向量组的极大无关组与秩的定义
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§3 向量组的秩与极大线性无关组
同的线性相关性。
A 1 , 2 ,
初等行变换 , n B 1 , 2 ,
, n
AX 0 与 BX 0 同解
定理
矩阵A的秩等于A的行(列)向量组的秩。
矩阵的秩的定义：存在 K 阶子式不为 0，对任意 K+1 阶子式均为 0， 则 k 即为矩阵的秩。
km 0 时，k11 k2 2
km m 0 才
成立，或者说， k1 , k2 , , km 不全为零，那么 k11 k22 kmm 必不 为零.）
定理 向量组 1 , 2 , , m 线性相关
齐次线性方程组 1 , 2 ,
x1 x2 , m 0 有非零解 xm
线性无关组等价。
性质 如果多数向量能用少数向量线性表示出， 那么多数向量一定线性相关。
性质
1 , 2 , 如果向量组 A：
R(1 , 2 ,
, m 可由向量组 B： 1 , 2 ,
, n
线性表示，则向量组A的秩不超过向量组B的秩，即
, m ) R( 1 , 2 , , n )
例：设矩阵
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
2 4 4 9
求矩阵 A 的列向量组的一个极大线性无关组，并把不属于极
大线性组的列向量用极大无关组线性表示．
解：第一步先用初等行变换把矩阵化成行阶梯形矩阵． 2 1 1 1 2 1 1 2 1 4 r 1 1 2 1 4 0 1 1 1 0 ~ A 4 6 2 2 4 0 0 0 1 3 3 6 9 7 9 0 0 0 0 0 行阶梯形矩阵有 3 个非零行，故R(A) = 3 ． 第二步找B的一个3阶非零子式．可取行阶梯形矩阵中非零行 的第一个非零元所在的列 ，与之对应的是选取矩阵 A 的第一、 二、四列． 2 1 1 1 1 1 r 1 1 1 0 1 1 A0 (a1 , a2 , a4 ) ~ B0 4 6 2 0 0 1 3 6 7 0 0 0
3.3 向量组的极大无关组与秩
矩阵 C的列向量组能由 A的列向量组线性表示，
因此r ( C ) r ( A). 又因为 C T B T AT ,由上段证明知 r ( C T ) r ( B T ), 25 即r ( C ) r ( B).
练习
1.求下列向量组的秩:
T T (1) 1 (2, 1, 1) , 2 (5, 4, 2, ) , 3 (3, 6, 0) T T ( 3 , 1 , 0 , 2 ) ( 1 , 1 , 2 , 1 ) (2) 1 , , 2 3 (1, 3, 4, 4) T .
20
得
1 1 3 2 , 2 1 2 .
1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1
1 0 1 2 2 3 1 1 2 2 , 0 0 0 0 0 0
2 0 1 1 而 ( 1 , 2 , 1 , 2 ) 3 1 3 1
9
定理3.10
若向量组A可由向量组B线性表示，则
r(A) ≤ r(B)。 推论 若向量组A与向量组B等价，则 r(A) = r(B)。
10
回顾
α1 α2
αm
矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组: 其中 i ( a i 1 , a i 2 , , a in ), i 1, , m a1 j 1 a2 j 2 j 1, 2, , n
28
23
则r 1 1 , 2 2 , , n n r t r ( A) r ( B) r ( A B) r ( A) r ( B)
r i 1 , i 2 , ir , j 1 , j 2 , jt
4.3 向量组的秩和最大无关组
设1, 2, …, n为Rn的一组基，则
Rn = L(1, 2, …, n)
返回
又，
Rn = L(ε1, ε2, …, εn)
Rn 的标准基
Rn, 1, 2, …, n为一组基， = x11+ x22+ …+ xnn 在基1, 2, …, n下的坐标 一个向量在确定基下的坐标是唯一的(坐标的唯一性).
矩阵A的列秩：A的列向量组的秩；
矩阵A的行秩：A的行向量组的秩.
返回
定理2 矩阵的 行秩 = 列秩 = 矩阵的秩.
证 设 R(A) = r,
A 行初等变换 B(行阶梯形矩阵),
B有 r 个非零行，B的r 个非零行的非零首元素所在 的r 个列向量线性无关， 为什么？ 为B的列向量组的最大无关组. 为什么？
1, 2, …, r 可由1, 2 , …, s线性表出,有
R(B)=R(B, A) 则R( A) ≤ R(B) ≤ s
1, 2, …, r 线性无关，则 R(A)=r
r≤ s
返回
两向量组秩的关系： 若向量组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出，则 组(Ⅰ)的秩 r1≤ 组(Ⅱ)的秩 r2. 证 设 1 ,..., r1 为(Ⅰ) 的最大无关组， 1 ,..., r2 为(Ⅱ) 的最大无关组. 组(Ⅰ)可由组(Ⅱ)线性表出,所以
4.3
向量组的秩与最大无关组
一、向量组的秩与最大无关组的概念
二、Rn 的基、维数与坐标
返回
一、向量组的秩与最大无关组的概念
例1 1 =(1,0,1), 2 =(1,-1,1), 3 =(2,0,2) 。
1, 2, 3 线性相关. 1, 2 线性无关； 2 ，3 线性无关，
向量组的秩
把向量组中所有向量考察一遍，即可得到 该向量组的一个极大线性无关组.这个方 法称为逐个“扩充法”。
例3.3.3 设向量组α1=(0,0,-1,1), α2= (1,1,-1,0), α3=(2,2,-1,-1)α4=(-1,-1,0, 0),求它 的一个极大线性无关组及该向量组的秩。
解 由于α1≠0，保留α1;又α2≠kα1,即α1 与α2线性无关，保留α2；因α3=2α2-α1,所以 α1,α2, α3线性相关，
解 由于α1,α2线性无关，α3= 2α1-α2, 所以α1,α2是该向量组的的一个极大线性无 关组。显然α1,α3与α2,α3也是这个向量组的 极大线性无关组。
从这个例子可以看出，一个线性相关 的非零向量组，一定存在极大线性无关组， 并且它的极大线性无关组不是唯一的。那 么，同一个向量组的不同的极大线性无关 组所含向量的个数是否相同? 下面将回答 这一问题。
即C的列向量组可由A的列向量组线性表 出，由定理3.3.3及3.3.4知,
R(C) R(A)
又
R(C) R(AB) R(( AB)T ) R(BT AT ) R(BT ) R(B)
故
R(AB) min R(A), R(B)
定理 3.3.1 如果向量组α1,α2, …,αm中的每一个向量均可由向量组 β1, β2, …, βr线性表出，并且m>r，那么向量组线 性相关。
证设
i (ai1, ai2 ,, ain ) (i 1,2,, m),
j (b j1, b j2 ,, b jn ) ( j 1,2,, r)
例3.3.2 设向量组α1,α2, …,αm的秩为 r，试证α1,α2, …,αm中任意r个线性无关的 向量均为该向量组的一个极大线性无关组。
极大无关组与向量组的秩
提示: 极大无关组不唯一，但是所含向量的个数都相等
线性代数
16
例3 设矩阵 2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
求矩阵A的列向量组的一个极大 无关组， 并把不属于极大无关组 的列向量用极大 无关组线性表示 .
0 1 0
即得
a 3 a1 a 2 , a5 4a1 3a 2 3a4
线性代数
20
练习：义1 设 V 为 n 维向量的集合，如果集合V 非空， 且集合V对于加法及数乘两种运算封闭，那么就称 集合 V 为向量空间．
说明 1．集合V 对于加法及数乘两种运算封闭指
知R(a1 , a2 , a4 ) 3，故a1 , a2 , a4线性无关
要把a3 , a5用a1 , a2 , a4线性表示，必须将 A再变 成行最简形矩阵.
线性代数
19
A
初等行变换
~
1 0 0 0
4 1 1 0 3 0 0 1 3 0 0 0 0
验证a1 , a 2 , a 3 , 是R 3的一个基，并把 b1 , b2用这个基 线性表示.
线性代数
27
解 要证a1 , a2 , a3是R 的一个基，只要证 a1 , a2 , a3 线性无关，即只要证 A ~ E.
设
即 x11 (b1 , b2 ) (a1 , a 2 , a 3 ) x 21 x 31 记作B AX .
k1 k n 0时, 才有 k1 1 k 2 2 k n n 0 成立 .
线性代数
8
2. 对于任一向量组, 不是线性无关就是 线性相关 .
第3.3节 向量组的秩
例2 证明
(1) n维基本单位向量组 1 , 2 , , n 是Rn的极大无关组； (2) Rn中任意n个线性无关的向量都是Rn的极大无关组. 证 (1) 1 , 2 , , n 显然线性无关；又 ( a1 , a2 , , an ) R n , 有
( a1 , a2 , , an ) a1 1 a2 2 an n ,
因此，1 , 2 , 4 是向量组A的极大无关组，且
3 1 2 0 4 1 2 .
例7 设向量组 (I) 1 (1, 1, 0, 0)T， 2 (1, 0, 1, 1) T , (II) 1 (2, 1, 3, 3)T， 2 (0, 1, 1, 1) T . 证明向量组(I)与向量组(II)等价. 证 方法1 考虑向量组 (III)
例1 考察下列向量组的极大无关组.
(1) 1 (0, 0, 0);
不存在
(2) 1 (0, 0, 0)， 2 (1, 0, 0)， 3 (0,1, 0); (3) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (0, 0,1); (4) 1 (1, 0, 0)， 2 (0,1, 0)， 3 (1,1, 0).
不难归纳
2 , 3
1,2,3
1,2； 1,3；2,3
(1)只含零向量的向量组不存在极大无关组； (2)含有非零向量的向量组必存在极大无关组； (3)线性无关向量组的极大无关组是其本身； (4)线性相关组的极大无关组所含向量个数少于 原向量组所含向量个数； (5)向量组的极大无关组可能不唯一.
故而r1 r2 .
(2)略.
例4
已知向量组 1 , 2 , , s ( s 1) 的秩为r ，且
3-2 向量组的秩和最大无关组
R( A, B ) r R( A)
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
充分性: 若 R( A, B ) R( A) r , 则 a1,…, ar 为(A, B)的一 个最大无关组, 当然向量组 B 可由 a1,…, ar 线性表示, 从而向量组 B 可由向量组 A 线性表示.
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定理3 向量组 B 可由向量组 A 线性表示的充要条件是
向量组的秩 设 A 为一向量组, A 中线性无关向量组所含向量个 数的最大值 r, 称为向量组 A 的秩, 记为 R(A).
规定{0}的秩为 0. 提示: 当 s n 时, n 维向量组 a1,…, as 线性相关. 这是因为 R ( a 1 , , a s ) n s
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§3.2 向量组的秩和最大无关组
一、向量组的秩和最大无关组 二、等价向量组
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一、向量组的秩和最大无关组
设 A 为一 n 维向量组( A {0}), A 中任一线性无关 向量组所含向量个数不多于 n 个. A 中线性无关向量组所含向量个数存在最大值: 存在正整数 r, 使得 A 中有 r 个向量线性无关, 而 A 中任意多于 r 个向量(若存在的话)线性相关.
T T T T T 若 x 满足 (A A)x 0, 则有 x (A A)x 0, (Ax) (Ax) 0, T
从而 Ax 0. 综上可知 Ax 0 与 (A A)x 0 同解, 设其解集为 S,
T
x 为 n 元未知量, 则有
R( A A) R( A) n - R(S )
证明向量组 a1, a2 与向量组 b1, b2, b3 等价. 证明 记 A (a1, a2), B (b1, b2, b3),
向量组的秩
6
二、向量组的秩与矩阵的秩的关系
回顾： 回顾：我们前面对于矩阵的秩的讨论 将矩阵化为阶梯形矩阵， 将矩阵化为阶梯形矩阵，求出非零行的行数 问题：矩阵的秩与其行( 问题：矩阵的秩与其行(列)向量组的秩之间的关 系？？ 矩阵A的行向量组的秩称为行秩 行秩， 定义 矩阵A的行向量组的秩称为行秩， 矩阵A的列向量组的秩称为列秩。 矩阵A的列向量组的秩称为列秩。 列秩 矩阵A的秩＝行秩＝列秩= 定理 矩阵A的秩＝行秩＝列秩=向量组的秩
r ( A) ≤ r ( B )
例 证
证明 r ( AB ) ≤ min{ r ( A), r ( B )}
记C m ×n = Am× s Bs×n
b11 M [β 1 ,...β n ] = [α1 ,...α s ] bs 1
... b1n M bsn
根据向量的对应关系， 的列向量均可由 的列向量均可由A 根据向量的对应关系，C的列向量均可由 的列向量线性表示。 的列向量线性表示。 因此， 因此，r(C)≤r(A) 同样，可证 同样，可证r(C)≤r(B)
k1 k1α 1 + k 2α 2 + .. + k sα s = (α 1 ,...,α s ) M ks
k1 = ( β 1 ,... β t ). At × s M = 0 k s
19
x1 M =0 有非零解. 所以只需要证明 At × s 有非零解 xs
k1α 1 + k2α 2 + .. + k sα s = 0
线性表示， 因为 α 1 , α 2 ,L, α s 由 β 1 , β 2 ,L, β t 线性表示， 则
3[1].4向量组的极大无关组
![3[1].4向量组的极大无关组](https://img.taocdn.com/s3/m/97dfa6f5fc0a79563c1ec5da50e2524de518d03b.png)
1 0 1 0 4
例如：
0
1
1
0
3
B
0 0 0 1 3
0
0
00
0
注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。
0 0 0 1 1 1
0 1 1 1 1 1
例1 ：对矩阵
A
0
1
1
0
0
1
0 2 2 0 0 1
0
1
1 2 2 2
作行初等变换,使成为行阶梯矩阵.
又等价的向量组有相同的秩，
A 的行秩＝ A2 的行秩， 即A的行秩不变。
（3）非零常数k乘以第i行后加到第j行上
1
1
i
i
A
kri
A3
j
j
k i
显然，A3 中的行向量组 可以由 A的行向量组线性表示
m
m 而 A的行向量组可以由
A3 中的行向量组线性表示。
所以两个向量组等价，所以行向量组的秩不变， 所以矩阵的行秩不变。
0
0
0
1
1
1
r3r2 0 0 0 0 0 1
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
0 0
例2：求上三角矩阵的秩
a11 a12 a13 a14 a15
0
a22
a23
a24
a25
A 0
0 0
0 a33 a34 a35 aii 0 i 1, 2, 3
0
0
0
0
0 0 0 0
解：看行秩 1 a11,a12 ,a13 ,a14 ,a15 2 0,a22 ,a23 ,a24 ,a25
向量组的秩
.
并用极大无关组表示其余向量
解
A ( 1
T
2
2 1
T
3
0 1 1
T
4
T
5 )
T
1 1 0 0
1
1 3 2 1
1
1
R ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3
2 1 6 0 4 0 1 0
T
4
T
5 )
T
1 1 0 0
1
1 3 2 1
1
1
2 1 6 0 4 0 1 0
1 1 0 0
0 1 0 0
1 2 3 0
2 4 5 0
R ( 1 , 2 , 3 , 4 , 5 ) 3
且 1 , 2 , 4 是一个极大无关组.
求向量组的秩和极大无关组的方法（续） ⑴．以 1 , 2 , , s 为列构造矩阵
A ⑵．
初等行变换
A
阶梯形
r( A) r
⑶．在阶梯形矩阵中找出每行左数第一个非零 元所在的列向量，这些列向量对应的原向量就 是极大无关组．
1 1 0 0
0 1 0 0
1 2 3 0
2 4 5 0
且 1 , 2 , 4 是一个极大无关组.
1
1 0 0 0
2
1 1 0 0
3
0 1 0 0
4
1 2 3 0
2 4 5 0
若要将其余向量用极大无关组线性表示，则接 第⑶步往下进行:
⑷．化阶梯形为行最简形，将所有的非单位 列向量用单位列向量线性表示即可．
大学线性代数：向量组的秩
10
例：设 α1 = ( 2,1, 2, 2, −4), α 2 = (1,1, −1, 0, 2), α 3 = (0,1, 2,1, −1),
α 4 = ( −1, −1, −1, −1,1), α 5 = (1, 2,1,1,1).
求秩和一个极大线性无关组。
解：转置后排列为矩阵得 ⎛ 2 1 0 ⎜ ⎜ 1 1 1 ⎜ 2 −1 2 ⎜ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 ⎝ ⎛1 ⎜ r3 ↔ r5 ⎜0 r2 ↔ r4 ⎯⎯⎯ →⎜0 ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎝ −1 1 ⎞ ⎛ 1 1 1 ⎟ ⎜ −1 2 ⎟ ⎜ 2 1 0 r1 ↔ r2 → ⎜ 2 −1 2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜ 2 0 1 ⎜ −4 2 −1 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ r − 2 r ⎜ 0 3 2 r4 + r1 →⎜0 2 1 −1 3 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 −2 1 −3 ⎟ ⎜0 ⎜0 −2 2 0 0 ⎟ ⎠ ⎝ −1 2 ⎞ ⎛1 1 r5 + 2 r4 ⎟ 4 − r3 ⎜ −1 1 ⎟ r r3 − r2 ⎜ 0 −1 r2 − 2 r1 → ⎜ 0 −2 −1 1 ⎟ ⎯⎯⎯ ⎟ ⎜ −1 1 ⎟ ⎜0 1 ⎜0 2 1 1⎟ ⎠ ⎝ 1 1 −1 2 ⎞ ⎛ 1 1 ⎟ ⎜ 1 −1 0 0 ⎟ ⎜ 0 1 0 3 −1 3 ⎟ → ⎜ 0 0 ⎟ ⎜ 0 −3 1 −3 ⎟ ⎜ 0 0 ⎜ 0 0 0 0⎟ ⎠ ⎝0 0 1 −1 2 ⎞ ⎟ − 2 1 −3 ⎟ 2 0 0⎟ ⎟ −1 0 0 ⎟ 1 −1 3 ⎟ ⎠ 1 −1 2 ⎞ ⎟ −1 0 0 ⎟ 3 −1 3 ⎟ ⎟ 0 0 0⎟ 0 0 0⎟ ⎠
§3.4 向量组的最大无关组与秩
2 1 1 1 2
A
(a1
,
a2
,
a3
,
a4
,
a5
)
1 4
1 6
2 2
1 2
4
4
3
6 9
7 9
思考：如何把 a3, a5 表示成a1, a2, a4 的线性组合？
思路1：利用P.83 定理1 的结论
向量 b 能由 向量组 A 线性表示
线性方程组 Ax = b 有解
令 A0 = (a1, a2, a4) 求解 A0x = a3
注: 1. 只含零向量的向量组没有最大无关组. 规定它的秩为0.
2. 向量组{1,,m } 线性无关 R(1,,m ) = m . 3. 向量组{1,,m } 线性相关 R(1,,m ) < m .
例： 全体 n 维向量构成的向量组记作 Rn，求 Rn 的一 个最大无关组及 Rn 的秩．
1 0 L
列向量组的最大无关组具体求法: 将矩阵 A 用
初等行变换化为行阶梯形矩阵 B, 即可找出 B 的最 高阶非零子式所在的列, 其对应于A 所在的列向量 就是A的列向量组的一个最大无关组.
三、向量组秩的一些结论
§3.2的定理3.6中矩阵的秩均可改为向量组的秩.
定理3.14 向量组 1, 2, , s 能由向量组 1, 2, , m 线性表示的充分必要条件是 R(1, 2, , m ) =R(1, 2, , m, 1, 2, , s) .
0
00
0
于是 Ax = 0 与 Bx = 0 ，即 x1a1 + x2a2 + x3a3 + x4a4 + x5a5 = 0
x1b1 + x2b2 + x3b3 + x4b4 + x5b5 = 0
向量组的极大无关组(2)
（1）初等行变换不改变 A 的行秩； （2）初等行变换不改变 A 的列秩； （3）初等列变换不改变 A 的列秩； （4）初等列变换不改变 A 的行秩。
只需证明经过一次初等变换结论成立即可。
对于（1）：将 A 按行分块，对 A 作一次初等行变换 后的矩阵记为 B ，则显然无论用哪一种初等行变换， A 的行向量组与 B 的行向量组都可以互为线性表示。
(r 1) , 试证： r 1,2, r r 1, 2, r 。
证明：由已知有：
0 1 1
1
1
01
1
1, 2,
r 1,2,
r
1
10
1
1 1 1
0
0 11
1
1 11
1
1 01
1
1 01
1
因为： 1 1 0
1 (r 1) 1 1 0
1
1 11
0
11 1
0 1 1 (r 1) 0 0 1
【注 3】当且仅当向量组1,2 , ,m 线性无关时， 有 r(1,2 , ,m ) m 。
【定理 2】若向量组1,2 , ,m 可由 1, 2 , , s 线性表出，则有：
r(1,2 , ,m ) r(1, 2 , , s ) 。 证 设1,2, ,m 为 (a) ，它的极大无关组为 (a) ， 设 1, 2 , , s 为 (b) ，它的极大无关组为 (b) 。
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
例例1如,
设1
1
0
,
2
0
1
,
3
1 1
,
4
2 2
，
则： 1,2 构成1,2 ,3,4 的极大无关组，
2,3 也构成1,2 ,3,4 的极大无关组；
只需证明经过一次初等变换结论成立即可。
对于（1）：将 A 按行分块，对 A 作一次初等行变换 后的矩阵记为 B ，则显然无论用哪一种初等行变换， A 的行向量组与 B 的行向量组都可以互为线性表示。
(r 1) , 试证： r 1,2, r r 1, 2, r 。
证明：由已知有：
0 1 1
1
1
01
1
1, 2,
r 1,2,
r
1
10
1
1 1 1
0
0 11
1
1 11
1
1 01
1
1 01
1
因为： 1 1 0
1 (r 1) 1 1 0
1
1 11
0
11 1
0 1 1 (r 1) 0 0 1
【注 3】当且仅当向量组1,2 , ,m 线性无关时， 有 r(1,2 , ,m ) m 。
【定理 2】若向量组1,2 , ,m 可由 1, 2 , , s 线性表出，则有：
r(1,2 , ,m ) r(1, 2 , , s ) 。 证 设1,2, ,m 为 (a) ，它的极大无关组为 (a) ， 设 1, 2 , , s 为 (b) ，它的极大无关组为 (b) 。
的一个极大线性无关组，简称为极大无关组。
例例1如,
设1
1
0
,
2
0
1
,
3
1 1
,
4
2 2
，
则： 1,2 构成1,2 ,3,4 的极大无关组，
2,3 也构成1,2 ,3,4 的极大无关组；
线性代数-向量组的秩
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7
极大无关组定义：
1 2 0 4 ERT 0 4 9 0
1 2 1 1 1 1 0 0
4 0 0 1 3 0 0 0
定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变换变成B， 则A的行向量组与B的行向量组等价；而A的任意k 个列向量与B中对应的k个列向量有相同的线性相 关性。 显然极大线性无关组为1 , 2 , 4 ,
3. 定理1 （1）若矩阵A经过有限次初等行变 换变成B，则A的行向量组与B的行向量组 等价；而A的任意k个列向量与B中对应的 k个列向量有相同的线性相关性。
, s } r .
设 J 中第 i 个非零行第一个非零元所在列标号为 ji ,
i 1,2,
, r , 则 j1 , j2 ,, jr 就是一个极大无关组.
小结
1. 极大线性无关组、行秩、列秩
1. 任意两个极大无关组所含向量个数相同
2. 向量组等价
1. 三大性质 2. 极大组合向量组等价
附 求向量组1 , 2 ,
, s 的极大无关组的一般步骤： , s )
i 为列向量时 i 为行向量时
第一步：作矩阵 A (1 , 2 ,
, 2 , 或 A (1
) , s
第二步：用初等行变换化矩阵A为阶梯阵 J . 若 J 中有 r 个非零行，则秩 {1 , 2 ,
3 (3,0,7,14), 4 (1, 1,2,0), 5 (2,1,5,6)
的极大无关组. 解： 作矩阵
1 1 A 2 4
0 3 1 2
3 0 7 14
1 1 2 0
2 1 5 6
4.3 向量组的极大无关组与向量组的秩
1 1 2 一次行 B = 2 A= ① r r ③ kr ② k r i j i m m
则显然有
1, 2 ,, m 1 , 2 ,, m
行秩(A)=行秩(B)。
所以，初等行变换不改变矩阵的行秩与列秩。 类似有： 定理2.12 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。
定理4 初等列变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理5 初等变换不改变矩阵的行秩与列秩。 定理6
① 将向量组以列向量构成矩阵
② 对矩阵A 施以初等行变换化为行最简形矩阵;
A = (1, 2 ,, s ) ;
行
A = (1, 2 ,, s ) B = ( 1, 2 ,, s )
③ 所得矩阵的列向量组中基本单位向量对应 位置的向量即为所求 极大无关组，即
1, 2 ,, s 的极大无关组对应
2 n ) 则称向量组 1, 2 ,, m 为矩阵A的行向量组；
则称向量组 1, 2 ,, n 为矩阵A的列向量组。
1．矩阵的行秩与列秩 定义2 矩阵A的行向量组的秩，称为A的行 秩，记为行秩A); 矩阵A的列向量组的秩，称为A的列秩，记 为列秩A)。 例如，矩阵
r ( A) = 2 ,
推论3 向量组中任两个极大无关组等价。 【由等价的传递性】 推论4 向量组的极大线性无关组所含向量的 个数唯一。 【上节定理5？】 【称这个唯一的数为向量组的秩】
【称这个唯一的数为向量组的秩】 3. 向量组的秩 （1）秩的概念 定义2 向量组 1, 2 ,, s 的极大无关组 所含向量的个数称为该向量组的秩, 记为
1 0 1 1 A= 0 1 3 2
行秩A)＝2， 列秩A)＝2
向量组的极大无关组与向量组的秩
一个向量。
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
上一页 31 下一页
同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
若
k 11 2 2 r r
0 ( k 1 1 ) 1 ( k 2 2 ) 2 ( k r r ) r
因 a1,a2,,ar线性无关，
3
k1 k2 k3
1 0 1
所以
4 13
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同理可求得
5123
□
一个向量由它所在的向量组中的极大无关组线性表示,其线性表达式是否唯 一呢?我们有下面的命题.
命题12.12 一个向量由它所在向量组中极大无关组线性表示,其表达式唯一.
证 设 a1,a2, ,ar是向量组T中的一个极大无关组, 是向量组T中任意
则必有
k 1 1 k 2 2 k r r 0
即
k 11 ,k 22 , ,k rr
所以，由 a1,a2, ,ar线性表示的表达式唯一.
am1x1 am2x2 amnn 0
上面的齐次线性方程组可写成 1 ,2 , ,n X 0 , ( 这 X x 1 , x 2 里 , x n ')
现设
1 , 2 , , n 经 过 初 1 ,等 2 , 行 , n变换
由命题12.1知
1 ,2 , ,n X 0 与 1 ,2 ,n X 0
同解.所以向量组 a 1 ,a 2 , ,a n 与 1 , 2 , , n的线性相关性相同.
□
由此我们知道,矩阵A的秩就是列向量组T中极大线性无关组所含向量的个数.
又会命题11.11显然下面的命题成立.
11234
00 0 0 0
由命题12.11知,向量组的秩等于3,且 1,2,3 就是一个极大无关组.下面球4 ,5
3.4向量组的秩
1 2 3
2、结论：（P104） 若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B，则B的列向量组 与A的列向量组有相同的线性关系，即行的初等变换保 A~ B 持了列向量间的线性无关性和线性相关性。 r A r B 即得出求极大无关组的方法：
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变 换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量 组的极大无关组。 自学例1、例4 例2：设矩阵
单位坐标向量
α1 α 2 ,
α 5 4 α 1 3α 2 3α 4
3.4
例3：求向量组 α 1 1, 2 , 1,1 , α 2 2 , 0 , t , 0 ,
T T
α 3 0 , 4 , 5 , 2 , α 4 3 , 2 , t 4 , 1
注：向量组的极大无关组可能不止一个，向量的个数是否相同的？
例：二维向量组 α 1
0 ,1 , α 2 1, 0 , α 3 1,1 , α 4 0 , 2
T T T
T
(1)任何三个二维向量的向量组必定线性相关； 即 (2) 线性α 1 , α 2 无关， α 1 , α 2 是该向量组的一个极大线性无关组；
3.4 向量组的秩
一、极大线性无关向量组
1、定义：设向量组 A : α 1 , α 2 , , α s ，若在向量组A中能选 出r个向量 α j 1 , α j 2 , , α jr ，满足： (1)向量组 A0 : α j 1 , α j 2 , , α jr 线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(若有的话)都线性相关。 则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称为极大无关组)
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
2、结论：（P104） 若对矩阵A仅施以初等行变换得矩阵B，则B的列向量组 与A的列向量组有相同的线性关系，即行的初等变换保 A~ B 持了列向量间的线性无关性和线性相关性。 r A r B 即得出求极大无关组的方法：
以向量组中各向量为列向量组成矩阵后，只作初等行变 换将该矩阵化为行阶梯形矩阵，则可直接写出所求向量 组的极大无关组。 自学例1、例4 例2：设矩阵
单位坐标向量
α1 α 2 ,
α 5 4 α 1 3α 2 3α 4
3.4
例3：求向量组 α 1 1, 2 , 1,1 , α 2 2 , 0 , t , 0 ,
T T
α 3 0 , 4 , 5 , 2 , α 4 3 , 2 , t 4 , 1
注：向量组的极大无关组可能不止一个，向量的个数是否相同的？
例：二维向量组 α 1
0 ,1 , α 2 1, 0 , α 3 1,1 , α 4 0 , 2
T T T
T
(1)任何三个二维向量的向量组必定线性相关； 即 (2) 线性α 1 , α 2 无关， α 1 , α 2 是该向量组的一个极大线性无关组；
3.4 向量组的秩
一、极大线性无关向量组
1、定义：设向量组 A : α 1 , α 2 , , α s ，若在向量组A中能选 出r个向量 α j 1 , α j 2 , , α jr ，满足： (1)向量组 A0 : α j 1 , α j 2 , , α jr 线性无关； (2)向量组A中任意r+1个向量(若有的话)都线性相关。 则称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关向量组 (简称为极大无关组)
2 1 1 1 1 1 2 1 A 4 6 2 2 3 6 9 7 2 4 4 9
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复习
向量组的等价
1.定义1: 设有两个 n 维向量组 (I ) : 1,2 ,,r (II ) : 1, 2 ,, s
若向量组（I ）中每个向量都可由向量组（II）线性
表示，则称向量组（I ）可由向量组（II）线性表示；
若向量组（I ）与向量组（II）可以互相线性表示，
则称向量组（I ）与向量组（II）等价。
向量组的极大无关组 定义1：设 向量组T 的部分向量组1,2 ,,r 满足
(i) 1,2,,r线性无关 (ii) T 中向量均可由1,2,,r线性表示。
或T 中任一向量. ,1,2 ,,r线性相关。 则称1,2 ,,r是向量组T 的一个极大线性
无关组，简称极大无关组。
极大无关组的含义有两层：1无关性; 2.极大性。
as1
a12 a22
as2
a1s 1 a2s 2
ass s
a11
K
a21
as1
a12 a22
as2
a1s a2s
ass
证明: 若r(K) s，则1, 2 ,, s线性无关。
r(K) s K可逆 1,2,,s可由1, 2,, s表示 1,2,,s与1, 2,, s等价。
1
2
C
s
12
s
O
O
.
r
O
r r(A) r(C) s.
推论1：若向量组1,2 ,,r可由向量组 1, 2 ,, s 线
性表示，且r >s,则向量组1,2,,r线性相关。
推论2：任意两个线性无关的等价向量组所含向量的个 数相等。
定理2：一个向量组的任意两个极大无关组所含向量的 个数相等。
若向量组(I )线性无关，且可由向量组(II )线性表
示，则r s.
证：设
1
a 11
a 12
A
2
a21
a22
r
ar1
ar 2
1
b 11
b 12
B
2
b21
b22
s
b s1
bs 2
a1n
a2n
,
arn
b1n
组的秩
定义：向量组1,2 , , m 的极大无关组所含向量的个数，
称为向量组的秩，记为r(1,2,,m ).
注：（1）线性无关的向量组的秩=向量的个数。
（2）向量组线性无关秩=向量个数。
定理3： 若1,2 ,,m可由1, 2 ,, s线性表示，则 r(1,2,,m ) r(1, 2 ,, s )
推论：等价的向量组有相同的秩。
你能举一个 反例吗？
必须注意：有相同秩的两个向量组不一定等价。
推论：等价的向量组有相同的秩。反之不对。
即：有相同秩的两个向量组不一定等价。
1 (1,0, 0, 0), 1 (0, 0,1,0), r(1,2 ) 2 r(1, 2 ). 2 (0,1,0, 0). 2 (0, 0, 0,1). 但{1,2}与{1, 2}不等价。
向量组 的等价
向量组
的等秩
问 题
？ 向量组
的等价
=
向量组 的等秩
+
例2：设向量组e1, e2 ,, en可由向量组1,2 ,,n 线性表示,
求 r(1,2,,n ).
=n
例3：设有两个n维向量组1,2 ,,s与1, 2 ,, s , 若
1,2 ,,s线性无关且
1
2
a11
a21
s
注:1.线性无关向量组的极大无关组就是其本身;
2.向量组与其极大无关组等价;
3.同一个向量组的极大无关组不惟一,但它们之间 是 等价的.
例1:求向量组的极大无关组.
1 (1,2, 1),2 (2, 3,1),3 (4,1, 1).
A
21
1 2
2 3
1
1
1 0
2 7
1 1
3 0
2 7
1 3 .
3 4 1 1
0 7
3
0 0
0
r( A) 2 3 1,2,3线性相关。
但1,2线性无关，1,2是一个极大无关组
1,3也线性无关，1,3也是一个极大无关组。
问 题
极大无关组是不唯一的，所含个数是否相同？
极大无关组的性质
定理1：设有两个n维向量组
(I ) 1,2,,r , (II ) 1, 2 ,, s ,