三角函数的不定积分

三角函数有理式的不定积分

由u(x)、v(x)及常数经过有限次四则用算所得到的函数称为关于u(x)、v(x)的有理式，并用R(u(x),v(x))表示.

⎰dx x x R )cos ,(sin 是三角函数有理式的不定式.一般通过变换t=tan 2

x ,可把他化为有理函数的不定积分。这是因为 Sinx=2222122

tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 2t t x x x x x x +=+=+ (8) Cosx=222

2

2222112

tan 12tan 12cos 2sin 2sin 2cos t t x x x x x x +-=+-=+- (9) dx=dt t

212+ 所以dt t t t t t R dx x x R 2

22212)11,12()cos ,(sin ++-+=⎰⎰ （10） 例3 求dx x x x ⎰++)

cos 1(sin sin 1 解 令t=tan 2

x ,将(8)、（9）、（10）代入被积表达式， dx x x x ⎰++)cos 1(sin sin 1=dt t t t t t t t

22

22212)111(12121+∙+-++++⎰ =)ln 22

(21)12(212

t t t dt t t ++=++⎰+C =C x x x +++2

tan ln 212tan 2tan 412 注意 上面所用的交换t=tan 2

x 对三角函数有理式的不定积分虽然总是有效的，但并不意味着在任何场合都是简便的.

例4 求)0(cos sin 2222≠+⎰ab x

b x a dx 解 由于

,t a n )(t a n t a n s e c c o s s i n 22222222222⎰⎰⎰+=+=+b

x a x d dx b x a x x b x a dx 故令t=tanx,就有

,tan )(tan tan sec cos sin 2222

2222222⎰⎰⎰+=+=+b x a x d dx b x a x x b x a dx =C b

at ab +arctan 1 适当当被积函数是x x 22cos ,sin 及sinxcosx 的有理式时，采用变换t=tanx 往往比较方便.其他特殊情形可因题而异，选择合适的变换。

三 某些无理根式的不定积分 1.dx d

cx b ax x R ),(⎰++型不定积分（ad-bc ≠0）.对此只需令t=,d cx b ax ++就可化为有理函数的不定积分。

例5 求dx x x x 2

21-+⎰ 解 令t=,22-+x x 则有x=,)

1(8,1)1(22222dt t t dx t t --=-+ dt t t t dx x x x ⎰⎰+-=-+)

1)(1(4221222

, =dt t

t )1212(22+--⎰ =ln C t t

t +--+arctan 211 =C x x x x x x +-+--+-++2

2arctan

22222

1ln . 例6 求⎰

-++22)1(x x x dx 解 由于,21)1(12)1(1

22x x x x x x -++=

-++

故令t=,21x x -+则有x=,16,112222dt t t dx t t +=+-

⎰-++22)1(x x x dx =dx x

x x -++⎰21)1(12 =dt t

dt t t t t ⎰⎰=+⋅+22222232)1(69)1( =.123232C x

x C t ++--=+- 2. dx c bx ax x R ),(2⎰

++型不定积分（a>0时.2b -4ac o ≠时，)042>-ac b 由于 ,44)2(2222

⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=++a b ac a b x a c bx ax 若记u=,2a b x +,442

22a b ac k -=则此二次三项式必属于以下三种情形之一： ).(),(),(222222u k a k u a k u a -++

因此上述无理式的不定积分也就转化为以下三种类型之一:

du k u u R ),(22⎰±,

.),(22du u k u R ⎰- 例7 求⎰--=4

22x x x dx

I 解 【解法一】 按上述一般步骤，求的 I=⎰⎰+=--)

14)1(2u du x x dx

（ x=u+1） =⎰⋅+θ

θθθtan 2)1sec 2tan sec 2d θ (u=2sec θ) =dt t t t d ⎰⎰+-+=++2

2221112

cos 2θθ (t=)2tan θ C +=)2tan 31arctan(32

θ

由于 θθθθθs e c

1t a n c o s 1s i n 2t a n +=+= =,1

3212)2

(21

2+--=+-x x x u u 因此

I=,132arctan 32

2+--x x x 【 解法二】 若令则,322t x x x -=--可解出

,)

1(232,)1(23222d t x t t d x t t x +--=-+= .)1(2)322()1(2332222

----=--+=--t x t t t t x x 于是所求不定积分直接化为有理函数得不定积分：

I=

注1 可以证明

,3)

1(332a r c t a n 332a r c t a n 22π-+--=---x x x x x x 所以两种方法得结果是一致的。此外，上述结果对x<0同样成立。

注 2 相比之下，解法二优于解法一.这是因为它所选择的变换能直接化为有理式（而解法一通过三次换元才化为有理式）。如果改令

,322t x x x +=--

显然有相同效果———两边各自平方后能消去2x 项，从而解出x 为t 得有理函数。一般地，二次三项式c bx ax ++中若a>0,则可令

;2t x a c bx ax ±=++ 若 c>0,还可令

c xt c bx ax ±=++2

这类变换称为欧拉变换.

至此我们已经学过了求不定积分的基本方法，以及某些特殊类型不定积分的求法。需要指出的是，通常所说的“求不定积分”，是指用初等函数得形式把这个不定积分 表示出来。在这个意义下，并不是任何初等函数得不定积分都能“求