分数阶微积分的历史背景

? M.Zahle, N.Patzschke在应用分数阶微积分 于分形集方面作了很多工作，首先把分数 阶微积分应用于研究自仿函数，得到了自 仿函数的可导临界阶，并且深入研究了自 仿函数的分数阶微积分变换的阶与计盒维 数上界的关系，获得了很好的结果;其次，
把分数阶微积分理论有机的应用到随机过 程、自仿随机过程等方面，取得了深入的 结果。而这些领域的应用研究反过来又促 进了分数阶微积分的理论研究的进一步发 展，成为当前国际上的一个热点研究课题， 相信随着学科融合和细化的速度的不断加 快，分数阶微积分将会有更加广阔的发展 前景。
式1
S2
去得到逆变换时，得到微分算子
1
1
D2
?
d2
1
dt 2
并且运用于电路理论之中，最终人们还是
把他的算子方法与分数微积分和分数微分
方程很好地联系起来 。
? 概括的说分数阶微积分最早有系统化的研 究是由Liouville (1832), Riemann(1853) 和Holmgren(1864)在19世纪初期和中叶完 成的，但Grunwald和Krug最先统一了 Liouville和Riemann分数阶微积分定义。 而针对分数阶微积分，后来人们又提出许 多不同的定义 ，例如Grunwald分数阶微积 分，Weyl-Marchaud分数阶微积分，局部分 数阶微分，Caputo分数阶微分等等。
? 定义的任意阶导数为：
? ? d ? f ?x? 1
dt ?
?
2?
? f ?a?da ? cos(P?x ? a?? ?? )dP
??
??
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2
? N. H. Abel在1823年求解一个积分方程的 过程中涉及到了分数阶微积分。
? 特别是1832年，Liouville才给出了分数阶 导数的第一个合理的定义，Liouville在给 出第一个应用例子的同时，给出了两个公 式，其中之一是由Gamma函数定义即在一些
? 并针对这些定义，类似经典微积分的研究， 研究了有关它们的一些性质。然而，由于 分数阶微积分缺少明确的物理意义且应用 前景不明朗而发展缓慢。
(3)1974年迄今
? 1974年以后，分数微积分与分数微分方程 无论是应用还是理论上都有飞速发展，应 用面越来越宽，出现了许多专著和论文集， 至少有20种以上，开始呈现全面推广常微 分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论．
分数阶微积分的历史背景
历史背景
? 分数阶微积分的出现己有 300多年的历史，几乎 古典微积分的概念刚被提出，分数阶微积分就受 到众多学者的青睐。
? 1695年，法国的 L'Hospital 函询G W Leibnitz ，问 到导数的阶数为分数时如何理解？特别提到 n=1/2 时d^ny/dx^n的含义是什么 ?这距Leibnitz发表首篇 微积分论文仅 11 年，它显然是一个难以回答的问 题。不过 Leibnitz 还是于 1695 年9月30日复了一 函．说了一些似是而非的猜测以后，他写道， “你可以这样看，分数导数可以在两整数阶导数 的阶数之间引入某种插入法 (interpolation)”．这一 点虽然也是猜测，但毕竟用现在的手段做到了， 这封信历史上不止一次公开发表．此后大致分为 三个阶段：
? 期间，首先是1812年Laplace用积分定义一
个分数导数．1819年，他首次提到“任意
阶导数”名词．同年Laeroix给出y当? x
时，
1
d2y 2 x
1? dx 2
?
? 1822年Fourier用他自己的函数的积分表示
f ?x??
1
2?
?
?? ?
? f ?a?da ? ??
cos P?x ? a?dP
? 1868～1872年间，Letnikov有4篇推导分数 为积分的专论，提供了很好的分析与代数 技巧。
? Sonin在莫斯科数学通报中提出“任意指标 的微分”。所有这些学者共同奠定了今天 普遍认可的R-L分数微积分基础。
? 1892年，另一个重要的进步是来Heavisid
的线性微分方程的算子解法．当他用L变换
D ??
f
?t ??
1
? ??
t
??c
?t
?
?? ? ?1
f
??
?d?
?
? ?t?
这与现在的R-L定义只差了一个Riemann称
之为“补充函数”的 ? ?t?．他附加 ? ?t?的原
意是想对不同的积分下限予以调整．几经
争论，终于去掉 ? ?t? 。
? 此后，又有Weyl, Erdel，Sler，Letnikov 等数学家对分数阶微积分进行过专门的研 究。
假定之下，对? ? R ?，定义 t ? a 的 ? 阶导数
D? t a
?
?? 1?? ? ?a ? ? ? ?a?
?t ? a??
? 而Riemann在1847年对分数阶微积分的定义 作了进一步的补充，在他逝世后的28年， 即1892年，发表了他在学生时代研究的分 数积分理论。对 f ?t?，遗著给出的公式为
? 由于在应用数学、材料力学、生物物理学 等方面提出分数阶微积分的应用背景，分 数阶微积分才被人们重视，特别是到1982
美籍法国数学家曼德尔布罗特 ((B.B.Mandelbrot)首次指出自然界和许多技 术科学中存在大量分数维的事实，并在整 体与部分之间存在自相似现象以后，分数 阶微积分作为分形几何和分数维动力学的 基础和有力工具才获得了飞跃的发展，并 在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理 论、生物组织、高分子材料的解链、混沌 与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘 弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸 多领域得以应用。
(1)自L'Hospital与Leibnitz从1695年通信到 1812年
? 这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关 注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议 论和猜想。
(2)1812～1974年
? 这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概 念、名词，到给出确切定义和性质，导出
了为数不多但确有见地的实际应用，并于 1974年出版了第一本分数微积分的专著。