直线与圆锥曲线专题复习设计
第六十六高三数学总复习点直线和圆锥曲线教学案
诚西郊市崇武区沿街学校§点、直线和圆锥曲线一、知识导学1． 点M(x0，y0)与圆锥曲线C ：f(x ，y)=0的位置关系12222=+b y a x 〔a ＞b ＞0〕的焦点为F1、F2,12222=-by a x 〔a ＞0,b ＞0〕 的焦点为F1、F2，px y 22=(p ＞0)的焦点为F ，一定点为P(x0，y0)，M 点到抛物线的准线的间隔为d ，那么有：上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进展证明． 2．直线l ∶Ax＋By ＋C=0与圆锥曲线C∶f(x，y)＝0的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离．对于抛物线来说，平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，但并不相切．这三种位置关系的断定条件可引导学生归纳为：设直线l :Ax+By+C=0,圆锥曲线C:f(x,y)=0,由⎩⎨⎧==++0y)f(x,0C By Ax消去y(或者者消去x)得:ax2+bx+c=0,△=b2-4ac,〔假设a≠0时〕， △＞0⇔相交△＜0⇔相离△=0⇔相切注意：直线与抛物线、双曲线有一个公一一共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件． 二、疑难知识导析1．椭圆的焦半径公式：〔左焦半径〕01ex a r +=,〔右焦半径〕02ex a r -=,其中e 是离心率。
焦点在y 轴上的椭圆的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=0201ey a MF ey a MF 〔其中21,F F 分别是椭圆的下上焦点〕.焦半径公式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关.可以记为：左加右减，上减下加. 2．双曲线的焦半径定义：双曲线上任意一点M 与双曲线焦点21,F F 的连线段，叫做双曲线的焦半径.焦点在x 轴上的双曲线的焦半径公式： 焦点在y 轴上的双曲线的焦半径公式：⎩⎨⎧-=+=∴0201ey a MF ey a MF 〔其中21,F F 分别是双曲线的下上焦点〕3．双曲线的焦点弦：定义：过焦点的直线割双曲线所成的相交弦。
高三数学一轮复习直线与圆锥曲线教案高三全册数学教案
芯衣州星海市涌泉学校第四讲直线与圆锥曲线一、考情分析直线与圆锥曲线的位置关系，是高考考察的重中之重，主要涉及弦长、中点弦、对称、参量的取值范围、求曲线方程等问题．解题中要充分重视韦达定理和判别式的应用．解题的主要规律可以概括为“联立方程求交点，韦达定理求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘〞． 本讲主要是调动学生学习的主动性，注意交代知识的来龙去脉，教给学生解决问题的思路，帮助考生培养分析、抽象和概括等思维才能，掌握形数结合、函数与方程、化归与转化等数学思想，培养良好的个性品质，以及勇于探究、敢于创新的精神，进一步进步学生“应用数学〞的程度．二、知识归纳〔一〕直线与圆锥曲线问题的解决思路“三十二字思路〞：设而不求，求而不设；联立消元，二次判别；韦达，解决问题；遇弦中点，点差优先．〔二〕直线与椭圆()()()2222222222222010y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒+++-=⎨+=>>⎪⎩，显然，2220a k b +≠； 〔1〕当0∆=时，直线与椭圆只有一个公一一共点，属于直线与椭圆相切； 〔2〕当0∆>时，直线与椭圆有两个公一一共点，属于直线与椭圆相交； 〔三〕直线与双曲线()()()22222222222220100y kx m a k b x mka x a m b x y a b a b=+⎧⎪⇒-+++=⎨-=>>⎪⎩，， 〔1〕假设2220bak b k a-=⇔=±时，直线平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0m =时，直线与渐进线重合，与双曲线无交点；②当0m ≠时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设2220bak b k a-≠⇔≠±时，直线不平行于双曲线的渐进线，此时， ①当0∆=时，直线与双曲线只有一个公一一共点，属于直线与双曲线相切； ②当0∆>时，直线与双曲线有两个公一一共点，属于直线与双曲线相交； 〔四〕直线与抛物线()()22222020y kx mk x mk p x m y px p =+⎧⎪⇒+-+=⎨=>⎪⎩， 〔1〕假设0k=时，直线平行于抛物线的对称轴，此时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于一个交点的相交，而不是相切；〔2〕假设0k≠时，直线不平行于抛物线的对称轴，此时，①当0∆=时，直线与抛物线只有一个公一一共点，属于直线与抛物线相切； ②当0∆>时，直线与抛物线有两个公一一共点，属于直线与抛物线相交； 三、精典例析例1：曲线22148x y C -=：，定点()10M ，，直线l 经过点()01，，斜率为t ，与曲线C 交于不同的两点A B 、，设AB 的中点为P ，求直线MP 的斜率k 关于t 的函数关系()k f t =．解析：设直线l 的方程为1l ytx =+：，()()()112200,A x y B x y P x y ，，，，，那么：()222212290148y tx t x tx x y =+⎧⎪⇒---=⎨-=⎪⎩， ∴22t≠，2904t ∆>⇔<，且1212002222x x y y tx y t ++===-， ∵()()120022112222tx tx t x y t t +++===--，，∴020212y kx t t ==-+-；故()()223321122222k t t t ⎛⎫⎛⎛⎫=∈-- ⎪ ⎪+-⎝⎝⎭⎝⎭，，，．例2：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率36=e ，过点()0A b -，和()0B a ，的直线与原点的间隔为23． 〔1〕求椭圆的方程． 〔2〕定点()10E -，，假设直线()20y kx k =+≠与椭圆交于C D 、两点．问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过()10E-，点？请说明理由． 解析：〔1〕直线AB 方程为：0bx ay ab --=，那么：22633312c a a ab b a b⎧=⎪⎧=⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪=⎪+⎩ ， ∴椭圆方程为1322=+y x ． 〔2〕假假设存在这样的k 值，设()()1122Cx y D x y ，，，，那么：()22222131290330y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+-=⎩ ， ∴0)31(36)12(22>+-=∆k k ，且1212221291313k x x x x k k +=-=++⋅，，∵()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++⋅，∴要使以CD 为直径的圆过()10E-，点，当且仅当CE DE ⊥时，那么： 121212121(1)(1)011y y y y x x x x =-⇔+++=++⋅． ∴05))(1(2)1(21212=+++++x x k x x k ，∴67=k，经历证，67=k 时符合题意． 综上，存在67=k ，使得以CD 为直径的圆过()10E -，点．例3：双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆2210200xy x +-+=相切．过点()4,0P -作斜率为14的直线l ，使得l 和G 交于A B 、两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在线段AB 上，又满足2PA PB PC⋅=．〔1〕求双曲线G 的渐近线的方程； 〔2〕求双曲线G 的方程；〔3〕椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．假设S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．解析：〔1〕设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，那么：∵渐近线与圆2210200xy x +-+=12k =⇔=±． 故双曲线G 的渐近线的方程为：12y x =±．〔2〕设双曲线G 的方程为：224xy m -=，那么：()2221438164044y x x x m x y m ⎧=+⎪⇒---=⎨⎪-=⎩， ∴8164 33A B A B mx x x x ++==-，， ∵2PA PB PC ⋅=，P A B C 、、、一一共线且P 在线段AB 上，∴()()()()()()244164320P A B P P C B A A B A B x x x x x x x x x x x x --=-⇔+--=⇔+++=，例4：〔05年卷〕设A B 、是椭圆λ=+223y x 上的两点，点()13N ，是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C D 、两点． 〔1〕确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；〔2〕试判断是否存在这样的λ，使得A B 、、C D 、四点在同一个圆上？并说明理由．解析：〔1〕法1：显然，直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为(1)3y k x =-+，设1122()()A x y B x y ，，，，那么：22222(1)3(3)2(3)(3)03y k x k x k k x k x y λλ=-+⎧⇒+--+--=⎨+=⎩， ∴224[(3)3(3)]0k k λ∆=+-->，且21212222(3)(3)33k k k x x x x k k λ---+=⋅=++，，∵点()13N，是线段AB 的中点，∴2121(3)312x x k k k k +=⇔-=+⇒=-，直线AB 的方程是： ()3140y x x y -=--⇔+-=．∴12λ>，故λ的取值范围是()12,+∞．法2：设1122()()A x y B x y ，，，，那么：221112121212222233()()()()03x y x x x x y y y y x y λλ⎧+=⎪⇒-++-+=⎨+=⎪⎩， ∴12123()ABx x k y y +=-+；∵点()13N ，是线段AB 的中点，∴121226x x y y +=+=，，∴1AB k =-，直线AB 的方程是()3140y x x y -=--⇔+-=．∵点()13N，在椭圆的内部，∴2231312λ>⨯+=．故λ的取值范围是()12,+∞．〔2〕法1：∵直线CD 垂直平分线段AB ，∴直线CD 的方程为3120y x x y -=-⇔-+=，又设3344()()C x y D x y ，，，，CD 的中点00()M x y ，，那么：2222044403x y x x x y λλ-+=⎧⇒++-=⎨+=⎩， ∴103λ∆>⇔>，且341x x +=-，03400113()2222x x x y x =+=-=+=，，即1322M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，．∴34||||CD x x =-=又22240481603x y x x x y λλ+-=⎧⇒-+-=⎨+=⎩，2012λ∆>⇔>，同理可得：12||AB x x =-=∴当12λ>AB CD >⇒<．假设在在12λ>，使得A B 、、C D 、四点一一共圆，那么CD 必为圆的直径，点M 为圆心，点M 到直线AB的间隔为：13|4|d-+-===，∴222229123||||||||22222AB CDMA MB dλλ--==+=+==．故当12>λ时，A B、、C D、四点均在以M为圆心，2||CD为半径的圆上．〔注：上述解法中最后一步也可如下解法获得：∵A B、、C D、一一共圆⇔△ACD为直角三角形，A为直角2||||||AN CN DN⇔=⋅，∴2||222CD CDABd d⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∵3912 2222222CD CDd dλλ⎫⎛⎫⎛⎫--+-=-=-=⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即A、B、C、D四点一一共圆．〕例5：〔05年卷〕如图，设抛物线2C y x=：的焦点为F，动点P在直线20l x y--=：上运动，过P作抛物线C的两条切线PA PB、，且与抛物线C分别相切于A B、两点．〔1〕求△APB的重心G的轨迹方程；〔2〕证明：PFA PFB∠=∠．解析：〔1〕设切点()()()22001101A x xB x x x x≠，，，，那么：切线PA的方程为：20020x x y x--=，切线PB的方程为：21120x x y x--=，联立，解得：P点的坐标为01012x xP x x+⎛⎫⎪⎝⎭，；∴△APB的重心G的坐标为：PPGxxxxx=++=310，2222010*******()43333P P PGy y y x x x x x x x x x yy+++++--====，∴234P G Gy y x=-+，∵点P在直线20l x y--=：上运动，∴从而得到重心G 的轨迹方程为：221(34)20(42)3x y xy x x --+-=⇔=-+．〔2〕法1：∵22010001111114244x x FA x x FP x x FB x x +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，， ，， ，， ∴cos ||||FP FA AFP FP FA ⋅∠=201001001201114||||x x x x x x x x FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⎝==； 同理，20110110122211112444cos ||||||1||x x x x x x x x FP FBBFP FP FB FP FP x +⎛⎫⎛⎫⋅+--+⎪⎪⋅⎝⎭⎝⎭∠===⎛⎫+；故PFA PFB ∠=∠． 法2：①当100x x =时，由于01x x ≠，不妨设00x =，那么：00y =，∴P 点坐标为102x P ⎛⎫⎪⎝⎭，，那么P 点到直线AF 的间隔为：11||2x d =；而直线BF 的方程212111111114()0444x y x x x x y x x --=⇔--+=，∴P 点到直线BF 的间隔为：22111111221||11|()|()||42124x x x x x x d x -++===+； ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．②当001≠x x 时，直线AF 的方程：2020********(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； 直线BF 的方程：212111111114(0)()04044x y x x x x y x x --=-⇔--+=-； ∴P 点到直线AF 的间隔为：22201010010001120111|()()||)()||24124x x x x x x x x x x x d x +---++-===+， 同理，P 点到直线BF 的间隔：2||012x x d -=， ∴12d d =，故PFA PFB ∠=∠．四、课后反思 ．。
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系讲义——2024届高三数学一轮复习
第08讲 直线与圆锥曲线的位置关系【必备知识】1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0．方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解 l 与C 1的交点 a ＝0b ＝0无解(含l 是双曲线的渐近线) 无公共点 b ≠0 有一解(含l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行)一个交点 a ≠0Δ>0两个不等的解 两个交点 Δ＝0 两个相等的解 一个交点 Δ<0无实数解无交点关系．2．直线与圆锥曲线的相交弦长问题设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则ak y y k x x k AB ∆+=-+=-+=22121221111 3、常用结论：圆锥曲线以P (x 0，y 0)(y 0≠0)为中点的弦所在直线的斜率如下表：圆锥曲线方程 直线斜率 椭圆：x 2a 2 ＋y 2b 2 ＝1(a >b >0)k ＝－b 2x 0a 2y 0双曲线：x 2a 2 －y 2b2 ＝1(a >0，b >0)k ＝b 2x 0a 2y 0 抛物线：y 2＝2px (p >0)k ＝p y 0考点22 直线与圆锥曲线的位置关系【常用方法】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组的解的个数．对于过定点的直线常考虑定点与圆锥曲线的位置关系，进而判断直线与圆锥曲线的位置关系．注意：(1)在没有给出直线方程时，要对直线斜率不存在的情况进行讨论，避免漏解；(2)对于选择题、填空题，常根据几何条件，利用数形结合的方法求解．注：(1)研究直线与圆的位置关系，只需抓住圆心到直线的距离与半径的关系；(2)当直线过定点时，注意定点与圆锥曲线的位置关系；(3)注意“直线与抛物线只有一个交点”与“直线与抛物线相切”的区别 【典例分析22】1．直线y ＝2x －1与椭圆x 29 ＋y 24 ＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定2．过点(0，1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条3．已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1．若l 与C 有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为________．考点23 弦长问题【常用方法】处理弦长问题的两个注意点(1)利用弦长公式求弦长要注意斜率k 不存在的情形，若k 不存在时，可直接求交点坐标再求弦长．设斜率为k 的直线l 交圆锥曲线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则：ak y y k x x k AB ∆+=-+=-+=22121221111解法要点“设而不求，整体代入”． (2)求圆、过抛物线焦点的弦长注意圆、抛物线的特性，一般不用联立直线与曲线方程 【典例分析23】1、已知斜率为2的直线经过椭圆x 25 ＋y 24 ＝1的右焦点F ，与椭圆相交于A ，B 两点，则弦AB 的长为______________．2、已知M (－2，0)，N (2，0)，动点P 满足：直线PM 与直线PN 的斜率之积为常数－12.设动点P的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，线段AB 的中垂线与y 轴交于点)21,0(，点O 为坐标原点，OA →·OB→＝0，求|AB |.考点24 中点弦问题【常用方法】1．用“点差法”求解中点弦问题的步骤(1)设点：设出弦的两端点坐标． (2)代入：代入圆锥曲线方程．(3)作差：两式相减，再用平方差公式把上式展开． (4)整理：转化为斜率与中点坐标的关系式，然后求解． 2．解有关中点弦问题的注意点对于中点弦问题，常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在用根与系数的关系时，要注意前提条件Δ>0；在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交． 【典例分析24】1、过椭圆x 216 ＋y 24 ＝1内一点P (3，1)，且被点P 平分的弦所在直线的方程是( )A ．4x ＋3y －13＝0B ．3x ＋4y －13＝0C ．4x －3y ＋5＝0D ．3x －4y ＋5＝02、已知双曲线x 2a 2 －y 2b 2 ＝1(a >0，b >0)，F (5，0)为该双曲线的右焦点，过F 的直线交该双曲线于A ，B两点，且AB 的中点为M (－457 ，－807)，则该双曲线的方程为________________．。
高考科学复习解决方案-数学(名校内参版)第九章9.8直线与圆锥曲线的位置关系
上任意一点 P 作直线 PA 垂直 x 轴于点 A，作直线 PB 垂直 y 轴于点 B，则直
线 AB 与椭圆 C1 的公共点个数为( )
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
A．0
B．1
C．2
D．与点 P 的位置有关
答案 B 解析 设点 P(m，n)(m≠0，n≠0)，则 A(m,0)，B(0，n)，m42＋n12＝1.所
→→ 解析 解法一：由F1A＝AB，得 A 为 F1B 的中点． 又 O 为 F1F2 的中点，
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
∴OA∥BF2. →→
又F1B·F2B＝0， ∴∠F1BF2＝90°. ∴OF2＝OB，∴∠OBF2＝∠OF2B. 又∠F1OA＝∠BOF2，∠F1OA＝∠OF2B， ∴∠BOF2＝∠OF2B＝∠OBF2， ∴△OBF2 为等边三角形．
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
1．(2020·新高考Ⅰ卷)斜率为 3的直线过抛物线 C：y2＝4x 的焦点，且 16
与 C 交于 A，B 两点，则|AB|＝____3____.
解析 ∵抛物线的方程为 y2＝4x，∴抛物线的焦点为 F(1,0)，又直线 AB 过焦点 F 且斜率为 3，∴直线 AB 的方程为 y＝ 3(x－1)，代入抛物线方程 消去 y 并化简得 3x2－10x＋3＝0，
基础知识过关 核心素养例析 课时作业
2．(2019·全国Ⅰ卷)已知双曲线 C：ax22－by22＝1(a>0，b>0)的左、右焦点
→ 分别为 F1，F2，过 F1 的直线与 C 的两条渐近线分别交于 A，B 两点．若F1A
→ →→ ＝AB，F1B·F2B＝0，则
C
的离心率为____2____．
高三数学专题复习 直线与圆锥曲线的综合问题教案高三全册数学教案_1
课堂同步练习：3．(2021·高考)直线y＝a交抛物线y＝x2于A，B两点．假设该抛物线上存在点C，使得∠ACB 为直角，那么a的取值范围为________．解析以AB为直径的圆的方程为x2＋(y－a)2＝a，由得y2＋(1－2a)y＋a2－a＝0.即(y－a)[y－(a－1)]＝0，由解得a≥1.答案[1，＋∞)4．(2021·高考改编)如图，F1，F2是椭圆C1：＋y2＝1与双曲线C2的公一一共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公一一共点．假设四边形AF1BF2为矩形，那么C2的离心率是________．解析|F1F2|＝2.设双曲线的方程为－＝1.∵|AF2|＋|AF1|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，∴|AF2|＝2＋a，|AF1|＝2－a.在Rt△F1AF2中，∠F1AF2＝90°，∴|AF1|2＋|AF2|2＝|F1F2|2，那么(2－a)2＋(2＋a)2＝(2)2，∴a＝，∴离心率e＝＝＝.答案考点探究打破典型例题讲解，先让学生自己考虑，老师再给出思路，最后用多媒体展示解答过程，要求学生自己做题时要标准。
同时给出做这种题的思路指导，并且加以总结，指出要记住的，要注意的，易错点等。
3x2－4x＝0，即A(0，)，B，所以可得|AB|＝；将y＝x＋m代入＋＝1得：3x2＋4mx＋2m2－6＝0，设C(x3，y3)，D(x4，y4)，那么|CD|＝＝，又因为Δ＝16m2－12(2m2－6)>0，即－3<m<3，所以当m＝0时，|CD|获得最大值4，∴四边形ABCD面积的最大值为|AB|·|CD|＝.。
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
联系了中点和直线的斜率，借用中点P公A式R即T 可1求得斜率． 2．根与系数的关系：
即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次 方程后由根与系数的关系求解．
01
添加标题
遇到弦中点,两式减一减; 若要求弦长,韦达来帮忙.
线 段 的 中 点 ， 求 直 线 L 的 方 程 .
探究三 圆锥曲线中弦的中点问题
变 式 ： 求 直 线 L:x+2y-8=0被 椭 圆 x2y21所 截 得 的 36 9
线 段 的 中 点 P的 坐 标 .
处理中点弦问题常用的求解方法
1．点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相
y＝kx＋2， 联立方程组x92＋y2＝1， 解得 x2＋9(kx＋2)2＝9， 即(1＋9k2)x2＋36kx＋27＝0.
∵直线 m 与椭圆交于 A、B 两点，
∴Δ＝(36k)2－4×27(1＋9k2)＞0，即
9k2－3＞0，∴k＞
33或
k＜－
3 3 .(*)
设 A、B 两点的坐标是 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 x1＋x2＝－1＋369k2，x1·x2＝1＋279k2. 由于以 AB 为直径的圆过原点，∴x1x2＋y1y2＝0， 即 x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝0.
y(12=)若2p直x线: 与对称轴平行或重合,则相交且只有一个交点.
(2)若直线与对称轴相交,
由
y=kx+ my2=2p
得:
故①△>0 相交 ②△=0 x 相切 A③x△2+<B0x+C相=离0
yy
直线与圆锥曲线的位置关系的判定复习课教案
①掌握点与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的判定方法：代数方法②掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系(交点个数) 的判定方法：代数方法和几何法(数型结合方法)。
③掌握直线与椭圆、双曲线、抛物线位置关系的常见题型的解题思路与方法，会根据直线与圆锥曲线的位置确定参数的值(或范围)。
①培养学生运算能力、探索能力，分析问题解决问题的能力；②培养学生数形结合思想、转化思想函数方程思想及分类讨论思想。
①培养学生运动变化观点；②培养学生认识事物的特殊性与一般性规律。
直线与圆锥曲线位置关系的判定是高中数学的重点内容，是高考数学考查的重要内容，在高考试卷中占有相当的分量。
该内容经常与方程组的解的讨论、方程的区间根、直线的斜率，以及数形结合思想，分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想方法等知识相结合。
该内容知识的综合性、应用性较强，是学生学习的难点之一。
点、直线与圆锥曲线位置关系的判定方法，以及判定方法的灵活应用。
直线与圆锥曲线在某个区间内有交点的问题。
求参数的取值范围。
根据本内容的特点结合学生的实际，采用讲解和学生讨论探索，最后教师总结归纳的教学方法。
指导学生掌握通性，同时注重对一题多解和一题多变的训练，培养思维能力。
<>1、给出下列曲线：① 4x+2y-1=0 , ② ,③⑤=2x. 其中与直线 y=-2x-3 有交点的所有曲线是(A .①③ B.②④⑤ C.①②③ D.②③④2①若题目中没给出直线方程，假设直线方程时应对直线方程的斜率存在和不存在两种情况进行分类讨论。
②对于研究给定区间的位置关系问题，应转化为方程ax2+bx+c=0 的区间根问题，结合二次函数图象加以解决。
联立方程,消去x或y，得到关于x (或y)的方程ax2+bx+c=0 (或ay2+by+c=0)。
(1)当a=0 时 (2)当 a ≠0 时3<1>判断直线与圆锥曲线交点个数；<2>证明直线与圆锥曲线的位置关系；<3>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求直线方程(或确定参数的值)；<4>已知直线与圆锥曲线的位置关系，求参数的取值范围。
2023届高三数学一轮复习专题 直线与圆锥曲线的综合运用 讲义 (解析版)
直线与圆锥曲线的综合运用一、知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判断将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于x(或y)的一元方程：ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．(1)若a≠0，可考虑一元二次方程的判别式Δ，有①Δ>0①直线与圆锥曲线相交；①Δ＝0①直线与圆锥曲线相切；①Δ<0①直线与圆锥曲线相离．(2)若a＝0，b≠0，即得到一个一元一次方程，则直线l与圆锥曲线E相交，且只有一个交点．①若E为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；①若E为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则AB＝1＋k2|x2－x1|＝1＋1k2|y2－y1|.3.过一点的直线与圆锥曲线的位置关系(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切；过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切；过椭圆内一点的直线与椭圆相交．(2)过抛物线外一点总有三条直线和抛物线有且只有一个公共点：两条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线上一点总有两条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条切线和一条与对称轴平行或重合的直线；过抛物线内一点只有一条直线与抛物线有且只有一个公共点：一条与对称轴平行或重合的直线.(3)过双曲线外不在渐近线上的一点总有四条直线与双曲线有且只有一个交点：两条切线和两条与渐近线平行的直线；过双曲线上条直线与双曲线有且只有一个交点：一条切线和两条与渐近线平行的直线； 过双曲线内一点总有两条直线与双曲线有且只有一个交点：两条与渐近线平行的直线．二、课前预习1.若直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2m ＝1总有公共点，则m 的取值范围是____．2.斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则|AB |的最大值为____．3.直线mx ＋ny ＝4与①O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是____个．4.已知A 1，A 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右顶点，P 是椭圆C 上异于A 1，A 2的任意一点，若直线P A 1，P A 2的斜率的乘积为－49，则椭圆C 的离心率为____．5.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)过点)23,1(P ，离心率为12.(1) 求椭圆C 的方程． (2) 若斜率为32的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试探究OA 2＋OB 2是否为定值？若为定值，求出此定值；若不是定值，请说明理由．三、典型例题题型一. 直线与圆锥曲线的位置关系例1已知直线l ：y ＝2x ＋m ，椭圆C ：x 24＋y 22＝1.试问当m 取何值时，直线l 与椭圆C ：(1)有两个不重合的公共点； (2)有且只有一个公共点； (3)没有公共点．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－1,0)，且点P (0,1)在C 1上． (1)求椭圆C 1的方程；(2)设直线l 同时与椭圆C 1和抛物线C 2：y 2＝4x 相切，求直线l 的方程．例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知焦点在x 轴上，离心率为12的椭圆E 的左顶点为A ，点A 到右准线的距离为6． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过点A 且斜率为32的直线与椭圆E 交于点B ，过点B 与右焦点F 的直线交椭圆E 于M 点，求M 点的坐标．题型二 弦长问题例3 如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0) 的离心率e ＝22，右焦点F 到左准线l 的距离为3．(1)求椭圆的标准方程；(2)过F 的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线分别交直线l 和AB 于点P ，C ，若PC =2AB ，求直线AB 的方程．变式 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD .当直线AB 斜率为0时，AB ＝4. (1)求椭圆的方程；(2)若|AB |＋|CD |＝487，求直线AB 的方程．BAOxy lP C题型三 定点问题例4 如图，在平面直角坐标系xOy中，离心率为2的椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于,P Q 两点，直线,PA QA 分别与y 轴交于,M N 两点．若直线PQ斜率为2时，PQ = （1）求椭圆C 的标准方程；（2）试问以MN 为直径的圆是否经过定点（与直线PQ 的斜率无关）？请证明你的结论．例5 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ：x 2＋y 2－6x －2y ＋7＝0相切．(1)求椭圆C 的方程；(2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 相交于P 、Q 两点，且AP →·AQ →＝0，求证：直线l 过定点，并求出该定点N 的坐标．变式1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，四点1P (1,1)，2P (0,1)，)23,1(3 P ，)23,1(4P 中恰有三点在椭圆C 上． (1)求C 的方程；(2)设直线l 不经过P 2点且与C 相交于A ，B 两点．若直线P 2A 与直线P 2B 的斜率的和为－1，证明：l 过定点．变式2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，椭圆上动点P 到一个焦点的距离的最小值为3(2－1)．(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 已知过点M (0，－1)的动直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，试判断以线段AB 为直径的圆是否恒过定点，并说明理由．题型四 定值问题例6 已知椭圆)(:012222>>=+b a by a x C 的离心率为23，且过点),(12-P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点Q 在椭圆C 上，且PQ 与x 轴平行，过P 点作两条直线分别交椭圆C 于),(11y x A),(22y x B 两点，若直线PQ 平分APB ∠，求证：直线AB 的斜率是定值，并求出这个定值．变式 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的焦距为2，离心率为22，椭圆的右顶点为A . （1）求该椭圆的方程；（2）过点(2,2)D -作直线PQ 交椭圆于两个不同点,P Q ，求证：直线,AP AQ 的斜 率之和为定值.例7 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(0)a b >>，焦点到相应准线的距离为1． （1）求椭圆的标准方程；（2）若P 为椭圆上的一点，过点O 作OP 的垂线交直线y =于点Q ，求2211OP OQ +的值．变式在平面直角坐标系xOy 中，已知圆222:O x y b +=经过椭圆222:14x y E b +=(02)b <<的焦点.（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线:l y kx m =+交椭圆E 于,P Q 两点，T 为弦PQ 的中点，(1,0),(1,0)M N -，记直线,TM TN 的斜率分别为12,k k ，当22221m k -=时，求12k k ⋅的值.题型五 最值、范围问题例8 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F (－1，0)，左准线方程为x ＝－2.(1) 求椭圆C 的标准方程；(2) 若椭圆C 上有A ，B 两点，满足OA ①OB (O 为坐标原点)，求①AOB 面积的取值范围．例9 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，点B 是椭圆C 上异于左、右顶点的任一点，P 是AB 的中点，过点B 且与AB 垂直的直线与直线OP 交于点Q ，已知椭圆C 的离心率为12，点A 到右准线的距离为6。
《直线和圆锥曲线的关系》教学设计方案
小结
1、在直线圆锥曲线相交问题（有关弦长、中点等）中，通常设两交点为 ，若出现 等条件时，常利用违达定理求解。
2、直线与圆锥曲线相交弦的中点问题常用点差法解题(利用点差法要注意结论是否正确)。解题过程中，注意利用中点坐标公式和两点的斜率公式。
3、对称问题的求解要充分利用两点连线和轴垂直，两点的中点在对称轴上着两个条件，将两个条件转化关于两点坐标 的等式进行计算。
信息化教学设计方案：
设计者
学号
专业
时间
一、选自数学学科新人教版高中选修1-1第二章（单元）复习（课），
具体内容如下：(编写成试卷，先发给学生做)
1.直线 被抛物 线截得的线段的中点坐标是（）
A.(2,3) B.(1,3) C.(3,2) D.(3,1)
2.抛物线 与直线 相交所得的弦长为 ，则 的值为_______
[问题1]直线 被抛物 线截得的线段的中点坐标是（）
A.(2,3) B.(1,3) C.(3,2) D.(3,1)
[投影]课件相应内容
练习、回答
由浅入深，为先给学生热热身
[问题2]抛物线 与直线 相交所得的弦长为 ，则 的值为_______
[投影]课件相应内容
思考、回答
激发学生探求新知识的欲望培养学生思考和表达的能力，为重点内容打基础
本设计方案的优缺点及改善意见：
应该先编成练习卷发给学生提前练习，否则可能会因为学生觉得内容较深而难以完成教学内容。
（A） （B） （C） (D)
[投影]课件相应内容
思考、汇报思考过程
培养学生思考和表达的能力，讲解本节课的重点内容
[问题5]抛物线 上的两点 关于直线 对称，且 ，求 的值。
高三数学第一轮复习 第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)学案
高三数学第一轮复习讲义（53）直线与圆锥的位置关系（1）一．复习目标：1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题．二．知识要点：1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法：直线l ：(,)0f x y =和曲线:(,)0C g x y =的公共点坐标是方程组(,)0(,)0f x y g x y =⎧⎨=⎩的解，l 和C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数．这样就将l 和C 的交点问题转化为方程组的解问题研究，对于消元后的一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式∆，若能数形结合，借助图形的几何性质则较为简便．2．弦的中点或中点弦的问题，除利用韦达定理外，也可以运用“差分法”（也叫“点差法”）．三．课前预习：1．直线y x b =+与抛物线22y x =，当b ∈ 时，有且只有一个公共点；当b ∈ 时，有两个不同的公共点；当b ∈ 时，无公共点．2．若直线1y kx =+和椭圆22125x y m+=恒有公共点，则实数m 的取值范围为 ．3．抛物线2y ax =与直线y kx b =+(0)k ≠交于,A B 两点，且此两点的横坐标分别为1x ，2x ，直线与x 轴的交点的横坐标是3x ，则恒有（） ()A 312x x x =+ ()B 121323x x x x x x =+ ()C 3120x x x ++=()D 1213230x x x x x x ++=4．椭圆122=+ny mx 与直线1=+y x 交于,M N 两点，MN 的中点为P ，且OP 的斜率为22，则n m 的值为 （ ）()A 22()B 322 ()C 229 ()D 2732 5．已知双曲线22:14y C x -= ，过点(1,1)P 作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有 （ ）()A 1 条()B 2条 ()C 3条()D 4条 四．例题分析： 例1．过点(1,6)--的直线l 与抛物线24y x =交于,A B 两点，若9(,0)2P ，||||AP BP =，求l 的斜率．例2．直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ，（I ）求实数k 的取值范围；（II ）是否存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．例3．已知直线l 和圆M ：2220x y x ++=相切于点T ，且与双曲线22:1C x y -=相交于,A B 两点，若T 是AB 的中点，求直线l 的方程．五．课后作业： 班级 学号 姓名1．以点(1,1)-为中点的抛物线28y x =的弦所在的直线方程为 （ ）()A 430x y --= ()B 430x y ++= ()C 430x y +-= ()D 430x y ++=2．斜率为3的直线交椭圆221259x y +=于,A B 两点，则线段AB 的中点M 的坐标满足方程（ ）()A 325y x = ()B 325y x =- ()C 253y x = ()D 253y x =- 3．过点(0,1)与抛物线22(0)y px p =>只有一个公共点的直线的条数是（ ）()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 34．已知双曲线2290x y kx y -+--=与直线1y kx =+的两个交点关于y 轴对称，则这两个交点的坐标为 ．5．与直线042=+-y x 的平行的抛物线2x y =的切线方程是 ．6．已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是(,0)F m -（m 是大于0的常数）． （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设Q 是椭圆上的一点，且过点,F Q 的直线l 与y 轴交于点M ，若||2||MQ QF = ，求直线l 的斜率．7．一个正三角形的三个顶点都在双曲线221x ay -=的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，求实数a 的取值范围．8．已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于,A B 两点．是否存在实数k ，使,A B 两点关于直线20x y -=对称？若存在，求出k 值，若不存在，说明理由．。
直线与圆锥曲线的位置关系专题复习
直线与圆锥曲线的位置关系一．知识网络结构：2.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L 的方程与圆锥曲线的方程联立得到02=++c bx ax 。
①.若a =0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L 与双曲线的渐进线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线L 与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若0≠a ，设ac b 42-=∆。
a .0>∆时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.0=∆时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。
c.0<∆时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：例1.椭圆141622=+y x 上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ） A.3 B.11 C.22 D.10例2.如果椭圆193622=+y x 的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） A.02=-y x B.042=-+y x C.01232=-+y x D.082=-+y x题型二：直线与双曲线的位置关系：例3.已知直线1:-=kx y L 与双曲线22:y x C -=4。
⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围；⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围；⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；⑷若直线L 与双曲线C 的右支有两个公共点，求k 的范围；⑸若直线L 与双曲线C 的两支各有一个公共点，求k 的范围。
题型三：直线与抛物线的位置关系：例4.在抛物线x y 22=上求一点P ，使P 到焦点F 与P 到点)2,3(A 的距离之和最小。
题型四：弦长问题：直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。
高考数学知识点总复习教案直线与圆锥曲线的位置关系
第7讲 直线与圆锥曲线的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2013·潍坊一模)直线4kx －4y －k ＝0与抛物线y 2＝x 交于A ，B 两点，若|AB |＝4，则弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离等于( )． A.74B ．2C.94D ．4 解析 直线4kx －4y －k ＝0，即y ＝k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －14，即直线4kx －4y －k ＝0过抛物线y 2＝x 的焦点⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1＋x 2＋12＝4，故x 1＋x 2＝72，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线x ＋12＝0的距离是74＋12＝94. 答案 C2．(2012·台州质检)设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )．A.33B.12C.22D.13解析 由于直线与椭圆的两交点A ，B 在x 轴上的射影分别为左、右焦点F 1，F 2，故|AF 1|＝|BF 2|＝b 2a ，设直线与x 轴交于C 点，又直线倾斜角θ的正切值为22，结合图形易得tan θ＝22＝|AF 1||CF 1|＝|BF 2||CF 2|，故|CF 1|＋|CF 2|＝22b 2a ＝|F 1F 2|＝2c ，整理并化简得2b 2＝2(a 2－c 2)＝ac ，即2(1－e 2)＝e ，解得e ＝22. 答案 C3．(2012·临沂二模)抛物线y 2＝2px 与直线2x ＋y ＋a ＝0交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为(1,2)，设抛物线的焦点为F ，则|F A |＋|FB |的值等于( )． A ．7B ．3 5C ．6D ．5解析 点A (1,2)在抛物线y 2＝2px 和直线2x ＋y ＋a ＝0上，则p ＝2，a ＝－4，F (1,0)，则B (4，－4)，故|F A |＋|FB |＝7. 答案 A4．(2013·宁波十校联考)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，过F 2的直线与双曲线的右支交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则e 2＝( )． A ．1＋2 2 B ．4－2 2 C ．5－2 2D ．3＋2 2解析 如图，设|AF1|＝m ，则|BF 1|＝2m ，|AF 2|＝m －2a ，|BF 2|＝2m －2a ，∴|AB |＝|AF 2|＋|BF 2|＝m －2a ＋2m －2a ＝m ，得m ＝22a ，又由|AF 1|2＋|AF 2|2＝|F 1F 2|2，可得m 2＋(m －2a )2＝4c 2，即得(20－82)a 2＝4c 2，∴e 2＝c 2a 2＝5－22，故应选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共10分)5．椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12平分，则这条弦所在的直线方程是________．解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1.∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 222＋y 22＝1. 两式相减得：(x 1＋x 2)(x 1－x 2)2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0，即y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22(y 1＋y 2)， ∵x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1， ∴y 1－y 2x 1－x 2＝－12，即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即该弦所在直线的方程为2x ＋4y －3＝0. 答案 2x ＋4y －3＝06．(2013·东北三省联考)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，F (2，0)为其右焦点，过F 垂直于x 轴的直线与椭圆相交所得的弦长为2，则椭圆C 的方程为________．解析由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝2，b 2a ＝1，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝2，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 22＝1.答案 x 24＋y 22＝1 三、解答题(共25分)7．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于不同的A ，B 两点．(1)如果直线l 过抛物线的焦点，求OA →·OB→的值；(2)如果OA →·OB →＝－4，证明：直线l 必过一定点，并求出该定点． (1)解 由题意：抛物线焦点为(1,0)， 设l ：x ＝ty ＋1，代入抛物线y 2＝4x ，消去x 得y 2－4ty －4＝0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋1)(ty 2＋1)＋y 1y 2＝t 2y 1y 2＋t (y 1＋y 2)＋1＋y 1y 2＝－4t 2＋4t 2＋1－4＝－3. (2)证明 设l ：x ＝ty ＋b ，代入抛物线y 2＝4x ， 消去x 得y 2－4ty －4b ＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4b ，∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(ty 1＋b )(ty 2＋b )＋y 1y 2 ＝t 2y 1y 2＋bt (y 1＋y 2)＋b 2＋y 1y 2 ＝－4bt 2＋4bt 2＋b 2－4b ＝b 2－4b .令b 2－4b ＝－4，∴b 2－4b ＋4＝0，∴b ＝2， ∴直线l 过定点(2,0)．∴若OA →·OB →＝－4，则直线l 必过一定点．8．(13分)给出双曲线x 2－y 22＝1.(1)求以A (2,1)为中点的弦所在的直线方程；(2)若过点A (2,1)的直线l 与所给双曲线交于P 1，P 2两点，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程；(3)过点B (1,1)能否作直线m ，使得m 与双曲线交于两点Q 1，Q 2，且B 是Q 1Q 2的中点？这样的直线m 若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由．解 (1)设弦的两端点为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧2x 21－y 21＝2，2x 22－y 22＝2，两式相减得到2(x 1－x 2)(x 1＋x 2)＝(y 1－y 2)(y 1＋y 2)，又x 1＋x 2＝4，y 1＋y 2＝2， 所以直线斜率k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4.故求得直线方程为4x －y －7＝0. (2)设P (x ，y )，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 按照(1)的解法可得y 1－y 2x 1－x 2＝2xy，①由于P 1，P 2，P ，A 四点共线， 得y 1－y 2x 1－x 2＝y －1x －2，②由①②可得2x y ＝y －1x －2，整理得2x 2－y 2－4x ＋y ＝0，检验当x 1＝x 2时，x ＝2，y ＝0也满足方程，故P 1P 2的中点P 的轨迹方程是2x 2－y 2－4x ＋y ＝0. (3)假设满足题设条件的直线m 存在，按照(1)的解法可得直线m 的方程为y ＝2x －1.考虑到方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x 2－y 22＝1无解，因此满足题设条件的直线m 是不存在的．B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·皖南八校联考)已知直线l ：y ＝k (x －2)(k >0)与抛物线C ：y 2＝8x 交于A ，B 两点，F 为抛物线C 的焦点，若|AF |＝2|BF |，则k 的值是 ( )． A.13B.223C ．2 2D.24解析 法一 据题意画图，作AA1⊥l ′，BB 1⊥l ′，BD ⊥AA 1.设直线l 的倾斜角为θ，|AF |＝2|BF |＝2r ， 则|AA 1|＝2|BB 1|＝2|AD |＝2r ， 所以有|AB |＝3r ，|AD |＝r ，则|BD |＝22r ，k ＝tan θ＝tan ∠BAD ＝|BD ||AD |＝2 2.法二 直线y ＝k (x －2)恰好经过抛物线y 2＝8x 的焦点F (2,0)，由⎩⎨⎧y 2＝8x ，y ＝k (x －2)，可得ky 2－8y －16k ＝0，因为|F A |＝2|FB |，所以y A ＝－2y B .则y A ＋y B ＝－2y B ＋y B ＝8k ，所以y B ＝－8k ，y A ·y B ＝－16，所以－2y 2B ＝－16，即y B ＝±2 2.又k >0，故k ＝2 2. 答案 C2．(2012·沈阳二模)过双曲线x 2a 2－y 25－a 2＝1(a >0)的右焦点F 作一条直线，当直线斜率为2时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同交点，则双曲线离心率的取值范围是 ( )．A ．(2，5)B ．(5，10)C ．(1，2)D ．(5,52)解析 令b ＝5－a 2，c ＝a 2＋b 2，则双曲线的离心率为e ＝ca ，双曲线的渐近线的斜率为±ba .据题意，2<ba <3，如图所示． ∵ba ＝e 2－1， ∴2<e 2－1<3， ∴5<e 2<10， ∴5<e <10. 答案 B二、填空题(每小题5分，共10分)3．(2013·揭阳模拟)过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 且斜率为1的直线与椭圆的另一个交点为M ，与y 轴的交点为B ，若|AM |＝|MB |，则该椭圆的离心率为________．解析 由题意知A 点的坐标为(－a,0)，l 的方程为y ＝x ＋a ，∴B 点的坐标为(0，a )，故M 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2，a 2，代入椭圆方程得a 2＝3b 2，∴c 2＝2b 2，∴e ＝63. 答案 634．已知曲线x 2a －y 2b ＝1(a ·b ≠0，且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于P ，Q 两点，且OP →·OQ→＝0(O 为原点)，则1a －1b的值为________． 解析 将y ＝1－x 代入x 2a －y 2b ＝1，得(b －a )x 2＋2ax －(a ＋ab )＝0.设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2a a －b ，x 1x 2＝a ＋ab a －b .OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋(1－x 1)·(1－x 2)＝2x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1.所以2a ＋2ab a －b －2aa －b＋1＝0，即2a ＋2ab －2a ＋a －b ＝0，即b －a ＝2ab ，所以1a －1b ＝2. 答案 2 三、解答题(共25分)5．(12分)(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积．(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ .(3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．(1)解 双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程：y ＝±2x .不妨取过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为 y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1.解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.所以所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明 设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b . 因为直线PQ 与已知圆相切，故|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎨⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1得x 2－2bx －b 2－1＝0. 设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )，所以OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2 ＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明 当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时，设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |>22，则直线OM 的方程为y ＝－1k x . 由⎩⎨⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k 24＋k 2，所以|ON |2＝1＋k24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k22k 2－1.设O 到直线MN 的距离为d ， 因为(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，所以1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33.综上，O 到直线MN 的距离是定值．6．(13分)(2012·临沂二模)在圆x 2＋y 2＝4上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段，D 为垂足，点M 在线段PD 上，且|DP |＝2|DM |，点P 在圆上运动． (1)求点M 的轨迹方程；(2)过定点C (－1,0)的直线与点M 的轨迹交于A ，B 两点，在x 轴上是否存在点N ，使NA →·NB →为常数，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．解 (1)设P (x 0，y 0)，M (x ，y )，则x 0＝x ，y 0＝2y .∵P (x 0，y 0)在x 2＋y 2＝4上，∴x 20＋y 20＝4.∴x 2＋2y 2＝4，即x 24＋y 22＝1.点M 的轨迹方程为x 24＋y 22＝1(x ≠±2)． (2)假设存在．当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，N (n,0)， 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x ＋1)，x 24＋y 22＝1，整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－4＝0， ∴x 1＋x 2＝－4k 21＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－41＋2k 2.∴NA →·NB →＝(x 1－n ，y 1)·(x 2－n ，y 2) ＝(1＋k 2)x 1·x 2＋(x 1＋x 2)(k 2－n )＋n 2＋k 2 ＝(1＋k 2)×2k 2－41＋2k 2＋(k 2－n )×－4k 21＋2k2＋k 2＋n 2 ＝k 2(4n －1)－41＋2k2＋n 2 ＝12(2k 2＋1)(4n －1)－12(4n －1)－41＋2k 2＋n 2 ＝12(2n 2＋4n －1)－2n ＋721＋2k 2.∵NA →·NB→是与k 无关的常数，∴2n ＋72＝0. ∴n ＝－74，即N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，此时NA →·NB→＝－1516.当直线AB 与x 轴垂直时，若n ＝－74，则NA →·NB →＝－1516.综上所述，在x 轴上存在定点N ⎝ ⎛⎭⎪⎫－74，0，使NA →·NB →为常数．。
高三数学 直线与圆锥曲线(二)复习学案 文 苏教版
2013届高三数学（文）复习学案：直线与圆锥曲线(二)一、课前准备： 【自主梳理】1．直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦．设弦AB 端点的坐标为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2),直线AB 的斜率为k ，则：｜AB ｜=____________或____________利用这个公式求弦长时，要注意结合韦达定理．当弦过圆锥曲线的焦点时，可用焦半径进行运算．2．中点弦问题：点差法设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)是椭圆12222=+b y a x 上不同的两点， 则：________________________________________________________________________________________________对于双曲线、抛物线，可得类似的结论．【自我检测】1．过点（2，4）作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有____________条. 2．已知双曲线C ：x 2－42y =1，过点P （1，1）作直线l ，使l 与C 有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l 共有_____________条.3．已知对k ∈R ，直线y －kx －1=0与椭圆52x +my 2=1恒有公共点，则实数m 的取值范围是_____________.4．若双曲线x 2－y 2＝1的右支上一点P （a ，b ）到直线y =x 的距离为2，则a +b 的值为_______.5．已知双曲线x 2－32y ＝1，过P （2，1）点作一直线交双曲线于A 、B 两点，并使P 为AB的中点，则直线AB 的斜率为____________.6．双曲线x 2－y 2＝1的左焦点为F ，点P 为左支下半支上任意一点（异于顶点），则直线PF 的斜率的变化范围是___________________.二、课堂活动：【例1】填空题：已知椭圆2212x y +=， （1）则过点11,22P ⎛⎫⎪⎝⎭且被P 平分的弦所在直线的方程是______________；（2）则斜率为2的平行弦的中点轨迹方程是______________；（3）过(2,1)A 引椭圆的割线，则截得的弦的中点的轨迹方程是______________； （4）椭圆上有两点,,P Q O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足12OP OQ k k =-，则线段PQ 中点 M 的轨迹方程是______________．【例2】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=210，求椭圆方程【例3】已知抛物线y 2=－x 与直线y =k （x +1）相交于A 、B 两点. （1）求证：OA ⊥OB ；（2）当△OAB 的面积等于10时，求k 的值课堂小结三、课后作业1．AB 为抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点弦，若|AB |=1，则AB 中点的横坐标为___________；若AB 的倾斜角为α，则|AB |=____________ 2．过点（0，2）的直线被椭圆x 2＋2y 2＝2所截弦的中点的轨迹方程是_______________.3．设双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的半焦距为 c ，直线 l 过(,0),(0,)A a B b 两点，已知原点到直线的l ，则双曲线的离心率为________________. 4．已知双曲线x 2－22y =1与点P （1，2），过P 点作直线l 与双曲线交于A 、B 两点，若P 为AB 中点，则直线AB 的方程是________________. 5．椭圆42x +y 2=1的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的直线与椭圆相交，一个交点为P ，则|2PF |=________________.6．若点（x ，y ）在椭圆4x 2+y 2=4上，则2-x y的最小值为________________. 7．若直线mx +ny －3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点，则m 、n 满足的关系式为____________； 以（m ，n ）为点P 的坐标，过点P 的一条直线与椭圆72x +32y =1的公共点有____________个8．中心在坐标原点、焦点在x 轴上的椭圆，它的离心率为23，与直线x +y －1=0相交于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆经过坐标原点，则椭圆方程是______________．9．已知直线l ：y =tan α（x +22）交椭圆x 2+9y 2=9于A 、B 两点，若α为l 的倾斜角，且|AB |的长不小于短轴的长，求α的取值范围10．在抛物线y 2=4x 上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围.【自我检测】1. .2条2. 4条3. ［1，5）∪（5，+∞）4.215. 66. （－∞，0）∪（1，+∞）【例1】解：设弦两端点分别为，，线段的中点，则①－②得．由题意知，则上式两端同除以，有，将③④代入得．⑤（1）将，代入⑤，得，故所求直线方程为．⑥将⑥代入椭圆方程得，符合题意，故即为所求．（2）将代入⑤得所求轨迹方程为：．（椭圆内部分）（3）将代入⑤得所求轨迹方程为．（椭圆内部分）（4）由①＋②得，⑦将③④平方并整理得， ⑧， ⑨将⑧⑨代入⑦得， ⑩再将 代入⑩式得，即 ．【例2】解 设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0,n ＞0)， P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)由⎩⎨⎧=++=1122ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0, Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0,即m +n －mn ＞0,由OP ⊥OQ ,所以x 1x 2+y 1y 2=0,即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0, ∴n m nn m n --+-2)1(2+1=0, ∴m +n =2 ① 又2)210()(4=+-+n m mn n m 2,将m +n =2,代入得m ·n =43 ②由①、②式得m =21,n =23或m =23,n =21故椭圆方程为22x +23y 2=1或23x 2+21y 2=1【例3】剖析：证明OA ⊥OB 可有两种思路（如下图）：（1）证k OA ·k OB =－1；（2）取AB 中点M ，证|OM |=21|AB |. 求k 的值，关键是利用面积建立关于k 的方程，求△AOB 的面积也有两种思路：（1）利用S △OAB =21|AB |·h （h 为O 到AB 的距离）；（2）设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），直线和x 轴交点为N ，利用S △OAB =21|AB |·|y 1－y 2|.请同学们各选一种思路给出解法.解方程组时，是消去x 还是消去y ，这要根据解题的思路去确定.当然，这里消去x 是最简捷的.（1）证明：如下图，由方程组y 2=－x ，y =k （x +1）ky 2+y －k =0.设A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2），由韦达定理y 1·y 2=－1. ∵A 、B 在抛物线y 2=－x 上，∴y 12=－x 1，y 22=－x 2，y 12·y 22=x 1x 2．∵k OA ·k OB =11x y ·22x y =2121x x y y =211y y =－1， ∴OA ⊥OB .（2）解：设直线与x 轴交于N ，又显然k ≠0， ∴令y =0，则x =－1，即N （－1，0）. ∵S △OAB =S △OAN +S △OBN =21|ON ||y 1|+21|ON ||y 2| =21|ON |·|y 1－y 2|， ∴S △OAB =21·1·212214)(y y y y -+=214)1(2+k. ∵S △OAB =10，消去x 后，整理∴10=21412+k .解得k =±61课后作业 1.21p -; α2sin 2p 2. x 2＋2（y －1）2＝2，｜x ｜＜26＝，0＜y ＜21 3.24. x －y +1=05. 276. 0<m 2+n 2<3 ； 2 8. 52x 2＋58y 2＝19. 解：将l 方程与椭圆方程联立，消去y ，得（1+9tan 2α）x 2+362tan 2α·x +72tan 2α－9=0，∴|AB |=α2tan 1+|x 2－x 1| =α2tan 1+·)tan 91(2α+Δ=αα22tan 916tan 6++. 由|AB |≥2，得tan 2α≤31， ∴－33≤tan α≤33. ∴α的取值范围是［0，6π）∪［6π5，π）10. 解：设B 、C 关于直线y =kx +3对称，直线BC 方程为x =－ky +m ，代入y 2＝4x ，得y 2＋4ky －4m =0，设B （x 1，y 1）、C （x 2，y 2），BC 中点M （x 0，y 0），则y 0＝221y y +＝－2k ，x 0＝2k 2+m .∵点M （x 0，y 0）在直线l 上，∴－2k =k （2k 2＋m ）+3.∴m =－kk k 3223++.又∵BC 与抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k 2＋16m ＞0.把m 代入化简得kk k 323++＜0，即kk k k )3)(1(2+-+＜0，解得－1＜k ＜0。
《直线与圆锥曲线专题复习》教学设计
教学设计（教案）模板直观、严谨的思维品质;灵活运用数形结合、分类讨论、类比归纳等各种数学思想方法,提高解题能力.3.情感目标让学生感悟数学的统一美、和谐美,端正学生的科学态度,进一步激发学生自主探究的精神.教学过程1.本节要点扫描设直线,圆锥曲线,由,消元(或),若消去得.(1)若,此时圆锥曲线不是椭圆.当圆锥曲线为双曲线时,直线与双曲线渐进线平行或重合;当圆锥曲线是抛物线时,直线与抛物线的对称轴平行或重合.(2)若,,则①时,直线与圆锥曲线相交,有两个不同的交点;②时,直线与圆锥曲线相切,有唯一的公共点;③时,直线与圆锥曲线相离,没有公共点.(3)设直线与圆锥曲线:相交于,则弦长.若直线过圆锥曲线的焦点,当焦点弦垂直于对称轴(椭圆的长轴、双曲线的实轴)时称为通径,其中.(为焦准距).若椭圆的弦过焦点,则;若双曲线的弦过焦点,且在左支,则;若抛物线的弦过焦点,则.2.引出主题,精讲例题由实例得出本节主要的知识点是:将直线与圆锥曲线的方程联立起来,消去或,结合的情况,求解实题中的问题.我们在讲解例题时,不仅在于怎样解,更在于为什么这样解，而及时对解题方法和规律进行概括,有利于发展学生的思维能力.在题中:怎样使计算更加简单是关键点.3.能力训练,总结结论,强化认识课后练习使学生能巩固羡慕自觉运用所学知识与解题思想方法.知识性内容的小结,可把课堂教学传授的知识尽快化为学生的素质;数学思想方法的小结,可使学生更深刻地理解数学思想方法在解题中的地位和应用,并且逐渐培养学生的良好的个性品质目标.4.变式延伸,进行重构重视课本例题,适当对题目进行引申,使例题的作用更加突出，有利于学生对知识的串联、累积、加工,从而达到举一反三的效果.5.板书设计6.布置作业针对学生素质的差异进行分层训练,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,从而达到拔尖和“减负”的目的.板书设计作业或预习变式训练1．设椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，过F的直线l与椭圆C相交于A、B两点，直线l的倾斜角为60°，AF→＝2FB→.。
直线与圆锥曲线专题复习设计
直线与圆锥曲线专题复习设计一、2010年考纲要求（一）掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。
掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够判断两条直线的位置关系。
理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
（二）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，及其简单几何性质，了解椭圆的参数方程,了解圆锥曲线的简单应用。
二、考题特征剖析直线与圆锥曲线是高考解析几何的重要内容，是用坐标方法研究曲线特征的重要体现，因此这一部分内容成为历年考试的热点。
解析法与向量知识的结合常常作为高考的压轴题出现，是考查能力的重要题型。
纵观近三年的高考题，试题的数目在逐渐增加，虽然题型在不断变化，但直线与圆锥曲线这一部分一直都在发挥着其主角作用，演义着高考的神话。
通过认真分析可以发现，本专题在高考中占25分左右，涉及的题目有选择题，填空题及简答题。
因此，能否顺利解答这一部分题目对考试成绩有着很大的影响。
选择题一般有两种不同的解题思路：一是直接计算，二是采用数形结合。
尤其是直线与圆的考查，灵活利用圆的性质通常可以化解难度。
一般属于中档题，成为高考的焦点问题。
对圆锥曲线定义的考查通常会把两个定义联系在以起，以准线方程，离心率等为载体考查对性质的灵活应用。
体现了数形结合，等价转换等基本思想的应用。
直线与圆锥曲线的位置关系一般以简答题的形式出现，有一定的难度，除了考查基本概念，圆锥曲线的性质外，还考查实际问题中的计算技巧，渗透的数学思想有：分类讨论，数形结合，等价转换，函数与方程等。
对本专题的复习要重视知识之间的联系，熟练掌握教材重视知识外，还加强对综合能力的训练，重视交汇知识的把握，做到通法与技巧相结合，合理运算，提高准确率。
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直线与圆锥曲线专题复习设计一、2010年考纲要求（一）掌握过两点的直线的斜率公式，掌握直线方程的点斜式，两点式，一般式，能熟练求出直线方程。
掌握两条直线平等与垂直的条件，两条直线所成的角和点到直线的距离公式，能够判断两条直线的位置关系。
理解直线的倾斜角和斜率的概念，了解二元一次不等式表示平面区域，了解线性规划的意义，并会简单的应用，了解解析几何的基本思想，了解坐标法。
（二）掌握圆的标准方程和一般方程，了解参数方程的概念，理解圆的参数方程。
掌握椭圆，双曲线，抛物线的定义，标准方程，及其简单几何性质，了解椭圆的参数方程,了解圆锥曲线的简单应用。
二、考题特征剖析直线与圆锥曲线是高考解析几何的重要内容，是用坐标方法研究曲线特征的重要体现，因此这一部分内容成为历年考试的热点。
解析法与向量知识的结合常常作为高考的压轴题出现，是考查能力的重要题型。
纵观近三年的高考题，试题的数目在逐渐增加，虽然题型在不断变化，但直线与圆锥曲线这一部分一直都在发挥着其主角作用，演义着高考的神话。
通过认真分析可以发现，本专题在高考中占25分左右，涉及的题目有选择题，填空题及简答题。
因此，能否顺利解答这一部分题目对考试成绩有着很大的影响。
选择题一般有两种不同的解题思路：一是直接计算，二是采用数形结合。
尤其是直线与圆的考查，灵活利用圆的性质通常可以化解难度。
一般属于中档题，成为高考的焦点问题。
对圆锥曲线定义的考查通常会把两个定义联系在以起，以准线方程，离心率等为载体考查对性质的灵活应用。
体现了数形结合，等价转换等基本思想的应用。
直线与圆锥曲线的位置关系一般以简答题的形式出现，有一定的难度，除了考查基本概念，圆锥曲线的性质外，还考查实际问题中的计算技巧，渗透的数学思想有：分类讨论，数形结合，等价转换，函数与方程等。
对本专题的复习要重视知识之间的联系，熟练掌握教材重视知识外，还加强对综合能力的训练，重视交汇知识的把握，做到通法与技巧相结合，合理运算，提高准确率。
三、专题讲解【一】定义与性质例1.（1）若抛物线22y x =上的两点A,B 到焦点的距离和是5，则线段AB 的中点到y 轴的距离是（2）设12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，若椭圆上存在点P ，使12120F PF ∠=，则椭圆离心率的取值范围是【解析】：（1）设A ，B ，P 在抛物线的准线l 上的射影分别是111,,A B P ，则由抛物线的定义知115AA BB AF BF +=+=，11115()22PP AA BB ∴=+=,∴P 到y 轴的距离51222d =-=。
（2）（法一）设12,,PF m PF n ==，由余弦定理得222(2)2cos120c m n mn =+-2222()()()32m n m n mn m n a +=+-≥+-=，即23(), 1.42c e a ≥≤< （法二）设椭圆的长半轴，短半轴，半焦距分别为：a,b,c.如图，在1Rt BFO ∆中，160,F BO ∠≥即130BFO ∠≤，这时111cos 2FO c BFO F B a ∠==≥又椭圆离心率小于1，故所求离心率的范围是,12⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， 【答案】（1）2 （2）,1⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【点评】：（1）说明在处理抛物线中有关“焦半径”长的问题时，借助抛物线的定义及平面几何的有关知识可简化问题的求解。
（2）求椭圆离心率的取值范围时，可利用122PF PF a +=这个定植，挖掘题目中隐含的不等关系，如2()2m n mn +≤；也可利用数形结合判定P 点位于短轴顶点B 时12F PF ∠最大，于是12120F BF ∠≥。
例2.(2009全国)已知椭圆C: 2212x y +=的右焦点F ，右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3,FA FB =，则AF =（ ）Ｂ．2Ｄ．3解析：设准线l 与x 轴交于点C ，由B 点向准线l 引垂线，垂足为D ，依据椭圆的第二定义有：2BF c BD a === ，又//BD AB BD FC FC AF ∴=， 223BD AF BF a AF c c-∴==-, 222;333b BD BF BD c ∴=⋅=== 32AF BF ∴==. 故选A ，点评：本题考查了椭圆的定义，数形结合思想的具体应用。
有效地考查了考生对圆锥曲线的相关知识的掌握程度以及如何恰当地应用相关方法解决问题。
【二】轨迹与方程例3（2009江西）已知点100(,)P x y 为双曲线 222218x y b b-=（b 为正常数）上任一点，2F 为双曲线的右焦点，过1P 作右准线的垂线，垂足为A ，连接2F A 并延长交y 轴于2P .(1)求线段12PP 的中点P 的轨迹E 的方程(2)设轨迹E 与x 轴交于B,D 两点，在E上任取一点11(,)Q x y 1(0)y ≠，直线QB,QD 分别交y 轴于M,N 两点，求证：以MN 为直径的圆过两定点。
解析：（1）由已知得28(3,0),(,0)3F b A b ，则直线2F A 的方程为：03(3)y y x b b=--，令x = 0得09y y =，即20(0,9)P y 。
设P （x ,y ），则00002952x x y y y y ⎧=⎪⎪⎨+⎪==⎪⎩，即002.5x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩代入22002218x y b b -=，得222241825x y b b -=即P 的轨迹E 的方程为22221225x y b b-=。
（2）在22221225x y b b-=中，令y = 0，得222,x b =，则不妨设(,0),,0)B D ，于是直线QB的方程为：)y x =， 直线QD 的方程为: )y x =，可得(0,),(0,)M N ，则以MN为直径的圆的方程为：2()()0x y y +-+=。
令y = 0 得22212212,2b y x x b =-而11(,)Q x y 在22221225x y b b -=上，则2221122,25x b y -=于是5x b =±，即以MN 为直径的圆过两定点(5,0),(5,0)b b -。
【点评】轨迹方程是反映曲线特征的重要标志，也是高考的重点。
在高考题型中常与圆锥曲线向量的运算结合在一起进行考查。
常见的方法：定义法，相关点法，点差法，交轨法与待定系数法，灵活利用常见曲线的性质求解轨迹方程。
【三】定值与范围例4（2009辽宁）已知，椭圆C 经过点3(1,)2A ，两个焦点为(1,0),(1,0)-. （1） 求椭圆C 的方程。
（2） E , F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 的斜率与AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 的斜率为定值，并求出这个定值。
解：(1)由题意，c = 1，可设椭圆方程为222211x y b b+=+，因为A 在椭圆上，所以2219114b b +=+，解得2233,4b b ==-（舍去）。
所以椭圆方程为22143x y +=。
设直线AE 方程为：3(1)2y k x =-+，代入22143x y +=，得2223(34)4(32)4()1202k x k k x k ++-+--=，设(,),(,)E E F F E x y F x y 。
因为点3(1,)2A 在椭圆上，所以2234()1232,342E E E k x y k x k k --==+-+，又直线AF 的斜率与AF 的斜率互为相反数，在上式中以 - k 代 k ，可得2234()1232,342F F F k x y k x k k +-==-+++，所以直线EF 的斜率F E EF F E y y k x x -=-()212E F F E k x x k x x -++==-，即直线EF 的斜率为定值，其值为12。
【点评】求解圆锥曲线方程的关键是能够通过题中的已知条件确定构成方程的各个元素。
直线与圆锥曲线问题一般要注重三个要点：一是要善于应用直线方程与圆锥曲线方程的联立；二是要注意注意直线与曲线的关系对相关参数的限制；三是要能够根据题意依据顺势思维进行求解。
在具体的问题中要注意有关方程思想和函数思想的应用。
例5 （2009陕西）已知双曲线C 的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>，离心率e =。
（1） 求双曲线C 的方程；（2） 如图，P 是双曲线C 上一点，A ，B 两点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别 位于第一，二象限，若1,,23AP PB λλ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求AOB ∆面积的取值范围。
【解析】：（法一）（1）由题意知，双曲线C 的顶点（ 0，a ）到渐近线0ax by -=的距离为5。
即5abc=，由2225,abccac a b⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎪⎪⎩得21abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以双曲线C的方程为2214yx-=。
（2）由（1）知双曲线C的两条渐近线方程为2y x=±。
设(,2),(,2),0,0.A m mB n n m n->>由,AP PBλ=得P点的坐标为2()(,),11m n m nλλλλ-+++将P点坐标代入2214yx-=，化简得2(1)4mnλλ+=设2,AOBθ∠=14tan()2,tan,sin2225πθθθ-=∴==，又111,,sin22()22AOBOA OB S OA OB mnθλλ∆==∴=⋅⋅==+记111()()1,,2,23sλλλλ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦则211()(1),2sλλ'=-由()0sλ'=得1λ=。
又189(1)2,(),(2)334s s s===，所以当1λ=时，AOB∆的面积取得最小值2，当13λ=时AOB∆的面积取得最大值，所以AOB∆面积的取值范围是82,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦。
（法二）（1）同一（2）设直线AB的方程为y kx m=+，由题意知2,0k m<>，由2y kx my x=+⎧⎨=⎩，得A点的坐标为2(,)22m mk k--，由2y kx my x=+⎧⎨=-⎩，得B点的坐标为2(,)22m mk k-++，由,AP PB λ=得P 点的坐标为121[(),()]122122m m k k k kλλλλ-++-++-+， 将P 点坐标代入2214y x -= ， 得2224(1)4m k λλ+=-， 设Q 为直线AB 与y 轴的交点， 则Q 点的坐标为（0 ，m ），AOB AOQ BOQ S S S ∆∆∆=+1122A B OQ x OQ x =⋅+⋅11()()2222A B m m m x x m k k =-=+-+221411()1242m k λλ=⋅=++- 以下同一【点评】 本小题主要考查双曲线的定义、标准方程、直线和双曲线位置关系等平面解析几何的基础知识，考查待定系数法、不等式的解法以及综合运用数学知识进行推理运算的能力.涉及到三角形的面积问题。