随机决策分析方法
决策专题一 随机决策方法
管理预测与决策
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（2）多阶段决策
很多实际决策问题，需要决策者进行多次决策， 这些决策按先后次序分为几个阶段，后阶段的决 策内容依赖于前阶段的决策结果及前一阶段决策 后所出现的状态。 在做前一次决策时，也必须考虑到后一阶段的决 策情况，这类问题称之为多阶段决策问题。
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某一化工原料厂，由于某项工艺不甚好，产品成本高。在价 格中等水平时无利可图，在价格低落时要亏本，只有在价格 高时才赢利，且赢利也不多。 现企业考虑进行技术革新，取得新工艺的途径有两种，一是 自行研究，成功的可能是0.6，二是购买专利，估计购买谈 判成功的可能性是0.8。 不论是研究成功还是谈判成功，生产规模有两种考虑方案， 一是产量不变，二是产量增加。若研究失败或者谈判失败， 则仍然采用原工艺进行生产，生产保持不变。 根据市场预测，今后五年内这两种产品跌价的可能性是0.1， 保持中等水平的可能性是0.5，涨价的可能性是0.4。现在企 业需要考虑：是否购买专利，是否自行研究。
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好0.5
方案A1 －2000
Ⅰ
5000 2500 1500 8000 0 －2500
1
一般0.3 差0.2 好0.5
方案A2 －1500
2
一般0.3 差0.2
风险投资问题的决策树
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计算各状态点的收益值。 状态点1：5000×0.5＋2500×0.3＋1500×0.2=3550（万元） 状态点2：8000×0.5＋0×0.3＋（-2500）×0.2=3500（万元） 计算各方案的收益期望值。 方案A1：3550-2000=1550（万元） 方案A２：3500-1500=2000（万元） 依据最大收益期望值准则，方案A２收益期望值较大，为最 优方案，也就是扶持小企业为最优决策方案。
不确定性决策方法
不确定性决策方法
不确定性决策方法是一种在决策过程中考虑不确定性因素的方法，主要用于处理无法确定结果或概率分布不明确的决策问题。
以下是常见的不确定性决策方法：
1. 随机决策：基于随机性的决策方法，通过随机选择一个决策方案来应对不确定性。
适用于决策者无法获得足够信息或无法对不确定性因素进行准确量化的情况。
2. 决策树分析：将决策问题表示为决策树模型，根据不同的决策路径和概率分布，计算出每个决策方案的期望值，选择期望值最优的方案。
适用于决策问题具有多个阶段和多个决策点的情况。
3. 蒙特卡洛模拟：通过随机采样的方法来模拟不确定性因素的概率分布，然后基于模拟结果进行决策分析。
适用于决策问题的不确定性因素可以通过随机变量模拟的情况。
4. 期望效用理论：将决策者的效用函数与决策方案的结果关联起来，通过计算每个决策方案的期望效用值，选择效用值最高的方案。
适用于决策问题的不确定性因素可以通过效用函数进行量化的情况。
5. 模糊决策：基于模糊数学理论，将决策问题中的不确定性因素表示为模糊变量或模糊集合，通过模糊推理方法进行决策分析。
适用于决策问题的不确定性因
素无法通过精确数值表示的情况。
这些方法可以根据具体的决策问题和决策者的需求选择使用，有助于在不确定性情况下做出合理的决策。
第2章随机性决策
2021年8月31日星期二
第二章 随机性决策
学习目的
▪ 理解随机性决策的基本概念，能够判别什么是 随机性决策；能够区分主观概率决策、贝叶斯 决策和效用概率决策；能够运用随机性决策方 法处理实际决策问题；
▪ 掌握主观概率决策的基本方法与应用； ▪ 掌握贝叶斯决策的基本方法与应用； ▪ 掌握效用概率决策的基本方法与应用。
2.1 随机性决策的概念
2.1.2 随机性决策问题的特点 ▪ (1)决策目标的明确性，即利润最大化或损失最小化。如
例2-1-1中，零售商的目标是利润最大化。在现实经济问 题决策中，对方案评价有两个标准，货币值或效用值。货 币值反映的是客观标准，比如盈利1000元，这对谁都是 一样的。效用值反映的是主观标准。1000元对一个穷人 和一个百万富翁效用大小是不同的。 ▪ (2)存在多个可供决策者选择的行动方案。如例2-1-3，决 策者可选择的方案是自行开采，有条件出租或者无条件出 租。 ▪ (3)自然状态的风险性，也称不确定性，随机性。自然状 态又叫不可控事态，是客观存在的事实。如例2-1-1中， 自然状态有三种，进的报纸脱销，正好卖完，有剩余。再 如例2-1-3中，自然状态是年产油50万桶，年产油20万桶 ，年产油5万桶和无油。未来会出现那种状态是决策者无 法控制的。但每种自然状态出现的概率是已知的。
，报纸就会过期而无法继续出售，使得该零售商遭受损失；若进的报 纸当天脱销，零售商就会损失掉一些利润。零售商根据以往的统计经 验知道每天报纸的需求量是以下四种结果之一，即售出100份，120份 ，140份，160份。并且知道各个需求量出现的概率。该零售商面临的 问题就是随机性决策问题。 ▪ 例2-1-2 某企业要根据订单生产一批货物，该企业可以使用原来的旧 设备来生产，但产量较小，需加班生产来完成任务，同时企业要支付 加班费；或者该企业也可以引进高效率的新型设备来生产，不需要加 班即可完成任务，但是要购买新设备。未来市场的需求量并不能确定 ，未来市场情况的结果可能为增长性很好，增长性一般，增长性很差 。如果未来市场可预见（即市场各种情况出现的概率已知），那么该 企业面临的问题即是否购买新设备，是随机性决策问题。 ▪ 例2-1-3 某石油公司开采石油，在一块地上钻井，可能得到四种结果 ，年产油50万桶，年产油20万桶，年产油5万桶，无油。决策者有三 种方案选择，自行开采，有条件出租和无条件出租（无条件出租是指 无论产油量为多少，只是收取固定的租金）。虽然决策者对钻井后的 结果无法得知，但是对钻井后的各种结果的概率是知道的，那么这也 是随机性决策问题。
管理决策六种方法
管理决策六种方法管理决策是指在组织运作中，领导者或管理者根据特定情境需求，选择适当的方法和策略来解决问题、制定决策。
为了有效地指导组织和团队的行动，管理者需要了解和运用各种决策方法。
本文将介绍六种常见的管理决策方法，并探讨其适用场景和优缺点。
一、常规决策法常规决策法是最为常见的决策方法之一，其核心原理是根据以往的经验和常规做法，进行决策。
该方法在规模较小、问题较为简单或紧急情况下适用。
例如，对于日常营销活动，管理者可以基于以往的市场反馈和成功案例，进行常规决策。
然而，常规决策法的局限在于缺乏创新和针对性，无法应对复杂或未知情境。
二、权衡取舍法权衡取舍法是基于明确的目标和约束条件，在多个可行方案之间进行权衡和选择的决策方法。
该方法要求管理者全面了解各种方案的优缺点，并在考虑组织资源、风险和效益的基础上，权衡利弊并进行决策。
例如，一个生产部门在选择采用哪种材料时，需要考虑成本、质量和交货期等多个因素。
权衡取舍法的优势在于能够综合考虑各种因素，但决策过程可能较为复杂和耗时。
三、随机决策法随机决策法是一种基于概率的决策方法，其特点是在面临多个不确定性因素时，通过随机抽样和模型构建，预测各种决策方案的可能结果和概率。
例如，利用统计方法分析市场需求和竞争态势，为产品销售制定市场营销策略。
随机决策法能够提供对决策结果的预期值和风险评估，但需要基于准确的数据和合理的模型，否则结果可能不准确。
四、直觉决策法直觉决策法是一种基于个人经验、洞察力和直觉的决策方法。
管理者基于自己对问题的理解和感觉，迅速做出决策。
直觉决策法适用于紧急情况、独特的问题或个人经验较为丰富的情况。
然而，直觉决策法容易受到情绪、偏见和不完整的信息影响，存在决策不准确或不可靠的风险。
五、规则决策法规则决策法是一种通过制定固定规则或流程，来指导决策的方法。
例如，在客户服务中，制定明确的退货政策和投诉处理流程，使员工在处理问题时能够按照规则进行操作。
随机方法有哪些
随机方法有哪些在日常生活和科学研究中，我们经常需要使用随机方法来解决问题或进行实验。
随机方法是一种通过随机选择来进行决策或实验的方法，它可以帮助我们避免主观性和偏见，从而得到更客观、更可靠的结果。
在本文中，我们将探讨一些常见的随机方法，包括随机抽样、随机分配和随机模拟等。
首先，随机抽样是一种常用的随机方法。
在统计学和调查研究中，我们经常需要从一个大的群体中抽取一部分样本来进行研究。
为了确保样本的代表性和客观性，我们通常会使用随机抽样的方法来选择样本。
随机抽样可以通过简单随机抽样、分层随机抽样、整群随机抽样等方式来实现，它能够有效地避免样本选择的偏见，从而得到更可靠的研究结果。
其次，随机分配是另一种常见的随机方法。
在实验研究中，为了排除干扰因素对实验结果的影响，我们经常需要将实验对象随机分配到不同的实验组中。
通过随机分配，我们可以确保实验组之间的差异是由实验处理引起的，而不是由其他因素引起的。
这样可以提高实验结果的可信度和可靠性，使得我们能够更准确地评估实验处理的效果。
此外，随机模拟也是一种常用的随机方法。
随机模拟是通过计算机程序模拟随机事件的过程，以便进行风险评估、决策分析和系统优化等工作。
在金融领域，随机模拟常常被用来模拟股票价格的随机波动，以便进行风险管理和投资决策。
在工程领域，随机模拟可以用来模拟复杂系统的随机运行状态，以便进行系统设计和性能评估。
通过随机模拟，我们可以更好地理解和应对不确定性，从而提高决策的科学性和准确性。
综上所述，随机方法在科学研究和实践中具有重要的作用。
通过随机抽样、随机分配和随机模拟等方法，我们可以更客观、更准确地进行调查研究、实验设计和决策分析，从而得到更可靠的结果。
因此，熟练掌握和灵活运用各种随机方法，对于提高工作效率和决策水平都具有重要意义。
希望本文对您有所帮助，谢谢阅读！。
随机事件的分析与决策
随机事件的分析与决策随机事件是我们生活中不可避免的一部分，因此对于如何应对随机事件的分析与决策是我们需要认真思考的问题。
1. 随机事件的分类随机事件主要分为两种：有限随机事件和无限随机事件。
有限随机事件指的是试验次数有限的随机事件，比如人投掷硬币三次，这种情形下的随机事件就是有限的。
而无限随机事件则指的是试验次数无限的随机事件，比如世界上某些地方的天气变化，这类事件就是无限事件。
2. 随机事件的分析方法对于有限随机事件，我们可以进行概率计算，而无限随机事件则需要使用概率分布函数来进行建模分析。
对于需要进行大规模随机事件分析的场合，还可以使用计算机模拟的方法来进行。
3. 决策的分析方法在应对随机事件的过程中，我们需要根据随机事件的概率和影响大小来进行决策。
对于简单的随机事件，我们可以使用期望值来进行决策分析。
期望值即为事件概率与影响大小的乘积的总和。
对于复杂的随机事件，我们需要使用决策树来进行分析。
决策树是一种流程图，可以描述随机事件的不同场景，以及在不同场景下的选择和决策步骤。
通过决策树，我们可以对随机事件的各种选择方案进行全面的分析，从而选择最优的方案。
4. 实践随机事件的应对需要考虑到各种因素，比如风险的大小、不确定性的度量等。
以房地产投资为例，假设我们想要投资某个城市的房地产市场，我们需要考虑到房价上涨的概率和影响大小、政策的变化等因素。
如果我们使用期望值来进行分析，可以计算出该市场的预期收益率是多少。
而如果我们使用决策树来进行分析，可以更全面地考虑到不同市场环境下的种种选择方案，从而制定最佳的投资策略。
总之，随机事件的应对需要我们进行全面的分析和决策。
在分析过程中，我们需要考虑到事件的不确定性和复杂性，从而选择最优的方案。
这需要我们具备一定的数学和逻辑分析能力，以及对风险和效益的准确度量。
随机分析基础概念及方法
随机分析基础概念及方法随机分析是一种数学方法，用于描述和解决具有随机性的问题。
它在各个领域中都有广泛的应用，如金融、工程、统计学等。
本文将介绍随机分析的基本概念和常用方法。
一、随机变量在随机分析中，随机变量是一种能够随机取不同值的量。
它可以用来描述一次实验的不确定结果。
随机变量可以是离散的，例如抛硬币的结果可以是正面或反面；也可以是连续的，例如测量温度的结果可以是一个连续的数值。
二、概率分布函数概率分布函数是描述随机变量可能取值的概率的函数。
对于离散随机变量，概率分布函数可以用概率质量函数来表示，它给出了每个可能取值的概率。
对于连续随机变量，概率分布函数可以用概率密度函数来表示，它给出了每个可能取值的概率密度。
三、期望和方差期望是随机变量的平均值，可以用来描述随机变量的中心位置。
方差是随机变量与其期望的偏离程度的度量，可以用来描述随机变量的离散程度。
期望和方差是随机分析中常用的统计量，它们可以通过概率分布函数来计算。
四、随机过程随机过程是一种随机变量的集合，它描述了随机性随时间推移的变化。
随机过程可以是离散的，例如股票价格的变动；也可以是连续的，例如气温的变化。
随机过程可以用概率分布函数和时间参数来表示。
五、随机微积分随机微积分是一种将微积分的方法应用于随机变量和随机过程的数学工具。
它包括随机导数、随机积分和随机微分方程等概念和方法。
随机微积分可以用来描述随机过程的变化率、随机变量的累积效应等。
六、蒙特卡洛模拟蒙特卡洛模拟是一种使用随机数实现数值计算的方法。
它通过生成大量的随机样本，来模拟和计算随机事件的特性。
蒙特卡洛模拟在金融学中经常用于计算期权价格、投资组合收益等。
它的基本思想是利用随机样本的大数定律，使模拟结果逼近真实结果。
七、随机过程建模随机过程建模是一种利用已知数据和随机分析方法，构建和预测未知数据和随机过程的方法。
它可以用来描述和分析不确定性问题，并进行预测和决策。
随机过程建模在金融、天气预报等领域中有广泛应用。
决策分析的方法与工具
决策分析的方法与工具决策是人们在面临选择时进行思考和决定的过程。
无论是个人生活还是组织管理，都需要做出各种决策来达到目标并解决问题。
然而，由于信息不完全、风险存在和多种因素的影响，决策往往并不是一件容易的事情。
因此，决策分析方法和工具应运而生，旨在辅助人们做出明智的决策。
本文将介绍几种常用的决策分析方法与工具，帮助读者更好地应对决策问题。
一、决策树分析决策树是一种直观且易于理解的决策分析方法，将决策问题呈现为一棵逐层生长的树状结构。
通过将复杂问题逐步分解，决策树可以帮助决策者进行系统性思考和决策。
决策树可以通过构建不同决策路径和计算不同决策结果的可能性来提供对不同选择的评估。
利用决策树分析方法，决策者可以更好地理解不同决策选项之间的连锁反应，并选择最佳决策路径。
二、多属性决策分析多属性决策分析是一种用于比较和评估不同决策选项的方法。
该方法基于对多个属性的评估和权重的分配，帮助决策者量化并比较各个决策选项的综合价值。
常见的多属性决策分析方法有层次分析法（AHP）和模糊综合评判法（Fuzzy TOPSIS）。
层次分析法通过建立层级结构和构造判断矩阵来分析各个属性的重要性和选择权重。
模糊综合评判法则通过模糊数学理论将决策问题中存在的不确定性考虑进去，并给出决策选项的排名。
三、模拟分析模拟分析是一种通过建立模型来模拟和评估各种情景的决策分析方法。
模拟可以基于概率和统计的理论，通过运行大量随机实验来模拟决策结果的分布。
利用模拟分析，决策者可以通过观察模拟结果的多样性，估计不同决策选项的风险和机会。
模拟分析可以帮助决策者更好地理解决策背后的不确定性和风险，并利用这些信息做出更为精确的决策。
四、决策支持系统决策支持系统是一种将信息技术与决策分析方法结合的工具。
该系统通过收集、整理和分析大量的数据，并提供各种决策分析方法和模型来帮助决策者做出决策。
决策支持系统可以基于规则、模型或者智能算法来提供决策建议，并可视化数据和结果供决策者参考。
第十六章随机决策分析方法
第十六章随机决策分析方法人们在日常生活和工作中经常会遇到一些与随机因素有关、后果不确定，而又必须做出判定和决定的问题.这类问题称为随机性决策问题.任何一个随机性决策问题都包含两个方面的内容，即决策人所采取的行动方案（简称决策）和问题的自然状态（简称状态），而且具有两个差不多特点：后果的不确定性和后果的效用. 所谓后果的不确定性，要紧是由于问题的随机性，使得问会显现什么状态是不确定的，因此计策人做出的某种决策以后会显现什么后果也是不确定的.而效用是后果价值的量化，由于不确定性，不管决策人采纳什么策略，都可能会遇到事先不能完全预料的后果，这要承担一定的风险，不同的决策人对待风险的态度会不同.因而，同样的后果对不同的策略人产生的效用也会不同.即使在没有风险的情形下，不同的决策人对待各种后果也有不同的偏好，为此，在进行定量分析之前，就应该确定出所有后果的效用.只有如此，人们才能比较各种策略的优劣，依照自己的喜好来选择最佳的决策方案. 在决策分析中，后果的不确定性和关于后果给予的效用是两个关键性的问题.为此，关于状态的不确定性要紧用主观概率来表示，而后果的效用则用效用理论来研究.16.1 随机性决策问题的差不多概念16.1.1 主观概率 随机性决策问题的后果的不确定性，要紧是由状态的不确定性所引起的.状态的不确定性，往往不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布（此称客观概率）是有区别的. 主观概率是决策人进行决策分析的依据，尽管他与客观概率有本质的区别，但在定义概率方面有不同之处，同样遵循客观概率应该遵循的若干假设、公理和性质等，因此，适用于客观概率的所有的逻辑推理方法均适用于主观概率.那个地点仅给出主观概率所服从的差不多假设（或称公理系统）：（1）设Ω为一非空集合，其元素能够是某种试验或观看的结果,也能够是自然的状态.将这些元素记作抽象的点ω,因而有{}.ωΩ= （2）设F 是Ω中的一些子集A 所构成的集合,F 满足下列条件: 1）F Ω∈2）假如A F ∈,则\A A F =Ω∈;3）假如可列多个n A F ∈,1,2,,n =则它们的并集1n n A F ∞=∈.（3）设()()P A A F ∈是定义在F 上的实值集函数,假如它满足下列条件,就称为F 上的(主观或客观)概率测度,或简称概率,这些条件是1）关于每个A F ∈,有0()1;P A ≤≤2）()1;P Ω=3）假如可列多个n A F ∈(1,2,)n =,i j A A ⋂=∅()i j ≠，则11()().n n n n P A P A ∞∞===∑那个地点称点ω为差不多事件, F 中的集A 称为事件, F 是全体事件的集合, ()P A 称为事件A 的(主观或客观)概率,三元总体(,,)F P Ω称为(主观或客观)概率空间.设定主观概率的方法要紧有:主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵(极大平均信息量)先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等[3.4].16.1.2 效用函数在随机性决策问题中,后果的不确定性是有状态的不确定性引起的.因此，在研究后果的效用时要充分考虑后果的不确定性.设决策人在选择某一行动时,决策问题可能的n 个后果为12,,,;n C C C 后果i C 可能发生的概率分别是(1,2,,),i p i n =且11.ni i p ==∑用P 表示所有后果的概率分布,并记1122(,;,;;,)n n P p C p C p C =则称P 为展望.所有展望构成的集合记为P ,能够验证P 关于凸线性组合是封闭的,即假如12,,P P P ∈而且01,λ≤≤则有12(1)P P P λλ+-∈.关于任意两个展望12,P P P ∈,都存在一定的优先关系,即关于决策人能够认为1P 优于2P ,或1P 与2P 无差异，或1P 不优于2P 三种情形,将这三种关系分别记为1212,P P P P 和21.P P .这种优先关系反映了决策人对各种后果的偏好程度.定义16.1 设()u P 是定义在展望P 上的实值函数,且满足 （1）它和在P 上的优先关系一致,即假如关于所有12,P P P ∈，有12,P P 当且仅当12()()u P u P ≥;（2）它在P 上是线性的,即假如12,P P P ∈，而且01,λ≤≤则1212((1))()(1)(),u P P u P u P λλλλ+-=+-那么称()u P 是定义在展望P 上的效用函数.假如1122(,;,;;,)n n P p C p C p C P =∈,则()u P 确实是表示以概率i p 选择(1,2,,)i C i n =的期望效用.效用是决策人在有风险的情形下对后果的偏好的量化,因此,其中包含有决策人关于一个不确定事件可能冒风险的态度,又称这种效用为基数效用.假如所研究的事件是确定的事件,并不受自然状态的阻碍,类似地能够定义一个效用来表示决策人对确定事件的各种后果的偏好程度.关于这类事件,决策人无需承担风险,相应的效用与基数效用有所不同,在此称之为序数效用.定义16.2 设X 为所有确定事件的后果x 的集合, ()u x 是定义在X 上的实值函数,假如关于任意的12,x x X ∈有12()()u x u x ≥,当且仅当12.x x ,则称()u x 是定义在X 上的序数效用函数. 基数效用和序数效用的要紧区别是:基数效用在正线性变换下是唯独的,而序数效用在保序变换下是唯独的. 正线性变换: ()()(0)u P u P αβα=+>.保序变换：()(())u x f u x =,对任意,x X f ∈为严格的单调增加函数.16.2 效用函数理论16.2.1 效用与风险的关系实际中专门多的决策问题都涉及经济效益，关于这类问题，在后果不确定的情形下，决策人的决策往往是效益和风险并存，但对不同的决策人对待风险的态度一样是不同的，通常可分为三种态度，即厌恶型、中立型和喜好型.假设决策人面对一种风险的情形有1/2的机会得不到任何盈利，也有1/2的机会盈利2a 元，即他的期望盈利为a 元.假如决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利，则对待风险的态度为厌恶型的.否则对待风险的态度为喜好型的.假如决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利a 元等价，则对待风险的态度是中立型的.这三种不同的态度能够反映在效用函数上确实是凹（上凸）函数，线性函数和凸（下凸）函数.如图16-1.图16-1 三种不同的效用函数曲线由图16-1（a）是风险厌恶型的效用函数，即有[]123121()()()()22x x u x u x ux u +=+<；由图16-1（b ）是风险中立型的效用函数，即有[]123121()()()()22x x u x u x u x u +=+=；由图16-1（c ）是风险喜好型的效用函数，即有[]123121()()()()22x x u x u x u x u +=+>；实际中，专门多的情形效用函数的曲线呈S 型，即在后果的范畴内，决策人对待风险的态度往往会从厌恶风险改变为喜好风险.如图16-2.图16-2（a ）反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的改变.图16-2（b ）反映了决策人的财产随着从缺失到盈利的增加，对待风险的态度会从喜好到厌恶的变化.这是最常用的效用函数.16.2.2 缺失函数与风险函数有的时候不要效用函数，而是用缺失函数来做决策分析.记缺失函数为(,)l x a ，它表时示一个决策问题当状态为x ，决策人的行动为a 时所产生的后果使决策人所受的缺失.缺失函数能够为正，也能够为负，它反映决策人获得的利益，后果效用越大，则缺失越小.由此能够用效用函数来定义缺失函数，即令(,)(,)l x a u x a =-实际中，在有些问题上为了使缺失函数总是为非负的，也能够定义缺失函数为(,)supsup (,)(,).x X a Al x a u x a u x a ∈∈=-在效用理论中，我们说明了期望效用能够合理的表示在风险情形下决策人的偏好，因此，期望缺失也必定是决策人在风险情形下遭受缺失的一个正确测度.16.2.3 随机函数与效用函数随机决策分析是在一定的条件下，用期望效用来表示一个随机事件效用的一种方法.在有价证券问题的研究中，又提出另外一种在一定的风险情形下制定决策的方法，称为随机优势法.假设问题的效用函数为()u x ，其自变量x 表示财宝（为一随机变量）。
第十六章随机决策分析方法
第十六章随机性决策分析方法人们在日常生活和工作中经常会遇到一些与随机因素有关、后果不确定，而又必须做出判断和决定的问题. 这类问题称为随机性决策问题. 任何一个随机性决策问题都包含两个方面的内容，即决策人所采取的行动方案（简称决策）和问题的自然状态（简称状态），而且具有两个基本特点：后果的不确定性和后果的效用.所谓后果的不确定性，主要是由于问题的随机性，使得问会出现什么状态是不确定的，所以对策人做出的某种决策以后会出现什么后果也是不确定的. 而效用是后果价值的量化，由于不确定性，无论决策人采用什么策略，都可能会遇到事先不能完全预料的后果，这要承担一定的风险，不同的决策人对待风险的态度会不同. 因而，同样的后果对不同的策略人产生的效用也会不同. 即使在没有风险的情况下，不同的决策人对待各种后果也有不同的偏好，为此，在进行定量分析之前，就应该确定出所有后果的效用. 只有这样，人们才能比较各种策略的优劣，根据自己的喜好来选择最佳的决策方案.在决策分析中，后果的不确定性和对于后果赋予的效用是两个关键性的问题. 为此，对于状态的不确定性主要用主观概率来表示，而后果的效用则用效用理论来研究.16.1 随机性决策问题的基本概念16.1.1 主观概率随机性决策问题的后果的不确定性，主要是由状态的不确定性所引起的. 状态的不确定性，往往不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布（此称客观概率）是有区别的.主观概率是决策人进行决策分析的依据，虽然他与客观概率有本质的区别，但在定义概率方面有不同之处，同样遵循客观概率应该遵循的若干假设、公理和性质等，因此，适用于客观概率的所有的逻辑推理方法均适用于主观概率. 这里仅给出主观概率所服从的基本假设（或称公理系统）：（1）设为一非空集合，其元素可以是某种试验或观察的结果, 也可以是自然的状态.(2)设F是中的一些子集A所构成的集合,F满足下列条件:1) F2) 如果A F,则A A F ;3) 如果可列多个A n F,n 1,2,L ,则它们的并集U A n F -n 1(3)设P(A)(A F)是定义在F上的实值集函数,如果它满足下列条件,就称为F上的(主观或客观)概率测度，或简称概率，这些条件是1) 对于每个A F ,有0 P(A) 1；2) P( ) 1；3) 如果可列多个A F (n 1,2,L ), A A j (i j)，贝U这里称点为基本事件，F中的集A称为事件，F是全体事件的集合，P(A)称为事件A的(主观或客观)概率,三元总体(，F,P)称为(主观或客观)概率空间.设定主观概率的方法主要有:主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵(极大平均信息量)先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等[3.4].16.1.2效用函数在随机性决策冋题中，后果的不确定性是有状态的不确定性引起的.所以，在研究后果的效用时要充分考虑后果的不确定性.设决策人在选择某一行动时，决策问题可能的n个后果为C1,C2,L ,C n;后果G可能发生的n概率分别是p i(i 1,2丄，n),且口 1.用P表示所有后果的概率分布，并记i 1P (P1,G； P2,C2；L ； P n,C n)则称P为展望.所有展望构成的集合记为P,可以验证P关于凸线性组合是封闭的，即如果P1,P, P,而且0 1,则有P (1 )P2 P.对于任意两个展望R,B P,都存在一定的优先关系，即对于决策人可以认为P优于P2,或R与F2无差异，或R不优于P2三种情况,将这三种关系分别记为Rf P2,R: P2和P2fP1..这种优先关系反映了决策人对各种后果的偏好程度.定义16.1 设u(P)是定义在展望P上的实值函数,且满足(1 )它和在P上的优先关系f 一致，即如果对于所有P,P2P，有PfP2,当且仅当U(P l) U(P2)；(2)它在P上是线性的，即如果PR P，而且0 1,则那么称u(P)是定义在展望P上的效用函数.如果P (P1,G；P2,C2；L ；P n,C n) P,则U(P)就是表示以概率口选择Q (i 1,2,L小)的期望效用.效用是决策人在有风险的情况下对后果的偏好的量化，因此,其中包含有决策人对于一个不确定事件可能冒风险的态度，又称这种效用为基数效用.如果所研究的事件是确定的事件,并不受自然状态的影响，类似地可以定义一个效用来表示决策人对确定事件的各种后果的偏好程度.对于这类事件，决策人无需承担风险，相应的效用与基数效用有所不同，在此称之为序数效用.定义16.2 设X为所有确定事件的后果X的集合，u(x)是定义在X上的实值函数，如果对于任意的X1,X2 X有u(X1) u(X2),当且仅当xfx2.,则称u(x)是定义在X上的序数效用函数.基数效用和序数效用的主要区别是:基数效用在正线性变换下是唯一的，而序数效用在保序变换下是唯一的.正线性变换:$(P) u(P) ( 0).保序变换：$(x) f(u(x)),对任意X X, f为严格的单调增加函数.16.2 效用函数理论16.2.1 效用与风险的关系实际中很多的决策冋题都涉及经济效益，对于这类冋题，在后果不确定的情况下，决策人的决策往往是效益和风险并存，但对不同的决策人对待风险的态度一般是不同的，通常可分为三种态度，即厌恶型、中立型和喜好型假设决策人面对一种风险的情况有 1/2的机会得不到任何盈利，也有1/2的机会盈利2a 元，即他的期望盈利为a 元.如果决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风 险的盈利，则对待风险的态度为厌恶型的.否则对待风险的态度为喜好型的•如果决策人认 为这和不冒任何风险的另一行为盈利a 元等价，则对待风险的态度是 中立型的•这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是凹（上凸）函数，线性函数和凸（下凸）函数.如图16-1.1X ! _.2u(X 1) u(X 2) u( ) 22；实际中，很多的情况效用函数的曲线呈 S 型，即在后果的范围内，决策人对待风险的态度往往会从厌恶风险改变为喜好风险•如图16-2.图16-2（ a ）反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的改变 .图16-2（b ）反映了决策人的财产随着从损失到盈利的增加，对待风险的态度会从喜好到厌恶 的变化•这是最常用的效用函数•16.2.2损失函数与风险函数由图16-1（- £ uU2'_a ）是风险厌恶型的效用函数［即有/ 立型的效用函数，，即有一ili3 i2 1X ! u(x 1) u(X 2)u(2(c)X 2 (b)由图16-1 （c ）是风险喜好型的效用函数，即有u(X 3):U (X 3)种不同的效用函数2? > 一Q J xli2 X图 16-1u(i311 ： x ,/2出吐凹__u HAU（X有的时候不要效用函数，而是用损失函数来做决策分析•记损失函数为l(x,a)，它表时示一个决策问题当状态为x ，决策人的行动为 a 时所产生的后果使决策人所受的损失. 损失函数可以为正，也可以为负，它反映决策人获得的利益，后果效用越大，则损失越小. 由此可以用效用函数来定义损失函数，即令实际中，在有些问题上为了使损失函数总是为非负的，也可以定义损失函数为在效用理论中，我们说明了期望效用能够合理的表示在风险情况下决策人的偏好，因此，期望损失也必然是决策人在风险情况下遭受损失的一个正确测度.16.2.3 随机函数与效用函数随机决策分析是在一定的条件下，用期望效用来表示一个随机事件效用的一种方法.在有价证券问题的研究中，又提出另外一种在一定的风险情况下制定决策的方法，称为随机优势法.假设问题的效用函数为u(x)，其自变量x表示财富(为一随机变量)。
第9章随机型决策分析方法
第9章随机型决策分析方法随机型决策分析方法是一种应对风险和不确定性的决策方法，它可以帮助决策者对不确定的情况进行评估和选择。
本文将介绍常见的随机型决策分析方法，并探讨它们的应用场景和优势。
一、随机型决策分析方法的基本原理随机型决策分析方法是建立在概率与决策理论基础上的，其基本原理可以总结为以下几点：1.确定决策问题的目标和约束条件：首先，需要明确决策问题的目标和约束条件，明确要达到的结果和可行的选择。
2.分析不确定性因素：随机型决策分析方法的核心是对不确定性因素进行分析，包括确定不确定性因素的类型、可能的取值范围和发生概率。
3.构建决策模型：基于对不确定性因素的分析，构建决策模型，模拟不同决策选择所对应的结果和效应。
4.确定最优决策：利用概率与决策理论中的方法，对不同决策选择的结果进行评估和比较，确定最优决策。
1.决策树分析法：决策树是一种图形化的决策模型，通过将决策问题分解为一系列的决策节点和结果节点，构建决策树模型。
在决策树模型中，每个节点表示一个决策选择或一个结果，每条路径表示一种可能的决策选择序列。
通过对不同路径的概率和效益进行评估，可以确定最优决策。
2.马尔可夫决策过程：马尔可夫决策过程是一种基于概率转移的决策模型，它考虑了不同决策选择在时间和状态变化下的影响。
在马尔可夫决策过程中，通过定义状态空间、概率转移矩阵和效用函数，可以计算出在不同决策选择下的期望效益，并确定最优决策。
3.蒙特卡洛模拟法：蒙特卡洛模拟法是一种基于随机抽样的模拟方法，通过生成大量的随机样本，模拟不同决策选择的结果分布。
通过对结果分布进行统计分析，可以评估不同决策选择的风险和收益，并确定最优决策。
三、应用场景和优势随机型决策分析方法可以用于各种决策问题的分析和选择，尤其适用于存在风险和不确定性的情况下。
以下是几个常见的应用场景和优势：1.投资决策：在投资决策中，存在许多不确定因素，如市场波动、经济变化等。
随机型决策分析方法可以帮助投资者评估不同投资选择的风险和收益，选择最优投资策略。
16_随机型决策分析方法
在对实际问题进行决策时，可以采用各种不同方法分 别进行计算、比较，然后通过综合分析，选择最佳的决策 方案，这样，往往能够减少决策的风险性。
一、最大可能法
• 最大可能法： 在解决风险型决策问题时，选择一个概率最大的自然状态，
E
(
B2
)
E
(
B3
)
E(B4 )
AP
10
25
12
11.8
12.6 21 17 13
18 17 23 17
20 12 17 19
22
8
0.2 0.4
11 21
0.2 0.1
16.92
16.7
18.3
16.48
由于E(B3)=max{E(Bi)}=183(千元/hm2)，所 以该农场应该选择种植大豆为最佳决策方案。
• 随机型决策问题——指决策者所面临的各种自然状态将是 随机出现的。
• 随机型决策问题，必须具备以下几个条件： ① 存在着决策者希望达到的明确目标； ② 存在着不依决策者的主观意志为转移的两个以上的自 然状态； ③ 存在着两个以上的可供选择的行动方案； ④ 不同行动方案在不同自然状态下的益损值可以计算出 来。
旱年 0.2 12.6 21 17 13
平年 0.4 18 17 23 17
湿润年 0.2 20 12 17 19
极湿年 0.1 22 8 11 21
解：由表可知，"极旱年"、"旱年"、"平年"、"湿润年"、"极湿 年"5种自然状态发生的概率分别为0.1、0.2、0.4、0.2、0.1， 显然，"平年"状态的概率最大。按照最大可能法，可以将"平 年"状态的发生看成是必然事件。而在"平年"状态下，各行动 方案的收益分别是：水稻为18千元/hm2，小麦为17千元/hm2， 大豆为23千元/hm2，燕麦为17千元/hm2，显然，大豆的收益 最大。所以，该农场应该选择种植大豆为最佳决策方案。
决策分析方法
决策分析方法在现代社会中，决策是每个个体或组织必不可少的活动。
然而，随着信息的快速增长和复杂性的不断提高，做出正确的决策变得越来越困难。
因此，决策分析方法成为解决问题和制定决策的重要工具。
本文将介绍几种常用的决策分析方法。
一、期望效用理论期望效用理论是以价值理论为基础的一种决策分析方法。
其基本思想是在所面临的各种不确定性情况下，通过评估各种可能结果的价值和概率，计算期望效用值来进行决策。
这种方法可以帮助决策者在风险和收益之间做出权衡，选择最具效用的决策。
二、成本效益分析成本效益分析是一种将决策问题从经济角度进行评估的方法。
它通过比较不同决策方案的成本与效益，来评估方案的优劣。
在进行成本效益分析时，首先需要确定不同决策方案的成本和效益，并进行定量化和货币化的测算，最后通过计算成本效益比或成本效益比率来选择最优方案。
三、灰色关联度分析灰色关联度分析是一种通过模拟预测和观测数据之间的关联度来进行决策的方法。
它适用于数据不完整、信息不确定或存在相关性的问题。
灰色关联度分析通过建立关联度序列来评估各因素对目标的影响程度，从而帮助决策者确定最佳方案。
四、层次分析法层次分析法是一种将问题分解成多个层次并进行多因素分析的方法。
它通过构建层次结构模型，将问题分解为几个层次的准则和子准则，并进行定量化的比较和判断。
通过对各层次准则的重要性进行权重分配，最终得出最佳决策。
五、决策树分析决策树分析是一种以树状结构来表示决策问题的方法。
它通过将问题分解为一系列的决策和事件节点，根据各节点的概率和效用值来进行分析和决策。
决策树分析可以帮助决策者清晰地了解决策过程和结果，从而做出最优决策。
六、蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法是一种基于随机数和概率统计的方法。
它通过模拟多次随机试验，计算各种可能结果的概率和效益，从而进行决策分析。
蒙特卡洛模拟法可以帮助决策者了解决策风险和不确定性，从而制定最佳决策方案。
综上所述，决策分析方法在解决问题和制定决策过程中具有重要的作用。
随机型决策分析方法
供应链管理
供应商选择
通过随机型决策分析方法，评估和选择合适的供应商， 确保供应链的稳定性和可靠性。
库存管理
通过随机型决策分析方法，确定合理的库存水平和库 存控制策略，避免缺货或积压现象。
物流优化
通过随机型决策分析方法，优化物流网络和运输方式， 降低物流成本和提高物流效率。
04
随机型决策分析方法的 优势与局限性
案例二
总结词
投资决策涉及到未来的不确定性和风险，随机型决策分析方法能够为投资者提供更加可靠的投资方案和风险管理 策略。
详细描述
在投资决策中，随机型决策分析方法通过对投资项目的不确定性因素进行分析，预测未来可能出现的风险和收益。 这种方法能够帮助投资者制定更加科学和可行的投资计划，提高投资的成功率和回报率。
决策树的分析
通过对决策树的分析，可以评估不同决策方案的 风险和收益，以及确定最优的决策方案。
03
随机型决策分析方法的 应用场景
风险评估
风险识别
01
通过随机型决策分析方法，识别出可能对项目或企业造成影响
的潜在风险因素。
风险量化
02
对识别出的风险因素进行量化和评估，确定其发生的概率和可
能造成的损失。
随机型决策分析方法
contents
目录
• 随机型决策分析方法概述 • 随机型决策分析方法的核心概念 • 随机型决策分析方法的应用场景 • 随机型决策分析方法的优势与局限性 • 随机型决策分析方法的案例研究
01
随机型决策分析方法概 述
定义与特点
定义
随机型决策分析方法是一种基于概率论和统计学的决策分 析方法，它通过考虑各种可能发生的情况和相应的概率， 为决策者提供最优的决策方案。
决策分析第3章-随机型决策分析基本理论
θ
θ0
θ1
θ2
θ3
θ4
θ5
p(θ)
0.01
0.05
0.10
0.30
0.30
0.24
a0（不购进）
0
0
0
0
0
0
a1（购进100支）
-35
15
15
15
15
15
a2（购进200支）
-70
-20
30
30
30
30
a3（购进300支）
-105
-55
-50
45
45
45
a4（购进400支）
-140
-90
-40
10
60
150
30
300 0
各方案的最大遗憾值：
r(a1) = max(0, 0, 280) = 280 r(a2) = max(250, 150, 30) = 250 r(a3) = max(700, 300, 0) = 700
minr(ai) r(a2) ，所以：最满意方案为a2 1i 3 15
8
例：企业生产方案的决策
某企业拟定了三个生产方案，方案1是新建两条生产线， 方案2是新建一条生产线，方案3是扩建原有生产线，改进 老产品。在市场预测的基础上，估算了各个方案在市场需 求的不同情况下的条件收益值（单位：万元）。但市场不 同需求状态的概率未能测定
市场需求情况
a1(方案1) a2(方案2) a3(方案3)
方案a3被选中的频率最低，应该淘汰掉
18
目录
1 随机型决策分析简介 2 完全不确定型决策分析 方法 3 风险型决策分析方法 4 决策树分析方法 5 灵敏度分析
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第十六章 随机性决策分析方法人们在日常生活和工作中经常会遇到一些与随机因素有关、后果不确定，而又必须做出判断和决定的问题.这类问题称为随机性决策问题.任何一个随机性决策问题都包含两个方面的内容，即决策人所采取的行动方案（简称决策）和问题的自然状态（简称状态），而且具有两个基本特点：后果的不确定性和后果的效用.所谓后果的不确定性，主要是由于问题的随机性，使得问会出现什么状态是不确定的，所以对策人做出的某种决策以后会出现什么后果也是不确定的.而效用是后果价值的量化，由于不确定性，无论决策人采用什么策略，都可能会遇到事先不能完全预料的后果，这要承担一定的风险，不同的决策人对待风险的态度会不同.因而，同样的后果对不同的策略人产生的效用也会不同.即使在没有风险的情况下，不同的决策人对待各种后果也有不同的偏好，为此，在进行定量分析之前，就应该确定出所有后果的效用.只有这样，人们才能比较各种策略的优劣，根据自己的喜好来选择最佳的决策方案.在决策分析中，后果的不确定性和对于后果赋予的效用是两个关键性的问题.为此，对于状态的不确定性主要用主观概率来表示，而后果的效用则用效用理论来研究.随机性决策问题的基本概念主观概率随机性决策问题的后果的不确定性，主要是由状态的不确定性所引起的.状态的不确定性，往往不能通过在相同条件下的大量重复试验来确定其概率分布（此称客观概率）是有区别的.主观概率是决策人进行决策分析的依据，虽然他与客观概率有本质的区别，但在定义概率方面有不同之处，同样遵循客观概率应该遵循的若干假设、公理和性质等，因此，适用于客观概率的所有的逻辑推理方法均适用于主观概率.这里仅给出主观概率所服从的基本假设（或称公理系统）：（1）设Ω为一非空集合，其元素可以是某种试验或观察的结果,也可以是自然的状态.将这些元素记作抽象的点ω,因而有{}.ωΩ= （2）设F 是Ω中的一些子集A 所构成的集合,F 满足下列条件: 1）F Ω∈2）如果A F ∈,则\A A F =Ω∈;3）如果可列多个n A F ∈,1,2,,n =L 则它们的并集1nn AF ∞=∈U .（3）设()()P A A F ∈是定义在F 上的实值集函数,如果它满足下列条件,就称为F 上的(主观或客观)概率测度,或简称概率,这些条件是 1）对于每个A F ∈,有0()1;P A ≤≤2）()1;P Ω=3）如果可列多个n A F∈(1,2,)n =L ,i j A A ⋂=∅()i j ≠，则这里称点ω为基本事件, F 中的集A 称为事件, F 是全体事件的集合, ()P A 称为事件A 的(主观或客观)概率,三元总体(,,)F P Ω称为(主观或客观)概率空间.设定主观概率的方法主要有:主观先验分布法、无信息先验分布法、极大熵(极大平均信息量)先验分布法和利用过去数据设定先验分布法等[3.4].效用函数在随机性决策问题中,后果的不确定性是有状态的不确定性引起的.所以，在研究后果的效用时要充分考虑后果的不确定性.设决策人在选择某一行动时,决策问题可能的n 个后果为12,,,;n C C C L 后果i C 可能发生的概率分别是(1,2,,),i p i n =L 且11.nii p==∑用P 表示所有后果的概率分布,并记1122(,;,;;,)n n P p C p C p C =L 则称P 为展望.所有展望构成的集合记为P ,可以验证P 关于凸线性组合是封闭的,即如果12,,P P P ∈而且01,λ≤≤则有12(1)P P P λλ+-∈.对于任意两个展望12,P P P ∈,都存在一定的优先关系,即对于决策人可以认为1P 优于2P ,或1P 与2P 无差异，或1P 不优于2P 三种情况,将这三种关系分别记为1212,P P P P f :和21.P P f .这种优先关系反映了决策人对各种后果的偏好程度.定义 设()u P 是定义在展望P 上的实值函数,且满足 （1）它和在P 上的优先关系f 一致,即如果对于所有12,P P P ∈，有12,P P f 当且仅当12()()u P u P ≥;（2）它在P 上是线性的,即如果12,P P P ∈，而且01,λ≤≤则那么称()u P 是定义在展望P 上的效用函数.如果1122(,;,;;,)n n P p C p C p C P =∈L,则()u P 就是表示以概率i p 选择(1,2,,)i C i n =L 的期望效用.效用是决策人在有风险的情况下对后果的偏好的量化,因此,其中包含有决策人对于一个不确定事件可能冒风险的态度,又称这种效用为基数效用.如果所研究的事件是确定的事件,并不受自然状态的影响,类似地可以定义一个效用来表示决策人对确定事件的各种后果的偏好程度.对于这类事件,决策人无需承担风险,相应的效用与基数效用有所不同,在此称之为序数效用.定义 设X 为所有确定事件的后果x 的集合, ()u x 是定义在X 上的实值函数,如果对于任意的12,x x X ∈有12()()u x u x ≥,当且仅当12.x x f ,则称()u x 是定义在X 上的序数效用函数.基数效用和序数效用的主要区别是:基数效用在正线性变换下是唯一的,而序数效用在保序变换下是唯一的. 正线性变换:$()()(0)u P u P αβα=+>.保序变换：$()(())u x f u x =,对任意,x X f ∈为严格的单调增加函数.效用函数理论效用与风险的关系实际中很多的决策问题都涉及经济效益，对于这类问题，在后果不确定的情况下，决策人的决策往往是效益和风险并存，但对不同的决策人对待风险的态度一般是不同的，通常可分为三种态度，即厌恶型、中立型和喜好型.假设决策人面对一种风险的情况有1/2的机会得不到任何盈利，也有1/2的机会盈利2a 元，即他的期望盈利为a 元.如果决策人认为冒此风险的期望盈利只等价于比它低的不冒风险的盈利，则对待风险的态度为厌恶型的.否则对待风险的态度为喜好型的.如果决策人认为这和不冒任何风险的另一行为盈利a 元等价，则对待风险的态度是中立型的.这三种不同的态度可以反映在效用函数上就是凹（上凸）函数，线性实际中，很多的情况效用函数的曲线呈型，即在后果的范围内，决策人对待风险的态度往往会从厌恶风险改变为喜好风险.如图16-2.图16-2（a ）反映了决策人的财产从小到大，对待风险的态度从喜好到厌恶的改变.图16-2（b ）反映了决策人的财产随着从损失到盈利的增加，对待风险的态度会从喜好到厌恶的变化.这是最常用的效用函数.16.2.2损失函数与风险函数.记损失函数为(l 题当状态为x .在效用理论中，我们说明了期望效用能够合理的表示在风险情况下决策人的偏好，因此，期望损失也必然是决策人在风险情况下遭受损失的一个正确测度.随机函数与效用函数随机决策分析是在一定的条件下，用期望效用来表示一个随机事件效用的一种方法.在有价证券问题的研究中，又提出另外一种在一定的风险情况下制定决策的方法，称为随机优势法.假设问题的效用函数为()u x ，其自变量x 表示财富（为一随机变量）。
实际中的问题总是有[],x a b ∈，且()u x 在[],a b 上有界，对于这种效用函数可以分为以下几类：1． 递增效用函数实际中，一般要求财富的效用函数()u x 是[],x a b ∈的非递减函数，即意味着当财富增加时，它的效用总不会减少.通常是随着x 的增加()u x 是严格递增的，而且是有界的.为此，我们假设：（1） 对于任意[]12,,x x a b ∈，当12x x <时有12()()u x u x <；（2） ()u x 在[],a b 上连续，且有界，即存在0M >使()u x M ≤； （3） ()u x 在[],a b 上一次可微，且在(,)a b 内有'0()u x M <≤.记此类效用函数为1U ，即这中类型的效用函数仅能反映出财富与风险的关系，但不能反映出决策人对待风险的态度.因此1U 中既可包含厌恶的效用函数，也可包含喜好风险和风险中立的效用函数.为此，还可以进一步分类.2． 递增的凹效用函数这种效用函数是递增的，故设1()u x U ∈，而且是严格凹的，即()u x 在[],a b 上具有二阶连续有界的导数.记为实际中常用的2U 类函数有 幂函数：[](),,(0,0);cu x xx a b c a -=-∈>>对数函数：[]()ln ,,(0,);u x x x a b =∈⊂+∞指数函数：(),[,)(0).cxu x ex a c -=-∈+∞>根据风险和效用函数的关系，当',''u u 存在，且'0u ≠时，定义对待风险态度的局部测度为 即()r x 是效用函数()u x 的曲率测度，可以证明：如果()0r x >，则决策人的财产为x 时，他是厌恶风险的.如果()0r x =，则决策人的财产x 时，他是风险中立的.如果()0r x <，则决策人财产为x 时，他是追求风险的，而且()r x 愈大，他愈厌恶（或追求）风险.3． 递增的厌恶风险的效用函数实际中，多数决策人对小额盈亏的态度是随着财富的积累而变化的，他们的财富积累愈多，对小额盈亏所冒风险的厌恶程度愈小.因此，我们假设()r x 是x 的非递增的函数，则可以得到一类效用函数，记为 即3U 是2U 的一个子类.由于当'()0r x ≤时，()r x 是非递增的。
要使'()0r x ≤，即则''''''2()0,u u u -≥故''''''()()0.u u x u-≥因此，3U 类函数存在的必要条件是'''0,(,),u x a b >∈但不是充分条件.上面给出了适应于不同情况的效用函数的基本形式，实际中需要依据具体问题的性质，来选用合适的效用函数，对问题进行研究.DVD 在线租赁问题数学模型问题提出随着信息时代的到来,电子商务已成为一个重要的商业途径.在线DVD 租赁就是其中一种典型的经营方式，但在实际的经营过程中还是存在很多问题.下面我们从复杂的现实情况中考虑一个典型的情景. 鉴于业务量的考虑，网站有必要采用会员制度，顾客需缴纳一定数量的月费成为会员.会员对哪些DVD 有兴趣，只要在线提交订单，网站就能立即了解他们的需求，并通过快递的方式尽可能满足要求.会员提交的订单内容包括他对哪几张DVD 感兴趣，对不同的DVD 的偏爱度，用数字表示.这些DVD 是基于其偏爱程度排序的.网站会根据手头现有的DVD 数量和会员的订单进行分发.每个会员每个月租赁次数不得超过2次，每次获得3张DVD.会员看完3张DVD 之后，只需要将DVD 放进网站提供的信封里寄回（邮费由网站承担），就可以继续下次租赁.1、由于DVD 的更新速度很快，网站必须时常更新现有产品，因此在现有会员中随机抽取1000个会员进行调查，以得知愿意观看不同DVD 的人数（表给出了其中5种DVD 的数据）.虽然网站规定每位会员每月只能借两次DVD ，但从历史数据显示，60%的会员每月租赁DVD 两次，而另外的40%只租一次.现在我们假设网站现有10万个会员，并已经知道会员对DVD 的需求，以及会员每月订DVD 的规律.问题是应该至少准备多少张，才能保证希望看到该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到？如果要求保证在三个月内至少95%的会员能够看到呢？表 对1000个会员调查的部分结果2、尽可能多的满足会员是经营中的一大目标，但每个会员对不同DVD 的偏爱度是大相径庭的，虽然他们都对该DVD 下了订单，但最后得到该张DVD 收到的效果差别很大，所以还要考虑会员满意度的问题.表列出了网站中20种DVD 的现有张数和当前需要处理的100位会员的在线订单.如何对手中已有的DVD 进行分配，以使所有会员的满意度和达到最大？表 现有DVD 张数和当前需要处理的会员的在线订单（表格格式示例）在线订单D001－D020表示20种DVD, C0001－C0100表示100个会员，会员的在线订单用数字1,2,…表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD当前不在会员的在线订单中.3、在实际的经营过程中，不可能像刚才讨论的两个问题这么简单，我们不可能将顾客的满意率与他们的满意度割裂开来分开研究，可以说这是两个问题是相互牵制的关系.假设表中DVD现有数量全部为0.作为网站经营管理人员，如何决定每种DVD的购买量，以及如何对这些DVD进行分配，才能使一个月内95%的会员得到他想看的DVD，并且满意度最大呢？只有弄清楚这个问题，我们才能初步的对DVD在线租赁问题有个认识.问题分析问题一类似于“货物存储问题（Inventory problem）”，基本思路是跟踪DVD在一个月（三个月）内的流动情况，目标是计算出DVD的流转次数，然后再结合满意率要求得出所需准备的DVD数量.问题二类似于“分配问题”或“指派问题（Assignment problem）”，我们可以对偏爱度进行适当的处理以满足我们的要求.0-1规划是处理该问题的最佳方法，因此如何使用这一方法将是研究问题二的关键.问题三看似是问题一与问题二的结合（存贮+分配），但实际要复杂得多.它综合考虑一个月内DVD 的购买、分配方案，是一个多目标线性规划.从经济效益看，在保证95%以上会员一个月内看到想看的DVD的情况下，希望购买尽量少的DVD，从社会效应看，则要尽可能多地考虑让总的满意度最大.这时，可以将多目标规划变为单目标规划，以求得一个经济与社会效益的综合最优.由于问题三牵涉到两次分配，而对会员满意率的理解又有多种解释，因此目标及约束函数会和问题一、问题二有很大差别.而问题三的模型又可从当前满意度最大和一段时间内满意度最大两个角度来考虑.假设条件1.对1000名会员的调查足以反映10万名会员对于各种DVD的需求及喜好；2.所有会员提交订单的时间是随机的；3.一个月的天数为30天；4.会员中有60%的会员每月租赁DVD两次，40%的会员每月租赁DVD一次；5.会员只有在需要再次租赁DVD时，才会将上次租赁的DVD归还；6.会员临近两次借的DVD种类不会重复；7.每位会员每月至少租赁1次；8.会员本次提交后没得到该DVD，则他下次仍要看该DVD，且偏爱度不变；9.每类租赁出的DVD有60%在每月租赁2次的会员中，40%在每月租赁1次的会员中；10.公司收到订单时不知道此会员在一个月内会借一次或两次.在实际建模中还会遇到其他问题，比如问题一中可以淡化会员每次借三张的条件，即会员每次借的DVD数量不固定；问题二中不考虑多次分配的问题；问题三中对顾客满意率的不同理解.因此，我们将在以下讨论具体问题时再给出.模型建立与数值求解参数与变量说明jX：第i时间节点上第j种DVD的可分配量；iP：所有会员中愿意观看第j种DVD的人的概率；jc P ：所有会员中每月借2次的人的概率； s P ：需要满足的会员比例；M ：会员总数；n ：所考虑的时间跨度，即月份数；ij b ：第i 个会员对第j 种DVD 的偏爱程度； ij a ：第i 个会员对第j 种DVD 的满意度；ij x ：分配变量，1ij x =表示第i 个会员得到第j 种DVD ，否则为0；j w ：网站第j 种DVD 的现有数量.其余特殊的变量将在后面的讨论中具体说明. 问题一：悲观情况估计 — 一个月假设DVD1其购买量为1x ，从表1可以认为想看DVD1的有2万人，而会员一个月借1次或借2次是随机的，这就可能出现极端的情况，即第一次分配时正好所有1类会员都分配到了DVD1，我们把这种情况称为悲观情况.则1x 的一部分首先被会员总数40%的1类会员借走了，而且在该月不会归还.那么，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD ，则DVD1总的购买量应满足：同理，设j p 为愿意看第j 种DVD 的人的概率，j p 可从表1中将愿意看该DVD 的人数除以总人数可获，则5种DVD 的购买量为:问题一：悲观情况估计－三个月从“一月情况”，我们可以推广到“三月情况”.如果140%20000x <⨯，则每次分配都将只能由每月借一次的会员的到DVD ，这样三个月中DVD1的流动量就仅为13x ，为了保证至少有50%的会员在一个月内能看到该DVD ，那么此时DVD1总的购买量应该满足同理，对于其余4种DVD 的购买量有，为保证三个月内至少95%的会员看到他想看的DVD ，每种DVD 的购买量为： 问题一：均值情况估计 现实中，每天都会有订单提交，也有DVD 归还，而且都是服从参数为λ的普哇松分布.考虑平均情况，认为：60%的会员15天归还DVD ，40%的会员一个月归还，即对于每张DVD 有60%的可能15天流通一次，40%的可能30天流动一次.假设所有会员在每个月的某天（不妨为1号）提交订单，那些2类会员也集中在15号归还并提交下一份订单，则可以发现上述的简化是普哇松分布的平均情况.因此，在处理时可以不考虑每个会员的具体租赁、归还的时间，而只考虑每个月两次的分配方案，即1号和15号的分配方案.同时，在DVD 租赁出去后，对于某种DVD ，是均匀的分布在1类会员和2类会员中，即在15号，该DVD 将有60%归还.我们用下图表示租赁情况，每块代表长度为15天的时段，上方的箭头表示该时刻借出的数量，下方表示归还的数量.则初始时刻DVDj 有1jx 张可用于分配的可能被分配给一月个借2DVDj1160%j x ⨯的DVDj 借出.则1j x 与2j x 有如下关系：这样就可以计算DVDj 在一个月中的流通量1211.6jjjx x x +=即一个月内DVD 的流通量为月初购买量的倍，称这个“”为“一月流通系数”.那么DVD 一个月最小购买量可通过以下公式来计算：由表1得到1000人中愿意观看每种DVD 的概率分别为： 由于这1000人为10万人的子样本,()12345,,,,p p p p p 也可表示10万人中愿意观看每种DVD 的概率.则100000j p 表示10万人中愿意观看第j 种DVD 的人.经计算，各种DVD 的最少月初购买量为：总的最少购买量S=12033问题一：均值情况估计－三月该情况需要考虑6个时段，而且各个时段节点互相影响.在“一月情况”中已经知道1j x 与 2jx 之间的关系：在第3个时间点，会有3jx 张DVD 归还.观察3jx 张DVD 的组成，第1个时间点有40%的DVD 分配给了1类会员，则在第3个时间点归还，数量为10.4jx .而对于第2个时间点中收回的部分DVD 同样有60%的可能分配给2类会员，40%的可能分配给1类会员，因此在第3个时间点，会有60%的人归还，数量为20.6j x .则第3个时间点收回的3j x 来源于两个部分，分别为第1时间点借给“一类会员” 的DVD 以及第2个时间点借给“二类会员”的DVD.所以有3120.40.6j j jx x x =+.三个月内6 DVD 租出数如下： 第一次：1jx 第二次：210.6jjx x = 第三次：3120.40.6jjjx x x =+ 第四次：4230.40.6jjjx x x =+DVDj jx第五次：5340.40.6j j j x x x =+ 第六次：()6450.40.61,2,3,4,5jj j x x x j =+=由此，可以得出一个通用的递推公式：通过上面的递推公式就可以建立与“一月情况”相似的模型： 经计算，各种DVD 的最少月初购买量为总的最少购买量S=8147.由上面的递推公式可得“三月情况”中DVD 的流通量： 式中“” 为“三月流通系数”.问题一：理论证明事实上，不必认为所有人都在1号来借DVD.以DVD1为例，设某种DVD 一个月内被看到1次的概率为，被看到2次的概率为，则其服从分布：为使想看该DVD 的会员中至少50%在一个月内能够看到，即要150%20000nii ξ=≥⨯∑ 成立的概率尽可能大，不妨取：150%2000095%n i i P ξ=⎛⎫≥⨯≥ ⎪⎝⎭∑由于i ξ是独立同分布的，且n 的数量很大，有中心极限定理知，1nii ξ=∑近似服从正态分布.将其化为标准正态分布即为：查表并求解得：(20.256250n ≥+≈同理也可推出其他解，由此证明了均值情况下的估计是完全可行的.问题一：一般情况推广在上面的基础中，我们把模型推广到范围更广的现实经济生活中.假设通过问卷调查分析推算出任意客户群体的借阅分布情况，设c p 为2类会员的概率，s p 为需要满足的会员比例，n 为所考虑的时间跨度，即月份数，M 为会员总数，则可得到下面更一般的带约束的线性规划模型（这里人设DVD 种类为5种）：问题二的模型与求解问题二是在现有一定数量DVD 的前提下，如何分配以使会员总的满意度最大.这与“分配问题”或“指派问题（Assignment problem ）”有很多相同点.我们可以通过一些变化来使求解“分配问题”的模型能运用于该问题.我们把问题二中“100个会员对DVD 的需求” 理解为“需要完成的100项任务”，“20种DVD 数量”理解为“有m 个人可以承担这些任务”，“会员对于不同DVD 的偏爱度”理解为“不同人去完成不同工作的效率”，通过类比就能把分配问题的模型运用到问题二中了.分配问题最常用的方法是0-1型整数规划.在具体使用前，还需要将每个会员对不同DVD 的偏爱度转化为满意度.因为我们的目标是总体满意度最大.从表中可以看到：会员的在线订单用数字1,2,L 表示，数字越小表示会员的偏爱程度越高，数字0表示对应的DVD 当前不在会员的在线订单中.通过观察我们用一个大于9的固定数值来减偏爱数,把这个差值作为满意度.问题二:参数定义1、设矩阵B 为偏爱度矩阵，矩阵中的元素ij b 为表中的偏爱数，表示第i 个会员对 DVDj 的偏爱数.ij b 越小表示会员的满意程度越高，ij b 为1时最高，为0时表示客户没有下订单.于是就得到了偏爱度矩阵()()100201,2,3,,100;1,2,3,,20ij B b i j ⨯===L L .2、设矩阵A 为满意度矩阵，矩阵中的元素ij a 为满意度，表示第i 个会员对第DVDj 的满意度. ija 可通过如下算法获得：通过矩阵()()100201,2,3,,100;1,2,3,,20ij A a i j ⨯===L L 就能应用0-1规划进行求解.3、令ij x 为分配变量，1ij x =表示第i 个会员得到DVDj ；0ij x =表示DVDj 未分配给第i 个会员.由此得到我们要求的分配矩阵为：4、令j w 表示DVDj 的现有数量，则有数量矩阵()8,1,22,10,,38W=L .5、令1002011ijij i j ax ==⨯∑∑表示所有会员满意度的总和，我们的目标就是求出其最大值.问题二:模型建立1.因为表中的数字0意义特殊，不直接与满意度产生关系.0代表该DVD 没有出现在订单中，即会员不需要看该DVD.从分配费用考虑，避免把该DVD 分配给会员.根据 ij x 的定义，不妨认为：ij ij x b ≤，则0ij b =时，ij x 也等于0，即避免了上述情况的发生.2.由于一次最多只能借3张，那么就有：()20131,2,3,,100ijj xi =≤=∑L ，又DVDj 分配给各会员的数量肯定不超过现有数量j w ，所以：1001ijj i xw =≤∑.由以上分析可得问题二的模型：用LINGO 数学软件实现对此题0-1规划模型的求解. 问题二:模型改进-约束条件改进根据上述模型的求解，我们发现有些会员没有分配到3张DVD ，即他们的需要没能被满足.从网站的社会效益考虑，这样的情况会导致网站客户的流失.所以希望在满足所有会员都能借到3张DVD 的前提下，再通过会员总满意度最大来决定分配方案.这就需要对上面的模型做一些改进.我们可以将()20131,2,3,,100ijj xi =≤=∑L 改为()20131,2,3,,100ijj xi ===∑L ，则得到模型问题二:模型改进-约束条件改进以上修改，约束条件加强了，可能导致模型无可行解.事实上通过LINGO 程序也发现该模型无解.因为约束条件中规定了不能分配给会员不要的DVD，而会员每次都被分到3张，则网站至少有300张DVD，而现仅有303张，只比最低限度多3张，则当某DVD需求较大时就会供不应求.所以要放宽条件1，才能找到最优解.最优值在第165次迭代后得到Z=2024.以上两个模型的结果是相同的，由于约束条件的放宽，后一个模型的迭代次数较少，则在说明每个会员一次能借到3张DVD不会影响会员整体满意度，而且从模拟结果看，改进后的对原有分配策略影响不大.问题二:模型改进-满意度定义改进以上的讨论都是基于用一个固定数去减会员偏爱数作为满意度来分析的.但存在一定的不合理性.比如，当看到了最想看的DVD时，心理上满足是非常大的，但若仅仅得到了第二想看的DVD，那样满足感会大打折扣，而如果仅得到了第三想看得DVD，满足感会更低，但与仅获得第二想看的DVD相比，也许失落感并不会如没有获得第一想看的DVD那么大.所以，如果只是简单得把会员订单中的DVD进行了相同差别的处理，无法表示出会员的真实满意度差别.所以我们想到了用偏爱数的倒数来表示会员的满意度，对满意度矩阵A的元素2ij a重新定义：把新定义的满意度代入上述模型中，并由LINGO 程序计算，最优值在第54次迭代后得到Z=153.9984.我们对分配策略的分析发现，该结果与上一个模型相比并没有太大的变动，这是因为两种满意度的定义其实质是一样的.问题三的模型与求解在现实的网站经营中需要综合考虑问题一、二，这就需要我们进一步讨论问题三的模型，它需要考虑两次分配方案，但我们可以简化为仅考虑当前时间点下如何用最小的DVD购买来满足95%的会员并找出最佳分配方案使会员总满意度最大.那么如何将这两个目标同时放入一个目标函数呢，最简单的方法就是相加.由问题二知道，目标是使所有会员满意度总和1002011ij iji j a x==∑∑尽可能地大，而且每种DVD数量j w是固定的，但问题三中DVD的购买量是自己定的，因此设置一个新的变量jd表示当前需要购买DVDj的数量，201jjd =∑则表示总的购买数量，而且从盈利角度考虑总的购买数量越小越好.所以我们可以将目标函数定如下：问题三:等权情况（会员总体满意度与DVD购买量权重相等）针对“使一个月内95%的会员得到想看的DVD”的要求，可以参照问题一的处理方法，从表中统计出原意观看DVDj的人数占全体会员比例.结果如下：。