【精品课件】空间向量的数量积运算
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量 a 与 b 的夹角？夹角的取值范围是什么？ 3．已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|cos〈a，b〉 叫
做 a 与 b 的 数量积 (或内积)，记作 a·b， 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a·c＋b·c.
例题讲解
例1 用向量方法证明三垂线定理：平面 内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
P
垂直.
Ol A
例2：用向量方法证明直线和平面垂直的
判定定理： 已知m，n是平面α内的两条相交直线，
直线l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．
l
g
αm
n
小结作业 1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面 向量，所以空间向量的数量积运算与平面向 量的数量积运算的理论体系完全一样.
面的充要条件是：存在惟一的有序实数
对(x，y)，使 pxayb.
对空间任一点O和不共线三点A、B、C， 若O Px O A y O B z O C ，则点P在
平面ABC内的充要条件是 x＋y＋z＝1.
3.利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、 共线、共面和平行等问题，这是
一种向量方法.
答案： A
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
1. 为 了 帮 助 四 川 地 震 灾 区 重 建 家 园，某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件，已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
2．在△ABC 中，〈A→B ，B→C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向
3．1.3 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律．
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何 中一些简单的问题.
1.空间向量的数量积运算．(重点) 2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向
量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b π
的夹角为 3 .
1．空间向量的夹角
定义
图示
记法 范围
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知两非零向量 a、b，在空 间中任取一点 O，作O→A＝a，
O→B＝b，则 ∠AOB 叫做向
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
量 a，b 的夹角
〈a，b〉 [0，π]
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b互相垂直 ，记作 a⊥b .
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做
义
a，b的数量积，记作a·b.
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) .
∴|P→C|＝7，即 PC＝7.
1. 空间向量共线定理
对 空 间 任 意 两 个 向 量 a,b(b0),
a//b 存 在 实 数 ， 使 得 ab.
若O PxO Ay O B ，则点P、A、B共线 的充要条件是x＋y＝1。
2. 空间向量共面定理
若向量 a , b 不共线，则向量p 与 a , b 共
答案： D
3．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，
点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→E ·A→F 等于________． 解析： A→E ·A→F ＝12(A→B ＋A→C )·12A→D ＝14(A→B ·A→D ＋A→C ·A→D )
＝14(a×acos 60°＋a×acos 60°) ＝12a2 答案： 12a2
应用
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60°，其模都为 1，则|a－
b＋2c|＝( )
A. 5
B．5
C．6
D. 6
解析： 因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以 a·b＝b·c＝a·c＝12， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝ 1＋1＋4－2×12＋4×12－4×12 ＝ 6－1＋2－2＝ 5.
a·b＝ b·a . a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
两个 向量 数量 积的 性质
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0. (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|. (4)|a·b|≤|a|·|b|.
做 a 与 b 的 数量积 (或内积)，记作 a·b， 即 a·b＝|a||b|cos〈a，b〉． 它所满足的运算律有： (1)交换律： a·b＝b·a ； (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)； (3)分配律： (a＋b)·c ＝a·c＋b·c.
例题讲解
例1 用向量方法证明三垂线定理：平面 内的一条直线，如果和这个平面的一条 斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线
P
垂直.
Ol A
例2：用向量方法证明直线和平面垂直的
判定定理： 已知m，n是平面α内的两条相交直线，
直线l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α．
l
g
αm
n
小结作业 1.由于空间任意两个向量都可以转化为共面 向量，所以空间向量的数量积运算与平面向 量的数量积运算的理论体系完全一样.
面的充要条件是：存在惟一的有序实数
对(x，y)，使 pxayb.
对空间任一点O和不共线三点A、B、C， 若O Px O A y O B z O C ，则点P在
平面ABC内的充要条件是 x＋y＋z＝1.
3.利用空间向量共线定理和共面定 理，可以解决立体几何中的共点、 共线、共面和平行等问题，这是
一种向量方法.
答案： A
2．空间四边形 OABC 中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝π3，
则 cos〈O→A，B→C 〉的值为( )
1 A.2 C．－12
2 B. 2 D．0
解析： 因为 O→A ·B→C＝O→A ·(O→C －O→B ) ＝O→A ·O→C －O→A ·O→B ＝|O→A ||O→C |cos〈O→A，O→C 〉－|O→A ||O→B |cos〈O→A ，O→B〉 又因为〈O→A ，O→C 〉＝〈O→A ，O→B 〉＝π3， |O→B ＝|O→C |，所以 O→A ·B→C ＝0， 所以O→A⊥B→C，所以 cos〈O→A ，B→C 〉＝0.
1. 为 了 帮 助 四 川 地 震 灾 区 重 建 家 园，某施工队需要移动一个大型的正 四面体筋混凝土构件，已知它的质量 为 5 000 kg，在它的顶点处分别受到 大小相同的力 F1、F2、F3，并且每两个力之间的夹角都 是 60°.
问这每个力最小为多少时，才能提起这块混凝土构 件？
2．在△ABC 中，〈A→B ，B→C 〉＝∠B 吗？如何作出空间两向
3．1.3 空间向量的数量积运算
1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数 量积概念、性质和计算方法及运算规律．
2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何 中一些简单的问题.
1.空间向量的数量积运算．(重点) 2.利用空间向量的数量积求夹角及距离．(难点) 3.空间向量数量积的运算律．(易错点)
4．已知非零向量 b 在非零向量 a 方向上的投影为零，则向
量 a，b 的关系是 a⊥b .
5．已知向量 a，b 满足|a|＝1，|b|＝4，且 a·b＝2，则 a 与 b π
的夹角为 3 .
1．空间向量的夹角
定义
图示
记法 范围
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
已知两非零向量 a、b，在空 间中任取一点 O，作O→A＝a，
O→B＝b，则 ∠AOB 叫做向
4.如图所示，在▱ABCD 中，AD＝4，CD ＝3，∠D＝60°，PA⊥平面 ABCD，PA＝6， 求线段 PC 的长．
解析： ∵P→C ＝P→A ＋A→D ＋D→C . ∴|P→C |2＝(P→A ＋A→D ＋D→C )2 ＝|P→A |2＋|A→D|2＋|D→C|2＋2P→A ·A→D ＋2A→D ·D→C ＋2D→C ·P→A ＝62＋42＋32＋2|A→D ||D→C |cos 120°＝61－12＝49.
量 a，b 的夹角
〈a，b〉 [0，π]
如果〈a，b〉＝π2，那么向量 a，b互相垂直 ，记作 a⊥b .
2．空间向量的数量积
定 已知两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做
义
a，b的数量积，记作a·b.
数乘向量与向量 运
数量积的结合律 算
交换律 律
分配律
(λa)·b＝ λ(a·b) .
∴|P→C|＝7，即 PC＝7.
1. 空间向量共线定理
对 空 间 任 意 两 个 向 量 a,b(b0),
a//b 存 在 实 数 ， 使 得 ab.
若O PxO Ay O B ，则点P、A、B共线 的充要条件是x＋y＝1。
2. 空间向量共面定理
若向量 a , b 不共线，则向量p 与 a , b 共
答案： D
3．已知空间四边形 ABCD 的每条边和对角线的长都等于 a，
点 E，F 分别是 BC，AD 的中点，则 A→E ·A→F 等于________． 解析： A→E ·A→F ＝12(A→B ＋A→C )·12A→D ＝14(A→B ·A→D ＋A→C ·A→D )
＝14(a×acos 60°＋a×acos 60°) ＝12a2 答案： 12a2
应用
(1)可以求向量的模或夹角，进而求两点距离 或两直线所成角． (2)可证明两非零向量垂直，进而证明两直线 垂直.
1．已知向量 a，b，c 两两夹角为 60°，其模都为 1，则|a－
b＋2c|＝( )
A. 5
B．5
C．6
D. 6
解析： 因为|a|＝|b|＝|c|＝1， 〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°， 所以 a·b＝b·c＝a·c＝12， a2＝b2＝c2＝1， 所以|a－b＋2c|＝ a－b＋2c2 ＝ a2＋b2＋4c2－2a·b＋4a·c－4b·c ＝ 1＋1＋4－2×12＋4×12－4×12 ＝ 6－1＋2－2＝ 5.
a·b＝ b·a . a·(b＋c)＝ a·b＋a·c .
两个 向量 数量 积的 性质
(1)若 a，b 是非零向量，则 a⊥b⇔a·b＝0. (2)若 a 与 b 同向，则 a·b＝|a|·|b|； 若反向，则 a·b＝－|a|·|b|. 特别地：a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a. (3)若 θ 为 a，b 的夹角，则 cos θ＝|aa|··b|b|. (4)|a·b|≤|a|·|b|.