大学物理习题课件3.刚体4习题课

m、v0 v
O M、l
刚体力学习题课
解：由于质点与有
转轴的细杆，轴对
杆有冲力，故动量 不守恒，但对O点 冲力矩为零，对O 点的角动量守恒
m、v0 v
mv 0 l
1 3
Ml
2w
mvl
w 3m(v v0 )
Ml
vA 0
任一点 P 的速度为
vP vA w rAP w rAP
例如： vC w rAC vD w rAD
D vD w vE
E
C vc F
A
vF
vA 0
对于纯滚动，若取接触点A 为基点，在某瞬时 刚体的平面运动，可视为对A点的单纯转动。
刚体力学习题课
纯滚动中的摩擦力
习题 3.45
q
EP2
mg
l 4
sin q
0
(1)
由平行轴定理
Jo Jc mh 2
112ml
2 m(l )2 4
478ml 2
(2)
由 (1) 、 (2) 得： w 2 6g sinq
应用质心运动定理：
7l N
mg
mac
l$方向： mgsinq Nl macl
(3)
t$方向： mgcosq Nt mact
m1r1 m2r2
r2
1 2
r1
5.26 1012 (m)
刚体力学习题课
一、刚体的转动惯量 二、刚体定轴转动中轴对杆的作用力 三、纯滚动、摩擦力和附加条件相关 四、质点和刚体的碰撞相关 五、陀螺仪的定点运动相关
刚体力学习题课
一、刚体的转动惯量
【例题1】计算下列刚体对O轴的转动惯量JO:
O •
m、l
t$
7
7
三、纯滚动、摩擦力和附加条件相关
滚动
有滑动滚动：接触面之间有相对滑动的滚动
无滑动滚动 （纯滚动）:
。 接触面之间无相对滑动的滚动。
1.纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据
x R
dx R d
dt dt
vc Rw
纯滚动运动学判据
vacc
Rw R
ac R
2.纯滚动接触点的速度为零
w vE E
Nx
0,
l
2l 3
[例3]已知：均匀直杆m，长为 l，初始水平静止，轴光滑，
AO l 。 求 : 杆下摆 q 角后，角速度 w ?
4
轴对杆作用力 N ?
解：杆 地球系统， ∵只有重力作功，∴E 守恒。
则：
初始： E k1 0， 令 E P1 0
末态：
E k2
1 2
Jow
2,
1 2
Jow
2
l mg4sin
1.
已知某质点的运动方程为
r
(10
5t
2
)i
10tj (SI
)，则在t=1s
时该质点的切向加速度和法向加速度的大小各为多少？
10ti 10 j 10 t2 1 a 10(m / s)
at
d
dt
10t 5 2(m / s2 ) t2 1
an a2 at2 5 2(m / s2 )
2. 一质点在如图所示的 坐标平面内作圆周 运动，有一力F F0 (xi yj ) 作用在质点 上。在该质点从坐标原点运动到（0, 2R） 位置的过程中，力F对它所作的功为多少？
Y R
O
x
A F dr (Fxdx Fydy)
0
0 Fxdx
2R 0
Fy
dy
2 F0 R 2
3. 哈雷彗星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。它离 太阳最近的距离是r1=8.75x1010m，此时它的速率是 v1=5.46x104m/s。它离太阳最远时的速率是v2=9.08x102m/s， 这时它离太阳的距离r2是多少？
解: 设静摩擦力f 的方向如图所示,
则由质心运动方程 F f maC
圆柱对质心的转动定律：
R ac
F
Fl fR J
m
c
纯滚动条件 aC R
f
圆柱对质心的转动惯量为
1 J mR2
2 c
联立以上四式, 得
aC
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2F(R 3mR
l)
f R 2l F 3R
R ac
F
m
f
由此可见
l R 2, f 0 静摩擦力向后
ac c
F
ac c
F
f?
F f mac
F.r f .R J ac R
f?
F f mac
F.r f .R J ac R
例4 一质量为m, 半径为R的均质圆柱, 在水平外力F作用 下, 在粗糙的水平面上作纯滚动, 力的作用线与圆柱中 心轴线的垂直距离为l. 求: 质心的加速度和圆柱所受的 静摩擦力.
w rcA
D vD
C vc F
A vc
vF
vA 0
以质心C为基点，任一点 E的速度为:
vE vC w rCE
最高点D的速度为
vD vC w rCD 2vC
接触点A的速度为
vA vC w rCA vC vC 0
如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力
3.纯滚动中的瞬心和瞬轴
以接触点A为基点：
13 mR 2 24
二、刚体定轴转动中轴对杆的作用力
例2:设棒长为l。问力F作用在棒的什 么位置时，轴对杆的水平作用力等 于零？
Ny Nx
F mg
假设力F的作用点离轴距离为l´。
Fl 1 ml2
3
F
Nx
macx
m
l 2
N y mg macy 0
Nx
F (1
3l ), 2l
N y mg
M、R
JO
1 3
ml
2
1 2
MR 2
M(l
R)2
O• m1、2l
m2、2l
JO
1 3
m1
l 2 2
1 12
m2
l 2 2
m2
l 2
l 2 4
刚体力学习题课
剩余部分
的质量为
R
m
•• O O
m总
4 3
m,
m孔
1 3
m
J0 J1 J2
1 2
m总 R 2
1 2
m孔
1 2
R
2
m孔
1 2
R 2
l R 2, f 0 静摩擦力向前
l R 2 , f 0 无摩擦力
附加条件相关
ac r1 a (r2 r1)
习题3.49
a1c 2r2 1r1 ac a 2R
习题3.54
习题3.57
刚体力学习题课
四、质点和刚体的碰撞相关
【例题5】如图所示，有一质量为 M、长为 l 的均匀细 杆静止在光滑的水平桌面上，可绕通过细杆一端的竖 直光滑钢钉转动。有一质量为 m 的小球以垂直于杆的 水平速度 v0 与杆的另一端碰撞，碰撞后小球以速度 v 反向弹回。设碰撞时间很短，求碰撞后细杆转动的角 速度；若碰撞前拔去钢钉，碰撞后细杆的角速度又如 何？
(4)
定轴转动定律：M l mg cosq J
4
o
a cl
lw
4
2
6 7
g
sin q
(5)
a ct
l
4
l 4
l 4
mg
cos
q
Jo
由 (3)(4)(5)(6) 可解得：
3 g cos q
(6)
7
Nl
13 7
mg
sin
q,
Nt
4 mg 7
cos q
N
13
mgsin
q
l$ 4 mgcosq