高考数学 选修45 第二节证明不等式的基本方法、数学归纳法与不等式证明课件 理(1)

件是_____.
(3)若x,y均为正数，且x+y＞2，求证: 1 y 与 1 x 中至少有一
x
y
个小于2.当你利用反证法证明此题时，第一步是假设_____.
(4)设a>0，b>0，M＝ a＋b ，N＝ a ＋ b ，则M与N的大
a＋b＋2
a＋2 b＋2
小关系是_____．
【解析】(1)∵0＜x＜1，∴ 1 x＞2 x 4x＞ 2x.
xy
xy x y
, 11
xy
质a>b，c>d⇒a＋c>b＋d只适用于同向不等式,而反向不等式之
间不能想当然地运用.
【变式训练】若实数x≠1，求证：3(1+x2+x4)＞(1+x+x2)2.
【证明】3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2
(2)用数学归纳法证明“ 1＋1＋1＋＋ 1 <n(n∈N*，n>1)”
23
2n－1
时，由n＝k(k>1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的
项数是______.
【解析】应增加的项数为(2k＋1－1)－(2k－1)＝2k＋1－2k＝2k.
答案:2k
热点考向 1 应用比较法证明不等式
【方法点睛】
(3)至少有一个小于2的否定是均不小于2，假设 1 与y 1均 x
x
y
不小于2，即 1 ≥y 2且 1≥2x.
x
y
(4)∵a>0，b>0，∴N＝ a ＋ b a ＋ b ＝
a＋2 b＋2 a＋b＋2 a＋b＋2
a＋b ＝M. a＋b＋2
∴M<N.
Baidu Nhomakorabea
【答案】(1)c (2)x>a (3) (4)M<N
②分析法 从_欲__证__的__不__等__式__出发，执“_果__”索“_因__”，层层推求使结 论成立的_充__分__条件，直至_能__够__肯__定__这__些_充__分__条__件__已__经__具__备__为 止，进而断言原不等式成立，这种方法称为分析法.
(3)反证法的证明步骤 第一步:假设_所__要__证__的__不__等__式__不__成__立__，也就是说_不__等__式__的__反__ _面__成__立__;第二步:结合_已__知__条__件__，进而推理论证，最后推出 _和__已__知__条__件__或__已__知__不__等__式__相__矛__盾__的结果，从而断定假设错误. 因而确定要证明的不等式成立.
比较法证明不等式的两种思路
(1)作差比较法证明不等式是不等式证明的最基本的方法.作差
后需要判断差的符号，作差变形的方法常常是因式分解后，把
差写成积的形式或配成完全平方式. (2)作商法要注意使用条件，如 a ＞1推出a＞b，这里要注意
b
a、b两数的符号.
【例1】(1)设x≥1,y≥1,证明x+y+ 1 1 1 xy；
xy x y
x2y xy2 1 y x x2y2 xy
x xy 1 yxy 1 xy 1xy 1
xy
xy 1x 1y 1
,
xy
由x≥1,y≥1得
xy 1x 1y 1
0,
xy
从而 x y 1 1成 1立.xy
xy x y
(2)当1<a≤b≤c时,记x=logab=lgb 1,
(4)放缩法 所谓放缩法是证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 _放__大__或_缩__小__，简化不等式，从而达到证明目的的方法.
【即时应用】
(1)设0＜x＜1，则 a 2x，b 1 x，c 1 中最大的一个是
1 x
_____.
(2)对实数a和x而言，不等式x3+13a2x＞5ax2+9a3成立的充要条
1 y 2且1 x 2
x
y
2.数学归纳法 数学归纳法两大步： (1)归纳奠基：证明当n=n0时命题_成__立__; (2)归纳递推：假设n=k(k≥n0， k∈N*)时命题成立，证明当 n=__k_+_1_时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整 数n都成立.
【即时应用】 (1)思考:在归纳假设中“n0=1”对吗? 提示:不一定，n0是使命题成立的正整数中的最小值，有时是 n0=1或n0=2.有时n0的值也比较大.而不是一定从1开始取值.
xy x y
(2)1<a≤b≤c，证明logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 【解题指南】欲证第(1)题不等式成立,只需判断左右两式之差的
正负性；观察第(2)题的特征,通过换底公式化归为(1)的形式,根
据第(1)题的结论证明.
【规范解答】(1) (x y 1 ) ( 1 1 xy)
lga
y
logbc
,则lgc
lgb
1
logca
lga lgc
1 xy
,
logba
1 x
, logc b
1 y
, loga c
xy,
于是由(1)得证logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac.
【反思·感悟】从本题条件可知, x 1 ,,y从而1 x+y≥
xy
但由于 1≤xy,且 x y 1 ,说1 明1不 x等y式的基本性
第二节 证明不等式的基本方法、 数学归纳法与不等式证明
1．不等式的证明方法
(1)比较法
①作差比较法
知道a>b a－b>0，a<b a－b<0，因此欲证a>b，即证 _a－__b_>_0_．
②作商比较法
由a>b>0 a >1，因此当a>0，b>0时，欲证_a_>_b_，即证 a >1．
b
b
(2)综合法与分析法 ①综合法 从已知的基本不等式出发，利用不等式的基本性质导出欲证不 等式，这种证明方法称为综合法. 所谓综合法就是由“_因__”导“_果__”，从_题__设__条__件__出发，利 用_已__知__定__义__、__公__理__、__定__理__等逐步推进，证得_所__要__求__证__的__结__论_ 的方法.
∴只需比较1+x与 1 的大小.
1 x
∵ 1 x－ 1 1 x2 1 － x2 ＜0，
1 x 1 x
1 x
∴1+x＜ 1 .从而最大的一个是c.
1 x
(2)(x3+13a2x)－(5ax2+9a3) =x3－5ax2+13a2x－9a3 =(x－a)(x2－4ax+9a2) =(x－a)［(x－2a)2+5a2］＞0. ∵当x≠2a≠0时，有(x－2a)2+5a2＞0.由题意故只需x－a＞0 即x＞a，以上过程可逆.所以不等式成立的充要条件是：x＞a.