泛函分析试卷

泛函分析期末考试试卷（总分100 分）
、选择题（每个 3 分，共15分）
列哪个式子成立（）.
A．收敛点列的极限是唯一的B. 基本点列是收敛点列4、巴拿赫空间X的子集空间Y 为完备的充要条件是
（
5、设l p（1 p ）的共轭空间为l q，则有1
p
1
A. 1
B.
C. 1
D.
2
二、填空题（每个 3 分，共15分）
1、度量空间中的每一个收敛点列都是）。

2、任何赋范线性空间的共轭空间是（）。

1、设X 是赋范线性空间，x,y X ，T 是X 到X 中的压缩映射，则下
A．Tx Ty x y ，0 B. Tx Ty ，1
C. Tx Ty x y ，0
D. Tx Ty ，1
2、设X 是线性空间，x,y X，实数x 称为x的范数, 下列哪个条件
不是应满足的条件：）.
A. 0, 且x 0等价于x0
B. x x , 为任意实复数
C. x y x
D. xy xy
3、下列关于度量空间中的点列的说法哪个是错误的（）.
C．基本点列是有界点列 D. 收敛点列是有界点列
）.
A．集X 是开的 B. 集Y是开的
C. 集X 是闭的
D. 集Y 是闭的
1的值为（
q
）.
3、l 1的共轭空间是（）。

4、设X 按内积空间<x,y> 成为内积空间，则对于X 中任意向量x,y
成立不等式( )当且仅当x与y 线性相关时不等式等号成立。

5、设T为复希尔伯特空间X上有界线性算子，则T为自伴算子的充要条件是( )。

三、判断题(每个3分，共15 分)
1、设X 是线性赋范空间，X中的单位球是列紧集，则X必为有限维。

( )
2、距离空间中的列紧集都是可分的。

( )
3、若范数满足平行四边形法则，范数可以诱导内积。

( )
4、任何一个Hilbert 空间都有正交基。

( )
5、设X是线性赋范空间，T是X X的有界线性算子，若T既是单射又是满射，则T有逆算子。

( )
四、计算题( 10 分)
叙述l1空间的定义，并求l1上连续线性泛函全体所成的空间？。

五、证明题(第一个 5 分，其余10分一个，共45 分)
1、若T为Banach 空间X上的无界闭算子，证明T的定义域至多只能在X中稠密。

2、设C[0,1]表示闭区间[0,1]上连续函数全体，对任何x,y C[0,1] ，令
d(x,y) 1
0|x(t) y(t)|dt,证明( x, d )成为度量空间。

n
3、证明R n按范数||x|| max| i |组成的赋范线性空间X与R n按范数|| x || | i|
i
i 1
组成的赋范线性空间Y 共轭。

4、设X 是可分Banach 空间，M 是X 中的有界集，证明M 中每个点列含有一个弱*收敛子列。

5、设H是内积空间，M为H的子集，证明M在H中的正交补是H中的闭线性子空间。

i1 i1 i1
f (x)
i i
sup i . i sup i x 1,
泛函分析期末考试试卷答案
、填空题
1、柯西点列 2 、巴拿赫空间 3 、 l 4 、|<x,y>| ≦||x||||y|| 5、对于一切 x ∈ X,<TX,X>是实数
三、判断题
1、对
2、对
3、错
4、错
5、错 四、计算题 答： l 1 x ( 1, 2,L )
i
, i R,(i 1,2L )
i1
对于任意 x ( 1, 2,L n ,L )， y ( 1, 2L n ,L ) ，定义运算
l 1按上述加法与数乘运算成为线性空间 x 1 i
i1
l 1 按上述定义的范数构为 Banach 空间
n
令e n (0,0L 1n ,0L ),n
1,2L ，x n ( 1, 2L n ,0,0, L ),x n
i e
i
n
i 1
则 x ( 1, 2L n L ) l 1能被表示为 x lim x n ，对任意给定 f l 1 ， n n
nn
令 f (
e n )
n ,
n 1,2
L 则 f (x) f (lim x n ) lim f (x n ) lim
i
f (e i )
i
n n n
i 1 i 1
又因为 e i 1对于 i 有 i
f(e i ) f e i 1 f 。

由此可得 sup i f 即( 1, 2L n L ) l
i
反之，对 b ( 1, 2L n L ) l ，作l 1上泛函 f (x) 如下：
n
f(x) i i , x ( 1, 2L n L ) l 1，显然 f 是l 1上线性泛函，又因为 i1
、选择题
1、 A 2 、D
3 、B
4 、D
5 、 D
x y (1
1, 2 2 L n
n
) ， ax (a 1,a 2L a n )
i1
因此， f (l 1)',并且有 f sup i b .综上 (l 1)' l .
i
五、证明题(共 50 分)
1、 证：反证法。

若 T 为定义在整个空间 X 上的闭算子，
由于 X 为闭集，而X 为 Banach 空间，由闭图像定理可知， T 为X 到X 的有界闭算子， 这与 T 为无界闭算子矛盾，原命题成立。

2、证：由定义，对于 x,y C[0,1], 显然 d(x,y) 0, 且如果 x(t) y(t),t [0,1], 显然
d(x,y) 0,反之如果 d(x,y) 0,因为| x(t) y(t)| 0,所以 x(t) y(t),a.e.于[0,1],由于 t 0 [0,1], 使 得 x(t 0 ) y(t 0), 则 存 在 0, 使 得 在
均有 x(t) y(t), 这与 x(t) y(t),a.e.相 矛盾，所 以
于是 f Tf 。

x(t),y(t) 为连 续函数， 若 (t 0
,t 0 ) [0,1] 区间 上，
x(t) y(t),t [0,1]. 此外，对于
x, y, z C[0,1],
11
d(x,z) 0|x(t) z(t)|dt 0|x(t) y(t) |dt
1
0| y(t) z(t)|dt d(x,y) d(y,z)
即三点不等式成立。

因此 ( x, d) 成为度量空间。

3、证：定义 X '到Y 的映射 T ，任意 f X ',Tf
(f (e 1),L , f (e n )),其中
e i (0,L ,0,1,0, L 0),i
1,2,L , n 对任意 n
x
i e i
，
i1
f(x)
n
i f (e i )
i1
f (e i ) max i = Tf x ，
反之，对任意 y 1 ,L , Y, 定义 f
X ' ：对任意
i e i
， 1
n
f (x) i i ,
i1
则 Tf y 。

因此 T 是从 X '到Y 上的映射。

若y
(0,L ,0) ，则显然 f 0 ，则 Tf
f0
若
y
( 1,L , n ) (0,L ,0), 令 x (sign i )e i ，则 x i1
1。

因此
n
f f(x) = y Tf .从而Tf f .于是T 是从X'到Y 的同构映
i1
射，在同构的意义下 X '
=Y 。

4、证： 设 f n M,存在 K 0, f n K,n 1,2,L .设 x n 是 X 的可数稠密子集 .考察有界数
列 f n (x 1) n 1.由 Weierstrass 定理，存在收敛子列 f 1,n ( x 1 ) f n (x 1) .同理 f 1,n (x 2) n 1 .也有收 敛子列
f 2,n (x 2) . 一般地，若已有子列 f k,n (x k ) n 1收敛，考察 f k,n (x k 1) n 1 . .由于数列的有界 性可找到收敛子列 f k
1,n
(x k 1) K K 我们用对角线法则 ,取泛函列 f k,k
f n n 1, f k,k 在
n 1 k 1
稠密子集
x n
上点点收敛 .事实上,由定义 ,对任意 i , f i,n (x i ) n 1
是收敛的，而
f
k,k k i 是 f
i,n n 1
的子列，因此
f k,k
(x i ) k 1
也是收敛的，
f k,k 在 x n 上点
点收敛 , 即 f k,k 弱*收敛。

5、证：对于 a R, x,y M , z M ,
则 x y,z x,z y,z 0, ax,z a x,z 0, 因此 M 为 H 的线性子空间。

另外，对于任意 M 中的聚点 x ，即存在由 M 中互异的点组成的点列
x n , 使得
lim x n x.
n
由内积的连续性，可知 x,z lim x n ,z lim x n ,z 0, 即 x M , 因此 M 为 H 的闭线性子空间。

.
试卷评价：题型丰富，难易结合。