复变函数第四版-第二章_2.4 矢量场的环量及旋度

从（4.13）式知，我们知道旋度的一个重要性质，就是：旋度 矢量在任一方向上的投影，就等于该方向上的环量面密度，即 有
ro t n A μ n ( 4 .1 5)
例如在磁场H 中，旋度rot H 式这样一个矢量，在给定点 处，它的方向乃是最大电流密度的方向，其模即为最大电流密 度的数值，而且它在任一方向上的投影，就给出该方向上的电 流密度。在电学上称rot H 为电流密度矢量。
例5.
2 2 2 2 设ay2z2i+z2x2j+x2yj x 2 y 2 k2k,证明 A= y z iz x
A ro t A 0
证
由
0 2 D A 2 xz 2 xy 2
2
2 yz 0 2 yx
2
2
2y z 2 2 zx 0
2
2 2
得
于是有
3 7
2
6 7
2
2 7
8
2 7

18 7
第二章 场论
12
• 旋度
看环量面密度的计算公式(4. 11)把其中的三个数( Ry −Qz ) ,( Pz − Rx ) ,(Qx − Py ) 视为一个矢量R 的三个坐标，即取
R ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x Py ) k ( 4 .1 2 )
l
dl lim
s M
I S
s M
s

dI dS
( 4 .9 )
就是在点M 处沿方向n 的电流密度。
又在流速场v 中的一点M 处，沿n 的环量面密度，由(4.3)式为
n lim
v dl
l
s M
s
lim
Qt S
s M

dQt dS
( 4 .1 0 )
A x z 2 x yz 2 yz 例2. 求矢量场A = xz3ii − 2x2yzj j+ 2yz4kk 在点M( 1 , − 2 , 1 ) 处沿 矢量n = 6i + 2j + 3k 方向的环量面密度。
3 2 4
解：矢量n 的方向余弦
第二章 场论
11
co s
6 7
,co s ,
( R
y
再按积分中值定理有
第二章 场论
10
Γ ( R y Q z ) co s( n , x ) ( Pz R x ) co s( n , y ) ( Q x Py ) co s( n , z ) S M*
其中，M＊为ΔS 上某一点，当ΔS→M 时有M＊→M 。于是
DA P x Q x R x P y Q y R y P z Q z R z
叫做矢量场A 的雅可比（Jacobi）矩阵，等号左端的DA 是其记 号，将此矩阵与散度计算公式
第二章 场论
17
第二章 场论
16
( x e 2 z sin y ) i + 2 x ( y z e ) j 2 xyz k
2 y 2 y 2
在计算矢量场A = Pi +Qj + Rk 的散度和旋度时， 还可以用 这样的方法： 求出函数P ，Q ，R 对x , y , z 的各偏导数，列成 如下形式的表
Γ
A dl Pdx Q dy Rdz
l l
( R
s s
y
Q z ) d yd z ( Pz R x ) d xd z ( Q x Py ) d xd y Q z ) co s( n , x ) ( Pz R x ) co s( n , y ) ( Q x Py ) co s( n , z ) d S
W
F dl F
t l l
dl
( 4 .2 )
例如在流速场v (M) 中，积分
v dl
l
( 4 .3)
表示在单位时间内，沿闭路l 正向流动的环流Qi 。
又如在磁场强度H(M) 所构成的磁场中，按安培环路定律，积分
H dl
l
( 4 .4 )
第二章 场论
4
处沿方向n 的环量面密度（就是环量对面积的变化率），记作
n μn，即
n lim
S
A dl
lim
l s M
s M
s
( 4 .8)
例如：在磁场强度H 所构成的磁场中的一点M 处，沿方向n 的环量面密度，由（4.5）式为
第二章 场论
8
n lim
H
3
解：由于平面封闭曲线，在无特别申明时，即指沿逆时针方向。 因此，我们有
Γ
A d l yd x xd y R d z
l l 2 0

-R sin d ( R co s ) R co s d ( R sin )
3 3 3 3
第二章 场论
6


2 0
(3 R sin co s 3 R co s sin ) d
2 4 2 2 4 2 2
3R 3 8

2
2 0 2 0
sin co s d
2 2
3 4 3 4
R
2

2 0
sin d
2
R

(1 co s4 ) d
R
第二章 场 论
2.4 矢量场的环量及旋度
第二章 场论
2
1. 环量
求一个质点M 在场力F 的作用下，沿l 正向运转一周时所作的 功。 如图（2 − 18），在l 上取一弧元素dl，同时又以dl 表其长，则 当质点运动经过dl 时，场力F 所作的功就近似地等于
d W Ft d l .
若以 τ 表示l 的单位切向矢量，则
求线速度场v 的旋度。
解:
由速度场v的雅可比矩阵
0 Dv ω3 ω 2 ω3 0 ω1 ω2 ω1 0
得
ro t v 2 1 i 2 2 z ) j + 2 3 x ) k = 2 ω
第二章 场论
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这说明：在刚体旋转的线速度场中，任一点M 处的旋度，除去 一常数因子外，恰恰等于刚体旋转的角速度(旋度因而得名)。
ro t A 2 ( y z ) x i 2 ( z x ) y j + 2 ( x y ) z k
A ro t A 2 x y z ( y z z x x y ) 0 .
注意到R 在给定点处为一固定矢量，则（4.11）式可以写为
n R n R co s ( R , n )
o o
( 4 .1 3)
其中n° = cos α i + cos β j + cos γ k 为方向n 上的单位矢量。 矢量R叫做矢量场A 的旋度
第二章 场论
13
（1）旋度的定义： 若在矢量场A 中的一点M 处存在这样的一个矢量R ，矢量场A 在点M 处沿其方向的环量面密度为最大，这个最大的数值，正 好就是|R| ，则称矢量R 为矢量场A 在点M 处的旋度，记作 rot A，即 rot A = R
n lim
Γ s ( R y Q z )co s ( Pz R x )co s ( Q x Py )co s ( 4 .1 1)
s M
其中cos α ，cos β ，cos γ 为在M 点处n 的方向余弦，这就是环 量面密度在直角坐标系下的计算公式。
Ft d l ( F τ ) d l F ( d l ),
由此又可写
d W F d l, ( 4 .1)
第二章 场论
3
其中dl =τdl 为这样一个矢量，其方向与t 一致，其模等于弧 长dl（图2 − 18）。 据此，当质点沿封闭曲线l 运转一周时，场力F 所作的功，就 可用曲线积分表示为
d iv A
P x

Q y

R z
和旋度计算公式
rot A ( R y Q z )i ( P z R x )j( Q x P y )k
在例3 中矢量场A 中，其雅可比矩阵为
y2z2 DA 0 2 xe y 2 xyz
简言之，旋度矢量在数值和方向上表出了最大的环量面密度。 在直角坐标系中有
ro t A ( R y Q z ) i ( Pz R x ) j ( Q x Py ) k ( 4 .1 4 )
或
第二章 场论
14
i ro t A x P
j y Q
k z R ( 4 .1 5)
即为在点M 处与n 成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称 为环流密度（或环流强度）。
第二章 场论
9
（3）环量面密度的计算公式。
在直角坐标系中，设
A = P ( x , y , z ) i +Q( x , y , z ) j + R (x , y , z ) k 则由斯托克斯（G.G.Stokes）公式
2 2 y 2
第二章 场论
18
例4.
设一刚体绕过原点O 的某个轴l 转动，其角速度为ω = ω1i + ω2j + ω3k，则刚体上的每一点处都具有线速度，从而构成 一个线速度场。由运动学知道，矢径为r = xi + yj + zk 的点M 的 线速度为
v ω v ( 2 z 3 y ) i ( 3 x 1 z ) j ( 1 y 2 x ) k