(完整版)初三圆知识点复习总结

初三数学圆知识点
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。

推论1： （1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2） 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3） 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
简单记成：一条直线：①过圆心②垂直弦
③平分弦 ④平分弦所对的劣弧⑤平分弦所对的优弧弧
.......... .一. 一 ____ __ ■_ ___ ______ _____ ___ ______ 0^0 可推出其它3个结论，即：
①AB 是直径 ②AB CD ③CE DE ④BC BD ⑤AC
任意2个条件推出其他3个结论。

例1.如图，在。

中，弦CD 垂直于直径 AB 于点E,若/ BAD=30。

，且BE=2 ,则CD= .
例2 .已知（DO 的直径CD 10cm, AB 是OO 的弦，AB 8cm,且AB CD ,垂足为M ，则AC 的长为（C ）
A . 2^5cm
B . 4扼cm C. 2”5cm 或 4V5cm D . ^3cm 或 4右cm
例3、如图是一个古代车轮的碎片，小明为求其外圆半径，连结外圆上的两点 A 、
AB 与车轮内圆相切于点D ,做 CDL AB 交外圆于点C .测得 CD=10cm , AB=60cm 个车轮的外圆半径为. 例4、如图，在5 X 5的正方形网格中，一条圆弧 经过A, B, C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 A.点P B .点Q C .点R D .点M 二、圆周角定理
1、圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，等于它所对的圆心的角的一半。

即：
ACB 是AB 所对的圆心角和圆周角
2、圆周角定理的推论：
推论1:半圆或直径所对的圆周角是直角; 推论2:圆内接四边形的对角互补； 由对称性还可知：1、在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦相等;
2、 在同圆或等圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等；
3、 在同圆或等圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等； 简记：在同圆或等圆中，①弦②圆心角③弧中只要一个相等，其它两个也相等。

例1、如图，已知 A 、B 、C 三点在O O 上，AC± BO 于D, / B=55° ,则Z BOC 的度数是 _70° 例2、从下列直角三角板与圆弧的位置关系中，可判断圆弧为半圆的是（
）
以上以任意两个为已知条件，其它三个都成立，简称
2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 AOB 和
AOB 2 ACB
90圆周角所对的弦直径
例3、如图，口ABCD勺顶点A B、D在00上，顶点C在00的直径BE上，连接AE, / E=36°,
则Z ADC=( ) A,44 0 B . 54° C . 72° D . 53°
学生练习:
（:2016年中考集习集训过关检测吐■::尊*里E4 - 3
J
一、选择剧
| （2015，藤卅张注中掌质♦检渊二）加图、点.LBt
是00上三点・£川队一12护，剧匕切C等于］）
W
C 6. （20M・抽州》tn m. VI A ABC的辿依、为直径的®O 分别交AB,AC 于D.EiS»OD,OE.若=阳二姻匕玖征:的冥数为（A. 35* 已50
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2 （2016 •从化一榛｝如图.在④"中W HJB 侑,则夕为
（）
A. ?Z. 5* 队45* C. 60" 1190*
'《网15 •安顺）如图・6。

的n猝片R垂r［丁*广口,垂足是E.^A=2Z. 5\OC=i,CD的氏为〈）
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|带4挺J 4普0】5・江苏南蓍中学期中〉如图•点/LH、【：E都奇上，旦四边形OABC J& fJf四边够，则巴口的度数尔 >
A. 45* &的° C.75*。

《2014 f 州》如陶，在半倍为次勺S1 中・弦心J所时的匿
心舶分别是/HAC/EE已知 /E 6^BAC + £E/UJ v lflo\则弦
IiC的弦心距等于（>
而R J ZE r d
~T~以一j- 「、
A.L>. 3
12. （5014 -武波｝如图MR是乜。

的直径HP是以】上两点，
AB=13.A匚=5.
（1）如图①.若点P是弧A”的中点.求FA的K*
任，站图若点尸是孤血的中点，求PA的E
i第§晾
7. （2C14 T时江）加图.是△郴：胖外接底.
ZACm- 5O\AB-AC>=2t!IJ® HC'的长为t
73rx4
A.西
二,填空蹦
札：网】5 •北京臻阳区一腱）如断/巳”的直及CD窿直干荥AB.NAOC =4舟•财/口泪的度放为•
B.3
（.第9 .视｝
*如图,点A.B.GC①口上上的延长我交『11?于成。

・/,4 = 50 二NH = 3（T,掴/ADT 的度数为
10. （2014 •威营》如图.在①C中MB
是①H的直斧
CD^Bb.jM£Ali上一动点，匚讨+
DM的航小值为 .
三、解答即K第0题〉
H （2015 ,并南一横）已知I：.川国・NPAQ =:的二在边
A13上醐次成取rm.BC 10 cm，W BC为苴役作交射线点-求：
⑴调心C到AQ时距冉I
三、与圆有关的位置关系
1 •点与圆的位置关系：设圆的半径为r,点到圆心的距离为d，则点在圆内;点在圆上 ; ?点在圆外
2.直线与圆的位置关系：如果。

的半径为r,圆心O到直线L的距离为d,那么:
(1) 直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相交，这时直线叫做圆的
(2) 直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相切，这时直线叫做圆的
(3) 直线和圆有个公共点时，叫做直线与圆相离，此时 d r.，公共点叫做，此时d r；，公共点叫做，此时 d r.
3.切线的性质与判定定理
(1)切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线;
两个条件：过半径外端且垂直半径，二者缺一不可即：MN OA且MN过半径OA外端••- MN是。

O的切线
(2)性质定理：切线垂直于过切点的半径(如上图)
推论1:过圆心垂直于切线的直线必过切点。

推论2:过切点垂直于切线的直线必过圆心。

以上三个定理及推论也称二推一定理：即：①过圆心；②过切点；③垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。

4.切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角
即：.PA、PB是的两条切线.. PA PB PO平分BPA
例1.已知③。

的半径为3,A为线段PO的中点，则当OP=6时，点A与③。

的位置关系为()
A.点在圆内
B. 点在圆上
C. 点在圆外
D. 不能确定
2. O。

的半径为6, O。

的一条弦AB长为3 J3,以3为半径的同心圆与直线AB的位置关系是()
A.相离
B. 相切
C.相交
D.不能确定
3.如图所示,O。

的外形梯形ABCM，如果AD// BC,那么Z DOC勺度数为()
A.70 °
B.90 °
C.60 °
D.45
4. 如图所示,PA与PB分别切O。

于A、B两点,C是AB上任意一点，过C作③O的切线，交PA及PB
于D、E两点，若PA=PB=5cm则^ PDE的周长是cm.
5、如图2,在平面直角坐标系xOy中，半径为2的③P的圆心P的坐标为(3,0)，将③P沿x轴
正方向平移，使O P与y轴相切，则平移的距离为
A . 1 B. 1 或5 C. 3 D. 5
6、如图，Rt△ ABC中，/ ABC=90。

，以AB为直径作半圆O O交AC与点D,点E为BC的中点，连接
DE .
(1) 求证：DE是半圆Q O的切线.
(2) 若/ BAC=30 °, DE=2，求AD 的长.
7. 如图，在△ ABO中，OA=OB , C是边AB的中点，以。

为圆心的圆过点C.
(1) 求证：AB与。

0相切；
(2) 若/ AOB=120 °, AB=4 -沔，求。

的面积.
8.如图所示，点I是^ ABC的内心，AI的延长线交边BC于点。

,交左ABC外接圆于点E.
(1)求证:IE=BE;(2) 若IE=4,AE=8,求DE的长.
1 C 9、已知点M N的坐标分别为(0, 1), (0, —1),点P是抛物线y -x2上的一个动4
点.
(1)求证：以点P为圆心，PM的半径的圆与直线y 1的相切；(2)设直线PM与抛
1 2
物线y —x2的另一个交点为点Q连接NP NQ求证：PNM QNM .
4
练习:
一、选择题.
L 翊图『在R T A ABC 中T ZACB=90-,AC^6M£3- 10*
E 是斜为AH_L的中殁'以AC直2作SO,设我姓
「「J的中点为F」!J点F与。

的位置关系是《) A,点P在色。

内
C点F全③O外
2如图，是的内切厕."FLF为二个句点.若
ZDEF=52\则NA的度数为］)
A. 76°& 68D C. 525IX?矿
3. (2015 ,南克)扣图和尸井是③。

的切线M 和H k切获.AC是小O
的直径，已知4(/・则/日LH的大小是f 4. (2014 -内江)如图，在RtiiABC 中，£ ACE 90'. ^C=4 JiC-fi.以斜边AH上的一点。

为瞄心所作的耳阚分别与ACjiC相切于点口、五测AD为〔A. 2. 5 B. L6 C L5
5. 《2015 •曹庆：如国.AL是①。

的切线-切点为J也.恶:汉J的肖役. AB
交包。

于点"球OD^^HAC
".则/im的大小为( )
上2014 -青岛；出图MB是®。

的宜径’BDtD分景是过③。

上点的切曜,且ZBDC- 11C\璋按AC, 则匕A的度数是二
do*
4
8、如图，直线l 与半径为4的。

相切于点A , P 是。

上的一个动点（不与点 PA=x, PB=y ，则（x — y ）的最大值是 2 .
9、已知△ ABC 内接于OO,过点A 作直线EF. （1）
如图① 所示，若AB 为。

的直径，要使EF 成为。

O 的切线，还需要添加的一个条
件是（至少说出两种）： / BAE=90 °或者 / EAC= / ABC .
（2）
如图②所示，如果AB 是不过圆心O 的弦，且/ CAE= / B,那么EF 是。

的切线 吗？试
证明你的判断.
四. 扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式
n R
1、扇形：（1）弧长公式：l --------------- ； （2）扇形面积公式:
180
— 比是圆的内接正n 边形边心距与它的半径之比cos 岑。

n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积 2、圆柱： （1）圆柱侧面展开图: S 表 S 侧 2S 底=2 rh 2 r 2 （2）圆柱的体积：V r 2h 2
1
3"锥侧面展开图（1） S 表S 侧S 底=Rr 「⑵圆锥的体积：V 3 4、正多边形的其它性质 （1）正多边形都是轴对称图形，一个正
n 边形共有n 条对称轴，每条对称轴都通过正 对称图形，它的中心就是对称中心。

（2）边数相同的正多边形相似。

r 2h
n 边形的中心，边数为偶数的正多边形还是中心 5、正多边形的有关计算 正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半
径叫做正多边形的边心距，正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做正多边形的中心角。

正n 边形的有关计算公式 1人击存 （n 2）1800 （1）每个内角 ----- ----- 180° 3600 ---- ；每个外角 n （2）正n 边形边长a 2R . 1800 —
sin ------ ，内切圆半径r R
n
_____ 1 （3）正n 边形面积S
3600 n cos 18。

0
， 正n 边形周长 n a cos n -2 .180 1800
nR sin --------- cos -------
n n 180° 这样，同一个正n 边形的内切圆和外接圆的相似比
1800
A 重合），过点P 作P
B 「，垂足为B,连接PA.设
n R 2 360
1 —lR 2
注意：①同一个圆的内接正 n 边形和外切正
8cm 、圆心角为120°的扇形，则此圆锥底面圆的半径为(
16 —cm
3
例2、已知圆的半径是2焰,则该圆的内接正六边形的面积是(
(A) 3.3 (B) 9.3 (Q 18.3 (。

36 3
"在长方形ABCD 中刀.如图所术戳出一南形ABE .将房形03成一个
KAE 患合、剧此Ml 锥的底血㈣半径为
A,4
B. K 。

4媛 改8
4、如图，O 。

是正五边形 ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为 a,半径为R,
r,则下列关系式错误的是( )
一 A. R 2- r 2=a 2 B . a=2Rsin36 ° C. a=2rtan36° D. r=Rcos36 °
5、如图，O O 的直径AB 的长为10,弦AC 的长为5, Z ACB 的平分线交O 。

于点D. (1) 求弧BC 的长; (2) 求弦BD 的长.
6. 三角形的内心、外心、重心、垂心
(1) 三角形的内心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用
“ I ”表示.
(2) 三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，
它是三角形外接圆的圆心， 锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜
边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用 O 表示.
(3) 三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的 2倍，通常用G 表示.
(4) 垂心：是三角形三边高线的交点.
例1、 ABC 中，AB=AC=10 BC=12,贝U ABC 的外接圆半径是 ^
外切圆半径为
7. 辅助线总结 圆中常见的辅助线
1 ).作半径，利用同圆或等圆的半径相等.
2) .作弦心距，利用垂径定理进行证明或计算，或利用“圆心、弧、弦、弦心距”间的关系进行证明. 3) .作半径和弦心距，构造由“半径、半弦和弦心距”组成的直角三角形进行计算. 4) .作弦构造同弧或等弧所对的圆周角.
5) .作弦、直径等构造直径所对的圆周角一一直角. 6) .遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角. 7) .遇到切线，作过切点的半径，构造直角. 8) .欲证直线为圆的切线时，分两种情况：
(1)若知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直； (2)不知道直线和
圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径. 9) .遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点.
10) .遇到三角形的内心，常作：(1)内心到三边的垂线；(2)连结内心和三角形的顶点. 11) .遇相交两圆，常作：(1)公共弦；(2)连心线.
B. 例1、一个圆锥的侧面展开图是半径为。