数值求解人体上肢两刚体系统

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- l2
r 2+ A 2
即
0 + r 1+ A 1 0 将式 ( 2) 对时间求一阶导数得
∀ ! ∀
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= 0 0 - r 1- A 1 0 0 0 - l2 l 3- l 1
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MATHEMATICA 计算软件求解复杂的上肢两刚体系统方程 , 相当方便 , 为免奇点出现 , 应在适当范 围内进行求 解 , 在
Numeric Evaluation of a Two Rigid- Body System in Human Upper Extremity
SONG Hong fang1, CHEN Wei yi 2, LIU Zhi cheng1 ( 1 Biomedicine and Engineering Institute, Cap ital University o f Medical Sci ences, Beij ing 100054 , China; 2 Institute o f Applied Mechanics , Taiyuan University o f T echnology , Shanxi 030024, China) Abstract: Objective To simplify the structures of human upper extremity into a two rigid- body system by establishing a dy namic model based on a numerical equation approach. Methods Using Carerden angle as the generalized coordinates and ap plying the multi- rigid- body dynamic theory to establish dynamic equation; Using the MATHEMATICA calculation software to solve the equation numerically in the active and the converse solution, respectively and results were subsequently compared. Re sults The dynamic equation of the upper extremity with two rigid- body and numeric solution were obtained. The Carerden angle calculated by the known active force, which was calculated in the equation as the known motion, was accordance with that which was given when the motion was known. At one time the peak point appeared in the converse solution. Conclusion The MATH EMATICA software was a convenient approach, which was able to resolve the complex two rigid- body system equations in the up per extremity. In order to avoid the peak point, the evaluation should be conducted within a defined range with confined error range so that the solution obtained was acceptable. Key words: Upper extremity; Rigid- body; Dynamics; Numeric evaluation; M athematic
1
1. 1
动力学方程的建立
模型的简化
[ 3]
人体上肢自由骨 包括 : 肱骨 ( 上臂 ) 、 桡骨和尺 骨 ( 前臂 ) 。 其中肱骨通过肩关节与躯干连接, 可在空间绕定点转动, 因此可 将肩关节简化为球铰 , 在只研究上肢运动时 , 认为躯干是不动的; 肱骨下端通过肘关节与桡骨、 尺骨上端连接, 认为前臂和肱骨之 间只有在同一平面内的肘部屈伸运动 , 因此它们之间的肘关节可 简化为一个转动副; 不考虑骨骼变形 , 旨在研究它的运动 , 所以把 骨骼简化为刚体。这样我们就把上肢运动系统简化为两刚体的 运动系统, 躯干固定 , 通过球铰与上臂连接, 而上臂通过转动副与 前臂连接 , 作用在上肢的肌肉力分别简化为两刚体质心上的主矢 和主矩。 1. 2 坐标系的建立 坐标系如图 1 所示, 刚体 OA 代表上臂, AB 代表前臂, O 处肩
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文章编号 :
医用生物力学 2004 年 9 月 第 19 卷 第 3 期 Journal of Medical Biomechanics, Vol 19 No 3, September 2004
1004 7220( 2004) 03 0142 05
数值求解人体上肢两刚体系统
宋红芳1 , 陈维毅2 , 刘志成1
宋红芳 , 等 数值求解人体上肢两刚 体系统
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铰 , 前臂和肱骨的连结简化为转动副 , 形成一个四自由度的两刚体系统, 以卡尔登角作为广义坐标, 运用多 刚体动力学理论 , 建立了人体上肢的动力学方程 , 它是一个四角度为未知数的变系数二阶微分方程组。由 于方程非常复杂 , 在计算过程中运用了 MATHEMAT ICA 软件 , 对人体上肢的几种简单运动进行了数值求解。
∀
1
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r 1 = A 1[ l 1
0 0] = J T 1 ∀
T
∀
2
∀
3
其中 , J T1 是一个 3 ∃ 4 的矩阵。 由转动副约束方程: h j ) = 0, 自然满足) 得
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S
( P i = Pj ) = 0,
P1
( h i %h j ) = 0, ( 由于 { e 1} 、 { e 2 } 固结于连体上 , y 2 %y 1 ,
为了方便书写, 用 C i 表示 cos i , S i 表示 sin i ( i = 1, 2 , 3, 4) , 则 C1C 2 - S 1S 2S 3 - S 1 C2 ,
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医用生物力学 2004 年 9 月 第 19 卷 第 3 期 Journal of Medical Biomechanics, Vol 19 No 3, September 2004
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∀
其中, M = J MJ , M 为质量对角阵, J 为几何雅可比矩阵 , K = J K , K 表示陀螺力和离心力 , Q = J Q, Q 为 主动力列阵。 若用 A 1 表示由基 { e 1} 到基 { e 0 } 的方向余弦矩阵, A#2 表示由基 { e2 } 到基{ e 1} 的方向余弦矩阵, A 2 表示 由基{ e2 } 到基{ e 0 } 的方向余弦矩阵 , 则 A 2 = A 1 A#2 。矢径 r 1 表示 OCA , 矢径 r 2 表示 OCB , 且 OCA = l 1 , ACB = l 2 , OA = l 3 。 由球铰链约束方程 : 得 其中 , 即 C2 C3 A1 = C1S 3 + S 1S 2 C3 S 1S 2 - C1S 2 C3 将式 ( 1) 对时间求一阶导数 , 得
[ 2]
, 适当进行简化 , 成为一个两刚体的运动系统。本文把肱骨和躯干的连结简化为球
收稿日期 : 基金项目 : 作者简介 : 通讯作者 :
2003 12 25;
修回日期 :
2004 03 16
国家自然科学基金资助项目 ( 19972045) 宋红芳 ( 1975 ) , 女 , 硕士 , 助教 , 研究方向 : 生物力学 宋红芳 , Tel : ( 010) 63051454, Email : songhf75@ sina. com
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S
( P i = P j ) = r j + Aj #j - r i - Ai #i = 0
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r1+ A 1[ - l 1
i, j
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0 0] T = 0
分别为第 i , j 个刚体的质心到球铰中心的矢径。 r 1 = A 1[ - l 1 - C2S 3 S 1C3 + C1S 2S 3 0 0] T S2 A#2 = C1C2 C4 0 - S4 0 1 0 S4 0 C4 ( 1)
( 1 首都医科大学生 物医学工程学院 , 北京 100054; 2 太原理工大学应用力学研究所 , 山西 030024) 摘要 : 目的 简化人体上肢结构 , 建立两刚体系统动力学模型 , 并对其进行数值求解。 方法 以卡尔登 角为广义
坐标 , 运用多刚体动力学理论 , 建立上肢的动力学方程 ; 运 用 MATHEMATICA 计算 软件对方程进行正、 反数值求解并 进行了比较。 结果 得 到了上肢的两刚体动力学方程和数 值解 , 对比计 算结果 表明 , 将已知 运动带 入方程 求得的 运用 主动力作为已 知力反求得的卡尔登角与已 知运动 的卡 尔登角 基本 一致 , 而且 在反 解时 会出现 奇点。 结 论 误差允许的范围内 , 求得的解是可以接受的。 关键词 : 上肢 ; 刚体 ; 动力学 ; 数值解 ; MATHEMATICA R318. 01 文献标识码 : A系示意图 Fig. 1 Diagram of coordinate system