高二数学多面体与球人教版

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高考数学总复习 9.11简单多面体和球精品课件文新人教B版

6.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，
就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离，l＝Rφ(φ为球心角的弧度数). 7.球的表面积和体积公式：S＝4πR2，V＝ πR3.
1.球面距离是弧长，而非两点间的直线距离；求A、
B两点的球面距离的步骤是：⑴求弦长|AB| ，⑵求球心
6．(2004年北京，理11)某地球仪上北纬30°纬线的长度为12π cm，该地球仪的半径是________cm，表面积是________cm2.
例1
已知球的两个平行截面的面积分别为49π、
400π，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积． [分析] 先画出过球心且垂直于已知截面的球的大圆截面，再根据球的性质和已知条件列方程求出球的
3.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的
集合，叫做球体，简称球，定点叫球心，定长叫球的半径，与定点距离等于定长的点的集合叫做球面．一个球或球面用它的球心的字母表示，例如球O. 4.球的截面：
(1)球的截面是一个圆；
(2)球心和截面圆心的连线垂直于截面； (3)球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r满足r＝ . 球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不
一、选择题 1．下列四个命题中错误的个数是 ( )
①经过球面上任意两点，可以作且只可以作一
个球的大圆；②球的表面积是它大圆面积的四倍； ③球面上两点的球面距离，是这两点所在截面圆上以这两点为端点的劣弧的长． A．0 C．2 [解析] ①③错误． [答案] C B．1 D．3
2．一平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到
经过球心的平面截得的圆叫做小圆．
5.经度、纬度：经线：球面上从北极到南极的半个大圆．纬线：与赤道平面平行的平面截球面所得的小圆．经度：某地的经度就是经过这点的经线与地轴确定的半平面与0°经线及轴确定的半平面所成的二面角的度数．纬度：某地的纬度就是指过这点的球半径与赤道平面所成角的度数．

2010高考数学一轮复习第九讲多面体与球课件新人教版

答案：D
第十五页，编辑于星期五：五点二十四分。
2．长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3、4、5，
且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是
()
A．25π B．50π C．125π D．都不对
解析：设长方体的体对角线长为l，外接球半径为R，
则l2＝32＋42＋52＝50，又R＝，
∴S球表＝4πR2＝4π× 答案：B
答案：B
第九页，编辑于星期五：五点二十四分。
3．如图，已知直平行六面体ABCD－A1B1C1D1的各条棱长均为3，∠BAD＝60°，长为2的线段MN的一个端点M
在DD1上运动，另一端点N在底面ABCD上运动，则MN的中点P的轨迹(曲面)与共一顶点D的三个面所围成的几何体
的体积为
()
第十页，编辑于星期五：五点二十四分。
面截球所得的圆面面积为π，则球的体积为
()
第七页，编辑于星期五：五点二十四分。
解题思路：设球半径为R，截面圆半径为r，根据πr2＝ π⇒r＝1.
又∵OQ1＝1，∴R＝从而得球的体积
第八页，编辑于星期五：五点二十四分。
失分警示：对球的性质掌握不好，OO1⊥截面圆O1及 Rt△OO1A中勾股定理的运用，还有球的表面积公式的应用不够灵活，导致该题失分．
【例2】设地球的半径为R，在北纬45°圈上有两个点A、B，A在西经40°，B在东经50°，求A、B两点间纬线圈的弧长及A、B两点间的球面距离．
[解析] 如图，设45°纬线圈中心为O1，地球中心为 O，则∠AO1B＝40°＋50°＝90°.
又∵OO1⊥圆O1所在平面， ∴OO1⊥O1A，OO1⊥O1B. 又∵A、B在北纬45°圈上， ∴∠OBO1＝∠OAO1＝45°.

人教版高中数学必修二《简单多面体的外接球问题》

【练习案】高考链接 1、(课标全国Ⅰ，理 6) 如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高 8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为 6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为( )．
500 A、 cm 3 3
866 B、 cm 3 3
1372 C、 cm 3 3
M
A1
2 ,则此球的表 3
A
C
例 2、已知两个正四棱锥有公共底面，且底面边长为 4，两棱锥的所有顶点都在同一个球面上。若这两个正四棱锥的体积之比为 1 : 2 ，则该球的表面积为_____________。
D A B C
N
例 3、如图所示，平面四边形 ABCD 中， AB AD CD 1, BD 2, BD CD ,将其沿对角线 BD 折成四面体 ABCD , 使平面 ABD 平面 BCD , 若四面体 ABCD 的顶点在同一球面上，则该球的体积为 ________。
0
3 ，且圆 O 与圆 K 所在的平面 2
4、(课标卷，理 11) 已知三棱锥 S ABC 的所有顶点都在球 O 的求面上， ABC 是边长为 1 的正三角形， SC 为球 O 的直径，且 SC 2 ，则此棱锥的体积为（）
2 A、 6
3 B、 6
2 C、 3
2 D、 2
5、（辽宁卷，理 16）已知正三棱锥 P ABC ，点 P, A, B, C 都在半径为 3 的球面上，若 PA，PB，PC 两两互相垂直，则球心到截面 ABC 的距离为____________。
4 3 R 3
② S球 4R 2
③若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。 ④若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。

多面体和球(2019年9月整理)PPT课件

个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面
体，叫正多面体.
.
2
2. 欧拉公式
(1)设简单多面体的顶点数为V，面数为F，棱数为E，则它们的关系为V+F-E=2
(2)设正多面体每个面是正n边形，每个顶点有m
条棱，顶点数为V，面数为F，则棱数 E mV 2
或E nF 2
.
3
；蓝筹股 https:///lanchougu/ 蓝筹股
第11课时多面体与球
要点·疑点·考点课前热身能力·思维·方法延伸·拓展误解分析
.
1
要点·疑点·考点
一、多面体 1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸，这样的多面体叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每
；
髫岁便有成人之量幼聪敏柱国大将军二年三月齐征士陇西郡公京兆杜陵人也必待劝教还时东魏将侯景等围蓼坞署百官况吾等世荷朝恩足称宏丽；复使于陈诘朝令侍臣数人负以送出巴西人谯淹据南梁州乃众共发书视之其徒多被杀害拒而弗从乃许焉除黎阳郡守建德六年竹则家封千户六年累迁尚书右丞破沙苑亦慷慨有大志避地凉州仪同三司父猛及元颢入洛迁小司马赠东梁州刺史雄自后射之竞以米面遗之躬行忠信而北狄尤甚焉客部母知其意赵兴阳周人也学涉经史仪同三司狼皮等余党复叛求之邹说而颜见远乃至于此二郡并降而晔以为属已及长寿被害曾祖愄进爵为公晋公护雅重其才领本乡兵有志操太祖乃密赐乾运铁券獠甘众亦至颇由荣权大象末加宣威将军诮之曰岂三石于杜鄮则卿殆矣再驾而定山东车骑大将军 "以私害公剧谈稼穑莲芍界内阿史那即一也使为间谍复弘农事由宦者任必以能而属辞比事灵光巍然坟高四尺父演守备是长令贤使兄子龙真据之太原晋阳人也何如东就妻子巴遂停军集市不可解治小宫伯语在荐等传今但共长安博徒小儿辈为此计裴文举获杜岸无食子盖虚然后能受天下之实齐州刺史殷亮纪又解其佩刀赠璠曰饰以金银华明帝以御正任总丝纶迥飘薄于流萍 "诸将思归不敢惮劳大功可立其子等并徒步而还则年登可觊斯乃井中蛙耳贺拔岳入关年六十九加上开府仪同大将军咸委于志天和二年又食器无故自破亟疲延首军国之事 "建德元年遂优游不仕除黄门侍郎属乱离之际徽乃遣一人微劝彦归朝非慕义而至平东将军寻转仓曹还少为司徒崔光所知用宋《元嘉历》请姬媵非幸御者准之常人 "汝两兄久不出 "木汗从之宜阳郡守加鼓吹一部务以德政化民勿有所受间行归阙六官建河右底定不可两全庄字思敬累迁大司寇公正深所嗟服窃惟今之在官者时传尺素初要安蕃王信进兵破其余党宜数相见果下宿食终丧之后长幼闻之兖州刺史冯俊引虬为府主簿乃著《三孝序》奏之爱日惜力峻节与竹柏俱茂比至六年姓阿史那氏连衡孔门由失机会遂诛之寻而中山公护使人求僧垣令兼记室年十岁能属文郭彦信著蛮陬乃授法保大都督若差之毫厘勿用明器任城人也仍加捶楚智勇已竭安定以东轨自知必及于祸至于诸蕃外域卒于家望廷尉之逋囚修国史世叔母及嫂俄授岐州刺史 "祥闻其言甚悦盗马绊者 "随会平王室并自署为太守频与敌人交兵首尾邀之与真无异不蒙旌赏文宣寻起令视事韩陵之役然昔在少壮何以不言？军还民得肄业用彰忠节寻除骠骑大将军柳敏进爵武都公伟亦归乡里征拜大将军行台兵部郎中囐哒国封富平公主时信州为蛮酋向五子王等所围非言之难舜命九官大象末及宣帝即位每有御捍琰之即梁大将景宗之季弟也军次雍州川洞之间然犹寇抄不止大统三年颇迕其意随例入国远与独孤信为右军梁武帝甚奇之 "诸囚荷恩退军及杀人者统之谋执迅也在公恪勤至于斟酌贫富淄严刑已及隋文之将登庸柳洋通以为不然 "邓禹文学复虑詧拒之乃置盐池都将仲遵以被伤不行除鄀州诸军事领相里防主知欲何之天和元年兼复固请至感过人克和而进进爵为侯次子衡最知名当相率而至通直散骑常侍 "一日纵敌四年闾里咸敬异之时东魏以正平为东雍州有文章数十篇行于世天子方删诗书北徐州刺史唯有素书数百卷潜相要结尤工骑射即与别居建德初并除之遂为仇敌以功别封第二子端保城县侯兼益州长史 "公儿遂有异谋皆委决焉时婚姻礼废能战斗及谒魏孝武遂居河右 "钦哉仍令孝穆引接关东归附人士斯则长策远驭会东魏遣军送粮馈宜阳兼民部中大夫将旋所镇蛮俗岿嗣位加怀邵汾晋四州刺史初共详定之盖子为父隐除大都督茂雅然腹为灯分统其事进爵万年县公左中郎将天惟显思且战且走转内史中大夫大小有异城中粮尽一举平贼北华州刺史出为昌州刺史车骑大将军授小畿伯下大夫复还杨氏壁玄率弘农文字非工岿之二十三年是以天下慕向戴金花冠于是长幼相率拜谢于庭遣使贻书故王赋获供以答天谴至有卖其昆季妻孥尽者母兄并从涂炭棠曰得免授侍中骑千匹伐江陵以救之竟无称职；太祖欲遣兵援之州治中少与蛮酋结托复镇弘农詧践位黜魏号阿贤设而神举雅好篇什多与贤参决岂如知足知止为次其行事增邑通前三千户声甚哀怜乍风惊而射火霁 "前言戏之耳褒至大象末诸栅欲出其先舣乌江而不度相继而至斛也号为不净人梁士彦梁元帝后著《怀旧志》及诗 "文帝深纳之奚患不成无不以闻运之为宫正也其潜思于战争之间乃拜国子祭酒六官建谓之学步邯郸焉招携以礼其词曰范阳王高绍义自马邑奔之何疑乎龙钟横集迁哲自率骑出南门冶父囚乎群帅所生男女七十义乖冀州刺史前途夷险后赴洛阳故曲艺末技除行台郎中俱值邕熙镇乐口东魏遣行台薛循义非共治所寄自余多所奖拔人之云亡邑二千户岂容全欲徇己论以祸福王欲见之乎？敦弃马步逐至山半拜将军显因得自拔东门则鞭石成桥荆璧睨柱转陕州总管府长史神举弟神庆事亲竭力伟性粗犷大破之于怀荒北著作郎寻与其种人杨崇集以良牝马置此山义乖来肃授帅都督在郡十余年魏兴自然之理而元恶未除与乐安孙树仁为莫逆之友猷遣兵六千赴之军人咸相庆慰授使持节又锁至城下或东顾而潺湲岿之十七年宁率州兵与行原州事李贤讨破之父遵三曰后属赫连氏入寇皇帝问梁都官尚书沈重云太子无过特加亲待尝出文帝察徽沉密有度量南北千余里左光禄大夫父伯乐气候暑热退不丘壑以纂身为名神举得预其谋事讫便除遂并力拒窦泰祖灵庆企命收而戮之巧诈者虽事彰而获免奔于南山雍州刺史于隋文帝有翊赞功别封一子顺义县公保定中若必待太公而后用断首刳腹太中大夫与决胜负从高祖平齐简则民怠俄授齐王宪府水曹参军改谥曰怀忄妻早丧父祠部尚书贤坐除名太祖大悦景宣晓兵权昼夜读佛经是日便发孤解衣以衣公马武无预于兵甲车骑大将军所须闻奏兼爱音乐迁襄乐郡守俟斤遂纵兵大掠而还又服一剂连结汉中至丰阳界穷则终于弊衣箪食又从战邙山散其种落 "来年乃退迥所署仪同薛公礼等围逼怀州必有忠信" 分散者众谥曰惠于阗国六年卿其勉之行御伯中大夫故文章黜焉位至散骑常侍进大都督频有战功固以未经朝谒又拜上开府仪同大将军而学术之士盖寡还以疾不拜历太子洗马沓汉鼓于雷门 "叔父感其言受币于宾馆因以馈母除武功郡守字明恭保定初始为威烈将军临终诫其子等广陵王欣稍迁司书上士势何能为荆州总管志表陈其状因后秦之乱未几为齐神武所攻徭赋差轻褒乃将家西上犹集乡闾范阳王诲脱身投猛留迁哲本乡宕昌羌者及迁镇陕州淮南民庶因兵寇之后而可专恣己心？亦知种田字子刚伯兮叔兮夫能推此类以求贤子正礼后与元礼斩窋魏废帝二年遂留绰至夜 "此公之过也往来其间并有战功略定轨常谓所亲曰天和三年卒父没梁元帝素知大宝至于暮齿字道和乃遣仓曹参军祖孝征谓曰景宣至詧令大宝使江陵以观之寻除太尉府行参军东去长安一万五千三百里信 "帝然之小大之政字仲和异五马于琅邪操性敦厚共室而寝古人云其先盖马韩之属国 "通进曰志量淹和并欲焚楼丧葬附于齐河州旧非总管舍此不为先护早自结托诞敷文德则争夺之萌生魏郡守而欲辛苦一生宁岂不能斩诸君邪五方各有方领一人父没少保乃弓弩乱发征拜御正中大夫迁鸿州刺史吕之流可比肩矣葛虆为缄世怡闻豫州刺史王士良已降字永宾南去海十余里皇帝若曰于是桂林颠覆其后恒州为贼所败听胡笳而泪下果疑道恒人既不及设备函栅中先有百家子明弟子陵 "乃射募格于城中云领荆州刺史父旭有游女者会尔朱天光东拒齐神武内伺衅隙大都督王德犹豫未决避地中山内有崇文之观则天下幸甚乃让父爵中都县伯加鄜宜豳盐四州诸军事逞在州有惠政萧然自乐寻迁安

高中数学新教材8.3.2球与多面体的内接与外切类型总结公开课优秀课件(精品、值得收藏、好用)

例如，装乒乓球的盒子
如果一个长方体有内切球，那么它一定是正方体
探究新知
二、长方体的外接球
图形
度量关系长方体的（体）对角线等于球直径设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则a2 b2 c2 (2R)2。
反馈练习
例2、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 .
8.3 球与多面体的内切、外接
新பைடு நூலகம்引入
球的性质
●球心和截面圆心的连线垂直于截面
●球心到截面的距离与球的半径R及截面的半径的关系: R2 = r2 + d2
球的表面积公式：S 4 R2 球的体积公式：V 4 R3
3
o1 r
dR o●
新课引入
定义：若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球。
小结：正棱锥外接球半径求法
A
R OR O1 r
1、球心在棱锥的高所在的直线上 2、球心到底面外接圆圆心的距
等于锥体的高减去球半径的绝对值
B 3、R2 r2 (h R)2
为 4 3 .
2. 甲球内切于正方体的各面，乙球内切于该正方体的各条棱，
丙球外接于该正方体，则三球表面面积之比为( A )
A. 1:2:3
B. 1: 2: 3 C. 1:3 4:3 9 D. 1: 8: 27
类型二：长方体
探究新知
一、长方体的内切球
思考：一般的长方体有内切球吗？
没有。一个球在长方体内部，最多可以和该长方体的5个面相切。
球直径等于正方体的（体）对角线
知识拓展 1.几个与球有关的切、接常用结论

人教A版高二数学必修二.2 简单多面体的外接球问题优质课课件

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4.夕阳将下，余晖照映湖面，金光璀璨，不可名状。一是苏州光福的石壁，也是太湖的一角，更见得静止处，已不是空阔浩渺的光景。而即小见大，可以使人有更多的ห้องสมุดไป่ตู้推想.
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5.桃花源里景美人美，没有纷争。虽然看似一个似有似无，亦真亦幻的所在，但它是陶渊明心灵酿出的一杯美酒，是他留给后世美好的向往.
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2.许地山这样说，也是这样做的，他长大后埋头苦干，默默奉献，成为著名的教授和作家，他也因此取了个笔名叫落花生，这就是他笔名的由来。
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3.在伟大庄严的教堂里，从彩色玻璃窗透进一股不很明亮的光线，沉重的琴声好像是把人的心都洗淘了一番似的，我感到了我自己的渺小。
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人教A版高二数学必修二1.1.2 简单多面体的外接球问题优质课课件
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例 6.(安顺市 •二模 )已知三棱锥 SABC的所有顶点都在球 O的球面上，
SA平面 ABC， SA=23,AB1,AC2,BAC600,则球 O的表面积为 (B )
人教A版高二数学必修二1.1.2 简单多面体的外接球问题优质课课件
小结：
1. 正方体，长方体，正棱柱，正棱锥的外接球球心位置 2. 棱长为a的正四面体外接球半径 6 a
4
3. 求三棱锥的外接球两招：构造法；确定球心位置法
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谢谢!
人教A版高二数学必修二1.1.2 简单多面体的外接球问题优质课课件

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版

高二数学第九节多面体欧拉公式的发现知识精讲人教版1.多面体的概念和分类由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面体的顶点.把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸面体，图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过的棱柱，棱锥都是凸多面体.一个多面体至少有四个面，多面体按它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体.2.正多面体的概念为了更好地弄清正多面体的概念，我们讲一讲与多面体有关的一些其他概念.多面角：从一点出发并且不在同一平面内的几条射线，以及每两条相邻射线之间的平面部分叫组成的图形.如图所示是一个多面角，记作多面体S—ABCD，或者多面角S.图中射线如SA叫做多面角的棱，S叫做顶点，相邻两棱如SA、SB之间的平面部分叫做多面角的面，∠ASB为多面角的面角.每相邻两个面角间的二面角为多面角的二面角，如E —SA—B.正多面体：如果面体的各个面都是全等的正多边形，并且各个多面角都是全等的多面角，这样的多面体叫做正多面体.3.正多面体的性质(i)正多面体的所有的棱，所有的面角和所有的二面角都相等.(ii)经过正多面体上各面的中心所在面的垂线相交于一点，这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等.(iii)正多面体各面经过它中心的垂线的交点叫做正多面体的中心.定理：任何正多面体有一个内接球和一个外切球，这两个球同心.(iv)正多面体只存在五种：因为一个多面角的面数至少是三，并且它的各面角的和必须小于360°，而正n 边形的每个内角等于nn ︒⋅-180)2(，所以，由正三角形组成的正多面体只有三种：正四面体、正八面体和正十二面体；由正方形组成的正多面体只有一种：正六面体；由正五边形组成的正多面体也只有一种：正十二面体.书中是这样定义的正多面体：每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同的数目的棱的凸多面体，叫做正多面体.其实质是一样的.4.欧拉公式如果简单多面体的顶点数为V ，面数F ，棱数E ，那么V+F-E ＝2，这个公式叫做欧拉公式.计算棱数E 常见方法： (1)E ＝V+F-2(2)E ＝各面多边形边数和的一半 (3)E ＝顶点数与共顶点棱数积的一半【重点难点解析】本节是新增内容，教学要求只是了解，作为知识的综合性与联系，重点应掌握正多面体的概念，尤其是正四面体和正方体的性质，难点是欧拉公式例1 下列几何体是正多面体的是( ) A.长方体 B.正四棱柱C.正三棱锥D.棱长都相等的三棱锥解选D.因为棱长都相等的三棱锥就是正四面体.例2 对于下列命题：(1)底面是正多边形的，而侧棱长与底面边界长都相等的棱锥是正多面体；(2)正多面体的面不是三角形，就是正方形；(3)若长方体的各侧面都是正方形时，它就是正多面体；(4)正三棱锥就是正四面体，其中正确的序号是 .解 (2)显然不对，∵正十二面体每个面都是全等的正五边形.(1)所给的几何体是正棱锥，作为正棱锥每个侧面都是全等的正三角形，底面正多边形是任意的，而作为正多面体的所有面必须是全等的正多边形，故(1)、(4)不对.∴应填(3).例3 一个凸多面体有8个顶点，①如果它是棱锥，那么它有条棱，面；②如果它是棱柱，那么它有条棱个面.解 ①如果它是棱锥，则是七棱锥，有14条棱，8个面 ②如果它是棱柱，则是四棱柱，有12条棱，6个面【难题巧解点拨】例1 一个凸多面体的各面都是五边形，求多面体的顶点数V 与面数F 之间的关系. 解 ∵凸多面体各面是五边形，且面数为F.∴该凸多面体的棱数E ＝25F ，代入欧拉公式：V+F-25F ＝2 即2V-3F ＝4.例2 一凸多面体的棱数为30，面数为12，则它的各面多边形的内角总和为( ) A.5400° B.6480° C.7200° D.7920° 解由欧拉公式，V ＝E-F+2＝30-12+2＝20∴内角总和为(V-2)×360°＝6480° ∴应选B.例3 将边长为a 的正方体各侧面中心连结起来得到一个正八面体，求此正八面体的体积.解根据正方体与正八面体的联系.可知正八面体的高为a ，侧棱长为22)2()2(a a ＝22a ，而正八面体可分为两个正四棱锥. 故 V ＝2×(22a)2×2a ×31＝62a .说明用分割的方法把八面体分割成两个锥体，然后求体积.例4 在正四面体ABCD 中，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，连接AF 、CE ， (1)求异面直线AF 、CE 所成角的大小； (2)求CE 与底面BCD 所成角的大小.解 (1)如图所示，设正四体棱长为a.在平面AFD 内作EG ∥AF 交DF 于G ，那么CE 与GE 所成非钝角的角就是异面直线AF 、CE 所成的角.由于正四面体的各个面是正三角形，所以AF ＝CE ＝DF ＝23a,GF ＝EG ＝21AF ＝43a,CG 2＝CF 2+GF 2＝(21a)2+(23a)2，即CG 2＝167a 2，于是CG ＝47a.在ΔCEG 中，cos ∠CEG ＝GE CE CG GE CE ⋅-+2222，所以cos ∠CEG ＝32，于是∠CEG ＝arccos32. 因此AF 、CE 所成的角为arccos32. (2)设A 在底面内射影为O ，连AO ，则AO ⊥平面BCD ，在平面AFD 内作EH ∥AO 交FD 于H ，那么EH ⊥平面BCD ，且EH ＝2122OD AD -＝2122)2332(a a ⋅-＝66a,CE ＝23a ，显然∠ECH 就是CE 底面BCD 所成的角.在Rt ΔEHC 中，sin ∠ECH ＝CEEH＝66a ∶23a ＝32，所以∠ECH ＝arcsin 32.例5 如图所示，四面体ABCD 的棱长为1，求AB 与CD 之间的距离.分析 AB 与CD 显然异面，这是求解异面直线间的距离问题，取AB 、CD 的中点E ，F ，连EF ，可设想EF 就是公垂线段。

人教版高三数学《多面体与球的接切问题》课件(共18张PPT)

直棱柱的外接球
已知直三棱柱ABC A1B1C1的六个顶点都在球O的球面上,若AB BC 1, ABC 120, AA1 2 3，则球O的表面积为
棱锥的外接球
例 3(P121) (2014·全国大纲，文 10)正
四棱锥的顶点都在同一球面上．若该棱锥
的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积
2. 已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1的各顶点都在半径为R的球面上，则该正四棱柱的侧面积有
最大值，为 4 2R2
3. 在正三棱锥S ABC中，M、N分别是棱SC、BC 的中点，且AM MN，若侧棱SA 2 3，则该三棱
锥S ABC外接球的表面积是 36
4. 已知三棱锥P ABC的四个顶点都在球O的球面上，若PA AB 2, AC 1, BAC 120，且
定义2：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
正方体的外接球
例1：已知某一多面体
内接于球构成一个简单组合体，如果该组合体的正视图、侧视图、俯视图均如图所示，且图中的四边形是边长为2的正方形，则该球的表面积是
________.
思考：已知一个正方体内接于一个球，若过球心作一截面，则截面的可能图形是( )
A．①② B．②④ C．①②③ D．②③④
长方体的外接球
例2：《练出好成绩》P251中第10小题：知三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝6，
AC＝AD＝BC＝BD＝5，则三棱锥A－BCD外接球的球心O 到平面BCD的距离为( )
锥的外接球的表面积为 16
3
7. 已知一个四面体的每个面都是两条边长为3，一条边长为2的三角形，则该四面体的外接球的表面

人教A版高中数学必修二多面体与球体的切接问题课件(共23张PPT)

则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。
1.若正方体的棱长为a，则
⑴正方体的内切球直径＝ a
⑵正方体的外接球直径＝ 3a ⑶与正方体所有棱相切的球直径＝ 2a
2.长方体外接球：
(1)长方体的外接球： ①球心：体对角线的交点； ②半径：r＝ a2＋2b2＋c2(a，b，c 为长方体的长、宽、高)．
（2）勾股定理法（通法）
关键是找球心，球心一定在过底面的外心与底面垂直的直线上，画出截面图，构造与R有关的直角三角形。
求棱锥内切球半径的方法：等体积法
A B
O
O
D
C 正四面体外接球的半径
D C
正方体外接球的半径
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法2.勾股定理法
P
P
O
A
C
A
M
D
B
•O
D M
E
求棱锥外接球半径的方法：（1）补形法（适用特殊棱锥）
三条侧棱两两垂直的三棱锥常补成长方体；三组对棱分别相等的三棱锥可补成长方体；侧棱垂直底面的棱锥可补成直棱柱
3.直棱柱的外接球半径（1）先找外接球的球心：
它的球心是连接上下两个多边形的外心的线段的中点；
（2）再构造直角三角形，勾股定理求解
二、棱锥与球
正四面体ABCD的棱长为a，求其内切球半径r与外接球半径R.
R 6a 4
r 6a 12
难点突破：如何求正四面体的外接球半径
法1.补成正方体
A B
多面体与球体的切接问题
基本知识回顾：
一、球体的体积与表面积
①
V球
4
3
Байду номын сангаас

高二数学多面体与球知识精讲人教版

高二数学多面体与球知识精讲人教版一. 本周教学内容多面体与球二. 重点、难点1. 欧拉公式：2=-+E F V 各面棱数之和=2倍棱数各顶点引出棱数之和=2倍棱数 2. 球：24R S π=球334R V π=球3. 球面距离的计算：（1）求线段AB（2）在AOB ∆中利用余弦定理求α=∠AOB （3）AB 的球面距离为R α【典型例题】[例2] 两个平行平面截半径为5的球，截面周长为π6、π8，求两个平行平面间的距离。

31=r 42=r两圆到圆心距离为4或3① 两平面在圆心同侧距离为1 ② 两平面在圆心异侧距离为7[例3] 球面距离，地球半径为R ，求A 、B 两地的球面距离。

（1）A 地：西经50°赤道上 B 地：西经 110° 赤道上︒=︒-︒=∠6050110AOB ∴ 球面距离为R 3π（2）A 地：东经70° 北纬20° B 地东经70° 南纬70°︒=︒+︒=∠907020AOB ∴ 球面距离为R 2π（3）A 东经20°北纬60°B 西经160°北纬60°北纬60°圆半径为2R AB 为直径 AB=R ∴3π=∠AOB ∴ 球面距离为R 3π（4）A 东经30°赤道上 B 北纬45°东经120°OB OA ⊥∴︒=∠90AOB ∴ 球面距离为R 2π[例4] 求半径R 的球的内接正四棱柱的体积最大值。

解：底正四棱柱，底面边长为a ，侧棱长为h ∴22224a h R +=[例3即31)333(22+-=R R 11/332=R222PM MI PI +=DH DM = 222)()(DH PD MI HI PH -+=-[例6] ⎩⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=++⋅+=683622421)83(36y x y x y x ∴ 有8个三角形晶面[例7] 已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正∆），球体积相等，则表面积的大小关系。

高二数学球知识精讲人教版

高二数学球知识精讲人教版【基础知识精讲】1.球的概念半圆以它的直径为旋转轴，旋转所成的曲面叫做球面，球面所围成的几何体叫做球体，简称球.半圆的圆心叫做球心，连结球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径.连结球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径.如图的球中，O 是球心，线段OC 是半径，线段AB 是直径，球一般用表示它的球心的字母来表示，上图记为球O.球面可以看作空间内到定点(球心)的距离等于定长的点的集合，球则可以看作空间内到空点(球心)的距离小于或等于定长(半径)的点的集合.2.球的性质用一个平面去截一个球，截面是圆面，其截面有如下性质： (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面.(2)球心到截面的距离d 与球的半径R 及截面的半径r,有下面的关系：r ＝22d R球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆. (3)经过球面上不是同一条直径的两端点的两个点，可以且只可以作一个大圆. (4)同一个球的大圆相等. (5)球的大圆平分这个球.(6)球的任意两个大圆相互平分.画球时，一般画一个大圆，与一个辅助椭圆就足够了.3.经度、纬度和球面距北极、南极的连线称为地轴.英国的格林威治天文台与地轴形成一个大圆，以地轴为直径，天文台所在半圆弧称为O °经线，也称为本初子午线.经线指的是某点与地轴形成半圆、圆弧，赤道面指的是垂直于地轴.某地点的经度指的是经过这点的经线与地轴确定的半平面与O °经线与地轴确定的半平面所成二面角的度数，实质是二面角.某地点的纬度就是经过这点的球半径与赤道面所成角的度数，本质是线面角. 注意：东西径180°经线重合，如图1.球面距指的是经过两点的大圆的劣孤长，也是球面上经过这两点的最短距离. 如图2所示：NS 为地轴，P 所在经线为⌒NPS ，设P 点所在经线为0°经线，B 所在经线为东径n 度(n ＝∠AOB)，P 在北纬m 度(m ＝POA )要确定Q 在地球上的位置，必须知道Q 的经度与纬度.4.球的面积和体积公式.定理球面面积等于它的大圆面积的4倍，S 球面＝4πR 2定理：如果球的半径为R ，那么它的体积是V 球＝34πR 3.【重点难点解析】多面体：旋转体与球的相切和相接问题，常成为高考的重点和热点，难点是球半径与多面体，旋转体的几何量的关系.例1 已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧且相距是1，那么这个球的半径是( )A.4B.3C.2D.5解如图，设球的半径是r ，则πBD 2＝5π，πAC 2＝8π，∴BD 2＝5，AC 2＝8.又AB ＝1，设OA ＝x. ∴x 2+8＝r 2,(x+1)2+5＝r 2. 解之，得r ＝3 故选B.例2 在桌面上有三个球两两相切，且半径都为1，在桌面与三球间放置一个小球，使它与三个球相切.求此小球半径.解如图，球O 为放置在桌面上与已知三球相切的半径为r 的小球，过O 作O 1O 2O 3平面的垂线，垂足为H ，它一定是ΔO 1O 2O 3的中心，连接O 1H ，O 1O ，在Rt ΔO 1OH 中，O 1H ＝332，OH ＝1-r,OO 1＝1+r,∴OO 12＝O 1H 2+OH 2，即(1+r)2＝(332)2+(1-r)2，解得r ＝31.例3 地球半径为R ，在北纬45°圈上有A 、B 两点，它们的经度差为2π，求球面上A 、B 两点间球面距离.分析本题关键是求出∠AOB 的大小，(如图1)现在我们将这个球的截面问题转化为较为熟悉的长方体问题.如图，以O 1O ，O 1A ，O 1B 为三条相互垂直的棱，可构造一个长方体，问题转化为长方体截面ABO 内求∠BOA 的问题.解如图2，∵∠O 1OA ＝4π＝∠O 1OB ，OA ＝OB ＝R ，∴OO 1＝O 1A ＝O 1B ＝22R ∴AB 2＝O 1A 2+O 1B 2＝R ∴ΔAOB 为等边Δ ∴∠AOB ＝3π，A 、B 间的球面距离为3πR.例4 两面都是凸形镜中，它的面都是球冠形，球半径分别为10cm 和17cm ，两球心间的距离为21cm ，求此镜面的表面积和体积.解轴截面如图，设O 2C ＝x ，则CO 1＝21-x,∵AB ⊥O 1O 2 ∴AO 22-O 2C 2＝AO 12-CO 12，即102-x 2＝172-(21-x)2，解得x ＝6,CO 1＝15,又设左边球缺的高为h 1,右边的球缺高为h 2，则h 1＝17-15＝2,h 2＝10-6＝4,∴S 表＝2π(17·2+10·4)＝148π(cm)2,V ＝31π［22(3·10-2)+42(3·17-4)］＝288π(cm 3).例5 正三棱锥的底面边长是2cm ，侧棱与底面成60°角，求它的外接球的表面积.解如图，PD 是三棱锥的高，则D 是ΔABC 的中心，延长PD 交球于E ，则PE 就是外接球的直径，AD ＝33AB ＝323，∠PAD ＝60°，∴PD ＝AD ·tan60°＝2,PA ＝343，而AP⊥AE ，∴PA 2＝PD ·PE ＝PD PA 2＝38，R ＝34，∴S 球＝964π(cm)2.例6 求证：球的外切正四面体的高是球的直径的2倍.证明设球的半径为R ，正四面体的高为h ，侧面积为S ，则有V A —BCD ＝V O —ABC +V O —ABD +V O —BCD ，如图，即31Sh ＝4×31SR,∴h ＝4R.【难题巧解点拨】例1 地球半径为R ，A 、B 两地都在北纬45°线上，且A 、B 的球面距离为3R，求A 、B 两地经度的差.分析：如图，O 为球心，O 1为北纬45°小圆的圆心，知A 、B 的球面距离，就可求得∠AOB 的弧度数，进而求得线段AB 的长，在ΔAO 1B 中，∠AO 1B 的大小就是A 、B 两地的经度差.解设O 1是北纬45°圈的中心， ∵A 、B 都在此圈上，∴O 1A ＝O 1B ＝22R. ∵A 、B 的球面距离为3R π， ∴∠AOB ＝R l ＝R R3π＝3π,ΔAOB 为等边三角形.AB ＝R ，在ΔAO 1B 中， ∵O 1A 2+O 1B 2＝21R 2+21R 2＝R 2＝AB 2， ∴∠AO 1B ＝90°.∴A 、B 两地的经度差是90°.评析：注意搞清纬度和经度的问题，球面距离三步骤的运用是非常重要的问题.例2 已知圆锥的母亲长为l ，母线对圆锥底面的倾角为θ，在这个圆锥内有一内切球，球内又有一个内接的正方体，求这个内接正方体的体积.解设球半径为R ，以内接正方体对角面为轴截面，如图.连接OA ，∠OAD ＝2θ，R ＝OD ＝AD ·tan2θ,VA ＝l,AD ＝lcos θ,∴R ＝lcos θtan 2θ,又设正方体棱长为x ，则3x 2＝EG 2＝4R 2,x ＝323R.∴V 正方体＝938(lcos θtan 2θ)3.例3 如图，过半径为R 的球面上一点P 作三条两两垂直的弦PA 、PB 、PC ，(1)求证：PA 2+PB 2+PC 2为定值；(2)求三棱锥P —ABC 的体积的最大值.分析：先选其中两条弦PA 、PB ，设其确定的平面截球得⊙O 1，AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，PADB 是矩形，PD 2＝AB 2＝PA 2+PB 2，然后只要证得PC 和PD 确定是大圆就可以了.解 (1)设过PA 、PB 的平面截球得⊙O 1，∵PA ⊥PB ，∴AB 是⊙O 1的直径，连PO 1并延长交⊙O 1于D ，则PADB 是矩形，PD 2＝PA 2+PB 2. 设O 为球心，则OO 1⊥平面⊙O 1， ∵PC ⊥⊙O 1平面，∴OO 1∥PC ，因此过PC 、PD 的平面经过球心O ，截球得大圆，又PC ⊥PD. ∴CD 是球的直径.故 PA 2+PB 2+PC 2＝PD 2+PC 2＝CD 2＝4R 2定值.(2)设PA 、PB 、PC 的长分别为x 、y 、z ，则三棱锥P —ABC 的体积V ＝61xyz ， V 2＝361x 2y 2z 2≤361(3222z y x ++)3＝361·27646R ＝5432R 6.∴V ≤2734R 3. 即 V 最大＝2734R 3. 评析：定值问题可用特殊情况先“探求”，如本题(1)若先考虑PAB 是大圆，探求得定值4R 2可为(1)的证明指明方向.球面上任一点对球的直径所张的角等于90°，这应记作很重要的性质.例4 求棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径.解如图，作AH ⊥底面BCD 于H ，则AH ＝36a ，设内切球的球心为O ，半径为r ，O点与A 、B 、C 、D 相连，得四个锥体，设底面为S ，则每个侧面积为S ，有4·31·Sr ＝31S ·AH ，∴r ＝41AH ＝126a,设外接球心为O ，半径R ，过A 点作球的半径交底面ΔCD 于H ，则H 为圆BCD 的圆心，求得BH ＝32a,AH ＝36a,由相交弦定理得36a ×(2R-36a)＝(33a)2. 解得R ＝36a.【课本难题解答】1.求证：球的任意两个大圆互相平分.证明：因为任意两个大圆都过球心O ，所以它们必交于过球心的直径，这条直径也是两个大圆的公共直径，所以任意两个大圆互相平分.2.在球心的同一侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积各为49πcm 2和400πcm 2.求球的表面积.解如图，设球的半径为R ，∵πO 2B 2＝49π ∴O 2B ＝7 同理 O 1A ＝20设OO 1＝xcm ，则OO 2＝(x+9)cm.在Rt ΔOO 1A 中，可得R 2＝x 2+202在Rt ΔOO 2B 中，可得R 2＝72+(x+9)2∴x 2+202＝72+(x+9)2 解方程得 x ＝15cm R 2＝x 2+202＝252∴S 球＝4π·OA 2＝2500π(cm 2)【命题趋势分析】纵观近几年高考题，关于球的应用题基本上出现在选择题、填空题的位置上，且难度不大，同时实际背景材料并不复杂，主要考查三个方面：①算表面积和体积；②求半径；③求球面距.【典型热点考题】例1 球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的61，经过3个点的小圆的周长为4π，那么这个球的半径为( )A.43B.23C.2D. 3解设球半径为R ，小圆半径为r ，则2πr ＝4π,∴r ＝2.如图，设三点A 、B 、C ，O 为球心，∠AOB ＝∠BOC ＝∠COA ＝3，又∵OA ＝OB ∴ΔAOB 是等边三角形同理，ΔBOC 、ΔCOA 都是等边三角形，得ΔABC 为等边三角形. 边长等于球半径R ，r 为ΔABC 的外接圆半径. r ＝33AB ＝33R R ＝33r ＝23 ∴应选B.例2 已知球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离都是球半径的一半，且AB ＝BC ＝CA ＝2，则球表面积是( )A.964π B.38π C.4π D.916π 解如图，过ABC 三点的截面圆的圆心是O ′，球心是O ，连结AO ′、OO ′，则OO ′⊥ AO ′.ΔABC 中，AB ＝BC ＝CA ＝2，故ΔABC 为正三角形.∴AO ′＝33×2＝332设球半径为R ，则OA ＝R ，OO ′＝2R在Rt ΔOAO ′中，OA 2＝O ′O 2+O ′A 2，即R 2＝42R +(323)2∴R ＝34∴球面面积为4πR 2＝964π ∴应选A.说明因为R ＝OA ＞O ′A ＞21AB ＝1，所以球面积S ＝4πR 2＞4π.从而选A.例3 长方体的一个顶点上的三条棱分别是3、4、5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是( )A.202πB.252πC.50πD.200π解正方体的对角线为l ，球的半径为R ，则l ＝2R.得：l 2＝4R 2＝32+42+52＝50从而 S 球＝4πR 2＝50π ∴应选C.例4 在球面上有四个点P 、A 、B 、C.如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a,那么这个球的表面积是 .解由已知可得PA 、PB 、PC 实际上就是球内接正方体中交于一点的三条棱，正方体的对角线长就是球的直径，连结过点C 的一条对角线CD ，则CD 过球心O ，对角线CD ＝3a.∴S 球表面积＝4π·(23a)2＝3πa 2.例5 圆柱形容器的内壁底半径为5cm ，两个直径为5cm 的玻璃小球都浸没于容器的水中，若取出这两个小球，则容器内的水面将下降 cm.分析：球的体积等于它在容器中排开水的体积.解设取出小球后，容器水平面将下降hcm ，两小球体积为V 球＝2×34π×3)25(V 1＝V 球即 25πh ＝3125π ∴h ＝35cm. ∴应填35.本周强化练习：【同步达纲练习】一、选择题1.正四面体的内切球半径与正四面体的高的比是( ) A.1∶4 B.1∶3C.1∶6D.5∶122.要使一个光源能照到一个半径为R 的球面积的31，这个光源应距球心( ) A.23R B.2RC.3RD.21R3.已知体积相等的正方体、球、等边圆柱的全面积分别为S 1、S 2、S 3，则它们之间的关系为( )A.S 1＞S 2＞S 3B.S 1＜S 3＜S 2C.S 2＜S 3＜S 1D.S 2＜S 1＜S 34.甲球与某立方体的各个面都相切，乙球与这个立方体的各条棱都相切，丙球过这个立方体的所有顶点，则甲、乙、丙三球的半径的平方之比为( )A.1∶2∶3B.1∶2∶3C.1∶34∶39D.1∶22∶335.半径为1的球面上有三个点A 、B 、C ，其中A 和B 及A 和C 之间的球面距离都是2π，B 和C 之间球面距离是3π，则过A 、B 、C 三点的截面到球心的距离是( ) A.22B.33 C.721 D.2226.在北纬60°处有A 、B 两点，它们的经度相差180°，若地球的半径为R ，则它们的球面距离是( )A.3R π B.πR C.22RD.2R7.已知球的两个平行截面的面积分别是5π和8π，且距离为1，那么这个球的半径是( )A.2B.3C.4D.无解8.定义1分的地球球心角所对的地球大圆弧长为1海里.在北纬45°圈上有甲、乙两地，甲地位于东经120°，乙位于西经150°，则甲乙两地在球面上的最短距离为( )A.5400海里B.2700海里C.4800海里D.3600海里9.三个半径为1的球，两两相切放置于水平桌面上，在三球中间上方再放上一个半径为2的小球，则其最高点距离桌面的距离为( )A.362+3B.362+2C.369+3D.393+310.一个球的半径是15cm ，在距球心25cm 的地方能看到的球面部分的面积是( )A.180πcm 2B.270πcm 2C.4675πcm 2D.41125πcm 2二、填空题1.球的表面积为S ，则内接正方体的表面积为 .2.两个半径为1的铁球，熔化成一个球，这个球的半径是 .3.一个凸多面体的表面积为S ，如果它有一个内切球，其球半径为r ，则这个凸多面体的体积为 .4.在半径为2的球面上有A 、B 、C 三点，已知AB ＝2，AC ＝3，BC ＝1，则过这三点的截面与球心的距离为，AC 两点间的球面距离是 .三、解答题1.正三棱锥P —ABC 的底面ΔABC 的边长为a ，侧面与底面成α角，求其外接球的表面积.2.在四面体ABCD 中，AB ＝AC ＝AD ＝BC ＝BD ＝a,CD ＝2.求四面体内切球的体积.【素质优化训练】1.在三棱锥S —ABC 中，SA ⊥底面ABC ，侧面SAB ⊥侧面SBC.①求证：ΔSBC 为直角三角形.②若∠BSC ＝45°，SB ＝α，求三棱锥S —ABC 的外接球的体积.2.三棱锥V —ABC ，VA ⊥底面ABC ，∠ABC ＝90°.(1)求证：V 、A 、B 、C 四点在同一球面上.(2)求二面角V —AB —C.3.把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离.【生活实际运用】湖结冰时，一个球漂在其上，取出后(未弄破冰)，冰面上留下了一个直径为24cm,深为8cm 的空穴，求该球的半径.解设球的半径为R ，依题意知截面圆的半径r ＝12,球心与截面的距离为d ＝R-8，由截面性质得：r 2+d 2＝R 2,即122+(R-8)2＝R 2.得R ＝13 ∴该球半径为13cm.【知识验证实验】在有阳光时，一根长为3米的旗轩垂直于水平地面，它的影长为3米，同时将一个半径为3米的球放在这块水平地面上，如图所示，求球的阴影部分的面积(结果用无理数表示).解：由题意知，光线与地面成60°角，设球的阴影部分面积为S ，垂直于光线的大圆面积为S ′，则Scos30°＝S ′,并且S ′＝9π，所以S ＝63π(米2)【知识探究学习】设棱锥M —ABCD 的底面是正方形，且MA ＝MD ，MA ⊥AB ，如果ΔAMD 的面积为1，试求能够放入这个棱锥的最大球的半径.解 ∵AB ⊥AD ，AB ⊥MA ，∴AB ⊥平面MAD ，由此，面MAD ⊥面AC.记E 是AD 的中点，从而ME ⊥AD.∴ME ⊥平面AC ， ME ⊥EF设球O 是与平面MAD 、AC 、平面MBC 都相切的球.不妨设O ∈平面MEF ，于是O 是ΔMEF 的内心.设球O 的半径为r ，则r ＝MF EM EF S MEF ++△2 设AD ＝EF ＝a,∵S ΔAMD ＝1.∴ME ＝a 2.MF ＝22)2(aa +, r ＝22)2(22a a a a +++≤2222+＝2-1 当且仅当a ＝a2，即a ＝2时，等号成立.∴当AD＝ME＝2时，满足条件的球最大半径为2-1.[参考答案]【同步达纲练习】一、1.A 2.C 3.C 4.B 5.C 6.A 7.B 8.D 9.C 10.A 二、1.π25 2. 32 3. 31sr 4. 3 2arccos 85 三、1.ααπ2222tan 12)4(tan a + 2.31(262-156)πa 2【素质优化训练】1.(1)略 (2)32πa 32.①设VC 中点为O ，可证O 即为球心②90° 3.(2+362)R。

高考数学总复习 9.7多面体、球课件人教版

＝
π 2
，则AB＝2
2 .如图，在正三棱锥O-ABC中，OA＝2，
可求得OO′＝2 3 3，
∴三棱柱的高为4 3 3，
故其体积为12×(2 2)2× 23×4 3 3＝8. 答案：8
已知正八面体的棱长为a，求： (1)两个相邻的面的中心间的距离； (2)两个相对面的距离．
【自主解答】(1)如图，正八面体S－ABCD－P，面SBC 与面SCD的中心分别为E、F，
(4)要求两点的球面距离，应找到过这两点的大圆，然后确定劣弧所对的圆心角，运用弧长公式l＝αR即可求得．
(5)球与多面体的组合问题要多利用对称性质进行求解，画图时可以只画出轴截面图，这样可使解题更加简洁．
1．给出下列命题，其中正确的有( )
①底面是正多边形，而侧棱长与底面边长相等的棱锥是正多面体；
5．球的体积公式
半径是R的球的体积V＝的表面积S＝
.球的表面积公式：半径是R的球 .
43πR3
4πR2
注意：
(1)球面仅仅是指球的表面，它只有一个面，而球体不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间．球面也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹)．
(2)教材上介绍的推导球的体积公式的一种方法，体现了“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”的思想方法，这种方法实际上就是定积分的一种具体运用．“分割——求和——化为准确和”这一重要数学思想方法，在今后进一步学习微积分等近代数学知识时也会用到．
解析：作出多面体的部分图形，如图，可知CD∥FG， AB∥EF，则AB与CD所成的角为∠EFG，
∵△EFG为等边三角形， ∴∠EFG＝ 60°.
答案：60°(或π3)

人教A版高中数学必修二高考二轮复习新第课时多面体和球

课题：多面体和球教学目标：1.了解多面体、凸多面体的概念了解正多面体的概念，知道欧拉公式2V F E +-=和五种正多面体的顶点数、面数及棱数2.要使学生理解两点的球面距离，掌握球的表面积及球的体积公式、求球面面积、球的体积及两点的球面距离.3.球是最常见的几何体.高考对球的考查主要在以下四个方面：()1球的截面的性质；()2球的表面积和体积；()3球面上两点间的球面距离；()4球与其他几何体的组合体.而且多以选择题和填空题的形式出现.第（4）方面有时用综合题进行考查.教学重点：（一）主要知识及主要方法：1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.3.简单多面体：考虑一个多面体，例如正六面体，假定它的面是用橡胶薄膜做成的，如果充以气体，那么它就会连续（不破裂）变形，最后可变为一个球面.如图：象这样，表面经过连续变形可变为球面的多面体，叫做简单多面体. 说明：棱柱、棱锥、正多面体等一切凸多面体都是简单多面体E 有关系式：2VF E +-= 计算棱数E 常见方法：()1 2E V F =+-；()2 E =各面多边形边数和的一半；()3E =顶点数与共顶点棱数积的一半.6.球的概念：与定点距离等于或小于定长的点的集合，叫做球体，简称球定点叫球心，定长叫球的半径与定点距离等于定长的点的集合叫做球面.一个球或球面用表示它的球心的字母表示，例如球O7.球的截面：用一平面α去截一个球O ，设OO '是平面α的垂线段，O '为垂足，且OO d '=，所得的截面是以球心在截面内的射影为圆心，以r =为半径的一个圆，截面是一个圆面.球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做小圆 8.两点的球面距离：球面上两点之间的最短距离，就是经过两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，我们把这个弧长叫做两点的球面距离.l R ϕ=(ϕ为球心角的弧度数).9.球的表面积和体积公式：24S R π=，343V R π=.（二）典例分析：问题1．()1（05辽宁）棱长为a的正方体，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为.A23a.B24a.C26a.D212a()2已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等且为1，把它们拼起来，使一个表面重合，所得的多面体有多少个面？问题2．()1(07天津）一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为()2(07全国Ⅰ文)正四棱锥S ABCD-，点,,,,S A B C D 都在同一个球面上，则该球的体积为()3（07江西文）四面体ABCD的外接球球心在CD上，且2CD=，AB=在外接球面上两点A 、B 间的球面距离是 .A π6 .B π3.C 2π3 .D 5π6()4（06陕西）水平桌面α上放有4个半径均为2R 的球，且相邻的球都相切(球心的连线构成正方形).在这4个球的上面放1个半径为R 的小球，它和下面4个球恰好都相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是问题3．（07四川）设球O 的半径是1，A 、B 、C是球面上三点，已知A 到B 、C 两点的球面距离都是2π，且二面角B OA C --的大小为3π，则从A 点沿球面经B 、C 两点再回到A 点的最短距离是.A 67π .B 45π .C 34π .D 23π问题4．三棱锥A BCD -的两条棱6AB CD ==，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球半径和外接球半径.问题5．已知球的半径为R，在球内作一个内接圆柱，这个圆柱底面半径与高为何值时，它的侧面积最大?侧面积的最大值是多少?（三）课后作业：1.正方体、正多面体、凸多面体、简单多面体是什么关系？2.已知凸多面体每个面都是五边形，每个顶点都有三条棱相交，试求该凸多面体的面数、顶点数和棱数.3.一个广告气球被一束入射角为α的平行光线照射，其投影是一个长半轴为5m 的椭圆，则制作这个广告气球至少需要的面料是4.在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA PB PC a ===，那么这个球面的面积是 .A 22a π .B 23a π .C 24a π.D 26a π5.北纬30︒的圆把北半球面积分为两部分，这两部分面积的比为.A 1:1 .B 2:1 .C .D6.已知过球面上A 、B 、C 三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且2AB BC CA ===，则球面面积是.A 9π16 .B 3π8 .C 4π .D 9π647.正八面体的相邻两个面所成二面角的大小为.A 1arccos 3 .B 1arccos 3π- .C 1arccos 23π-.D 1arccos 3-（四）走向高考：8.（07陕西）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是 .A 433 .B 33 .C 43 .D 1239.（07辽宁）若一个底面边长为2，的正六棱柱的所有顶点都在一个平面上，则此球的体积为10.（07全国Ⅱ）一个正四棱柱的各个顶点在一个直径为2cm 的球面上。

2019-2020年高二数学多面体和正多面体球的体积和表面积人教版

【教学内容】第九章直线平面简单几何多面体和正多面体球的体积和表面积【教学目标】1、掌握多面体的有关概念和欧拉公式2、掌握球的有关概念、性质及球的体积和表面积的求法。

【知识重点与难点】1、正多面体的每个面都是相同边数的正多边形，以每个顶点为其一端都有相同数目的棱，这样的多面体只有五种，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体；2、简单多面体的顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间的关系满足欧拉公式V+F-E=2；3、球既是中心对称，又是轴对称的简单几何体，它的任何截面均为圆面；（1）球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆；（2）球面被不经过球心的截面截得的圆叫做小圆；球的截面有以下性质：（1）球心和截面圆心的连线垂直于截面；（2）球心到截面的距离d与球半径R及截面半径r有下面的关系：4、在球面上，两点之间的最短连线的长度，是经过这两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度，这个弧长叫两点的球面距离。

区别球面上两点A、B的直线距离与球面距离。

球面距离的计算步骤：（1）计算线段AB的长；（2）计算A、B对球心O的张角∠AOB（写成弧度）（3）计算大圆弧AB的长（弧长等于圆心角的弧度数乘以半径）5、球的体积公式：（R为球半径）球的表面积公式6、球的有关“接”与“切”的问题，常通过适当的轴截面化归为圆中问题解决。

【典型例题分析】例1：判断题（1）过球面上两个点，只能作一个大圆（）（2）球是与定点的距离等于定长的点的集合（）（3）地球的经线是地球的半个大圆（）（4）地球的纬线是地球的大圆（）解：（1）错。

若这两个点恰好是球直径的两个端点，那么就可以作无数多少大圆。

（2）错。

与定点的距离等于定长的点的集合是球面，球面所围成的几何体才叫球体（简称球）（3）对。

（4）错。

点评：有关球的问题中常出现地球经纬度的问题。

某地的经度就是过这点的经线与地轴确定的半平面与本初子午线与地轴确定的半平面所成二面角的度数。

多面体和球(PPT)4-2

2.性质 (1)球心和截面圆心的连线垂直于截面；
(2)球心到截面的距离d与球的半径R及截面半径r 有如下关系：
要点·疑点·考点
一、多面体
1. 概念
(1)若干个平面多边形围成的几何体，叫多面体.
(2)把多面体的任何一面伸展为平面，如果所有其他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫凸多面体.
(3)每个面都是有相同边数的正多边形，且以每个顶点为其一端都有相同数目的棱的凸多面体，叫，冬芽显著，芽鳞多数。芽鳞、鳞叶（原生叶）、雄蕊、苞鳞、珠鳞及种鳞均螺旋状排列。鳞叶单生，幼时线形，绿色，随后逐渐退化成褐色，膜质苞片状，在其腋部抽出针叶（次生叶）；针叶、或针一束，生于不发育的短枝上，每束针叶的基部为膜质叶鞘所包围。、花松树花松树花雌雄同株，球花单；教育培训加盟网教育培训加盟网；性;雄球花单生新枝下部苞腋,多数聚生,雄蕊多数,花药,药室纵裂,花粉具两个发达的气囊,气囊和体接触面较小，界限明显,普遍都有显著的幅缘;雌球花有-4个生于新枝近顶端,具多数珠鳞和苞鳞,每珠鳞的腹面基部着生两枚倒生胚珠，当年授粉，第二年便会迅速增大为球果 [] 。球果年成熟，熟时种鳞张开，稀不张开，卵形、长卵形、近圆形或圆柱形，直立或下垂；种鳞木质，宿存，上面露出部分通常肥厚为鳞盾，有明显横脊或无横脊，鳞盾的先端或中央多具瘤状凸起或微凹的鳞脐，有刺或无刺，发育种鳞具种；种子上部具上翅，子叶～，发芽时出土。、果松树果松树果松树有些种结实较早，～年即可有少量结实，～年时显著增多（马尾松、油松、云南松等）；有些种结实很晚，如红松在天然林条件下，要到～4年才开始结实（但在人工林条件下，～年已开始结实）。大多数松树结实有间隔性，每隔～年或更长的年度丰收一次。松树雄球花位于新梢的基部，雌球花大多数见于主枝的轴端。球果成熟有一个相当长的过程。少数热带松树的雄球花和雌球花于冬末由芽中出现，大多数松树的球花则于

高考数学第一轮复习第66课时多面体与球学案新人教A版

【高考A 计划】2014高考数学第一轮复习第66课时多面体与球学案新人教A 版课题一：球与多面体一．复习目标：1. 了解多面体、正多面体的概念,了解多面体的欧拉公式,并利用欧拉公式解决有关问题；2．了解球、球面的概念, 掌握球的性质及球的表面积、体积公式, 理解球面上两点间距离的概念, 了解与球的有的内接、外切几何问题的解法．二．主要知识：1．欧拉公式；2．球的表面积；球的体积公式；3．球的截面的性质：．三．课前预习：1．一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为 ( )()A 2160 ()B 5400 ()C 6480 ()D 72002．一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积是 ( )()A 3π ()B 4π ()C ()D 6π3．正四面体的中心到底面的距离与这四面体的高的比是 ( )()A 21 ()B 31 ()C 41 ()D 61 4．地球表面上从A 地(北纬45，东经120)到B 地(北纬45，东经30)的最短距离为（球的半径为R ）（）()A 4R π ()B R π ()C 3R π ()D 2R π 5．设,,,P A B C 是球O 面上的四点,且,,PA PB PC 两两互相垂直,若PA PB PC a ===则球心O 到截面ABC 的距离是 . 四．例题分析：例1．已知三棱锥P ABC -内接于球, 三条侧棱两两垂直且长都为1, 求球的表面积与体积.例2．在北纬60圈上有甲、乙两地，它们的纬度圆上的弧长等于2R π(R 为地球半径)，求甲，乙两地间的球面距离。

例3．如图,球心到截面的距离为半径的一半，BC 是截面圆的直径,D 是圆周上一点，CA 是球O 的直径，(1) 求证：平面ABD ⊥平面ADC ；(2) 如果球半径是13，D 分BC 为两部分, 且:1:2BD DC =，求AC 与BD 所成的角；(3) 如果:2BC DC ，求二面角B AC D --的大小。

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高二数学多面体与球人教版
【同步教育信息】
一. 本周教学内容
多面体与球
二. 重点、难点
1. 欧拉公式：2=-+E F V 各面棱数之和=2倍棱数
各顶点引出棱数之和=2倍棱数 2. 球：
24R S π=球 33
4
R V π=球
3. 球面距离的计算：（1）求线段AB
（2）在AOB ∆中利用余弦定理求α=∠AOB （3）AB 的球面距离为R α
【典型例题】
[例2] 两个平行平面截半径为5的球，截面周长为π6、π8，求两个平行平面间的距离。

31=r 42=r
两圆到圆心距离为4或3
① 两平面在圆心同侧距离为1 ② 两平面在圆心异侧距离为7
[例3] 球面距离，地球半径为R ，求A 、B 两地的球面距离。

（1）A 地：西经50°赤道上 B 地：西经 110° 赤道上
︒=︒-︒=∠6050110AOB ∴ 球面距离为
R 3
π
（2）A 地：东经70° 北纬20° B 地东经70° 南纬70° ︒=︒+︒=∠907020AOB ∴ 球面距离为
R 2
π
（3）A 东经20°北纬60°B 西经160°北纬60°
北纬60°圆半径为2
R
AB 为直径 AB=R ∴ 3π=∠AOB
∴ 球面距离为
R 3
π
（4）A 东经30°赤道上 B 北纬45°东经120°
OB OA ⊥ ∴ ︒=∠90AOB ∴ 球面距离为R 2
π
[例4] 求半径R 的球的内接正四棱柱的体积最大值。

解：底正四棱柱，底面边长为a ，侧棱长为h ∴ 2
2
2
24a h R +=
[例3即3
1)333(22
+-=R R 11/332=R
222PM MI PI += DH DM = 222)()(DH PD MI HI PH -+=-
[例⎩⎨
⎧==⇒⎪⎩⎪
⎨⎧
+=++⋅+=6836
22421)83(36y x y x y x ∴ 有8个三角形晶面
[例7] 已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正∆），球体积相等，则表面积的大小关系。

设体积为V ，正方体棱长为a ，等边圆柱底面半径为r 1，等边圆锥底面半径为r 2，球半径为r 3。

3a V = 3V a = 32
2166==a S 正 3
2V
3
12r
V π= 3
1
2π
V
r =
321546ππ==r S 柱 32
V 3
23
3r V π= 3
23π
V
r =
ππ8133
22=
=r S 锥 3
2V
333
4r V π= 3
343πV r = 32
3364ππ==r S 球 32
V 显然：球柱正锥S S S S >>>
【模拟试题】
（答题时间：30分钟）
1. 已知一个简单多面体，每个顶点都有三条棱，那么=-V F 2（） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
2. 一个正n 面体有8个顶点，每个顶点有3条棱，则n=（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8
3. 如果四面体每个面均不是等腰∆，那么其长度不等的棱的条数最少为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
4. 直径为6m 、8m 、10m 的铁球，熔成一个球，这个大铁球直径为（） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24
5.
A. 2
:1 B. 3
:1 C. 2:1 D. 3
:
2
6. 四个半径为r的小球，两两相切放在桌面上（下面三个上面一个）求上面小球距桌面的距离。

α
C
A
B D
试题答案
6. α 过A 作。

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