高代题库试题与答案

高等代数（下）试题(10)

一 填空题 （每小题三分共15分）

1 A,B 为n 阶可逆矩阵， C=⎪⎭

⎫ ⎝⎛O B A O ，则C 1-＝________。

2 A 为n 阶矩阵， A =

2

1

，则*1)3(A A --=_______ 3 设f 是一个n 元负定的二次型，则二次型f 的秩等于______________.

4 设n ααα,...,21线性无关，W=L （n ααα,...,21），则W 的维数为______________ 。

5 数量矩阵A=aE 的 特征根 为 _______________。 二 单项选择题（每小题三分共15分）

1 设A 是m n ⨯矩阵, B 是n ⨯m 矩阵,则（ ） (A) 当m>n 时，必有行列式AB ≠0 （B ）当m>n 时，必有行列式AB =0 （C ）当n>m 时，必有行列式AB ≠0 （D ）当n>m 时，必有行列式AB =0

2设A ，B ，C 均为n 阶矩阵，且秩A=秩B ，则 （ ）

(A) AB 的秩与AC 的秩不一定相等。 (B) AB 的秩与AC 的秩一定相等。 (C) AB 的秩与AC 的秩一定不相等。

(D) AB 的秩一定不超过C 的秩。

3 设向量空间V 中含有r 个向量，则下列结论成立的是 （ ） （ A ） r=1； （B ）r=2 ； （C ） r=m （有限数）； （D ） r=1或∞

4 数域F 上 n 维向量空间V 有（ ）个基

（ A ） １； （B ） n ； （C ） n!； （D ）无穷多.

5 设向量空间W= {(a,2a,3a) R a ∈},则W 的基为： （ ） （A ） （ 1, 2, 3,） ； （B ） （a, a ,a ）；

（C ） ( a , 2a 3a) ； （D ） (1 ,0, 0), (0, 2 ,0), (0 ,0, 3) 三 （15分）

⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--121011322X=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-417 求X 四 （15分） 把二此型

f (,x 2,x 3)= x 1x 2+ x 1,x 3+ x 2x 3

通过非退化线性替换化成平方和。 五 （15分）

求由向量i α生成的子空间与由向量i β生成的子空间 交的基和维数 1）)0,1,2,1(1=α，)1,1,1,1(2-=α 2）β))1,0,1,2(1-=，)7,3,1,1(2--=β 六（10分） 求矩阵

A=⎪⎪⎪

⎭

⎫ ⎝⎛---113206

115 的特征值与特征向量

七 证明题（15分）

1设A 为n 阶矩阵，A 3=2E, 证明B=A 2-2A+2E 可逆，并求 B 1-

2 设A ，B 都是n 元正定矩阵，试证：A+B 也是正定矩阵。

3 设U 是n 维向量空间V 的非平凡子空间， 证明：

存在不止一个V 的

高等代数（下）试题(9)

一 填空题 （每小题三分共15分） 1 若A =a ，则/AA =_____________.

2 A=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-2110154214321，则秩A=__________。

3 t 满足________时二次型 x 2

1+4 x 22+x 23+2t x 1x 2+10 x 1x 3+6x 2x 3为

正定二次型。

4 形如A=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-00a a 的矩阵（a ∈F ）作为M 2（F ）的子空间， 其维数为______________ 。

5 设n 阶矩阵A 满足A 2=A ，则A 的特征根只有___________.

二 单项选择题（每小题三分共15分）的

1 A,B 为 n 阶矩阵，则下列式子成立的是 （ ）

（A ）

B A + = A +B （B ） (A+B)1- =A 1-+B

1

-

（C ） AB=BA

（D ）

若AB=B+E ，则有BA=B+E

2 A,B ，C 为n 阶矩阵，AB=BC=CA=E ，则A 2+B 2+C 2= （ ）

（A ）3E （B ）2E （C ）E （D ）O 矩阵 3设S ααα,...,21与m βββ,...,21均为向量空间V 中向量， L （n ααα,...,21） =L （S βββ,...,21），则下列结论成立的是 （ ） (A) S=m; (B) S ααα,...,21可由m βββ,...,21线性表出； (C) S ααα,...,21是L(m βββ,...,21) 的一个基

(D) S ααα,...,21线性相关时，必有m βββ,...,21也相关+

4设W 1，W 2都是V 的子空间，则下列结论成立的是 （ ） （A ）W 1+ （W 1 W 2）= W 1 W 2 (B) W 1+ （W 1 W 2）= W 1+W 2 （C ）W 1+ （W 1 W 2）= W 1

(D ) W 1+ （W 1 W 2）= W 2

5 设 A=⎪⎭

⎫ ⎝⎛1551，则A 的特征根为 （ ） （A ）1（二重） ； （B ）5（二重） ； （C ） -4，6 ； （D ）1，5 三 （15分）

已知A=⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛--12221222

1 ,求A 1- 及(A *)1- 四 （15分） 把二此型

f( x 1,x 2,x 3)= x 2

1+2 x 22+4x 23+2 x 1x 2+4x 2x 3

通过非退化线性替换化成平方和。

五（15分）

在 P 4中，求由向量i α（I=1,2,3,4）生成的子空间的基与维数。 1α=（2，0，1，2） α2=（-1，1，0，3）

3α=（0，2，1，8） 4α=（5，-1，2，1） 六 (10分)

求矩阵

A=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----284014013

的特征值与特征向量

七 证明题（15分）

1 A,B 为n 阶方阵，ABA=B 1-,证明秩（E-AB ）+秩（E+AB ）=n.

2 证明：若A 为正定阶矩阵，则A 1-也为正定阶矩阵。

3 设 V 1与V 2是V 的互不相同的非平凡子空间，且V= V 1+V 2，证明：存在 V 的非平凡子空间W i ⊆V i ，I=1,2,使得V= W 1⊕W 2。