《古典概型》课件1.ppt

率 掷一颗均匀的骰子，它的每一种结果出现的可能性 都是 . 1 6
初
步
古典概型
1、古典概型
概 我们会发现，以上三个试验有两个共同特征：
率 (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有 限个，即只有有限个不同的基本事件；
初 (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
我们称这样的随机试验为古典概型。
5、做投掷二颗骰子试验，用(x,y)表示结果，其中x表示第一
颗骰子出现的点数，y表示第二颗骰子出现的点数，求：
5
(1)事件“出现点数之和大于8”的概率是 18
1
(2)事件“出现点数相等”的概率是
6
练习巩固
6、 在掷一颗均匀骰子的实验中，则事
概
件Q={4，6}的概率是
1 3
率 7、一次发行10000张社会福利奖券，其中有1
1）取到的两只都是白球的概率； 2）取到的两只球颜色相同的概率； 3）取到的两只球中至少有一只是白球的概率。
解：从袋中取两球，每一种取法就是一个基本事件。
设 A= “ 取到的两只都是白球 ”， B= “ 取到的两只球颜色相同 ”， C= “ 取到的两只球中至少有一只是白球”。
有放回抽取:
P( A)
人们运用当时发展起来的排列组合理论和变量数学为工具，发展了古典概率和几何概率范围的概念、 计算及其分析性质的成果，如大数定律，贝叶斯定理，高斯分布，最小二乘法等。拉普拉斯以《分 析概率论》作了总结，形成了古典的描述性统计学。十九世纪是统计学相对停滞和酝酿时期，二十 世纪初至第二次世界大战前，由于法俄概率论和英美统计科学的发展以及它们的结合，使概率统计 学得以正式列入数学之林，诸分支在实践中迅速产生，如在生物学研究中提出的回归分析；出自农 业实验的方差分析、实验设计理论；大规模工业生产所要求的抽样检查；从道奇──洛密克抽样表 到序贯分析以至质量控制。等等。形成现代统计学的大部分内容。二次世界大战后，概率统计学主 要在纯理论研究上取得进展。
初
结果。
5、从装有红、黄、蓝三个大小形状完全相同的球的
步
袋中，任取两个球，其中可能出现不同色的两个
球的结果。
分析例3、4、5的每一个基本事件发生的可能性
3、掷一颗均匀的骰子，它的样本空间为：
概
Ω ＝｛1,2，3,4，5,6｝
它有6个基本事件，即有6种不同的结果，由于骰子 是均匀的，所以这6种结果的机会是均等的，于是，
故
p

N
(N
1) [N Nn
(n
1)]

ANn Nn
.
经计算可得下述结果：
n 20 23 30 40 50 64 100 1-p 0.411 0.507 0.706 0.891 0.970 0.997 0.9999997
此例可以作为许多问题的数学模型，比如用此公式 可以得出： “在一个有64人的班级里，至少有两人生日相同”的 概率为 99.7%。
初
偶数”的概率是
答案：(1)
28 45
步
(2)
4 9
例3 将 n 只球随机的放入 N (N n) 个盒子中去， 求每个盒子至多有一只球的概率(设盒子的容量不限）。
解： 将 n 只球放入 N 个盒子中去, 共有
N N N N n 种放法,
而每个盒子中至多放一只球, 共有
N (N 1) [N (n 1)] ANn 种放法 ,
例4 从0，1，2，3，4，5，6这七个数中， 任取4个组成四位数，求：
• （1）这个四位数是偶数的概率；
• （2）这个四位数能被5整除的概率．
例 ４ 一口袋装有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 红球。从袋中取球两次，每次随机的取一只。考 虑两种取球方式： • 放回抽样 第一次取一只球，观察其颜色后放 回袋中， 搅匀后再取一球。 • 不放回抽样 第一次取一球不放回袋中，第二 次从剩余的球 中再取一球。 分别就上面两种方式求：
概率统计学的形成，标志着人类的认识和实践领域，从必然现象扩展到偶然现象（随机事件）， 这是与从精确数学到模糊数学类似的变革，它使科学与数学结合的历史进程前进了一大步，因此， 它的应用十分广泛，除自然科学外，社会经济统计已成独立分支；它与其它学科结合形成了生物统 计、统计预报、统计物理、计量史学等边缘学科；它向其它的数学分支渗透而产生了随机微分方程、 随机几何等理论。
步 p(
A)

随机事件 A包含的基本事件的个数 样本空间包含的基本事 件的个数
m n
古典概率
3、概率的性质
概 显然， (1) 随机事件A的概率满足
率 0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率是1，不可能的事件的概率是0,即 P(Ω) =1 ， P(Φ) =0.
初 如：
1、抛一铁块，下落。 是必然事件，其概率是1
Ω={(a,b),(a,c), (b,c) }
初
∴n = 3
用A表示“取出的两件中恰好有一件次品”这一事件，
步 则 A={ (a,c), (b,c) } ∴m=2
∴P(A) =2/3
例题分析
3、从含有两件品a,b和一件次品c的三件产品中每次任
概 取1件，每次取出后放回，连续取两次，求取出的 两件中恰好有一件次品的概率。
步 2、在摄氏20度，水结冰。是不可能事件，其概率是0
例 题 分析
1、掷一颗均匀的骰子，求掷得偶数点的概率。
概 分析：先确定掷一颗均匀的骰子试验的样本空间 Ω和掷得偶数点事件A,再确定样本空间元素的个 数n，和事件A的元素个数m.最后利用公式即可。
率
解：掷一颗均匀的骰子，它的样本空间是 Ω={1, 2，3, 4，5，6}
概 都是奇数的概率。 解：试验的样本空间是
率 Ω={(12) , (13), (14) ,(15) ,(23), (24), (25), (34) ,(35) ,(45)} ∴n=10
用A来表示“两数都是奇数”这一事件，
初
则 A={(13)，(15)，(3,5)}
∴m=3
步
∴P(A)=
3 10
练习巩固
12!/ (4! 4! 4!) 种，
每个班各分配到一 名优秀生的分法总数为：
3![12!/(4! 4! 4!)]
于是所求的概率为：
3!12 ! 15 ! 3!12 ! 4!4!4! 25
p1
4! 4! 4!
/ 5!5!5!
15 !5!5!5!
0.2747 91
.
等可能概型
(2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率为：
概 率 初 步
3、同时抛掷1角与1元的两枚硬币，计算： (1)两枚硬币都出现正面的概率是 0.25 (2)一枚出现正面，一枚出现反面的概率是 0.5
4、在一次问题抢答的游戏，要求答题者在问题所列出的4个答案
中找出唯一正确答案。某抢答者不知道正确答案便随意说出
其中的一个答案，则这个答案恰好是正确答案的概率是 0.25
解：15名新生平均分配到 3 个班级中去的分法总数为：
C
5 15
C
5 10
C
5 5
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 15 ! ,
5!
5!
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5!
5 !5 !5 !
(1) 将 3 名优秀生分配到 3 个班级，使每个班级 都有一名优秀生的分法共有 3! 种。其余 12 名新 生平均分配到 3 个班级中的分法共有
步
古典概率
2、古典概率
概 一般地，对于古典概型，如果试验的基本事件为n, 随机事件A所包含的基本事件数为m，我们就用 m
n
来描述事件A出现的可能性大小，称它为事件A的概
率 率，记作P(A)，即有
p( A) m n
我们把可以作古典概型计算的概率称为古典概率。
初 注意: A即是一次随机试验的样本空间的一个 子 集，而m是这个子集里面的元素个数；n即是一次 随机试验的样本空间的元素个数。
初
p( A)

随机事件 A包含的基本事件的个数 样本空间包含的基本事 件的个数
m n
二、作 业：
步
P 123 习题1, 2, 3 P127 习题 2
思
考
1、在10支铅笔中，有8支正品和2支次品。从中任
概 取2支，恰好都取到正品的概率是
率 2、从分别写上数字1, 2，3，…，9的9张卡片中， 任取2张，则取出的两张卡片上的“两数之和为
步 5、基本事件ω 样本空间的元素(随机试验每一个可能出现的结果)
考察下列现象，判断那些是随机现象，如果 是随机试验，则写出试验的样本空间
1、抛一铁块，下落。
概 2、在摄氏20度，水结冰。
3、掷一颗均匀的骰子，其中可能出现的点数为
率 1， 2, 3，4，5，6. 4、连续掷两枚硬币，两枚硬币可能出现的正反面的
∴n=6
初
而掷得偶数点事件A={2, 4，6}
步
∴m=3
∴P(A) =
31
6
2
例 题 分析
2、从含有两件正品a,b和一件次品c的三件产品中每次
概
任取1件，每次取出后不放回，连续取两次，求取 出的两件中恰好有一件次品的概率。
分析：样本空间 事件A 它们的元素个数n,m
率
公式 p(A) m
n
解：每次取一个，取后不放回连续取两次，其样本空间是
12 ! 15 ! 312 !5! 6
p 2 3 2!5!5!/ 5!5!5!
0.0659 2!15 ! 91
.
三名优秀生分配 其余12名新生，一个班级分2名， 在同一班级内 另外两班各分5名
GGGoGoooodoodbodbydbyebyeyee
小知识 概率统计的第一篇论文是1657年惠更斯的《论赌博的计算》，从那时起直到十九世纪初，
3. 2. 1 古 典 概 型
温故而知新
1、随机现象
概 事前不能完全确定，事后会出现各种可能结果 之一的现象。 2、随机试验(简称“试验”)
率 有的试验，虽然一次试验的结果不能预测，但一切 可能出现的结果却是可以知道的，这样的观察称为随 机试验。 3、样本空间Ω
初 一个随机试验的一切可能出现的结果构成的集合。 4、随机事件(简称“事件”)用A、B、C等表 示 样本空间的任一个子集。
解：有放回的连取两次取得两件，其一切可能的结 果组成的
率 样本空间是 Ω={ (a,a), (a,b), (a,c),(b,b),(b,c),(c,c)}
∴n=6
初
用B表示“恰有一件次品”这一事件， 则B={(a,c), (b,c)}
∴m=2
步
∴P(B) =2/6=1/3
练习巩固
2、从1，2, 3，4, 5五个数字中，任取两数，求两数
42 62
0.444
P(B)

42 22 62

0.556
P(C )
1
P(C )
1
22 62

0.889
无放回抽取:
C42 P( A) C62
P(B)

C42 C22 C62
P(C
)

1

P(C
)

1

C22 C62
例 ５ 将 15 名新生随机地平均分配到 3 个班中去， 这15 名新生中有 3 名是优秀生。问： (1) 每个班各分配到一 名优秀生的概率是多少？ (2) 3 名优秀生分配到同一个班级的概率是多少？
张特等奖，2张一等奖，10张二等奖，100
初 张三等奖，其余的不得奖，则购买1张奖
券能中奖的概率
113 10000
步
小结与作业
一、小 结：
1、古典概型
概 (1)有限性：在随机试验中，其可能出现的结果有有
限个，即只有有限个不同的基本事件；
率 (2)等可能性：每个基本事件发生的机会是均等的。
2、古典概率