函数的对称问题重点

函数的对称问题

湖南彭向阳

一、函数的自对称问题

1．函数y=f(x的图象关于直线x=a对称f(a+x=f(a-x；

特别，函数y=f(x的图象关于y轴对称f(x=f(-x.

2．函数y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b；

特别，函数y=f(x的图象关于原点对称f(-x=-f(x.

主要题型：

1.求对称轴(中心：除了三角函数y=sinx，y=cosx的对称轴（中心）可以由下列结论直接

写出来(对称轴为函数取得最值时的x=,对称中心为函数与x轴的

交点外，其它函数的对称轴(中心就必须求解，求解有两种方法，一是利用对称的定义求解；二是利用图象变换求解.

例1 确定函数的图象的对称中心.

解析1 设函数的图象的对称中心为（h，k），在图象上任意取一点P （x，y），它关于（h，k）的对称点为Q（2h-x，2k-y），Q点也在图象上，即有

，由于，两式相加得

，化简得

（*）.

由于P点的任意性，即（*）式对任意x都成立，从而必有x的系数和常数项都为0，即h=1，k=1.

所以函数的图象的对称中心为（1,1）.

解析2 设函数，则g(x为奇函数，其对称中心为原点，由于

，说明函数f(x的图象是由g(x的图象分别向右、向上平移1个单位得到，而原点向右、向上分别平移1个单位得到点(1,1.

所以函数的图象的对称中心为（1,1）.

例2 曲线f(x=ax3+bx2+cx，当x=1-时，f(x有极小值；当x=1+时，f(x有极大值，且在x=1处切线的斜率为.

(1求f(x；

(2曲线上是否存在一点P，使得y=f(x的图象关于点P中心对称？若存在，求出点P的坐标，并给出证明；若不存在，请说明理由.

解析 (1=3ax2+2bx+c，由题意知1-与1+是=3ax2+2bx+c=0的根，代入解得b=-3a，c=-6a.

又f(x 在x=1处切线的斜率为，所以，即3a+2b+c=，解得

. 所以f(x .

(2假设存在P(x0，y0，使得f(x的图象关于点P中心对称，则f(x0+x+f(x0-x=2y0，

即，

化简得. 由于是对任意实数x都成立，所以

，而P在曲线y=f(x上.

所以曲线上存在点P，使得y=f(x的图象关于点P中心对称.

2.证明对称性：证明对称性有三种方法，一是利用定义，二是利用图象变换，三是利用前面的结论(函数y=f(x的图象关于点(a,b对称f(a+x+f(a-x=2b来解决.

例3 求证函数的图象关于点P（1,3）成中心对称.

证明1 在函数的图象上任意取一点A（x，y），它关于点P（1,3）的对称点为B（2-x，6-y），因为

，

所以点B在函数的图象上，故函数的图象关于点P（1,3）对称.

证明2 因为.

由于是奇函数，所以的图象关于原点对称，将它的图象分别向右平移1个单位，向上平移3个单位，就得到函数的图象，所以

的图象关于点P（1,3）对称.

所以的图象关于点P（1,3）对称.

3．已知函数的对称性求函数的值或参数的值:

由函数的对称性求值，关键是将对称问题转化为等式问题，然后对变量进行赋值求解.例

4 已知定义在R上的函数f(x的图象关于点对称，且满足

则f(1+f(2+f(3+…+f(2005的值为（）.

A．-2 B.-1 C.0 D.1

解析由f(x的图象关于点对称，则说明函数是奇函数，也就是有

，即，又，所以

，即，函数f(x是偶函数.

所以，又，即f(x以3为周期，f(2=f(-1=1，f(3=f(0=-2，

所以f(1+f(2+f(3+…+f(2005=668（f(1+f(2+f(3）+f(2005=f(2005=f(1=1，选D.

例5 已知函数f(x=的图象关于点中心对称，求f(x.

解析1 设f(x图象上任意一点A（x，y），它关于点的对称点为

B，由于A、B都在f(x上，所以，相加整理得，解得a=1.

所以f(x=.

解析2 由上面的公式有，代入化简整理得a=1.

解析3 由题意知将函数y=f(x的图象向左平移1个单位长度，向下平移个单位长度得y=的图象，它关于原点对称，即是奇函数，

=，即y=，它是奇函数必须常数项为0，即a=1.

二、函数的互对称问题

1． y=f(x与y=g(x的图象关于直线x=a对称f(a+x=g(a-x；

2． y=f(x与y=g(x的图象关于直线y=b对称f(x+g(x=2b；

3． y=f(x与y=g(x的图象关于点(a，b对称f(a+x+g(a-x=2b.

4． y=f(x与y=g(x的图象关于直线y=x对称f(x和g(x互为反函数.

记住这些结论不仅仅便于解决选择填空题，也便于解答题中的图象互相对称的函数解析式的求解问题. 主要题型：

1.判断两个函数图象的对称关系

例6 在同一平面直角坐标系中，函数f(x=2x+1与g(x=21-x的图象关于( .

A．直线ｘ＝1对称 B.ｘ轴对称

C.ｙ轴对称

D.直线ｙ＝ｘ对称

解析作为一个选择题，可以取特殊点验证法，在f(x上取点(1,4，g(x上点(-1,4，而这两个点关于y轴对称，所以选择C.

当然也可利用上面的结论解决，因为f(-x=2-x+1=g(x，所以f(x、g(x的图象关于y轴对称，选C.

2．证明两个函数图象的对称性：一般利用对称的定义，先证明前一个函数图象上任意一点关于直线(点的对称点在后一个函数的图象上，再证明后一个函数图象上任意一点关于直线(点的对称点也在前一个函数的图象上，这两个步骤不能少. 当然也可利用上面的结论来解决.

例7 已知函数f(x=x3-x，将y=f(x的图象沿x轴、y轴正向分别平行移动t、s单位，得到函数y=g(x的图象.求证：f(x和g(x的图象关于点A（）对称.

解析由已知得g(x=(x-t3-(x-t+s.

在y=f(x的图象上任取一点P(x1,y1，设Q(x2,y2是P关于点A的对称点，则有

，∴x1=t-x2, y1=s-y2.

代入y=f(x，得x2和y2满足方程： s-y2=(t-x23-(t-x2，即 y2=(x2-t3-(x2-t+s，可知点Q(x2,y2在y=g(x的图象上.

反过来，同样可以证明，在y=g(x的图象上的点关于点A的对称点也在y=f(x的图象上，因此，f(x和g(x的图象关于点A（）对称.

3．由两个函数图象的对称性求参数值：首先必须根据对称性由已知函数求出另一函数的解析式，然后再由已知条件确定参数的值.

例8 已知f(x是定义在上的偶函数，g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1对称，且当时，g(x=2a(x-2-3(x-23，其中为常数，若f(x的最大值为12，求a的值.

解析由于g(x的图象与f(x的图象关于直线x=1对称，所以f(1+x=g(1-x，即f(x=g(2-x.

当时，，所以f(x=g(2-x= 2a(2-x-2-3(2-x-23=-2ax+3x3，