第二章平面任意力系aPPT课件
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平面力系-PPT课件
力偶：两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成 的力系。 记作（F，F′） d 称为力偶臂 力偶所在的平面称为力偶的作用面。
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
2.4 平面力偶
（1）力偶不能合成为一个力，力偶也不能用一个力来平衡。因 此，力和力偶是静力学的两个基本要素
（2）力偶对作用面内任一点的矩，与矩心的位置无关。 力偶对点O的矩为Mo（F，F′）,则 M o (F ,F ) M o (F ) M o (F ) F (x d ) F xF d 力偶矩是一个代数量，其绝对值等于力的 大小与力偶臂的乘积，正负号表示力偶的 转向：一般以逆时针转向为正，反之为负。
合力矩定理：平面汇交力系的合力对于平面内任一点之 矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。
n
MO(FR) MO(Fi) i1
上式适用于任何有合力存在的力系。
2.3 平面力系中力对点之矩的概念及计算
力矩的解析表达式 已知力F，作用点A（x,y）及夹角θ。 力F 对坐标原点O之矩
M O (F ) M O (F y) M O (F x)
Fx 0 FBAF1sin30F2sin60 0 Fy 0 FBC F1co3s0F2co6s0 0
F 1F2P2k0N 4.解方程
F B A 0 .3P 6 6 7 .3k 2N 1F BC 1.36 P 62.3 7k 2N FBC为正值，表示这力的假设方向与实际方向相同， 即杆BC受压。 FBA为负值，表示这力的假设方向与实际 方向相反，即杆AB也受压力。
结论:平面汇交力系可简化为一合力,其合力的大小与方向
等于各分力的矢量和(几何和),合力的作用线通过汇交点。
特殊情况：如力系中各力的作用线都沿同一直线，则
此力系称为共线力系它是平面汇交力系的特殊情况，该力
第二章平面汇交力系ppt课件
⑴选箱盖为研究对象， 画它的受力图
⑵三个力必汇交于吊环 中心A。
⑶画力三角形
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
a TAC
30° W 45° c
b
TAB
如果力三角形的几何 关系不复杂，可以选 用数解法，运用三角 公式来计算:
O
F1
A
O
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
(2)平面汇交力系的合成:
应用力的多边形法则:
设刚体上受到F1、F2、F3及F4等许多力的作用， 它们的作用线在同一平面内，正汇交于O点。 (如图所示)
R RX 2 RY2 (417)20(275)20500N0
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
⑵合力的方向:
cos RX
R
4170
0.834
5000
Y RX O
Rα
X
RY
RX = ∑FX = - 4170N
⑴ 按比例先画出封闭的力多边形 ⑵ 用尺和量角器在图上直接量得所要求的
未知量
也可采用数解法，即根据图形的边角关系， 用三角公式计算出所要求的未知量。
例1 起重机吊起的减速箱盖重W＝900 N， 两根钢丝绳AB和AC与沿垂线的夹角分别为 α＝45°， β ＝30°试求箱盖匀速吊起时， 钢丝绳AB和AC的张力。
严格执行突发事件上报制度、校外活 动报批 制度等 相关规 章制度 。做到 及时发 现、制 止、汇 报并处 理各类 违纪行 为或突 发事件 。
理论力学平面任意力系课件
则都是基于矢量运算的基本原理。
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
05
平面任意力系的应用
平面任意力系在工程中的应用
桥梁和建筑结构
在桥梁和建筑结构的设计和施工中， 需要分析平面任意力系对结构的影响 ，以确保结构的稳定性和安全性。
机械系统
航空航天
在航空航天领域，平面任意力系分析 对于飞行器的设计和性能优化至关重 要，它涉及到飞行器的稳定性、操控 性和安全性等方面。
平衡方程的应用举例
总结词
理解平衡方程的应用场景
详细描述
通过具体的应用举例，能够更好地理解平衡方程的应用场景和实际意义。例如，在工程 实际中，可以运用平衡方程解决各种平面力系的平衡问题，如吊车梁、桥梁、支架等结 构的稳定性分析。此外，平衡方程在机械、航空航天、土木工程等领域也有广泛的应用
。
04
平面力系的合成与分解
力矩和力矩的平衡方程
要点一
总结词
力矩是描述力的转动效果的物理量，其平衡方程是解决转 动问题的关键。
要点二
详细描述
力矩是描述力的转动效果的物理量，其大小等于力和力臂 的乘积。在平面问题中，通常需要分析力和力矩的作用效 果，以确定物体的运动状态。通过建立力矩的平衡方程， 可以求解出未知量，从而解决转动问题。
应用场景
在分析刚体平衡时，可以将力平移到 刚体的任意一点，简化分析过程。
平面任意力系的简化结果
主矢
所有力矢量按平行移动到同一点 后的等效力矢量。
主矩
所有力矩矢量按平行移动到同一 点后的等效力矩矢量。
固定点和刚体的选择对简化结果的影响
固定点选择
选择不同的固定点进行力的平移，会得到不同的主矢和主矩 。固定点的选择会影响到平面任意力系的简化结果。
刚体选择
2平面任意力系1 PPT课件
中心
平 面
F2'F2
M2 MO F2
任 意
力 系
Fn'Fn
Mn MO Fn
的
简 化
F R' F i' F i M M i M O F i
主F 矢 R F i 主 M O 矩 M O F i
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
例题一
arcR xca orsc2c .5 5o 5 9.s 4 208
第 三 节
R'
25kN
MA
d
A
R
20kN
60o
4.0 21
B
平
30o
面 任
1m
1m
1m
18kN
意
力 系
求力R系的主矩
的 简
MA = 1×25 + 2 × 20sin60o - 3 × 18sin30o
c
bo
图中 a=3m,b=1.5m,
W1
c=6m, l=10m,
W=m2g, P =m3g Q
W1=m1g。
L
y
x
x FR
a
图3-7 例题3-2图
临沂大学机械工程学院机械系
徐波
理论力学 第 二 章 平面力系
【解】机架重量、起吊重量及平衡锤重量分别设为W1 、 W、 Q。这是一个平面一般力系的特例——平面平行力系。
化
= 32.64 kN·m
dM A3.2 64 0.77m 7 R 4.2 01
2平面任意力系简化2-25
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
数、大小和方向）不完全相同，但其所产生的
运动交应却可能是相同的。这时，可以称这些
力系为等效力系。
序
言
为了判断力系是否等效，必须首先确定表示力 系基本特征的最简单、最基本的量——力系基 本特征量。这需要通过力系的简化方能实现。
序言
本章首先在物理学的基础上，对力矩的概念加以 扩展和延伸，同样在物理学的基础上引出力系基 本特征量，然后应用力向一点平移定理和方法对 力秒加以简化，进而导出力系等效定理，并将其
解：根据平面力偶系的简化结果，由式（2-7）得
本例中3个力偶所组成的平面力偶系的合力偶的力 偶矩，等于3个力偶的力偶矩之代数和，即：
图2-4 例题2-2图
Mo Mi
i 1
n
M1 M 2 M 3 F1 h1 F2 h2 F3 h3 0.4m 200 N 1m 600 N 400 N 0.4m 0 sin 30 520 N m
力F1、F2、F3，各力的方向如图2-3a所示，各力
的大小分别F1＝３kN、F2＝4kN、F3＝5kN。试
求：螺钉作用在墙上的力F。
图2-3 例题2-1图
解：要求螺钉用在墙上的力就是要确定作用在 螺钉上所有力的合力。确定合力可以利用力的 平等四边形法则，对力系中的各个力两两合成 。但是，对于力系中力的个数比较多的情形， 这种方法显得很繁琐。而采用合力的投影表达 式（2-6），则比较方便。 为了应用式（2-6），首先需要建立坐标系Oxy ，如图2-3b所示。 先将各力分别向x轴和y轴投影，然后代入式（ 2-6），得：
理论力学平面任意力系资料课件
稳定性判定准则
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
根据受力情况，可以判定一个平衡 状态是否稳定，准则包括牛顿第二 定律、虚位移原理和最小势能原理 等。
04 平面任意力系的实例分析
固定端约束的受力分析
01
固定端约束的定义
固定端约束是指物体在某个固定点受到限制，不能沿约束方向移动或转
动。
02 03
固定端约束的受力特点
固定端约束限制了物体在约束方向上的移动和转动，因此会产生约束反 力。约束反力的大小和方向取决于物体的质量、物体的运动状态以及约 束的形式。
光滑接触面的受力分析方法
对于光滑接触面，我们需要分析接触点处物体的受力情况。根据牛顿第三定律，接触点处 物体受到的法向力大小相等、方向相反。因此，只需要分析其中一个物体的受力情况即可 。
弹性力学问题的受力分析
要点一
弹性力学问题的定义
弹性力学问题是指物体在受到外力作 用时，其内部会产生应力和应变，当 外力消失时，物体能够恢复到原来的 状态。
力的合成
两个或多个分力可以合成一个合力。合力的大小和方向等于 各分力大小和方向的矢量和。
力的矩与转动
力的矩
力对某点产生的力矩等于该点到该力的距离乘以该力的大小。力矩的方向垂直于由力作用点到该点的 向量和该点到转动轴的向量所组成的平面。
转动平衡
当物体所受的合力矩为零时，物体处于转动平衡状态。此时，物体的角速度为零，或者角加速度也为 零。
05 平面任意力系的计算方法
解析法求解平衡问题
01
02
03
解析法
通过已知的约束反力和未 知的约束反力，建立平衡 方程，求解未知的约束反 力。
平衡方程
根据力的平衡条件，建立 的关于约束反力的代数方 程。
求解步骤
第二章平面任意力系
M1
= F O
M2
FO1
O1
34
B
30
A O
FAB 30
A
B
FBA
O M2 O1 M1
M1
= F O
M2
FO1
O1
解：分别取杆OA和O1B为研究对象。受力图如图所示。
OA： O1B：
M i FAB OAsin30 M1 0
M i M 2 FBA O1 B 0
箭头表示力偶的转向，M 表示力偶矩的大小。
A
F
F'
M
=
B
24
平面力偶系实例
25
2.4.2 力偶的性质
性质1 力偶既没有合力，也不能用一个力等效替换。
性质2 力偶对其作用面内任意一点的矩恒等于该力偶的力 偶矩，与矩心的位置无关。
o A x
F
C d B
F'
M 0 ( F , F , ) F , ( x d ) Fx M
力对刚体的转动效应----力对点的矩(简称力矩)来度量
如图所示为用扳手松紧螺母的示意图。
力F对于点O的矩用MO(F)表示,即
A F
M O (F ) F d
O
d
B
20
平面力对点之矩
21
点O 称为矩心；d 称为力臂。
正负号表示力矩在其作用面上的转向。一般规定力F
使刚体绕点O 逆时针转动为正，顺时针转动为负。 力F 对点 O 之矩，其值还可以用以力F 为底边，以矩
解：选整体为研究对象，受力分析如图所示。由于CD杆为 二力构件，可以确定作用于C点的力的方向如图所示。 由于 FA 和 FC 两个力和力偶 (F1, F2 ) 相互平衡，可知 FA 和 FC 两个力应构成力偶。列构件AB平衡方程，有
平面任意力系平衡课件
平面任意力系平衡方程建立过程
选择研究对象
根据需要求解的平衡问题，选择 适当的物体或系统作为研究对象
。
受力分析
对研究对象进行受力分析，画出受 力图，并确定各力的方向和作用点 。
建立平衡方程
根据平面任意力系的平衡条件，建 立两个独立的平衡方程，分别表示 合力为零和合力矩为零。
平衡方程求解技巧与实例分析
传动轴强度校核
校核传动轴在承受扭矩作用下的强度，确保其安 全可靠。
传动轴变形分析
分析传动轴在扭矩作用下的变形情况，评估其结 构性能。
THANKS
感谢观看
便性。
06
工程实际中平面任意力系平衡应 用案例
桥梁结构支撑反力求解
支撑反力计算
根据桥梁结构类型、荷载条件及约束 条件，采用静力学平衡方程求解支撑 反力。
支撑稳定性校核
桥梁变形分析
分析桥梁在荷载作用下的变形情况， 评估其结构性能。
校核支撑结构在承受反力作用下的稳 定性，确保其安全可靠。
起重机械吊重物体稳定性校核
力系
作用于物体上的一组力，按其作 用效果可分为平衡力系和非平衡 力系。
平面任意力系分类
01
02
03
汇交力系
所有力作用线交于一点的 力系，可用合力表示。
平行力系
所有力作用线相互平行的 力系，可用合力矩表示。
一般力系
不满足上述两种条件的任 意力系，需用多个平衡方 程求解。
平衡状态与条件
平衡状态
物体相对于地球保持静止或匀速直线运动的状态。
静不定问题求解思路及实例分析
求解思路
利用平衡条件和变形协调条件建立补充方程 ，联立求解未知量。对于复杂结构或荷载情 况，可采用力法、位移法等方法进行求解。
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
第二章-2 平面任意力系
第二章-2 平面任意力系一、判别题（正确和是用√，错误和否×，填入括号内。
）3-1 力系的主矢量是力系的合力。
（×）3-2 若一平面力系向A，B两点简化的结果相同，则其主矢为零主矩必定不为零。
（×）3-3 首尾相接构成一封闭力多边形的平面力系是平衡力系。
（√）3-4 力系的主矢和主矩都与简化中心的位置有关。
（×）3-5 当力系简化为合力偶时，主矩与简化中心的位置无关。
（√）3-6 平面一般力系，若力多边形中诸力矢首尾相接，自行闭合，则其合力为零。
（×）3-7 任何物体系统平衡的充要条件是：作用于该物体系统上所有外力的主矢量F R = 0和主矩M = 0。
（×）3-8 当某平面一般力系的主矢F R = ∑F1 =0时，则该力系一定有合力偶。
（×）3-9 当平面一般力系向某一点简化为合力偶时，如果向另一点简化，则其结果是一样的。
（√）3-10 平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等于零。
（×）3-11 作用于刚体的平面一般力系的主矢是个自由矢量，而该力系的合力（若有合力）是滑动矢量，但这两个矢量等值、同向。
（×）3-12 只要力系的合力等于零，该力系就是平衡力系，（×）3-13 只要力系是平衡的，它的合力一定等于零。
（√）3-14 在一般情况下主矢F R与简化中心的选择无关，主矩M O与简化中心的选择有关。
（√）3-15 某一平面力系，如其力多边形不封闭，则该力系一定有合力，合力作用线与简化位置无关。
（√）3-16 某一平面力系，向A、B两点简化的结果有可能相同，而且主矢、主矩的不为零。
（√）3-17 某平面任意力系向A点简化的主矢为零，而向另一点B简化的主矩为零，则该力系一定是平衡力系。
（√）3-18 若某平面任意力系向其作用面内任一点简化，如果主矩恒等于零，则力系一定是平衡。
（√）3-19 对于任何一个平面力系总可以用一个力和一个力偶来平衡。
平面任意力系-PPT
FAx 0
FB 5kN
FAy 7kN
38
平面任意力系平衡方程的其他形式
X 0
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0
二矩式 条件：x 轴不 AB 连线
R
A
B
x
39
M A (Fi ) 0 M B (Fi ) 0
M C (Fi ) 0
三矩式
条件：A,B,C不在 同一直线上
大小： R Rx2 Ry2 ( X )2 (Y )2
与简化中心位置无关 [因主矢等于各力的矢量和]
方向：
cos(R , i
)
Rx R
15
平
合
移
M1 M
成
M 简化 中心
大小：
M O M O (Fi )
主矩MO 方向： 方向规定 +
—
与简化中心有关
[因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和]
16
解得：
FBD 2 2P , FAy P , FAx 2P
45
[例9] 求A处 支座反力。 P=qa m=qa2
a
a
解：[整体]
3a
q
A
46
P=qa
m=qa2
解：[整体]
a
a
X 0,
FAx
1 2
q
(3a)
0
3 qa
3a
2
Y 0 , FA y P 0
1
M A 0 , M A 2 q (3a) a Pa m 0
求：力系向O点的简化结果 合力与OA的交点到点O的距离x， 合力作用线方程
30
解： （1）主矢：
Fx F1 F2 cos 232.9kN Fy P1 P2 F2 sin 670.1kN
2平面任意力系简化2-25
增加平衡力系后，作用在A点的力F与作用在B的
力组成一力偶，这一力偶的力偶矩M等于力F对O 点之矩，即：
M M o ( F ) Fh
施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由
作用在B点的力F和作用在刚体上的一个力偶矩为M 的力偶所组成的力系，如图2-1c所示。
根据以上分析，可以行到以下重要结论：
合成为一个合力和一个合力偶。
2．3．3平面力系的简化结果 上述分析结果表明： 平面力系向作用面内任意一点简化，一般
情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作
用线通过简化中心，这一力称为力系的主矢，
它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作
用于原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化 中心主矩，数值等于力系中所有力对简化中心 之矩的代数和。
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
例题2-3 图2-5之刚性圆轮上所受复杂力系可以 简化为一磨擦力F和一力偶矩为M、方向已知的 力偶。已知为F的数值为F=2.4kN。如果要使力 F和力偶各B点简化结果只是沿水平方向的主矢 FR ，而主矩等于零。B点到轮心O的距离 OB=12mm（图中长度单位为mm）。求：作 用在圆轮上的力偶的力偶矩M的大小。
例题 2-4 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 P=2200N，吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。 有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直 反力，以及拉索BF 的拉力。 y
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§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
z
B F
Od
r
y
A
B
F
O
d
r
A
x
r Radius Vector 矢径
矢量M： OFrF
大小 :MO(F)rF
rFrFsin~r和 F的夹角
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
2 Varignon 定理 （合力矩定理）
平面汇交力系的合力对平面内 任意一点的矩等于各分力对该点之 矩的代数和。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 两个汇交力的合成——力三角形规则
FF1F2F2F1
连接顺序可以任意变换 首尾相连
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1. 两个汇交力的合成——力三角形规则
思考：
F3 F1F2
F1F2F30
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2、多个汇交力的合成——力多边形规则
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
2、多个汇交力的合成——力多边形规则
FFF R1 1 2
3
FR2 FR1F3 Fi i1
11
FR1 F1F2
3
FR2 FR1FR3 Fi i1
.. . .. . .. .
n
FR FRn1Fn Fi i1
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
力的多边形规则：
Fx
MAFM A F xM AF yb源自Fxb0Fsianb
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
例题 2
三角形分布载荷作用在水平梁AB上，如图所示，最大载 荷集度为q ,梁长l , 试求该力系的合力。
q
A
B
l
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
1. 计算合力的大小 FR
qx
FR q
静力学
第 二 章 平面力系
第 二 章 平面力系
本章我们将学习什么内容
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法 平面汇交力系合成与平衡的解析法
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算 平面力偶
第 二 章 平面力系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
1、两个汇交力的合成——力三角形规则 2、多个汇交力的合成——力多边形规则 3、平面汇交力系平衡的几何条件
Pierre Varignon 法国数学家 1654~1722
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
2 Varignon 定理 (合力矩定理)
M O ( F ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) .. M .O . ( F . n ).
F2
F1 A
FR
Fi
O
r
Fn
根据
F RF 1F 2.. .F .n .
例题 1 求力 F 对点 O 和 A 的矩
F
a
B
b
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
F
a
M OFFd
是否容易计算力臂 d ?
B
d
b
O
A
a
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
MOFM O F x M OF y
F
a Fy
FxbFya
F sa in b F ca o as
B
i F1x Fn Fny F3y
FRxF2x x
合力在某一轴上的投影，等于各个
F3
分力在同一轴上的投影的代数和。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
5. 平面汇交力系的平衡方程
平衡条件: FR FR2xFR2y0
平衡方程: Fx 0 Fy 0
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
根据合力矩定理
MAFRMA FRhq32l
ql FR 2
h 2l 3
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
3.结论
1) 三角形分布载荷合力的大
qx
上式左右乘上矢径 r
由此:
r F R r (F 1 F 2 .. .F n .).
M O ( F ) M O ( F 1 ) M O ( F 2 ) .. M .O . ( F . n ).
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
力对刚体的作用效应：
位移 转动
力矢量 力距
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 直角坐标系下力的投影 2. 直角坐标系下力的分解 3. 投影与分解是不同的概念 4. 合力投影定理 5. 平面汇交力系的平衡方程
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
1.直角坐标系下力的投影
Fy
y
bF
a
A j
Oi
Fx
Fx Fcoas B Fy Fcobs Fsina
F Fx2 Fy2
coasco(sF,i)Fx/F cobsco(sF,j)Fy/F
4. 合力投影定理
y
F1
F R x F 1 x F 2 x .. .F n . x ..F x
F1y FRy
F2y
b
FR F2
F R y F 1 y F 2 y .. .F n . y ..F y
FR FR2xFR2y
Fnx
j O
a F3x
cosF(R,i) FR x/ FR cosF(R, j)FRy/FR
1. 力对点的矩 2. 合力矩定理
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
1. 力对点的矩（力矩）
z
矩心 O
B F
O
O d d : 力臂 y
矩心 O
A
B F
d d : 力臂
A
x
MO(F)Fd2AOAB 单位 :Nm或kNm
符号 绕矩心旋转: 逆时针 “+” 顺时针 “－”
共点力系可以合成为一个力，合 力作用在力系的公共作用点，它等 于这些力的矢量和，并可由这力系 的力多边形的封闭边表示。
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
3、平面汇交力系平衡的几何条件 平衡条件： Fi FR0
力多边形自行封闭
第 二 章 平面汇交力系与平面力偶系
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
A
B
l x dx
qx
q
x l
x dFx q l dx
FR
l
0 dFx
l q x dx 0l
qx 2 x l
ql
2l x0
2
§2-2 平面力对点之矩的概念和计算
[解]
2.求合力作用线位置。
qx
FR
q
MAdFx
q
x l
dx
x
A
h
l
x dx
B
MA
l 0
q
x2 l
dx
ql 2 3
MAFR FR h
x
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
2. 直角坐标系下力的分解
Fy
y
矢量
B
Fy b F
a
A j
Fx
FFx Fy FxFxi FyFyj FFxiFyj
Oi
Fx
x
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法
3. 投影与分解是不同的概念
y
F y
F Fy
Fx
O
Fx
x
§2-1 平面汇交力系合成与平衡的解析法