离散数学24命题逻辑推理理论

推理正确, q是有效结论
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归结证明法
归结规则 A B AC \BC 理由 (pq)pr)(qr)
(pq)pr))(qr) (pq)pr)qr (pq)q)pr)r) (pq)pr)
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推理定律——重言蕴涵式
A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
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实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是星期一和星期三.
解 设 p:明天是星期一, q:明天是星期三，
r:我有课， s:我备课 前提: (pq)r, rs, s
结论: pq
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实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
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实例(续)
(2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设p: 今天是1号, q: 明天是5号. 推理的形式结构为 (pq)qp 证明 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 01是成假赋值, 所以推理不正确.
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自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
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自然推理系统P(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A (10)构造性二难推理规则 AB CD AC \BD (11) 破坏性二难推理规则 AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
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实例
例4 构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, rs 结论: ps 证明 ① p 附加前提引入 ② pq 前提引入 ③q ①②析取三段论 ④ qr 前提引入 ⑤r ③④析取三段论 ⑥ r s 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 推理正确, ps是有效结论
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归谬法(反证法)
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附加前提证明法
欲证明 前提: A1, A2, …, Ak 结论: CB 理由: 等价地证明 前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
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自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
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直接证明法
例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, ps, s 结论: rpq) 证明 ① ps 前提引入 ②s 前提引入 ③p ①②拒取式 ④ pq 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ qr 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ rpq) ⑦④合取 推理正确, rpq)是有效结论
前提: (pq)r, rs, s, p 结论: q
证明 用归缪法
①q ② r s 结论否定引入 前提引入
③ s
④ r
前提引入
②③拒取式
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实例(续)
⑤ (pq)r ⑥ (pq) ⑦ pq ⑧ p ⑨p ⑩ pp 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥置换 ①⑦析取三段论 前提引入 ⑧⑨合取
为重言式.
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推理的形式结构
形式(1) A1A2…AkB 形式(2) 前提: A1, A2, … , Ak 结论: B 推理正确记作 A1A2…AkB
判断推理是否正确的方法: • 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
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实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 pwenku.baidu.com 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
有效推理
定义2.20 若对于每组赋值, A1A2… Ak 为假, 或者 当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由前提A1,A2,…, Ak 推B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论 定理2.8 由前提A1, A2, …, Ak 推出B 的推理正确当且仅当
A1A2…AkB
欲证明 前提：A1, A2, … , Ak 结论：B 将B加入前提, 若推出矛盾, 则得证推理正确. 理由: A1A2…AkB (A1A2…Ak)B (A1A2…AkB) 括号内部为矛盾式当且仅当 (A1A2…AkB)为重言式
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实例
例5 构造下面推理的证明