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线性空间练习题

、单项选择题

R3中下列子集( )不是R3的子空间.

A. w1={( x1,x2, x3) R I X2= 1} B . W2= {( x1, X2, X3)

R | X3= 0}

3 S 3

C. W3 ={( X1,X2,X3) RlX I=X2= X3} D . W4 ={( X i,X2,X3) RlX1 = X2「X3}

二、判断题

1、设V=P nXn则W={A∣A^ P n tIAl = 0}是V 的子空间.

2、已知V = {(a bi,c di)∣a,b,c,d ∙R}为R上的线性空间，则维(V)= 2.

3、设线性空间V的子空间W中每个向量可由W中的线性无关的向量组

〉1「2 J S线性表出，则维(W)= S

4、设W是线性空间V的子空间，如果一〉，「V, W且I-W,则必有G ÷

β2W.

三、1 .已知W1={ a b| a,b^ R} , W2={ a1 0| a1,c1E R},是R2x2的两个子空间，求

I0 0.丿£0丿

W1^ W2,W1W2的一个基和维数.

2•已知G关于基{此』2,%}的坐标为(1 , 0, 2),由基{%口2,6}到基{忙見见} "3 2 4、

的过渡矩阵为1 0 0 ,求G关于基{S的坐标.

Q 1 0」

四、设P n是数域P上的n维列向量空间，AP nn且A'=A,

记W1 ={AX I X E P n}, W2 ={X X € P n, AX =0},

1. 证明：W1,W2都是P n的子空间；

2. 证明：P n=W I 二W2.

线性变换练习题

一、填空题

1 •设；1, ；2；3是线性空间V的一组基，V的一个线性变换匚在这组基下的矩阵是

A =(a ij)3通，α=x1& +X2E2+ X3s3^V,则Cr 在基ε3^2^1下的矩阵

B = _________,而可逆矩阵T = 满足B=T ^1AT 在基每，名2, %下的坐标为.

2. 设A为数域P上秩为r的n阶矩阵，定义n维列向量空间P n的线性变换；「：' ■ P n,

1 1 n

则Cr (0) = ________ , dim (er —(0) )= ____ , dim(o^(P) )= ______ .

3. _____________________________________________ 复矩阵A=(a j)n>n的全体特征值的和等于 ,而全体特征值的积等于______________________________________________ .

4•设a是n维线性空间V的线性变换，且∙σ在任一基下的矩阵都相同，则σ为 _________ 变换.

5. 数域P上n维线性空间V的全体线性变换所成的线性空间L(V)为________ 维线性空间，它与__________

同构•

6. ________________________________________________________________________________________

设n阶矩阵A的全体特征值为W',打，f (X)为任一多项式，则f (A)的全体特征值为 _____________________________ .

二、判断题

1 .设;「是线性空间V的一个线性变换，>1,>2,…，∙ V线性无关，则向量组匚(-：*),；「(：• 2),…，匚CS)也

线性无关•( )

2 .设二为n维线性空间V的一个线性变换，则由C的秩+ ；「的零度=n ,有V= = (V)二二j (0).

( )

3. 在线性空间R2中定义变换σ(χ, y) = (1 ∙x, y),则二是R2的一个线性变换. ( )

4. 若二为n维线性空间V的一个线性变换，则二是可逆的当且仅当 C J (0) ={ 0}. ( )

5. 设二为线性空间V的一个线性变换，W为V的一个子集，若二(W)是V的一个子空间，则W必为V的子空

间. ( )

三、计算与证明

⅛ 0 1 A

1.设A= 1 1 a ,问a为何值时，矩阵A可对角化？

<1 0 0」

并求一个可逆矩阵X,,使X-1AX二上..

2 •在线性空间P n中定义变换二:C (Xι,X2,, X n)=(O, X2,, X n)

(1)证明：；「是P n的线性变换.

(2)求二(P n)与二JL(0).

(3)二(P n) = J(O)=P n.

3•若A是一个n阶矩阵，且A=A ,则A的特征值只能是0和1.

欧氏空间练习题

一、填空题

1•设V是一个欧氏空间，CE V ,若对任意口W V都有(Jn)=O y C= ______________ •

2•在欧氏空间R3中，向量α =(1,0,_1) , β =(0,1,0),那么(α , B ) = _____________ ，I cf= __________ 3•在n维欧氏空间V中，向量•在标准正交基1, 2,…，n下的坐标是(x1,x2,…，x n),那么(,i)= 巴=

_ > _ •

4. _____________________________________________________ 两个有限维欧氏空间同构的充要条件是•

5•已知A是一个正交矩阵，那么A JL = __________ , A = __________ •

二、判断题

仁在实线性空间R2中，对于向量I=(X l,X2)「=(y1,y2),定义C)=(X』* X2y2 1),那么R2构成欧氏空间。()

2•在n维实线性空间R n中，对于向量:=(a1,a2Λ,a n)J =(b1,b2,…，b n),定义(：「)=訥,则R n构成欧氏空间。()

3・:1, ；2,…，；n是n维欧氏空间V的一组基，(χ1, χ2,…,X n),( y1,y2,…,y n)与分别是V中的向量:/-在这组

基下的坐标，则G , ^ =X I y I X2 y^ ■亠X n y n。()

1

4.对于欧氏空间V中任意向量n, 7—.是V中一个单位向量。()

lηl

5・E1, V^n是n维欧氏空间的一组基，矩阵 A = (a j )nχn,其中a i j =(辱，匀)，则A是正定矩阵。() 6•设V是一个欧氏空间，∈V ,并且IGl=IB I ,则α+B与a—0正交。()

7•设V是一个欧氏空间，〉，一V ,并且C)=O ,则：■线性无关。()