离散数学24命题逻辑推理理论
离散数学课件03命题逻辑的推理理论
((┐p∧┐q)∨p) ∨ q
((┐p∨p )∧(┐q∨p)) ∨ q
(┐q∨p) ∨ q 1
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由定理 3.1可知， 推理正确。
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推理定律--重言蕴含式
(1) A (A∨B)
附加律
(2) (A∧B) A
化简律
(3) (A→B)∧A B
假言推理
(4) (A→B)∧┐B ┐A
拒取式
(5) (A∨B)∧┐B A
析取三段论
(6) (A→B) ∧ (B→C) (A→C)
假言三段论
(7) (AB) ∧ (BC) (A C)
等价三段论
(8) (A→B)∧(C→D)∧(A∨C) (B∨D) (A→B)∧(┐A→B)∧(A∨┐A) B
构造性二难 构造性二难
(特殊形式)
(9)(A→B)∧(C→D)∧(┐B∨┐精D选)课件pp(t ┐A∨┐C) 破坏性二难16
只要不出现(3)中的情况，推理就是正确的，因而判断 推理是否正确，就是判断是否会出现(3)中的情况。
推理正确，并不能保证结论B一定为真。
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例题
例3.1 判断下列推理是否正确。（真值表法）
(1) {p,p→q}├ q (2) {p,q→p}├ q
正确 不正确
p q p(p→q) q p(q→p)
推理是指从前提出发推出结论的思维过程。
前提是已知命题公式集合。
结论是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。
证明是描述推理正确或错误的过程。
要研究推理，首先应该明确什么样的推理是有效的或 正确的。
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命题逻辑的推理理论
概念
描述问题 的句子
离散数学(命题逻辑)
一个重要的说明
因为在数理逻辑中,我们并不去纠缠各种具体命 题的真假问题,而是将命题视为一种形式或一个数学 概念. 从语义上讲,命题是具有真假之一值的一个个 陈述句而已。 也就是,我们所关心的并不侧重在陈述句究竟是 真还是假,我们所关心的只是对表示命题的符号怎样
赋予真或假,并且被赋予真假后如何确定,包含这些 形式符号的复合命题公式的真与假。
1.1 命题逻辑基本概念
1. 命题与逻辑联结词 • 命题(Proposition)是指具有真假之一值的陈述句. 也就是说命题是能够分辨真假的陈述句且取真值真 或假二者有且仅有之一.命题的真值,是作为命题的 陈述句所表达判断的结果. 例1 ① 几点钟了？ ② 真开心！ ③ 仔细读这页！ ④ 北京是中国的首都(P)。 ⑤ 6不是自然数(并非6是自然数:¬P)。 ⑥ x+2≥5.
基本逻辑
• 逻辑学: 研究人的思维形式和规律的科学。由于研 究的对象和方法各有侧重，而分为形式逻辑、辩证 逻辑和数理逻辑。 • 数理逻辑: 是用数学方法研究推理, 是研究推理中 前题和结论之间的形式关系的科学。所谓推理就是 由一个或几个判断推出一个新判断的思维形式。这 里所说的数学方法就是建立一套表意符号体系，对 具体的事物进行抽象而形式研究的方法。因此数理 逻辑又称符号逻辑。比较形式逻辑和辩证逻辑的研 究方法，更显得表达简洁、推理方便、概括性好且 易于分析。
爱因斯坦的帽子故事
• R∧Q1→P2：如果商人和另一个人都戴红色帽子,那 么猜对的人戴的就是黑色帽子. • ¬ P1→P2：如果猜对的人戴的不是红色帽子,那么他 戴的就是黑色帽子； • ¬ Q1→Q2：如果另一个人戴的不是红色帽子,那么他 戴的就是黑色帽子； 于是,可以形成如下推理过程： • 设有P1 (猜对的人戴红色帽子),则 (1)P1 (推理假设) (3)R∧P1 (构成合取式) (2)R (根据题设) (4)R∧P1→Q2 (根据题设)
离散数学-----命题逻辑
离散数学-----命题逻辑逻辑：是研究推理的科学。
公元前四世纪由希腊的哲学家亚里斯多德首创。
作为一门独立科学，十七世纪，德国的莱布尼兹(Leibniz)给逻辑学引进了符号, 又称为数理逻辑(或符号逻辑)。
逻辑可分为：1. 形式逻辑（是研究思维的形式结构和规律的科学，它撇开具体的、个别的思维内容，从形式结构方面研究概念、判断和推理及其正确联系的规律。
）→数理逻辑（是用数学方法研究推理的形式结构和规律的数学学科。
它的创始人Leibniz，为了实现把推理变为演算的想法，把数学引入了形式逻辑中。
其后，又经多人努力，逐渐使得数理逻辑成为一门专门的学科。
）2. 辩证逻辑（是研究反映客观世界辩证发展过程的人类思维的形态的。
）一、命题及其表示方法1、命题数理逻辑研究的中心问题是推理,而推理的前提和结论都是表达判断的陈述句，因而表达判断的陈述句构成了推理的基本单位。
基本概念：命题：能够判断真假的陈述句。
命题的真值：命题的判断结果。
命题的真值只取两个值:真（用T(true)或1表示）、假（用F(false)或0表示）。
真命题：判断为正确的命题，即真值为真的命题。
假命题：判断为错误的命题，即真值为假的命题。
因而又可以称命题是具有唯一真值的陈述句。
判断命题的两个步骤：1、是否为陈述句；2、是否有确定的、唯一的真值。
说明：（1）只有具有确定真值的陈述句才是命题。
一切没有判断内容的句子，无所谓是非的句子，如感叹句、祁使句、疑问句等都不是命题。
（2）因为命题只有两种真值，所以“命题逻辑”又称“二值逻辑”。
（3）“具有确定真值”是指客观上的具有，与我们是否知道它的真值是两回事。
2、命题的表示方法在书中，用大写英文字母A,B,…,P,Q或带下标的字母P1,P2,P3 ,…,或数字(1),*2+, …,等表示命题，称之为命题标识符。
命题标识符又有命题常量、命题变元和原子变元之分。
命题常量：表示确定命题的命题标识符。
命题变元：命题标识符如仅是表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。
离散数学 命题逻辑推理
3.1 推理的形式结构
推理：从前提出发推导出结论思维过程， 前提 是已知的命题公式集合， 结论 是从前提出发应用推理规则推出的命题公式。 什么样的推理是正确的有效的？ 定义3.1 设A1, A2, …, Ak, B为命题公式. 若对于每组赋值， A1A2… Ak 为假， 或当A1A2…Ak为真时B也为真， 则称由前提A1, A2, …, Ak推出结论B的推理是有效的或正 确的, 并称B是有效结论. 定理3.1 由命题公式A1, A2, …, Ak 推出B的推理正确当且仅当 A1A2…AkB为重言式 注意: 推理正确不能保证结论一定正确
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推理规则
(4) 假言推理规则 AB A ∴B (6) 化简规则 AB ∴A (8) 假言三段论规则 AB BC ∴AC (5) 附加规则 A ∴AB (7) 拒取式规则 AB B ∴ A (9) 析取三段论规则 AB B ∴A
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推理规则
(10) 构造性二难推理规则 AB CD AC ∴BD
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推理定律——重言蕴涵式
用定义构造推理过程，需要一些有用的推理定律 1. A (AB) 附加律 2. (AB) A 化简律 3. (AB)A B 假言推理 4. (AB)B A 拒取式 5. (AB)B A 析取三段论 6. (AB)(BC) (AC) 假言三段论 7. (AB)(BC) (AC) 等价三段论 8. (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) 9. (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难 每个等值式可产生两个推理定律 如, 由AA可产生 AA 和 AA
0
1 1
0
0 1
1
0
不是重言式, 推理不正确
离散数学-命题逻辑基本概念
第2章
命题逻辑
上海大学 谢 江
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Hale Waihona Puke 第2章命题逻辑• 2.1 命题逻辑基本概念 • 2.2 命题逻辑等值演算 • 2.3 范式
• 2.4 推理
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2.1 命题逻辑基本概念
• 2.1.1 命题与联结词
– 命题与真值(简单命题, 复合命题) – 联结词(¬ , , , , )
pq 的逻辑关系: p与q互为充分必要条件: (p→q)∧(q→p)
例如 这件事张三能做好, 且只有张三能做好 设 p:张三做这件事, q: 这件事做好了。形式化为: pq
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2.1.1 命题与联结词
实例
例6 求下列复合命题的真值 (1) 2+2＝4 当且仅当 3+3＝6. (2) 2+2＝4 当且仅当 3是偶数. (3) 2+2＝4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2+2＝5 当且仅当 美国位于非洲. 1 0 1 1
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2.1.1 命题与联结词
联结词与复合命题(续)
定义2.4 “如果 p,则 q” 称作 p与q 的蕴涵式, 记作 p q, 并称 p是蕴涵式的前件, q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵 联结词, 规定, p q 为假当且仅当 p 为真且 q 为假.
例如 如果明天天气好, 我们就出去郊游 设 p:明天天气好, q: 我们出去郊游, pq 形式化为
实例
例3 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1977年. 解 记 p:2是素数, q:3是素数, r: 4是素数, s: 6是素数 (1) p∨r, 真值： 1 (2) p∨q, 真值：1 (3) r∨s, 真值： 0 (4) 记 t: 元元拿一个苹果,u:元元拿一个梨 t∨ u ？ × (5) 记v:王晓红生于1975年,w:王晓红生于1977年 (v∧w)∨(v∧w) v∨ w ？ √
《离散数学》命题逻辑
例如：
和 e 都是无理数。 6和8至少有一个是合数。 说刘老师讲课不好是不正确的。 不下雨我就去买书。
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命题与命题联结词
将命题连接起来的方式叫做命题联结词
（ proposition connective ） 或 命 题 运 算 符
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命题与命题联结词
逻辑
如何表示？ 如何“操作”？
非真即假的陈述句称为命题（proposition）。 一个命题如果是对的或正确的，则称为真命
题，其真值为“真”（true），常用T或1表示； 一个命题如果是错的或不正确的，则称为假
命题，其真值为“假”（false），常用F或0表示。
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命题与命题联结词
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命题公式及其分类
为简化公式的形式，作如下规定：
(1) 优先级 , (∧, ∨), (, ) (2) 公式 (~p) 的括号可以省略，写成 ~p (3) 整个公式最外层的括号可以省略
例1
(((p)∧q)(q∨p)) p∧q q∨p
例2
p∧q∨r 不是 命题公式 应写作 (p∧q)∨r 或 p∧(q∨r)
例 判断下列句子哪些是命题，哪些不是
这门课程题为“离散数学”。 这门“离散数学”讲得好吗？ X 这门“离散数学”讲得真好！ X 请学习“离散数学” 。 X 5是素数。 太阳从西方升起。 如果明天晴，而且我有空，我就去踢球。 天王星上没有生命。 x + 3 > 5。 X 5 本命题是假的。X
俞伯牙和钟子期是好朋友。 俞伯牙是好朋友 ∧ 钟子期是好朋友 俞伯牙 ∧ 钟子期是好朋友 Friend (俞伯牙,钟子期)
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《离散数学》讲义笔记
《离散数学》课时一 命题逻辑的基本概念1. 命题判定给定句子是否为命题，应该分两步：① 首先判定它是否为陈述句. ② 其次判断它是否有唯一真值.题1.下列语句中，下面哪一个选项是命题？（ ）你今天有空吗？ 请勿随地吐痰！ 我正在说谎.是偶数.答案：考点重要程度 分值题型 1.命题 ★★★ 选择、填空2.命题联结词 ★★★★★ 填空3.命题公式及其赋值★★★★解答1) 命题：能判断其真值的陈述句. 2) 真值：真、假. （1、0） 3) 真命题：真值为真的命题. 4) 假命题：真值为假的命题.5) 原子命题（简单命题）：不能再被分解成更简单的命题. 6) 复合命题：由简单命题通过联结词联结而成的命题.2.命题联结词联结词符号化真值表否定0 11 0合取0 0 00 1 01 0 01 1 1析取0 0 00 1 11 0 11 1 1蕴涵0 0 10 1 11 0 01 1 1等价0 0 10 1 01 0 01 1 1 优先顺序：题1.将下列命题符号化. 1.4不是素数. 2.小智和小红是学生. 3.小智和小红是同学. 4.小智是江苏人或者江西人. 5.小红喜欢唱歌或跳舞.6.①只要能被4整除，则一定能被2整除. ②只有能被4整除，则才能被2整除. ③能被4整除，仅当能被2整除.7.的充要条件是是无理数.答案：1.是素数.符号化为2.小智是学生.小红是学生.符号化为3.小智和小红是同学.符号化为4.小智是江苏人. 小智是江西人.符号化为5.小红喜欢唱歌. 小红喜欢跳舞.符号化为6.能被整除. 能被整除. 符号化为符号化为7.是无理数. 符号化为：自然语言中的“既……，又……”“不但……，而且……”“虽然……，但是……” “一面……，一面……”等.：“只要，就”，“因为，所以”，“仅当”，“只有才”，“除非才”，“除非，否则非”等等，符号化为.：“当且仅当”，“……充要条件”等.3. 命题公式及其赋值题1.写出下列公式的真值表，并求它们的成真赋值和成假赋值.的真值表1) 命题变元：取值1（真）或0（假）的变元.2) 合式公式：将命题变元用联结词或圆括号按一定逻辑关系联结起来的符号串. 3) 设是出现在公式中的全部命题变元，给各指定一个真值，称为对的一个赋值，若指定的一组值使为1，则称这组值为的成真赋值；若使为0，则称这组值的成假赋值.设为任一命题公式1) 若在它的各种赋值下取值均为真，则称为重言式或永真式. 2) 若在它的各种赋值下取值均为假，则称为矛盾式或永假式. 3) 若不是矛盾式，则称为可满足式.课时一练习题1.指出下列语句哪些是命题，哪些不是.如果是命题，指出它的真值.(1)计算机有视觉吗？(2)明天我去看球赛.(3)请勿大声喧哗！(4)不存在最大的质数.2.下列语句是命题的有（）.明天下午开会吗？2014年元旦是星期六.. 请保持安静！3.下列句子中有（）个命题.(1)我是老师. (2)禁止吸烟！ (3)蚊子是鸟类动物.(4)我正在说谎. (5)月亮比地球大.4.将下列命题符号化.(1)王强身体很好，成绩也很好.(2)小静只能挑选或房间.(3)如果和是偶数，则是偶数.5.（判断题）记：小李今天18岁，：小李今年19岁，则“小李今年18岁或19岁”可以翻译成. （）6.设：我听课，：我做课堂笔记.命题“我一边听课，一边做课堂笔记”符号化为____.7.设表示“天下大雨”，表示“他在室内运动”，则命题“除非天下大雨，否则他不在室内运动”符号化为（）.8.个命题变元组成的命题公式共有__________种不同真值指派情况.9.命题公式中成真赋值的个数为（）.10.下列命题公式中，哪个是永真式（）.11.求命题公式的真值表.课时二命题逻辑等值演算考点重要程度分值常见题型1.等值式★★★★★证明、解答2.析取范式与合取范式★★★★解答3.主析取范式与主合取范式必考填空、解答4.联结词的完备集★★判断、选择1.等值式设是两个命题公式，若构成的等价式为重言式，则称与是等值的，记作.常见等值式：1)双重否定律2)幂等律3)交换律4)结合律5)分配律（对的分配律）（对的分配律）6)德摩根律7)吸收律8)零律9)同一律10)排中律题1.推断公式类型.因此，该公式是一个重言式或者永真式.题2.用等值演算法证明. 得证.11) 矛盾律12)蕴涵等值式13)等价等值式14)假言易位15)等价否定等值式16)归谬论证明：证明：2.析取范式与合取范式题1：用等值演算法求取求下列公式：的合取范式和析取范式.解：(1)先求合取范式(2)再求析取范式1)文字：命题变元及其否定.2)简单析取式：仅由有限个文字构成的析取式.3)简单合取式：仅由有限个文字构成的合取式.4)析取范式：由有限个简单合取式的析取构成的命题式.，其中是简单合取式.5)合取范式：由有限个简单析取式的合取构成的命题式.，其中是简单析取式.3.主析取范式与主合取范式设与是命题变元含的极小项和极大项，则所有简单合取式都是极小项的析取范式称为主析取范式.所有简单析取式都是极大项的合取范式称为主合取范式.在含有个命题变元的简单合取式（简单析取式）中，若每个命题变元和它的否定式恰好出现一个且仅出现一次，而且命题变元或它的否定式按照下标从小到大顺序排列，称这样的简单合取式（简单析取式）为极小项（极大项）.表1 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称表2 含的极小项与极大项极小项极大项公式成真赋值名称公式成假赋值名称题1.利用真值表法，按顺序求命题公式：的主析取范式. 解：因此，该命题公式的主析取范式是.题2.含个命题变项的命题公式的主合取范式为，则它的主析取范式为___________（表示成的形式）.答案：题3.求命题公式的主析取范式和主合取范式.因此，该命题公式的主析取范式是，解：主合取范式是.4. 联结词的完备集题1.(判断)命题联结词集是联结词完备集. （ ） 答案：正确.设是一个联结词集合，如果一个命题公式都可以由仅含中的联结词构成的公式表示，则称是一个联结词完备集. 设是两个命题，复合命题“与的否定式”称作的与非式，记作.即，“”称作与非联结词.复合命题“或的否定式”称作的或非式，记作.即，“”称作或非联结词.以下都是联结词完备集课时二练习题1.下列哪个公式是永假式（）.2.下列是重言式的为（）.3.求解的公式类型？（永真、永假、可满足）4.给定命题公式：，与之逻辑等价的是（）.5.用等值演算法证明等值式.6.任意两个不同大项的析取为________式，全体大项的合取式为________式.7.合式公式的主合取范式为（）.8.含个命题变项的命题公式的主析取范式为，则它的主合取范式________.9.构造命题公式的真值表，并由此写出它的主析取范式和主合取范式.10.已知命题公式，求主析取范式（要求通过等值演算推出）.11.某电路中有个灯泡和个开关、、.已知在且仅在下述种情况下灯亮：1)的扳键向上，、的扳键向下；2)的扳键向上，、的扳键向下；3)、的扳键向上，的扳键向下；4)、的扳键向上，的扳键向下.设表示灯亮，分别表示、、扳键向上，求的主析取和主合取范式.12.下面的联结词集合不是完备集的是________.（表示与非）13.联结词组中，下面哪一个选项是命题公式的最小联结词组（）.课时三 命题逻辑的推理理论考点重要程度 分值常见题型 1.推理的相关公式 ★★★★★选择、填空2.自然推理系统必考证明1. 推理的相关公式1) 设和是两个命题公式，当且仅当是重言式时，称从可推出或是前提的有效结论，记为.2) 命题公式推出的推理正确当且仅当为重言式.3) 推理的形式结构：前提： 结论：① 附加律②化简律③ 假言推理④拒取式 ⑤ 析取三段论⑥ 假言三段论 ⑦等价三段论⑧ 构造性二难构造性二难（特殊形式）⑨破坏性二难题1.求函数命题公式推的推理正确当且仅当__________为重言式. 答案：题2.下面不正确的是________.答案：2.自然推理系统题1：构造下面推理的证明.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④假言推理⑥前提引入⑦⑤⑥拒取式⑧前提引入⑨⑦⑧析取三段论得证是有效结论.题2.在自然推理系统中，构造并证明下列推理.（命题逻辑推理证明）如果小王是理科生，则他的数学成绩一定很好.如果小王不是文科生，则他一定是理科生.小王的数学成绩不好.所以，小王是文科生.解：设简单命题：小王是理科生.：小王的数学成绩很好.：小王是文科生.前提：结论：证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入⑤③④拒取式得证是有效结论.题3.用推理的形式结构证明：前提：结论：证明：①附加前提引入②①附加律③前提引入④②③假言推理⑤④化简律⑥⑤附加律⑦前提引入⑧⑥⑦假言推理得证是有效结论.题4.在自然推理系统中构造下面推理的证明.如果小张守第一垒并且小李向队投球，则队取胜；或者队未取胜，或者队成为联赛第一名；队没有成为联赛的第一名；小张守第一垒.因此，小李没向队投球.解：设简单命题：小张守第一垒.：小李向队投球.：队取胜.：队成为联赛第一名.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②前提引入③前提引入④前提引入⑤④⑤拒取式⑥⑥置换⑦前提引入⑧⑦⑧析取三段论⑨①⑨合取由于最后一步，即，所以推理正确.课时三练习题1.若推理正确，则推理的结论一定是正确的.（）判断2.判断以下结论是否有效：前提是：：，结论是：.________（填“是”或“否”）3.下列个推理中，不正确的是（）.4.在自然推理系统中，用构造法证明下面推理.前提：结论：5.如果小张去看电影，则当小王去看电影时，小李也去.小赵不去看电影或小张去看电影.小王去看电影.所以当小赵去看电影时，小李也去.6.使用命题逻辑中的推理理论构造下面推理的证明：前提：结论：7.构造下面推理的证明：前提：，结论：.8.公安机关正在调查一宗盗窃案，现获得事实如下：(1)或盗窃了文物；(2)若盗窃了文物，则作案时间不可能在午夜前；(3)若证词正确，则在午夜前屋里灯光未灭；(4)若证词不正确，则作案时间发生在午夜前；(5)午夜时屋里灯光灭了.试问谁是盗窃犯？试写出推导过程.设:“盗窃了文物”，：“盗窃了文物”，：“作案时间发生在午夜前”，：“午夜前屋里灯光灭了”，：“证词正确”.课时四 谓词逻辑基本概念考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑命题符号化 ★★★★ 选择、填空2.谓词逻辑公式及其解释 ★★★选择1. 谓词逻辑命题符号化题1.将下列命题在谓词逻辑中用谓词符号化，并讨论它们的真值. (1) 只有是素数，才是素数. (2) 如果大于，则大于. 解：(1)设元谓词：是素数，命题可符号化为由于此蕴涵式的前件为假，所以命题为真. (2)设元谓词：，命题可符号化为由于为真，而为假，所以命题为假.个体词、谓词和量词是谓词逻辑命题符号化的个基本要素. 1) 个体词个体词是指所研究对象中可以独立存在的具体的或抽象的客体.将表示具体或特定的客体的个体词称作个体常项.而将表示抽象或泛指的个体词称作个体变项.并称个体变项的取值范围为个体域（或称作论域）.全总个体域：由宇宙间一切事物组成的个体域. 2) 谓词：刻画个体词性质及个体词之间相互关系的词.题2：命题“所有的人都长着黑头发”，令：是人；：长着黑头发.则该命题符号化为（）.答案：.题3.令：是人；：登上过月球.则命题“有的人登上过月球.”符号化（）.答案：题4.设有命题：是火车，：是汽车，：跑得比快，那么命题“有的汽车比一些火车跑得快”的逻辑表达式是__________.答案：.题5.设：是运动员，：是大学生，命题“不是所有的运动员都是大学生.”谓词符号化为__________.答案：或注：当多个量词出现时，它们的顺序一般不能随意调换.3)量词：表示个体之间数量关系的词全称量词：符号，表示个体域中“所有的”.“一切的”“所有的”“每一个”“任意的”“凡”“都”等.存在量词：符号，表示个体域中有一个个体.“存在”“有一个”“有的”“至少有一个”等.2.谓词逻辑公式及其解释题 1.指出下列各公式中的指导变元，各量词的辖域，自由出现以及约束出现的个体变项.解：是指导变元，量词的辖域.在中，是约束出现，而且约束出现两次，和均为自由出现，各自由出现一次.公式中含个量词，前件上的量词的指导变元为，的辖域，其中是约束出现，是自由出现.后件中的量词的指导变元为，的辖域为，其中是约束出现，均为自由出现.在整个公式中，约束出现一次，自由出现两次，自由出现一次，约束出现一次，自由出现一次.题2.设论域，与公式等价的命题公式是（）.答案：在公式和中，称为指导变元，为量词的辖域.在和的辖域中，的所有出现都称作约束出现，中不是约束出现的其他变项均称作自由出现.设为一公式，若在任何情况下的任何赋值下均为真，则称为永真式或逻辑有效式；若在任何情况下的任何赋值下均为假，则称为矛盾式或永假式.若至少存在一个情况下的一个赋值使为真，则称是可满足式.课时四练习题1.命题的意义是（）.对任何均存在使得；对任何均存在使得；存在对任何均使得；存在对任何均使得；2.设：是学生；：喜欢英语.则命题“有些学生喜欢英语”的符号化为_____.3.设：是人，：犯错误，命题“没有不犯错误的人”符号化为（）.4.令：是人，：是花，：喜欢，则命题“有些人喜欢所有的花”可符号化为_________.5.令：是火车，：是汽车，：比快，则命题“每列火车都比某些汽车快”在谓词逻辑中命题符号化为_________.6.试把下列语句翻译为谓词演算公式.(1)某些人喜欢所有明星； (2)并非“所有人均喜欢某些某些电脑游戏”.7.设个体域，消去公式中的量词为：___________.8.谓词公式中量词的辖域为（），量词的辖域为（）.课时五 谓词逻辑等值演算与推理考点重要程度 分值常见题型 1.谓词逻辑等值式与置换规则 ★★★选择、填空 2.谓词逻辑前束范式 ★★★★ 选择、解答3.谓词逻辑推理理论 必考证明1. 谓词逻辑等值式与置换规则设是谓词逻辑中任意两个公式，若是永真式，则称与等值，记作，称是等值式.下面给出谓词逻辑中的基本等值式. 1) 量词否定等值式 设公式含自由出现的个体变项，则2) 量词辖域收缩与扩张等值式 设公式含自由出现的个体变项，不含的自由出现，则题1.设个体域，将下列公式的量词消去.解：消去量词，得先缩小量词辖域，再消去量词，得3)量词分配等值式设公式含自由出现的个体变项，则4)命题逻辑中的重言式的代换实例都是谓词逻辑中的永真式.例如：先消去，得再消去，得题2.设是不含变元的公式，谓词公式等价于（）.答案：.题3.谓词公式的真值为，其中，：，定义域：. 答案：先消去，得再消去，得因此，的真值为1.2.谓词逻辑前束范式（前束范式存在定理）谓词逻辑中的任何公式都存在等值的前束范式.具有如下形式的谓词逻辑公式称作前束范式，其中为或，为不含量词的公式. 例，是前束范式不是前束范式题1：下列哪项为前束范式（）.答案：题2.求下列各式的前束范式.解：转化方法：1)把条件或双条件联结词转化；2)利用量词否定公式，把否定深入到命题变元和谓词公式的前面；3)换名；4)利用量词作用域的扩张和收缩等价式，把量词提到前面.3.谓词逻辑的推理理论在谓词逻辑中，从前提出发推出结论的推理的形式结构，依然采用如下的蕴涵式形式若上式为永真式，则推理正确，否则称推理不正确.①命题逻辑推理定律的代换实例.例如：②由基本等值式生成的推理实例.例如：由双重否定律可生成由量词否定等值式可以生成③一些常用的重要推理定律.④4条消去量词和引入量词的规则.全称量词消去规则：，不在中约束出现或，为任意个体常量.存在量词消去规则：，为使得为真的特定的个体常量.全称量词引入规则：，中无变元.前提：结论：证明：①前提引入②①③②化简律④②化简律⑤前提引入⑥⑤⑦③⑥假言推理⑧④⑦合取⑨⑧得证是有效结论.前提：结论：证明：①附加前提引入②置换③②④前提引入⑤④⑥③⑤析取三段论⑦⑥得证是有效结论.题3.证明下列各式.（简明注明使用等值式名称或推理定理名称）所有北极熊都是白色的，没有棕熊是白色的，所以北极熊不是棕熊.解：命题符号化：是北极熊. ：是白色的. ：是棕熊.前提：结论：证明：用归谬法①结论的否定引入②①置换③②④③化简律⑤③化简律⑥前提引入⑦⑥⑧④⑦假言推理⑨⑤⑧合取⑩⑨由于最后一步与前提中矛盾，所以推理正确.课时五练习题1.下列四个公式正确的有（）.2.在个体域中，若，，谓词有，，，，求的真值.3.下列等价关系正确的是（）.4.设个体域，消去公式中的量词.①②5.下列谓词公式中是前束范式的是（）.6.的前束范式为_________.7.求合式公式的前束范式____________.8.求谓词公式的前束范式.9.设个体域为，并对设定为，，，，其真值为的公式为__________.10.证明题前提：；结论：11.在自然推理系统中构造下面推理再证明.前提：，结论：12.先将下列推理符号化，再利用推理规则证明推理的正确性.所有的大一学生都要学习英语；并非所有的大一学生都要学习离散数学；故有些学习英语的不学习离散数学.假设谓词如下：：是大一学生；：要学习英语；：要学习离散数学.课时六 集合代数考点重要程度 分值常见题型 1.集合的基本概念 ★★ 选择、填空2.集合的运算 ★★★ 选择、填空3.有穷集的计数 ★★★ 解答4.集合恒等式 ★★★证明1. 集合的基本概念题1.，将的子集分类.元子集，也就是空集：； 元子集：； 元子集：； 元子集：；1) 把一些事物汇集到一起组成一个整体就称作集合，而这些事物就是这个集合的元素或成员.元素和集合之间的关系是隶属关系，即属于或不属于，属于记作，不属于记作.例：，2) 设为集合，如果中的每个元素都是中的元素，则称是的子集，记作,如果不被包含，记作.3) 设为集合，如果且，则称与相等，记作.4) 设为集合，如果且,则称是的真子集，记作.5) 不含任何元素的集合称作空集，记作.空集是一切集合的子集.6) 含有个元素的集合简称为元集，它的含有个元素的子集称作它的元子集.题2.设，则下列正确的是（）.答案：.题3.已知集合，则的幂集合___________.元子集：元子集：元子集：元子集：答案：.2.集合的运算8)若是元集，则有个元素.9)在一个具体问题中，如果所涉及的集合都是某个集合的子集，则称这个集合为全集，记作.7)设为集合，把的全体子集构成的集合称作的幂集，记作.1)并运算：2)交运算：3)差运算：4)对称差：5)的绝对补集定义如下：题1：设，，则差集 ，而对称差.答案：.题2.设全集的子集为，，，. 答案：,.3. 有穷集的计数题1.对名会外语的科技人员进行掌握外语情况的调查.其统计结果如下：会英、日、德和法语的人分别是和人，其中同时会英语和日语的有人，会英、德、和法语中任两种语言的都是人.已知会日语的人既不懂法语也不懂德语，分别求只会一种语言（英、德、法、日）的人数和会种语言的人数. 解：令分别表示会英、法、德、日语的人的集合，根据题意画出文氏图如下图所示.设同时会种语言的有人，只会英、法或德语一种语言的分别为和人.将和填入图中相应的区域，然后依次填入其他区域的人数.根据已知条件列出方程组解，得.因此，只会英语、德语、法语、日语的人数 为，会种语言的人数为.包含排斥原理：题2.请用集合计数的包含排斥原理，计算之间既不能被和，也不能被整除的数的个数.解：设可被整除可被整除可被整除用表示有穷集的元素数，表示小于等于的最大整数，则有4. 集合恒等式下面的恒等式给出了集合运算的主要算律，其中代表任意的集合.幂等律结合律交换律分配律同一律零律排中律矛盾律吸收律德摩根律题1.证明.证：除了以上算律以外，还有一些关于集合运算性质的重要结果.例如：课时六练习题1.下面是真命题的是（）.2.若集合的元素个数，则其幂集的元素个数___________.3.设集合，则__________.4.设是集合，若，则（）.5.设集合被整除，,被整除，，则__________，___________.6.，求__________.7.计算机班的名学生中，有人在第一次考试中得，人在第次考试中得，已知有人两次考试均未得，则两次考试都得的学生人数为__________人.8.某班有个学生，会语言的人，会语言的人，会语言的人，以上三门都会的人，都不会的没有，请问仅会两门的有几人？（要求写出求解过程）9.某大学计算机专业名学生中，语言课有人优秀，数据结构课有人优秀，离散数学课有人优秀.并且语言和数据结构两门课都优秀的有人；语言和离散数学两门课都优秀的有人；数据结构和离散数学两门课都优秀的有人.此外，还有人一门优秀都没得到.如果获得门优秀者可得奖学金元，获得门优秀者可得奖学金元，仅获得一门优秀者可得奖学金元，问为该专业学生发奖学金需多少元？10.设是三集合，已知，则一定有.（）11.集合的运算满足结合律，吸收律.（）12.证明.13.设是任意集合，证明等式.课时七 二元关系（1）考点重要程度 分值常见题型 1.有序对与笛卡尔积 ★★★ 填空、解答2.二元关系 ★★★★★ 选择、填空3.关系的运算 ★★★★填空、解答1. 有序对与笛卡尔积题1.设，求.若，则.由两个元素和按照一定顺序排列而成的二元组称作一个有序对或序偶，记作，其中是它的第一元素，是它的第二元素.设为集合，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合称作和的笛卡尔积，记作，符号化表示为笛卡尔积运算具有以下性质：1) 对任意集合，根据定义有.2) 一般地说，笛卡尔积运算不满足交换律，即（当时）3) 笛卡尔积运算不满足结合律，即 （当时）4)笛卡尔积运算对并和交运算满足分配律，即2.二元关系1)如果一个集合满足以下条件之一：a)集合非空，且它的元素都是有序对；b)集合是空集.则称该集合为一个二元关系，记作，二元关系也可简称为关系.对于二元关系，如果，则记作.2)设为集合，的任何子集所定义的二元关系称作从到的二元关系，特别当时称作上的二元关系.3)若，那么，的子集就有个，每一个子集代表一个上的二元关系，因此上有个不同的二元关系.题1.设集合，设关系为上的小于关系，则 .答案：.题2.设为集合，且，则上最多可定义个不同的二元关系.答案：.题1.，则的关系矩阵是 .答案：.题5.已知集合上的二元关系的关系矩阵，那么 .答案：.上的特殊关系：空关系，全域关系，恒等关系.空关系：空集全域关系：恒等关系：给出一个关系的方法有种：集合表达式、关系矩阵和关系图.设，是上的关系，的关系图记作，有个顶点，若，在中就有一条从到的有向边.3.关系的运算设是二元关系1)中所有有序对的第一元素构成的集合称作的定义域，记作，形式化表示为2)中所有有序对的第二元素构成的集合称作的值域，记作，形式化表示为3)的定义域和值域的并集称作的域，记作，形式化表示为题1.，求.4)设是二元关系，的逆关系，简称为的逆，记作，其中5)设为二元关系，对的右复合记作，其中题2.设，，求.。
离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
离散数学最全知识点
逻辑学： 研究思维规律的学问。包含形式逻 辑、辩证逻辑、名辩逻辑和因明逻辑等。
形式逻辑(传统逻辑)：主要通过研究思维形式 来讨论演绎推理。
数理逻辑(符号逻辑)：数学的方法研究形式逻 辑。
亚里士多德与三段论
所有的人都会死； 苏格拉底是人； 苏格拉底会死。
亚里士多德(公元前384～前322)古 希腊哲学家、科学家和教育家。
2) 复合命题：可分解为若干个简单命题。
原子命题：今天天气很冷。 复合命题：今天天气很冷并且刮风。 复合命题：今天天气很冷并且刮风，但室内暖和。
3、命题的表示
例设 A：今天天气很冷。 B：今天在刮风。 C：今天室内暖和。
今天天气很冷。
A
今天天气很冷并且刮风。
A并
且B
二、命题联结词
0
1
1
0
0
4、主析取范式和主合取范式之间的转换
主析取范式=>主合取范式
主合取范式=>主析取范式
3.6 命题逻辑的推理理论
一、推理的基本概念和推理形式
二、判断有效结论的常用方法
例 判断下面各推理是否正确：如果天气凉快，小王就不 去游泳；天气凉快。小王没去游泳。
00 1 1
0
1
01 0 1
0
1
莱布尼茨之梦
“精炼我们的推理的唯一方 式是使它们同数学一样切实，这 样我们能一眼就找出我们的错误， 并且在人们有争议的时候，我们 可以简单的说： 让我们计算， 而无须进一步的忙乱，就能看出 谁是正确的。”
莱布尼茨(1646年~1716年) 德国哲学家、数学家。
布尔与布尔代数
“以计算的符号语言来表示 它们，以此为基石建立逻辑的科 学，并且构造他们的方法。”
离散数学第三章 命题逻辑的推理理论
推理实例
例1 判断下面推理是否正确 (1) 若今天是 号，则明天是 号. 今天是 号. 所以 明天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 今天是1号 所以, 明天是5号 (2) 若今天是 号，则明天是 号. 明天是 号. 所以 今天是 号. 若今天是1号 则明天是5号 明天是5号 所以, 今天是1号 解 设 p：今天是 号，q：明天是 号. ：今天是1号 ：明天是5号 → ∧ → (1) 推理的形式结构 (p→q)∧p→q 推理的形式结构: 用等值演算法 (p→q)∧p→q → ∧ → ⇔ ¬((¬p∨q)∧p)∨q ¬ ∨ ∧ ∨ ∨¬q∨ ⇔ ¬p∨¬ ∨q ⇔ 1 ∨¬ 由定理3.1可知推理正确 由定理 可知推理正确
19
练习1： 练习 ：判断推理是否正确
1. 判断下面推理是否正确 判断下面推理是否正确: (1) 前提：¬p→q, ¬q 前提： → 结论： 结论：¬p ∧¬q→¬ 推理的形式结构: ¬ → ∧¬ →¬p 解 推理的形式结构 (¬p→q)∧¬ →¬ 方法一：等值演算法 方法一： (¬p→q)∧¬ →¬ ∧¬q→¬ ¬ → ∧¬ →¬p ∧¬q)∨¬ ⇔ ¬((p∨q)∧¬ ∨¬ ∨ ∧¬ ∨¬p ∧¬q)∨ ∨¬ ∨¬p ⇔ (¬p∧¬ ∨q∨¬ ¬ ∧¬ ∨¬p ⇔ ((¬p∨q)∧(¬q∨q))∨¬ ¬ ∨ ∧ ¬ ∨ ∨¬ ⇔ ¬p∨q ∨ 易知10是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确 易知 是成假赋值，不是重言式，所以推理不正确. 是成假赋值
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例4 前提：¬(p∧q)∨r, r→s, ¬s, p 前提： ∧ ∨ → 结论： 结论：¬q 证明 用归缪法 ①q 结论否定引入 ② r→s → 前提引入 ③ ¬s 前提引入 ②③拒取式 ④ ¬r ②③拒取式 ⑤ ¬(p∧q)∨r ∧ ∨ 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥ ¬(p∧q) ∧ ④⑤析取三段论 ∨¬q ⑦ ¬p∨¬ ∨¬ ⑥置换 ①⑦析取三段论 ⑧ ¬p ①⑦析取三段论 ⑨p 前提引入 ⑧⑨合取 ¬p∧p ∧ ⑧⑨合取
离散数学逻辑推理
常见的蕴涵规则表
P∧QP P∧QQ P P ∨ Q
P,Q P ∧ Q ¬P, P ∨ Q Q P, P → Q Q
QP∨Q
¬Q, P → Q ¬P
¬P P → Q QP→Q ¬(P → Q ) P ¬(P → Q ) ¬Q
P → Q, Q → R P → R P ∨ Q, P → R, Q → R R A → B (A∨ C ) →(B ∨ C) A → B (A ∧ C ) →(B ∧ C)
T (1) I1 T (1) I2 P
(5) (Q∧Ｒ (6) Q∨R (7) Q (8) P→Q
T(3)(4) I12 T (5) E8 T (2)(6) I10 P
(9) P
T (7)(8) I12
(10)(R∧S)→P CP
【example】 A→ (B→C), D ∨ A, B D → C。
【example】求证 P→Q，Q→R，P R Proof：
序号 前提或结论 所用规则 从哪几步得到 所用公式
(1)
P
P
(2)
PQ P
(3)
Q
T
(4)
Q→R P
(1)(2) I11
(5)
R
T
(3)(4)
I11
（注公式I11为： P,P→Q Q ）
【example】证明(P ∨ Q) ∧ (P → R) ∧ (Q → S) S ∨ R.
CP规则
间接证法的另一种情况是：
若要证H1∧H2∧....∧Hm (R →C)。设H1∧H2∧....∧Hm为S ，即证S (R →C)或S (R ∨ C)，故S → (R ∨ C)为永真 式。
因为S → (R ∨ C) S ∨ (R ∨ C) (S ∨ R) ∨ C (S∧R) ∨ C (S∧R) → C ,
离散数学命题逻辑知识点总结
离散数学命题逻辑知识点总结《离散数学命题逻辑知识点总结》命题逻辑是数理逻辑的一个分支，研究的是命题之间的关系以及它们的推理规则。
以下是离散数学命题逻辑的一些重要知识点的总结：1. 命题：命题是一个陈述句，它要么是真的，要么是假的，但不能同时既是真的又是假的。
2. 逻辑运算符：逻辑运算符用于组合和操作命题。
常见的逻辑运算符有：“与（∧）”、“或（∨）”、“非（¬）”、“蕴含（→）”和“等价（↔）”。
3. 真值表：真值表用于表示逻辑运算符的结果。
通过列出所有可能的命题组合，并在每个组合下计算逻辑运算符的结果，可以得到真值表。
4. 合取范式和析取范式：合取范式是通过将命题用“与”运算符连接起来得到的，析取范式是通过将命题用“或”运算符连接起来得到的。
将命题转化为它们的合取范式或析取范式，能方便地进行逻辑运算。
5. 重言式和矛盾式：重言式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为真的命题。
矛盾式是指对于所有可能的命题组合，逻辑表达式都为假的命题。
重言式和矛盾式具有重要的推理性质。
6. 推理规则：推理规则是用来推导逻辑表达式的一些基本规则。
常见的推理规则有“假言推理法”、“逆命题推理法”、“逆否命题推理法”和“拒取式推理法”。
7. 等价关系和等价演算：等价关系是指两个逻辑表达式具有相同的真值。
等价演算是一种通过运用逻辑等价关系来简化逻辑表达式的方法。
通过应用等价演算，可以将复杂的逻辑表达式简化为更简单的形式。
8. 形式化证明：在命题逻辑中，形式化证明是用推理规则和等价演算来推导出逻辑表达式的一系列步骤。
形式化证明的目的是证明一个逻辑表达式的正确性。
离散数学命题逻辑是理解和应用数理逻辑的基础。
通过掌握上述知识点，我们能够准确地分析和推理命题逻辑问题，并在解决问题时运用逻辑规律和推理方法。
对于计算机科学、人工智能和数学等领域的研究和应用，命题逻辑具有重要的理论和实际意义。
离散数学命题逻辑
Q）
(MQ) P（附加前提）
(2) SR
P
第一章命题逻辑
本题即证：M Q, MS, SR R→Q (3) RS T(2)E (4) S T(1)(3)I (5) MS P (6) M T(4)(5)I (7) (MQ) P (8) MQ T(7)E (9) (MQ)∧(QM) T(8)E (10) QM T(9)E (11) MQ T(10)E (12) Q T(6)(11)E (13) R→Q CP
第一章命题逻辑
请根据下面事实，找出凶手：
1. 清洁工或者秘书谋害了经理。 2. 如果清洁工谋害了经理，则谋害不会发生在午夜前。 3.如果秘书的证词是正确的，则谋害发生在午夜前。 4.如果秘书的证词不正确，则午夜时屋里灯光未灭。 5. 如果清洁工富裕，则他不会谋害经理。 6.经理有钱且清洁工不富裕。 7.午夜时屋里灯灭了。 令A:清洁工谋害了经理。 B:秘书谋害了经理。 C:谋害发生在午夜前。 D:秘书的证词是正确的. E:午夜时屋里灯光灭了。 H:清洁工富裕. G:经理有钱. 命题符号为： A∨B,AC,DC,DE,HA,G∧H,E ?
第一章命题逻辑
例题1-8.2 用命题逻辑推理方法证明下面推理的 有效性： 如果我学习，那么我数学不会不及格。如果我不 热衷于玩朴克，那么我将学习。但是我数学不 及格。因此，我热衷于玩朴克。 解 设 P：我学习。 Q：我数学及格。 R：我热衷于玩朴克。 于是符号化为： P→Q，R→P，Q R
1-8 推理理论
第一章得出一个新 的判断的思维过程。称这些已知的判断为前提。 得到的新的判断为前提的有效结论。 实际上，推理的过程就是证明永真蕴含式的过程， 即令H1，H2，…，Hn是已知的命题公式(前提)， 若有 H1∧H2∧....∧Hn C 则称C是H1，H2，…Hn的有效结论，简称结论。
离散数学中的逻辑推理方法
离散数学中的逻辑推理方法逻辑推理是离散数学中的重要概念，它是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
逻辑推理在数学、计算机科学、哲学等领域都有广泛的应用。
本文将探讨离散数学中的逻辑推理方法，包括命题逻辑、谓词逻辑和推理规则。
命题逻辑是逻辑推理的基础，它研究的是命题之间的关系。
命题是陈述一个明确的陈述句，可以是真或假。
命题逻辑使用逻辑运算符来连接命题，包括合取、析取、蕴含和等价。
合取表示“且”，析取表示“或”，蕴含表示“如果...则”，等价表示“当且仅当”。
通过这些逻辑运算符，我们可以对命题进行逻辑推理。
谓词逻辑是命题逻辑的扩展，它研究的是命题中的变量和量词。
谓词逻辑引入了谓词符号和量词符号。
谓词符号表示一个命题中的属性或关系，而量词符号表示命题的范围。
谓词逻辑使用量词来限定变量的取值范围，包括全称量词和存在量词。
全称量词表示对于所有的变量都成立，存在量词表示存在一个变量成立。
通过谓词逻辑，我们可以推理出更加复杂的命题。
在逻辑推理中，我们可以使用一些推理规则来推导出新的命题。
其中最常用的推理规则有假言推理、析取三段论和拒取三段论。
假言推理是通过蕴含关系来推导新的命题。
如果我们知道一个条件蕴含另一个条件，那么我们可以推导出新的条件。
析取三段论是通过两个条件的析取来推导出一个新的条件。
拒取三段论是通过两个条件的否定来推导出一个新的条件。
这些推理规则可以帮助我们在逻辑推理中得出正确的结论。
除了推理规则，逻辑推理还涉及到一些重要的概念，如充分必要条件和等价条件。
充分必要条件是指一个条件是另一个条件的必要条件，同时另一个条件也是这个条件的充分条件。
等价条件是指两个条件互相蕴含，即一个条件成立时另一个条件也成立。
通过理解这些概念，我们可以更好地进行逻辑推理。
总之，离散数学中的逻辑推理方法是一种通过推理和论证来得出结论的方法。
命题逻辑和谓词逻辑是逻辑推理的基础，通过逻辑运算符和量词来连接和限定命题。
推理规则和重要概念如充分必要条件和等价条件可以帮助我们进行逻辑推理。
《离散数学》课件-第3章命题逻辑的推理理论
判断方法一：真值表法
真值表的最后一列全为1，所以（（p∨q）∧┐p） →q为重言式。因而推理正确。
判断方法二：等值演算法
（（p∨q）∧┐p）→q ⇔ （（p∧┐p）∨（q∧┐p））→q ⇔ （ q∧┐p ）→q ⇔ ┐q∨p∨q ⇔1
因为（（p∨q）∧┐p）→q为重言式，所 以推理正确。
判断方法三：主析取范式法
★ ★★
可见，如果能证明★★是重言式，则★也是重言式。 在★★中，原来的结论中的前件A已经变成前提了，称A为 附加前提。称这种将结论中的前件作为前提的证明方法为 附加前提法。
例：在自然推理系统P中构造下面推理的证明 如果小张和小王去看电影，则小李也去看电影。小
赵不去看电影或小张去看电影。小王去看电影。所 以，当小赵去看电影时，小李也去。
前提引入
② ┐s
前提引入
③ ┐p
①②拒取式（A→B）∧┐B⇒┐A
④ p∨q
B）∧┐B⇒A
⑥ q→r
前提引入
⑦r
⑤⑥假言推理（A→B）∧A⇒B
⑧ r∧（p∨q） ⑦④合取引入
（2）前提：┐p∨q，r∨┐q，r→s 结论：p→s
证明：
① ┐p∨q 前提引入
② p→q
①置换
（A→B）∧（C→D）∧（┐B∨┐D） ⇒（┐A∨┐C）
（12）合取引入规则：若证明的公式序列中出现过 A和B，则A∧B是A和B的有效结论。
推理规则（12个）
（1）前提引入规则 （2）结论引入规则（隐规则） （3）置换规则：等值置换 （4）假言推理规则：（A→B）∧A⇒B （5）附加规则：A⇒（A∨B） （6）化简规则：A∧B ⇒A （7）拒取式规则：（A→B）∧┐B⇒┐A （8）假言三段论规则：（A→B）∧（B→C）⇒（A→C） （9）析取三段论规则：（A∨B）∧┐B⇒A （10）构造性二难推理规则 （11）破坏性二难推理规则 （12）合取引入规则
离散数学逻辑推理规则
离散数学逻辑推理规则
嘿，朋友们！今天咱们来聊聊离散数学里的逻辑推理规则。
啥是离散数学的逻辑推理规则呢？简单说，就是在离散数学这个领
域里，咱们怎么根据已知的条件和信息，有理有据地推出新的结论。
先来说说允许的行为哈。
比如说，咱们可以根据给定的命题和已经
证明过的定理，一步一步地推导。
就像搭积木一样，一块一块稳稳地
往上加，只要每一步都有理有据，那就是被允许的。
再说说禁止的行为。
可千万别乱猜！不能毫无根据就得出结论，这
就像闭着眼睛走路，容易摔跟头。
也不能随便否定已经被严格证明过
的定理和规则，不然整个推理的大厦可就要摇摇欲坠啦。
举个例子哈，如果已知“所有的猫都会抓老鼠”，又知道“小花是一只猫”，那咱们就能得出“小花会抓老鼠”的结论。
这就是合理的推导。
但
要是说“因为我觉得小花长得可爱，所以它会抓老鼠”，这可就不行啦，这完全没逻辑嘛！
为啥要有这些规则呢？这就好比咱们玩游戏得有游戏规则，不然就
乱套啦。
在离散数学里，有了明确的逻辑推理规则，才能保证咱们得
出的结论是可靠的，是能站得住脚的。
而且哦，掌握好这些规则，能让咱们的思维更加清晰，解决问题更
加有条理。
就像在迷宫里有了地图，能更快找到出口。
总之呢，离散数学的逻辑推理规则很重要，咱们要遵守允许的，避开禁止的，这样才能在离散数学的世界里畅游，得出准确又靠谱的结论！好啦，希望大家都能玩转这些规则，在离散数学里玩得开心！。
离散数学命题逻辑公式
离散数学命题逻辑公式1. 命题逻辑的基本概念命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑中的基本概念包括：命题：命题是描述客观事实真假的句子。
命题的真假值只有两个：真和假。
命题联结词：命题联结词用于将两个或多个命题连接起来，形成新的命题。
常见的命题联结词有：否定（¬）、合取（∧）、析取（∨）、蕴含（→）和等价（↔）。
命题公式：命题公式是由命题和命题联结词组成的表达式。
命题公式的真假值取决于其组成命题的真假值。
2. 命题逻辑的推理规则命题逻辑的推理规则是用于从给定的命题公式推导出新命题公式的规则。
常见的推理规则有：三段论：三段论是一种由两个前提和一个结论组成的推理形式。
如果两个前提都是真的，那么结论也一定是真的。
例如：所有哺乳动物都是恒温动物。
猫是哺乳动物。
所以，猫是恒温动物。
假言推理：假言推理是一种由一个条件句和一个结论组成的推理形式。
如果条件句是真的，那么结论也一定是真的。
例如：如果今天下雨，那么我就不出门。
今天下雨。
所以，我不出门。
选言推理：选言推理是一种由两个或多个分支组成的推理形式。
如果其中一个分支是真的，那么结论也一定是真的。
例如：要么今天下雨，要么明天下雨。
今天下雨。
所以，明天不会下雨。
3. 命题逻辑的应用命题逻辑在计算机科学、人工智能、哲学等领域有着广泛的应用。
在计算机科学中，命题逻辑用于设计和分析逻辑电路、编译器和操作系统等。
在人工智能中，命题逻辑用于知识表示和推理。
在哲学中，命题逻辑用于研究逻辑的本质和推理的有效性。
4. 结语命题逻辑是离散数学的一个重要分支，主要研究命题之间的关系以及命题的推理规则。
命题逻辑的应用非常广泛，包括计算机科学、人工智能、哲学等领域。
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实例
例5 构造下面推理的证明
9
实例
例3 构造推理的证明: 若明天是星期一或星期三, 我就有 课. 若有课, 今天必需备课. 我今天下午没备课. 所以, 明天 不是明天是星期三，
r:我有课， s:我备课 前提: (pq)r, rs, s
结论: pq
10
实例(续)
前提: (pq)r, rs, s 结论: pq 证明 ① r s 前提引入 ② s 前提引入 ③ r ①②拒取式 ④ (pq)r 前提引入 ⑤ (pq) ③④拒取式 ⑥ pq ⑤置换 结论有效, 即明天不是星期一和星期三
5
自然推理系统P
自然推理系统P由下述3部分组成: 1. 字母表 (1) 命题变项符号: p,q,r,…, pi,qi,ri,… (2) 联结词: , , , , (3) 括号与逗号: ( ), , 2. 合式公式 3. 推理规则 (1) 前提引入规则 (2) 结论引入规则 (3) 置换规则
有效推理
定义2.20 若对于每组赋值, A1A2… Ak 为假, 或者 当A1A2…Ak为真时, B也为真, 则称由前提A1,A2,…, Ak 推B的推理有效或推理正确, 并称B是有效的结论 定理2.8 由前提A1, A2, …, Ak 推出B 的推理正确当且仅当
A1A2…AkB
8
直接证明法
例2 在自然推理系统P中构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, ps, s 结论: rpq) 证明 ① ps 前提引入 ②s 前提引入 ③p ①②拒取式 ④ pq 前提引入 ⑤q ③④析取三段论 ⑥ qr 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理 ⑧ rpq) ⑦④合取 推理正确, rpq)是有效结论
12
实例
例4 构造下面推理的证明: 前提: pq, qr, rs 结论: ps 证明 ① p 附加前提引入 ② pq 前提引入 ③q ①②析取三段论 ④ qr 前提引入 ⑤r ③④析取三段论 ⑥ r s 前提引入 ⑦s ⑤⑥假言推理 推理正确, ps是有效结论
13
归谬法(反证法)
4
推理定律——重言蕴涵式
A (AB) 附加律 (AB) A 化简律 (AB)A B 假言推理 (AB)B A 拒取式 (AB)B A 析取三段论 (AB)(BC) (AC) 假言三段论 (AB)(BC) (AC) 等价三段论 (AB)(CD)(AC) (BD) 构造性二难 (AB)(AB) B 构造性二难(特殊形式) (AB)(CD)( BD) (AC) 破坏性二难
6
自然推理系统P(续)
(4) 假言推理规则 AB A \B (5) 附加规则 A \AB (6) 化简规则 AB \A (7) 拒取式规则 AB B \A (8) 假言三段论规则 AB BC \AC
7
自然推理系统P(续)
(9) 析取三段论规则 AB B \A (10)构造性二难推理规则 AB CD AC \BD (11) 破坏性二难推理规则 AB CD BD \AC (12) 合取引入规则 A B \AB
推理正确, q是有效结论
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归结证明法
归结规则 A B AC \BC 理由 (pq)pr)(qr)
(pq)pr))(qr) (pq)pr)qr (pq)q)pr)r) (pq)pr)
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附加前提证明法
欲证明 前提: A1, A2, …, Ak 结论: CB 理由: 等价地证明 前提: A1, A2, …, Ak, C 结论: B
(A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…Ak)(CB)
( A1A2…AkC)B (A1A2…AkC)B
前提: (pq)r, rs, s, p 结论: q
证明 用归缪法
①q ② r s 结论否定引入 前提引入
③ s
④ r
前提引入
②③拒取式
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实例(续)
⑤ (pq)r ⑥ (pq) ⑦ pq ⑧ p ⑨p ⑩ pp 前提引入 ④⑤析取三段论 ⑥置换 ①⑦析取三段论 前提引入 ⑧⑨合取
为重言式.
1
推理的形式结构
形式(1) A1A2…AkB 形式(2) 前提: A1, A2, … , Ak 结论: B 推理正确记作 A1A2…AkB
判断推理是否正确的方法: • 真值表法 • 等值演算法 • 主析取范式法 • 构造证明法
2
实例
例1 判断下面推理是否正确: (1) 若今天是1号, 则明天是5号. 今天是1号. 所以, 明天是5号. 解 设 p: 今天是1号, q: 明天是5号 推理的形式结构为 (pq)pq 证明 用等值演算法 (pq)pq ((pq)p)q ((pq)p)q pqq 1 得证推理正确
3
实例(续)
(2) 若今天是1号, 则明天是5号. 明天是5号. 所以, 今天是1号. 解 设p: 今天是1号, q: 明天是5号. 推理的形式结构为 (pq)qp 证明 用主析取范式法 (pq)qp (pq)qp ((pq)q)p qp (pq)(pq) (pq)(pq) m0m2m3 01是成假赋值, 所以推理不正确.