有趣的九宫格填数

有趣的九宫格填数

江苏省泗阳县李口中学沈正中

九宫格填数是幻方中最简单的一种填数形式。如果一个n2矩阵的每行、每列及两条对角线的所有数之和都相等，且这些数都是从1到 n2的自然数，这样的方阵就称为n阶幻方。

有关幻方问题的研究在我国已流传了两千多年，这是一类形式独特的填数问题。九宫格实质上是幻方中n＝3时的三阶幻方。

三阶幻方传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，在北周的甄弯注《数术记遗》一书中，记有三阶幻方的填法：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居中央。

我国南宋时期杰出的数学家杨辉，是最早系统研究幻方的数学家。他曾将幻方命名为“纵横图” (三阶幻方也叫络书或九宫图)，并给出了三阶、四阶幻方构造方法的说明，四阶以上幻方，杨辉只画出图形而未留下作法。但他所画的五阶、六阶乃至十阶幻方全都准确无误。杨辉在在《续古摘奇算法》中，总结出了三阶幻方构造的方法：“九子斜排（1、2、3，4、5、6，7、8、9），上下对调（1、9），左右相换（7、3），四维挺出（4、2、8、6）。”意思是：先把l～9九个数依次斜排（如下图一），再把上l下9两数对调（如下图二），左7右3两数互换（如下图三），最后把四面的2、4、6、8向外面挺出（如下图四），这样就构造了一个三阶幻方。

1 99

4 2 4 2 4 2

4 92

7 5 3 75 3 3 5

7 3 57

8 68686

8 1 6

9 1

1

图一图二图

三图四

三阶幻方的填法不是唯一的，矩阵的第一行与第三行对调，或第一列与第三列对调，可以得出4种填法，将其中的任意一种填法旋转90°，又可以得到另外的4种填法。例如，将上面图四的第一列与第三列对调，就可以得出前面口诀中的填法。

通常我们把幻方中每行3个数的和称为幻方的幻和，幻方正中心的那个数叫做中心数，中心数也就是这9个数的中位数。从1到9这9个数的和为：

1+2+3+…8+9=45；则三阶幻方每行3个数字之和即幻和为：45÷3=15。在1到9这9个数中，和为15的3个数，只能是：9+5+1、9+4+2、8+6+1、8+5+2、8+4+3、7+6+2、7+5+3、6+5+4。因此每行、每列、每条对角线上3个数只能是其中某个算式中的3个数。

九宫格中，经过中心数的有一行、一列和两条对角线，即这个数必须在4

个不同的算式中出现，在上面的算式中只有5符合要求。同理，经过九宫格四个角上的数字都有一行、一列和一条对角线，即四个角上的数字必须同时在3个不同的算式中出现，只有2、4、6、8符合要求。先填好中心数和四个角上数字，再完成其它填空，就完成幻方填写了。

幻方不仅是有趣的数学游戏，而且有很重要的实用价值，应用前景也广泛，相关介绍请查阅资料。

三阶幻方中数字有趣的排列是有顺序的，如四个偶数在四角，从某个方向看奇偶数的是按大小有序排列的等等；熟记简单三阶幻方的填法口诀，填写三阶幻方的9个数，不论如何变化，只要将它们按大小的顺序排列编号，均可按口诀“对号入座”完成填空；幻方中的两个公式：幻和＝中心数×3；幻和＝总数÷3，可以在已知幻和的情况下，先求出中心数，或在已知中心数的情况下，先求出幻和。下面举几例来说明九宫格填数。

【题1】：将下面左边方格中的9个数填入右边九宫格中，使每一行、每一列、每条对角线中的三个数相加的和相等。

【解析】：把这九个数按从小到大的顺序依次编

号，1、2、3号为“6”，4、5、6号

为“8”，7、8、9号为“10”。按口

诀：九宫内，二四为肩，六八为足，左七右三，戴九履一，五居

中央。对号入座，如右图可以填好表格。

【题2】：将9个连续自然数填入3×3的方格内，使每一横行、每一竖行及两条对角线的3个数之和都等于60。

【解析】：由已知条件可知，这个幻方，幻和为60，中心

数为：60÷3=20。所以这9个连续的自然数为：16、17、18、19、

20、21、22、23、24。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对号入座，可完成表格。如上图所示。

【题3】：下图中，要使每一行，每一列，两条对角线上三个数的和都是27，A，B，C，D，E，F，G应各是多少？

【解析】：由题意可知，幻和为27，中心数为：27÷3=9，

所以C等于9。填好中心数后，根据幻和，依次求出其它方格里

的数：D=27-6-9=12；G=27-5-12=10；A=27-10-9=8；B=27-8-5=14；E=27-6-8=13；F=27-9-14=4。

【题4】：在下面一个三阶幻方中已填入了一个数，请在其它8个空格内填上适当的数，使得9个方格内是9个连续自然数。

【解析】：由已知条件可知，这个幻方的中心数为12。所

以这9个连续的自然数为：8、9、10、11、12、13、

14、15、16。把这九个数按从小到大的顺序依次编号，按口诀对

号入座，可完成表格。如左图所示。

【题5】：在下面两个图形中的空格内填入不大于15且互不相同的自然数（其中已各填好一个数），使每一横行、每一竖行

及两条对角线的3个数之和都等于30。

【解析】：由题意可知，幻和为30，中心数

为：30÷3=10。如下图，可以分别填好两个方格图中的一条对角线。因为中心数是10，经过中心数每一组另外两个数必须一个大于10，一个小于10，所以两个方格图中剩下6个数中有3个数大于10且不大于15。

题目左图中，大于10的数可能是11、13、14、15，数字14如果和8同行列，14+8+8=30，8重复出现与题意不符；如果数字14与12同行列，14+12+4=30，而4+10+16=30，必须出现16，与题意不符。所以，左图中大于10的三个数只能是11、13、15，剩下的3个数是：9、7、5，通过尝试检验、或“对号入座”可以完成表格，如右图一所示。