高中数学必修4《正切函数的性质与图象》

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练习1．关于正切函数 y tan x , 下列判断不正确的是（B ）
A 是奇函数 B 在整个定义域上是增函数 C 在定义域内无最大值和最小值
D 平行于 x 轴的的直线被正切曲线各支所截线段相等
练习2：比较下列每组数的大小。
<
>
说明：比较两个正切值大小，关键是把相应的角 化到y=tanx 的同一单调区间内，再利用y=tanx的单调递增性解决。
正切线AT y
x
o A x (1,0)
y
T
x
o
Ax (1,0)
y
(1,0)
o x Ax
T
T
利用正切线画出函数 y tan x，x ， 的图像:
2 2 作法: (1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份。
(2) 作正切线 (3) 平移 (4) 连线
o
3 0 3
2 8 48
值域：R
单调递增区间：（ k , k）,k z 6 36 3
四、小结：正切函数的图像和性质
1、正切曲线是先利用平移正切线得y tan x, x ( , )的图象， 22
再利用周期性把该段图象向左、右扩展得到。
2 、y tan x 性质:
⑴ 定义域： {x | x k, k Z}
函数 图形 定义域 值域 最值
单调性 奇偶性
周期 对称性
y=sinx
y
1
y=cosx
y
1
2
0
2
-1
3 2
2
5 2
x
0
2
3 2
2
5 2
x
-1
R
R
[-1,
x
2
1]2k
时，
ymax
1
x
2
2k 时，ymin
1
x[-
2
2k
,
2
2k
]
增函数
x[2
2k ,
3
2
2k ]
减函数
奇函数
2
[-1,
1]
x 2k
时， ymax
⑵ 值域： R 2 ⑶ 周期性：
⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
(5) 对称性：对称中心：
无对称轴
(6)单调性：在每一个开区间
(-π+ 2
kπ,π+ 2
kπ)
，
k
Z
内都是增函数。
(7)渐近线方程： x k , k Z
2
感谢下 载
且与 y 轴相互平行
切 直线隔开的无穷多支2 曲线组成。
函
渐
数 图
进
渐
线
进
像
线
性质 :
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2
⑵ 值域：R
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在开区间 (6)渐近线方程：x k
( k
2
,k
Z
,(27)对k称中) 心k ：(kZπ是,增0)函数。
2
∴ y tan x是周期函数， 是它的一个周期．
3、正切函数 y tan x是否具有奇偶性？
由诱导公式知
f x tan x tan x f x, x R, x k , k Z
2
正切函数是奇函数.
4、能否由正切线的变化规律及正切函数周期性来讨论它的单调性?
y
T
x
o A x (1,0)
（3）熟练掌握正切函数的图象及性质.
你能否根据研究正弦、余弦函数的图象和性质的经验研究 正切函数的图像和性质?
1、利用正切函数的定义，说出正切函数的定义域；
tan y x 0 的终边不在y轴上
x
k
(k
z)
2
思考
2、正切函数 y tan x是否为周期函数？
由诱导公式知
f x tanx tan x f x, x R, x k , k Z
典型例题
求函数 y tan( x )的定义域、值域，并指出它的
23
单调性和周期性；
答案:
1、定义域
2、值域
x
x
2k
1 3
,
Baidu Nhomakorabea
k
Z
yR
3、单调性 （- 5 2k, 1 2k）, k Z
33
4、周期性最小正周期为2
提高练习
求函数y=tan3x的定义域，值域，单调增区 间。
定义域：｛x \ x k ,k z｝ 36
84 8 2
正切函数图象的简单画法：三点两线法。
(0,0)、（ ，1）、 ，1
4 4
x 和x
2
2
二:性质 你能从正切函数的图象出发,讨论它的性质吗?
y
1
x
-3/2
- t- -/2 0 t /2 t+ 3/2 -1
函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
正 是由通过点 (k , 0)(k Z )
2
2
正 是由通过点 (k , 0)(k Z )
且与 y 轴相互平行
切 直线隔开的无穷多支2 曲线组成。
函
渐
数 图
进
渐
线
进
像
线
性质 :
⑴ 定义域：{x | x k, k Z} 2
⑵ 值域：R
⑶ 周期性： ⑷ 奇偶性：奇函数，图象关于原点对称。
⑸ 单调性：在开区间 (6)渐近线方程：x k
( k
2
,k
Z
,(27)对k称中) 心k ：(kZπ是,增0)函数。
2
2
y
1
x
-3/2 -
-/2 0
/2
3/2
-1
y
1 x
0
/2
3/2
-1
问题：
(1)正切函数是整个定义域上的增函数吗？为什么？ (2)正切函数会不会在某一区间内是减函数？为什么？
A
B
在每一个开区间 ( k , k ) k Z 内都是增函数。
1
x 2k 时，ymin 1
x[ 2k , 2k ] 增函数
x[2k , 2k ]
偶函数
2
减函数
对称轴：
x
2
k
,
k
Z
对称中心： (k , 0) k Z
对称轴： x k , k Z 对称中心：(2 k , 0) k Z
学习目标
（1）能利用单位圆中的正切线，画出
的图像；
（2）根据正切函数的图象推导出正切函数的性质；