高二数学多面体与球人教版

高二数学多面体与球人教版

【同步教育信息】

一. 本周教学内容

多面体与球

二. 重点、难点

1. 欧拉公式：2=-+E F V 各面棱数之和=2倍棱数

各顶点引出棱数之和=2倍棱数 2. 球：

24R S π=球 33

4

R V π=球

3. 球面距离的计算： （1）求线段AB

（2）在AOB ∆中利用余弦定理求α=∠AOB （3）AB 的球面距离为R α

【典型例题】

[例2] 两个平行平面截半径为5的球，截面周长为π6、π8，求两个平行平面间的距离。

31=r 42=r

两圆到圆心距离为4或3

① 两平面在圆心同侧 距离为1 ② 两平面在圆心异侧 距离为7

[例3] 球面距离，地球半径为R ，求A 、B 两地的球面距离。

（1）A 地：西经50°赤道上 B 地：西经 110° 赤道上

︒=︒-︒=∠6050110AOB ∴ 球面距离为

R 3

π

（2）A 地：东经70° 北纬20° B 地东经70° 南纬70° ︒=︒+︒=∠907020AOB ∴ 球面距离为

R 2

π

（3）A 东经20°北纬60°B 西经160°北纬60°

北纬60°圆半径为2

R

AB 为直径 AB=R ∴ 3π=∠AOB

∴ 球面距离为

R 3

π

（4）A 东经30°赤道上 B 北纬45°东经120°

OB OA ⊥ ∴ ︒=∠90AOB ∴ 球面距离为R 2

π

[例4] 求半径R 的球的内接正四棱柱的体积最大值。

解：底正四棱柱，底面边长为a ，侧棱长为h ∴ 2

2

2

24a h R +=

[例3即3

1)333(22

+-=R R 11/332=R

222PM MI PI += DH DM = 222)()(DH PD MI HI PH -+=-

[例⎩⎨

⎧==⇒⎪⎩⎪

⎨⎧

+=++⋅+=6836

22421)83(36y x y x y x ∴ 有8个三角形晶面

[例7] 已知正方体，等边圆柱（轴截面为正方形），等边圆锥（轴截面为正∆），球体积相等，则表面积的大小关系。

设体积为V ，正方体棱长为a ，等边圆柱底面半径为r 1，等边圆锥底面半径为r 2，球半径为r 3。

3a V = 3V a = 32

2166==a S 正 3

2V

3

12r

V π= 3

1

2π

V

r =

321546ππ==r S 柱 32

V 3

23

3r V π= 3

23π

V

r =

ππ8133

22=

=r S 锥 3

2V

333

4r V π= 3

343πV r = 32

3364ππ==r S 球 32

V 显然：球柱正锥S S S S >>>

【模拟试题】

（答题时间：30分钟）

1. 已知一个简单多面体，每个顶点都有三条棱，那么=-V F 2（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 12

2. 一个正n 面体有8个顶点，每个顶点有3条棱，则n=（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8

3. 如果四面体每个面均不是等腰∆，那么其长度不等的棱的条数最少为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

4. 直径为6m 、8m 、10m 的铁球，熔成一个球，这个大铁球直径为（ ） A. 6 B. 12 C. 16 D. 24

5.

A. 2

:1 B. 3

:1 C. 2:1 D. 3

:

2

6. 四个半径为r的小球，两两相切放在桌面上（下面三个上面一个）求上面小球距桌面的距离。

α

C

A

B D

试题答案

6. α 过A 作