趋势曲线模型预测概述
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为t = n和t = 2n ,即从时间上均匀分段. 设曲线序列始点选定为 y |t=0 = y0 → y0= k/(1+a)…①
中点: y |t=n = y1 , → y1= k/[1+a e-bn ]………②
终点: y |t=2n = y2 , → y2= k/[1+a e-2bn]……③
由①式,推出 a = (K-y0)/ y0……………④ 由②式: y1• [1+ae-bn ] = K
显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据
为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi 且ei = yi－ yˆi
由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min
利用最小二乘法，对系数求偏导数，有
(Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0
且0 <y<k, 为可分离变量一阶微分方程。
解出为
yt = K/[1+a e(-bt) ]
其中 a = e-ck （C为积分常数）
b = kK
书中公式为 (1/2005/4/04)
yt
k
1 abt
是变形的一种。
当 t → ∞时y=K,为极限参数,称饱和值.
曲线为
yt
y3
y2
y1
y0
t = 0 n 2n
趋势曲线模型预测
第一节 多次式曲线模型预测 法
第三章所谈及的回归分析，是在已 知统计资料基础上，利用线性或非线性 回归技术进行模拟，利用趋势外推进行 预测，而模型的项数均为常数项加一次 项或非线性构成。事实上，若采用多项 式进行模拟，也是一种行之有效的方法。
一．正规方程组
所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当
可类推至 yi 的k阶差分 ▽k yi =▽(▽k-1 yi )
=………
= k j0
(k
k! (1) j)!
j
yik
j
②差分对多项式判断中的应用
例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t) t0 1 2 3 4 5
yt 0 2 4 6 8 10
一阶差分 2 2 2 2 2
二阶差分
000
0
例:二次曲线 y = ax2 + bx + c
y10 = 7.1602 + 0.4447×10 + 0.0480×102
= 16.4072
绝对误差 相对误差
与实际值比较:1980年为14.77 0。2809 –1。9%
1981年为15.64 0。7672 -4。9%
三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点， 观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势 线。 若趋势线出现拐点： 由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项 式拟合； 若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。
3. 在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数 据。
第二节 成长曲线预测模型
一. Gompertz曲线 成长曲线主要应用两个原则：相似性原则与延续
性原则 ① 决定过去技术发展的因素，很大程度的也将决
定未来的发展，条件是不变的或变化不大的； ② 发展过程属于渐进的，影响过程的规律不发生
突变； ③ 增长曲线即生命周期与生物生长过程相似 孕育—出生—成长—成熟—老化—死亡 发明—定型—推广—成熟—老化—淘汰
t
改变 a 只影响曲线位置变动而不改变形状( a 位置参数)
改变 b 只影响曲线形状而不改变位置. ( b 形状参数)
此方法,80年代曾用于闭路电视发展预测，结果1990年美 家庭将有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美联
邦通讯委员会从禁止到支持.
二.参数估计 解法1:三点法,取已知三点;第一点为起点t = 0 ,另两点分别
等，耐用消费品
③Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。
二.Logistic曲线
该曲线为美国生物学家，人口统计学家 R.Pearl 博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得 到的公式，为Logistic增长曲线。
1.数学模型
微分方程形式为：dy/dt =k y(K - y)
其中k, K>o 常数
二、案例
某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项式 模型，并预测1980、1981年工业产值
年 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979
序号 1 2 3 4 5 6 7
8
产值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78
源自文库
预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟
时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并
用于预测。
n
设实际值为（xi,yi）,为方i1 便多项式次数测定，数
据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, yˆi )
就有 yˆi = f(x) = a0 + a1x + a2x 2+……+ amx.m
上述数据的模型识别，一般采用作图法或计算机
模拟。
No
由上述公式，可求出
Image
K = 305, a= 1.3; b = 1.1
yt = 305 1.31.1t
预测1988年销售额：
t = 21, y = 305 1.31.1t = 2125.7(万元)
4.关于Gompert曲线的讨论 ①. a>1 a) 0 < b <1
2.差分判断法 ①差分定义：当自变量呈等距分布时，即
xi = xi-1 + △x 则 ▽yi = yi – yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。
所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分
y ▽2 i =▽(▽yi ) =▽(yi – yi-1) =▽yi - y ▽ i-1 = (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2
其中 k = 0,1,2,3,……,m
因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxik……amxim
所以有：n∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxim)(-xik)= 0
i 1
得
n
yi xik
i 1
=a0 ∑xik +a1∑ xi(k+1)+……am∑xik+m
令
n
得 e-bn = (K-y0)/ay1
有 b = [ln a +ln y1 –ln(K- y1)]/n………⑤
将公式②中解出e-bn及公式④代入公式③ ,
共有3n个数据，平均分为3组，
第一组 第二组 第三组
第一组：求和：
n
lg yt = nlg K + ( b1 + b2 +…… bn )lg a
t 1
第二组：求和：
……①
∑lg yt = nlg K + ( bn+1 + bn+2 +…… b2n )lg a ②
(2)
第三组：求和: ∑lg yt = nlg K+( b2n+1 + b2n+2 +…… b3n )lg a ③
记为矩阵式：
s0 s1 s2 …… sm
a0
u0
s1 s2 s3 …… sm+1 × a1 = u2
sm sm+1 s0 … s2m am
记为S
记为 A
um
记为 U
则：U = SA → A = S(-1) U = 1/|S| S*U
有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可 以求得。 {2004/11/1}
(3) (2)
lg lg
yt yt
(2) (1)
lg lg
yt yt
n
( lg yt lg yt )(b 1)
lga (2)
(1)
(bn 1)2
......(6)
带6入1得
lgk
1 n
lg yt lg yt ( lg yt )2
(1)
(3)
(2)
......(7)
lg yt lg yt 2 lg yt
解：（1）描点，观察，做趋势图。
由图所示，用二次曲线描述合理。
即预测模型可取为 y = a0+a1x+a2x 2
（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U ∵Sk =∑Xik
i = 1,2,………,8. K = 0,1,2,3,4. S0 = ∑xi0 =8; S1 = ∑xi1=36; S2 = ∑xi2 =204; S3 = ∑xi3 =1296; S4 = ∑xi4=8772
核爆后继
b) b > 1
细胞分裂
t→0, yt →Ka
t ↗ , yt↘ t→+∞ yt →K
无抑制上升
t→0, yt →Ka t ↗ , yt↗ t→-∞ yt →K
② .a>1 a) 0 < b <1
t→-∞ yt →0
t→+∞ yt →K
t→0 yt →Ka
b) b > 1
动植物生命衰减
以上“K”称为最大步长值，或饱和点值 如 ：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率
(1)
(3)
(2)
3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元） 年份(t) 1968 1969 1970 1971 1972
yt
407 418 432 447 463
log yt 2.61 2.62
年份(t) 1974 1975
2.64 1976
2.65 1977
2.67 1978
yt
508 535 566 602 644
0.0893 -0.0536 0.006 2458.38
7.1602
= 0.4447
0.0480 故 预测模型 y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x2
1980:x = 9
y9 = 7.1602 + 0.4447×9 + 0.0480×92
= 15.0505
1981:x = 10:
uk
yi xi k ,
i 1
n
sk
xik
yt K abt
i 1
可建立m+1个方程组成的正规方程组：
s0a0+s1a1+……+smam = u0 (k = 0)
s1a0+s2a1+………+sm+1am = u1 (k = 1)
::
::
sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m)
x0 1
2
3
4
5
yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c
一 阶差分 a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b
二阶差分
2a
2a
2a
2a
三阶差分
0
0
0
由此可得出判据
若一批自变量为等距分布的数据，经 n次差分之后，形 成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项 式拟合此批数据变动趋势。
1.经验公式
yt Kabt ,有三个系数K，a, b(双层指数) 取常用对数lg yt =lgK + bt lg a
2.参数k,a,b的确定（三和n l法g yt ） t 1 假定有若干原始数据，取△t = 1,t = 1,2,3,…….3n 且满足 yt Kabt 即：lg yt =lgK + bt lg a
83.09
U
410.74
2458.38
8 36 204 -1 83.09
A = S(-1)U = 36 204 1296
410.74
204 1296 8772 2458.38
1.9464 -0.9013 0.0893 83.09
= -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74
log yt 2.71
年份(t) 1980
2.73 1981
2.75 1982
2.78 1983
2.81 1984
yt
734 826 912 1018 1148
log yt 2.88 2.92 2.96 3.01 3.06
1973 485 2.69 1979 694 2.84 1985 1311 3.12
排列成表如下
t
1 2 3 …… n
lg yt lg y1 lg y2 lg y3 …… lg yn
n+1 n+2 n+3 …… 2n
lg yn+1 lg yn+2 lg yn+3 …… lg y2n
2n+1 2n+2 2n+3 …… 3n
lg y2n+1 lg y2n+2 lg y2n+3 …… lg y3n
8 36 204 ∴ S = 36 204 1296
204 1296 8772
n
uk
yi xik , i 1,2... 8, k 0,1,2
i 1
8
8
8
u0 yi xi0 83.09 u1 yi xi1 410 .74 u2 yi xi2 2458 .38
i 1
i 1
i 1
(3)
③-②: lg yt- lg yt = bn (b+ b1 + b2 +…… bn )( bn - 1)lg a …4
(3)
(2)
②-①: lg yt- lg yt = (b+ b1 + b2 +…… bn )( bn - 1)lg a ……⑤
(2)
(1)
(4) (5)
由5
1
b
中点: y |t=n = y1 , → y1= k/[1+a e-bn ]………②
终点: y |t=2n = y2 , → y2= k/[1+a e-2bn]……③
由①式,推出 a = (K-y0)/ y0……………④ 由②式: y1• [1+ae-bn ] = K
显然，这是一个m次多项式，同时假定已知数据
为n组：(xi,yi) i = 1,2,……n.
假定y与x是相关的，对应任意的yi，都有yi 且ei = yi－ yˆi
由回归分析，最佳拟合为 Q = ∑ei2 = Q min
利用最小二乘法，对系数求偏导数，有
(Q/ak)’ = 0 →2∑ei(ei)’ak = 0
且0 <y<k, 为可分离变量一阶微分方程。
解出为
yt = K/[1+a e(-bt) ]
其中 a = e-ck （C为积分常数）
b = kK
书中公式为 (1/2005/4/04)
yt
k
1 abt
是变形的一种。
当 t → ∞时y=K,为极限参数,称饱和值.
曲线为
yt
y3
y2
y1
y0
t = 0 n 2n
趋势曲线模型预测
第一节 多次式曲线模型预测 法
第三章所谈及的回归分析，是在已 知统计资料基础上，利用线性或非线性 回归技术进行模拟，利用趋势外推进行 预测，而模型的项数均为常数项加一次 项或非线性构成。事实上，若采用多项 式进行模拟，也是一种行之有效的方法。
一．正规方程组
所谓多项式回归，就是已知统计资料给出，当
可类推至 yi 的k阶差分 ▽k yi =▽(▽k-1 yi )
=………
= k j0
(k
k! (1) j)!
j
yik
j
②差分对多项式判断中的应用
例：含线性趋势确定性时间序列数据（yt=2t) t0 1 2 3 4 5
yt 0 2 4 6 8 10
一阶差分 2 2 2 2 2
二阶差分
000
0
例:二次曲线 y = ax2 + bx + c
y10 = 7.1602 + 0.4447×10 + 0.0480×102
= 16.4072
绝对误差 相对误差
与实际值比较:1980年为14.77 0。2809 –1。9%
1981年为15.64 0。7672 -4。9%
三、 拟合多项式的次数确定 1、作图法 利用实际数据，选择合适坐标，采用图上打点， 观察打点曲线，并选择一条比较合用的多项式趋势 线。 若趋势线出现拐点： 由拐点定义，若出现一个拐点，至少应用3次多项 式拟合； 若出现k个拐点，至少应用k+2次多项式拟合。
3. 在利用数据确定曲线时，要排除偶然发生的那一类数 据。
第二节 成长曲线预测模型
一. Gompertz曲线 成长曲线主要应用两个原则：相似性原则与延续
性原则 ① 决定过去技术发展的因素，很大程度的也将决
定未来的发展，条件是不变的或变化不大的； ② 发展过程属于渐进的，影响过程的规律不发生
突变； ③ 增长曲线即生命周期与生物生长过程相似 孕育—出生—成长—成熟—老化—死亡 发明—定型—推广—成熟—老化—淘汰
t
改变 a 只影响曲线位置变动而不改变形状( a 位置参数)
改变 b 只影响曲线形状而不改变位置. ( b 形状参数)
此方法,80年代曾用于闭路电视发展预测，结果1990年美 家庭将有63%采用,2000年89.5%,2010年97.17%,使美联
邦通讯委员会从禁止到支持.
二.参数估计 解法1:三点法,取已知三点;第一点为起点t = 0 ,另两点分别
等，耐用消费品
③Gompert曲线是双层指数，又称双指数模型。
二.Logistic曲线
该曲线为美国生物学家，人口统计学家 R.Pearl 博士通过利用微分方程表示生物生长速度，求解得 到的公式，为Logistic增长曲线。
1.数学模型
微分方程形式为：dy/dt =k y(K - y)
其中k, K>o 常数
二、案例
某地1972---1979工业产值统计资料如表，企业多项式 模型，并预测1980、1981年工业产值
年 1972 1973 1974 1975 1976 1977 1978 1979
序号 1 2 3 4 5 6 7
8
产值 7.54 8.76 8.23 9.92 10.65 11.65 12.56 13.78
源自文库
预测变量y与自变量x可用一个多项式进行模拟
时，利用一元非线性回归技术，来作出模拟并
用于预测。
n
设实际值为（xi,yi）,为方i1 便多项式次数测定，数
据选取xi－xi－1 = ∆x = C，模型模拟值为(xi, yˆi )
就有 yˆi = f(x) = a0 + a1x + a2x 2+……+ amx.m
上述数据的模型识别，一般采用作图法或计算机
模拟。
No
由上述公式，可求出
Image
K = 305, a= 1.3; b = 1.1
yt = 305 1.31.1t
预测1988年销售额：
t = 21, y = 305 1.31.1t = 2125.7(万元)
4.关于Gompert曲线的讨论 ①. a>1 a) 0 < b <1
2.差分判断法 ①差分定义：当自变量呈等距分布时，即
xi = xi-1 + △x 则 ▽yi = yi – yi-1 =f(xi)- f(xi-1) 称为当 x 从xi-1变到xi时,yi 的一阶差分。
所有更高阶的差分由进一步的差分得到: 二阶差分
y ▽2 i =▽(▽yi ) =▽(yi – yi-1) =▽yi - y ▽ i-1 = (yi – yi-1) - (yi-1 – yi-2 ) = yi -2 yi-1 + yi-2
其中 k = 0,1,2,3,……,m
因为ei = yi－yi = yi－ a0－ a1x － ……akxik……amxim
所以有：n∑(yi－ a0－ a1x1-- ……amxim)(-xik)= 0
i 1
得
n
yi xik
i 1
=a0 ∑xik +a1∑ xi(k+1)+……am∑xik+m
令
n
得 e-bn = (K-y0)/ay1
有 b = [ln a +ln y1 –ln(K- y1)]/n………⑤
将公式②中解出e-bn及公式④代入公式③ ,
共有3n个数据，平均分为3组，
第一组 第二组 第三组
第一组：求和：
n
lg yt = nlg K + ( b1 + b2 +…… bn )lg a
t 1
第二组：求和：
……①
∑lg yt = nlg K + ( bn+1 + bn+2 +…… b2n )lg a ②
(2)
第三组：求和: ∑lg yt = nlg K+( b2n+1 + b2n+2 +…… b3n )lg a ③
记为矩阵式：
s0 s1 s2 …… sm
a0
u0
s1 s2 s3 …… sm+1 × a1 = u2
sm sm+1 s0 … s2m am
记为S
记为 A
um
记为 U
则：U = SA → A = S(-1) U = 1/|S| S*U
有唯一解，故a0,a1,……,am可唯一求出，于是预测方程可 以求得。 {2004/11/1}
(3) (2)
lg lg
yt yt
(2) (1)
lg lg
yt yt
n
( lg yt lg yt )(b 1)
lga (2)
(1)
(bn 1)2
......(6)
带6入1得
lgk
1 n
lg yt lg yt ( lg yt )2
(1)
(3)
(2)
......(7)
lg yt lg yt 2 lg yt
解：（1）描点，观察，做趋势图。
由图所示，用二次曲线描述合理。
即预测模型可取为 y = a0+a1x+a2x 2
（2）由正规方程组U = SA，求A = S(-1) U ∵Sk =∑Xik
i = 1,2,………,8. K = 0,1,2,3,4. S0 = ∑xi0 =8; S1 = ∑xi1=36; S2 = ∑xi2 =204; S3 = ∑xi3 =1296; S4 = ∑xi4=8772
核爆后继
b) b > 1
细胞分裂
t→0, yt →Ka
t ↗ , yt↘ t→+∞ yt →K
无抑制上升
t→0, yt →Ka t ↗ , yt↗ t→-∞ yt →K
② .a>1 a) 0 < b <1
t→-∞ yt →0
t→+∞ yt →K
t→0 yt →Ka
b) b > 1
动植物生命衰减
以上“K”称为最大步长值，或饱和点值 如 ：家电生产及销售，农田亩产，机器工作效率
(1)
(3)
(2)
3.例：某厂产品销售总额历史数据：（万元） 年份(t) 1968 1969 1970 1971 1972
yt
407 418 432 447 463
log yt 2.61 2.62
年份(t) 1974 1975
2.64 1976
2.65 1977
2.67 1978
yt
508 535 566 602 644
0.0893 -0.0536 0.006 2458.38
7.1602
= 0.4447
0.0480 故 预测模型 y = 7.1602 + 0.4447x + 0.0480 x2
1980:x = 9
y9 = 7.1602 + 0.4447×9 + 0.0480×92
= 15.0505
1981:x = 10:
uk
yi xi k ,
i 1
n
sk
xik
yt K abt
i 1
可建立m+1个方程组成的正规方程组：
s0a0+s1a1+……+smam = u0 (k = 0)
s1a0+s2a1+………+sm+1am = u1 (k = 1)
::
::
sma0+sm+1a1+……..+s2mam = um (k = m)
x0 1
2
3
4
5
yt c a+b+c 4a+2b+c 9a+3b+c 16a+4b+c 25a+5b+c
一 阶差分 a+b 3a+b 5a+b 7a+b 9a+b
二阶差分
2a
2a
2a
2a
三阶差分
0
0
0
由此可得出判据
若一批自变量为等距分布的数据，经 n次差分之后，形 成常数或差分后在某一定值上下波动，则可用n次多项 式拟合此批数据变动趋势。
1.经验公式
yt Kabt ,有三个系数K，a, b(双层指数) 取常用对数lg yt =lgK + bt lg a
2.参数k,a,b的确定（三和n l法g yt ） t 1 假定有若干原始数据，取△t = 1,t = 1,2,3,…….3n 且满足 yt Kabt 即：lg yt =lgK + bt lg a
83.09
U
410.74
2458.38
8 36 204 -1 83.09
A = S(-1)U = 36 204 1296
410.74
204 1296 8772 2458.38
1.9464 -0.9013 0.0893 83.09
= -0.9107 0.5100 -0.0536 410.74
log yt 2.71
年份(t) 1980
2.73 1981
2.75 1982
2.78 1983
2.81 1984
yt
734 826 912 1018 1148
log yt 2.88 2.92 2.96 3.01 3.06
1973 485 2.69 1979 694 2.84 1985 1311 3.12
排列成表如下
t
1 2 3 …… n
lg yt lg y1 lg y2 lg y3 …… lg yn
n+1 n+2 n+3 …… 2n
lg yn+1 lg yn+2 lg yn+3 …… lg y2n
2n+1 2n+2 2n+3 …… 3n
lg y2n+1 lg y2n+2 lg y2n+3 …… lg y3n
8 36 204 ∴ S = 36 204 1296
204 1296 8772
n
uk
yi xik , i 1,2... 8, k 0,1,2
i 1
8
8
8
u0 yi xi0 83.09 u1 yi xi1 410 .74 u2 yi xi2 2458 .38
i 1
i 1
i 1
(3)
③-②: lg yt- lg yt = bn (b+ b1 + b2 +…… bn )( bn - 1)lg a …4
(3)
(2)
②-①: lg yt- lg yt = (b+ b1 + b2 +…… bn )( bn - 1)lg a ……⑤
(2)
(1)
(4) (5)
由5
1
b