微分中值定理教案

第二章一元函数微分学

§2.6 微分中值定理

【课程名称】《高等数学》

【授课题目】微分中值定理

【授课时间】2011年11月18日

【授课对象】2011级电子信息专业

【教学内容】本节课所将要学习的主要内容是微分中值定理中的核心定理——拉格朗日（Lagrange）中值定理，罗尔（Rolle）定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形，而柯西（Cauchy）中值定理则是拉格朗日中值定理推广。

微分中值定理揭示的是函数在某个区间的整体性质与该区间内某一点处的导数之间的关系，因而称为中值定理。它是几个定理的统称。

微分中值定理也是微分学的理论基础，微分学的很多重要的应用都是建立在这个基础之上，后面将要讨论的洛必达（L’hospital）法则、泰勒（Taylor）公式、函数的增减性与极值等都要用到微分中值定理。

【教学目标】

1、使学生掌握拉格朗日中值定理，熟练运用拉格朗日中值定理证明恒等式、不等式以及方程根的存在性等；

2、使学生在掌握拉格朗日中值定理的同时，能联系前后学习的内容进行层次归纳与总结，形成系统的知识层次与结构；

3、使学生经历拉格朗日中值定理的完整的研究过程，体会数学研究与数学应用的乐趣，发展应用意识和解决问题的能力。

【教学重点】微分中值定理中的拉格朗日中值定理及其应用。

【教学难点】微分中值定理中拉格朗日中值定理的证明。

【教学方法及手段】以启发式讲授为主，采用多媒体辅助演示。

§2.6.2 拉格朗日中值定理 一、内容回顾

定理1（Rolle ）若函数()f x 满足条件 （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； （3）()()f a f b =。

则至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()0f ξ'=。几何意义：在定理的条件下，区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得曲线在点((,())f ξξ处具有水平切线。

二、拉格朗日中值定理

定理2（Lagrange ）设函数()f x 满足条件： （1）在闭区间[,]a b 上连续； （2）在开区间(,)a b 内可导； 则在(,)a b 内至少存在一点ξ， 使得

()()

()f b f a f b a

ξ-'=

-。

或写成 ()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 上述公式称为拉格朗日中值公式，且对于b a <也成立。

几何意义：如果连续曲线()y f x =上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，则在曲线弧AB 上至少存在一点

((,())f ξξ，在该点处曲线的切线平行于弦AB 。

（幻灯片1） 板书标题

（幻灯片2） 首先回顾前面所 学习的内容，然 后通过提问引入 新课的内容:微 分中值定理的核 心内容---拉格 朗日（Lagrange ） 中值定理。

（幻灯片3）【本节重点】

板书定理内容

解释定理的条

件及结论，指出定理条件的一

般性。

（幻灯片4为Lagrange生平简介。）

（幻灯片5）

借助于多媒体，图文并茂地解释定理几何意义。由拉格朗日定理的几何意义可以看出，当函数满足()()

f a f b

=

时，此时弦AB 的斜率等于零。即

()0

fξ'=。这便是罗尔定理的结论。所以罗尔定理可以看成是拉格朗日中值定理的特殊情形。

即

Lagrange中值定理

()()

f a f b

=

−−−−→Ro lle定理

证明分析：若记()()

f b f a

k

b a

-

=

-

，要证（1）式，即证

()f k ξ'=⇒()0f k ξ'-=⇒

[()]0x f x k ξ='-=⇒[()]0x f x kx ξ='-=

也就是是否存在(,)a b ξ∈，使函数

()()x f x kx ϕ=-

在x ξ=处的导数为零？即()0ϕξ'=。

证明： 作辅助函数()()x f x kx ϕ=-，[,]x a b ∈。 容易验证()x ϕ在闭区间[,]a b 上连续，在开区间(,)a b 内可导，且

()()

()()()f b f a a f a ka f a a

b a

ϕ-=-=--

()()bf a af b b a

-=-()b ϕ=。

从而()x ϕ满足罗尔定理的条件，即至少存在一点

(,)a b ξ∈，使()0ϕξ'=。 即

()()

()f b f a f b a

ξ-'=- 证毕。

（幻灯片6）

引导学生通过观

察图形的区别引

导学生思考拉格

朗日中值定理与

罗尔定理的关系

【本节难点】 板书分析证明的 思路

引导学生采用 逆向思维的方式 ，从结论入手分 析得出需证明的 结论的条件。

（幻灯片7）

此定理的证明关

键是构造辅助函

数满足罗尔定理 条件，然后利用 罗尔定理的结论

证明。

此处提出问题让学生思考是否还有别的方法构造辅助函数满足条件，然后给出提示。

由拉格朗日中值定理还可以得出下面的推论： 推论 设函数()f x 在开区间(,)a b 内可导,且

()0f x '≡，则在(,)a b 内()f x 为常数。即

()0f x '≡，(,)x a b ∈⇒(),(,)f x C x a b ≡∈，其中C

为常数。

证：任取12,(,)x x a b ∈，不妨设12x x <，在12[,]x x 上应用定理2，得2122()()()()f x f x f x x ξ'-=-，其中 12(,)(,)x x a b ξ∈⊂。因为()0,(,)f x x a b '≡∈，所以 ()0f ξ'≡，从而12()()f x f x =。由12,(,)x x a b ∈的任

意性可知，()f x 为常数。

三、定理的应用

例1 证明

arcsin arccos ,[1

2

x x x π

+=

∈-。

证

： 设

()arcsin arccos f x x x

=+，则在(1,1)-上

11()0

f x '=

-

≡，由推论1可知

()arcsin arccos f x x x C

=+=（常数）。令

0x =，得 2

C π

=

。又

(1)2

f π

±=

，故

所证等式在定义域[1,1]-上成

立。

练习1：证明

arctan arccot ,(

2

x x x π

+=

∈

证

：

设