高斯定理及应用

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讨论
无的 限电 大场 带叠 电加 平问 面题
物理学方法概论
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物理学方法概论
例6 无限长均匀带电直线的电场强度
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
r 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
QE
4π 0R2
oRr
物理学方法概论
例4 求均匀带电球体的场强分布。（已知球体半径
为R，带电量为q，电荷密度为）
解： 对称性分析可知场强方向
E
（1）球外某点的场强
E dS
q
S
o
q 4 R3
3
r
R
E dSE4r2 q
S
o
q R3 E4or2 3r2 - ( r ≥ R )
物理学方法概论
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物理学方法概论
4、 高斯定理的应用—求电场强度
高斯定理计算场强的条件： (1) 带电体的电场分布要具有高度的对称性; (2) 高斯面上的电场强度大小处处相等； (3) 面积元dS的面矢量方向与该处电场强度的方 向一致。 求电场强度的步骤
对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算,获得电场强度.
SE
-
各类点电荷的电场线 +
物理学方法概论
+
++
2q
q
-
+++++++
电场线特性
物理学方法概论
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无 穷远,去向无穷远)，在没有电荷的地方 电场线不会中断
2） 静电场电场线不闭合
3） 电场线不相交
4） 电场线密集处,电场强度较大,
+
电场线稀疏处电场强度较小。
注意：电场线是为了描述电场分布而引 入的曲线,不是电荷的运动轨迹
q2 B
s
q1
q3
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物理学方法概论
高斯定理的证明
库仑定律 电场强度叠加原理
点电荷激发电场的电通量
点电荷位于高斯球面中心
q
Φ eΦESE edS 4 qπ0 S40π r2q 0r2d-S
r
+
高斯 定理
dS
点电荷在任意封闭曲面内
电荷发出的电场线是连续的,
通过球面S的电场线也必全部
通过任意曲面S'，即它们的电
（2）球体内一点的场强
E
dS
qi
S
o
r
R
ESdS1o4R q3
4r3
33
E
E4 r2 qr3
E
4
Q
π0 R2
oR3
o
Rr
E
qr
4oR3
r3 3o
（r < R）
解毕
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思考：
物理学方法概论
两个半径为R1 、 R2的导体球壳， 带电量分别为Q1 、 Q2 ，求空 间的电场分布
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物理学方法概论
例5 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
解 对称性分析：E垂直平面
选取闭合的柱形高斯面
S＇
E dS
S
0 底面积
2 S ＇E S ＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20 -
E
2 0
物理学方法概论
E
EE
E
-
例3 均匀带电球壳的电场强度 求半径为R, 均匀带电Q 的薄球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
对称性分析可知场强方向
解（1）0rR
EdSES 0 E0
S1 （2） rR
E dS
Q
S2
0
4π r2E Q
E Q
4π 0r2
0
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物理学方法概论 E
r+
r +
+ S+1
O
+ + +
+R +
s +++ 2
以 0 .(与面外电荷无关，闭合
曲面称为高斯面）.
Φe
S
EdS
1
0
n
qi
i1
请思考：1）高斯面上的 E与哪些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面
的
Φ
有贡献
e
？
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物理学方法概论
讨论
1 高斯面的电通量为?
2 将 q2从A移到B点，穿过高斯面 的电通量有否变化？P点的电场强
度是否变化？
q2
A P*
通量相等
e
EdS
q
S
o
点电荷在封闭曲面之外 穿进曲面的电场线条数等于穿
出曲面的电场线 条数 。
eSEdS0 -
物理学方法概论
S
+r
S
S
+
物理学方法概论
点电荷系产生电场的电通量
EE 1E 2
q1
q2
Φ eSEdSS E idS i
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sqi
i(内S） E id S i（ 外 SE i） d S
物理学方法概论
一、应用高斯定律解题方法
1.取适当的高斯面，一定要注意高斯面是 一闭合曲面
2. 计算高斯面的电通量 3.根据高斯定律解出电场强度
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物理学方法概论
1、电场线 （电场的直观表示法） 规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向, 2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为
该点电场强度的大小.
物理学方法概论
例2 点电荷位于半径为 r 的球面中心，求通
过该球面的电通量
E q
dS
4π 0r2
Φe
EdS
S
E dS
S
+
E
dS
S
q
4π0r2
4 πr2
Φe
q
0
将例题2与例题1 比较，关于E 通量的值是否为零有什么想法
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物理学方法概论
3、高斯定理
在真空中,通过任一闭合曲 面的电场强度通量,等于该曲面 所包围的所有电荷的代数和除
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物理学方法概论
2、 电场强度通量(E 通量/电通量)
通过电场中某一个面的电场线数叫做通过 这个面的电场强度通量.
均匀电场 ，E垂直平面
Φe ES
均匀电场 ，E与平面不垂直
Φe EScos
Φe ES 面矢量 -
SE
en
S
E
非均匀电场,曲面电通量
dΦ eEdS
Φ ed Φ esE d S
i（外S） Ei dS0
Φ ei（内 SE ） id-S 1 0i(内q ） i 证毕
物理学方法概论
高斯定理
Φe
1
EdS
S
0
n
qi
i1
2 总结
1）高斯面为封闭曲面. 2）穿进高斯面的电通量为负，穿出为正. 3）仅高斯面内的电荷对高斯面的电场强度通量有贡献. 4）高斯面上的电场强度为所有内外电荷的总电场强度.
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物理学方法概论
E
2
dS1
dS2 E2
1
E1
y
E
o
z
x
物理学方法概论
解 Φe Φe前Φe后
y
P
S右
Φe左Φe右Φe下 Φ e前Φ e后Φ e下
N
o
E
Rx
s E dS0
zM
Q
Φ e左ES左E左 Scoπ sE左 S
Φ e右E S 右E右 ScosE左 S
Φ e Φ e 前 Φ e 后 Φ e 左 - Φ e 右 Φ e 下 0
S为闭合面
Φ eS E d SS E co d S s
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物理学方法概论
EdS
E
E
1
2,de1
0
2 π2,de2 0
电场线穿进闭合面,电
通量为负；穿出,为正.
电通量的求解
例1 如图所示 ，有一 个三棱柱体放置在电场强度
E 2i 0 N C 0 1的匀强
电场中 . 求通过此三棱柱体 的电场强度通量 .