高中数学必修4《正切函数的性质与图象》
正切函数的图象和性质_课件ppt_新课标高中(必修4)
tan1670 tan1730
y tan x在 ， 上是增函数， 2
167 173 180
0 0
4
0
5
2 tan tan 4 5 11 13 tan( ) tan( ). 4 5
反馈演练
1、比较大小：
0 < (1)tan138 _____tan143 。 13π 17π (2)tan()_____tan() > 4 5 ２、求函数 y 3 tan(3x 3 ) 的定义域，值域， 单调区间、对称中心坐标及渐近线方程。 0
非奇非偶函数
最小正周期是
3
补充练习
1. 已知
a tan1, b tan 2, c tan 3,则( c )
B.c<b<a C .b<c<a D. b<a<c
A.a<b<c
2.求y (tan x) 2 4 tan x 1 的值域； -5,+
3. 已知 是三角形的一个内角，且有 tan 1, 则的取值范围是 ( c )
例题分析
例３ 求函数
y tan 3x 的周期.
解：
因为 tan(3x ) tan 3x,
T 3 形如 y A tan(x ) k 的周期是 T
反馈练习：求下列函数的周期：
即tan3(x+ )=tan3x, f ( x ) f ( x) 3 3
O1
A O
-1
3
2 3
4 3
5 3
2
x
y
1
-4
-3
人教版高一数学必修四第一章正切函数的性质与图象
1．4.3 正切函数的性质与图象考点 学习目标核心素养 正切函数的图象 能借助单位圆中的正切线画出y ＝tan x 的图象数学抽象、直观想象 正切函数的性质掌握正切函数的性质数学运算、逻辑推理问题导学预习教材P 42－P 45，并思考下列问题： 1．正切函数有哪些性质？2．正切函数在定义域内是不是单调函数？函数y ＝tan x 的图象与性质解析式y ＝tan x图象定义域 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π2＋k π，k ∈Z值域 R 最小正 周期 π 奇偶性奇函数单调性在开区间⎝⎛⎭⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )上都是增函数对称性对称中心⎝⎛⎭⎫k π2，0(k ∈Z )(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正切函数的定义域和值域都是R .( ) (2)正切函数在整个定义域上是增函数．( ) (3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( ) (4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× 函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π－π2，k ∈ZB ．{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π6，k ∈ZD.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ∈R ，x ≠k π＋π3，k ∈Z答案：D函数y ＝tan ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最小正周期为( )A.π2 B ．π C ．2π D ．3π答案：A函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x －π4的单调递增区间是________．答案：⎝⎛⎭⎫－π4＋k π，3π4＋k π，k ∈Z正切函数的定义域求下列函数的定义域：(1)y ＝11＋tan x ；(2)y ＝lg(3－tan x )．【解】 (1)要使函数y ＝11＋tan x有意义，需使⎩⎨⎧1＋tan x ≠0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ∈R 且x ≠k π－π4，x ≠k π＋π2，k ∈Z .(2)因为3－tan x ＞0，所以tan x ＜ 3. 又因为tan x ＝3时，x ＝π3＋k π(k ∈Z )，根据正切函数图象，得k π－π2＜x ＜k π＋π3(k ∈Z )，所以函数的定义域是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |k π－π2＜x ＜k π＋π3，k ∈Z .求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y ＝tan x 有意义，即x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)求正切型函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx ＋φ”视为一个“整体”．令ωx ＋φ≠k π＋π2，k ∈Z ，解得x .函数 y ＝tan(2x －π4)的定义域是________．解析：因为 2x －π4≠π2＋k π(k ∈Z )⇒x ≠3π8＋k π2(k ∈Z )，所以定义域为{x |x ≠k π2＋3π8，k∈Z }．答案：{x |x ≠k π2＋3π8，k ∈Z }正切函数的单调性及其应用(1)求y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x ＋π4的单调区间．(2)比较tan 65π与tan ⎝⎛⎭⎫－137π的大小． 【解】 (1)由题意，k π－π2<12x ＋π4<k π＋π2，k ∈Z ，即k π－3π4<12x <k π＋π4，k ∈Z ，所以2k π－3π2<x <2k π＋π2，k ∈Z ，故单调递增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π－3π2，2k π＋π2(k ∈Z )．(2)tan 65π＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π5＝tan π5，tan ⎝⎛⎭⎫－137π＝－tan 137π＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－π7 ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π7＝tan π7，因为－π2＜π7＜π5＜π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上单调递增，所以tan π7＜tan π5，即tan 65π＞tan ⎝⎛⎭⎫－137π.(1)运用正切函数单调性比较大小的方法①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系．(2)求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)(A ，ω，φ都是常数)的单调区间的方法①若ω＞0，由于y ＝tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令k π－π2＜ωx ＋φ＜k π＋π2，k ∈Z ，解得x 的范围即可．②若ω＜0，可利用诱导公式先把y ＝A tan(ωx ＋φ)转化为y ＝A tan[－(－ωx －φ)]＝－A tan(－ωx －φ)，即把x 的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x 的范围即可．1．函数 f (x )＝13tan ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的单调递增区间为( )A.⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12，k ∈Z B.⎝⎛⎭⎫2k －12，2k ＋12，k ∈Z C.⎝⎛⎭⎫4k －12，4k ＋12，k ∈Z D.⎝⎛⎭⎫4k －32，4k ＋12，k ∈Z 解析：选 A ．由 k π－π2<π2x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )得 2k －32<x <2k ＋12(k ∈Z )．故 f (x )的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k －32，2k ＋12(k ∈Z )． 2．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π6的值域是________．解析：因为x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π6，所以x 2＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π3，所以tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4∈(1，3)．答案：(1，3)正切函数奇偶性和周期性的应用已知函数 f (x )＝sin x|cos x |.(1)求函数 f (x )的定义域； (2)用定义判断函数f (x )的奇偶性； (3)在[－π，π]上作出函数 f (x ) 的图象． 【解】 (1)由 cos x ≠0，得 x ≠k π＋π2(k ∈Z )，所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠kπ＋π2，k ∈Z }．(2)由(1)知函数 f (x )的定义域关于原点对称．因为 f (－x )＝sin （－x ）|cos （－x ）|＝－sin x|cos x |＝－f (x )，所以 f (x )是奇函数．(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，－π2<x <π2，－tan x ，－π≤x <－π2或π2<x ≤π，所以 f (x )在[－π，π]上的图象如图所示．正切型函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地，函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|，常常利用此公式来求周期．(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性，若对称，再判断f (－x )与f (x )的关系．画出 f (x )＝tan |x |的图象，并根据其图象判断其单调区间、周期性、奇偶性．解：f (x )＝tan |x |化为 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧tan x ，x ≠k π＋π2，x ≥0（k ∈Z ），－tan x ，x ≠k π＋π2，x <0（k ∈Z ）， 根据 y ＝tan x 的图象，作出 f (x )＝tan |x |的图象，如图所示，由图象知，f (x )不是周期函数，是偶函数，单调增区间为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2，⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，k π＋3π2(k ∈N )；单调减区间为⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，0，⎝⎛⎭⎪⎫k π－3π2，k π－π2(k ＝0，－1，－2，…)．1．函数y ＝1tan x ⎝⎛⎭⎫－π4＜x ＜π4的值域是( ) A ．(－1，1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－∞，1)D ．(－1，＋∞)解析：选B.因为－π4＜x ＜π4，所以－1＜tan x ＜1，所以1tan x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故选B.2．比较大小：tan13π4________tan 17π5. 解析：因为tan 13π4＝tan π4，tan 17π5＝tan 2π5，又 0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2内单调递增，所以 tan π4<tan 2π5，即 tan 13π4<tan 17π5.答案：<3．求函数 y ＝tan ⎝⎛⎭⎫－12x ＋π4的单调区间及最小正周期．解：因为 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4，所以函数仅存在单调递减区间． 由 k π－π2<12x －π4<k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－π2<x <2k π＋32π(k ∈Z )，所以函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的单调递减区间是⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π2，2k π＋32π，k ∈Z ，函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋π4的最小正周期 T ＝π⎪⎪⎪⎪－12＝2π.[A 基础达标]1．函数f (x )＝|tan 2x |是( ) A ．周期为π的奇函数 B ．周期为π的偶函数 C ．周期为π2的奇函数D ．周期为π2的偶函数解析：选D.f (－x )＝|tan(－2x )|＝|tan 2x |＝f (x )为偶函数，T ＝π2.2．(2019·河南林州一中月考)函数 y ＝1－tan ⎝⎛⎭⎫x －π4 的定义域为( )A.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π4，k ∈ZB.⎝⎛⎦⎤k π，k π＋π2，k ∈ZC.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈ZD.⎝⎛⎦⎤k π－π4，k π＋π4，k ∈Z解析：选 C ．由 1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，得 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4≤1，所以 k π－π2<x －π4≤k π＋π4，k∈Z ，解得 k π－π4<x ≤k π＋π2，k ∈Z ，故所求函数的定义域为⎝ ⎛⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π2，k ∈Z ，故选 C.3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫12x －π3在一个周期内的图象是下图中的( )解析：选A.由函数周期T ＝π12＝2π，排除选项B 、D.将x ＝23π代入函数解析式中，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×23π－π3＝tan 0＝0，故函数图象与x 轴的一个交点为⎝⎛⎭⎫23π，0.4．与函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象不相交的一条直线是( )A ．x ＝π2B ．x ＝－π2C ．x ＝π4D ．x ＝π8解析：选D.当x ＝π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 5π4＝1；当x ＝－π2时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3π4＝1；当x ＝π4时，y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan 3π4＝－1；当x ＝π8时，y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＝tan π2，不存在．5．在(0，2π)内，使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫π4，π2 B.⎝⎛⎭⎫54π，32π C.⎝⎛⎭⎫π4，π2∩⎝⎛⎭⎫54π，32π D.⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π 解析：选 D ．因为 x ∈(0，2π)，由正切函数的图象，可得使 tan x >1 成立的 x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫54π，32π. 6．函数y ＝3tan(π＋x )，－π4<x ≤π6的值域为________． 解析：函数y ＝3tan(π＋x )＝3tan x ，因为正切函数在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数， 所以－3<y ≤3，所以值域为(－3， 3 ]．答案：(－3，3]7．函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的单调减区间为________． 解析：因为 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，所以原题即求函数 y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4的单调增区间．由 k π－π2<x － π4<k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－π4<x <k π＋3π4，k ∈Z ，即函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 答案：⎝⎛⎭⎫k π－π4，k π＋3π4，k ∈Z . 8．函数y ＝tan x 2满足下列哪些条件________(填序号)． ①在⎝⎛⎭⎫0，π2上单调递增； ②为奇函数；③以π为最小正周期；④定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠π4＋k π2，k ∈Z . 解析：令x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则x 2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， 所以y ＝tan x 2在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增正确；tan ⎝⎛⎭⎫－x 2＝－tan x 2，故y ＝tan x 2为奇函数； T ＝πω＝2π，所以③不正确； 由x 2≠π2＋k π，k ∈Z ，得{x |x ≠π＋2k π，k ∈Z }， 所以④不正确．答案：①②9．求函数 y ＝lg tan x ＋9－x 2的定义域．解：要使 y 有意义，则有⎩⎨⎧tan x >0，x ≠k π＋π2（k ∈Z ），9－x 2≥0，即⎩⎨⎧k π<x <k π＋π2（k ∈Z ），－3≤x ≤3 解得 －3≤x <－π2或 0<x <π2. 故所求的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－3，－π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2. 10．比较下列两个正切值的大小：(1)tan 167°，tan 173°；(2)tan ⎝⎛⎭⎫－11π4，tan ⎝⎛⎭⎫－13π5. 解：(1)因为90°<167°<173°<180°，y ＝tan x 在(90°，180°)上为增函数，所以tan 167°<tan 173°.(2)因为tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4＝tan π4， tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5＝tan 2π5， 且0<π4<2π5<π2，y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数， 所以tan π4<tan 2π5，即tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－11π4<tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13π5. [B 能力提升]11．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则 ( ) A ．0＜ω≤1 B ．－1≤ω＜0C ．ω≥1D ．ω≤－1解析：选B.因为y ＝tan ωx 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内是减函数， 所以ω＜0且T ＝π|ω|≥π. 所以|ω|≤1，即－1≤ω＜0.12．已知点 M (－3，－1)，若函数 y ＝tanπ4x [x ∈(－2，2)]的图象与直线 y ＝1 交于点 A ，则|MA |＝__________．解析：令 y ＝tan π4x ＝1，解得 x ＝1＋4k ，k ∈Z ，又 x ∈(－2，2)，所以 x ＝1，所以函数 y ＝tan π4x 与直线 y ＝1 的交点为 A (1，1)，又 M (－3，－1)，所以|MA |＝（1＋3）2＋（1＋1）2＝2 5.答案：2 513．设函数 f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫x 2－π3. (1)求函数的定义域、最小正周期和单调区间．(2)求不等式 f (x )≤ 3 的解集．解：(1)根据函数 f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3，可得x 2－π3≠k π＋π2，k ∈Z ，得 x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠2k π＋5π3，k ∈Z . 它的最小正周期为π12＝2π. 令 k π－π2<x 2－π3<k π＋π2，k ∈Z ，得 2k π－π3<x <2k π＋5π3，k ∈Z . 故函数的增区间为⎝⎛⎭⎪⎫2k π－π3，2k π＋5π3，k ∈Z . (2)求不等式 f (x )≤ 3，即 tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－π3≤ 3， 所以 k π－π2<x 2－π3≤k π＋π3，k ∈Z ， 求得 2k π－π3<x ≤2k π＋4π3，k ∈Z ， 故不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋4π3，k ∈Z . 14．(选做题)若x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π4，求函数y ＝1cos 2x ＋2tan x ＋1的最值及相应的x 的值． 解：y ＝1cos 2x＋2tan x ＋1 ＝cos 2x ＋sin 2x cos 2x＋2tan x ＋1 ＝tan 2x ＋2tan x ＋2＝(tan x ＋1)2＋1.因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4， 所以tan x ∈[－3，1]，所以当tan x ＝－1，即x ＝－π4时，y 取最小值1，当tan x ＝1， 即x ＝π4时，y 取最大值5.。
高中数学复习课件-高中数学必修4课件 1.4.3正切函数的性质与图象
1.能借助单位圆中的正切线画出 y=tan x 的图象. 2.理解正切函数的定义域、值域、周期性、奇偶性和单调性,并能应用.
正切函数的图象与性质 (1)图象:如图所示.
正切函数 y=tan x 的图象叫做正切曲线.
(2)性质:如下表所示.
性质
函数
y=tan x
定义域
(1)y=-tan
3
x
3 5
;
(2)y=|tan x|.
分析:(1)利用 T= 求解;(2)画出函数图象利用图象法求解.
|ω|
解:(1)∵ω= ,∴最小正周期 T= =3.
3
3
(2)函数 y=|tan x|的图象是将函数 y=tan x 图象 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折 上去,其余不变,如图所示.
2
4
答案:B
4
函数
y=tan
x
4
的定义域为
.
解析:要使函数有意义,自变量 x 的取值应满足 x+ ≤kπ+ (k∈Z),解得
4
2
x≠kπ+ .
4
答案:x|x
k
π 4
,
k
Z}
5 比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
解:∵tan 2=tan(2-π),tan 3=tan(3-π),
错解:∵1+tan x≠0,即 tan x≠-1,
∴x≠kπ-
4
(k∈Z),即
y=
1
1 tanx
的定义域为
x|x
k
π 4
,
k
Z}.
错因分析:错解忽略了 tan x 本身对 x 的限制.
高中数学必修4;正切函数的图象和性质_课件ppt_
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２单、调求区函间数、对y 称3t中an(心3x坐标3 )及的渐定近义线域方，程值。域，
第十二页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
例题分析
例３ 求函数 y tan 3x 的周期.
解： 因为tan(3x ) tan 3x,
即tan3(x+ )=tan3x,
3
f (x ) f (x)
4
,
0
第九页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
例5画出函数 y tan x的图像，并指出其单调区间、奇偶性和周期。
3
2
2
3
2
3 2
2
3
2
第十页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
例6、比较下列每组数的大小。
解: (1)
（2）tan(-
11π) 4
与
tan(-
13π) 5
900 1670 1730 1800
24
例2关于正切函数 y tan x, 下列判断不正确的是（ ）
• A 是奇函数
• B 在整个定义域上是增函数
• C 在定义域内无最大值和最小值
• D 平行于 x轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等
例3．函数 y tan(3x的) 一个对称中心是( )
A.9Biblioteka ,0B.4
,
0
C.
6
,
0
D.
k
3
,
k
2
(k
Z
)
第十四页，编辑于星期日：二十三点 三十九分。
反馈演练
1、 解不等式 1+tanx 0
2、解不等式：1- tan x 0
3、解不等式：tan(x ) 3
正切函数的性质与图象 课件
23
解：原函数要有意义，自变量x应满足
即
x
1 3
2k, k
Z
2
x
3
2
k , k
Z
所以，原函数的定义域是{x
|
x
1 3
2k,
k
Z}.
由于
tan[2
(x
2)
3
]
tan(2
x
3
)
tan(2
x
3
)
所以原函数的周期是2.
由
2
k
2
x
3
2
k , k
Z
所解以得原函数 53的单2调k 递x增区13间是2k,(k53
Z
(1)tan x 0; (2)tan x 0; (3)tan x 0
解：
(1) x (k , k )
2
(2) x k k Z
kZ
y y tan x
(3) x ( k , k )
2
k Z 2
2
o 2
x 2
例2.求函数 y tan( x ) 的定义域、周期和单调区间。
质
4 y tan x
y
7 4
3 2
5 4
3 4
2
4
0
4
2
3 4
5 4
3
2
x
y
7 4
5 4
(0,1)
·
(- , 0)
· · (
3 4
,4 1)
4
O
4
3 4
x
5 4
2
定义域：
值域： R
x
x R且x 4
周期性：
高中数学必修四 第1章 三角函数课件 1.4.3 正切函数的性质与图象
[规律方法] 正切型函数单调性求法与正、余弦型函数求法一 样，采用整体代入法，但要注意区间为开区间且只有单调增区 间或单调减区间．利用单调性比较大小要把角转化到同一单调 区间内．
【活学活用 2】 (1)求函数 y＝3tanπ4－2x的单调递减区间． (2)比较 tan 65π 与 tan－173π的大小．
课堂小结 1．正切函数的图象
正切函数有无数多条渐近线，渐近线方程为 x＝kπ＋π2，k∈Z， 相邻两条渐近线之间都有一支正切曲线，且单调递增．
2．正切函数的性质 (1)正切函数 y＝tan x 的定义域是xx≠kπ＋π2，k∈Z ，值域是 R. (2)正切函数 y＝tan x 的最小正周期是 π，函数 y＝Atan(ωx＋ φ)(Aω≠0)的周期为 T＝|ωπ |. (3)正切函数在－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上递增，不能写成闭区 间．正切函数无单调减区间.
xπ6＋2kπ≤x≤43π＋2kπ，k∈Z
.
(3)令2x－π3＝0，则 x＝23π. 令2x－π3＝π2，则 x＝53π. 令2x－π3＝－π2，则 x＝－π3. ∴函数 y＝tan2x－π3的图象与 x 轴的一个交点坐标是23π，0， 在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是 x＝－π3， x＝53π.从而得函数 y＝f(x)在一个周期－π3，53π内的简图(如图)．
【例 2】 (1)求函数 y＝tan－12x＋π4的单调区间； (2)比较 tan 1、tan 2、tan 3 的大小． [思路探索] (1)可先将原式转化为 y＝－tan12x－π4，从而把12x－π4 整体代入－π2＋kπ，π2＋kπ，k∈Z 这个区间内，解出 x 便可． (2)可先把角化归到同一单调区间内，即利用 tan 2＝tan (2－π)， tan 3＝tan (3－π)，最后利用 y＝tan x 在－π2，π2上的单调性判 断大小关系．
高一数学人必修四课件时正切函数的性质与图象
THANKS
感谢观看
在受迫振动中，可以利用正切函数表示驱动力与时间 的关系，从而分析受迫振动的响应情况，如共振现象 等。
06
总结回顾与拓展延伸
重点难点总结回顾
01
正切函数的定义域、值域及周期性
正切函数在每个开区间(kπ-π/2, kπ+π/2) (k∈Z)内有定义，值域为全
体实数，周期为π。
02
正切函，形状类似于正弦函数和余弦函数
学生有时会将正切函数与其他三角函数混淆，导致解题错误。纠正方法是加强对三角函数 的理解和记忆，明确它们之间的区别和联系。
忽视周期性
正切函数具有周期性，但学生在解题时有时会忽视这一点，导致答案不完整或错误。纠正 方法是始终牢记正切函数的周期性，并在解题时特别注意。
拓展延伸：反三角函数简介
反三角函数的定义
通过万能公式将正弦、余弦函数转换为正切函数，如 sinθ=(2tan(θ/2))/(1+tan^2(θ/2))，cosθ=(1-tan^2(θ/2))/(1+tan^2(θ/2))。
05
正切函数在实际问题中应用
角度计算问题
利用正切函数的性质，可以解 决与角度相关的问题，如计算 角度、判断角的大小关系等。
高一数学人必修四课 件时正切函数的性质 与图象
汇报人：XX 20XX-01-22
contents
目录
• 正切函数基本概念 • 正切函数图象特征 • 正切函数性质分析 • 正切函数与其他三角函数关系 • 正切函数在实际问题中应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
正切函数基本概念
正切函数定义
01
正切函数是三角函数的一种，表 示直角三角形中一个锐角的对边 与邻边的比值。
课件正切函数的图像和性质河南省新乡市-中学_人教版高中数学必修四PPT课件_优秀版
]
减函数
奇函数
2
对称轴： x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
y=cosx
y
1
0
2
3 2 5 x
2
2
-1
xR
y [1,1]
x 2k 时， ymax 1 x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ] 减函数
偶函数
2
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
正切函数
的性质：
取 x∈ (-π/2,π/2) ,先画函数y=tanx 在
函数 图像 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
2
0
2
-1
3 2 5 x
2
2
xR
y [1,1]
x
2
2k 时， ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k
向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx
1、根据正切函数的定义域和周期， 向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx
1
你能否得出一般性的结论？ 取 x∈ (-π/2,π/2) ,先画函数y=tanx 在
x
取 x∈ (-π/2,π/2) ,先画函数3y=tanx 在 2
2
O
2
3 2
向右平移，每次平移π个单位长度就得到y=tanx
高中数学北师大版必修4《第1章77.2正切函数的图像与性质》课件
7
思考 2：能否说正切函数在整个定义域内是增函数？ [提示] 不能．正切函数 y＝tan x 在每段区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈ Z)上是增函数，但不能说正切函数在其整个定义域内是增函数．
8
1．若角 α 的终边上有一点 P(2x－1,3)，且 tan α＝15，则 x 的值为
的点都是对称中心．]
10
3．函数 y＝tan 2x 的定义域为________．
xx≠k2π＋π4，k∈Z
[由正切函数的定义知，若使 y＝tan 2x 有
意义，则 2x≠kπ＋2π(k∈Z)．解得 x≠k2π＋π4(k∈Z)．]
11
4．函数 y＝tan x，x∈0，4π的值域是________． [0,1] [函数 y＝tan x 在0，π4上是增加的，所以 ymax＝tanπ4＝1， ymin＝tan 0＝0.]
32
2．函数 f(x)＝tanx＋4π的单调递增区间 为( )
A．kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z B．(kπ，(k＋1)π)，k∈Z C．kπ－34π，kπ＋π4，k∈Z D．kπ－π4，kπ＋34π，k∈Z
C [由 kπ－π2<x
＋π4<kπ＋2π，k∈Z.
解得
kπ
－
3π 4
<x<kπ＋π4，故选 C.]
35
∴当 k＝2 时，θ＝π3； 当 k＝1 时，θ＝－π6. ∴满足题意的 θ 为π3或－π6.
36
谢谢大家
14
1．解决本题的关键是熟记正切函数的定义，即 tan α＝ba. 2．已知角终边上的一点 M(a，b)(a≠0)，求该角的正切函数值， 或者已知角 α 的正切值，求角 α 终边上一点的坐标，都应紧扣正切函 数的定义求解，在解题过程中，应注意分子、分母的位置．
高一数学正切函数的性质与图像
y sin( x ) 的图象的影响 探究一：对
y sin( x )的图象，可以看作是把正 弦曲线 y sin x 上所有的点向左（当
＞0时）或向右（当 ＜0时）平行 移动| |个单位长度而得到.
上述变换称为平移变换
探究二：（
＞0）对 y sin( x )的图象的影响
3.研究正切函数问题时,一般先考察
( , )的情形, 2 2
再拓展到整个定义域.
1.5函数y A sin( x )的图象(1)
y sin( x ) 的图象的影响 探究一：对
y
o
3
2 π
2 3
7 6
5 3
2π x
6
y sin( x ) 3
思考3：若将函数 y sin x 的图象先作振 幅变换，再作周期变换，然后作平移变 换得到函数 y 3 sin( 2 x )的图象，具体如 3 何操作？ y sin x 纵坐标变到原来的3倍 y = 3 sin x
横坐标变到原来的
p 左移 6
1 2
y = 3 sin 2x
.exe
y sin( 2 x
| MP | y sin
3
)
po p p 6 12 3 2
7 p 5p 12 6
π
2π
x
-2-
p y = 2 sin(2x + ) 3
y
2-
y sin( 2 x
7 p 5p 12 6
3
)
po p p 6 12 3 2
| MP | y sin
上述变换称为周期变换
人教版高中数学必修4 1.4.3正切函数图像与性质(共27张ppt)
复习回顾
利用正弦线
作y=sinx, y=cosx的图像 五点作图法
借助图像观察性质
值域、周期性、奇偶性、单调性、对称性
性质的应用
y 1
-6π
-4π
-2π
-5π
-3π
-π
π
O
-1
y=sinx
3π
5π
2π
4π
x 6π
性质
图像
性质
新课探究 思考1：什么是正切函数？
思考2：正切函数的定义域？
及对称中心.
23
例2：解不等式 tan x 3
例3：比较大小：tan( 13π)和 tan( 17π)
4
5
课堂小结：
正
渐
切
近 线
函
数
渐
图
近 线
像
性质 :
⑴ 定义域： ⑵ 值域： ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：
{x | x k, k Z}
R
2
奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性： 在每一个开区间
例题：
（1）求函数y＝tan(x )的定义域.
4 （2）求y tan 3x的定义域.
总结：对于函数y Atan(x )的定义域的求法：
思考3:正切函数具有奇偶性吗？
思考4：正切函数是否为周期函数，如果是， 周期为多少？
思考5：
例题：求下列函数的周期
(1) f (x) 3tan(2x );
0
8
4
3 8
2
x
－1
平移正切线
用光滑的曲线连接
将图像拓展到 整个定义域内 渐近线方程为：
(完整word)必修四正切函数的性质与图象(附答案)
正切函数的性质与图象［学习目标］ 1.了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质.2。
能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．知识点一正切函数的图象1．正切函数的图象:2．正切函数的图象叫做正切曲线．3．正切函数的图象特征：正切曲线是被相互平行的直线x＝错误!＋kπ，k∈Z所隔开的无穷多支曲线组成的．思考我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图,你能类似地画出函数y＝tan x，x∈［－错误!，错误!]的简图吗？怎样画．答案能．找三个关键点:(错误!，1），(0,0）,(－错误!，－1)，两条平行线：x＝错误!，x＝－错误!.知识点二正切函数图象的性质1．函数y＝tan x（x∈R且x≠kπ＋错误!,k∈Z）的图象与性质见下表：解析式y＝tan x图象定义域{x|x∈R，且x≠kπ＋错误!，k∈Z｝值域R周期π奇偶性奇单调性在开区间错误!(k∈Z)内都是增函数2.函数y＝tan ωx（ω≠0）的最小正周期是错误!。
思考正切函数图象是否具有对称性？如果具有对称性，请指出其对称特征．答案具有对称性，为中心对称，对称中心为（错误!，0），k∈Z。
题型一正切函数的定义域例1 (1）函数y＝tan(sin x)的定义域为 ,值域为．答案R[tan（－1），tan 1］解析因为－1≤sin x≤1，所以tan(－1)≤tan(sin x)≤tan 1，所以y＝tan（sin x）的定义域为R，值域为［tan（－1），tan 1]．（2）求函数y＝tan(2x－错误!）的定义域．解由2x－错误!≠错误!＋kπ,k∈Z得，x≠错误!π＋错误!kπ，所以y＝tan（2x－错误!)的定义域为｛x|x≠错误!＋错误!kπ，k∈Z｝．跟踪训练1 求函数y＝错误!＋lg（1－tan x)的定义域．解由题意得错误!即－1≤tan x〈1.在错误!内，满足上述不等式的x的取值范围是错误!.又y＝tan x的周期为π，所以所求x的范围是［kπ－错误!，kπ＋错误!)（k∈Z)即函数定义域是错误!(k∈Z）．题型二求正切函数的单调区间例2 求函数y＝tan错误!的单调区间及最小正周期．解y＝tan错误!＝－tan错误!，由kπ－错误!〈错误!x－错误!<kπ＋错误!（k∈Z），得2kπ－错误!<x<2kπ＋错误!π，k∈Z，∴函数y＝tan错误!的单调递减区间是错误!,k∈Z.周期T＝错误!＝2π。
正切函数的性质与图象 课件
π
4
-2 的单调区间;
(2)比较 tan 1,tan 2,tan 3 的大小.
π
分析:解(1)可先用诱导公式将 x 的系数化为正数,再把 2x- 看作
4
整体,代入相应的区间,解出 x 的范围;解(2)可先把角化到一个单调区
间中,再利用单调性比较大小.
解:(1)原函数 y=-3tan 2π
π
π
π
正切函数的性质与图象
正切函数的图象与性质
(1)图象:如图所示.
π
正切函数y=tan x,x∈R,x≠ +kπ,k∈Z的图象叫做正切曲线.
2
(2)性质:如下表所示.
函数
性质
y=tan x
x x ≠ + k,k∈Z
2
定义域
值域
周期
奇偶性
单
调
性
对
称
性
R
π
奇函数
增
π
2
2
- + π, + π (k∈Z)
奇偶性、周期性.
分析:画y=tan x的图象→y=|tan x|的图象→研究性质
解:由 y=|tan x|得,
π
tan,π ≤ < π + (∈Z),
2
y=
其图象如图:
π
-tan,- + π < < π(∈Z),
2
由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数;
π
单调递增区间为 π, + π (k∈Z),单调递减区间为
π
π
2
2
显然- <2-π<3-π<1< ,
π π
高一数学必修正切函数的性质和图象(共4张PPT)
解：
3所以正，切原函函数数的的性定质义和域图是象 3所以正原切函函数数的的周性期质是和2图. 象
所解以：原函数的要周有期意是义，2. 自变量x应满足 (1)x(k, k) 解3 ：正原切函函数数要的有性意质义和，图自象变量x应满足
kZ
2 所求以函原 数函数的周期是2. 的定义域、周期和单调区间。
观 正察切图函象 数，写出满足的下性列质条：件的x值的范围：
解得 532kx132k,kZ
所以原函数的单调递增区间是
(532k,132k),kZ
4
2
值域： R
周期性： 正切函数是周期函数，
周期是
2
2
o 2
x 2
奇偶性： 奇函数
单调性： 在 (k,k) kZ
22 内是增函数
对称性： 对称中心是(k ,0),k Z
2
对称轴呢？ 2
例1.观察图象，写出满足下列条件的x值的范围：
( 1 ) t a n x 0 ; ( 2 ) t a n x 0 ; ( 3 ) t a n x 0
所正以切原 函函数数的周期是的2.性质：
观 正察切图函象 数，写出满足的下性列质条：件的x值的范围： (3)x( k,k) kZ 3求函正数切函数的性质和图象 的定义域、周期和单调区间。
2
2
2
y ytanx
o 2
x 2
3
例2.求函数 y tan( x) 的定义域、周期和单调区间。
23
解：原所即函以数，要原有x函意数义13 的，2定自k,变义k量域xZ是应{满x足| x132x2k,k3Z2}.k,kZ 由于 ta n [2 (x 2 ) 3 ] ta n (2 x 3 ) ta n (2 x 3 ) 所以原函数的周期是2. 由 2k2x32k,k Z
高中数学：正切函数的性质和图象课件新课标人教A版必修4.ppt
图象，具体应如何操作？
22
y
O
x
2
2
思考2：右图中,直线
x= 和x= 2
2
与正切函
数的图象的位置关系
如何？图象的凸向有
2
什么特点？
y
O
x
2
思考3：结合正切函数的周期性, 如何画
出正切函数在整个定义域内的图象？
y
2
2
O
x
2
2
思考4：正切函数y=tanx,x∈R,x≠ +kπ的图象 叫做正切曲线.因为正切函数是奇函数2 ，所以正切
2
要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲 线.
3.研究正切函数问题时,一般先考察(
2
,
2
的)
情形, 再拓展到整个定义域.
作业 P45 练习 T2，3，4，6.
作法如下： ①作直角坐标系，并在 y 轴左侧作单位圆； ②把单位圆右半圆分成8等份，分别在单位圆
中作出正切线； ③把 x 轴上 到 这一段分成8等份。分别作出：
tan(x ) tan x, x k , k Z
2
∴正切函数是周期函数，周期是π.
思地,考函3数:函y数 tyan(tanx(2x )(8
)的周期T=__2 ,一 般 0)的周期T=____.
思考4：根据相关诱导公式，你能判断正 切函数具有奇偶性吗？
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k,k Z
1.4.3 正切函数的图象与性质
问题提出
1.正、余弦函数的图象是通过什么方法 作出的？
2.正、余弦函数的基本性质包括哪些内 容？这些性质是怎样得到的？
知识探究（一）：正切函数的性质
5.4.3正切函数的图像和性质_共15张PPT课件
正弦函数和余弦的图象与性质
y=sinx
y=cosx
y
y
图
1
1
象
o
x
o
x
-1
-1
定义域
R
R
值域
[-1，1]
[-1，1]
性 周期性 奇偶性
T=2 奇函数
T=2 偶函数
质 单调性
[
2
2k ,
2
2k ]增函数
[
2k ,2k ]增函数
[ 2k , 3 2k ]减函数 [2k , 2k ]减函数
17
5
tan
2
5
又：
内单调递增，
课堂小结： 1、数学知识：
3
2
2
正切函数的图象叫做正切曲线。
函数 定义域 值域 周期性 奇偶性
单调性
正切函数
{x|xk ,kZ}
2
R
周期为π
奇 函数
在(k,k)k Z
2
2
内都是增函数
对称中心
( k , 0) kZ 2
2、数学思想方法：数形结合。
作业
习题5.4 P213 T7-T9
思考3：根据相关诱导公式，你能判断正切函数具 有奇偶性吗？
提示:
由诱导公式
tan(x) tan x, x R, x k, k
知
2
正切函数是奇函数，图象关于原点对称.
知识探究：正切函数的图像
x的终边与如单图位，圆设的x 交 0点, 2B，(x在0,直y0)角.过坐点标B中作画x轴出的角 垂线，垂足为M;过点A(1,0)作x轴的垂线与角x 的终边交于点T,则tanx等于图中哪条线段有什么 关系，说明了什么？
高B数学必修四课件正切函数的图象与性质
正切函数的图象关于原点对称。利用这一性质，可以在解决一些对称性问题时 简化计算过程。
单调性在判断增减性中运用
单调区间判断
正切函数在其定义域内的每一个周期内都是单调递增的。利 用这一性质，可以判断正切函数在某个区间内的单调性。
增减性应用
通过判断正切函数的单调性，可以确定函数在某个区间内的 增减性，从而解决一些与增减性相关的问题，如比较大小、 求最值等。
正割函数和余割函数可以分别表示为$sec x = frac{1}{cos x}$和$csc x
= frac{1}{sin x}$，它们与正切函数有密切关系，如$tan^2 x + 1 =
sec^2 x$和$1 + cot^2 x = csc^2 x$。
02
正切函数图像特点分析
图像形状与变化趋势
正切函数图像呈现周期性变化 ，周期为π。
示例
将y=tan(x)的图像先沿x轴向右平移π/6个单位，再在x轴方向缩放2倍，最后在y轴方向缩放3倍，得到 y=3tan(2x-π/6)的图像。
05
正切函数在实际问题中应用举例
角度计算问题解决方法
利用正切函数的定义求解角度
通过已知的两边长度，利用正切函数的定义求解角度，例如在直角三角形中已知对边和邻边长度，可 求解角度。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结回顾
正切函数的定义域和值域
正切函数的周期性
正切函数定义域为{x|x≠kπ+π/2,k∈Z}，值 域为R，即一切实数。
正切函数是周期函数，最小正周期为π。
正切函数的图象
正切函数的性质
正切函数的图象是中心对称图形，对称中 心是(kπ/2,0)，k∈Z。在(kπ-π/2,kπ+π/2) 区间内，图象是连续不断的光滑曲线。
高中数学必修4讲义：第一章1.41.4.3正切函数的性质与图象Word版含答案
1. 4.3正切函数的性质与图象预习课本P42〜45,思考并完成以下问题(1) 正切函数有哪些性质？(2) 正切函数在定义域内是不是单调函数?［新知初探］正切函数y= tan x的性质与图象y= tan x图象L2TV2n审^：＜7T In *1 1■ ■定义域n“xx€ R，且x M k n+ 2，k€ Z ?值域R周期最小正周期为n奇偶性奇函数单调性在开区间*n-2，k n+ 2 (k€ Z)内递增［点睛］正切函数的单调性：正切函数在每一个开区间 2 + k n -+ M/k€ Z)上，都是从一8增大到+ 故正切函数在每一个开区间一n + k n,寸+ k n (k € Z)上是增函数，但不能说函数y= tan x在定义域内是增函数.［小试身手］1. 判断下列命题是否正确. (正确的打“V”，错误的打“x”)(1) 正切函数的定义域和值域都是R.( )(2) 正切函数在整个定义域上是增函数. ()(3) 正切函数在定义域内无最大值和最小值. ()课前口左学习.基乾才能楼高(4) 正切函数的图象既是轴对称图形，也是中心对称图形. ()答案：⑴X （2）X ⑶V ⑷x2. 函数y= tan x—n的定义域是()A. lx € R x 丰 k n+ ¥，k€ Z >B. x € R x丰k n—5n，k€ Z >C . ix € R x 丰 2k n+ 孝k € Z f5 n 、厂 rD . x € R x 丰 2k n— y, k € Z ；答案：A3. 函数f(x) = tan x+ 4的单调递增区间为()A. k n—扌，k n+n , k€ ZB. (k n, (k+ 1) n,) k€ ZC. ［k n—普,k n+n ) k € ZD . k n—n，k n+ 3n , k € Z答案：C-n4. _______________________________________ 函数y= tan x, x € 0, 4的值域是. 答案：［0,1］［解］(1)由x+ k 7+寸化€ Z)得,X M k n+n，k € Z，所以函数y= tan x + ；的定义域为f n Ix x工k n+ n，k € Z r .(1)y= tan x+ ：；(2)y= 3 —tan x.⑵由 3 —tan x> 0 得，tan x< 3.结合y= tan x的图象可知，在「扌，n 上,满足tan x w 3的角x应满足—f vx wfv 2 3所以函数y= J ；3 — tan x的定义域为n n . * rlix k n—2<x w k n+ 3，k€ Z F .I 2 3丿求正切函数定义域的方法(1) 求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y= tan x有意义即X M n+ k n k€乙而对于构建的三角不等式，常利用三角函数的图象求解.(2) 求正切型函数y= Atan( ®x+妨(A M 0, w>0)的定义域时，要将“》+扩视为一个“整体”.令3x+严k n+ n，k € Z,解得x.［活学活用］求函数y= 1一的定义域.1 + tan x解：要使函数有意义，则有 1 + tan X M 0,/• tan X M—1 x M k n—n M X M k n+ n, k € 乙4 2ix x M k n— n且x M k n+ k € Z‘.与正切函数有关的周期性、奇偶性问题［典例］⑴求f(x)= tan 2x +才的周期；⑵判断y= sin x+ tan x的奇偶性.［解］(1) •/ tan 2x+ n+ n= tan 2x + ；, 即tan 2^+2 +秤伽丘+3)，因此，函数y=11 + tan x的定义域为••• f(x)= tan 2x +扌的周期是n(2)定义域为lx x丰k n+n, k€ Z為关于原点对称，■/ f(—x) = sin(—x) + tan( —x) = —sin x—tan x =—f(x),•它是奇函数.［活学活用］1 •函数y= tan訴+ 3的最小正周期是()A. 4B. 4 nC. 2 nD. 2解析：选D T=n= n2= 2.n n22.已知函数1 f(x)= tan x + x,tan x若f( a=5,贝y f( — a=解析：f(x)的定义域为［k n— n，k n」U ［kn, k n+n)k€ Z) •可知f(x)的定义域关于原点对称•又f(-x)=tan(-x)+taT—T = - tan x+盘=—f(x)，• f(x)为奇函数.••• f(—a=—f(a=—5.答案：—5题点一：求单调区间1.求函数y= tan —；x+ 4的单调区间. 解：y= tan 匕丁乂+ ；=一tangx—；由k n—n<2x—才“冗+訴^可,得2k n-f<x<2k讦了“ Z，•••函数y= tan —2x+才的单调递减区间是2k n—2, 2k n+丰，k€ Z.题点二：比较大小2.比较tan —宁与tan —号5的大小.解: tan —= tan —4 n+ 宁=tan3j-n=—tan^ , tan —= tan —2 n—卑(2 n 2 ntan — E =—怡肓，o<吴竺n，且y= tan x在o, n内递增，4 5 2 22 n• tan —v tan ,4 5tan n> —tan-r4 5题点三：求最值或值域解：令u= tan x,因为|x|w 3，所以u€ [ —3, 3 ],3所以函数化为y= u2—2u.对称轴为u= 1 € [—3, 3 ].所以当u= 1 时，y min= 1 2—2 X 1 = —1.当U = —-J3时，y max= 3+ 2”.；：3.所以f(x)的值域为[—1,3 + 2 3 ].2 运用单调性比较大小关系.课后艮级训练.歩步提升陡力3.已知f(x) = tan* 1 2x—2tan x |x|w 扌，求f(x)的值域.A . x =nB . x =—n层级一学业水平达标1 .函数 y =— 2+ tan ^x +n 的定义域是(r 5 n \2k n — 3 n, 2k n+ 3 , k € ZB . 2k n —n , 2k n+ 舟冗,k € Z5 n 、k n — 3n, k n+ 3 , k € Z k n —3, k n+ 3n , k € Z解析：选A 由-n+ k n< 2x +扌< 亍+山k € Z ,解得—5 n 5n +2k n < x v 3+2k n,k €乙2. f(x)= tan — 2x + 3的最小正周期为(n A —B .n解析：选B 法一：函数y = tan( 3x+$)的周期是 T =~,13直接套用公式，可得n |—2|_ n=2.法二：由诱导公式可得n ■,tan — 2x + 3 = tanf x +n =f(x),所以周期为Tn2.3.函数 f(x) = tanax — n 与函数 g(x)= sin 7— 2x 的最小正周期相同，贝U 3=(解析：选A g(x)的最小正周期为n 则^n= n ,得 3= ±.□ I4.函数 y = |tan 2x|是( )A .周期为n 的奇函数B .周期为n 的偶函数C .周期为n 的奇函数D .周期为；的偶函数解析：选 D f(— x)= |tan(— 2x)| = |tan 2x|= f(x)为偶函数，T = nn 的图象不相交的一条直线是()—2x + n = tan所以5.与函数y = tan解析：选D 当x=；时，2x +亍=扌，而2的正切值不存在，所以直线x =n与函数的图象不相交.6 .函数y= 71 —tan x的定义域是________________________________________ .解析：由1—tan x > 0即tan x< 1结合图象可解得.答案：k n—寸,k n+ 才(k€ Z)7.函数y= tan [2x + 4 /的单调递增区间是_____________________________________ . 解析：令k n—n< 2x + n v k n+n，k€ Z,8.函数y= 3tan( + x),—n<x<才的值域为.解析：函数y= 3tan( n+ x) = 3tan x，因为正切函数在一寸，寸上是增函数，所以一3<y w 3，所以值域为(—3, 3 ].答案：(—3, 3 ]9•比较下列各组中两个正切函数值的大小.(1)tan 167 ° 与tan 173 ° ;解：(1) •/ 90 ° < 167° < 173° < 180/• tan 167 ° < tan 1737tD - x=8又T y= tan x 在3n上是增函数,tan13 n又.• 0<n< 罕打，函数y= tan x，x€••• tan n< tan^r，4 513 n5 -2 4答案：号(2)tantan (-(2) ■/tan.11 n . ntan T=tan n，5 =即tan tank nv x < k计 n ，k€ Z：2k n-n v x 益k n +n ，k € Z10.已知 f(x)= tan 2x + 扌 ⑴求f(x)的最小正周期； (2)若f(x +妨是奇函数，则$应满足什么条件？并求出满足Wlv0值.解：⑴法一：■/ y = tan x 的周期是 n. ••• y = tan 2x +扌的周期是 亍即 f x + 2 = f(x). • f(x)的周期是n⑵•/ f(x +妨=tan 2x +n + 2 0是奇函数,•图象关于原点中心对称， •扌+ 2 A 齐€ Z),k n 4 冗-6(k € Z). k n 4n nn v n k € Z), 解得-f v k v 3，k € Z. • k =— 1,0,1,或 2. 从而得o=-箫，-n 协n层级1.函数y = " logman x 的定义域是(应试能力达标)B .x 2k nV x < 2k n+n 4,k € Ztan法二：由诱导公式知: =tan答案:6 n 3n\k n+ 5 , k n + 2(k € Z) 6.已知函数y = tan 在—2,2内是单调减函数，贝y3的取值范围是1解析：选C 要使函数有意义，只要log2tan x >0,即卩0v tan x w 1.由正切函数的图象n知,k nV x w k n+~ , k € 乙42.函数y = tan （cos x ）的值域是（）C . [— tan 1, tan 1] 解析：选 C 1w cosx w 1,且函数 y = tan x 在[—1,1]上为增函数，/• tan( — 1)w tanx w tan 1.即一tan 1 w tan x w tan 1.得x =拿可知函数图象与 x 轴一交点的横坐标为 ¥•故可排除C 、D.令,—中=—：,得x 3 3 2 3 2n ，或令2x —n =n ，得x =釁故排除B ,选A .tan 2x + 3 = 3在区间［0,2 n 上的解的个数是（ ）由 tan 2x += 3 得 2x + 扌=扌 + k n k € Z), • x =Z )，又 x € [0,2 n )5.若tan x > tan n 且 x 在第三象限，则 x 的取值范围是5 解析：tan x > tan n= tan^,又x 为第三象限角,5 5 ••• k n+ 普＜ x V k n+ € Z).5 2 D .以上均不对4.方程解析：选n, 节故选B.3.函数 y = tan解析：选A 令y = tan ^x —扌=0,则有^x —扌=k n , x = 2k n+严，k €乙再令k = 0 ,n n 即一A n 故 | w|< 1 ,•••一 1 < 3<0.IM答案：[—1,0)7.已知x € — n ，于，，求函数y =―1盯+ 2tan x + 1的最值及相应的 x 的值.」3 4 一 cosx2 . 2卄 1 cosx + sin x解：y = 2 + 2tan x + 1 = 2 + 2tan x + 1 cosx cosx2 2=tan x + 2tan x + 2= (tan x + 1) + 1.T x € — n ，n]= tan x € [—羽,1].当tan x =— 1,即卩x =一 n 时，y 取得最小值1;8.求函数y = tan ?x — 6的定义域、周期及单调区间.解:由 2x —6* n+ k n ，k € Z ,4 n得 x ^-― + 2k n, k € Z ,3 xx M 4n+ 2k n k € ZT = n = 2n ，2由—2 + 也务—n <2 + k n k € Z ,得十 2也<<于+ 2k n ，k € z.所以函数y = tan ；x —n 的单调递增区间为令 2k n 4^"+ 2k n (k € Z).1.求函数y = Atan( 3x+ $)(A , w, $都是常数)的单调区间的方法(1) 若w >0，由于y = tan x 在每一个单调区间上都是增函数，故可用 "整体代换”的思 想，令当tan x = 1,即卩x = ,y 取得最大值5.所以函数y = tan 2x —n 的定义域为所以函数y = tan gx —冒丿的周期为2n.k n- n< wx+ gk n+；,求得X的范围即可.(2) 若w<0，可利用诱导公式先把y= Atan( wx+ $)转化为y= Atan[ —(—w x—$)]=—Atan( —wx—册,即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可.2. 运用正切函数单调性比较大小的方法(1) 运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.。
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（3）熟练掌握正切函数的图象及性质.
你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验研究 正切函数的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
y=cosx
y
1
2
0
2
-1
3 2
2
5 2
x
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
R
R
[-1,
x
2
1]2k
时，
ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k ]
减函数
奇函数
2
[-1,
1]
x 2k
时， ymax
1
x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴：
x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
学习目标
（1）能利用单位圆中的正切线，画出
的图像；
（2）根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；
2
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
3、正切函数 y tan x是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T
x
o A x (1,0)
且与 y 轴相互平行
切 直线隔开的无穷多支2 曲线组成。
函
渐
数 图
进
渐
线
进
像
线
性质 :
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2
⑵ 值域：R
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在开区间 (6)渐近线方程：x k
( k
2
,k
Z
,(27)对k称中) 心k ：(kZπ是,增0)函数。
2
2
练习1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等
练习2：比较下列每组数的大小。
<
>
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角 化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
正切线AT y
x
o A x (1,0)
y
T
x
o
Ax (1,0)
y
(1,0)
o x Ax
T
T
利用正切线画出函数 y tan x，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移 (4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
2
2
正 是由通过点 (k , 0)(k Z )
且与 y 轴相互平行
切 直线隔开的无穷多支2 曲线组成。
函
渐
数 图
进
渐
线
进
像
线
性质 :
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2
⑵ 值域：R
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在开区间 (6)渐近线方程：x k
典型例题
求函数 y tan( x )的定义域、值域，并指出它的
23
单调性和周期性；
答案:
1、定义域
2、值域
x
x
2k
1 3
,
k
Z
yR
3、单调性 （- 5 2k, 1 2k）, k Z
33
4、周期性最小正周期为2
提高练习
求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区 间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝ 36
值域：R
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
感谢下 载
84 8 2
正切函数图象的简单画法：三点两线法。
(0,0)、（ ，1）、 ，1
4 4
x 和x
2
2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1
x
-3/2
- t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数
定义域
值域
周期性
奇性
单调性
正 是由通过点 (k , 0)(k Z )
( k
2
,k
Z
,(27)对k称中) 心k ：(kZπ是,增0)函数。
2
2
y
1
x
-3/2 -
-/2 0
/2
3/2
-1
y
1 x
0
/2
3/2
-1
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间 ( k , k ) k Z 内都是增函数。