泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100 分）

、选择题（每个 3 分，共15分）

列哪个式子成立（）.

A．收敛点列的极限是唯一的B. 基本点列是收敛点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y 为完备的充要条件是

（

5、设l p（1 p ）的共轭空间为l q，则有1

p

1

A. 1

B.

C. 1

D.

2

二、填空题（每个 3 分，共15分）

1、度量空间中的每一个收敛点列都是）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。

1、设X 是赋范线性空间，x,y X ，T 是X 到X 中的压缩映射，则下

A．Tx Ty x y ，0 B. Tx Ty ，1

C. Tx Ty x y ，0

D. Tx Ty ，1

2、设X 是线性空间，x,y X，实数x 称为x的范数, 下列哪个条件

不是应满足的条件：）.

A. 0, 且x 0等价于x0

B. x x , 为任意实复数

C. x y x

D. xy xy

3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）.

C．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列

）.

A．集X 是开的 B. 集Y是开的

C. 集X 是闭的

D. 集Y 是闭的

1的值为（

q

）.

3、l 1的共轭空间是（）。

4、设X 按内积空间 成为内积空间，则对于X 中任意向量x,y

成立不等式( )当且仅当x与y 线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是( )。

三、判断题(每个3分，共15 分)

1、设X 是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。( )

2、距离空间中的列紧集都是可分的。( )

3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。( )

4、任何一个Hilbert 空间都有正交基。( )

5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。( )

四、计算题( 10 分)

叙述l1空间的定义，并求l1上连续线性泛函全体所成的空间？。

五、证明题(第一个 5 分，其余10分一个，共45 分)

1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。

2、设C[0,1]表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何x,y C[0,1] ，令

d(x,y) 1

0|x(t) y(t)|dt,证明( x, d )成为度量空间。

n

3、证明R n按范数||x|| max| i |组成的赋范线性空间X与R n按范数|| x || | i|

i

i 1

组成的赋范线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X 中的有界集，证明M 中每个点列含有一个弱*收敛子列。

5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。

i1 i1 i1

f (x)

i i

sup i . i sup i x 1,

泛函分析期末考试试卷答案

、填空题

1、柯西点列 2 、巴拿赫空间 3 、 l 4 、|| ≦||x||||y|| 5、对于一切 x ∈ X,是实数

三、判断题

1、对

2、对

3、错

4、错

5、错 四、计算题 答： l 1 x ( 1, 2,L )

i

, i R,(i 1,2L )

i1

对于任意 x ( 1, 2,L n ,L )， y ( 1, 2L n ,L ) ，定义运算

l 1按上述加法与数乘运算成为线性空间 x 1 i

i1

l 1 按上述定义的范数构为 Banach 空间

n

令e n (0,0L 1n ,0L ),n

1,2L ，x n ( 1, 2L n ,0,0, L ),x n

i e

i

n

i 1

则 x ( 1, 2L n L ) l 1能被表示为 x lim x n ，对任意给定 f l 1 ， n n

nn

令 f (

e n )

n ,

n 1,2

L 则 f (x) f (lim x n ) lim f (x n ) lim

i

f (e i )

i

n n n

i 1 i 1

又因为 e i 1对于 i 有 i

f(e i ) f e i 1 f 。

由此可得 sup i f 即( 1, 2L n L ) l

i

反之，对 b ( 1, 2L n L ) l ，作l 1上泛函 f (x) 如下：

n

f(x) i i , x ( 1, 2L n L ) l 1，显然 f 是l 1上线性泛函，又因为 i1

、选择题

1、 A 2 、D

3 、B

4 、D

5 、 D

x y (1

1, 2 2 L n

n

) ， ax (a 1,a 2L a n )