2019年北京大学数学科学院直博生考试题
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
3x (x2 − 1) x4 − 4x2 + 1 1 + x4 dx 1 + x6
∫
1
3. (本题 20 分) 试参照积分第二中值定理的表述，给出第一类曲线积分的积分第二中值定理 (注 意条件和结论表述的精准性)，并给出相应的证明。 4. (本题 20 分) 设 f (x) 和 g (x) 皆为整个实数轴上的连续函数，其中 g (x) 以 T > 0 为周期。证 明: 函数方程 f (f (x)) = −x3 + g (x) 不可能有连续解。 5. (本题 20 分) 设 D 是单位圆盘，在 D 内，有 u = ∆u, u|∂D = 0。证明: u ≡ 0。 6. (本题 15 分) 若 a0 , a1 , a2 ∈ Q，使得下面矩阵的行列式为零 a0 a1 a2 a2 a0 + a1 a1 + a2 a1 a2 a0 + a1 证明: a0 = a1 = a2 = 0。 7. (本题 25 分) 设实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 2 − 4x2 x3 。 (a) 将 f 写成 xT Ax 的形式, 求实对称矩阵 A 的特征向量与特征值。(5 分) (b) 求正交矩阵 P 及对角矩阵 D，使得 A = P DP T ; 作正交替换将 f 化为标准型。(10 分) (c) 求二次型 f (x) = xT Ax 在单位球面 ∥x∥ = 1 上取到的最大值，并确定在何处取到最大值。 (10 分) 1
(a) 写出该环面的一个参数方程。(10 分) (b) 判断该正等轴测投影图的外圈轮廓线是否是示意图所在纸面上的一个椭圆，并证明你的 结论。(20 分)
2 8. (本题 20 分) 设矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数皆为 n。证明: rank(A) + rank(B ) = rank(AB ) + n 当且仅当 A 解空间 {x : Ax = 0} 为 B 列空间的子空间。 9. (本题 10 分) 若 A ∈ Mn (C) 是 n 阶幂零矩阵，定义线性变换 TA : Mn (C) → Mn (C);
北京大学数学科学院 2019 直博生摸底试题
编辑: 胡不归 2019 年 4 月 6 日
1. (本题 20 分) 设 a > 0,
a1 = a,
a 2 = aa ,
a3 = aa , . . . , an+1 = aan
n
(n = 1, 2, 3, . . . ). 记
S = {a : 数列{an }极限存在}. 求证: (a) 集合 S 有上界。(1 分) (b) 求 sup S 的值。(19 分) 2. (本题 20 分) (a) 求下面函数的导数 dy ，其中， dx y = arctan (b) 计算下面定积分的值。 I=
2
B → AB − BA;
∀B ∈ Mn (C)
若矩阵 B 满足条件 (TA ) B = 0，证明: 矩阵 AB 为幂零矩阵。 10. (本题 30 分) 在三维空间中取定一个右手坐标系， 然后把 y = 0 平面里的圆周 (x − 2)2 + z 2 = 1 绕 z 轴旋转，得到一个环面 T 。其正等轴测投影如下图所示。
3x (x2 − 1) x4 − 4x2 + 1 1 + x4 dx 1 + x6
∫
1
3. (本题 20 分) 试参照积分第二中值定理的表述，给出第一类曲线积分的积分第二中值定理 (注 意条件和结论表述的精准性)，并给出相应的证明。 4. (本题 20 分) 设 f (x) 和 g (x) 皆为整个实数轴上的连续函数，其中 g (x) 以 T > 0 为周期。证 明: 函数方程 f (f (x)) = −x3 + g (x) 不可能有连续解。 5. (本题 20 分) 设 D 是单位圆盘，在 D 内，有 u = ∆u, u|∂D = 0。证明: u ≡ 0。 6. (本题 15 分) 若 a0 , a1 , a2 ∈ Q，使得下面矩阵的行列式为零 a0 a1 a2 a2 a0 + a1 a1 + a2 a1 a2 a0 + a1 证明: a0 = a1 = a2 = 0。 7. (本题 25 分) 设实二次型 f (x1 , x2 , x3 ) = 4x1 x2 − 2x1 x3 + 3x2 2 − 4x2 x3 。 (a) 将 f 写成 xT Ax 的形式, 求实对称矩阵 A 的特征向量与特征值。(5 分) (b) 求正交矩阵 P 及对角矩阵 D，使得 A = P DP T ; 作正交替换将 f 化为标准型。(10 分) (c) 求二次型 f (x) = xT Ax 在单位球面 ∥x∥ = 1 上取到的最大值，并确定在何处取到最大值。 (10 分) 1
(a) 写出该环面的一个参数方程。(10 分) (b) 判断该正等轴测投影图的外圈轮廓线是否是示意图所在纸面上的一个椭圆，并证明你的 结论。(20 分)
2 8. (本题 20 分) 设矩阵 A 的列数与矩阵 B 的行数皆为 n。证明: rank(A) + rank(B ) = rank(AB ) + n 当且仅当 A 解空间 {x : Ax = 0} 为 B 列空间的子空间。 9. (本题 10 分) 若 A ∈ Mn (C) 是 n 阶幂零矩阵，定义线性变换 TA : Mn (C) → Mn (C);
北京大学数学科学院 2019 直博生摸底试题
编辑: 胡不归 2019 年 4 月 6 日
1. (本题 20 分) 设 a > 0,
a1 = a,
a 2 = aa ,
a3 = aa , . . . , an+1 = aan
n
(n = 1, 2, 3, . . . ). 记
S = {a : 数列{an }极限存在}. 求证: (a) 集合 S 有上界。(1 分) (b) 求 sup S 的值。(19 分) 2. (本题 20 分) (a) 求下面函数的导数 dy ，其中， dx y = arctan (b) 计算下面定积分的值。 I=
2
B → AB − BA;
∀B ∈ Mn (C)
若矩阵 B 满足条件 (TA ) B = 0，证明: 矩阵 AB 为幂零矩阵。 10. (本题 30 分) 在三维空间中取定一个右手坐标系， 然后把 y = 0 平面里的圆周 (x − 2)2 + z 2 = 1 绕 z 轴旋转，得到一个环面 T 。其正等轴测投影如下图所示。