一元一次方程基础知识详解
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一元一次方程
目录
一、方程的意义
二、一元一次方程的解法
三、实际问题与一元一次方程(一)
四、实际问题与一元一次方程(二)
五、《一元一次方程》全章复习与巩固
一、方程的意义基础知识讲解
【学习目标】
1.正确理解方程的概念,并掌握方程、等式及算式的区别与联系;
2.正确理解一元一次方程的概念,并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解;
3.理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1.定义:含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释:
判断一个式子是不是方程,只需看两点:一.是等式;二.是含有未知数.
2.方程的解:使方程左右两边的值相等的未知数的值,叫做方程的解.
要点诠释:
判断一个数(或一组数)是否是某方程的解,只需看两点:①.它(或它们)是方程中未知数的值;
②将它(或它们)分别代入方程的左边和右边,若左边等于右边,则它们是方程的解,否则不是.
3.解方程:求方程的解的过程叫做解方程.
4.方程的两个特征:(1).方程是等式;(2).方程中必须含有字母(或未知数).
要点二、一元一次方程的有关概念
定义:只含有一个未知数(元),并且未知数的次数都是1,这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释:“元”是指未知数,“次”是指未知数的次数,一元一次方程满足条件:
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数.
要点三、等式的性质
1.等式的概念:用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2.等式的性质:
等式的性质1:等式两边加(或减)同一个数(或式子),结果仍相等.即:
如果,那么(c为一个数或一个式子).
等式的性质2:等式两边乘同一个数,或除以同一个不为0的数,结果仍相等.即:
如果
,那么
;如果,那么.
要点诠释:
(1)根据等式的两条性质,对等式进行变形,等式两边必须同时进行完全相同的变形;(2)等式性质1中,强调的是整式,如果在等式两边同加的不是整式,那么变形后的等式不一定成立,
如x=0
中,两边加上得
x+,这个等式不成立;
(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时,这个除数不能为零.
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二、一元一次方程的解法基础知识讲解
【要点梳理】
要点一、解一元一次方程的一般步骤
变形名称具体做法注意事项
去分母在方程两边都乘以各分母的最小公倍
数
(1)不要漏乘不含分母的项
(2)分子是一个整体的,去分母后应加
上括号
去括号先去小括号,再去中括号,最后去大括
号
(1)不要漏乘括号里的项
(2)不要弄错符号
移项把含有未知数的项都移到方程的一边,
其他项都移到方程的另一边(记住移项
(1)移项要变号
(2)不要丢项
要变号)
合并同类
项
把方程化成ax=b(a≠0)的形式字母及其指数不变系数化成
1在方程两边都除以未知数的系数a,得到方程的解b x a =.不要把分子、分母写颠倒
要点诠释:
(1)解方程时,表中有些变形步骤可能用不到,而且也不一定要按照自上而下的顺序,有些步骤可以合并简化.
(2)去括号一般按由内向外的顺序进行,也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行.
(3)当方程中含有小数或分数形式的分母时,一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去分母,注意去分母的依据是等式的性质,而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆.要点二、解特殊的一元一次方程
1.含绝对值的一元一次方程
解此类方程关键要把绝对值化去,使之成为一般的一元一次方程,化去绝对值的依据是绝对值的意义.
要点诠释:此类问题一般先把方程化为ax b c +=的形式,再分类讨论:
(1)当0c <时,无解;(2)当0c =时,原方程化为:0ax b +=;(3)当0c >时,原方程可化为:ax b c +=或ax b c +=-.
2.含字母的一元一次方程
此类方程一般先化为最简形式ax=b,再分三种情况分类讨论:
(1)当a≠0时,b x a
=
;(2)当a=0,b=0时,x 为任意有理数;(3)当a=0,b≠0时,方程无解.三、实际问题与一元一次方程(一)基础知识讲解
【要点梳理】
知识点一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤
列方程解应用题的基本思路为:问题−−−
→分析抽象方程−−−→求解检验
解答.由此可得解决此类题的一般步骤为:审、设、列、解、检验、答.
要点诠释:
(1)“审”是指读懂题目,弄清题意,明确哪些是已知量,哪些是未知量,以及它们之间的关系,寻找等量关系;
(2)“设”就是设未知数,一般求什么就设什么为x ,但有时也可以间接设未知数;
(3)“列”就是列方程,即列代数式表示相等关系中的各个量,列出方程,同时注意方程两边是同一类量,单位要统一;
(4)“解”就是解方程,求出未知数的值;
(5)“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义,当有不符合的解时,及时指出,舍去即可;
(6)“答”就是写出答案,注意单位要写清楚.知识点二、常见列方程解应用题的几种类型