高一数学直线与圆期末复习练习题

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直线与圆练习题(附答案)

直线与圆一、填空题1.若函数1()ax f x e b=-的图象在x =0处的切线l 与圆C:221x y +=相离，则P(a ，b)与圆C 的位置关系是2.实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥≥001y x y x ，则W=x y 1-的取值范围是_____________.3.已知x ，y 满足⎪⎩⎪⎨⎧≤++≤+≥041c by ax y x x 且目标函数y x z +=2的最大值为7，最小值为１，则=++a c b a_____________.4.已知点A （3,2），B （-2,7），若直线y=ax-3与线段AB 的交点P 分有向线段AB 的比为4:1，则a 的值为5.设E 为平面上以 (4,1),(1,6),(3,2)A B C ---为顶点的三角形区域(包括边界 )，则Z ＝4x －3y 的最大值和最小值分别为_____________.6.实数y x z y x y x y x y x -=⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤-+则满足条件,0,0,022,04,的最大值为_____________.7.由直线1y x =+上的点向圆22(3)(2)1x y -++= 引切线，则切线长的最小值为_____________. 8.圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，则较短弧长与较长弧长之比为_____________.9.设定点A （0，1），动点(),P x y 的坐标满足条件0,,x y x ≥⎧⎨≤⎩则PA 的最小值是_____________.10.直线2)1(0122=+-=++y x y x 与圆的位置关系是_____________.11.设实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤+013y y x y x ，则目标函数y x z +=2的最大值为 _____________.12.直线()23--=x y 截圆422=+y x 所得的劣弧所对的圆心角为_____________.13.已知点()y x P ,在不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≤-≤-0220102y x y x 表示的平面区域内运动，则y x z -=的取值范围是_____________. /的值是_____________.二、解答题：1.求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系．2. 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？3.已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线．4.求半径为4，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程5. 已知圆0622=+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OQ OP ⊥，求实数m 的值．6. 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与0222222=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程参考答案1．在圆内2.[－1,1)3.-24.-95.14 ，－186.47.8.1∶39.根号2/2 10.相切 11.612.π/3 13.[]2,1-14.2或-2设圆的标准方程为222)()(rb y a x =-+-．∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(ry a x =+-．又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-22224)3(16)1(r a r a解之得：1-=a ，202=r ．所以所求圆的方程为20)1(22=++y x ．16.符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为043=++m y x ，则1431122=++=m d ，∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即6431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：．设圆9)3()3(221=-+-y x O ：的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34363433221=+-⨯+⨯=d ，143163433222=+-⨯+⨯=d ．∴1l与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个．17.∵点()42，P 不在圆O 上，∴切线PT 的直线方程可设为()42+-=x k y根据r d =∴21422=++-kk解得43=k所以()4243+-=x y即 01043=+-y x因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在．易求另一条切线为2=x ．4.则题意，设所求圆的方程为圆222)()(rb y a x C =-+-：．圆C 与直线0=y 相切，且半径为4，则圆心C 的坐标为)4,(1a C 或)4,(2-a C ．又已知圆42422=---+y x y x 的圆心A 的坐标为)1,2(，半径为3．若两圆相切，则734=+=CA 或134=-=CA ．(1)当)4,(1a C 时，2227)14()2(=-+-a ，或2221)14()2(=-+-a (无解)，故可得1022±=a ．∴所求圆方程为2224)4()1022(=-+--y x ，或2224)4()1022(=-++-y x ．(2)当)4,(2-a C 时，2227)14()2(=--+-a ，或2221)14()2(=--+-a (无解)，故622±=a ．∴所求圆的方程为2224)4()622(=++--y x ，或2224)4()622(=+++-y x5.由直线方程可得y x 23+=，代入圆的方程0622=+-++m y x y x ，有)2(9)6)(2(31222=++-+++y x m y x y x y x ，整理，得0)274()3(4)12(22=-+-++y m xy m x m ．由于0≠x ，故可得12)3(4))(274(2=++-+-m x ym x y m ．∴OPk ，OQk 是上述方程两根．故1-=⋅OQ OP k k ．得127412-=-+m m ，解得3=m ．经检验可知3=m 为所求．6.设两圆1C 、2C 的任一交点坐标为),(00y x ，则有：101012020=++++F y E x D y x ① 0202022020=++++F y E x D y x ②①－②得：)()(21021021=-+-+-F F y E E x D D ．∵A 、B 的坐标满足方程0)()(212121=-+-+-F F y E E x D D ．∴方程)()(212121=-+-+-F F y E E x D D 是过A 、B 两点的直线方程．又过A 、B 两点的直线是唯一的． ∴两圆1C 、2C 的公共弦AB 所在直线的方程为)()(212121=-+-+-F F y E E x D D。

2019-2020高一期末下学期直线与圆综合专题复习

直线与圆综合专题复习一．点圆，线圆，圆圆位置关系1.过点(2,0)有两条直线与圆222210x y x y m +-+++=相切，m 的取值范围2.直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是3.已知A (－1,0)，B (0,1)，则满足P A 2－PB 2＝4且在圆x 2＋y 2＝4上的点P 的个数为________4.已知点A(2，3)，B(6，－3)，点P 在直线3x －4y ＋3＝0上，若满足等式AP →·BP →＋2λ＝0的点P 有两个，则λ的范围是5.若直线l ：x ＋y ＝m 与曲线C ：y ＝1－x 2有且只有两个公共点，则m 的取值范围是6.圆x 2－4x ＋y 2＝0与圆x 2＋y 2＋4x ＋3＝0的公切线共有条7.A 为(0，2)，圆C ：(x －a)2＋(y －a ＋2)2＝1上存在点M 满足MA 2＋MO 2＝10，则实数a 的取值范围是8.已知点A (0，－2)，点B (1，－1)，P 为圆x 2＋y 2＝2上一动点，则|PB ||P A |的最大值是9.直线120l mx y ++=：与直线220l x my --=：的交点在圆22:()[(21)]2C x t y t -+--=上，则实数t 的取值范围是10.设集合A ＝{(x ，y )|m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|2m ≤x ＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R}，若A ∩B ≠∅，则实数m 的取值范围是___________．二．相切问题1.圆x 2＋y 2－4x ＝0在点P (1，3)处的切线方程为2.过点P (1，0)作圆C ： (x －4)2＋(y －2)2＝9的两条切线，切点分别为A 、B ，则切线方程为；直线AB 的方程为切线长P A 为；APB S ∆= ，AB= ，APB ∠cos = ，AP →·BP →= 3. 过直线x 4＋y2＝1上一动点P 向圆O ：x 2＋y 2＝1引两条切线P A ，PB ，A ，B 为切点，则四边形PAOB 面积的最小值为，弦AB 中点M ),(y x 的轨迹方程为，直线AB 经过定点，PAB ∆外接圆经过定点 4.已知半径为r 的圆C 的圆心坐标是(0，m )，直线2x －y ＋3＝0与圆相切于点A (－2，－1)，则m ＝，r ＝ .5.经过点A (4，－1)，且与圆：x 2＋y 2＋2x －6y ＋5＝0相切于点B (1，2)的圆的方程为6.圆()()221:29C x m y -++=与圆()()222:14C x y m ++-=相切，则m 的值为______三．相交问题1.过点P(2,3)的直线l 与圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＝0交于A ，B 两点，（1）若弦长AB 为4，则直线l 的方程为（2）若53cos -=∠ACB ，则直线l 的方程为（3）若3-=⋅，则直线l 的方程为（4）若ABC ∆面积达到最大值时，直线l 的方程为（5）使得弦长AB 为整数的直线l 的条数为（6）若过点P 的最长弦和最短弦分别是AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（7）弦AB 中点M ),(y x 的轨迹方程为（8）若3=，则直线l 的方程为2.（1）圆x 2＋y 2＝4与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦所在直线方程为（2）若圆224x y +=与圆()222600x y ay a ++-=>的公共弦长为a =______（3）两圆交于两点（1,3）和（m ，-1），两圆圆心在直线x -y+c=0上，则m+c= （4）圆O 1的方程为x 2＋(y ＋1)2＝4，圆O 2的圆心坐标为(2,1)．若圆O 1与圆O 2相交于A ，B 两点，且|AB |＝22，求圆O 2的方程为四．综合应用问题1.已知点P (2,2)，圆C ：x 2＋y 2－8y ＝0，过点P 的动直线l 与圆C 交于A ，B 点，线段AB 的中点为D ，O 为坐标原点． (1)若AB=34，求直线l 方程； (2)求D 的轨迹方程；(3)当OP ＝OD 时，求l 的方程及△POD 的面积;(4)在y 轴上是否存在不同的两点M 、N ，使得圆C 上任意一点Q （x ，y ），满足3222=+QN QM ,若存在，求出M,N 的坐标.2.已知直线l ：y ＝2x －4，设圆C 的半径为2，圆心在l 上．(1) 若圆心C 也在直线y ＝-x －4上,过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围；(3) 过点M (0,-3)的直线与圆C 交于A ，B 两点，问在y 轴上是否存在定点N ，使得y 轴平分∠ANB ？若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．3.已知圆22:4O x y +=，点P 坐标为(1,0)．（1）如图1，斜率存在且过点P 的直线l 与圆交于,A B 两点．①若3OA OB ⋅=-u u u r u u u r ，求直线l 的斜率；②若2AP PB =u u u r u u u r，求直线l 的斜率．（2）如图2，,M N 为圆O 上两个动点，且满足0PM PN ⋅=u u u u r u u u r，Q为MN 中点，求OQ 的最小值．（3）过点C （-2,0）作两直线CE 、CF 分别交圆O 于E,F ，且两直线的斜率之积为-2，求证直线EF 过定点.四．巩固训练1.过点()3,1M 的圆22(1)(2)4C x y ：－＋－＝的切线方程为2.过点(3,1)作圆(x －1)2＋y 2＝r 2的切线有且只有一条，则该切线的方程为3.已知直线l ：x +ay -1=0（a ∈R ）是圆C ：224210x y x y +--+=对称轴.过点A （-4，a ）作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |= 4.一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为5.已知圆C ：x 2＋(y －3)2＝2，点A 是x 轴上的一个动点，AP ，AQ 分别切圆C 于P ，Q 两点，则线段PQ 的长的取值范围是________6.已知直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a )2＝4相交于A ，B 两点，且△ABC 为等边三角形，则实数a ＝________7.已知直线l ：kx －y －k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2－2y －7＝0相交于A ，B 两点，则|AB |的最小值为8.过点(2，0)作直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于__________9.已知直线x －y ＋a ＝0与圆心为C 的圆x 2＋y 2＋2x －4y －4＝0相交于A ，B 两点，且AC ⊥BC ，则实数a 的值为________10.已知圆O ：x 2＋y 2＝1，圆M ：(x －a)2＋(y －a ＋4)2＝1，若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为A ，B ，使得∠APB ＝60°，则a 的取值范围为11.点(10)(40)A B ，，，．若直线0x y m -+=上存在点P 使得 12PA PB =，则实数m 的取值范围是12.过圆x 2＋y 2＝4内一点P (1,1)作两条相互垂直的弦AC ，BD ，当AC ＝BD 时，四边形ABCD 的面积为________13.已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12，过A ，B 分别作l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点．若|AB |＝23，则|CD |＝ .14.已知点P (3,0)在圆C ：x 2＋y 2－2mx －4y ＋m 2－28＝0内，过点P 的直线交圆C 于A ，B 两点，若△ABC 的面积的最大值为16，则实数m 的取值范围为________15.已知ABC ∆的顶点分别为(1,3),(2,0),(2,0)A B C -，圆1C 为ABC ∆的外接圆． *（1）求圆1C 的方程；**（2）设圆222:()[(5)]1C x m y m -+--=上存在点P ，满足过点P 向圆1C 作两条切线PA ，PB ，切点为A ，B ，四边形1PAC B 的面积为10，求实数m 的取值范围．16. 已知以点A (－1，2)为圆心的圆与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切．过点B (－2，0)的动直线与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P ． *(1)求圆A 的方程；*(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；** (3)BQ →·BP →是否为定值？如果是，求出其定值；如果不是，请说明理由．17.已知圆2C 过点1(,3)2M ，且与圆2219:()102C x y -+=外切于点3(,1)2N*（1）求圆2C 的方程；*（2）直线l 过点P ），（1-23，且被圆1C 截得的弦长为2，求直线l 的方程 **（3）设斜率为2的直线l 分别交x 轴负半轴和y 轴正半轴于A ，B 两点，交圆2C 在第二象限的部分于E ，F 两点，且AE FB =． ①求直线l 的方程；②点P 是圆1C 上的动点，求PEF ∆的面积的最大值．18.过点(0,1)P 且互相垂直的两条直线分别与圆22:4O x y +=交于点,A B ，与圆22:(2)(1)1M x y -+-=交于点,C D ．（1）若AB ，求CD 的长；（2）若CD 中点为E ，求ABE ∆面积的取值范围．。

高考数学复习专题训练—直线与圆(含答案及解析)

高考数学复习专题训练—直线与圆一、单项选择题1.(2021·全国甲,文5)点(3,0)到双曲线x 216−y29=1的一条渐近线的距离为()A.95B.85C.65D.452.(2021·湖南湘潭模拟)已知半径为r(r>0)的圆被直线y=-2x和y=-2x+5所截得的弦长均为2,则r的值为()A.54B.√2C.32D.√33.(2021·北京清华附中月考)已知点P与点(3,4)的距离不大于1,则点P到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为()A.4B.5C.6D.74.(2021·江西鹰潭一中月考)已知点M,N分别在圆C1:(x-1)2+(y-2)2=9与圆C2:(x-2)2+(y-8)2=64上,则|MN|的最大值为()A.√7+11B.17C.√37+11D.155.(2021·湖北黄冈中学三模)已知直线l:mx+y+√3m-1=0与圆x2+y2=4交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|=2,则|CD|=()A.2B.4√33C.2√3D.46.(2021·重庆八中月考)已知圆C:x2+y2-4x-2y+1=0及直线l:y=kx-k+2(k∈R),设直线l与圆C相交所得的最长弦为MN,最短弦为PQ,则四边形PMQN的面积为()A.4√2B.2√2C.8D.8√27.(2021·山西临汾适应性训练)直线x+y+4=0分别与x轴、y轴交于A,B两点,点P在圆(x-4)2+y2=2上,则△ABP面积的取值范围是()A.[8,12]B.[8√2,12√2]C.[12,20]D.[12√2,20√2]8.(2021·山东青岛三模)已知直线l:3x+my+3=0,曲线C:x2+y2+4x+2my+5=0,则下列说法正确的是()A.“m>1”是曲线C表示圆的充要条件B.当m=3√3时,直线l与曲线C表示的圆相交所得的弦长为1C.“m=-3”是直线l与曲线C表示的圆相切的充分不必要条件D.当m=-2时,曲线C与圆x2+y2=1有两个公共点9.(2021·河北邢台模拟)已知圆M:(x-2)2+(y-1)2=1,圆N:(x+2)2+(y+1)2=1,则下列不是M,N 两圆公切线的直线方程为()A.y=0B.4x-3y=0C.x-2y+√5=0D.x+2y-√5=0二、多项选择题10.(2021·广东潮州二模)已知圆C:x2-2ax+y2+a2-1=0与圆D:x2+y2=4有且仅有两条公共切线,则实数a的取值可以是()A.-3B.3C.2D.-211.(2021·海南三亚模拟)已知圆O1:x2+y2-2x-3=0和圆O2:x2+y2-2y-1=0的交点为A,B,则()A.圆O1和圆O2有两条公切线B.直线AB的方程为x-y+1=0C.圆O2上存在两点P和Q,使得|PQ|>|AB|D.圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2三、填空题12.(2021·辽宁营口期末)若直线l1:y=kx+4与直线l2关于点M(1,2)对称,则当l2经过点N(0,-1)时,点M到直线l2的距离为.13.(2021·山东滨州检测)已知圆M:x2+y2-12x-14y+60=0,圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,则圆N的标准方程为.14.(2021·山东烟台二模)已知两条直线l1:y=2x+m,l2:y=2x+n与圆C:(x-1)2+(y-1)2=4交于A,B,C,D四点,且构成正方形ABCD,则|m-n|的值为.15.(2021·河北沧州模拟)已知圆C:x2+y2-4x+2my+1=0(m>0),直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,则k=,直线l与圆C的位置关系为.答案及解析1.A 解析由题意,双曲线的一条渐近线方程为y=34x ,即3x-4y=0,点(3,0)到该渐近线的距离为√32+(−4)2=95.故选A . 2.C 解析直线y=-2x 和y=-2x+5截圆所得弦长相等,且两直线平行,则圆心到两条直线的距离相等且为两条平行直线间距离的一半,故圆心到直线y=-2x 的距离d=12×√4+1=√52,2√r2-d 2=2√r 2-54=2,解得r=32.3.B 解析设点P (x ,y ),则(x-3)2+(y-4)2≤1,圆心(3,4)到3x+4y+5=0的距离为d=√32+42=6,则点P 到直线3x+4y+5=0的距离的最小值为6-1=5. 4.C 解析依题意,圆C 1:(x-1)2+(y-2)2=9,圆心C 1(1,2),半径r 1=3.圆C 2:(x-2)2+(y-8)2=64,圆心C 2(2,8),半径r 2=8, 故|MN|max =|C 1C 2|+r 1+r 2=√37+11.5.B 解析直线过定点(-√3,1),该点在圆上.圆半径为r=2,且|AB|=2,所以△OAB 是等边三角形,圆心O 到直线AB 的距离为√3,所以√3m-1|√1+m 2=√3,m=-√33,直线斜率为k=-m=√33,倾斜角为θ=π6, 所以|CD|=|AB|cosθ=2cosπ6=4√33. 6.A 解析将圆C 的方程整理为(x-2)2+(y-1)2=4,则圆心C (2,1),半径r=2.将直线l 的方程整理为y=k (x-1)+2,则直线l 恒过定点(1,2),且(1,2)在圆C 内. 最长弦MN 为过(1,2)的圆的直径,则|MN|=4,最短弦PQ 为过(1,2),且与最长弦MN 垂直的弦,∵k MN =2−11−2=-1,∴k PQ =1.直线PQ 方程为y-2=x-1,即x-y+1=0. 圆心C 到直线PQ 的距离为d=√2=√2,|PQ|=2√r 2-d 2=2√4−2=2√2.四边形PMQN 的面积S=12|MN|·|PQ|=12×4×2√2=4√2.7.C 解析直线x+y+4=0分别与x 轴、y 轴交于A ,B 两点,A (-4,0),B (0,-4),故|AB|=4√2.设圆心(4,0)到直线x+y+4=0的距离为d ,则d=√1+1=4√2.设点P 到直线x+y+4=0的距离为h ,故h max =d+r=4√2+√2=5√2,h min =d-r=4√2−√2=3√2,故h 的取值范围为[3√2,5√2],即△ABP 的高的取值范围是[3√2,5√2],又△ABP 的面积为12·|AB|·h ,所以△ABP 面积的取值范围为[12,20].8.C 解析对于A,曲线C :x 2+y 2+4x+2my+5=0整理为(x+2)2+(y+m )2=m 2-1,曲线C 要表示圆,则m 2-1>0,解得m<-1或m>1,所以“m>1”是曲线C 表示圆的充分不必要条件,故A 错误;对于B,m=3√3时,直线l :x+√3y+1=0,曲线C :(x+2)2+(y+3√3)2=26, 圆心到直线l 的距离d=√3×(−3√3)+1|√1+3=5,所以弦长=2√r 2-d 2=2√26−25=2,故B错误;对于C,若直线l 与圆相切,圆心到直线l 的距离d=2√9+m 2=√m 2-1,解得m=±3,所以“m=-3”是直线l 与曲线C 表示的圆相切的充分不必要条件,C 正确;对于D,当m=-2时,曲线C :(x+2)2+(y-2)2=3,其圆心坐标为(-2,2),r=√3,曲线C 与圆x 2+y 2=1两圆圆心距离为√(-2-0)2+(2−0)2=2√2>√3+1,故两圆相离,不会有两个公共点,D 错误.9.D 解析由题意,圆M :(x-2)2+(y-1)2=1的圆心坐标为M (2,1),半径为r 1=1,圆N :(x+2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为N (-2,-1),半径为r 2=1.如图所示,两圆相离,有四条公切线.两圆心坐标关于原点O 对称,则有两条切线过原点O , 设切线l :y=kx ,则圆心M 到直线l 的距离为√1+k 2=1,解得k=0或k=43.故此时切线方程为y=0或4x-3y=0.另两条切线与直线MN 平行且相距为1,又由l MN :y=12x , 设切线l':y=12x+b ,则√1+14=1,解得b=±√52, 此时切线方程为x-2y+√5=0或x-2y-√5=0. 结合选项,可得D 不正确.10.CD 解析圆C 方程可化为(x-a )2+y 2=1,则圆心C (a ,0),半径r 1=1;由圆D 方程知圆心D (0,0),半径r 2=2.因为圆C 与圆D 有且仅有两条公切线,所以两圆相交.又两圆圆心距d=|a|,有2-1<|a|<2+1,即1<|a|<3,解得-3<a<-1或1<a<3.观察4个选项,可知C,D两项中的a的取值满足题意.11.ABD解析对于A,因为两个圆相交,所以有两条公切线,故A正确;对于B,将两圆方程作差可得-2x+2y-2=0,即得公共弦AB的方程为x-y+1=0,故B正确;对于C,直线AB经过圆O2的圆心(0,1),所以线段AB是圆O2的直径,故圆O2中不存在比AB长的弦,故C错误;对于D,圆O1的圆心坐标为(1,0),半径为2,圆心到直线AB:x-y+1=0的距离为√2=√2,所以圆O1上的点到直线AB的最大距离为2+√2,D正确.12.√5解析因为直线l1:y=kx+4恒过定点P(0,4),所以P(0,4)关于点M(1,2)对称,所以P(0,4)关于点M(1,2)的对称点为(2,0),此时(2,0)和N(0,-1)都在直线l2上,可得直线l2的方程y-0-1-0=x-20−2,即x-2y-2=0,所以点M到直线l2的距离为d=√1+4=√5.13.(x-6)2+(y-1)2=1解析圆的标准方程为(x-6)2+(y-7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5.由圆心N在直线x=6上,可设N(6,y0).因为圆N与x轴相切,与圆M外切,于是圆N的半径为y0,从而7-y0=5+y0,解得y0=1.因此,圆N的标准方程为(x-6)2+(y-1)2=1.14.2√10解析由题设知:l1∥l2,要使A,B,C,D四点构成正方形ABCD,正方形的边长等于.直线l1,l2之间的距离d,则d=√5若圆的半径为r,由正方形的性质知d=√2r=2√2,故=2√2,即有|m-n|=2√10.√515.√3相离解析x2+y2-4x+2my+1=0,即(x-2)2+(y+m)2=m2+3,圆心C(2,-m),半径r=√m2+3,)=-1,解得k=√3.因为直线l:y=kx+m与直线x+√3y+1=0垂直,所以k·√3=√3+m.直线l:y=√3x+m.因为m>0,所以圆心到直线l的距离d=√3+m+m|√3+1因为d2=m2+2√3m+3>m2+3=r2,所以d>r.所以直线l与圆C的位置关系是相离.。

高一数学期末试题分类汇编直线与圆Word版含解析

高一数学期末试题分类汇编直线与圆Word版(含解析)（河北省武邑中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）8.若直线与直线互相垂直,则等于( )A. 1B. -1C. ±1D. -2【答案】C分类讨论：两条直线的斜率存在与不存在两种情况，再利用相互垂直的直线斜率之间的关系即可．【详解】解：①当时，利用直线的方程分别化为：，，此时两条直线相互垂直．②如果，两条直线的方程分别为与，不垂直，故；③，当时，此两条直线的斜率分别为，．两条直线相互垂直，，化为，综上可知：．故选：．【点睛】本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、分类讨论思想方法，属于基础题．（河北省武邑中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）10.已知实数满足,那么的最小值为( )A. B. C. D.【答案】A表示直线上的点到原点的距离，利用点到直线的距离公式求得最小值.【详解】依题意可知表示直线上的点到原点的距离，故原点到直线的距离为最小值，即最小值为，故选A.【点睛】本小题主要考查点到直线的距离公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.（河北省武邑中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）15.已知圆心为（1,1），经过点（4,5），则圆的标准方程为_____________________.【答案】设出圆的标准方程，代入点的坐标，求出半径，求出圆的标准方程．【详解】设圆的标准方程为（x-1）2+（y-1）2=R2，由圆经过点（4,5）得R2=25，从而所求方程为（x-1）2+（y-1）2=25，故答案为：（x-1）2+（y-1）2=25．【点睛】本题主要考查圆的标准方程，利用了待定系数法，关键是确定圆的半径．（河北省武邑中学2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题）16.两圆x2+y2+6x-4y+9=0和x2+y2-6x+12y-19=0的位置关系是___________________.【答案】外切先把两个圆的方程变为标准方程，分别得到圆心坐标和半径，然后利用两点间的距离公式求出两个圆心之间的距离与半径比较大小来判别得到这两个圆的位置关系．【详解】由x2+y2+6x-4y+9=0得：（x+3）2+（y-2）2=4，圆心O（-3，2），半径为r=2；由x2+y2-6x+12y-19=0得：（x-3）2+（y+6）2=64，圆心P（3，-6），半径为R=8．则两个圆心的距离，所以两圆的位置关系是：外切．即答案为外切【点睛】本题考查学生会利用两点间的距离公式求两点的距离，会根据两个圆心之间的距离与半径相加相减的大小比较得到圆与圆的位置关系．（河南省商丘市九校2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题）3.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】D利用直线的倾斜角与斜率的关系即可得出．【详解】设直线x y﹣1＝0的倾斜角为α．直线x y﹣1＝0化为．∴tanα．∵α∈[0°，180°），∴α＝150°．故选：D．【点睛】本题考查了直线的倾斜角与斜率的关系，属于基础题．（河南省商丘市九校2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题）6.过点且垂直于直线的直线方程为（）A. B. C. D.【答案】B设过点（1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+5＝0的直线方程为2x+y+c＝0，把（1，﹣3）代入，能求出结果．【详解】设过点（1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+5＝0的直线方程为：2x+y+c＝0，把（1，﹣3）代入，得：2﹣3+c＝0，解得c＝1．∴过点（1，﹣3）且垂直于直线x﹣2y+5＝0的直线方程为2x+y+1＝0．故选：B．【点睛】本题考查满足条件的直线方程的求法，考查直线与直线垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．（河南省商丘市九校2018-2019学年高一上学期期末联考数学试题）8.若直线过圆的圆心，则的值为（）A. -1B. 1C. 3D. -3【答案】B分析：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2）代入直线3x+y+a=0，解方程求得a的值．解答：圆x2+y2+2x-4y=0的圆心为（-1，2），代入直线3x+y+a=0得：-3+2+a=0，∴a=1，故选C。

高一数学必修二直线与圆练习题

一、选择题1．若直线x ＝1的倾斜角为α，则α( )A ．等于0B ．等于4πC ．等于2πD ．不存在2．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( )A ．1B ．3C ．2D ．53．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是( )A ．x ＋y ＋1＝0B ．x ＋y －1＝0C ．x －y ＋1＝0D ．x －y －1＝0 ?4．圆x 2＋y 2－2x ＝0和x 2＋y 2＋4y ＝0的位置关系是( )A ．相交B ．外切C ．相离D ．内切5．若过点A (4，0)的直线l 与曲线(x －2)2＋y 2＝1有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A ．]3,3[-B ．)3,3(-C ．]33,33[-D ．)33,33(- 6．曲线0222222=-++y x y x 关于( )A ．直线2=x 轴对称B ．直线y ＝－x 轴对称C ．点)2,2(-中心对称D ．点)0,2(-中心对称 7．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x －3y ＝0和x 轴相切，则该圆的标准方程是( ),A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1B ．1)37()3(22=-+-y x C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．1)1()23(22=-+-y x8．设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且||||PB PA =，若直线PA 的方程为01=+-y x ，则直线PB 的方程是（）A ．05=-+y xB ．012=--y xC ．042=--y xD ．072=-+y x9．直线1y x =-上的点到圆C ：224240x y x y ++-+=的最近距离为（）A. 1 －1 －1100y m -+=与圆22220x y x +--=相切，则实数m 等于（）\A 或B ．C ．-D ．-11．若圆22680x y x y +--=的过点(3 5)，的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为（）A ．B ．C ．D ．12．若圆C 且与直线0x y -=和40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=，则圆C 的方程为A ．()22(1)12x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-= D ．()221(1)2x y +++= 二、填空题13．在空间直角坐标系中，点A (1，2，－3)关于yOz 平面对称的点坐标是____________. —14．圆心为(1，1)且与直线x ＋y ＝4相切的圆的方程是________________.15．若经过两点A (－1，0)、B (0，2)的直线l 与圆(x －1)2＋(y －a )2＝1相切，则a ＝________.16．已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到l 的距离的最小值为____________.三、解答题17．设直线l 过点A (－1，3)，且和直线3x ＋4y －12＝0平行．(1)求直线l 的方程；(2)若点B (a ，1)到直线l 的距离小于2，求实数a 的取值范围．-18．如图所示，已知两条直线l 1：x －3y ＋12＝0，l 2：3x ＋y －4＝0，过定点P （－1，2）作一条直线l ，分别与直线l 1、l 2 交于M 、N 两点，若点P 恰好是MN 的中点，求直线l 的方程．<19．已知直线0323:=-+y x l 与圆C ：x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点．(1)求|AB |；(2)求弦AB 所对圆心角的大小．#20．已知圆C ：()()x y -+-=122522，直线l ：()()21174m x m y m +++--＝0（m R ∈）．（1）证明：无论m 取什么实数，直线l 与圆C 恒交于两点；（2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时的方程．￥21．已知圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax .(I) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(Ⅱ) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.—,22．已知圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝2，P 点坐标为(2，－1)，过点P 作圆C 的切线，切点为A 、B ．（1）求直线PA 、PB 的方程；（2）求过P 点的圆的切线长；（3）求直线 AB 的方程．。

高中直线与圆练习题

高中直线与圆练习题一、选择题1. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = 2x + 1，圆C的方程为(x 1)² + (y + 2)² = 16，则直线l与圆C的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定2. 已知直线y = kx + b与圆(x 2)² + (y + 3)² = 1相交于A、B两点，若|AB| = 2，则k的值为：A. 0B. 1C. 2D. 33. 直线y = 3x 2与圆x² + y² = 9的位置关系是：A. 相离B. 相切C. 相交D. 无法确定二、填空题1. 已知直线l：2x 3y + 6 = 0，圆C：(x 1)² + (y + 2)² = 25，则直线l与圆C的交点坐标为______。

2. 圆(x 3)² + (y + 4)² = 16的圆心坐标为______，半径为______。

3. 若直线y = kx + 1与圆x² + y² = 4相交，则k的取值范围是______。

三、解答题1. 已知直线l：x + 2y 5 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 3)² = 16，求直线l与圆C的交点坐标。

2. 设直线l的方程为y = kx + b，圆C的方程为(x 1)² + (y +2)² = 9，若直线l与圆C相切，求k和b的值。

3. 已知直线l：y = 2x + 3，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 25，求直线l与圆C的公共弦长。

4. 在平面直角坐标系中，直线l的方程为y = kx + 1，圆C的方程为(x 3)² + (y + 4)² = 16，若直线l与圆C相交，求k的取值范围。

5. 已知直线l：2x y + 3 = 0，圆C：(x 2)² + (y + 1)² = 9，求直线l与圆C的交点坐标及弦心距。

高一数学下册《直线、圆的位置关系》同步练习题型归纳

高一数学下册《直线、圆的位置关系》同步练习题型归纳数学是一个要求大家严谨对待的科目，有时一不小心一个小小的小数点都会影响最后的结果。

下文就为直线、圆的位置关系同步练习，希望大家认真对待。

一、填空题(每小题3分，共24分)1.与直线L相切于已知点的圆的圆心的轨迹是______.2.在△ABC中，∠A=40°，∠B=80°，I是△ABC的内心，则∠AIB=______________，∠BIC=__________，∠CIA=___________ .3.已知直角三角形的两直角边长分别为5和12，则它的外接圆半径R=______，内切圆半径r=______.4.如图1，割线PAB、PCD分别交⊙O于AB和CD，若PC=2，CD=16，PA∶AB=1∶2，则AB=______.5.如图2，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点，设AB=12，则两圆构成圆环面积为______.图1 图2 图36.圆外切等腰梯形的底角是30°，中位线长为a，则圆半径长为______.7.PA、 PB是⊙O的切线，切点是A 、B，∠A PB=50°，过A作⊙O直径AC，连接CB，则∠P BC=__ ____.8.如图3，PE是⊙O的切线，E为切点，P AB、PCD是割线，AB=3 5，CD =50，AC∶DB=1∶2，则PA=______.二、选择题(每小题4分，共32分)9.直线L上的一点到圆心的距离等于⊙O的半径，则L与⊙O的位置关系是A.相离B.相切C.相交D.相切或相交10.圆的最大的弦长为1 2 cm，如果直线与圆相交，且直线与圆心的距离为 d，那么A.d C.d≥6 cm D.d>12 cm11.P是⊙O外一点，PA、 PB切⊙O于点A、B，Q是优弧AB上的一点，设∠APB=α，∠AQB=β ，则α与β的关系是A.α= βB.α+β=90°C.α+2β=1 80°D.2α+β=180°12.在⊙O中，弦AB和CD相交于点P，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方程为A._2+12_+ 28=0B._2-12_+28=0C._2-11_+12=0D._ 2+11_+12=013.如图4，AB是⊙O的直径，弦AC、BD相交于P，则CD∶AB等于A.sinBPC B .cosBPC C.tanBPC D.cotBPC图4 图5 图6 图714.如图5，点P为弦AB上一点，连结OP，过PC作PC⊥OP，PC交⊙O于C，若AP=4， PB=2，则PC的长是A. B.2 C.2 D.315.如图6，BC是⊙O直径，点A为CB延长线上一点，AP切⊙O于点P，若AP=12，AB∶BC=4∶5，则⊙O的半径等于A.4B.5C.6D.716.如图7，在⊙O中，P是直径AB上一动点，在AB同侧作AA′⊥AB，BB′⊥AB，且AA′=AP，BB′=BP，连结A′B′，过点P从点A移到点B时，A′B′的中点的位置A.在平分AB的某直线上移动B.在垂直AB的某直线上移动C.在弧AMB上移动D.保持固定不移动三、解答题(共44分)17.如图8，已知AB是⊙O的直径，AC切圆O于A，CB交圆O于D，AC=2 ，CD=3，求tanB的值.(10分)图818.如图9，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，且BD=OB，点 C在⊙O上，∠CAB=30°，求证：DC是⊙O的切线.(10分)图919.如图10，BC是⊙O的直径，A是弦BD 延长线上一点，切线DE平分AC于E，求证：(1) AC是⊙O的切线.(2)若AD∶DB=3∶2，AC=15，求⊙O的直径.(12分)图1020.如图11，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB，垂足为E，且PC2=PE•PO.(1)求证：PC是⊙O的切线;(2)若OE∶EA=1∶2， PA=6，求⊙O的半径;(3)求sinPCA的值.(12分)图11参考答案一、1.过已知点，垂直于直线L的一条直线2.120° 110° 130°3.6.5 24.45.36π6. a7.155°8.45二、9.D 10.A 11.C 12.B 13.B 14.C 15.B 16 .D三、17.证明：连结AD∵AB是直径，∴∠ADB=90°∴在Rt△ADC中，AD= ，∴tanCAD=∵AC是⊙O的切线，∴∠CAD= ∠B，∴tanCAD=tanB=18.证明：连结OC，BC∵AB是直径，∴∠ACB=90°又∵∠CAB=30°，∴∠CBA=60°，∴BC= AB=BO∵BO=BD，∴BC=BD，∴∠BCD=∠BDC= ∠ABC，∴∠BCD=30°∵AO=OC，∴∠ACO=30°，∴∠ACO=∠BCD∵∠ACO+∠OCB=90°，∴∠BCD+∠ OCB=90°∴DC是⊙O的切线.19 .证明：(1)连结OD、DC∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°在Rt△ADC中，∵AE=EC，∴DE=EC，∴∠EDC=∠ECD∵DE是⊙O的切线，∴∠EDC=∠B=∠ECD∵∠B+∠DCB=90°，∴AC是⊙O的切线(2) 设每一份为k，∴AD=3k，DB=2k，AB=5k.∵AC是⊙O的切线，ADB是割线∴AC2=A D_AB 即3k_5k=152.解得k= ，∴AB=5 .在Rt△ACB中，BC= .20.(1) 连结O C，∵PC2=PE_PO，∴又∵∠P=∠P，∴△PEC∽△PCO，∴△PEC∽△PCO∵CD⊥AB，∴∠PEC=90°，∴∠PCO=90°∴PC是⊙O的切线.(2)半径为3(3)sinPCA=大学网为大家提供的直线、圆的位置关系同步练习，大家仔细做了吗?希望够帮助到大家。

高一数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》章末练习题卷含答案解析 (20)

高一数学选择性必修第一册第二章《直线和圆的方程》章末练习题卷（共22题）一、选择题（共10题）1.已知直线l过点(1,2)且到点A(3,3)和B(5,7)的距离相等，求直线l的方程．情况二、直线l过线段AB的中点(5,7)，直线l的方程为( )A．32B．54C．5x−4y+3=0D．3x−2y+1=0 2.已知直线l过点(2,1)和点(4,0)，则直线l的斜率为( )A．−2B．−12C．12D．23.“m=43”是“直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.已知实数x，y满足x2+y2+4x−6y+12=0，则y的最小值是( )A．4B．2C．−1D．−35.直线ax+by+a+b=0(ab≠0)和圆x2+y2−2x−5=0的交点个数为( )A．0B．1C．2D．与a，b有关6.对于平面直角坐标系内的任意两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，定义它们之间的一种“距离”：∣∣AB∣∣=∣x2−x1∣+∣y2−y1∣．给出下列三个命题：①若点C在线段AB上，则∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣=∣∣AB∣∣；②在△ABC中，∣∣AC∣∣+∣∣CB∣∣>∣∣AB∣∣；③在△ABC中，若∠A=90∘，则∣∣AB∣∣2+∣∣AC∣∣2=∣∣BC∣∣2．其中错误的个数为( )A．0B．1C．2D．37.圆x2+y2−2x=0与圆x2+y2+4y=0的位置关系是( )A．相离B．外切C．相交D．内切8.圆(x−2)2+(y+3)2=2上的点与点(0,−5)的最大距离为( )A．√2B．2√2C．4√2D．3√29.阿波罗尼斯（约公元前262∼190年）证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k>0且k≠1）的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿氏圆．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P与A，B距离之比为√2，当P，A，B不共线时，△PAB面积的最大值是( )A．2√2B．√2C．2√23D．√2310.下列关于直线倾斜角的说法中，正确的是( )A．任意一条直线都有唯一的倾斜角B．一条直线的倾斜角可以为−π6C．倾斜角为0的直线只有一条，即x轴D．若直线的倾斜角为α，则sinα∈(0,1)二、填空题（共6题）11.已知0<k<4，直线l1:kx−2y−2k+8=0和直线l2:2x+k2y−4k2−4=0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为．12.已知直线l的倾斜角为2α−20∘，则α的取值范围是．13.设圆(x−3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x−3y−2=0的距离等于1，则半径r取值范围的区间为．14.两条直线的夹角的取值范围为．15.过点A(2,−1)与B(1,2)半径最小的圆的方程为．16.若两圆x2+y2=4与x2+y2−2ax+a2−1=0相内切，则a=．三、解答题（共6题）17.已知圆C经过点O(0,0)，A(8,−4)，且圆心C在直线l:x−y−7=0上，求圆C的一般方程．18.直线l的方程为(a+1)x+y+2−a=0(a∈R)．(1) 若l在两坐标轴上的截距相等，求实数a的值；(2) 若l不经过第二象限，求实数a的取值范围．19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2+y2−12x−14y+60=0及其上一点A(2,4)．(1) 设圆N与x轴相切，与圆M内切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；(2) 设垂直于 OA 的直线 l 与圆 M 相交于 B ，C 两点，且 BC =OA ，求直线 l 的方程； (3) 设点 T (0,t ) 满足：存在圆 M 上的两点 P ，Q ，使得 TA ⃗⃗⃗⃗⃗ +TP ⃗⃗⃗⃗⃗ =TQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求实数 t 的取值范围．20. 已知两条直线的方程分别为 x +y +a =0 和 x +y +b =0，设 a ，b 是方程 x 2+x +c =0 的两个实数根，其中 0≤c ≤18，求两条直线间距离的最大值和最小值．21. 已知 △ABC 的顶点 B (3,4) 、 AB 边上的高所在的直线方程为 x +y −3=0，E 为 BC 的中点，且 AE 所在的直线方程为 x +3y −7=0． (1) 求顶点 A 的坐标；(2) 求过 E 点且在 x 轴、 y 轴上的截距相等的直线 l 的方程．22. 已知直线 l 1:ax +by +1=0（a ，b 不同时为 0），l 2:(a −2)x +y +a =0．(1) 若 b =−3 且 l 1⊥l 2，求实数 a 的值．(2) 当 b =3 且 l 1∥l 2 时，求直线 l 1 与 l 2 之间的距离．答案一、选择题（共10题）1. 【答案】C【知识点】直线的一般式方程、两直线交点坐标与两点间距离公式2. 【答案】B【解析】由题意可知，直线l的斜率为0−14−2=−12．【知识点】直线倾斜角与斜率3. 【答案】A【解析】由直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，得√1+m2=2，解得m=0或m=43．则由m=43能推出直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，反之，由直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切，不一定得到m=43，则“m=43”是“直线x−my+4m−2=0与圆x2+y2=4相切”的充分不必要条件．【知识点】直线与圆的位置关系4. 【答案】B【知识点】圆的一般方程5. 【答案】C【解析】因为直线ax+by+a+b=0(ab≠0)可化为a(x+1)+b(y+1)=0，所以直线恒过定点(−1,−1)，而(−1,−1)在圆x2+y2−2x−5=0内，故直线ax+by+a+b=0过圆内的点，则直线与圆相交，且有2个交点，故选C．【知识点】直线与圆的位置关系6. 【答案】B【解析】不妨设直线AB的方程为y=kx+b(k>0)，令x2>x0>x1，因为点C(x0,y0)在线段AB上，所以∣AC∣=∣x0−x1∣+∣y0−y1∣=(k+1)(x0−x1)，同理可得，∣CB∣=(k+1)(x2−x0)，∣AB∣=(k+1)(x2−x1)，因为∣∣AC∣+∣CB∣∣=(k+1)(x0−x1)+(k+1)(x2−x0)=(k+1)(x2−x1)=∣AB∣，所以①正确．②取C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)，则∣AC∣+∣CB∣=∣AB∣=2，故②正确．③因为在△ABC中，若∠C=90∘，取C(1,1)，A(3,2)，则B在直线x+y=3上，不妨取B(0,3)，∣CA∣=∣3−1∣+∣2−1∣=2+1=3，∣CB∣=∣0−1∣+∣3−1∣=1+2=3，∣AB∣=∣3−0∣+∣2−3∣=4，显然，∣AC∣+∣CB∣≠∣AB∣，所以③错误．综上所述，其中真命题的个数为1．【知识点】直线的点斜式与斜截式方程7. 【答案】C【解析】圆O1:(x−1)2+y2=1，圆心O1(1,0)，半径r1=1．圆O2:x2+(y+2)2=4，圆心O2(0,−2)，半径r2=2．则有O1O2=√5，r2−r1<O1O2<r1+r2，故两圆相交．【知识点】圆与圆的位置关系8. 【答案】D【解析】圆(x−2)2+(y+3)2=2的圆心为(2,−3)，点(0,−5)与圆心的距离为√(2−0)2+(−3+5)2=2√2，又圆的半径为√2，故所求的最大距离为2√2+√2=3√2．【知识点】圆的标准方程9. 【答案】A【解析】如图，以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系：则：A(−1,0)，B(1,0)，设P(x,y)，因为∣PA∣∣PB∣=√2，所以√(x+1)2+y2√(x−1)2+y2=√2，两边平方并整理得：x2+y2−6x+1=0⇒(x−3)2+y2=8．所以当点P在点C或点D时，△PAB面积的最大值是12×2×2√2=2√2．【知识点】圆的标准方程、轨迹与轨迹方程10. 【答案】A【解析】任意一条直线都有唯一的倾斜角，故A正确；若直线的倾斜角为α，则α的取值范围是[0,π)，所以sinα∈[0,1]，故B错误，D错误；倾斜角为0的直线不唯一，所有与x轴平行或重合的直线的倾斜角都是0，故C错误．【知识点】直线倾斜角与斜率二、填空题（共6题）11. 【答案】18【解析】直线l1:kx−2y−2k+8=0即k(x−2)−2y+8=0，过定点B(2,4)，与y轴的交点为C(0,4−k)；直线l2:2x+k2y−4k2−4=0，即2x−4+k2(y−4)=0，过定点(2,4)，与x轴的交点为A(2k2+2,0)．如图所示，由题意知，四边形的面积等于三角形ABD的面积和梯形OCBD的面积之和，故所求四边形的面积为12×4×(2k2+2−2)+2×(4−k+4)2=4k2−k+8，所以k=18时，所求四边形的面积最小．【知识点】直线的基本量与方程12. 【答案】 10°≤α<100°【解析】由 0∘≤2α−20∘<180∘，得 10∘≤α<100∘．【知识点】直线倾斜角与斜率13. 【答案】 (4,6)【知识点】直线与圆的位置关系14. 【答案】 [0,π2]【知识点】直线倾斜角与斜率15. 【答案】 (x −32)2+(y −12)2=52【解析】设所求的圆的圆心为 C ，圆的半径为 R ，圆心到直线 AB 的距离为 d ，则 R 2=d 2+(AB 2)2，由已知得 AB =√(2−1)2+(−1−2)2=√10，要使半径 R 最小，则需 d 最小，d 最小是 0，此时圆的圆心为 AB 的中点，圆的直径为 AB ，圆的方程是 (x −32)2+(y −12)2=(√102)2，即(x −32)2+(y −12)2=52．【知识点】圆的标准方程16. 【答案】 ±1【知识点】圆与圆的位置关系三、解答题（共6题）17. 【答案】设圆 C 的一般方程为 x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，则 {F =0,64+16+8D −4E +F =0,−D2−(−E2)−7=0,解得 {D =−6,E =8,F =0,所以圆 C 的一般方程为 x 2+y 2−6x +8y =0．【知识点】圆的一般方程18. 【答案】(1) 当直线 l 过原点时，直线 l 在 x 轴和 y 轴上的截距都为 0，相等，所以 2−a =0，a =2．所以直线 l 的方程为 3x +y =0．若 a ≠2，且 a ≠−1，则 a−2a+1=a −2，即 a +1=1，所以 a =0，所以直线 l 的方程为 x +y +2=0．所以实数 a 的值为 0 或 2．(2) 当直线 l 过原点时，直线 l 的方程为 y =−3x ，直线 l 经过第二象限，不合题意；若直线 l 不过原点，且 l 不经过第二象限，则 {a +1=0,a −2<0. 或 {−(a +1)>0,a −2<0.解得 a ≤−1．故实数 a 的取值范围为 (−∞,−1]．【知识点】直线的一般式方程、直线的两点式与截距式方程19. 【答案】(1) (x −6)2+(y −6)2=36． (2) y =−12x −32 或 y =−12x +132．(3) 4−4√6≤t ≤4+4√6．【知识点】圆的切线、直线与圆的位置关系、直线与圆的综合问题、圆与圆的位置关系20. 【答案】由一元二次方程根与系数的关系，得 a +b =−1，ab =c ．易知两条直线平行，设两条平行直线间的距离为 d ，则 d =√2，所以 d 2=(a+b )2−4ab2=12−2c (0≤c ≤18)，因为 d 2 是关于 c 的单调递减函数，所以当 c =0 时，d 2 有最大值，且 d max 2=12，即 d max =√22；当 c =18 时，d 2 有最小值，且 d min 2=14，即 d min =12．所以两条直线间距离的最大值为√22，最小值为 12．【知识点】两直线交点坐标与两点间距离公式21. 【答案】(1) 由题意得 k AB =1，所以直线 AB 的方程为 y −4=x −3，即 x −y +1=0．已知 AE 所在的直线方程为 x +3y −7=0，由 {x −y +1=0,x +3y −7=0, 解得 {x =1,y =2,所以 A 的坐标为 (1,2)．(2) 设 E (x 0,y 0)，则 C (2x 0−3,2y 0−4)．因为点 E 在直线 AE 上，点 C 在直线 x +y −3=0 上，所以 {x 0+3y 0−7=0,(2x 0−3)+(2y 0−4)−3=0, 解得 {x 0=4,y 0=1,即点 E 的坐标是 (4,1)．因为直线 l 在 x 轴、 y 轴上的截距相等，所以当直线 l 经过原点时，设直线 l 的方程为 y =kx ，把点 E (4,1) 代入，得 1=4k ，解得 k =14，此时直线 l 的方程为 x −4y =0．当直线 l 不经过原点时，设直线 l 的方程为 xa +ya =1，把点 E (4,1) 代入，得 4a+1a =1，解得 a =5，此时直线 l 的方程为 x +y −5=0．综上所述，所求直线 l 的方程为 x −4y =0 或 x +y −5=0．【知识点】直线的两点式与截距式方程、两直线交点坐标与两点间距离公式22. 【答案】(1) 当 b =−3 时，l 1:ax −3y +1=0，由 l 1⊥l 2 知 a (a −2)−3=0，解得 a =−1 或 a =3． (2) 当 b =3 时，l 1:ax +3y +1=0，当 l 1∥l 2 时，有 {a −3(a −2)=0,3a −1≠0, 解得 a =3，此时，l 1 的方程为：3x +3y +1=0，l 2 的方程为：x +y +3=0，即 3x +3y +9=0，则它们之间的距离为 d =√32+32=4√23．【知识点】直线与直线的位置关系、点到直线的距离与两条平行线间的距离。

(完整)高一圆与直线练习题及答案

一、选择题：1．直线x-3y+6=0的倾斜角是（）A 600B 1200C 300D 15002. 经过点A(-1,4),且在x 轴上的截距为3的直线方程是（）A x+y+3=0B x-y+3=0C x+y-3=0D x+y-5=03．直线(2m 2+m-3)x+(m 2-m)y=4m-1与直线2x-3y=5平行，则的值为（）A-23或1 B1 C-89 D -89或14．直线ax+(1-a)y=3与直线(a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，则a 的值为（）A -3B 1C 0或-23D 1或-35．圆（x-3）2+(y+4)2=2关于直线x+y=0对称的圆的方程是（）A. (x+3)2+(y-4)2=2B. (x-4)2+(y+3)2=2 C .(x+4)2+(y-3)2=2 D. (x-3)2+(y-4)2=26、若实数x 、y 满足3)2(22=++y x ，则x y的最大值为（）A.3 B. 3- C.33D. 33-7．圆1)3()1(22=++-y x 的切线方程中有一个是（）A ．x －y ＝0B ．x ＋y ＝0C ．x ＝0D ．y ＝08．若直线210ax y ++=与直线20x y +-=互相垂直，那么a 的值等于（）A ．1B ．13-C ．23- D ．2-9．设直线过点(0,),a 其斜率为1，且与圆222x y +=相切，则a 的值为（）Ａ．4±Ｂ．± Ｃ．2±Ｄ．10．如果直线12,l l 的斜率分别为二次方程2410x x -+=的两个根，那么1l 与2l 的夹角为（） A ．3π B ．4π C ．6π D ．8π11．已知{(,)|0}M x y y y ==≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠∅I ，则b ∈（） A．[- B．(-C．(-D．[-12．一束光线从点(1,1)A -出发，经x 轴反射到圆22:(2)(3)1C x y -+-=上的最短路径是（）A ．4B ．5 C．1 D．二、填空题：13过点M （2，-3）且平行于A （1，2），B （-1，-5）两点连线的直线方程是14、直线l 在y 轴上截距为2，且与直线l `：x+3y-2=0垂直，则l的方程是15．已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切，则a 的值为________.16圆224460x y x y +-++=截直线50x y --=所得的弦长为 _________17．已知圆M ：（x ＋cos θ）2＋（y －sin θ）2＝1，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：（A ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；（B ）对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；（C ）对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切;（D ）对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切.其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）.18已知点M （a ，b ）在直线1543=+y x 上，则22b a +的最小值为三、解答题： 19、平行于直线2x+5y-1=0的直线l 与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l 的方程。

高中数学直线与圆-2021届高三复习带答案)

专题十六直线与圆一、单选题1．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）圆22:(2)4C x y -+=与直线40x y --=相交所得弦长为（）A ．1BC ．2D ．【答案】D 【分析】利用垂径定理可求弦长. 【详解】圆22:(2)4C x y -+=的圆心坐标为()20，，半径为2，圆心到直线40x y --=的距离为d ==，故弦长为：= 故选：D.2．（2021·西安市航天城第一中学高一期末）过点（5，2），且在y 轴上的截距是在x 轴上截距2倍的直线方程是（） A ．2120x y +-= B ．2120x y +-=或250x y -= C ．210x y --= D ．210x y --=或250x y -=【答案】B 【分析】根据截距是否为零分类讨论后可求直线方程. 【详解】若截距为零，则直线过原点，故此时直线方程为25y x =即250x y -=，若截距不为零，设直线方程为：12x ya a +=，代入点()5,2可得：5212a a+=，故6a =，故直线方程为2120x y +-=，故选：B.3．（2021·江西上高二中高二期末（理））已知圆C 与直线0x y +=及40x y +-=都相切，圆心在直线0x y -=，则圆C 的方程为（）A ．()()22112x y ++-= B ．()()22112x y -++= C ．()()22112x y -+-= D ．()()22112x y +++=【答案】C 【分析】由直线0x y +=与40x y +-=间的距离为圆C 直径，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心，进而得出方程. 【详解】由题意可知直线0x y +=与直线40x y +-=平行，且两直线都与直线0x y -=垂直由此可得圆C 的直径为两直线0x y +=与40x y +-=间的距离，题设三条直线的交点组成的线段的中点为圆心d r ===由00x y x y -=⎧⎨+=⎩，040x y x y -=⎧⎨+-=⎩解得00x y =⎧⎨=⎩，22x y =⎧⎨=⎩ 即圆心坐标为0202,=(1,1)22++⎛⎫⎪⎝⎭即圆C 的方程为()()22112x y -+-= 故选：C 【点睛】关键点睛：解决本题的关键在于看出直线0x y +=与直线40x y +-=平行，进而由两直线的距离得出半径.4．（2021·江苏南通市·高三期末）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：()2214x y -+=，若直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P 满足：过点P 作圆C 的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ，且使得四边形PMCN 为正方形，则正实数m 的值为（）A ．1B ．C ．3D ．7【答案】C 【分析】根据四边形PMCN 为正方形可得=PC C 到直线l 的距离为. 【详解】由()2214x y -+=可知圆心(1,0)C ，半径为2，因为四边形PMCN 为正方形，且边长为圆C 的半径2，所以=PC所以直线l ：0x y m ++=上有且只有一个点P ，使得=PC PC ⊥l ，所以圆心C 到直线l 的距离为=3m =或5m =-（舍）. 故选：C 【点睛】关键点点睛：将题意转化为圆心C 到直线l 的距离为.5．（2021·重庆高二期末）已知圆2123:C x y +=和圆()()222:1312C x y ++-=，那么这两个圆的位置关系是（） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切【答案】C 【分析】利用两圆圆心距离与两半径关系判断圆与圆的位置关系可得答案. 【详解】由已知的()()12120,0,1,3,C C r r -==所以2112r r r r =+=-12C C == 所以211212r r C C r r <<+-，故两圆相交. 故选：C.【点睛】结论点睛：此题考查了圆与圆的位置关系，以及两点间的距离公式．圆与圆位置关系的判定常用方法为：0d R r ≤<-时，两圆内含；d R r =-时，两圆内切；R r d R r -<<+时，两圆相交；d R r =+时，两圆外切；d R r >+时，两圆相离（d 为两圆心间的距离，R 和r 分别为两圆的半径）． 6．（2021·广东清远市·高二期末）已知P 为直线l ：60x y -+=上一个定点，M ，N 为圆C ：224210x y y ++-=上两个不同的动点.若MPN ∠的最大值为60，则点P 的横坐标为（）A ．4-B ．3-±C ．4-D ．3-±【答案】A 【分析】首先分析出当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大，过圆心C 作直线l 的垂线，垂足即为MPN ∠取得最大值时的点P ，可得30MPC ∠=，在Rt PMC 中，可得10PC =，设()00,P x y 可列方程，结合点P 满足直线l 的方程，即可求P 的坐标.【详解】由圆C ：224210x y y ++-=可得22(2)25x y ++=，所以圆心为()0,2C -，半径=5r .因为点C 到l 的距离5d =>，所以l 与圆C 相离，由图知当PM ，PN 分别为圆C 的切线时，MPN ∠最大，若MPN ∠最大，则MPC ∠最大，因为5sin MC MPC PC PC∠==，所以PC 最小时，MPC ∠最大，当PC l ⊥时，PC 最小，MPC ∠最大，则MPN ∠最大，因为此时60MPN ∠=，所以30MPC ∠=，在Rt PMC 中，210PC MC ==，设()00,P x y ，则0060x y -+=①，10PC ==②，由0060x y -+=可得006y x =+代入②可得：2008180x x +-=解得：4x =-. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是分析出PC l ⊥时，且PM ，PN 分别为圆C 的切线时MPN ∠最大，设()00,P x y 列方程，可求点P 的坐标.7．（2021·浙江温州市·高二期末）已知直线1:0()l kx y k R +=∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是直线30x y --=的动点，()0,1C ，则BA BC +的最小值为（）A ．B ．C ．7D ．5【答案】D 【分析】由题意可知点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，由于,A C 两点在直线30x y --=的同侧，所以求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则BA BC BA BD =++，然后利用两点间线段最短可得答案【详解】解：由1:0()l kx y k R +=∈，得yk x=-，由2:220l x ky k -+-=，得22x k y -=-，所以22x yy x-=--，化简得22(1)(1)2x y -+-=，所以点A 为圆22(1)(1)2x y -+-=上的点，设点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，则1113022n mm n -⎧=-⎪⎪⎨+⎪--=⎪⎩，解得43m n =⎧⎨=-⎩，即(4,3)D -因为CB DB =，所以当点,,A B D 共线，且过点(1,1)时，BA BC +取最小值，所以BA BC +5=故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与圆的应用，考查距离问题，解题的关键是求出点C 关于直线30x y --=的对称点为(,)D m n ，将BA BC +的最小值转化为BA BD +的最小值，属于中档题 8．（2021·陕西咸阳市·高三一模（理））已知M经过坐标原点，半径r =2y x =+相切，则M 的方程为（）．A ．22(1)(1)2x y +++=或22(1)(1)2x y -+-=B ．22(1)(1)2x y ++-=或22(1)(1)2x y -++=C ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += D ．22(1)(1)2x y -++=或22(2x y += 【答案】A 【分析】设圆心坐标为(,)a b ，利用圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，求出,a b ，即可求出圆M 的方程. 【详解】设圆心坐标为(,)a b，半径r =因为圆M 过坐标原点，且与直线2y x =+相切，==所以1a b ==±，即圆心为()1,1或()1,1--，圆M 的方程为：22(1)(1)2x y -+-=或22(1)(1)2x y +++=，故选：A. 【点睛】处理直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法．9．（2021·宁夏吴忠市·高三一模（理））已知直线:40()l kx y k ++=∈R 是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴，过点()1,P k 作圆C 的两条切线，切点分别为A ，B ，则三角形P AB 的面积等于（）A B ．2C ．4D ．4【答案】D 【分析】由直线过圆心求出k ，由勾股定理求得切线长，利用切线与过切点的半径垂直求得切线夹角，从而可得三角形面积．【详解】因为直线40kx y ++=是圆22:6290C x y x y +-++=的对称轴，所以直线40kx y ++=过圆心()3,1C -，即3140k -+=，1k =-，所以点()1,1P -，2PC =，因为圆C 的半径1r =，所以切线长PA PB ===，且在直角三角形中1sin sin 2r APC BPC PC ∠=∠==，所以30APC BPC ∠=∠=︒，60APB ∠=︒，所以三角形P AB 的面积1sin 24S PA PB APB =⨯∠=，故选：D ．10．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知圆221:1C x y +=和圆()()2222:20C x y r r +-=>，若圆1C 和2C 有公共点，则r 的取值范围是（） A ．(]0,1 B ．(]0,3C ．[]1,3D ．[)1,+∞【答案】C 【分析】由题意可得出1211r C C r -≤≤+，进而可求得r 的取值范围. 【详解】由题意可知，圆1C 的圆心为()10,0C ，半径为1，圆2C 的圆心为()20,2C ，半径为r ，所以，122C C =，由于两圆有公共点，则1211r C C r -≤≤+，即1210r r r ⎧-≤≤+⎨>⎩，解得13r ≤≤.故选：C.11．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（文））已知P 是直线210x y +-=上的一个动点，定点()1,2M -，Q 是线段PM 延长线上的一点，且PM MQ =，则Q 点的轨迹方程是（）A ．210x y ++=B ．210x y -+=C ．270x y ++=D ．270x y -+=【答案】C 【分析】设点(),Q x y ，根据已知条件可知点M 为线段PQ 的中点，求出点P 的坐标，代入直线210x y +-=的方程即可得出Q 点的轨迹方程. 【详解】设点(),Q x y 、()00,P x y ，由题意可知，点M 为线段PQ 的中点，所以，001222x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=-⎪⎩，可得0024x x y y =-⎧⎨=--⎩，由于点P 在直线210x y +-=上，则00210x y +-=，所以，()()22410x y -+---=，化简可得270x y ++=. 故选：C. 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q 的坐标x 、y 表示相关点P 的坐标0x 、0y ，然后代入点P 的坐标()00,x y 所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q 的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x 、y 之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x 、y 与某一参数t 得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.12．（2021·山东聊城市·高二期末）已知圆()()()221:80C x a y a a -+-=>与圆222:220C x y x y +--=没有公共点，则实数a 的取值范围为（） A ．()0,2 B ．()4,+∞C ．()()0,24,+∞D ．()()()0,10,24,⋃⋃+∞【答案】C 【分析】由题意判断两圆的位置关系为外离或者内含，根据圆与圆的位置关系列出不等式求解即可. 【详解】圆1C 的圆心为()11,,C a a r =，圆2C 的圆心为()21,1C ，半径2r =圆心距12|1|d C C a ===-因为两圆没有公共点，所以两圆的位置关系为外离或者内含则12d r r >+或12d r r <-1|a ->1|a -<解得02a <<或4a > 故选：C【点睛】关键点睛：解决本题的关键是由题意判断两圆的位置关系，再由圆与圆的位置关系得出参数的范围.13．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））已知(1,0)A -，(1,0)B 和圆222:(2)(0)C x y r r +-=>，若圆C 上存在点P 满足0PA PB ⋅=，则r 的取值范围是（） A ．(0,1] B ．(0,3]C ．[1,3]D ．[1,]+∞【答案】C 【分析】求得以AB 为直径的圆O 的圆心和半径，根据圆O 与圆C 有公共点列不等式，解不等式求得r 的取值范围. 【详解】由于圆C 上存在点P ，满足0PA PB ⋅=，故以AB 为直径的圆O 与圆C 有公共点，圆O 的圆心为()0,0，半径为1，圆C 的圆心为()0,2，半径为r ，所以11r OC r -≤≤+，而2OC ==，所以121r r -≤≤+，解得13r ≤≤. 故选：C 【点睛】本小题主要考查圆与圆的位置关系，关键点是利用圆和圆的位置关系求出r 的范围，考查向量数量积为零的几何意义，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.14．（2021·河南高一期末）过点()1,1A -的直线l 的倾斜角是直线1l 10y -+=的倾斜角的2倍，则直线l 的方程是（）A 10y -=B 10y ++=C 330y -+=D 330y ++=【答案】B 【分析】由2l 的斜率得倾斜角，从而得直线1l 的倾斜角，得斜率后可得直线方程．【详解】1tan k α=60α=︒，所以tan120k =︒=l 的方程是： )11y x -=+10y ++=．故选：B ．15．（2021·山东枣庄市·高二期末）已知O ：221x y +=与C ：222410x y x y +--+=，则两圆的位置关系是（） A ．相交 B ．相离C ．外切D ．内切【答案】A 【分析】利用圆心距与半径之和、半径之差的绝对值的关系可得正确的选项. 【详解】()()22:124C x y -+-=，故CO ==3，半径之差的绝对值为1，而13<<，故两圆的位置关系是相交，故选：A.16．（2021·浙江绍兴市·高二期末）已知圆()221:2C x y m ++=与圆()222:8C x m y -+=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围是（） A ．13m << B ．11m -<<C ．3m >D ．3<1m -<-或13m <<【答案】D 【分析】12C C <<. 【详解】由题可得圆1C 的圆心为()0,m -，圆2C 的圆心为()0m ,，半径为，两圆恰有两条公切线，∴两圆相交，12C C <<12C C m ==，m <<3<1m -<-或13m <<.故选：D. 【点睛】结论点睛：本题考查根据公切线条数求参数，需根据公切线条数得出圆的位置关系，若两圆有0条公切线，则两圆内含；若两圆有1条公切线，则两圆内切；若两圆有2条公切线，则两圆相交；若两圆有3条公切线，则两圆外切；若两圆有4条公切线，则两圆外离.17．（2021·河南高一期末）已知点(),x y 是曲线y =23y x --的取值范围是（） A ．()0,2 B ．[]0,2C ．2,03⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【分析】在平面直角坐标系中作出曲线y =23y x --的几何意义是半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由几何意义易得结论．【详解】曲线y =2为半径的上半圆，如图，23y x --表示半圆上的点(,)P x y 与定点(3,2)Q 连线的斜率，由图，20232QB k -==-，当0QA k =时，直线QA 与半圆相切， ∴02PQk ≤≤，即23y x --的取值范围是[0,2]．故选：B ．【点睛】方法点睛：本题考查分式的取值范围，解题方法是数形结合思想，利用分式的几何意义：23y x --可以表示动点(,)x y 与定点(3,2)连线的斜率，从而作出动点所在曲线，由几何意义易得解．18．（2021·浙江舟山市·高二期末）已知圆()()2211x y a ++-=与圆()()222416x y -+-=相切，则实数a 的取值个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C 【分析】分别求出两圆的圆心坐标和半径，利用两圆外切和内切的条件可得答案. 【详解】设()()2211x y a ++-=的圆心为()11,C a -，半径11R =，()()222416x y -+-=的圆心为()22,4C ，半径24R =，当两圆外切时，有1212C C R R =+5=，解得0a =或8a =，当两圆内切时，有1221C C R R =-3=，解得4a =，综上所述，0a =，或8a =，或4a =. 故选：C. 【点睛】本题考查圆和圆的位置关系，其中熟记两圆的内切和外切的条件，列出相应的方程求解是解答的关键，考查了推理与运算能力，属于基础题．19．（2021·安徽池州市·高二期末（文））圆22:2C x y +=关于直线250x y -+=对称的圆的方程为（）A ．()()22242x y ++-= B ．()()22242x y -++= C ．()()22462x y ++-= D ．()()22462x y -++=【答案】A 【分析】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2502ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩，解出即可.【详解】设对称圆的方程为()()22+=2x a y b --，则2,50,2ba ab ⎧=-⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得24a b =-⎧⎨=⎩，故所求圆的方程为()()222+4=2x y +-，故选：A20．（2021·江西上饶市·高一期末）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在位置为()1,4B --，若将军从点()1,2A -处出发，河岸线所在直线方程为3x y +=.则“将军饮马“的最短总路程为（） ABC．D ．10【答案】C 【分析】作出图形，求出点B 关于直线3x y +=的对称点C 的坐标，在直线3x y +=上取点P ，利用A 、P 、C 三点共线时PA PB +取得最小值即可得解. 【详解】如下图所示，设点B 关于直线3x y +=的对称点为(),C a b ，由题意可得14322411a b b a --⎧+=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得74a b =⎧⎨=⎩，即点()7,4C ，在直线3x y +=上取点P ，由对称性可得PB PC =，所以，PA PB PA PC AC +=+≥==当且仅当A 、P 、C 三点共线时，等号成立，因此，“将军饮马“的最短总路程为故选：C. 【点睛】思路点睛：本题考查“将军饮马”最短路径问题，求解此类问题的基本思路就是求得动点关于所在直线的对称点后，利用三角形两边之和大于第三边的特点，利用三点共线时求得最值来求解.21．（2021·河南郑州市·高一期末）阿波罗尼乌斯（Apollonius ，约前262~约前190）是古希腊时期的数学家、天文学家.师从于欧几里得，他结合前人的研究成果，在没有现代数学符号系统的支持下，以超越常人的智慧写出了经典之作《圆锥曲线论》.该书共八卷，传下来七卷，其中给出了解析几何的大部分内容的论断和证明.在其第七卷《平面轨迹》中提出：如果一个移动的点与两定点之间距离的比是常量（且不等于1），则它的轨迹是一个圆.现在已知两个定点的坐标分别为()1,0A -，()2,0B ，动点P 满足2PA PB=，则P 点轨迹方程为（） A ．22650x y x +-+= B ．22670x y x +-+= C ．221070x y x +-+= D ．2214503x y x +-+= 【答案】A 【分析】设(),P x y ，由两点间距离公式即可化简得出. 【详解】设(),P x y ，2PA PB=，即2PA PB =，=22650x y x +-+=.故选：A.22．（2021·安徽池州市·高二期末（理））若圆221:2440C x y x y +---=，圆222:61020C x y x y +---=，则1C ，2C 的公切线条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【分析】先得圆的方程的标准形式，得到圆心和半径，得到两圆的位置关系即可得公切线的条数. 【详解】依题意，圆()()221:129C x y -+-=，圆心为()1,2，半径为3；圆()()222:3536C x y -+-=，圆心为()3,5，半径为6；因为()123,9C C ==，故圆1C ，2C 相交，有2条公切线，故选：B.23．（2021·合肥市第六中学高二期末（文））直线230x y --=与圆22:(2)(3)9C x y -++=交于E ，F两点，则ECF △的面积为（）A ．32B ．34C ．5D ．【答案】D 【分析】根据圆的方程先确定圆心和半径，根据点到直线距离公式，求出圆心到直线230x y --=的距离，根据几何法求出圆的弦长，进而可到三角形的面积. 【详解】因为圆22:(2)(3)9C x y -++=的圆心为()2,3C -，半径为3r =，所以圆心()2,3C -到直线230x y --=的距离为d ==则弦长4EF ==，因此ECF △的面积为11422ECFS EF d ==⨯=. 故选：D.二、多选题24．（2021·重庆高二期末）已知直线10l y -+=，则下列结论正确的是（）A ．直线l 的倾斜角是6πB ．过与直线l 20y --=C ．点(到直线l 的距离是2D ．若直线:10m x +=则l m ⊥ 【答案】BC 【分析】根据条件一一判断即可得出正确选项. 【详解】A 选项：直线:10l y -+=故倾斜角是3π，A 错；B 选项： 20y --=，且过点，故B 正确；C 选项：点(到直线l 的距离2d ==，故C 正确；D 选项：直线:10m x +=的斜率为3k =11=≠-故l 与m 不垂直，D 错.故选：BC25．（2021·福建漳州市·高二期末）已知圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，则（）A ．两圆有两条公切线B ．PQ 垂直平分线段OMC ．直线PQ 的方程为240x y +-=D ．线段PQ 【答案】ACD 【分析】根据圆O 和圆M 的位置关系判断A ；数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减判断C ；先求得圆心O 到直线PQ 的距离，再利用弦长公式求解判断D. 【详解】对于A ：因为圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=交于P ，Q 两点，所以两圆有两条公切线，故正确；对于B ：数形结合可知PQ 垂直线段OM 但不平分线段OM ，故错误；对于C ：圆22:4O x y +=和圆22:4240M x y x y +--+=的方程相减得：240x y +-=，所以直线PQ的方程为240x y +-=，故正确；对于D:圆心O 到直线PQ 的距离为：d ==，所以线段PQ 的长为||5PQ ===故选：ACD.26．（2021·山东临沂市·高二期末）已知圆22:4C x y +=，直线():34330l m x y m ++-+=，(R m ∈)．则下列四个命题正确的是（） A ．直线l 恒过定点()3,3-B ．当0m =时，圆C 上有且仅有三个点到直线l 的距离都等于1 C ．圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，则16m =D ．当13m =时，直线l 上一个动点P 向圆C 引两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，则直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【答案】ACD 【分析】利用相交直线系方程和圆系方程可判断AD 的正误，根据圆心到直线的距离可判断B 的正误，根据两圆外切可判断C 的正误. 【详解】直线():34330l m x y m ++-+=可化为：():34330l x y m x +-++=，由343030x y x +-=⎧⎨+=⎩可得33x y =-⎧⎨=⎩，故直线l 恒过定点()3,3-，故A 正确.当0m =时，直线:3430l x y +-=，圆心到该直线的距离为003355d +-==，因为715R d -=>，故圆C 上有且仅有四个点到直线l 的距离都等于1，故B 错. 因为圆C 与曲线22680x y x y m +--+=恰有三条公切线，故两圆外切，故252CO ====+16m =，故C 正确.当13m =时，直线:490l x y ++=，设(),49P a a --，则以OP 为直径的圆的方程为()()490x x a y y a -+++=，而圆22:4C x y +=，故AB 的直线方程为()4940ax a y -+++=，整理得到()4940a x y y -+++=，由4=0940x y y -+⎧⎨+=⎩可得16949x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，故直线AB 经过点164,99⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：对于含参数的直线方程，可通过化简其方程，以便于求出定点坐标，而切点弦，则需要利用圆系来求其方程，过圆外一点及两个切点的圆的方程可由直径式方程得到.第II 卷（非选择题）三、双空题27．（2021·浙江绍兴市·高三期末）已知直线10x y ++=和圆222210x y x y ++-+=相交于A ，B 两点，则该圆的圆心坐标为___________，弦长AB =___________.【答案】()1,1-【分析】将222210x y x y ++-+=化为标准方程可求出圆心的半径，然后利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可求出弦长【详解】解：由222210x y x y ++-+=，得22(1)(1)1x y ++-=，所以圆心为()1,1-，半径为1，所以圆心到直线10x y ++=的距离2d ==所以AB ===故答案为：()1,1-28．（2021·湖北宜昌市·高三期末）若一个圆的圆心是抛物线28x y =的焦点，20y --=相切，则该圆的标准方程为__________．过点()2,2P --作该圆的两条切线,PA PB ，切点分别为,A B ，则直线AB 的方程为__________．【答案】22(2)4x y +-= 220x y +-=【分析】求出圆心坐标，再利用d r =列式求解半径，即可得圆的标准方程；根据,,,F A B P 四点共圆，FP 为该圆的直径，写出该圆的方程，再与圆F 联立即可得直线AB 的方程. 【详解】由题意，圆心坐标为(0,2)F 20y --=相切，所以2222--===d r ，所以圆的标准方程为22(2)4x y +-=；因为π∠+∠=FAP FBP ，所以点,,,F A B P 四点共圆，又因为2π∠=∠=FAP FBP ，所以FP 为该圆的直径，所以圆的方程为22(1)5x y ++=，又因为22(2)4x y +-=，联立求解得220x y +-=，所以直线AB 的方程为220x y +-=. 故答案为：22(2)4x y +-=；220x y +-=.四、解答题29．（2021·安徽黄山市·高二期末（文））已知斜率为1的直线l 与圆心为1(1,0)O 的圆相切于点P ，且点P 在y 轴上.（1）求圆1O 的方程；（2）若直线l '与直线l 平行，且圆1O 上恰有四个不同点到直线l '，求直线l '纵截距的取值范围.【答案】（1）22(1)2x y -+=；（2）()2,0-. 【分析】（1）由题意可知1O P l ⊥，从而可得101t -=--，求出1t =，再由1||r O P ==.（2）设l '：y x b =+，由题意可得圆心到直线y x b =+的距离d =<，解不等式即可. 【详解】解：（1）依题意，设点P 的坐标为(0,)t .1O P l ⊥，∴101t -=--，解得1t =，即点P 的坐标为(0,1)，从而圆1O的半径1||r O P =故所求圆1O 的方程为22(1)2x y -+=. （2）因为//l l '，设l '：y x b =+，由圆1O 上恰有四个不同点到直线l '距离等于2，得圆心到直线y x b =+的距离2d =<，解得20b -<<.即直线l '纵截距的取值范围为()2,0-.30．（2021·广西河池市·高一期末）在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22(2)1x y -+=，M 为圆C的圆心，过原点O 的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点（A ，B 两点均不在x 轴上）．（1）若60AMB ∠=°，求直线l 的方程；（2）求ABM 面积的最大值．【答案】（1）y =；（2）12. 【分析】（1）设直线l 的方程为y kx =，利用点到直线的距离及222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，化简计算即可得解；（2）根据弦长公式及三角形面积1()2S k =⨯，设21(1)t k t =+>，化简面积可得S =利用二次函数性质即可求得最值.【详解】解：由直线l 与圆C 相交于两点，直线l 的斜率必定存在，设直线l 的方程为y kx = （1）当 60AMB ∠=︒时，ABM 为等边三角形，由圆C 的半径为1，可知1AB =．圆心(2,0)M 到直线l有222112⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得13k =± 故直线l的方程为13y x =±．（2）由圆心(2,0)M 到直线l，可得AB ==设ABM 的面积为()S k ，有1()2S k =⨯==设21(1)t k t =+>，可得21k t =-，有()S k======可得当87t =时，k=，max 1()2S k == 故ABM 面积的最大值为12．【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法（1）几何法：求圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则l =（2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式12|||AB x x =-.31．（2021·江西景德镇市·高一期末）已知直线1l ：20mx y m +--=，2l ：340x y n +-=. （1）求直线1l 的定点P ，并求出直线2l 的方程，使得定点P 到直线2l 的距高为85；（2）过点P 引直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，求使得AOB 面积最小时，直线l 的方程. 【答案】（1）(1,2)P ，2l ：3430x y +-=或34190x y +-=（2）240x y +-= 【分析】（1）利用直线系求出定点，根据点到直线距离求出2l ；（2）由题意直线斜率存在，设出直线方程，求出截距，表示出三角形面积，利用均值不等式求最值. 【详解】（1）由20mx y m +--=可得(1)20m x y -+-=，所以直线1l 的定点(1,2)P ，(1,2)P 到直线2l ：340x y n +-=的距离|11|855n d -===，解得3n =或19n =，所以直线2l ：3430x y +-=或34190x y +-= （2）由题意，设直线l ：2(1)y k x -=-，因为直线l 分别交x ，y 轴正半轴于A 、B 两点，所以0k <令0,20x y k ==->，20,10y x k==->，所以122(2)(1)22422AOB k S k k k =--=--≥+=△，当且仅当2k =-时等号成立，故所求直线方程为22(1)y x -=--，即240x y +-= 【点睛】关键点点睛：直线系过定点问题，需将直线化为含参数与不含参数的部分，如(1)20m x y -+-=，可根据此形式直接写出定点；直线与坐标轴围成三角形的面积，可利用截距表示.32．（2021·四川凉山彝族自治州·高二期末（理））如图，ABC 中，顶点()1,2A ，BC 边所在直线的方程为310x y ++=，AB 边的中点D 在y 轴上.（1）求AB 边所在直线的方程；（2）若AC BC =，求AC 边所在直线的方程. 【答案】（1）10x y -+=；（2）350x y +-=. 【分析】（1）由题意可知，点B 在直线310x y ++=上，可设点()31,B a a --，根据已知条件求出a 的值，可得出点B 的坐标，进而可求得直线AB 的方程；（2）由题意可知点C 在线段AB 的中垂线上，联立线段AB 的中垂线与直线BC 的方程，求出点C 的坐标，即可求得直线AC 的方程. 【详解】（1）因点B 在直线310x y ++=上，不妨设()31,B a a --，由题意得：()3110a --+=，即0a =，所以B 的坐标为()1,0-，AB 边所在直线的方程为121102x y --=---，即10x y -+=；（2）因AC BC =，所以点C 在线段AB 的中垂线上，直线AB 的斜率为20111AB k -==+，线段AB 的中点坐标为()0,1，所以，线段AB 的中垂线方程为1y x =-+，即10x y +-=，联立10310x y x y +-=⎧⎨++=⎩，得21x y =⎧⎨=-⎩，即C 的坐标为()2,1-，又点()1,2A ，AC ∴边所在直线的方程为122112x y --=---，即350x y +-=.【点睛】关键点点睛：本题考查直线方程的求解，关键就是求出相应的点的坐标，本题第（2）问要分析出点C 在线段AB 的中垂线，进而联立两直线方程求出点C 的坐标，即可得解. 33．（2021·重庆高二期末）已知圆22:8C x y +=内有一点()1,2P -，直线过点P 且和圆C 交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为α.（1）当135a =︒时，求AB 的长；（2）当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程.【答案】（1（2）250x y -+=. 【分析】（1）根据题意先求出直线l 方程10x y +-=，再求圆心到直线l 的距离2d =，再结合垂径定理利用弦长公式即可得解；（2）根据垂径定理，弦AB 被点P 平分，则OP l ⊥，先求2OP k =-可得112k =，再利用点斜式即可得解. 【详解】（1）当135α=︒时，直线l 的方程为：()21y x -=-+即10x y +-=，圆心()0, 0到，直线l 的距离2d ==，所以||AB ==（2）当弦AB 被()1,2P -平分时，OP l ⊥， ∵2OP k =-，∴112k =， ∴直线l 的方程为：12(1)2y x -=+，即250x y -+=. 34．（2021·福建三明市·高二期末）已知圆C 经过原点()0,0O 且与直线28y x =-相切于点()4,0P . （1）求圆C 的方程；（2）在圆C 上是否存在关于直线1y x =-对称的两点,M N ，使得以线段MN 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线MN 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）()()22215x y -+-=；（2）存在，y x =-或3y x =-+.【分析】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，由题意可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩，解方程即可求解.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，设直线MN 的方程为y x t =-+，将直线与圆联立，消去y 整理得222(22)20x t x t t -++-=，从而可得12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩，由0OM ON ⋅=，结合韦达定理即可求解.【详解】（1）设圆C 的方程为222()()(0)x a y b r r -+-=>，可得222222(4)142a b r a b r b a ⎧⎪+=⎪-+=⎨⎪⎪=--⎩解得21a b r ⎧=⎪=⎨⎪=⎩所以圆C 的方程为()()22215x y -+-= （2）设()11,M x y ，()22,N x y 依题意，设直线MN 的方程为y x t =-+联立22(2)(1)5y x t x y =-+⎧⎨-+-=⎩，消去y 整理得：222(22)20x t x t t -++-=所以12212Δ0122x x t t t x x ⎧⎪>⎪+=+⎨⎪-⎪=⎩又()()()212121212y y x t x t x x t x x t =-+-+=-++依题，以MN 为直径的圆过原点所以0OM ON ⋅= 所以12120x x y y +=所以()2121220x x t x x t -++=所以222(1)0t t t t t --++= 所以230t t -= 所以0t =或3t = 此时，都有0∆>所以存在满足条件的直线MN ：y x =-或3y x =-+.35．（2021·广东清远市·高二期末）已知直线1l ：43100x y -+=与直线2l ：70ax by +-=垂直，且2l 经过点()1,1. （1）求2l 的方程；（2）若2l 与圆C ：2211()252x y +-=相交于A ，B 两点，求AB . 【答案】（1）3470x y +-=；（2）8. 【分析】（1）利用两直线垂直得到430a b -=及点代入直线建立方程组得解；（2）利用求得圆心到直线距离，利用勾股定理得解【详解】（1）依题意可得43070a b a b -=⎧⎨+-=⎩，解得3a =，4b =，故2l 的方程为3470x y +-=. （2）因为点11(0,)2C 到2l 的距离1535d ==，所以8AB ==. 【点睛】求圆的弦长，使用几何法简捷快速.36．（2021·浙江丽水市·高二期末）设圆C 的半径为r ，圆心C 是直线24y x =-与直线1y x =-的交点．（1）若圆C 过原点O ，求圆C 的方程；（2）已知点()0,3A ，若圆C 上存在点M ，使2=MA MO ，求r 的取值范围．【答案】（1）()()223213x y -+-=；（2）2⎡⎤⎣⎦.【分析】（1）联立两直线方程，可求得圆心C 的坐标，求出圆C 的半径，由此可得出圆C 的方程；（2）设点(),M x y ，由2=MA MO 可求得点M 的轨迹为圆D ，利用圆C 与圆D 有公共点可得出关于r 的不等式，由此可解得r 的取值范围．【详解】（1）由241y x y x =-⎧⎨=-⎩，得32x y =⎧⎨=⎩，所以圆心()3,2C .又圆C 过原点O ，r OC ∴==∴圆C 的方程为：()()223213x y -+-=；（2）设(),M x y ，由2=MA MO =()2214x y ++=.∴点M 在以()0,1D -为圆心，半径为2的圆上.又点M 在圆()()222:32C x y r -+-=上，22r CD r ∴-≤≤+，即22r r -≤≤+，22r ∴≤≤. 【点睛】结论点睛：圆与圆的位置关系：设圆1C 与圆2C 的半径长分别为1r 和2r .（1）若1212C C r r <-，则圆1C 与圆2C 内含；（2）若1212C C r r =-，则圆1C 与圆2C 内切；（3）若121212r r C C r r -<<+，则圆1C 与圆2C 相交；（4）若1212C C r r =+，则圆1C 与圆2C 外切；（5）若1212C C r r >+，则圆1C 与圆2C 外离.37．（2021·山东济南市·高二期末）在①圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为 ②圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ;③圆C 与直线210x y --=相切，且与圆22:(2)1Q x y +-=相外切这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的圆C 存在，求出圆C 的方程;若问题中的圆C 不存在，说明理由．问题:是否存在圆C ，______，且圆心C 在直线12y x =上．注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】答案见解析. 【分析】选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；【详解】选择条件①：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a =因为圆C 与y 轴相切，且与x 轴正半轴相交所得弦长为所以0a >，0b >，且2r a b == 由垂径定理得223r b =+解得1b =，所以2a =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件②：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以12b a = 因为圆C 经过点()4,1A 和()2,3B ，AB 的中点()3,2M 所以AB 的中垂线方程为1y x =-联立直线12y x =解得21x y =⎧⎨=⎩即2a =，1b =，2r所以圆C 的方程为22(2)(1)4x y -+-=选择条件③：设圆心C 的坐标为(),a b ，圆C 的半径为r 因为圆心C 在直线12y x =上，所以2a b =r =，所以r =，因为圆C 与圆Q 相外切，所以||1CQ r =+1r =+可得：2145405b b --+=，因为该方程∆<0，所以方程无解故不存在满足题意的圆C ．【点睛】“结构不良问题”是2020年新高考出现的新题型：题目所给的三个可选择的条件是平行的，即无论选择哪个条件，都可解答题目，而且，在选择的三个条件中，并没有哪个条件让解答过程比较繁杂，只要推理严谨、过程规范，都会得满分.38．（2021·黄石市有色第一中学高二期末）已知圆E 经过点(0,0)A ，(1,1)B ，从下列3个条件选取一个_______①过点(2,0)C ；②圆E 恒被直线0mx y m --=()m R ∈平分；③与y 轴相切. （1）求圆E 的方程；（2）过点(3,0)P 的直线l 与圆E 相交于A 、B 两点，求AB 中点M 的轨迹方程. 【答案】（1）()2211x y -+=；（2）()223212x y x ⎛⎫-+=<⎪⎝⎭. 【分析】（1）选择①、②、③，分别用待定系数法求圆E 的方程；（2）先分析出EM AB ⊥，M 的轨迹落在圆上，根据交点判断范围即可.。

高中数学—直线与圆及答案(基础+巩固+综合练习)

第七章直线与圆基础练习一、选择题1. 直线0=++c by ax 同时要经过第一、第二、第四象限，则c b a 、、应满足（） A . 0,0<>bc ab B . 0,0ab bc <> C . 0,0>>bc abD . 0,0<<bc ab2. 如果直线02012=-+=++y x y ax 与直线互相垂直，那么a 的值等于（）A . 1B . 31-C . 32-D .2-3. 若直线023022=--=++y x y ax 与直线平行，那么系数a 等于（）A . 3-B . 6-C . 23-D .32 4. 点P(5a +1,12a )在圆(x －１)２＋y 2=1的内部,则a 的取值范围是（）A . 113a <B . 1-13a ＞C . 11-1313a <＜ D . 113a <或1-13a ＞ 5. 点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP|的最小值是（）A . 2B . 6C . 22D . 106. 圆x 2+y 2-4x +2y +c =0与y 轴交于A 、B 两点，圆心为P ，若∠APB=900，则c 的值是（）A . -3B . 3C . 22D . 8二、填空题7. 过点(1,3)-且平行于直线032=+-y x 的直线方程为． 8. 方程x 2+y ２－x +y +k =0表示一个圆，则实数k 的取值范围为． 9. 直线(2)(21)(34)0m x m y m +----=，不管m 怎样变化恒过点．10. 已知(1P -是圆{cos sin x r y r θθ==（θ为参数，02)θπ≤<上的点，则圆的普通方程为 .过P 点的圆的切线方程是．三、解答题11. 求直线()23--=x y 截圆422=+y x 所得的弦长.12. 求半径为1，与圆042422=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程.13. 已知直线x +y ＝a 与圆x 2+y 2＝4交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA →、OB →满足OA OB OA OB +=-,求实数a 的值.14. 圆()2211y x +=-被直线0x y -=分成两段圆弧，求较短弧长与较长弧长之比.15. 平行于直线2x+5y-1=0的直线l与坐标轴围成的三角形面积为5，求直线l的方程.巩固提高题一、选择题1. 点)5,0(到直线x y 2=的距离为()A .25B .5C .23D .25 2. 三直线102,1034,082=-=+=++y x y x y ax 相交于一点，则a 的值是()A .2-B .1-C .0D .13. 直线0943=--y x 与圆422=+y x 的位置关系是() A .相交且过圆心 B .相切C .相离D .相交但不过圆心4. 若过点（4,0）的直线l 与曲线22+y -4+3=0x x 有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为( )A. ]3333-[， B .（-∞,33]∪,33[+∞）C .（3333-，） D . -,-33∞⋃∞（）（）5. 若圆(x -3)2+(y +5)2=r 2上有且只有两个点到直线4x -3y -2=0距离等于1，则半径r 取值范围是()A .（4，6）B .[4，6）C .（4，6]D .[4，6] 6. 过点A （1，4），且横纵截距的绝对值相等的直线共有( )A .1条B .2条C .3条D .4条二、填空题7. 设直线1:60l x my ++=和2:(2)320l m x y m -++=，当m ＝_______时1l ∥2l ；当m ＝________时1l ⊥2l ；当m _________时1l 与2l 相交；当m ＝_________时1l 与2l重合.8. 圆12222=+y x 与直线sin 10(,2x y R πθθθ+-=∈≠k π+，)k z ∈的位置关系为 .9. 若直线30ax by +-=与圆22410x y x ++-=切于点(1,2)P -，则ab 的值____. 10. 点A(4,5)关于直线l 的对称点为Ｂ(－2,7)，则l 的方程是 . 三、解答题11. 已知圆422=+y x O ：，求过点()42，P 与圆O 相切的切线.12. 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系.13. 已知圆C ：22(1)5x y +-=，直线l ：10mx y m -+-=.①求证：对m R ∈，直线l 与圆C 总有两个不同的交点；②设l 与圆C 交于A 、B 两点，若AB =l 的斜率.14. （1）求经过点A（5，2），B（3，2），圆心在直线2x-y-3=0上圆方程；（2）设圆上的点A（2，3）关于直线x+2y=0的对称点仍在这个圆上，且与直线x-y+1=0相交的弦长为22，求圆方程.15. 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为圆心的圆与直线：4x =相切。

(完整版)直线与圆综合练习题含答案

直线与圆的方程训练题一、选择题:1．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（）A ．B ．C ．，不存在D ．，不存在 2．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α，且sin cos 0αα+=，则,a b 满足（） A ．1=+b aB ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a3．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（）A ．012=-+y xB ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x 4．已知点(1,2),(3,1)A B ，则线段AB 的垂直平分线的方程是（） A ．524=+y x B ．524=-y x C ．52=+y x D ．52=-y x 5．直线cos sin 0x y a θθ++=与sin cos 0x y b θθ-+=的位置关系是（）A ．平行B ．垂直C ．斜交D ．与的值有关 6．两直线330x y +-=与610x my ++=平行，则它们之间的距离为（）A ．4 BCD7．如果直线l 沿x 轴负方向平移3个单位再沿y 轴正方向平移1个单位后，又回到原来的位置，那么直线l 的斜率是（）A ．-13B ．3-C ．13D ．38．直线l 与两直线1y =和70x y --=分别交于,A B 两点，若线段AB 的中点为(1,1)M -，则直线l 的斜率为（）A ．23 B ．32 C ．32- D ． 23-9．若动点P 到点(1,1)F 和直线340x y +-=的距离相等，则点P 的轨迹方程为（） A ．360x y +-= B ．320x y -+= C ．320x y +-= D ．320x y -+=10．若为圆的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是（）A. 03=--y xB. 032=-+y xC. 01=-+y x D . 052=--y x11．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（） A ．2 B ．21+ C ．221+D ．221+ 12．在坐标平面内，与点(1,2)A 距离为1，且与点(3,1)B 距离为2的直线共有（）0135,1-045,10900180,,a b θ(2,1)P -22(1)25x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 13．圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为（）A ．023=-+y xB ．043=-+y xC ．043=+-y xD ．023=+-y x14．直线032=--y x 与圆9)3()2(22=++-y x 交于,E F 两点，则∆EOF （O 是原点）的面积为（）Ａ．23 Ｂ．43Ｃ．52 Ｄ．55615．已知圆C 的半径为2，圆心在x 轴的正半轴上，直线0443=++y x 与圆C 相切，则圆C 的方程为（）A ．03222=--+x y x B ．0422=++x y xC ．03222=-++x y xD ．0422=-+x y x16．若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是（）A. 50<<k B. 05<<-k C. 130<<k D. 50<<k 17．圆：06422=+-+y x y x 和圆：0622=-+x y x 交于,A B 两点，则AB 的垂直平分线的方程是（） A.30x y ++= B ．250x y --= C ．390x y --= D ．4370x y -+=18．入射光线在直线1:23l x y -=上，经过x 轴反射到直线2l 上，再经过y 轴反射到直线3l 上，若点P是1l 上某一点，则点P 到3l 的距离为（）A ．6 B ．3 C D 二、填空题:19．已知直线,32:1+=x y l 若2l 与1l 关于y 轴对称，则2l 的方程为__________; 若3l 与1l 关于x 轴对称，则3l 的方程为_________; 若4l 与1l 关于x y =对称，则4l 的方程为___________;20．点(,)P x y 在直线40x y +-=上，则22x y +的最小值是________________.21．直线l 过原点且平分ABCD 的面积，若平行四边形的两个顶点为(1,4),(5,0)B D ，则直线l 的方程为________________。

高一数学《直线和圆》典型复习题李老师

高一数学《直线和圆》复习一填空题1．在直角坐标系中，直线01=+y 的倾斜角α的大小是__________弧度．2．直线0534=+-y x 与直线0568=+-y x 的距离为__________．3．若直线1:(1)3l ax a y +-=与2:(1)(23)2l a x a y -++=互相垂直，则实数a 的值为__________．4．设直线0132=++y x 和圆03222=--+x y x 相交于点,A B ，则弦AB 的垂直平分线的方程是_________． .5．点(4,5)A 关于直线l 的对称点为(2,7)B - 则直线l 的方程为_________．6．以)9,4(A ，(6,3)B -为直径的圆的方程是________________________ .7．已知直线5120x y a -+=与圆2220x x y -+=相切，则a 的值为_________．8．已知直线1)0(022=+≠=++y x abc c by ax 与圆相切，则三条边长分别为||,||,||a b c 的三角形的形状是____________．9．已知圆C ：4)2()(22=-+-y a x （0>a ）及直线l ：03=+-y x ，当直线l 被C 截得的弦长为32时，则a 的值为_________．10已知线段AB ,(1,9)A ，B 在圆22:(3)(1)16C x y -++=，则AB 中点M 的轨迹方______________________．11 ．已知直线L 经过点P(-4,-3)，且被圆22(1)(2)25x y +++=截得的弦长为8，则直线L 的方程是______________________．12 ．过点(1,2)P 的直线L 把圆22450x y x +--=分成两个弓形，当其中较小弓形面积最小时，直线L 的方程是_________．13 ．若方程2222110x y kx y k ++++-=表示的曲线是圆，则实数k 的取值范围是_______．如果过点(1,2)总可以作两条直线和圆2222110x y kx y k ++++-=相切，则实数k 的取值范围是_________________．14 ．如右下图,定圆的半径为a ，圆心为(,)b c , 则直线0ax by c ++= 与直线 10x y -+= 的交点在第 ______象限。

2020-2021学年上学期高一期末复习专题训练—直线和圆老师版

2020-2021学年上学期高一期末复习专题训练—直线和圆（一）1、若点()00,P x y 是圆224x y +=外任意一点，当点P 在圆外运动时，直线004x x y y +=与圆224x y +=的位置关系是（ A ） A. 相交B. 相切C. 相交或相切D. 相离【详解】因为点()00,P x y 是圆224x y +=外，故22004x y +>，圆心到直线004x x y y +=的距离：2d =<因此直线和圆224x y +=相交.故选：A【点睛】本题考查了点与圆的位置关系，直线与圆的位置关系综合，考查了学生转化划归、数形结合、数学运算的能力，属于中档题.2、已知圆()()22:122C x y -++=，若直线24y kx =-上存在点P ，使得过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，则实数k 的取值范围是（） A. 23k ≤-或0k ≥ B. 38k ≤- C. 38k ≤-或0k ≥ D. 23k ≤- 【详解】解：设过点P 的圆C 的两条切线分别与圆相切于,A B ,因为过点P 的圆C 的两条切线互相垂直，所以四边形APBC 为正方形，此时正方形的对角线长为2，所以只需圆心(1,2)-到直线的距离小于等于2，≤2， 1k -，解得23k ≤-或0k ≥，故选：A 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式，考查运算能力和转化能力，属于中档题.3、已知()2,0A -,()2,0B ,点P 是圆C :()(2231x y -+=上的动点,则22AP BP +的最小值为( D )A. 9B. 14C. 18D. 26【详解】设O 为坐标原点,(),P x y ,则()()22222222AP BP x y x y +=+++-+()2222828x yPO =++=+,又()()222min 419PO OC r=-=-=,所以()22min18826AP BP+=+=.故选：D【点睛】本题考查了圆相关的最值问题，变换22228AP BP PO +=+是解题的关键.4、设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(,)P x y ，则22||||PA PB +的值为（ B ）A. 5B. 10C.2D.【详解】解：由题意，动直线0x my +=经过定点()0,0，则()0,0A ，动直线30mx y m --+=变形得()()130m x y -+-=，则()1,3B ，由030x my mx y m +=⎧⎨--+=⎩得22233,11m m m P m m ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， ∴22||||PA PB +222223311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭22222331311m m m m m ⎛⎫--⎛⎫+-+- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()()()22222222333131m m m m m m m-+-++++=+()432224322269696161m m m m m m m m m m m-++-+++++++=+()4222102010101m m m++==+，故选：B ．【点睛】本题主要考查直线过定点问题，考查两点间距离公式及两条直线的交点问题，考查计算能力，属于基础题．5、已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆22:20C x y y ++=的两条切线，A 、B 为切点，C 为圆心，则四边形P ACB 面积的最小值是（ A ） A. 2B.C. D. 4【详解】解：圆22:20C x y y ++=即22(y 1)1x ++=,表示以C (0,-1)为圆心，以1为半径的圆．由于四边形P ACB 面积等于122PA AC PA ⨯⨯⨯=，而PA =故当PC 最小时，四边形P ACB 面积最小.又PC 的最小值等于圆心C 到直线240x y -+=的距离d ,而d ==故四边形P ACB 2=，故选A.6、对于两条平行直线和圆的位置关系定义如下：若两直线中至少有一条与圆相切，则称该位置关系为“平行相切”；若两直线都与圆相离，则称该位置关系为“平行相离”；否则称为“平行相交”．已知直线1:360l ax y++=，2:2(1)60l x a y+++=与圆:C22221(0)x y x b b++=->的位置关系是“平行相交”，则实数b的取值范围为（D ）A.2B. (0,)2C.D.2()2⋃+∞【详解】圆C的标准方程为(x＋1)2＋y2＝b2.由两直线平行，可得a(a＋1)－6＝0，解得a＝2或a＝－3.当a ＝2时，直线l1与l2重合，舍去；当a＝－3时，l1：x－y－2＝0，l2：x－y＋3＝0.由l1与圆C相切，得2b==，由l2与圆C相切，得b==.当l1、l2与圆C都外离时，b<所以，当l1、l2与圆C“平行相交”时，b满足bb b⎧≥⎪⎨≠≠⎪⎩，故实数b的取值范围是，2)∪(2，＋∞)．故选D.7、已知直线:20l kx y k-+-=过定点M，点(,)P x y在直线210x y+-=上，则||MP的最小值是（B ）A.B.C.D.【详解】直线:20l kx y k-+-=，即(1)20k x y--+=，令1020xy-=⎧⎨-+=⎩解得12xy=⎧⎨=⎩故直线过定点(1,2)M，点(,)P x y在直线210x y+-=上，∴min||MP为点M到直线的距离，min||MP∴===，||MP，故选：B．【点睛】本题主要考查直线经过定点问题，点到直线的距离公式的应用，考查了转化思想，属于中档题．8、已知圆()22:22440C x y x my m m R++---=∈，则当圆C的面积最小时，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为（ D ）A. B. 6C. 1D. 1【详解】由2222440x y x my m++---=得()()222145x y m m m++-=++，因此圆心为()1,C m-，半径为1r==，当且仅当2m=-时，半径最小，则面积也最小；此时圆心为()1,2C--，半径为1r=，因此圆心到坐标原点的距离为d r ==>，即原点在圆C 外，根据圆的性质，圆上的点到坐标原点的距离的最大值为1d r +=.故选：D.【点睛】本题主要考查求圆上的点到定点距离的最值，属于基础题型.9、坐标原点()0,0O 在动直线(2)(2)0m x n y -+-=上的投影为点P ，若点()1,1Q --，那么PQ 的取值范围为（ A ）A. B. C. ⎡⎣ D. 1⎡⎣ 【详解】∵动直线()()220m x n y -+-=过定点M （2，2），点()0,0O 在动直线()()220m x n y -+-=上的投影为点P ， ∴∠OPQ ＝90°，则P 在以OM 为直径的圆上，∴此圆的圆心A 坐标为（022+，022+），即A （1，1），半径r 12=OM =()1,1Q --∴|AQ |=Q 在圆外，∴PQ 的取值范围为故选：A ．【点睛】本题考查了恒过定点的直线方程，圆的轨迹方程，线段中点坐标公式，以及两点间的距离公式，确定点P 的轨迹是关键，属于中档题10、已知P 、Q 分别为圆226)3)4:((M x y -+-=与圆224)2)1:((N x y ++-=上的动点，A 为x 轴上的动点，则||||AP AQ +的最小值为（ B ）A.3-B. 3C. 3D. 3【详解】圆224)2)1:((N x y ++-=关于x 轴对称的圆为圆22:(4)(2)1N x y '+++=则||||AP AQ +的最小值为123MN r R '--=-=.故选B【点睛】本题考查了距离的最值问题，转化为圆心距的关系是解题的关键，意在考查学生的计算能力和转化能力.11、若直线y x m =+与曲线x =有两个公共点，则实数m 的取值范围是（ B ）A. 2⎡⎤--⎣⎦B. (2⎤--⎦C. (2,-D. 2,⎡⎣【详解】由x =224(0)x y x +=≥，如图，当直线:l y x m =+与圆224(0)x y x +=≥相切时，22m =-因此：若直线:l y x m =+与圆224(0)x y x +=≥有两个公共点，则实数m 的取值范围是：(22,2⎤--⎦.故选：B【点睛】本题考查了直线和半圆的位置关系，考查了学生转化与划归，数形结合的能力，属于中档题. 12、直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP △面积的取值范围是（ A ） A.[2,6]B. [4,8]C. 232D. 2232⎡⎣详解：直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 22=点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离120222d ++==故点P 到直线x y 20++=的距离2d 的范围为2,32则[]22122,62ABP S AB d d ∆==∈故选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题． 13、在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知()3,0A ，()0,3B ，动点M 满足2MB MA =，则OM 斜率k 的取值范围是（ A ）A. 322322,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 233233⎡+-⎢⎣⎦C. 322322,⎛⎡⎫+--∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭D. 233233,⎛⎡⎫+--∞+∞ ⎪⎢ ⎪⎝⎦⎣⎭【详解】设点(,)M x y ，∵2MB MA =，∴2222(3)4[(3)]x y x y +-=-+，整理得：22(4)(1)8x y -++=，则点M 是以(4,)1-为圆心，2为半径的圆，则0yk kx y x=⇔-=，当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径，所以=，解得：24k -±=，所以22,44k ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.故选：A 【点睛】本题考查圆的轨迹方程求解、直线与圆的位置关系，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意点到直线距离公式的应用. 14、设1x 、2x 是关于x 的方程220x mx m m ++-=的两个不相等的实数根，那么过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与圆()2211x y -+=的位置关系是（ D ）A. 相离.B. 相切.C. 相交.D. 随m 的变化而变化.【详解】22212121,ABx x k x x x x -==+∴-直线AB 的方程为21121()()y x x x x x -=+-. 即1212()y x xx x x =+-，所以直线AB的方程为22,y mx m m d =-+-==因为2240,4()0,03m m m m ∆>∴-->∴<<,所以221999225,(),(,),()()161616256t g t t tt g t g m =>∴=+∈+∞>=令, 所以1615d =<=,所以直线AB 与圆可能相交，也可能相切，也可能相离. 15、在平面直角坐标系xOy 中，已知点(1,21)A m m --，点()2,1B -，直线l :0ax by +=.如果对任意的m R ∈点A 到直线l 的距离均为定值，则点B 关于直线l 的对称点B 1的坐标为（ B ）A. (0,2)B. 211,55⎛⎫⎪⎝⎭ C. (2,3)D.2,35⎛⎫ ⎪⎝⎭【详解】由点到直线的距离公式可得：点A 到直线l 的距离d ==由于对任意的m R ∈点A 到直线l 的距离均为定值，所以20a b -=，即2a b =，所以直线l 的方程为：20x y +=设点B 关于直线l 的对称点1B 的坐标为(,)m n故1122212022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪⨯+=⎪⎩ ，解得：25115m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以设点B 关于直线l 的对称点1B 的坐标为211,55⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案选B【点睛】本题主要考查点关于直线对称的对称点的求法，涉及点到直线的距离，两直线垂直斜率的关系，中点公式等知识点，考查学生基本的计算能力，属于中档题。

高中数学直线与圆精选题目(附答案)

高中数学直线与圆精选题目（附答案）一、两直线的位置关系1．求直线斜率的基本方法(1)定义法：已知直线的倾斜角为α，且α≠90°，则斜率k ＝tan α.(2)公式法：已知直线过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且x 1≠x 2，则斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1.2．判断两直线平行的方法(1)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1＝k 2⇔l 1∥l 2.(2)若不重合的直线l 1与l 2的斜率都不存在，其倾斜角都为90°，则l 1∥l 2. 3．判断两直线垂直的方法(1)若直线l 1与l 2的斜率都存在，且分别为k 1，k 2，则k 1·k 2＝－1⇔l 1⊥l 2. (2)已知直线l 1与l 2，若其中一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，则l 1⊥l 2.1.已知两条直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2且l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等． [解] (1)∵l 1⊥l 2， ∴a (a －1)－b ＝0，① 又l 1过点(－3，－1)， ∴－3a ＋b ＋4＝0.②解①②组成的方程组得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2.(2)∵l 2的斜率存在，l 1∥l 2， ∴直线l 1的斜率存在． ∴k 1＝k 2，即a b＝1－a .③又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，l 1∥l 2， ∴l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝－(－b )．④由③④联立，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23，b ＝2.经检验此时的l 1与l 2不重合，故所求值为 ⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－2或⎩⎨⎧a ＝23 ，b ＝2.注：已知两直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0和l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0(1)对于l 1∥l 2的问题，先由A 1B 2－A 2B 1＝0解出其中的字母值，然后代回原方程检验这时的l 1和l 2是否重合，若重合，舍去．(2)对于l 1⊥l 2的问题，由A 1A 2＋B 1B 2＝0解出字母的值即可． 2．直线ax ＋2y －1＝0与直线2x －3y －1＝0垂直，则a 的值为( ) A ．－3 B ．－43C ．2D ．3解析：选D 由2a －6＝0得a ＝3.故选D.3．已知直线x ＋2ay －1＝0与直线(a －1)x ＋ay ＋1＝0平行，则a 的值为( )或0 C ．0D ．－2解析：选A 当a ＝0时，两直线的方程化为x ＝1和x ＝1，显然重合，不符合题意；当a ≠0时，a －11＝a 2a ，解得a ＝32.故选A. 二、直线方程1．直线方程的五种形式2．常见的直线系方程(1)经过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是待定系数．在这个方程中，无论λ取什么实数，都不能得到A2x＋B2y＋C2＝0，因此它不能表示直线l2.(2)平行直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)平行的直线系方程是Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)．(3)垂直直线系方程：与直线Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)垂直的直线系方程是Bx－Ay＋λ＝0.4.过点A(3，－1)作直线l交x轴于点B，交直线l1：y＝2x于点C，若|BC|＝2|AB|，求直线l的方程．[解] 当直线l的斜率不存在时，直线l：x＝3，∴B(3,0)，C(3,6)．此时|BC|＝6，|AB|＝1，|BC|≠2|AB|，∴直线l的斜率存在．设直线l的方程为y＋1＝k(x－3)，显然k≠0且k≠2.令y＝0，得x＝3＋1 k ，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋1k ，0，由⎩⎨⎧y ＝2x ，y ＋1＝kx －3，得点C 的横坐标x C ＝3k ＋1k －2. ∵|BC |＝2|AB |，∴|x B －x C |＝2|x A －x B |， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ＋1k －2－1k －3＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪1k ， ∴3k ＋1k －2－1k －3＝2k 或3k ＋1k －2－1k －3＝－2k，解得k ＝－32或k ＝14.∴所求直线l 的方程为3x ＋2y －7＝0或x －4y －7＝0. 注：求直线方程时，要根据给定条件，选择恰当的方程，常用以下两种方法求解：(1)直接法：直接选取适当的直线方程的形式，写出结果；(2)待定系数法：先以直线满足的某个条件为基础设出直线方程，再由直线满足的另一个条件求出待定系数，从而求得方程．5．已知直线l 1：3x －2y －1＝0和l 2：3x －2y －13＝0，直线l 与l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，若d 1∶d 2＝2∶1，求直线l 的方程．解：由直线l 1，l 2的方程知l 1∥l 2，又由题意知，直线l 与l 1，l 2均平行(否则d 1＝0或d 2＝0，不符合题意)．设直线l ：3x －2y ＋m ＝0(m ≠－1且m ≠－13)，由两平行直线间的距离公式，得d 1＝|m ＋1|13，d 2＝|m ＋13|13，又d 1∶d 2＝2∶1，所以|m ＋1|＝2|m ＋13|，解得m ＝－25或m ＝－9.故所求直线l 的方程为3x －2y －25＝0或3x －2y －9＝0. 6．已知直线l ：3x －y ＋3＝0，求： (1)点P (4,5)关于l 的对称点；(2)直线x －y －2＝0关于直线l 对称的直线方程．解：设P (x ，y )关于直线l ：3x －y ＋3＝0的对称点为P ′(x ′，y ′)．∵k PP ′·k l ＝－1，即y ′－yx ′－x×3＝－1.① 又PP ′的中点在直线3x －y ＋3＝0上， ∴3×x ′＋x 2－y ′＋y 2＋3＝0.②由①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－4x ＋3y －95， ③y ′＝3x ＋4y ＋35. ④(1)把x ＝4，y ＝5代入③④得x ′＝－2，y ′＝7， ∴P (4,5)关于直线l 的对称点P ′的坐标为(－2,7)．(2)用③④分别代换x －y －2＝0中的x ，y ，得关于l 的对称直线方程为－4x ＋3y －95－3x ＋4y ＋35－2＝0，化简得7x ＋y ＋22＝0.三、圆的方程(1)圆的标准方程：(x －a )2＋(y －b )2＝r 2 (2)圆的一般方程：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(3)若圆经过两已知圆的交点或一已知圆与一已知直线的交点，求圆的方程时可用相应的圆系方程加以求解：①过两圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0，C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λ(x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2)＝0(λ为参数，λ≠－1)，该方程不包括圆C 2；②过圆C ：x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0与直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λ(Ax ＋By ＋C )＝0(λ为参数，λ∈R)．7.在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)，经过这三个点的圆记为M .(1)求BC 边的中线AD 所在直线的一般式方程； (2)求圆M 的方程．[解] (1)法一：由B (2,0)，C (0，－4)，知BC 的中点D 的坐标为(1，－2)．又A (－3,0)，所以直线AD 的方程为y －0－2－0＝x ＋31＋3，即中线AD 所在直线的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. 法二：由题意，得|AB |＝|AC |＝5，则△ABC 是等腰三角形，所以AD ⊥BC .因为直线BC 的斜率k BC ＝2，所以直线AD 的斜率k AD ＝－12，由直线的点斜式方程，得y －0＝－12(x ＋3)，所以直线AD 的一般式方程为x ＋2y ＋3＝0. (2)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将A (－3,0)，B (2,0)，C (0，－4)三点的坐标分别代入方程，得⎩⎨⎧9－3D ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，16－4E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝1，E ＝52，F ＝－6.所以圆M 的方程是x 2＋y 2＋x ＋52y －6＝0.注：利用待定系数法求圆的方程(1)若已知条件与圆的圆心和半径有关，可设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a ，b ，r 的方程组，从而求出a ，b ，r 的值．(2)若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，可选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D ，E ，F 的方程组，从而求出D ，E ，F 的值．8．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，∴圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.9．已知圆C 经过点A (2，－3)，B (－2，－5)，且圆心在直线l ：x －2y －3＝0上，求圆C 的方程．解：设圆C 的方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2.由题意，得⎩⎨⎧2－a2＋－3－b 2＝r 2，－2－a 2＋－5－b2＝r 2，a －2b －3＝0，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.所以圆C 的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10.10．求以圆C 1：x 2＋y 2－12x －2y －13＝0和圆C 2：x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0的公共弦为直径的圆C 的方程．解：联立两圆的方程得方程组 ⎩⎨⎧x 2＋y 2－12x －2y －13＝0，x 2＋y 2＋12x ＋16y －25＝0，相减得公共弦所在直线的方程为4x ＋3y －2＝0. 再由⎩⎨⎧4x ＋3y －2＝0，x 2＋y 2－12x －2y －13＝0解得两圆交点坐标为(－1,2)，(5，－6)．∵所求圆以公共弦为直径，∴圆心C 是公共弦的中点(2，－2)，半径长为125＋12＋－6－22＝5.∴圆C 的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝25.四、直线与圆的位置关系1．直线与圆位置关系的判断方法(1)几何法：设圆心到直线的距离为d ，圆的半径长为r .若d <r ，则直线和圆相交；若d ＝r ，则直线和圆相切；若d >r ，则直线和圆相离．(2)代数法：联立直线方程与圆的方程组成方程组，消元后得到一个一元二次方程，其判别式为Δ.Δ＝0⇔直线与圆相切；Δ>0⇔直线与圆相交；Δ<0⇔直线与圆相离．2．过圆外一点(x 0，y 0)与圆相切的切线方程的求法①当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，化成一般式kx－y＋y－kx0＝0，利用圆心到直线的距离等于半径长，解出k；②当切线斜率存在时，设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2联立，化为关于x的一元二次方程，利用判别式为0，求出k.当切线斜率不存在时，可通过数形结合思想，在平面直角坐标系中作出其图象，求出切线的方程．3．圆中弦长的求法(1)直接求出直线与圆或圆与圆的交点坐标，再利用两点间的距离公式求解．(2)利用圆的弦长公式l＝1＋k2|x1－x2|＝1＋k2·x1＋x22－4x1x2(其中x1，x2为两交点的横坐标)．(3)利用垂径定理：分别以圆心到直线的距离d、圆的半径r与弦长的一半l2为线段长的三条线段构成直角三角形，故有l＝2r2－d2.4．圆与圆的位置关系：(1)利用圆心间距离与两半径和与差的大小关系判断两圆的位置关系．(2)若圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0与圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交．则两圆方程相减后得到的新方程：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0表示的是两圆公共弦所在直线的方程．11.(1)直线x＋y－2＝0与圆(x－1)2＋(y－2)2＝1相交于A，B两点，则|AB|＝( )(2)若直线x－my＋1＝0与圆x2＋y2－2x＝0相切，则m的值为( )A．1 B．±1C．± 3(3)已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4，直线l过定点A(1,0)．①若l与圆C相切，求l的方程；②若l与圆C相交于P，Q两点，且|PQ|＝22，求此时直线l的方程．[解析] (1)∵圆心(1,2)到直线x＋y－2＝0的距离d＝22，∴|AB|＝212－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2，故选D.(2)由x 2＋y 2－2x ＝0，得圆心坐标为(1,0)，半径为1，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即|1－0＋1|1＋m 2＝1，解得m ＝± 3. 答案：(1)D (2)C(3)解：①若直线l 的斜率不存在，则直线l ：x ＝1，符合题意．若直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)，即kx －y －k ＝0.由题意知，圆心(3,4)到直线l 的距离等于2，即|3k －4－k |k 2＋1＝2，解得k ＝34，此时直线l 的方程为3x －4y －3＝0.综上可得，所求直线l 的方程是x ＝1或3x －4y －3＝0.②由直线l 与圆C 相交可知，直线l 的斜率必定存在，且不为0，设直线l 的方程为k 0x －y －k 0＝0，圆心(3,4)到直线l 的距离为d ，因为|PQ |＝24－d 2＝22，所以d ＝2，即|3k 0－4－k 0|k 20＋1＝2，解得k 0＝1或k 0＝7，所以所求直线l 的方程为x －y －1＝0或7x －y －7＝0. 注：研究直线与圆位置关系综合问题时易忽视直线斜率k 不存在情形，要注意作出图形进行判断．12．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆x 2－6x ＋y 2＋8＝0引切线，则切线长的最小值为( )A ．1B ．22D ．3解析：选C 切线长的最小值在直线y ＝x ＋1上的点与圆心距离最小时取得，圆心(3,0)到直线的距离为d ＝|3－0＋1|2＝22，圆的半径为1，故切线长的最小值为d 2－r 2＝8－1＝7.13．P 是直线l ：3x －4y ＋11＝0上的动点，PA ，PB 是圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0的两条切线，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是( )B ．22D ．23解析：选C 圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心C (1,1)，半径r ＝1.根据对称性可知四边形PACB 的面积等于2S △APC ＝2×12×|PA |×r ＝|PA |＝|PC |2－r 2＝|PC |2－1.要使四边形PACB 的面积最小，则只需|PC |最小，最小值为圆心C 到直线l ：3x －4y ＋11＝0的距离d ＝|3－4＋11|32＋42＝105＝2，所以四边形PACB 面积的最小值为4－1＝ 3.14．已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0.问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦AB 满足：以AB 为直径的圆经过原点．解：假设存在且设l ：y ＝x ＋m ，圆C 化为(x －1)2＋(y ＋2)2＝9，圆心C (1，－2)，则过圆心C 垂直弦AB 的直线为y ＋2＝－x ＋1，解方程组⎩⎨⎧y ＝x ＋m ，y ＋2＝－x ＋1得AB 的中点N 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋12，m －12，由于以AB 为直径的圆过原点，所以|AN |＝|ON |. 又|AN |＝|CA |2－|CN |2＝ 9－2×⎝⎛⎭⎪⎫m ＋322， |ON |＝⎝⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122.所以9－2×⎝⎛⎭⎪⎫3＋m 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－m ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m －122，解得m ＝1或m ＝－4.所以存在直线l ，其方程为x －y ＋1＝0和x －y －4＝0，并可以检验，这时l 与圆是相交于两点的．。

高中数学 2.5.1直线与圆的位置关系课后练习、课时练习

一、单选题1. 若圆上至少有三个不同点到直线:的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是( )A．B．C．D．2. 直线与圆相交于不同的，两点其中，是实数，且是坐标原点，则点与点距离的取值范围为（）A．B．C．D．3. 已知动直线与圆相交于A，B两点，圆下列说法：①与有且只有一个公共点；②线段AB的长度为定值；③线段AB的中点轨迹为.其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．34. 在中，，，，点在该三角形的内切圆上运动，当最大时，则的值为（）A．B．C．D．5. 过点且与圆相切的直线方程为（）A．B．C．D．6. 与圆相切，且在轴上的截距相等的直线有A．3条B．4条C．5条D．6条二、多选题7. 已知直线与直线平行，且与圆相切，则直线的方程是（）A．B．C．D．8. 设圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，且圆与直线相交的弦长为，则圆的方程为（）A．B．C．D．三、填空题9. 当直线：（）被圆：截得的弦最短时，实数的值为______．10. 直线与圆的位置关系是_______．11. 已知直线，若直线与圆在第一象限内的部分有公共点，则的取值范围是__________.12. 直线被圆截得的弦长为，则_______四、解答题13. 已知直线和圆，(1)当为何值时，截得的弦长为2；(2)若直线和圆交于两点，此时，求的值.14. 已知圆和定点，动点､在圆上.(1)过点作圆的切线，求切线方程；(2)若满足，设直线与直线相交于点.①求证：直线过定点；②求证：.15. 已知圆心在x轴上的圆C与直线切于点，圆.（1）求圆C的标准方程；（2）已知，圆P与x轴相交于两点（点M在点N的右侧），过点M任作一条倾斜角不为0的直线与圆C相交于两点.问：是否存在实数a，使得若存在，求出实数a的值，若不存在，请说明理由.16. 已知圆O：与直线相切．（1）求圆O的方程；（2）若过点作两条斜率分别为，的直线交圆O于B、C两点，且，求证：直线BC恒过定点．并求出该定点的坐标．。

高考数学复习-直线与圆练习试题、参考答案

高考数学复习-直线与圆练习试题第Ⅰ卷 (选择题共40分)一、选择题(10×4′＝40′)1.直线l 与直线y =1、x-y -7=0分别交于P 、Q 两点，线段PQ 的中点为(1,-1)，则直线l 的斜率为( )A.23 B.32 C.-32D.-232.点P 在直线2x +y +10=0上，P A 、PB 与圆422=+y x 分别相切于A 、B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为 ( )A.24B.16C.8D.43.已知直线1l ：y =x ,2l ：ax -y =0，其中a 为实数，当这两直线的夹角θ∈(0,12π)时，a 的取值范围为 ( )A.(0，1)B.(33,3) C.(33,1)∪(1,3) D.(1,3) 4.设a 、b 、k 、p 分别表示同一直线的横截距、纵截距、斜率和原点到直线的距离，则有( ) A.)1(2222k p k a += B.k =abC.b a 11+=pD.a =-kb5.已知直线x +3y -7=0，kx-y -2=0和x 轴、y 轴围成四边形有外接圆，则实数k 等于 ( ) A.-3 B.3 C.-6 D.66.若圆222r y x =+(r >0)上恰有相异两点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r 的取值范围是( ) A.［4，6］ B.[4,6） C.（4,6] D.(4，6)7.直线1l :0=++c by ax ,2l :0=++p ny mx ,则bnam=-1是1l ⊥2l 的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.过圆422=+y x 外一点P(4，-1)引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为 ( ) A.4x -y -4=0 B.4x +y -4=0 C.4x +y +4=0 D.4x -y +4=09.倾斜角为60°，且过原点的直线被圆222)()(r b y a x =-+-(r >0)截得弦长恰好等于圆的半径，则a 、b 、r 满足的条件是 ( )A.)3(|3|3a b b a r ≠-=B.)3(|3|23a b b a r ≠-=C.)3(|3|3a b b a r ≠+=D.)3(|3|23a b b a r ≠-=10.直线y =kx +1与圆0922=--++y kx y x 的两个交点关于y 轴对称，则k 为 ( )A.-1B.0C.1D.任何实数第Ⅱ卷 (非选择题共60分)二、填空题(4×3′＝12′)11.若点P (a ,b )与点Q (b +1,a -1)关于直线l 对称，则直线l 的方程是 .12.已知圆16)1()2(22=-+-y x 的一条直径通过直线x -2y -3=0被圆截弦的中点，则该直径所在直线的方程为 .13.关于x 的方程kx +1=21x -有且只有一个实根，则实数k 的取值范围是 . 14.经过点P (-2,4)，且以两圆0622=-+x y x 和422=+y x 的公共弦为一条弦的圆的方程是 .三、解答题(6×8′＝48′)15.若直线1l :x+y+a =0,2l :x+ay +1=0,3l :ax+y +1=0能围成三角形,求a 的取值范围.16.已知点P 是直线l 上的一点，将直线l 绕点P 逆时针方向旋转α(0<α<2π)所得直线1l 的方程为3x -y -4=0，若继续绕点P 逆时针方向旋转α-π2，则得2l 的方程为x +2y +1=0，试求直线l 的方程.17.设P 是圆M ：1)5()5(22=-+-y x 上的动点，它关于A (9,0)的对称点为Q ，把P 绕原点依逆时针方向旋转90°到点S ，求|SQ |的最值.18.已知点A (3,0)，点P 在圆122=+y x 的上半圆周上，∠AOP 的平分线交P A 于Q ，求点Q 的轨迹方程.19.如图，已知⊙A :425)2(22=++y x ,⊙B :41)2(22=+-y x ,动圆P 与⊙A 、⊙B 都外切. (1)求动圆圆心P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；(2)若直线y=kx +1与(1)中的曲线有两个不同的交点1P 、2P ，求k 的取值范围； (3)若直线l 垂直平分(2)中的弦21P P ，求l 在y 轴上的截距b 的取值范围.20.已知圆C ：044222=-+-+y x y x ，是否存在斜率为1的直线l ，使得l 被圆C 截得弦AB 为直径的圆过原点?若存在，求出l 的方程;若不存在，说明理由.参考答案1.C 方法1 设直线l 为y=kx+b ，分别与y =1，x-y -7=0联立解得P (-b k ,1)，Q (k b -+17，kb k -+17).由PQ 中点为(1，-1)，∴217=-++-k b b k ，且1＋kb k -+17＝-2，∴k =-32，故选C. 方法2 设P (a ,1)，Q (b +7,b )，因PQ 的中点为(1，-1)，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+=++121127b b a ，解得⎩⎨⎧-=-=32b a ，故P 为(-2,1),Q 为(4，-3)，∴3224131-=+--==PQ k k ,故选C. 2.C 如图，PAOB S ＝22||||2||2||||21232AO PO PA OA PA PAO -==⋅⋅=⋅∆=24||2-PO . 要求PAOB S 的最小值，只需求|PO |的最小值即可.5212|10002|||22min =+++⨯=PO ，∴8)(min =PAOB S ，故选C.3.C 如图，设直线y=ax 的倾斜角为α, 则α≠4π,∴|α-4π|<12π, ∴6π<α<3π,且α≠4π.a =tan α∈(33,1)∪(1,3).4.A 应用点到直线的距离公式,选A.5.B 如图，设围成四边形为OABC ，因OABC 有外接圆，且∠AOC ＝90°，故∠ABC ＝90°. ∴两条直线x +3y -7=0,kx -y -2=0互相垂直，(-31)·k =-1，即k =3，故选Ｂ.说明运用圆的几何性质是解决圆的问题的有效途径.6.D 如图，设l :4x -3y +25=0，与l 平行且距离等于1的直线为4x -3y +b =0. ∴2015|25|=⇒=-b b 或b =30.第2题图解第3题图解第5题图解1l :4x -3y +20=0，2l :4x -3y +30=0.圆心(0，0)到1l 和2l 的距离分别为5201=d =4，5302=d =6. 故满足条件的r 取值范围(4，6).实际上，圆222r y x =+没有点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则0<r <4，若圆上只有一点到直线4x -3y +25=0的距离等于1，则r =4，类似可求出圆上有三点、四点到直线的距离等于1 的r 的取值范围.7.A 由1-=bnam,可得1l ⊥2l ,∴选A. 8.A 方法1 设切点为A 、B ，则AB ⊥OP ， ∵410401-=---=OP k ，∴4=AB k .故排除B 、C. 又由图可知，AB 在y 轴的截距为负，故排除Ｄ，所以选A.方法2 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，由AP ⊥OA 可得AP k ·OA k =-1，即1411111-=⋅-+x y x y .∴04112121=+-+y x y x ，又42121=+y x , ∴04411=++-y x .同理可得04422=++-y x ，∴AB 直线为-4x +y +4=0，即4x -y -4=0.方法3 设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，则切线P A 为411=+y y x x ，422=+y y x x . ∴4411=-y x ,4422=-y x ，∴A 、B 在直线4x -y -4=0上.另:此题可推广到一般结论，若P (0x ,0y )为圆222r y x =+ (r >0)外一点，过P 引圆的两条切线，则经过两切点的直线方程为200r y y x x =+.9.A 直线方程为x y 3=，则圆心(a ,b )到直线3x -y =0的距离为d =2|3|b a -，又因截得弦长恰好等于圆的半径，故d =23r ,∴|3a -b |=3r ，故选A. 10.B 方法1 将y =kx +1代入922=-++y kx y x 中有092)1(22=-++kx x k . 设交点为 A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∵A 、B 关于y 轴对称，∴021=+x x ， ∴k =0.故选B.方法2 因直线与圆的两个交点A (1x ，1y )，B (2x ，2y )关于y 轴对称 ∴021=+x x ,21y y =,故圆心在y 轴上，∴k =0，故选B.11.x-y -1=0 P 、Q 关于直线l 对称，故1k k PQ ⋅=-1且PQ 中点在l 上， ∴11111=---+-=-=aa bb k k PQ，又PQ 中点为(21++b a ,21-+a b )，第6题图解第8题图解∴l 的方程为y -21-+a b ＝x -21++b a ，即x-y -1=0.此题也可将a ,b 赋特殊值去求直线l .12.2x +y -3=0 由圆的几何意义知该直径与直线x -2y -3=0垂直.故该直径方程为y +1=-2(x -2),即2x +y -3=0.13.{k |k >1或k =0或k <-1} 画出函数y =kx +1、y =21x -的图象，两曲线相切及只有一个交点时如图所示.14.08622=-++x y x 设圆的方程为0)4(62222=-+λ+-+y x x y x 经过P (-2,4)， ∴0]44)2[()2(64)2(2222=-+-λ+--+-， ∴λ=-2，∴所求的圆的方程为08622=-++x y x .15.解由1l 、2l 相交，需1·a -1·1≠0,得a ≠1，此时解方程组⎩⎨⎧=++=++010ay x a y x ,可解得⎩⎨⎧=-=11y x 即1l 、2l 的交点为(-1-a ,1),由1l 、3l 相交,需1·1-1·a ≠0,∴a ≠1,由2l ,3l 相交，需1·1-a ·a ≠0,∴a ≠±1,又(-1-a ,1)∉3l , ∴a ·(-1-a )+1+1≠0,得a ≠1且a ≠-2,综上所述，a ∈R 且a ≠±1且a ≠-2,能保证三交点(-1-a ,1),(1,-1-a )、(-1-a ,-1+a +2a )互不重合，所以所求a 的范围为a ∈(-∞,-2)∪(-2,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞).16.解由已知条件知P 为直线3x -y -4=0和直线x +2y +1=0的交点,联立两直线方程得⎩⎨⎧=++=--012043y x y x ，∴⎩⎨⎧-==11y x .∴P 点为(1，-1). 又l 与2l 垂直，故l 的方程为y +1=2(x -1)，即l 的方程为2x -y -3=0. 17.解设P (x ,y ),则Q （18-x ,-y ）,记P 点对应的复数为x +y i, 则S 点对应的复数为:（x +y i ）·i=-y +x i,即S (-y ,x ),∴|SQ |=xy y x xy y x y x x y y x 22363618)()18(2222222+++-+-++=--++- =2222)9()9(2818118182++-⋅=+++-+⋅y x y x y x其中22)9()9(++-y x 可以看作是点P 到定点B (9,-9)的距离，其最大值为|MB |+r =253+1，最小值为|MB |-r =253-1,则|SQ |的最大值为2106+2,|SQ |的最小值为2106-2.第13题图解18.解方法1 如图，设P (0x ,0y )(0y >0)，Q (x ,y ). ∵OQ 为∠AOP 的平分线，∴31||||==OA OP QA PQ ， ∴Q 分P A 的比为31.∴⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧=+⨯+=+=+⨯+=000043311031)1(43311313y y y x x x 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=y y x x 3413400.又因12020=+y x ，且0y >0，∴1916)43(91622=+-y x . ∴Q 的轨迹方程为169)43(22=+-y x (y >0). 方法2 设∠AOP =α，α∈(0，π)，则P (cos α，sin α)，∠AOQ =2α，则OQ 直线方程为y =x ·tan2α=kx ① 3cos sin -αα=PA k ，∴直线P A 方程为y =3cos sin -αα(x -3) ②由Q 满足①②且k =tan2α. 由②得y =12)3()3(311122222+--=-⋅-+-+k x k x k k k k.消去k 有y =12)3(22+--x y x x y，∴02322=-+x y x ,由图知y >0. 故所求Q 点轨迹方程为02322=-+x y x (y >0). 说明上述两种方程为求轨迹的基本方法、相关点及参数法. 19.解 (1)如图，设⊙P 的圆心P (x ,y )，半径为R ，由题设，有|P A |=R +25,|PB |=R +21,∴|P A |-|PB |=2. ∴⊙P 的圆心轨迹是实轴长为2，焦点在x 轴上，且焦距长为4的双曲线的右支，其方程为1322=-y x (x >0).第18题图解第19题图解(2)由方程组⎪⎩⎪⎨⎧>=-+=)0(13122x y x kx y ，有042)3(22=---kx x k (x >0). ①因为直线与双曲线有两个不同交点，∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠->⋅>+>∆030022121k x x x x .从而，有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><-<3034222k k kk ⇒⎪⎩⎪⎨⎧>-<<<-<<<-3330322k k k k k 或或. ∴-2<k <-3. (3)设21P P 的中点为M (M x 、M y )，则M x =22132k kx x -=+. 又M 在y=kx +1上，∴M y =k M x +1=233k-.∴M (23k k-,233k -).∴21P P 的垂直平分线l 的方程为:y-M y =-k 1(x -M x ),即y -233k -=-k 1(x -23kk -). 令x =0,得截距b =234k-,k ∈(-2,-3),又-2<k <-3,∴-1<3-2k <0.∴b <-4.20.解假设存在这样的直线，设直线l 方程为y=x+b .方法1 将y=x+b 代入圆的方程有0222)1(22=+-+++b b x b x .由题设知OA ⊥OB ,设A (1x ，1y )，B (2x ，2y )，∴1x 2x ＋1y 2y ＝0.又1y 2y ＝(1x ＋b )(2x +b )=1x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ,∴21x 2x ＋b (1x ＋2x )＋2b ＝0. 又∵1x +2x =-(b +1)，1x 2x ＝2b -2+22b ,∴2(22b +2b -2)-b (b +1)+ 2b =0.∴b =1或b =-4.此时Δ＝0)22(4)1(2>--+b b ， ∴存在这样的直线l :y=x +1或y=x -4满足题设.方法2 设过圆C 与l 的交点的圆系D 为.0)(44222=+-λ+-+-+b y x y x y x 即04)4()2(22=-λ+λ-+-λ++b y x y x . 圆心为(-22-λ,-24λ-)，在直线y=x+b 上，∴-24λ-=-22-λ+b ，即λ=3+b . ①又圆D 过原点，∴b λ-4=0. ② 由①②得，0432=-+b b ，即b =1或b =-4.此时圆D 的方程存在.故存在直线y=x +1或y=x -4.。

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高一数学直线与圆期末复习练习题
班级：学号姓名
一、填空题；（每题7分，共70分）
1、求符合下列条件的各圆方程：
①圆心在直线2x-y-3=0上，且过点（5，2）和（3，-2）: ；
②圆过三点A(-1,5),B(-2,-2),C(5,5): ；
③直线3x+4y-12=0和两坐标轴围成的三角形外接圆方程：；
④圆心为（2，-1），且截直线y=x-1所得弦长为：；
⑤已知A(-4,-5),B(6,-1),以线段AB 为直径的圆方程：；
⑥圆22
(3)(4)1x y -++=关于直线1x y +=对称的圆方程为：，关于原点对称的圆方程为：。

2.①点(1,1)a a +-在圆2240x y x y +-+-=的外部，则a ∈ ；
②,,a b c 是直角三角形的三边，c 为斜边，那么直线0ax by c ++=与圆22()()1x a y b -+-=的位置关系是；
③若两圆O ：22x y m +=与C :2268110x y x y ++--=有公共点，则m ∈ 。

3.自点A(-3,3)发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在直线与圆224470x y x y +--+=相切，则l 所在直线方程为。

4.直线30ax y -+=与圆22(1)(2)4x y -+-=相交于A,B 两点，且弦AB 长为，则
a = 。

5.如果直线l 把圆22240x y x y +--=平分，且不通过第四象限，则直线l 的斜率范围为。

6.若直线y x k =-+与曲线x =k 的取值范围为。

7.两个圆221:2220C x y x y +++-=与圆2:C 224210x y x y +--+=的公切线有且只有条。

8.圆222(1)(1)x y r -++=上有且仅有两个点到直线43110x y +-=的距离等于1，则r ∈ 。

9.两圆22280x y x +--=和222440x y x y ++--=公共弦所在直线方程为，公共弦长为 ,公共弦中垂线方程为，以公共弦为直径的圆方程为。

10.在△AOB 中，OB=3,OA=4,AB=5,点P 是△AOB 内切圆上的点，则222PA PB PO ++的最大值是
最小值是。

二、解答题：（每题15分，共30分）
11.已知圆22
:24200C x y x y +---=及直线:(21)(1)74(l m x m y m m +++=+∈R ）
（1）求证：不论m 取何实数，直线l 与圆C 总相交；
（2）求直线l 被圆C 所截得的弦长的最短长度，及此时的直线方程。

12.已知圆221:(3)(1)1O x y -+-=，设点(,)p x y 是圆1O 上的动点。

①求P 点到原点的距离的最值；
②求P 点到直线:10l x y +-=距离的最值，并求对应P 点坐标； ③分别求
22,,(3)(4)y y x x y x
-+++的最值； ④又知另一圆222:(3)(4)9O x y +++=上有一点Q ，求PQ 最值； ⑤又知22
(0,1),(0,1),A B d PA PB -=+,求d 的最值及对应P 点坐标。

高一数学直线与圆期末复习练习题参考答案
一、填空题；（每题7分，共70分）、
1、①224250x y x y +-+-=； ② 2242200x y x y +---=； ③22325(2)()24x y -+-=
； ④22(2)(1)4x y -++=； ⑤22(1)(3)29x y -++=； ⑥：22(5)(2)1x y -++=，
22(3)(4)1x y ++-=。

2.①(,(2,)-∞+∞； ② 相离
③[]1,121。

3.4330x y ++=或3430x y +-=。

4. 0 。

5. []0,2。

6. [){}1,12-。

7. 2。

8.（1，3）。

9. 10x y -+=10x y +-=， 22(1)7x y +-=。

10. 18 。

二、解答题：（每题15分，共30分）
11.解见教与练P 172页.
12.解:①P 1,1.
②P 到直线l 1+,此时P (3++,
最小值为12-,此时(322
P --.
③y x
的最大值为34,最小值为0, y x -的最大值为2-最小值为2-
22(3)(4)x y +++的最大值为62+最小值为62-
④PQ 4,4.
⑤d 的最大值为4,此时P 点坐标为(3+,
最小值为,此时P 点坐标为(3)1010
--.。