公共影响因子的一种多元统计方法，它是主成分分析的推广。
因子分析主要解决两类问题：一是寻求基本结构，简化观察系统。
给定一组变量或观察数据，是否存在一个子集，特别是一个加权子集，来解释整个问题，即将为数众多的变量减少为几个新的因子，以再现它们之间的内在联系。
二是用于分类，将变量或样本进行分类，根据因子得分值，在因子轴所构成的空间中进行分类处理。
p个变量X的因子模型表达式为：f称为公因子，Λ称为因子载荷。
X的相关系数矩阵分解为：对于未旋转的因子，1Φ。
ψ称为特殊度，即每个变量中不属于共性的部=分。
13.1 因子估计Stata可以通过变量进行因子分析，也可以通过矩阵进行。
命令为factor 或factormat。
webuse bg2,cleardescribefactor bg2cost1-bg2cost6factor bg2cost1-bg2cost6, factors(2)* pf 主因子方法，用复相关系数的平方作为因子载荷的估计量(默认选项)factor bg2cost1-bg2cost6, factors(2) pcf* pcf 主成分因子，假定共同度＝1factor bg2cost1-bg2cost6, factors(2) ipf* ipf 迭代主因子，重复估计共同度factor bg2cost1-bg2cost6, factors(2) ml* ml 极大似然因子，假定变量（至少3个）服从多元正态分布，对偏相关矩阵的行列式进行最优化求解，等价于Rao的典型因子方法13.2 预测Stata可以通过predict预测变量得分、拟合值和残差等。
因子分析(中英文)
指导老师：
兰州交通大学毕业设计（论文）
第10章 因子分析
多元数据分析的一个常用范式是基于有限个潜在因子来模拟数据中的重要数据信 息。例如，在家庭消费的一个调查中，可以观察到某月 p 种不同商品的消费水平 ，通 过调查得到的 中的 p 个部分的方差和协方差实际上可以由家庭的两三个主要社会行 为行为因子来解释。诸如舒适的基本要求、达到某种社会水平或其他潜在社会的意愿可 能解释大部分消费行为。对社会科学家来说，它们对这些未观测到的因子远比观察到的
10.1
正交因子模型
因子分析的目标在于用较少的变量（即所谓因子）来解释数据矩阵 中 p 个变量的 结果。最理想的情况就是 中的所有的信息都能被较少数目的因子再现。这些因子被解 释为观测到的 R p 数据的潜在（未观测到的）共同特征。以上所描述的情形发生在每 个观测值 x ( x1 , , x p ) T 被表述成下式的时候：
EF 0
Var ( F ) I K
EU 0
Cov( F , U ) 0 i j
Cov(U i , U j ) 0,
定义
Var (U ) diag (11 , , PP )
一般化的因子模型式（10.4）与式（10.5）给出的假定一起，构成了下述正交因子模型 （Or-thogonal Factor Mode） 。 正交因子模型
（10.7）
在某种意义上， 因子模型通过少数对 p 个成分都相同的潜在因子 F 解释了 X 的大部分方 差，并加上允许一些成分的特定方差的进入即噪音 U，因子模型完全解释了成分间的相 关系数结构。 特定因子适合于捕捉每个成分的个体方差。 因子分析依靠前面提出的假设。 如果假设不成立，那么分析就可能出现谬误。虽然主成分分析和因子分析也许相关（这 在因子模型推到中有提示） ，它们在本质上却有很大不同。主成分是 X 的线性转换，用 于减少方差的阶数和数据的维度；而在因子分析中，我们尝试用固定数目潜在因子的线 性转换来模拟 X 变化。 因子分析的目标是找到负荷 Q 和特定方差 。 对 Q 和 的估计从 协方差结构式（10.7）中推出。
第9章 计算机辅助分析方法
9.2.2SPSS软件包功能简介 9.2.2SPSS软件包功能简介
1．基本系统（Base System） ．基本系统（ ） ①数据文件管理（Data File）过程 ②数据的定义和操作（Data Transformation）过程 ③数据汇总（Frequencies）过程 ④描述性统计（Descriptives）过程 ⑤交叉表和检测（Crosstable）过程
2．统计模块（STAT） ．统计模块（ ） 1）回归分析类 2）方差分析类 3）属性数据分析类 4）多变量分析类
5）判别分析类 6）聚类分析类 7）得分类 8）生存分析类
3．绘图模块（GRAPH） ．绘图模块（ ） 4．矩阵运算模块（IML） ．矩阵运算模块（ ） 5．全屏幕操作模块（FSP） ．全屏幕操作模块（ ）
第 9 章 计算机辅助分析方法
第1节 计算机辅助分析方法简介
9.1.1计算机辅助信息分析技术的发展背景 9.1.1计算机辅助信息分析技术的发展背景
1.信息分析方法多样化 信息分析方法多样化 2.计算机技术的迅速发展 计算机技术的迅速发展
9.1.2计算机辅助信息分析的发展进程 9.1.2计算机辅助信息分析的发展进程
SPSS是目前世界上最著名的数据分析软 件之一。 SPSS SPSS是“社会科学统计软件包” （Statistics Package for Social Science ） Statistics 的简称， 1968年，美国斯坦福大学H.Nie等三位大 学生开发了最早的SPSS统计软件，并于 1975年在芝加哥成立了SPSS公司。 SPSS四个特点
习题
8-1 简述CAIA的发展阶段。 8-2 简述CAIA的工作流程。 8-3 CAIA的主要技术有哪些？ 8-4 结合实例使用和掌握SPSS的统计分析 软件。 8-5 结合实例熟悉SAS的功能。
第八章 因子分析1
X = AF + ε
aij
称为因子载荷，表示i个变量在第 j个公共因子上的负荷,
矩阵A称为因子载荷矩阵
二、因子分析模型的性质 性质1： X 性质 的协方差阵 的一个分解式是 ∑ = AA′ + Σε
Σ = D ( X ) = D ( AF + ε ) = D ( AF ) + D (ε )
= AD ( F ) A′ + D (ε ) = AA′ + Σε = R
第九章 因子分析
第一节 因子分析方法 一、因子分析及基本思想 因子分析起源于20世纪早期 用于研究心理学和教育学方面的问题， 世纪早期， 因子分析起源于 世纪早期，用于研究心理学和教育学方面的问题， 但是由于计算量大，又缺乏强有力的计算工具， 但是由于计算量大，又缺乏强有力的计算工具，使因子分析的应用和 发展受到了很大的限制，甚至停滞了很长一段时间。 发展受到了很大的限制，甚至停滞了很长一段时间。高速计算机的出 使因子分析的理论研究和计算有了很大的进展。目前， 现，使因子分析的理论研究和计算有了很大的进展。目前，这一方法 在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、 在经济学、社会学、考古学、生物学、医学、地质学及体育科学等领 域都得到了广泛的应用，并取得了显著的成绩。 域都得到了广泛的应用，并取得了显著的成绩。 （一）什么是因子分析 因子分析是主成分分析的推广和发展 是主成分分析的推广和发展， 因子分析是主成分分析的推广和发展，它是将具有错综复杂关系的变 或样品）综合为数量较少的几个因子， 量（或样品）综合为数量较少的几个因子，以显示原始变量与因子之 间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类， 间的相互关系，同时根据不同因子还可以对变量进行分类，是多元统 计分析中处理降维的一种统计分析方法。 计分析中处理降维的一种统计分析方法。 举例：
统计建模与R软件(薛毅)第九章答案
第九章9.1（1）利用主成分确定了8个指标的主成分，有4个，如图（21）（2）用order（）分别对4个主成分的预测值进行排序，结果是如下表（26），而利用kmeans（）进行动态排序得到如下分类：第1类：建材（6），森工（7），食品（8），纺织（9），皮革（11）；第2类：机械（5）；第3类：电力（2），煤炭（3），缝纫（10）造纸（12）；第4类：冶金（1）化学（4），文教艺术用品（13）。
成分13个行业排序结果第一主成分： 5 1 3 2 4 6 13 11 9 7 12 10 8 第二主成分： 5 8 4 9 10 1 13 12 7 11 6 2 3 第三主成分：8 1 5 3 9 12 7 10 2 6 11 4 13 第四主成分：11 6 5 7 10 13 12 9 1 8 3 2 4表（26）各行业按主成分得分进行排序结果图（21）主成分碎石图图（22）第一主成分与第二主成分下的散点图习题程序与结论：> industry<-data.frame(+X1=c(90342,4903,6735,49454,139190,12215,2372,11062,17111,1206,2150,5251,14341)，+X2=c(52455,1973,21139,36241,203505,16219,6572,23078,23907,3930,5704,6155,13203)，+X3=c(101091,2035,3767,81557,215898,10351,8103,54935,52108,6126,6200,10383,19396),+X4=c(19272,10313,1780,22504,10609,6382,12329,23804,21796,15586,10870,16875,14691),+ X5=c(82.0,34.2,36.1,98.1,93.2,62.5,184.4,370.4,221.5,330.4,184.2,146.4,94.6),+ X6=c(16.1,7.1,8.2,25.9,12.6,8.7,22.2,41.0,21.5,29.5,12.0,27.5,17.8),+X7=c(197435,592077,726396,348226,139572,145818,20921,65486,63806,1840,8913,78796,6354), +X8=c(0.172,0.003,0.003,0.985,0.628,0.066,0.152,0.263,0.276,0.437,0.274,0.151,1.574) )> industry.pr<-princomp(industry,cor=T)> summary(industry.pr) ####做主成分分析，得到4个主成分，累积贡献率达94.68% Importance of components:Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Standard deviation 1.7620762 1.7021873 0.9644768 0.80132532 0.55143824Proportion of Variance 0.3881141 0.3621802 0.1162769 0.08026528 0.03801052Cumulative Proportion 0.3881141 0.7502943 0.8665712 0.94683649 0.98484701Comp.6 Comp.7 Comp.8Standard deviation 0.29427497 0.179400062 0.0494143207Proportion of Variance 0.01082472 0.004023048 0.0003052219Cumulative Proportion 0.99567173 0.999694778 1.0000000000> load<-loadings(industry.pr) ####求出载荷矩阵> loadLoadings:Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8X1 -0.477 -0.296 -0.104 0.184 0.758 0.245X2 -0.473 -0.278 -0.163 -0.174 -0.305 -0.518 0.527X3 -0.424 -0.378 -0.156 -0.174 -0.781X4 0.213 -0.451 0.516 0.539 0.288 -0.249 0.220X5 0.388 -0.331 -0.321 -0.199 -0.450 0.582 0.233X6 0.352 -0.403 -0.145 0.279 -0.317 -0.714X7 -0.215 0.377 -0.140 0.758 -0.418 0.194X8 -0.273 0.891 -0.322 0.122Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.6 Comp.7 Comp.8SS loadings 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000 1.000Proportion Var 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125 0.125Cumulative Var 0.125 0.250 0.375 0.500 0.625 0.750 0.875 1.000> plot(load[,1:2])> text(load[,1],load[,2],adj=c(-0.4,-0.3))> screeplot(industry.pr,npcs=4,type="lines") ####得出主成分的碎石图> biplot(industry.pr) ####得出在第一，第二主成分之下的散点图> p<-predict(industry.pr) ####预测数据，讲预测值放入p中> order(p[,1]);order(p[,2]);order(p[,3]);order(p[,4]);####将预测值分别以第一，第二，第三，第四主成分进行排序[1] 5 1 3 2 4 6 13 11 9 7 12 10 8[1] 5 8 4 9 10 1 13 12 7 11 6 2 3[1] 8 1 5 3 9 12 7 10 2 6 11 4 13[1] 11 6 5 7 10 13 12 9 1 8 3 2 4> kmeans(scale(p),4) ####将预测值进行标准化，并分为4类K-means clustering with 4 clusters of sizes 5, 1, 4, 3Cluster means:Comp.1 Comp.2 Comp.3 Comp.4 Comp.5 Comp.61 0.5132590 -0.03438438 -0.3405983 -0.5130031 0.2355151 0.224410402 -2.5699693 -1.32913757 -0.4848689 -0.9460127 -0.9000187 -0.064979503 0.2381581 0.72871986 -0.2995918 0.3126036 -0.4744091 -0.197097104 -0.3163193 -0.47127333 1.1287426 0.7535380 0.5400265 -0.08956137Comp.7 Comp.81 -0.38197798 -0.74748552 -0.67500209 0.45695483 0.09063069 0.98269154 0.74078975 -0.2167643Clustering vector:[1] 4 3 3 4 2 1 1 1 1 3 1 3 4Within cluster sum of squares by cluster:[1] 19.41137 0.00000 24.49504 16.61172(between_SS / total_SS = 37.0 %)Available components:[1] "cluster" "centers" "totss" "withinss" "tot.withinss"[6] "betweenss" "size"9.2####用数据框的形式输入数据####用数据框的形式输入数据sale<-data.frame(X1=c(82.9,88.0,99.9,105.3,117.7,131.0,148.2,161.8,174.2,184.7),X2=c(92,93,96,94,100,101,105,112,112,112),X3=c(17.1,21.3,25.1,29.0,34.0,40.0,44.0,49.0,51.0,53.0),X4=c(94,96,97,97,100,101,104,109,111,111),Y=c(8.4,9.6,10.4,11.4,12.2,14.2,15.8,17.9,19.6,20.8))####作线性回归lm.sol<-lm(Y~X1+X2+X3+X4,data=sale)summary(lm.sol)显示结果Call:lm(formula = Y ~ X1 + X2 + X3 + X4, data = sale)Residuals:1 2 3 4 5 6 70.024803 0.079476 0.012381 -0.007025 -0.288345 0.216090 -0.1420858 9 100.158360 -0.135964 0.082310Coefficients:Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)(Intercept) -17.66768 5.94360 -2.973 0.03107 *X1 0.09006 0.02095 4.298 0.00773 **X2 -0.23132 0.07132 -3.243 0.02287 *X3 0.01806 0.03907 0.462 0.66328X4 0.42075 0.11847 3.552 0.01636 *---Signif. codes: 0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1Residual standard error: 0.2037 on 5 degrees of freedomMultiple R-squared: 0.9988, Adjusted R-squared: 0.9978F-statistic: 1021 on 4 and 5 DF, p-value: 1.827e-07模型通过t检验和F检验，因此回归方程为：Y=-17.66768+0.09006X1-0.23132X2+0.01806X3+0.42075X4 Y 是销售量，X1是居民可支配收入X2是该类消费品平均价格指数，X1和X2越高Y越高这与实际情况不符，原因是4个变量存在多重共线性，对变量作主成分回归，先作主成分分析。
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9 因子分析及R使用
9.3.3 方差贡献及共同度
9 因子分析及R使用
✓ 寻找每个主因子的实际意义 ✓ 如果各主因子的典型代表变量不突出，就需要进行旋转 ✓ 使因子载荷矩阵中载荷的绝对值向0和1两个方向分化
9 因子分析及R使用
9.3.2 主因子估计法
9 因arimax（最大方差正交旋转法）
因 子 得 分 信 息 图
9 因子分析及R使用
综 合 得 分 及 排 名
9 因子分析及R使用
【例9.4】 (续例3.1、例7.2和例8.2) 对我国居民消费数据进行因子分析
9 因子分析及R使用
因子分析的核心问题 一、确认数据是否适合作因子分析
一是如何构造因子变量 二是如何解释因子变量
一般运用KMO与Bartlett's进行验证
多元统计分析及R语言建模
第9章 因子分析及R使用 王斌会 教授
多元统计分析及R语言建模
多元统计分析及R语言建模
➢了解因子分析的目的和实际意义
基 本
➢熟悉因子分析建模的条件和因子的实际意义
要 求
➢掌握因子载荷的推导步骤，以及性质
➢能用R语言解决实际因子分析问题，给出分析报告
多元统计分析及R语言建模
因子载荷loadings 是xi 与Fj 的相关系数 表示xi 依赖Fj 的程度
9 因子分析及R使用
9.3.2 主因子估计法
9 因子分析及R使用
9.3.2 主因子估计法
9 因子分析及R使用
9.3.2 主因子估计法
9 因子分析及R使用
9.3.3 因子载荷的意义
方差贡献
共同度
因子载荷aij表示xi依赖Fj的程度， 其值越大，依赖程度越大。
9 因子分析及R使用
✓ 将相关性较高的分在同一类中，每一类代表了一个基本结构，
模
即公因子。
型 ✓ 用少数不可测的公共因子的线性函数来描述原观测的每一分量。
提
出
✓ 样品间的因子分析称为Q型因子分析，
✓ 变量间的因子分析称为R型因子分析。
9 因子分析及R使用 R型因子模型
X = AF +
A = (aij)为因子载荷阵，F为公因子， 为特殊因子
二、构造因子变量 三、旋转因子使其更具可解释性 四、计算因子得分并做因子图
> 0.9非常适合 0.8~0.9适合 0.7~0.8一般 0.6~0.7不太适合 0.5~0.6不适合 < 0.5极不适合
9 因子分析及R使用
R语言因子分析过程
一、因子计算
二、因子评价
（1）是否适合做因子分析：KMO
（6）因子得分：$scores
与
➢ 主成分分析是“变异数”导向的方法，
联
➢ 因子分析是“共变异数”导向的方法。
系
因子分析是主成分分析的推广
9 因子分析及R使用
✓ 因子变量数远少于原变量数
特 ✓ 因子变量是一种新的综合
点 与
✓ 因子变量之间没有相关关系
用 ✓ 因子变量具有明确的解释性
途
✓ 减少分析变量个数； ✓ 通过对变量间关系探测，将原变量进行分类。
（2）计算因子分析的对象：factanal, msa.fa （7）因子信息图：biplot
（3）按方差贡献定因子数：>80%
（8）综合得分：加权得分
（4）获得因子载荷并解释：$loadings
（9）得分排序：$ranks
（5）是否需进行因子旋转：'varimax'
9 因子分析及R使用
1 问题的定义
子
旋
转
方
法
斜交旋转 Promax
9 因子分析及R使用
如何进行旋转
求B 的载荷系数方差达到最大的 即可获得正交矩阵
9 因子分析及R使用
X =AF +
因子得分 计算方法
回归估计法 Bartlett估计法
Var()=2I Var()=
9 因子分析及R使用
回 归 法 因 子 得 分
9 因子分析及R使用
➢ 因子分析模型的基本思想，与主成分分析的区别 基 本 ➢ 因子分析的数学模型，假定，因子载荷估计方法 内 容 ➢ 因子旋转和因子得分的实际意义和数学表达式
➢ R语言计算程序中有关因子分析的算法基础
9 因子分析及R使用
➢ 主成分分析通过线性组合将原变量综合成几个主成分
区 别
➢ 因子分析通过构筑若干意义较为明确的公因子
一个完整的因子分析过 程应当包含如下方面：
2 因子分析的适应性 3 确定因子数目
4 因子旋转
5 因子解释
6 因子得分
7 因子分析的意义
9 因子分析及R使用
【例9.1】水泥行业上市公司经营业绩因子模型实证分析
9 因子分析及R使用
【例9.1】水泥行业上市公司经营业绩因子模型实证分析
9 因子分析及R使用
因子估计方法
极大似然估计 主因子估计
9 因子分析及R使用
9.3.1 极大似然估计法
9 因子分析及R使用
9.3.1 极大似然估计法