人教版必修四第二章测试题(含答案)

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第二章测试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量a =（x ，1），b =（3，6），a ⊥b ，则实数x 的值为（ ）
A ．
12 B ．2- C ．2 D ．2
1
- 2．设向量a ＝（-2，1），b ＝（1，λ） （λ∈R ），若a ．b 的夹角为1350，则λ
的值是（ ）
A ． 3
B . -3
C .3或-13
D .-3或13 3．已知||10,||12a b ==，且1
(3)()365
a b ⋅=-，则a b 与的夹角为（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．135°
D ．150°
4．若平面向量(1,)a x =和(23,)b x x =+-互相平行，其中x ∈R .则a b -=（ ）
A . 2-或0；
B .
C . 2
或 D . 2或10. 5．在ABC AB BC AB ABC ∆=+⋅∆则中，若,02是 （ ）
A ．直角三角形
B ．锐角三角形
C ．钝角三角形
D ．等腰直角三角形
6．已知,a b 是两个非零向量，给定命题:p ||||||a b a b +=+;命题:q 存在t R ∈，使得a tb =;则p 是q 的（ ）
A ．充分条件
B ．必要条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．平面向量即二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到维向量，n 维向量可用（x 1，x 2，x 3，…，x n ）表示，设123123()()n n a a a a a b b b b b ==，，，…,
，，，，…,，规定向量夹角的余弦时，cos θ=
1221
1
.()()
n
i i i n n
i i i i a b
a b ===∑∑∑(111
1a =，，，…，）， (1111-b =，，，…，）时，cos θ=（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
)3(≥n n b a 与θn
n 1
-n n 3-n n 2-n n 4
-
2
8． O 是ABC ∆所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+- ，则
ABC ∆的形状为（ ）
A ．直角三角形
B ．等腰直角三角形
C ．斜三角形
D ．等边三角形 9．如图，非零向量==⊥==λλ则若为垂足且,,,,a OC C OA BC b OB a OA （ ）
A 2
|
|a b a B ||||b a b a C 2
|
|b b a D b
a ⋅10．已知a 和
b 是非零向量，m =a +t b （t ∈R ），若|a |=1，|b |=2，当且仅当t=4
1
时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角θ为
A ．
π
6
B ．
π3
C ．
2π3
D ．
5π6
11．如图，O A B 、、是平面上的三点，向量b OB a OA ==,，设P 为线段AB 的垂直平分线CP 上任意一点，向量p OP =，若,2||,4||==b a
则=-⋅)(b a p （ ） A .1 B .3 C .5 D . 6
12．设12(,)a a a =，12(,)b b b =.定义一种向量积：
12121122(,)(,)(,)a b a a b b a b a b ==.
已知1π(2,),(,0)23
m n ==，点(,)P x y 在sin y x =的图像上运动， 点Q 在()y f x =的图像上运动，
且满足OQ m OP n =⊗+ （其中O 为坐标原点），则()y f x =的最大值A 及最小正周期T 分别为 （ ）
A . 2,π
B . 2,4π
C .
1,42π D . 1,2
π 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分．共16分．
136=a 8=b 10=-b a =+b a ．
O
A
B
P
C
3
14．已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是 .
15．已知e 为单位向量，||a =4，a e 与的夹角为π3
2
，则a e 在方向上的投影为 ．
16．在直角坐标平面内，已知点列()()()()
,,2,,,2,3,2,2,2,133221 n
n n P P P P 如果k
为正偶数，则向量k k p P P P P P P P 1654321-++++ 的坐标（用k 表示）为_______. 三、解答题：本大题共6小题，共56分，解答应写出文字说明．证明过程或演算过程．
17.（10分）已知向量a )1,(2
-=mx ，b ),1
1
(
x mx -=（m 为常数）
，若向量a 、b 的夹角)2
,0[π
θ∈，求实数x 的取值范围.
18．设12e e 、是两个不共线的向量，1212122,3,2AB e ke CB e e CD e e =+=+=-，若A 、B 、D 三点共线，求k 的值.
19．已知||2a = ||3b =,a b 与的夹角为60o ， 53c a b =+，3d a kb =+，当实数k 为何值时，有（1）c ∥d ， （2）c d ⊥.
20．（12分）已知平面向量是直线OP 上的一个动点，求的最小值及此时的坐标．
i j 2,a i j b i j λ=-=+a b λM OP OB OA ),1,2(),1,5(),7,1(===MB MA ⋅OM
4
21．（12分）如图，△ABC 为直角三角形，,),4,0(,90轴上在点y M OA C -==∠ ),(2
1
AC AB AM +=
且点C 在x 轴上移动． （1）求点B 的轨迹E 的方程；
（2）过点l F 的直线)2
1,0(与曲线E 交于P 、Q 两点，设NQ NP a a N 与),0)(,0(<的夹角为a 求实数若,2
,π
θθ≤
的取值范围；
参考答案
一．选择题
1. B
2. D
3. B
4. C
5. A
6. A
7. C
8. A
9. A 10. C 11. D 12. C 二．填空题
13．10 14． 15．- 2 16．⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+322,21k k
三．解答题 17.解：
∵向量a b 、 的夹角)2,0[π
θ∈，a b ⋅20(1)0.11mx x
x mx x mx mx =-=>⇒->--
①当0=m 时，0<x ；②当0>m 时，01
,0)1(<>∴>-x m
x m x x 或；
③当0<m 时，.01
,0)1(<<∴<-
x m
m x x 综上所述：当0=m 时，x 的范围是);0,(-∞当0>m 时，x 的范围是
()1
,2(2,)2-∞-⋃-
5
),1(
)0,(+∞-∞m ；当0<m 时，x 的范围是).0,1(m
18．()
121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-，
若A 、B 、D 三点共线，则AB BD 与共线，
∴设AB BD λ=， 即. 由于与不共线可得： 故.
19.(1)若∥， 得 ， （2）若，得. 20．解：设， ∵ ∴，
∵，
，
∴， ∴当有最小值-8.
∴ . 21．（1），
121224e ke e e λλ+=-1e 2e 112224e e ke e λλ==-，
，
2,8λk c d 9
5k
d c ⊥2914
k ),(y x OM =,共线与OP OM ),2(,2y y OM y x ==)7,21(y y OM OA MA --=-=)1,25(y y OM OB MB --=-=)1)(7()25)(21(y y y y MB MA --+--=⋅8)2(52
--=y MB MA y ⋅=,2时)2,4(,=⋅OM MB MA 取最小值时
)(2
1
AC AB AM +=
),
0,(),2
,0(),,(.
x C y
M y x B BC M -∴则设的中点是).4,(),,2(-==x CA y x CB ,0)4,(),2(,0,,90=-⋅=⋅⊥∴=∠x y x CA CB CA CB C
6
（2）设直线l 的方程为
由知
恒成立．
.22y x =∴),,(),,(),,(,2
1
112211a y x NP y x Q y x P kx y -=+
=22()NQ x y a =-，，2122y kx x y ⎧
=+⎪⎨
⎪=⎩
，，2
2210440=＞x kx k --=∆+，恒成立..1,22121-==+∴x x k x x 11220≥0≥CB NQ x y a x y a --由，知（，）（，），2121212()≥0x x y y a y y a +-++，22212111
1)()224++≥0.y kx k k ak x x a a =+∴-+-++又
，（）（223
42≥
a a k a
--
∴23
140.0,.22
≤≤a a a a a --∴
<∴-又。