工程优化方法 第三章
第三章工程项目组织管理(3篇)
第1篇一、工程项目组织管理的概述工程项目组织管理是指在工程项目实施过程中，通过合理地组织项目资源，协调各方面关系，确保项目目标的实现。
工程项目组织管理是工程项目管理的重要组成部分，它涉及到项目的人力资源、物资资源、财务资源、信息资源等各个方面。
本章将重点介绍工程项目组织管理的概念、原则、组织结构、人员配置、沟通协调等内容。
二、工程项目组织管理的原则1. 目标导向原则：工程项目组织管理应以实现项目目标为核心，确保项目在质量、进度、成本等方面的要求得到满足。
2. 分级管理原则：工程项目组织管理应实行分级管理，明确各级管理职责，形成层级分明、权责明确的管理体系。
3. 专业化原则：工程项目组织管理应注重专业化，提高项目团队的专业素质，确保项目实施的专业性。
4. 激励原则：工程项目组织管理应建立健全激励机制，激发项目团队的工作积极性，提高项目执行力。
5. 沟通协调原则：工程项目组织管理应加强沟通协调，确保项目各方信息畅通，形成合力。
6. 风险管理原则：工程项目组织管理应注重风险管理，识别、评估、控制项目风险，确保项目顺利实施。
三、工程项目组织结构1. 项目组织结构类型（1）职能型组织结构：以职能划分组织结构，适用于小型项目或单一项目。
（2）矩阵型组织结构：以职能和项目划分组织结构，适用于跨部门、跨专业的大型项目。
（3）项目型组织结构：以项目为中心，设立项目经理负责制，适用于复杂、跨专业的大型项目。
2. 项目组织结构设计（1）明确项目目标：根据项目特点，明确项目目标，为组织结构设计提供依据。
（2）划分项目阶段：将项目划分为若干阶段，明确各阶段组织结构。
（3）确定组织层次：根据项目规模和复杂程度，确定组织层次，明确各级职责。
（4）配置人力资源：根据项目需求，合理配置人力资源，确保项目实施。
四、工程项目人员配置1. 项目经理项目经理是项目组织的核心，负责项目的整体规划、实施和监控。
项目经理应具备以下素质：（1）良好的领导能力：能够带领团队实现项目目标。
第三章优化设计问题的若干理论基础2
目标函数是凸函数，可行域是凸集，则最优点是内点。
相当于·X*无约束问题的最优点。
目标函数是凸函数,可行域是凸集，则目标函数等值线与适时约束曲面的切点为最优点，而且是全局最优点。
Q pRpQR则目标函数等值线与适时约束曲面可能存在多个切点，是局部极值点，其中只有一个点是全局最优点。
结论u极小点在可行域内，是一个内点u极小点是一个边界点起作用约束。
如其它的几种情况。
则，该方向要满足以下两个条件——a )这是一个可行方向，即这个方向必须在可行域内，b )这是一个使函数值下降的方向。
Ⅱ. 如果它是一个局部极小点，那么又是否是一个全域极小点？Ⅰ. 这个点是否是一个局部最小点？Ⅰ℘∈X约束优化问题的最优解及其必要条件库恩-塔克条件在优化实用计算中，为判断可行迭代点是否是约束最优点，或者对输出的可行结果进行检查，观察其是否满足约束最优解的必要条件，引入库恩-塔克条件。
上式也称为约束优化问题局部最优点的必要条件。
=≥=≥=∇−∇−∇∑∑==j u q x h x g x F u q u j v k v v k u u k ,...,2,10.. (321)00)()()(11λνµµλν，，K -T 条件：这q 个约束的梯度向量线性无关，则点为约束极小点的必要条件是：目标函数的负梯度向量可以表示为约束梯度向量的线性组合，即：()[]()[]0)()(≥∇=∇∑∗∗u q uu X g X f λλ其中，210()[])(∗∇X f )(∗X将上式用梯度形式表示，为或者表明库恩-塔克条件的几何意义是，在约束极小值点x *处，函数f (x )的梯度一定能表示成所有起作用约束在该点梯度（法向量）的非负线性组合。
()())(0)(-)(1)()(1)(k u qu u k k q u u uk x g x f x g x f ∇=∇=∇∇∑∑==λλ库恩-塔克条件的几何意义若x k 点是极值点，则可以写成此条件要求点x k 一定要落在约束曲面g 1(x )=0和g 2(x )=0的交线上，而且-∇f (x k )和∇g 1(x k ) 及∇g 2(x k )应该线性相关，即三者共面。
最优化方法第三章非线性优化
在点X
f (X )
可微，
f (X ) C1
则称向量f ( X ) ( f ( X ) ,..., f ( X ) )T
x1
xn
C1 C2
f (X) C2
为函数 f ( X ) 在点 X 处的梯度．
图３－６指出了梯度的几何意义：如果函数 f (X ) 在点 X 的梯度f (X ) 是非零向量，那么 f (X ) 就是 f (X ) 的等值面在 X 处的法向量，
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定义３.１
设Ｄ是问题（３－１） ～ （３－３）的可行区域，
X * ∈Ｄ，若存在 X * 的一个邻域Ｎ（X *，δ），
当Ｘ∈ Ｄ∩Ｎ（ X，* δ）时，就有
f (X *) f (X )
(3-4)
则称 X * 是非线性规划（３－１）～（３－３）的
一个局部最优（极小）解．
特X *别，若在（３－４）中严格不等号“＜”成立，则称
x2
凸函数的判定及与Hesse矩阵的联系
定理3.7 （严格凸函数的一阶充要条件）
设D为开凸集，f X 在D上有一阶连续偏导。那么 f X 是D上
的严格凸函数的充要条件是：对D上任意两个相异X点1
有 f X 2 f X1 f X1 T X 2 X1
X，2
，都
建立数学模型：设售出两种设备分别为 x1 , x2 件。
max f 30x1 450x2
s.t.
0.5x1 (2 0.25x2 )x2 800 x1, x2 0
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一般而言，线性规划问题总可以表示为如下
形式：
Min
f( X )
S . t . gi (X ) 0, j 1, 2,..., m
机械优化设计-第三章一维优化方法
机械优化设计
• 第四次缩小区间： 第四次缩小区间： • 令 x2=x1=0.764, , f2=f1=0.282 • x1=0.472+0.382*(0.944-0.472)=0.652, f1=0.223 • 由于f1<f2, 故新区间 由于f 故新区间[a,b]=[a, x2]=[0.472, 0.764] • 因为 b-a=0.764-0.472=0.292>0.2, 应继续缩小区间。 , 应继续缩小区间。 第五次缩小区间： 第五次缩小区间： f2=f1=0.223 令 x2=x1=0.652, x1=0.472+0.382*(0.764-0.472)=0.584, f1=0.262 由于f 故新区间[a,b]=[x1,b]=[0.584, 0.764] 由于f1>f2, 故新区间 因为 b-a=0.764-0.584=0.18<0.2, 停止迭代。 程序演示 , 停止迭代。 极小点与极小值： 极小点与极小值： x*=0.5*(0.584+0.764)=0.674,
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
f
b = x2 , x2 = x1, y2 = y1
x1 = a + 0.382(b − a), y1 = f ( x1 )
y1 < y2
否
是
y1 y2
x
b
a = x1 , x1 = x2 , y1 = y2
x2 = a + 0.618(b − a), y2 = f ( x2 )
7
机械优化设计
h0
x2
机械优化设计
2.前进搜索 加大步长 h＝2 h ，产生新点x3= x2+ 2h0 ； （a）如y2<y3，则函数在[x1，x3]内 必有极小点，令a= x1，b= x3搜索 区间为[a，b] ； （b）如y2>y3， 令x1=x2 ，y1=y2 ； x2=x3 ，y2=y3 ； h=2h 重新构造新点x3=x2+h，并比较y2、 y3的大小，直到y2<y3。
最优化方法 第三章(罚函数法)
这种惩罚策略，对于在无约束的求解过程中企图违反约
束的迭代点给予很大的目标函数值，迫使无约束问题的 极小点或者无限地向可行域D靠近，或者一直保持在可 行域D内移动，直到收敛到原来约束最优化问题的极小 点。
不改变可行域局部极小值，可以将 约束域之外的局部极小值变大。
p ( x) 0, x D p ( x) 0, x D
k k
k 1
k 1
xk 1是F x, M k 1 的最优解.
k 1 k k 1 k 0 M k 1 M k p ( x ) p ( x ) p ( x ) p ( x )
M k 1 M k
(3) f ( x k 1 ) M k p( x k 1 ) F ( x k 1 , M k ) F ( x k , M k ) f ( x k ) M k p( x k )
gi ( x) gi ( x) max gi ( x), 0 = 罚函数p(x)的构造 2 m l p( x) (max gi ( x), 0) 2 h 2 j ( x)
i 1 j 1
(1) p(x)连续 (2) p( x) 0, x D (3) p( x) 0, x D
二、外点法 外点罚函数法算法步骤 1：给定初始点 x 0 ，初始罚因子M1 0 (可取M1 1 ), 精度 0, k : 1. 2：以 x k 1初始点，求解无约束优化问题
min F ( x, M k ) f ( x) M k p( x)
得到极小点 x* ( M k )，记为 x k ， 其中
p( x) (max gi ( x), 0) h 2 j ( x)
2 i 1 j 1 m l
最优化方法第三章(2).
*
f x * Qx * b 0
f x1 t1Qp1 0 T 上式两边同时左乘 p0 ，并注意到 p0T f x1 0和 t1 0,
便得到
将（3.38）代入此式，并由（3.39）可得
p Qp1 0
T 0
（3.40）
* p p1 所必须满足的条件。 这就是为使 1 直指极小点 x ， 满足（3.40）的两个向量 p0 和 p1 称为 Q 共轭向量， 或称 p0和 p1 的方向是 Q 共轭方向。 利用（3.40）可以给出 p1 的表达式。设 p1 f x1 a0 p0 , （3.41）
n x R 其中 0 是任意选定的初始点，则
T p ⅰ） j f xm 0, 0 j m ；
（3.44）
ⅱ） xm是二次函数（3.36）在线性流形L x0 ; p0 , p1, , pm1 上的极小点。
T 证 ⅰ）根据（1.46），直接有 pm 1f xm 0 。以下 证明：对于 j 0,1, , m 2 ，（3.44）也成立。 由条件（3），有
p f ( x （其中 , , , 是任意实 数）都与 i i m ) 正交。 0 1 m1
i 0 m 1
最优化方法第三章第一讲下降迭代算法基本概念
(i )
xk1 xk
或 xk1 xk
xk
；
(ii )
f ( xk1 ) f
(xk
) 或 f ( xk1 ) f ( xk ) ；
f ( xk )
(iii) f ( xk ) gk ；
(i ) 上述三种终止准则的组合，
其中 0是给定的适当小的实数。
2. 一维搜索
最优化问题的算法一般迭代格式：
给定初始点 x0，令k 0。 (i)确定 xk 处的可行下降方向 pk ；
(ii)确定步长k 0，使得 f ( xk k pk ) f ( xk )； (iii)令 xk1 xk k pk ； (i )若 xk1满足某种终止准则，则停止迭代，以 xk1为近似最优解。否则令k k 1，转(i)。
定义 1.2.1：在 xk 点处，对于 pk 0，若存在 0， 使 (0, )有
f ( xk pk ) f ( xk ) 成立，则称 pk 为 f ( x)在点 xk 处的一个下降方向。
当 f ( x)具有连续的一阶偏导数时，记f ( xk ) gk 。由
Taylor 公式 f ( xk pk ) f ( xk ) gkT pk o( )
由 xk 出发沿 pk 方向求步长k 的过程叫一维搜索
或线性搜索。
如果算法构造出的点列xk 在有限步之内得到 问题的最优解 x*，或者点列xk 有极限点，并且其
极限点是最优解 x*，则称这种算法是收敛的。
如果只有当 x0充分接近最优解 x*时，由算法产 生的点列才收敛于 x*，则该算法称为局部收敛。
定义 1.2.4：设序列xk 收敛于 x*，若对于实数 p 1，
有
lim
k
xk1 x* xk x* p
工程最优化第三章
最优点同时与目标函数及约束函数的性质有关。存在两种情况：
x2
x2
x(0) =x*
x(0)
x*
S x1
(a) 无约束极值点x(0)S
S x1
(b) 无约束极值点x(0)S
! 目标函数的梯度等于零并不是约束问题的最优性必要条件！
带有不等式约束的优化问题的最优性条件通常是一组不等式与 方程，比较复杂的，很难求解，所以在一般情况下，不是直接 求解这些条件来获得极值点，而是使用各种迭代法求出近似的 极值点。但它在理论上很重要，是各种迭代方法的基础和依据。
（一）可行方向与起作用约束
定义：设点xS，p是一个方向，如果存在实数a1>0, 使对所有
a[0, a1]，有x+apS，则称p为点x 的一个可行方向,或容许
方向、允许方向。
p
几何上，若从x处沿方 向p引一射线，若该射 线起始端有一段在可 行域内，则这个方向p
就叫可行方向。
x S
! 是否为可行方向与起始点的位置有关！
例3.5.1 验证下面的非线性规划在最优点x*处不满足约束规范,
最优点不是K-T点：
min
f
(x) (x1 3)2
x
2 2
s.t g1 (x) x 2 (1 x1 )3 0
g 2 (x) x1 0
g3 (x) x2 0
解：显然最优点 min
fx*(=x[)x1*,(xx21*]T=3[)12,
0]T,
x
2 2
f
=
f
(x*)
=
4.
x2
下面验证在 s.t
因为 g1(x*)
gx*1 (=x[)1,0x]T2处不(1满足x1约)3束 规0 范。 =g02 ,(xg2)(x*) <x10,g03(x*)=0,
最优化计算方法(工程优化)第1章
最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经 济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下面举几个简单的实 例。
例1：把半径为1的实心金属球熔化后，铸成一个实心圆柱体， 问圆柱体取什么尺寸才能使它的表面积最小？
解：决定圆柱体表面积大小有两个决策变量：圆柱体底面半 径r、高h。
问题的约束条件是所铸圆柱体重量与球重相等。即
优化模型的分类
根据问题的不同特点分类
一般的约束优化问题
标准形式
min
xRn
f
x
s.t. gi x 0, i 1, 2, , m
1） gi x 0 -gi x 0
2）
hi
x
0
hi x 0
-hi
x
0
优化模型的分类
根据函数类型分类
线性规划：目标函数、约束条件都是线性的 非线性规划：目标函数、约束条件中的函数不全是线性
yi
a1
1
a3
ln 1
a2 exp
xi
a4 a5
最优化问题举例
例3已：知有从一v旅i 到行团v j从的v旅0费出为发要cij遍，游问城应市如何v1安, v排2 行,..程.,使vn总 ，
费用最小？
模型：
变量—是否从i第个城市到第j个城市
xij 1, 0;
约束—每个城市只能到达一次、离开一次
因此，我们在学习本课程时要尽可能了解如何 由实际问题形成最优化的数学模型。
数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。
最优化问题的数学模型与分类
数学模型的建立
建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描 述所研究的系统。
过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情 况；而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。
工程优化及应用第三章PPT课件
( 1 )
成立，就称 x k 收敛的阶为 ，或者称 x k 阶收敛。
当 2时，称为二阶收敛，也可说 x k 具有二阶收敛速度。
当12 时，称超线性收敛。
当 1 ，且 0 1 时，称线性收敛或一阶收敛。
迭代法的收敛速度 定理：设算法点列{x(k)}超线性收敛于x*,且
x(k)≠x*， k，那么
若算法是有效的，则它产生的解序列收敛于该问题的最优解。
计算机只能进行有限次迭代，一般很难得到准确解，而只能得 到近似解。当达到满足的精度要求后，即可停止迭代。
迭代法的终止条件
停止迭代时要满足的条件称为终止条件。
理想的终止条件是
f(x)f(x*) ，
或者 x x* .
问题是 x* 未知
迭代法的终止条件
为了求函数f(x)的最优解，首先给定一个初始估计 x 0 然后按某种规划(即算法)找出比 x 0 更好的解 x 1 ， f (x1) f (x0)
再按此种规则找出比 x 1 更好的解 x 2 ，
如此即可得到一个解的序列{ x k } ，
若这个解序列有极限 x * ， lim xk x* 0， 则称它收敛于x*。 k
则 x 为 f ( x ) 的严格局部极小点。
搜索算法概述
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
• 但对一般n元函数 f(x) 来说，由条件 f (x) 0得到的是一
个非线性方程组，解它相当困难。 • 对于不可微函数，当然谈不上使用这样的方法。 • 为此，常直接使用迭代法。
迭代法的基本思想
第三章 常用的一维搜索算法
本章主要内容：
§1 搜索算法概述 §2 “成功-失败”法 §3 0.618法（黄金分割法） §4 §5 插值法
最优化方法第三章-孙文瑜
Fnk k ak (1 )(bk a k ) Fnk 1
Fn k 1 k a k (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1 Fn k k ak (bk a k ), k 1,2,, n 1 Fn k 1
25
2018/12/11
3.2.2 Fibonacci法
另一种与0 .618 法相类似的分割方法叫Fibonacci 法. 它与0 .618 法的主要区别之一在于: 搜索区间长度的 缩短率不是采用0 .618 而是采用Fibonacci 数. Fibonacci 数列满足 F0 F1 1
Fk 1 Fk Fk 1 , k 1,2 Fibonacci 法中的计算公式为
N
1
2
1 2
Y
* (t * )
a t1 , t1 t 2 ,
1
工程优化 第3章-3
k arg min f ( xk d k ):= ()
'(k )=0
非精确一维搜索方法---Wolfe-Powell准则
T k T k '(k ) g k d gk d <0
[e,c]包含最佳步长，作为可接受区间
T k '( )= gk d
非精确一维搜索方法---Wolfe-Powell准则
计算 '(k ) ,若 否则，令
k 1 k , k k 1,
转(2)。
步骤4：选取新的试探点
ak 1 bk 1 取 k 1 , k k 1 ,转(2)。 2
注：在Wolfe-Powell准则中，建议取
=0.1， [0,6,0.8], 2.
计算 (k ) ，若
非精确一维搜索方法---Wolfe-Powell准则
Wolfe-Powell准则计算 k 的步骤
步骤3：检查避免探索点过小的要求
'(k ) '(0) ，停止，输出 k 。 否则，令 ak 1 k , bk 1 bk , 若 bk 1 ，转(4)。
非精确一维搜索方法---Armijo-Goldstein准则
Armijo-Goldstein准则，即k 要满足
f ( xk k d k ) f ( xk ) k gkT d k
和
(*)
f ( x k d ) f ( x ) k (1 ) gk d
k k k T
|| f ( xk k d k )T d k || T k gk d +1
\\
'(0)
非精确一维搜索方法---Wolfe-Powell准则
第三章无约束问题的最优化方法
赋以0.618。
2 ,
；并计算其对应
的函数值。 3）根据区间消去法原理缩短搜索区间。为了能用原来的 坐标点计算公式，需进行区间名称的代换，并在保留区间 中计算一个新的试验点及其函数值。
如果
令 b , , f f 记N0=0； 2 2 1 2 1 如果 ，则新区间＝ ，
2
2
图2-5 黄金分割法
• 黄金分割法要求插入两点： a1 a (1 )(b a), f1 f (a1 )
a2 a (b a), f 2 f (a2 )
黄金分割法的搜索过程：
1）给出初始搜索区间及收敛精度 2）按坐标点计算公式计算 1
，将
在搜索区间内[a,b] 任取两点a1、b1，令f1＝f（a1）， f2＝f（b1） • (1)如f1<f2, 则缩小的新区间为[a,b1]; • (2)如f1>f2, 则缩小的新区间为[a1,b]; • (3)如f1=f2, 则缩小的新区间为[a1,b1]
f(b1) f(a1) f(a1) f(b1) f(a1) f(b1)
a
a1
b
a
a1
b1 b
a
a1
b1
b
§3.2 一维搜索方法
黄金分割法： • 黄金分割法适用于[a,b]区间上的任何单谷函数求极小值问题。对 函数除要求“单谷”外不作其他要求，甚至可以不连续。因此，这种 方法的适应面相当广。 • 黄金分割法也是建立在区间消去法原理基础上的试探方法。 • 在搜索区间内[a,b]适当插入两点，将区间分成三段；利用区间消 去法，使搜索区间缩小，通过迭代计算，使搜索区间无限缩小，从而 得到极小点的数值近似解。 •
最优化方法 第三章(可行方向法)
又 f ( x k )T d * * 0,
d * 是可行下降方向。
改进方法具有全局收敛性。
一、Zoutendijk法
Frank Wolfe 方法 min f ( x )
给定线性规划问题
Ax b s .t . x0
f ( x k )T d k 0 gi ( x k )T d k 0 , i I ( x k )
1 di 1, i 1, 2,
,n
������ = 0 , 则 ������ ������ 处不存在可行下降方向 , ������ ������ 已是 ������−������ 点. 有例子表明上述方法不一定收敛到 ������−������ 点，即总有������ < 0 .
如果可行点为内点， 可取������ = −������������(������ )计算。
一、Zoutendijk法 非线性约束模型的可行方向确定方法
min s.t.
z f ( x )T d z 0 gi ( x) d z 0, i I
T
一、Zoutendijk法 线性约束模型的可行方向
min f ( x ) Ax b s .t . Cx e
紧约束
A1 b1 定理 设 x D ，在点 x 处有 A1 x b1 , A2 x b2 , 其中A , b ， A2 b2 则非零向量 d 是 x 处的可行方向的充分必要条件是
定理 设 f ( x )可微， x k D, 如果y k 是上述线性规划的最优解,则有
(1) 当f ( x k )T ( y k x k ) 0时 , 则x k 是(1)的K -T点；
最优化方法 第三章(二次逼近法)
min s.t.
ci x ci x
1 T Q(d ) d Bk d f ( x k )T d 2
k T
d ci x k 0, i I m 1,..., p
k T
d ci x k 0, i E 1,..., m .
基本思想：将问题转化为求解一系列的二次规划子问 题。从已知点和近似乘子向量进行迭代，由二次规划 问题计算出的结果对迭代过程进行更新。
s.t.
三、二次逼近法 等式约束问题 由等式约束K-T条件，有
f x hE x 0,
T
即
hE x 0.
T x L x , f x A x F x, 0. hE x hE x
d,
T
k W x k , λ k A x k T d f x k A xk h x 0 E
一般约束问题
min s.t.
f (x), ci x 0, i I m 1,..., p ci x 0, i E 1,..., m .
x 1 不是原二次规划问题的可行解，令
，显然为函数值下降方向。但在 x1
1
d 1 x 1 x1
沿 d 趋向
T a 某些不等式约束 i x bi , i t 1, t 2,..., p ，设
x
1
的过程中，不满足原二次规划问题的
在移动的过程中，最先遇到某个不等式约束，对应 的下标为 l ，相应的交点记为 x ，x 点处对应的有
第三章无约束优化模型
第三章无约束优化模型无约束优化模型是指在给定的条件下，寻找一个自变量的值，使得目标函数取得最大或最小值。
这种模型中，没有对自变量的取值范围进行限制，可以在整个定义域内最优解。
本章将介绍几种常见的无约束优化模型及其求解方法。
一、无约束优化模型的定义和性质优化模型可以表示为以下形式：minimize f(x)maximize f(x)其中，x是一个自变量，f(x)是目标函数。
目标函数可以是线性函数、非线性函数、凸函数等。
当优化问题是求解目标函数的最小值时，称为最小化问题；当优化问题是求解目标函数的最大值时，称为最大化问题。
在无约束优化模型中，自变量x的取值范围是整个定义域。
这意味着x可以取任意值，可以在整个定义域内最优解。
无约束优化模型常常用于物理、工程、经济等领域的问题求解，如最小二乘法、回归分析等。
二、无约束优化模型的求解方法无约束优化模型的求解方法主要有以下几种。
1.解析法：对于一些简单的优化模型，可以通过求解目标函数的一阶、二阶导数来得到最优解。
一阶导数为0的点是可能的最优解的候选集，二阶导数的正负性可以判断这些点的最优性。
通过解析法可以得到精确的最优解，但对于复杂的优化模型，解析法的求解过程可能非常复杂，甚至无法得到显式的表达式。
2.数值法：数值法是使用计算机进行近似求解的方法。
常见的数值方法有穷丁牛顿法、梯度下降法、共轭梯度法等。
这些方法通过迭代计算，不断逼近最优解。
数值法的求解过程比较简单直观，但从字面意义上，这些算法只能找到局部最优解，无法保证全局最优解。
3. 优化软件：对于较为复杂的优化模型，通常需要使用专业的优化软件进行求解。
这些软件包括MATLAB、Python中的scipy.optimize等。
优化软件通常提供了许多不同的算法来求解优化问题，并能够在较短的时间内得到较为准确的最优解。
三、应用实例无约束优化模型的应用非常广泛，下面以两个实例来说明。
1. 线性回归模型：假设有一组数据点(x,y)，我们希望找到一条直线y=ax+b，使得这条直线能够最好地拟合这些数据点。
桥梁结构的设计及优化方法研究
桥梁结构的设计及优化方法研究第一章桥梁结构的概述桥梁结构是连接不同地点之间的重要工程，其设计和施工对于整个交通和建筑行业都有着重要的作用。
随着经济的发展和城市化的进程，桥梁在我们的生活中扮演着越来越重要的角色。
因此，桥梁结构的设计和优化是必不可少的，并且要在保证结构稳定的前提下实现更好的经济性，这是我们在桥梁设计中需要考虑的最重要的因素。
第二章桥梁结构的设计方法桥梁设计的方法包括渐进式解决方案法、精确计算法和经验公式法。
渐进式解决方案法主要是一种经验法，它使用一些常用的设计要素来逐步确定桥梁结构，通过不断地调整和推导，得到一个性能最优的设计。
精确计算法是基于数学理论和工程力学知识进行桥梁结构计算的一种方法。
精确计算法考虑到了材料性质和结构力学特性等因素，能够得到较为精确的桥梁结构设计。
经验公式法是在长期的实践中总结出来的一些公式，这些公式试图给出一个相对简单的设计方案，用来对新型桥梁进行设计时提供参考。
第三章桥梁结构设计的优化方法桥梁结构的优化是一个相对较新的领域，它利用不同的技术来找到性能最优的设计。
桥梁结构的优化方法包括一个或多个优化算法。
优化算法广泛应用于桥梁结构设计中，可以通过最小化设计的成本、重量或材料用量来得到最佳设计策略。
常见的优化算法包括遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。
第四章桥梁结构优化方法的实现桥梁结构优化方法的实现需要考虑多个因素，其中包括优化算法的选择、目标函数的定义、设计参数的提取等。
要为桥梁结构设计选择适当的优化算法，不同的算法对于不同的设计问题有不同的优缺点。
优化算法需要能够解决多种约束条件，在优化过程中，需要平衡地考虑到不同约束条件之间的优先级。
在定义目标函数时，需要将性能指标量化，评价桥梁结构的性能。
设计参数的提取需要设计人员具备大量的经验和知识，设计参数的提取可以理解为采用不断优化的过程，通过不断的实验和改进找到最佳的设计参数。
第五章桥梁结构优化方法的案例分析为了更好的理解桥梁结构优化方法的工作流程和实现过程，我们选取经典的案例进行分析。
第三章非线性规划无约束问题的最优化方法
x0
0p 0
1.919877 还需要经过10次迭代才
能满足精度要求
0.003070
第三节 牛顿法
3. 牛顿法的缺点： 牛顿法要求初始解离最优解不远，若初始点选得离最优解太
远时，牛顿法并不能保证其收敛，甚至也不是下降方向。因此， 常将牛顿法与最速下降法结合起来使用。前期使用最速下降法， 当迭代到一定程度后，改用牛顿法，可得到较好的效果。 4. 修正牛顿法 基本思想： 保留了从牛顿法中选取牛顿方向作为搜索方向，摒弃其步长恒 为1的做法，而用一维搜索确定最优步长来构造算法。
2
2
0
2e2 2 3
00 21 0
03
f x3 9
第二节 最速下降法
再从x(3)点 出发，沿x3轴方向e3进行一维搜索：
0 x 3 e3 0
3
00 00 13
f x 3 e3
32
f' 0 x4 x3
3
3
0
3e3 0 0
f x4 0
第二节 最速下降法
因为 x 1
x 4 ，0故.0以1 x(4)点作为新的x(1) ，进行新一轮迭代。
0
1 33 22
f x0
p0
52 5
42
f' x0
p0 5 5 0
22
01
第三节 牛顿法
x1 x0
1 p0 3
2
3
f x1
14
12 2
0
30
12 1 2
2
f x1
所以选取 x* x 1
1 3 作为极小点。 2
第三节 牛顿法
6. 修正牛顿法的缺点： 修正牛顿法虽然比牛顿法有所改进，但也有不足之处：
工程优化方法及应用 第三章(8学时)
u步长因子的求法（一维搜索算法） （本章重点介绍）
一维搜索算法的基本思想
现假定已经迭代到点
15 10 25
且已知搜
索方向 （后面章节重点讲）
Page 3
x*
dk
xk+1
现在问题：如何确定步长因子 ？
xk
u若 是一局部极小点，则从 出发沿任何方向移动，都不
能使目标函数值下降。
u若从 出发至少存在一个方向 可使目标函数值有所下降，
单峰函数：两头高中间低的三点可确定搜索区间。
Page 11
定理（单峰函数的消去性质）：设 f(x) 是区间[a,b]上的单峰函数， x*∈[a,b]是其极小点， a<x1 <x2<b，那么比较 f(x1) 与 f(x2)，可得 如下结论：
（I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b]
f(x)
则称 f(x) 为[a, b]上的单峰函数。
单峰函数：极小点左边严格下降，极小点右边严格上升。
Page 10
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
a
b xa
ab
x
a
b
x
b
x
连续单峰函数
不连续单峰函数 非单峰函数离散单峰函数
注：根据单峰函数的定义不难知道，对于任意三点
有
，则区间
包含 f(x) 的最小值点。
f(x1) -0.0821 0.1612 -0.0821 -0.0268 -0.0821 -0.0881
f(x2) 0.4126 -0.0821 -0.0468 -0.0821 -0.0881 -0.0683
[a,b] [0,1.236] [0.472,1.236] [0.472,0.944] [0.652,0.944] [0.764,0.944] [0.764,0.906]
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来的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。
Newton法、二次插值法、三次插值法
第三章 常用的一维搜索算法
本章主要内容：
§1 搜索算法概述 §2 “成功-失败”法 §3 0.618法（黄金分割法） §4 牛顿法 §5 插值法
常用的一维直接法有消去法和近似法两类。它们都是从某 个初始搜索区间出发，利用单峰函数的消去性质，逐步缩小 搜索区间，直到满足精度要求为止。
据迭代点 的可行性
下降算法： k , f ( x k 1 ) f ( x k ) 每一迭代点的目标函数 根据目标函数 值都在下降 的下降特性 非单调下降算法： k , f ( x k 1 ) f ( x k ), k klk k l , f ( x ) f ( x )
如何确定包含极小点在内的初始区间 ?
进退算法 (或称成功-失败法)
（一）基本思想：
由单峰函数的性质可知，函数值在极小点左边严格下降，在右边严格上升。
从某个初始点出发，沿函数值下降的方向前进，直至发现函数值上升为止。 由两边高，中间低的三点，可确定极小点所在的初始区间。
f(x)
a x0 x1 x*
x2
k
若算法是有效的，则它产生的解序列收敛于该问题的最优解。 计算机只能进行有限次迭代，一般很难得到准确解，而只能得 到近似解。当达到满足的精度要求后，即可停止迭代。
迭代法的终止条件
停止迭代时要满足的条件称为终止条件。 理想的终止条件是
f ( x) f ( x*) ，
或者
x x * .
f(x)
f(x)
f(x)
f(x)
a
b
x
a
a b
x
a
b
b
x
x
连续单峰函数
不连续单峰函数
非单峰函数离散单峰函数
单峰函数具有一个重要的消去性质
定理：设f(x)是区间[a,b]上的一个单峰函数，x*∈[a,b]是其极小点， x1 和x2是 [a, b]上的任意两点，且a<x1 <x2<b，那么比较f(x1)与f(x2)的值后，可得出如下 结论：
线搜索迭代法的框架分析----一维搜索
(3) 第三种方法的思路是：沿搜索方向使目标函数值下降最多， 即沿射线
x x d
k
k
求目标函数 f(x) 的极小：
λk : arg min f ( xk d k )
k k f ( x d ) 这项工作是求以 λ 为变量的一元函数
的极小点
第三章 常用的一维搜索算法
本章主要内容：
§1 搜索算法概述 §2 “成功-失败”法 §3 0.618法（黄金分割法） §4 牛顿法 §5 插值法
搜索算法概述
n元函数 f : D Rn R
定理(必要条件) 设 f : D Rn R (1) x 为D的一个内点; (2) f ( x ) 在 x 可微; (3) x 为 f ( x ) 的极值点; 则 f x 0 。 定理(充分条件)
λk ，故常称这一过程为（精确）一维搜索或
（精确）线搜索或一维最优化，确定的步长为最佳步长。
（精确）一维搜索的一个重要性质
在搜索方向上所得最优点处的梯度和该搜索方向正交。
k 1 x f ( x ) 按下述 具有一阶连续偏导数， 定理 设目标函数
规则产生
k k λ arg min f ( x d ) k k 1 k k x x d k
每次迭代在某区域内搜索下个迭代点， 近30年来发展起来的一类方法
线搜索迭代法的基本思想
现假定已迭代到点 x 则从
k
,
若 x 是一局部极小点，
k
x k 出发沿任何方向移动,
都不能使目标函数值下降。 若从
xk
出发至少存在一个方向 d k
可使目标函数值有所下降， 如图1示
图1
线搜索迭代法的基本思想
若从
k
,
x k 1 x k x
k
,
（3）根据目标函数梯度的模足够小
f ( x k )
迭代法的收敛速度
设序列 x
k
收敛于
x
k 1
x* ，若存在与迭代次数 k 无关的数
0 和 1，使k从某个k0开始，都有
x* x x*
k
(1)
整体下降，局部上升
迭代法的分类
根据是否计算目标函 数和约束函数的导数 直接法：不需要导数信息 仅利用函数值，简单易用 非直接法： 需要导数信息
利用导数信息，收敛性结果更强
线搜索方法：迭代点沿某方向产生 每次迭代沿某个方向搜索下个迭代点， 根据迭代点是否 最常见研究最多的方法 沿某个方向产生 迭代点在某区域内搜索产生 信赖域方法：
k 称为步长或步长因子。
图1
线搜索迭代法的步骤
0 x (1) 选定某一初始点 ，并令 k: 0;
(2) 确定搜索方向 d
k
k
;
k
(3) 从 x 出发，沿方向 d 求步长 λ k ，以产生下一个迭代点
x
k 1
;
(4) 检查得到的新点
x k 1 是否为极小点或近似极小点。
若是，则停止迭代。 否则，令 k : k 1 ，转回(2)继续进行迭代。 在以上步骤中，选取搜索方向是最关键的一步。 各种算法的区分，主要在于搜索方向 d k 的不同。
k
成立，就称 x 收敛的阶为
k
，或者称 x 阶收敛。 当 2 时，称为二阶收敛，也可说 x 具有二阶收敛速度。
k
当 1 2 时，称超线性收敛。 当
1 ，且 0 1 时，称线性收敛或一阶收敛。
迭代法的一般框架
(a) 找初始点
找初始点 是
则有 f ( xk 1 )T d k 0. 证明：构造函数 ( ) f ( xk d k )，则得 λk min λ 即
λk 是函数 ( ) 的极小点，所以
k
0 ' (λk ) ' (λ) λ f ( x k λd k )T d k
(c) 迭代格式：不同的 d k 对应不同的算法，各种算法的区 分，主要在于确定搜索方向的方法不同。 后面介绍各种
算法时会给出一个明确的选取 d k的方法。 在确定了迭代方向后，下一步就要确定迭代步长 λ k ，常 见的方法有3种。 (1) 令它等于某一常数(例如令λk 1 )，这样做不能保证目标 函数值下降。 (2) 第二种称为可接受点算法，只要能使目标函数值下降，可 任意选取步长。
问题是 x* 未知
迭代法的终止条件
实用的终止条件是根据相继两次迭代的结果 （1）根据相继两次迭代的绝对误差
f ( x k 1 ) f ( x k ) , x k 1 x k ,
（2）根据相继两次迭代的相对误差
f ( x k 1 ) f ( x k ) f (x )
b
x
（二）算法 1、选定初始点a 和步长h; 2、计算并比较f(a)和f(a+h)；有前进(1)和后退(2)两种情况： (1) 前进运算：若f(a) ≥f(a+h), 则步长加倍，计算f(a+3h)。若f(a+h) ≤f(a+3h)， 令 a1=a, a2=a+3h, 停止运算；否则将步长加倍，并重复上述运算。 (2) 后退运算：若f(a) < f(a+h), 则将步长改为－h，计算f(a－h)，若f(a－h) ≥ f(a)，令 a1=a－h, a2=a+h, 停止运算；否则将步长加倍，继续后退。
——仅仅找区间！若进一步找最小点， 参阅P44!
f(x)
f(x)
a a+h
a+3h
a+7h
x
a-7h
a-3h a-h a a+h
x
a
(三) 几点说明 缺点：效率低； 优点：可以求搜索区间； 注意：h 选择要适当，初始步长不能选得太小。
“成功—失败”法----算例
例 ：利用“成功-失败”法求函数 f ( x) x3 2 x 1 的搜索区间， 1 1 取初始点 x ，步长 h . 2 2 1 1 x h , 解：取初始点 ，步长 2 2 1 15 1 1 f ( x) f ( ) , f ( x h) f ( ) f (0) 1, 2 8 2 2 因为f ( x) f ( x h)，搜索成功，步长加倍； 1 1 计算 f ( x h+2h) f ( x 3h) f ( 3 ) f (1) 0, 2 2 因为f ( x h) f ( x 3h)， 搜索成功，步长加倍； 1 1 计算 f ( x 3h +4h) f ( x 7 h) f ( 7 ) f (3) 22, 2 2 因为f ( x 3h) f ( x 7h)， 搜索失败，停止迭代； 得到搜索区间为 [ x h, x 7h] [0,3].
迭代法的基本思想
首先给定一个初始估计 x 为了求函数f(x)的最优解， 然后按某种规划(即算法)找出比
0
x0更好的解 x1，f ( x1 ) f ( x0 ) 1 2 再按此种规则找出比 x 更好的解 x ，
*
k 如此即可得到一个解的序列 {x }，
若这个解序列有极限 x ， lim x k x* 0， 则称它收敛于x*。
（I） 若f(x1)≥f(x2)，x*∈[x1,b] (II) 若f(x1) < f(x2), x*∈[a,x2]
f(x)
f(x)