专题六：力矩和角动量

专题六：力矩和角动量

例1．如图所示，一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上，杆与圆环相切，系统静止在水平地面上，杆与地面接触点为A ，与环面接触点为B 。已知两个物体的质量线密度均为ρ，直杆与地面的夹角为θ，圆环半径为R ，所有接触点的摩擦力足够大。求:

（1）地给圆环的摩擦力；

（2）求A 、B 两点静摩擦因数的取值范围。

例2．有一轻质木板AB 长为L ，A 端用铰链固定在竖直墙上，另一端用水平轻绳CB 拉住。板上依次放着A 、B 、C 三个圆柱体，半径均为r ，重均为G ，木板与墙的夹角为θ，如图所示，不计一切摩擦，求BC 绳上的张力。

例3．有一质量为m =50kg 的直杆，竖立在水平地面上，杆与地面间静摩擦因数μ=0.3，杆的上端由固定在地面上的绳索拉住，绳与杆的夹角θ=300，如图所示。

（1）若以水平力F 作用在杆上，作用点到地面的距离h 1=2L /5（L 为杆长），要使杆不滑倒，力F 最大不能超过多少？

（2）若将作用点移到h 2=4L /5处时，情况又如何？

例4．如图所示，矩形板N 上有两个光滑的圆柱，还有三个小孔A 、B 、C ，通 过小孔可以用销钉把此板固定在光滑的水平面M 上。一柔性带按图示方式绕过 两圆柱后，两端被施以拉力T'=T =600 N ，且T'∥T ，相距40 cm ；已知AB = 30 cm ，AC =145 cm ，BC =150 cm 。为了保持物块静止，

(1)若将两个销钉分别插入A 、B 中，这两个孔将受受怎样的力？

(2)将两个销钉插入哪两个孔才最省力？此时所插的销钉受力多大？

例5. 如图所示，质量为 m 的小球 B 放在光滑的水平A B θ

槽内，现以一长为l 的细绳连接另一质量为m 的小球A ，开始时细绳处于松弛状态, A 与B 相距为l /2。球A 以初速度v 0在光滑的水平地面上向右运动。当A 运动到图示某一位置时细绳被拉紧，试求B 球开始运动时速度v B 的大小。

例6．如图，质量可忽略不计的刚性细杆可绕通过其中点O 的光滑水平轴在竖直面内自由转动。两质量分别为2m 和m 的小球1和2（可视为质点）串在细杆上，它们与细杆之间的静摩擦系数为6

35=μ。开始时细杆静止在水平位置，小球1和2分别位于紧靠细杆两端点A 和B 的位置。系统自水平位置以零初速下摆。问小球1和2分别在什么位置脱离细杆？（分别求出小球1和2脱离细杆时细杆与水平线的夹角）。

例7.（第32届复赛）如图，在光滑水平桌面上有一长为L 的轻杆，轻杆两端各固定一质量均为M 的小球A 和

B 。开始时细杆静止；有一质量为m 的小球

C 以垂直于杆的速度v 0运动，与A 球碰撞。将小球和细杆视为一个系统。

（1）球碰后系统的动能（用已知条件和球C 碰后的速度表出）；

（2）若碰后系统动能恰好达到极小值，求此时球C 的速度和系统的动能。

l

l /2 B

A A

例8.（第32届复赛）如图，一质量分布均匀、半径为r 的刚性薄圆环落到粗糙

的水平地面前的瞬间，圆环质心速度v 0与竖直方向成θ（ 232πθπ〈〈）角，并同时以角速度ω0（正方向如图中箭头所示）绕通过其质心O 、且垂直环面的轴转动。已知圆环仅在其所在的竖直平面内运动，在弹起前刚好与地面无相对滑动，圆环与地面碰撞的恢复系数为k ，重力加速度大小为g ，忽略空气阻力。

（1）求圆环与地面碰后圆环质心的速度和圆环转动的角速度；

（2）求使圆环在地面碰后能竖直弹起的条件和在此条件下圆环能上升的最大高度；

（3）若让θ可变，求圆环第二次落地点到首次落地点之间的水平距离s 随θ变化的函数关系式、s 的最大值以及s 取最大值时r 、v 0和ω0应满足的条件。