高中数学 1.4.2 单位圆与周期性课件1(新版)北师大版必修4
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高中数学北师大版必修4第一章《单位圆与周期函数》ppt课件
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
14
谢谢欣赏！
2019/8/29
最新中小学教学课件
15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
2019/8/29
最新中小学教学课件
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15
课本P16练习T1(1)
公式一 sin(2k x) sin x, k z;
cos(2k x) cos x, k z.
这节课我们学了
它们能将任意角正弦Fra bibliotek数、余弦函数的三角函数化为 0º~360º角的三角函数
是周期函数， 2k (k Z, k 0)
为正弦函数、余弦函数的周期。如果函数
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、 语文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
y
P(u, v),
2 x
ox M1 x
图5
由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一
三角函数的值相等，也就是
终边相同的角的正弦函数值相等，即 sin(2k x) sin x, k z; 终边相同的角的余弦函数值相等，即 cos(2k x) cos x, k z.
y=f(x)的周期是T，那么函数y=f(ωx＋φ)的周
期是
T' T
课本P20习题1—4 A组T4。
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
第一章1周期现象-北师大版高一数学必修4课件(共21张PPT)
水深/m 5.0 6.2 7.5 7.3 6.2 5.3 4.1 3.1
时刻 9:00 10:00 11:00 12:00 13:00 14:00 15:00 16:00
水深/m 2.5 2.7 3.5 4.4 5.0 6.2 7.5 7.3
时刻 17:00 18:00 19:00 20:00 21:00 22:00 23:00 24:00
3.可以用列表法、图像法、解析式等等刻画周期现象
4.利用函数描述周期现象 时，会出现不同的自变 量. 时间、角度等都可以作 为自变量.
完成课后习题1-1 第1，2，3题.
北师大版 高中数学 必修4 第一章 三角函数 §1 周期现象
思考：看完这几幅图片，我们想到了什么呢？
不管是游乐园的过山车，还是钟表零件，或是未来 我们要学习的物理学的机械制造、光学、机械波等， 他们的运动都是循环往复，周而复始的现象.
现实世界中的许多运动、变化都有着循环往复、周而复始的现象， 这种变化规律称为周期性.函数是刻画客观世界变化规律的数学模型， 那么在数学中又如何刻画世界中的周期性变化规律呢？三角函数是基 本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型，它在天文测量、大 地测量、工程测量、机械制造、力学、光学、电学、地球物理学及图 形处理等众多学科和领域中都有广泛的应用.
水深/m 6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
根据上表提供的数据在 坐标系中可以作出水深 H与时间 t关系的散点图如下：
从散点图可以看出，每 经过相同的时间间隔 T（12h），水深 重复出现相同的数值， 因此水深是周期性变化 的.
例1地球围绕着太阳旋转， 地球到太阳的距离 y随 时间变化的现象是周期 现象吗？
个点.该青蛙从“5”这点起跳，经2020跳后它停在的点对应的数
北师大版高中数学必修4第一章第一节周期现象(共21张PPT)
9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。21.8.3121.8.31Tuesday, August 31, 2021 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。12:06:0912:06:0912:068/31/2021 12:06:09 PM 11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。21.8.3112:06:0912:06Aug-2131-Aug-21 12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。12:06:0912:06:0912:06Tuesday, August 31, 2021
1.1周期现象
1.教材的 地位，作
用
2.教学目 标
教材分 析
3.教学重 难点
一.教材分析
1.教材的地位与作用，及前后联系
（1）本书由北师大出版，本节课的内容出自高中数学必修四第一章一节，内容是周期。
（2）通过前面的学习，已经让我们了解到了数学的严谨性和灵活性，本节内容是在我们 已有的数学思维上对新内容的一个拓展，即通过观察现象让学生对周期现象有一个大概的 认识，进而总结出规律和特点。达到让同学们通过现象看本质，从而学会发散思维，归纳 总结的学习能力。
2.回顾定义，引出新知
定义：事物在运动，变化过程中，某些特征多次重复出现，其连续两次出现所经过的时间 叫做周期。
3.实践探索，感受特征
举出我们身边的普遍的周期现象。例如，日出和日落，四季的轮回……让学生感受其特征
4.例题教学，巩固新知
例题：海水会发生潮汐现象，每一昼夜潮水会涨落两次，潮汐现象是周期现象，当潮汐发生 时，水的深度会产生周期性变化，为了研究水深的变化规律，我们可以构造一个函数，考察 水深H和时间t的关系，那么H就是t的函数，函数的自变量是t，因变量是水深H。
高中数学北师大版必修四课件：第一章 4.1 单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义-4.2 单位圆与周期性
C.第三象限
D.第四象限
解析 ∵α为第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴点P在第四象限，故选D.
解析 答案
(2)判断下列各式的符号. ①sin 145°cos(－210°)； 解 ∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0， ∵－210°＝－360°＋150°， ∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0.
跟踪训练1 已知角α的终边过点P(－3a， 4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值.
解 r＝ －3a2＋4a2＝5|a|.
①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，
sin α＝yr＝54aa＝45，cos α＝xr＝－53aa＝－35， ∴2sin α＋cos α＝85－35＝1.
②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝－45aa＝－45，cos α＝－ －35aa＝35，
∴2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1.
解答
命题角度2 已知角α终边所在直线求三角函数值 3
例2 已知角α的终边在直线y＝－3x上，求10sin α＋cos α 的值.
解答
反思与感悟
在解决有关角的终边在直线上的问题时，应注意到角的终边为射线，所
以应分两种情况处理，取射线上异于原点的任意一点的坐标的(a，b)，则
所以 sin α＝ 23aa＝ 23， cos α＝2aa＝12.
若a<0，则α为第三象限角，r＝－2a，
Байду номын сангаас
所以 sin α＝－32aa＝－ 23，cos α＝－2aa＝－12.
解答
类型二 正弦、余弦函数值符号的判断
高中数学北师大版必修4《第1章44.2单位圆与周期性》课件
关系，提升数学运算素养.
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
数学人教版 高中数学
4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
2
1．任意角的正弦、余弦函数的定义 (1)单位圆的定义 在直角坐标系中，以_坐__标__原__点__为圆心，以 _单__位__长__度___为半径的圆，称为单位圆． (2)如图所示，设 α 是任意角，其顶点与原点重合，始边与 x 轴 _非_负__半__轴__重合，终边与单位圆 O 交于点 P(u，v)，那么：
[提示] 2π，4π，6π，－2π，…等都是函数的周期．
1．已知 P(3,4)是终边 α 上一点，则 sin α 等于( )
3
4
A.4
B.3
4
3
C.5
D.5
C [∵r＝ 32＋42＝5，∴sin α＝45.]
9
2．已知角 α 的终边上一点的坐标为sin
23π，cos
23π，则角
α的
最小正值为( )
18
所以 kπ＜α＜kπ＋2π(k∈Z)． 当 k 为偶数时，设 k＝2m(m∈Z)，有 2mπ＜α＜2mπ＋π2(m∈Z)； 当 k 为奇数时，设 k＝2m＋1(m∈Z)， 有 2mπ＋π＜α＜2mπ＋32π(m∈Z)．所以 α 为第一或第三象限角．又 由 cos α＜0，可知 α 为第三象限角．
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4.2 单位圆与周期性
学习目标
核心素养
1.通过学习任意角的正弦、余弦 1.理解任意角的正弦、余弦的定
的定义及周期函数的定义，培养 义及其应用．(重点)
数学抽象素养． 2．掌握同角的正弦、余弦函数
2．通过正弦、余弦定义的应用 值间的关系．(重点)
及同角的正弦、余弦函数值间的 3．理解周期函数的定义．(难点)
26
＝f－π3＋fπ4
＝－fπ3＋fπ4
北师大版高中数学必修4课件1.4单位圆与周期性课件
点拨：当角
0 2π 之间时，常利用“终边相同角的三 角函数值相等”，把该角转化到 0 2 π 之间，再求值。
【自主解答】
23 π (1)sin－ π＝sin－4π＋ ＝sin 6 6
不在
π 1 ＝ 6 2
1 (2)cos 1 500° ＝cos(4×360° ＋60° )＝cos 60° ＝ 2
北京师范大学出版社 ︱必修四
第一章 · 三角函数
1.4.2 单位圆与周期性
新课导入
1、任意角的三角函数的定义过程：
直角三角形中定义锐角三角函数
s in b a b , cos , ta n r r a
b a b , cos , ta n r r a
直角坐标系中定义锐角三角函数
巩固练习
1、求下列三角函数值
(1) cos(1050 ) π 31 (2) sin 4
【解】 (1)∵－1 050° ＝－3×360° ＋30° ， ∴－1 050° 的角与 30° 的角终边相同。 3 ∴cos(－1 050)° ＝cos 30° ＝ 2 31π π (2)∵－ ＝－4×2π＋ ， 4 4 31π π ∴角－ 与角 的终边相同。 4 4
s in
单位圆中定义锐角三角函数
b s in b , c o s a , ta n a
单位圆中定义任意角的三角函数
s in y , c o s x
, tan
y x
2、三角函数的定义域、值域：
三角函数 定义域
sin cos tan
R R
sin （ +2kπ)=sin ,(k Z)
（2）终边相同角的余弦函数值相等，即
高中数学第一章三角函数441单位圆与任意角的正弦函数余弦函数的定义42单位圆与周期性课件北师大版必
一、预习教材·问题导入 1．正弦、余弦函数是怎样定义的？
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
2．正弦、余弦函数在各象限的符号是什么？ 3．周期函数的定义是什么？ 4．正弦、余弦函数的周期性怎样？
二、归纳总结·核心必记
1．正弦、余弦函数的定义 (1)对于任意角 α，使角 α 的顶点与原点重合，始边与 x 轴非负 半轴重合，终边与单位圆交于唯一的点 P(u，v)，那么点 P 的
3．[变设问]本例(2)条件不变，设问变为α2终边在第几象限？ 解：由 sin α＞0，cos α＜0 知 α 的终边在第二象限，即 2kπ ＋π2＜α＜2kπ＋π(k∈Z)，∴kπ＋π4＜α2＜kπ＋π2(k∈Z)，∴α2终 边在第一、三象限．
考点三 利用 2kπ＋α(k∈Z)的正、余弦公式求值
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)终边相同的角的同名三角函数值相等
( √)
(2)若 sin α＞0，则 α 是第一、二象限角
(× )
(3)函数 f(x)＝|x|满足 f(－1＋2)＝f(－1)，则这个函数的周期
为－1
(× )
(4)若 T 是函数 ƒ(x)的周期，则 kT，k∈N*也是函数 f(x)的周期．
解：∵f(x＋6)＝f[(x＋3)＋3]＝－fx＋1 3＝－－11 ＝f(x)， fx
∴f(x)是周期函数，且 6 是它的一个周期．
结束
语 同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成
功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没 有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，
考试加油。
(1)点 P 的坐标； (2)∠AOQ 的正弦函数值、余弦函数值．
[解] (1)设点 P 的坐标为(x，y)，则 x＝cos∠AOP＝cosπ3＝12，
1.4.2单位圆与周期性 课件高中数学必修4(北师大版)
综上所述，对于任意角 α，都有 sin2α＋cos2α＝1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
探究点三 正、余弦函数的周期性 由任意角的三角函数的定义可以知道， 终边相同的角的同一 三角函数值相等 .由此得到正弦函数和余弦函数的周期性 . sin(k· 360° ＋ α)＝ sin α ，cos(k· 360° ＋α)＝ cos α ，k∈Z. 或者： sin(2kπ＋ α)＝ sin α， cos(2kπ＋α)＝ cos α，k∈ Z. 这组公式的作用是将求任意角的三角函数值转化为求 0° ～ 360° 的三角函数值 .
本 课 时 栏 目 开 关
1.4.2
1.三角函数线 如图， 设单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A， 与角 α 的终边交 于 P 点.过点 P 作 x 轴的垂线 PM，垂足为 M.单位圆中的有 向线段 MP 、OM .分别叫作角 α 的正弦线、余弦线.记作： sin α＝ MP ，cos α＝ OM .
本 课 时 栏 目 开 关
作垂线，垂足为 M，则由垂足 M 指向点 P 的有向线段 MP 就叫作 α 的正弦线，位于 x 轴上，由原点指向垂足 M 的有 向线段 OM 就是 α 的余弦线.
过点 A(1,0)作单位圆的切线，切线与角 α 的终边或其反向延 长线交于点 T，则由 A 指向交点 T 的有向线段 AT 就叫角 α 的正切线.
本 课 时 栏 目 开 关
问题 4 若 α 为第一象限角，证明 sin α＋cos α>1.
证明 设角 α 的终边与单位圆交于点 P， 过 P 作 PM⊥x 轴， 垂足为 M，则 sin α＝MP，cos α＝OM，OP＝1. 在 Rt△OMP 中，由两边之和大于第三边得 MP＋OM>OP， 即 sin α＋cos α>1.
高中数学北师大版必修四《1.4单位圆与周期性、诱导公式》课件
4.3
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
单位圆与引 诱公式
北师大版 高中数学
课程 标准
教材 的理解
所教学生 实际情形
一、教学背景 二、教学目标 三、教学策略 四、教学进程
五、教学特点及反思
为今后学习三角函数图像 与性质等知识做好铺垫
探究终边存在特别关系的角的 正、余弦值之间的关系
探究正、余弦函数中存在周期现 象并抽象出周期函数的定义
教学难点：
1、α＋π，α-π与角α终边位置的几何 关 系的发觉以及表示
2、发觉由终边位置关系导致（与单位圆 交点）的坐标关系
❖通过对正、余弦函数的分析使学生能初步了解函数的周 期性 ❖借助单位圆、三角函数定义、对称性等知识点引导学生 积极参与引诱公式的产生进程，加深对引诱公式的理解
•认识客观世界中的周期现象，感受周期函数是自然现象，体 会数形结合的思想方法 ，感受数学的现实价值
问题探究式
结合信息技 术相结合
教学 手段
教学 方式
学习 活动
自主探索、 动手实践、 合作交流
创设情境——问题引导——整合定义—— 提出料想— —自主探究——归纳方法——合作探索——巩固反 馈——开放小结
（1）本节课我们学习的知识有哪些？ （2）在概念、结论的逐渐获得中，我们用了哪些研 究问题的方法，体现了哪些数学思想？
周期现象是自然界中非常常见的现象
在学生完成预习任务的情形下， 已经为本节的学习做好准备
在学习三角函数的定义时学生接触过 单位圆这一重要的工具;学生基本掌控 任意角三角函数的定义
本章第一节学习过自然界中的周期现象， 学生对自然现象有直观感受
初中学习过锐角三角函数知识
教学重点：
1、周期函数的定义 2、 页 1、4、5 18 页 1、2
高中数学第一章三角函数1.4.2单位圆与周期性1.4.3单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质课件北师大版必修4
1.4.2 单位圆与周期性 1.4.3 单位圆与正弦函数、余弦函数的
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
基本性质
【知识提炼】 1.终边相同的角的正、余弦函数 (1)sin(x+k·2π)=_s_i_n_x_; (2)cos(x+k·2π)=_c_o_s_x_,k∈Z.
2.周期性 (1)条件: ①对于函数f(x)存在_非__零__常__数__T; ②对于定义域内的任意一个x值都有f(x+T)= _f_(_x_)_. (2)结论: ①函数f(x)为周期函数; ②_T_为函数的周期.
(3)对于正弦函数与余弦函数来说,它们的定义域均是全体实数,但并 不能说它们是增函数或减函数,而只能说在某个区间内是增加的或减 少的. (4)正弦函数的最值在单位圆与y轴的交点处取得,而余弦函数的最值 则在单位圆与x轴的交点处取得,要注意区分.
【题型探究】
类型一 函数周期性的应用
【典例】1.(2015·南安高一检测)cos 1 110°的值为 ( )
【解析】因为f(x)是周期为4的函数,所以f(-3)=f(-3+4)
=f(1)= 1 . 2
答案: 1 2
【知识探究】 知识点1 周期函数 观察图形,回答下列问题:
问题1:周期函数的定义域有什么特点? 问题2:周期函数的函数值、图像有什么样的特征?
【总结提升】 对于周期函数的四点认识 (1)对于定义域内的任意x,都有x+T属于定义域; (2)并不是每一个函数都是周期函数,若函数具有周期性,不一定有最 小正周期; (3)如果T是函数的一个周期,则nT(n∈Z,且n≠0)也是函数的周期. (4)每相隔周期的整数倍,图像要重复出现.
3.函数y=2sinx在区间 [ , 5 ] 上的值域是________.
【解析】当x∈
北师大版高中数学必修四第1章三角函数1.4.1-1.4.2单位圆与任意角的正弦函数、余弦函数的定义课件
-5-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1
2
目标导航
知识梳理
典例透析
随堂演练
3
4
5
(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
典例透析
随堂演练
3
4
5
2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
-14-
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1 2 3 4
5
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典例透析
随堂演练
5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
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5
(2)定义 2. 利用角 α 终边上任意一点的坐标定义三角函数. 如图 ②, 设 α 是一个任意角, α 的终边上任意一点 P 的坐标是(x,y), 它与原 点的距离是 r(r= ������ 2 + ������ 2 > 0), 那么: ①比值 ������ 叫作������的正弦函数, 记作 sin ������, 即 sin ������ = ������ ; ②比值 ������ 叫作������的余弦函数, 记作 cos ������ , 即 cos ������ = ������ .
典例透析
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2.任意角的正弦函数、余弦函数的定义
图① (1)定义1:如图①,在直角坐标系中,作以坐标原点为圆心的单位 圆,对于任意角α,使角α的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重 合,终边与单位圆交于唯一的点P(u,v),那么点P的纵坐标v定义为角 α的正弦函数,记作v=sin α;点P的横坐标u定义为角α的余弦函数,记 作u=cos α.
答案:C
1 1 3 3 D. − 2 2
11π 6
=(
)
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4.1 单位圆与任意角的正 弦函数、余弦函数的定义 4.2 单位圆与周期性
1 2 3 4
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5.周期函数 (1)定义:一般地,对于函数f(x),如果存在非零实数T,对定义域内的 任意一个x值,都有f(x+T)=f(x),我们就把f(x)称为周期函数,T称为这 个函数的周期. (2)规定:对于周期函数来说,如果所有的周期中存在着一个最小 的正数,就称它为最小正周期.今后提到的函数的周期,如未特别指 明,一般都是指它的最小正周期. 名师点拨若函数y=f(x)是周期函数,T是一个周期,则(1)定义域中含 有无限个实数;(2)对定义域内的任意x,均有f(x+kT)=f(x),其中 k∈Z;(3)f(x)的图像每隔一个周期重复出现一次. (3)正弦函数和余弦函数的周期性 正弦函数和余弦函数都是周期函数,它们的最小正周期都是2π.
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向同向的为正值，反向的为负值.
典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2
3
(2) - 3
4
y
P
M
o
x
A
T
Page 20
解：(1)在直角坐标系中作单位圆如图示
以x轴的正半轴为始边作出2 的角，
3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴， 垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
解•析B：当．角有的终的边角落在正Y轴弦上线时，、正余切线弦不存线在和，故正
选切D. 线都不存在
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分78别是
D
角 A. MP OM 0的正B. 弦OM线 0和 M余P 弦 线，C. 那OM么 M下P 列0 结D论. M中P 正0 确OM的
解析：作出角 7 的正弦线和余弦线，根据
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
自Байду номын сангаас探究
是图（形可知，M）P为正值8，OM为负值，故选D.
预习测评
cos 64, cos 46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64 cosC4.6
的大小关系为（ ）.
B
B.
D. 无法比较
cos 64= cos 46
cos 64 cos 46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
再比较两条余弦线的长度，故选B.
7
7
题型三 利用三角函数线求角的范围
例3 在0～ 2 内，求使 sin a = 3 成立的α的取值.
2
分析：先作出直线 y 3 ，与单位圆有两个不 2
同的交点 P1 、P2 ，则满足条件α的终边有两个 ， 分别是OP1 、OP2.
1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么α的
值为（ ）
A．
B．
C．
DD． 或
3
7
7 3
4
4
4
44
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,可
知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符号相
异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故选D.
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
3.三角函数线的正负： 三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
要点阐释
• 4．正切线 • 正切线AT的作法：过定点A （1,0） 作单位圆的切线，它与 角α 的终边或其反向延长线交与 点T ． • 当角α 是第一、四象限角时，
要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
可以借助三角函数线．
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin1和sin 3
(2)cos 4和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜sin 3
(2)cos 4＞cos 5
要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等 于单位长度的圆叫做单位圆．
要点阐释
2.三角函数线的位置： 正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段 ；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上， 三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
要点阐释
2．有向线段的概念：_____带__有___方___向__的线段称为有向线段．
自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合 ，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，垂 足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角 的α终边或其反向延长线交与点 T. 当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线 段 MP、OM、AT 为正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线.
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
• 1．对三角函数线，下列说D 法正 确的是( ) • A．对任何角都能作出正弦线、 余弦线和正切线
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为_原__点___O__圆心， ____单___位___长__为度半径的圆为单位圆．
点A作x轴的垂线,
sin
2
3
＝MP, cos
2
3
OM ,
tan
2
3
AT
与OP的反向延长线交于T点，则
2
3
的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作 出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半 轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位圆 的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) sin 5 与sin 7
4
6
(2) cos 5 与cos 7 (3) tan 5 与 tan 7
4
6
4
6
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin 5
4
sin 7
6
(2) cos 5 cos 7
4
6
P1
(3) tan 5 tan 7
4
6
Page 24
3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线
，余弦线，正切线.
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sin MP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cos OM
y
tan AT
α
M A(1,0)
典例剖析 题型一 作已知角的三角函数线
例1、分别作出下列角的正弦线、余弦线、正切线.
(1) 2
3
(2) - 3
4
y
P
M
o
x
A
T
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解：(1)在直角坐标系中作单位圆如图示
以x轴的正半轴为始边作出2 的角，
3 其终边与单位圆交于P点，作PM x轴， 垂足为M，由单位圆与x轴的正半轴的交
解•析B：当．角有的终的边角落在正Y轴弦上线时，、正余切线弦不存线在和，故正
选切D. 线都不存在
11
预习测评
• 2．如果 MP 和 OM 分78别是
D
角 A. MP OM 0的正B. 弦OM线 0和 M余P 弦 线，C. 那OM么 M下P 列0 结D论. M中P 正0 确OM的
解析：作出角 7 的正弦线和余弦线，根据
自主探究
1.在初中，我们知道锐角三角函数可以看成线段 的比，那么，任意角的三角函数是否也可以看 成是线段的比呢？
不能，因为任意角的三角函数有正负.
自主探究
2.在三角函数定义中，是否可以在角 α的终边上 取一个特殊点使得三角函数值的表达式更为简 单？ 可以，特殊点取角α的终边与单位圆的交点.
自Байду номын сангаас探究
是图（形可知，M）P为正值8，OM为负值，故选D.
预习测评
cos 64, cos 46
3．利用余弦线，比较
A.
cos64 cosC4.6
的大小关系为（ ）.
B
B.
D. 无法比较
cos 64= cos 46
cos 64 cos 46
解析：分别作出两个角的余弦线，方向都是正方向，
再比较两条余弦线的长度，故选B.
7
7
题型三 利用三角函数线求角的范围
例3 在0～ 2 内，求使 sin a = 3 成立的α的取值.
2
分析：先作出直线 y 3 ，与单位圆有两个不 2
同的交点 P1 、P2 ，则满足条件α的终边有两个 ， 分别是OP1 、OP2.
1．角α（0<α<2π）的正、余弦线的长 度相等，且正、余弦符号相异．那么α的
值为（ ）
A．
B．
C．
DD． 或
3
7
7 3
4
4
4
44
解析：角α（0<α<2π）的正、余弦线的长度相等,可
知角α终边为象限角平分线，再根据正、余弦符号相
异可得角α终边为第二、四象限角平分线，故选D.
题型二 利用三角函数线比较函数值的大小
3.三角函数线的正负： 三条有向线段与 Y轴或X 轴同向的为正值，与 Y轴或 X 轴反向的为负值.
要点阐释
• 4．正切线 • 正切线AT的作法：过定点A （1,0） 作单位圆的切线，它与 角α 的终边或其反向延长线交与 点T ． • 当角α 是第一、四象限角时，
要点阐释
5.根据三角函数线比较三角函数值的大小 根据三角函数线比较三角函数值的大小，一般先根据有向线 段的方向判断正负，再比较有向线段的长度.有向线段与坐标轴方
点评：三角函数线是一个角的三角函数直观体现，从 三角函数线的方向可以看出三角函数值的正负，其长度是 三角函数值的绝对值．因此，比较两个三角函数值的大小，
可以借助三角函数线．
2．比较下列各组数的大小．
(1)sin1和sin 3
(2)cos 4和cos 5
7
7
解析：(1)sin1＜sin 3
(2)cos 4＞cos 5
要点阐释
• 1．单位圆的定义 • 圆心在坐标原点 ，半径等 于单位长度的圆叫做单位圆．
要点阐释
2.三角函数线的位置： 正弦线为α 的终边与单位圆的交点到X 轴的垂直线段 ；余弦 线在X 轴上； 正切线在 过单位圆与 X轴正方向的交点的切线上， 三条有向线段中两条在单位 圆内，一条在单位圆外.
要点阐释
2．有向线段的概念：_____带__有___方___向__的线段称为有向线段．
自学导引
3.设任意角α 的顶点在原点 ，始边与 轴非负半轴重合 ，终边与单位圆相交与点P ，过P 作 X轴的垂线 ，垂 足为M ；过点 A（1，0）作 单位圆的切线，它与角 的α终边或其反向延长线交与点 T. 当角α 的终边不在坐标轴上时，我们就分别称有向线 段 MP、OM、AT 为正弦线、余弦线、正切线，统称 为三角函数线.
O
x
PT
(Ⅳ)
α的终边
自主探究
4.当角α的终边在坐标轴上时，角α的正切线的几何含
义如何？
y
P
P
Ox
当角α的终边在x轴上时，角α的正切线是一个点； 当角α的终边在y轴上时，角α的正切线不存在.
预习测评
• 1．对三角函数线，下列说D 法正 确的是( ) • A．对任何角都能作出正弦线、 余弦线和正切线
第一章 三角函数
§4.2 单位圆与周期性
学习要求
1．明确正弦线、余弦线、正切线的画法． 2．能够作出已知角α的正弦线、余弦线和正切线．
3. 能够利用三角函数线比较函数值的大小.
自学导引
1．单位圆的定义：在直角坐标系中，我们称以为_原__点___O__圆心， ____单___位___长__为度半径的圆为单位圆．
点A作x轴的垂线,
sin
2
3
＝MP, cos
2
3
OM ,
tan
2
3
AT
与OP的反向延长线交于T点，则
2
3
的正弦线为MP,余弦线为OM, 正切线为AT
点评：根据三角函数线的定义作出三角函数线，有向线 段 MP、OM、AT为正弦线、余弦线、正切线.关键是作 出各个点，O点为坐标原点，点A(1,0)为单位圆与X正半 轴的交点，点P为任意角α 的终边与单位圆的交点P(x,y) ，过P作X 轴的垂线 ，垂足为M ；过点A(1,0)作 单位圆 的切线，它与角α 的终边或其反向延长线交与点T .
例2.利用三角函数线比较三角函数值的大小
(1) sin 5 与sin 7
4
6
(2) cos 5 与cos 7 (3) tan 5 与 tan 7
4
6
4
6
y
解：
T1
M2 M1
P2
o
T2
Ax
(1)
sin 5
4
sin 7
6
(2) cos 5 cos 7
4
6
P1
(3) tan 5 tan 7
4
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3.如何作正弦线、余弦线、正切线？
有向线段MP、OM、AT分别叫做角α的正弦线
，余弦线，正切线.
自主探究
α的终边 y P α
MO
x
A(1,0)
(Ⅱ)
M
P α的终边
T
y
T
α
x
O A(1,0)
(Ⅲ)
y α的终边 PT
α x sin MP
O M A(1,0)
(Ⅰ) cos OM
y
tan AT
α
M A(1,0)