《复变函数》试卷B及答案

,考试作弊将带来严重后果！

华南理工大学期末考试

2009《复变函数-B 》试卷

1. 考前请将密封线内填写清楚；

所有答案请直接答在试卷上(或答题纸上)； ．考试形式：闭卷；

，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知31z i =+，则z 所有取值为

（2）设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内一条简单正向闭曲线，

ξ在C 的内部，则积分2009

()

()C f z dz z ξ=-⎰

（3）在映射3w z =下，区域10arg w w π<<<， 的原像为

（4）函数 22w xy ix y =+ 在如下范围内可导：

（5）计算积分0()sin i

z i zdz -=⎰

（6）函数2

2()sin z f z e z =在00z =的泰勒展开式为

，计算题，(每题5分，合计25分)。

（1）计算 Ln(125)i - 和

的值 （2）求解方程sh 0z =

（3）设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++在复平面上解析，求a ，b ，c ，d （4）计算积分C

zdz ⎰，其中C 是从原点到1+3i 的直线段。

（5）函数1()1z

f z e =

-和1

()cos()g z z i

=-都有什么奇点？如果是极点，请指出它是几阶极点。

3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

（1）21n

n n n z e ∞

=∑；

（2）1i

n n n e z π

∞

=∑。

4，(本题10分) 计算积分22

01

0112cos d p p p π

θθ<<-+⎰

， 。

5，(本题10分) 计算积分33

13

:(1)(1)(2)2C

dz C z z z z =+--⎰， ，为正向曲线。 6，(本题10分) 在指定区域展开成洛朗级数： （1）2

1

()01()

f z z i z z i =<-<-， ； （2）2

ln(1)

()01z f z z z

+=

<<， 。 7， (本题5分) 计算积分24

1

1

x dx x +∞++⎰。

2009《复变函数》B 答案

1，填空题。(每题5分，合计30分)

（1）已知31z i =+，则z 222[cos()sin()],0,1,2123123

k k i k ππππ

+++=

（2）设函数)(z f 在单连通区域D 内解析，C 是D 内一条简单正向闭曲线，

ξ在C 的内部，则积分2009

()()C f z dz z ξ=-⎰(2008)

2()2008!i f πξ （3）在映射3w z =下，区域10arg w w π<<<， 的原像为

221arg (0)()()3333

z z ππππ

π<∈--， ，，，

（4）函数 22w xy ix y =+ 在如下范围内可导：0x y == （5）0()sin i

z i zdz -=⎰sin i i -

（6）Res 1tan ,2z π⎛

⎫ ⎪⎝

⎭=1π-

2，计算题，(

每题5分，合计30分)。

（1）计算 Ln(125)i - 和 的值

解：5Ln(125)ln(125)

2ln132arctan

12

i

i k i k i

i ππ-=-

+=+-

2)2)2)k i k i k ππππππ+===+++

（2）求解方程sh 0z =

解：2sh 001212z z z z e e e z Ln k i z k i ππ-=⇔-=⇔=⇔==⇔=

（3）设2222()()f z x axy by i cx dxy y =+++++在复平面上解析，求a ，b ，c ，d 解：2222u x axy by v cx dxy y =++=++，，由柯西黎曼条件 222(2)

2112

u v v u x ay dy y cx dy ax by x y x y

a b c d ∂∂∂∂=+==+=+=-=-+∂∂∂∂⇒==-=-=， ，，，

（4）计算积分C

zdz ⎰，其中C 是从原点到1+3i 的直线段。

解：参数方程11

3[0](3)(13)105C

x t y t t zdz t ti i dt tdt ==∈⇒=-+==⎰⎰⎰，，，1

（5）函数1()1z f z e =-和

1

()cos()g z z i

=-都有什么奇点？如果是极点，请指出它是几阶极点。

解：100z

e z -=⇒=，因此()

f z 具有奇点00z =。又1

1!z

n n e z ∞

=-=∑，知00

z =为一阶极点。

显然，()g z 具有奇点1z i =，而

2211111()cos()1()(1)()2!(2)!n n

g z z i z i n z i

==-++-+

---

因此1z i =为本性奇点。

（6）求1

()f z z

=在3z =处的Taylor 展式。

解：()

1

001111131()33(3)31(3)3333n

n n

n n z f z z z z z +∞∞

==-⎛⎫⎛⎫

=====- ⎪ ⎪

+-+-⎝⎭⎝⎭

∑∑

3， (本题10分) 计算如下幂级数的收敛半径：

（1）21n

n n n z e ∞

=∑；比值法，2211(1)lim n n n n n R e e e e

+→∞

⎛⎫⎛⎫+=⇒= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

（2）1

i

n

n

n e z π

∞

=∑。根值法，lim 11n R =⇒=

4，(本题10分) 计算积分2201

0112cos d p p p π

θθ<<-+⎰

， 。

解：令i z e θ=，则11

cos ()2

dz d z z iz θθ-==+，，

22011()12cos z I d f z dz p p πθθ===-+⎰⎰，其中1()(1)()f z i pz z p =--有两个一阶极点1z p =在1z =内，12z p -=在1z =外。于是，

2

122Res(())2(1)1z p I i f z p i i pz p

π

ππ====--，

5，(本题10分) 计算积分3313

:(1)(1)(2)2

C

dz C z z z z =+--⎰

， ，为正向曲线。

解：331()(1)(1)(2)

f z z z z =

+--有极点312

z z z ，，满足3

10z +=，一阶极点4512z z ==，，其中3124z z z z ，，，在C 内，5z 在C 外。因此

4

533

1

1

2Res(())2[Res(())Res(())](1)(1)(2)n n C

I dz i f z z i f z z f z z z z ππ==

==-+∞+--∑⎰

，，，9

23311Res(())Res(()0)Res(0)0(1)(1)(12)z f z f z z z z z ∞=-=-=+--，，，

5311Res(())9729f z z ==，，因此2729

i

I π=-