高中数学选修2-1模块综合检测(含详解)

高中数学选修2-1模块综合检测

(时间90分钟，满分120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)

1．命题“任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1<0”的否定是 ( ) A ．不存在x ∈R,2x 4－x 2＋1<0

B ．存在x 0∈R,2x 40－x 2

0＋1<0 C ．存在x 0∈R,2x 40－x 20＋1≥0

D ．对任意的x ∈R,2x 4－x 2＋1≥0

解析：全称命题的否定是特称命题，所以该命题的否定是：存在x 0∈R,2x 40－x 20＋1≥0.

答案：C

2．设椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0)的右焦点与抛物线y 2＝8x 的焦点相同，离心率为1

2，则此

椭圆的方程为

( )

A.x 212＋y 2

16＝1 B.x 216＋y 2

12＝1 C.x 248＋y 2

64

＝1

D.x 264＋y 2

48

＝1 解析：抛物线的焦点为(2,0)，∴4＝m 2

－n 2

.又m 2－n 2m ＝1

2，所以可解得m ＝4，n ＝2 3， 故椭圆的方程为x 216＋y 2

12＝1.

答案：B

3．已知空间向量a ＝(1，n,2)，b ＝(－2,1,2)，若2a －b 与b 垂直，则|a |等于 ( ) A.5 32

B.

212

C.

372

D.3 52

解析：由已知可得2a －b ＝(2,2n,4)－(－2,1,2)＝(4，2n －1,2)． 又∵(2a －b )⊥b ，∴－8＋2n －1＋4＝0. ∴2n ＝5，n ＝5

2.

∴|a |＝ 1＋4＋254＝3 52

.

答案：D

4．a <0是方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根的

( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：因为a ＝0时，方程ax 2＋2x ＋1＝0变成2x ＋1＝0，这时方程根为x ＝－1

2，所以

“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”不能推出“a <0”；另一方面，当a <0时，Δ＝4－4a >0，∴方程一定有两个不相等的实数根，又两根之积为1

a <0，∴方程的根一定是一正根一

负根，所以“a <0”能推出“方程ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负数根”．

答案：B

5．设F 1，F 2分别是双曲线x 2

－y 2

9

＝1的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且1PF ·2

PF ＝0，则|1PF ＋2PF |＝

( )

A.10 B ．2 10 C. 5

D ．2 5

解析：设|PF 1|＝m ，|PF 2|＝n ， ∵1PF ·2PF ＝0，∴1PF ⊥2PF ， ∴m 2＋n 2＝4c 2＝40.

∵|1PF ＋2PF |2＝|1PF |2＋|2PF |2＋21PF ·2PF ＝40， ∴|1PF ＋2PF |＝2 10. 答案：B

6．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，以顶点A 为端点的三条棱长都等于1，且两两夹角都是60°，则对角线AC 1的长为

( )

A. 3 B ．2 C. 6

D ．2 2

解析：由题意知AB ·AD ＝AB ·1AA ＝AD ·1AA ＝12，

∴2

1AC ＝(AB ＋AD ＋1AA )2

＝2

AB ＋2

AD ＋2

1AA ＋2AB ·AD ＋2AB ·1AA ＋2AD ·1AA ＝6， ∴|1AC |＝ 6. 答案：C

7．已知点F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2

b 2＝1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与

双曲线交于A ，B 两点.若△ABF 2为等边三角形，则该双曲线的离心率e 为 ( )

A. 3

B.3或33

C ．2

D ．3

解析：如图，令x ＝－c ， 则c 2a 2－y 2b 2＝1，∴y ＝±b 2a ，

∴|AF 1|＝b 2

a

.

因△ABF 2为等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°.

∴tan ∠AF 2F 1＝b 2

a 2c ＝3

3，

3b 2

a

＝2c ，即 3(e 2－1)＝2e ， 解得e ＝ 3. 答案：A

8．已知F 1(－3,0)，F 2(3,0)是椭圆x 2m ＋y 2

n ＝1上的两个焦点，点P 在椭圆上，∠F 1PF 2

＝α.当α＝2π

3

时，△F 1PF 2面积最大，则m ＋n 的值是

( )

A ．41

B ．15

C ．9

D ．1

解析：由S △F 1PF 2＝1

2

|F 1F 2|·y P

＝3y P ，知P 为短轴端点时，△F 1PF 2面积最大. 此时∠F 1PF 2＝2π

3

，

得a ＝m ＝2 3，b ＝n ＝3， 故m ＋n ＝15. 答案：B

9．正四棱锥S －ABCD 的侧棱长为2，底边长为3，E 是SA 的中点，则异面直线BE 和SC 所成的角等于

( )

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

解析：建立如图所示的空间直角坐标系， 因为AB ＝3，SA ＝2，