斯特林数和自然数前m项n次方的求和公式

斯特林数和自然数前m 项n 次方的求和公式

将 n 个元素，分成 k 个非空子集，不同的分配方法种数，称为斯特林数（Stirling Number ），记为),(k n S ，n k ≤≤1。

例如，将4个物体d c b a ,,,分成3个非空子集，有下列6种方法：

)}(),(),,{(d c b a ，)}(),(),,{(d b c a ，)}(),(),,{(c b d a ， )}(),(),,{(d a c b ，)}(),(),,{(c a d b ，)}(),(),,{(b a d c 。

所以，6)3,4(=S 。

斯特林数),(k n S 的值列表如下：

容易看出，有 1),()1,(==n n S n S ，12

)2,(1

-=-n n S ，2

)1,(2

=

=-C n n S n 。定理1 当 n k ≤≤2 时，有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。 证 把1+n 个元素分成k 个非空子集，有),1(k n S +种不同分法。

把1+n 个元素分成k 个非空子集，也可以这样考虑：或者将第1+n 个元素单独作为1个子集，其余n 个元素分成1-k 个非空子集，这种情况下有)1,(-k n S 种不同做法；或者先将前n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种分法，再将第1+n 个元素插入这k 个子集，有k 种选择，这种情况下有k ),(k n S 种不同做法。所以共有),()1,(k n kS k n S +-种分法。

两种考虑，结果应该是一样的，因此有 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+ 。

如果规定当1时，0),(=k n S ，则公式 ),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+对 任何正整数n 和任何整数k 都成立。

定理2 对任何整数 n 1≥ 和 0≥k ，有

∑-=--=1

)()1(!1),(k i n i k i i k C k k n S 。

证 用数学归纳法证明。 （1）当 1=n 时，

∑-=--10)()1(!1k i i k i i k C k ∑-=---=10

1)1(!)1(1k i i

k i C k ),1(1011)1(!010

00k S k k C =⎪⎩

⎪⎨⎧≠==-= ， 公式成立。

（2）设已知对某个正整数 n ，公式成立，下面看 1+n 时的情形：

),()1,(),1(k n kS k n S k n S +-=+

∑-=-----=201)1()1()!1(1k i n

i k i i k C k ∑-=--+10)()1(!k i n i k i i k C k k ∑-=------=1111)()1(!)1(1k i n i k i i k C k ∑-=---+10)()1(!)1(1k i n i k i i k C k ∑-=----=10

1)()1()!1(1k i n i k i i k C k ∑-=+--=101)()1(!1k i n i k i i k C k ， 可见 1+n 时公式也成立。

（3）所以，对任何正整数 n ，公式都成立。

例如，有

12!

2122)2,(1-=⋅-=-n n

n n S ，

!

21

223!313233)3,(11+⋅-=

⋅+⋅-=--n n n n n n S , !

31

23334!41426344)4,(111-⋅+⋅-=

⋅-⋅+⋅-=---n n n n n n n n S , !

41

2436445!515210310455)5,(1111+⋅-⋅+⋅-=

⋅+⋅-⋅+⋅-=----n n n n n n n n n n S 。

定理3 当 n k ≤≤1m ≤ 时，有

n

m ∑==n

k k

m

k n S P 1

),(),()2,()1,(21n n S P n S P n S P n m m m +++=Λ 。

证 将n 个元素分配到m 个不同的格子中，每个格子可以有多个元素，也可以没有元素，共有n

m 种不同分配方法。

将n 个元素分配到m 个不同的格子中，也可以这样考虑：先将n 个元素分成k 个非空子集，有),(k n S 种不同分法，再将这k 个子集分配到m 个格子中，每个格子最多只能放一个子集，

不同的子集分配在不同的格子中，有k m P 种不同分法，共有),(k n S k

m P 种不同做法。这里k 可

取n ,,2,1Λ中每一个值，所以有

n

m n m

m m P n n S P n S P n S ),()2,()1,(21

+++=Λ∑==n

k k

m

P k n S 1

),( 。

定理4 对任何正整数 1≥m ，1≥k ，有 111

1

+=++=∑k P P k m m

j k j

。

证 用数学归纳法证明。

（1）当 1=m 时，1

11101

111

1

1+⎩⎨⎧==>==++

=∑k P k k P P k k j k

j

时当时当 ，定理显然成立。

（2）设已知对某个正整数 m ，定理成立，下面看 1+m 时的情形：

=

∑+=1

1

m j k j

P

k m k m k m m

j k j

P k P P

P

11

1

1

1

1

++++=++=+∑k m k m P P k k m 1111+++++-=

k m P k m 112+++=112+=++k P k m ， 可见当 1+m 时，定理也成立。

（3）所以，对任何正整数 m ，定理都成立。

定理5 对任何整数 1≥m 和 1≥n ，有

∑==++++m

j n n

n

n

n

j m 1

321Λ

∑=+++=n

k k m k P k n S 111

1),(∑∑=++-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n k k m k i n i k i C i k C 111101)()1( 。

证 由定理3可知 n

j ∑==n

k k

j

P k n S 1),(，由定理4可知 11

1

1

+=++=∑k P P k m m

j k j

，所以

∑

==++++m

j n

n

n

n

n

j m 1

321Λ∑∑===m

j n

k k

j

P k n S 11),(∑∑===n

k m

j k j

P k n S 11),(∑=+++=n

k k m

k P k n S 1111),(

∑∑=++-=+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n

k k m k i n i k i k P i k C k 111

101)()1(!1∑∑=++-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=n

k k m k i n i k i C i k C 11110

)()1( 。