大学物理习题第一章(运动学)分析
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r 2 r 3
(12t 2 )2 24t 3
t3 3 / 6
2 4t 3 3.15 (rad)
（3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
例3 由楼窗口以初速度v0水平抛出一小球，若沿v0方向为x轴， 竖直向下为y 轴，不计空气阻力，由抛出瞬间开始计时，（重 力加速度为g）。 求： （1）小球在任一时刻t的坐标及小球运动的轨迹方程； （2）小球在t 时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
解: （1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 12(rad· s-1)， 法向加速度为an = rω2 = 14.4(m· s-2)； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 24(rad· s-2)， 切向加速度为at = rβ = 2.4(m· s-2)． （2）总加速度大小为a = (at2 + an2)1/2， 当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，解得 an at 3 即 得
0
x
5x 2x
0
3
x 0
1 2 v 5x 2 x 3 2
v 10x 4x 3
1、 某质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示， 如果t=0时质点位于坐标原点，则t=4.5s时质点在x轴 上的位置为（ ）。 (A) 0 (B) 5m √ (C) 2m (D) －2m
2、某质点的运动方程为x=3t-5t3+5，则该质点作（ (A) 匀加速直线运动，加速度沿X轴正方向 (B) 匀加速直线运动，加速度沿X轴负方向 (C) 变加速直线运动，加速度沿X轴正方向 √ (D) 变加速直线运动，加速度沿X轴负方向
2 例1 已知质点位矢函数为 r 4t i (3 2t ) j
求： 1）质点运动的轨道方程； 2）t=1秒和t=2秒时刻的速度； 3）从t=1秒到t=2秒的位移，该时间内的平均速度； 4）t时刻的切向加速度和法向加速度。
2 解：1）由 r 4t i (3 2t ) j
a dv dv dx dv v kv 2 dt dx dt dx
。
dv 把式子 v kv 2 整理 dx
则可得到
v
1 dv kdx v
x 1 v0 vdv 0 kdx
两边积分
ln v v kx 0
v
0
x
v v0 e kx
例5
某质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x 的关系
1 2 v0 t , gt 2
速率
2 2 2 v vx vy v0 g 2t 2
切向加速度 法向加速度
dv at dt
g 2t
2 v0 g 2t 2
an a 2 at2 g 2 at2
gv0
2 v0 g 2t 2
例4 一汽车正以速率 v0 行驶，发动机关闭后由于地面阻力得到 与速度方向相反、大小与速率平方成正比的加速度 a kv 2 试求汽车在关闭发动机后又行驶x 距离时的速率。 解：根据题意
，如果质点在原点处的速度为零，试求其在 任意位置处的速度。 解：设质点在x 处的速度为v
根据题意 , 加速度可以表达为 a
dv dv dx dv v 5 6x 2 dt dx dt dx
a 5 6x2
将上式进行整理并将等式两边积分
则
1 2 v 2
v
v
0
vdv (5 6 x 2 )dx
2 2 t
2
2
at
百度文库
dv 32t dt 16t 2 1
an a a
8 16t 2 1
例2 一质点以半径r=0.1m做圆周运动，其角位置θ = 2 + 4t3 （rad） 求：（1）t = 1s时，法向加速度an和切向加速度at？ （2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
5、以下四种运动，加速度保持不变的运动是（ (A)单摆的运动 (B)圆周运动 √ (C)抛体运动 (D)匀速率曲线运动
）。
6、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈。 在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为（
(A) 2R/T ，2R/T (C) 0，0
R/T √ (B) 0，2 (D) 2R/T ，0
）。
3、某物体的运动规律为 a kv 2 t ，式中的k为大于零的常 数。当t=0时，初速为v０，则速度v与时间t 的函数关系是（ ）。
√
4、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的（ ）。 (A)切向加速度必不为零 √ (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动
r r 2 r 1 v 12i 2 j t 2 1
平均速度
4）速率
2 2 v vx vy 2 16t 2 1
d 2x d 2 y 2 2 a a x ay 2 2 8 dt dt
解：（1）根据题意小球的运动方程为
x v0 t
1 2 y gt 2
t 时刻的坐标
gx 2 消去以上方程组中的t，可得小球的轨迹方程 y 2v0 2 dx dy （2） 速度 v vx i v y j i j v0 i gt j dt dt
x 4t 2
y 3 2t
消t，得轨道方程：
x ( y 3) 2
v (2) 16i 2 j
dr 8t i 2 j 2） v dt
3）位移
v (1) 8i 2 j
r r 2 r 1 12i 2 j
(12t 2 )2 24t 3
t3 3 / 6
2 4t 3 3.15 (rad)
（3）当at = an时，可得rβ = rω2， 即 24t = (12t2)2， 解得 t = (1/6)1/3 = 0.55(s)．
例3 由楼窗口以初速度v0水平抛出一小球，若沿v0方向为x轴， 竖直向下为y 轴，不计空气阻力，由抛出瞬间开始计时，（重 力加速度为g）。 求： （1）小球在任一时刻t的坐标及小球运动的轨迹方程； （2）小球在t 时刻的速度、切向加速度和法向加速度。
解: （1）角速度为ω = dθ/dt = 12t2 = 12(rad· s-1)， 法向加速度为an = rω2 = 14.4(m· s-2)； 角加速度为 β = dω/dt = 24t = 24(rad· s-2)， 切向加速度为at = rβ = 2.4(m· s-2)． （2）总加速度大小为a = (at2 + an2)1/2， 当at = a/2时，有4at2 = at2 + an2，解得 an at 3 即 得
0
x
5x 2x
0
3
x 0
1 2 v 5x 2 x 3 2
v 10x 4x 3
1、 某质点沿x轴作直线运动，其v-t曲线如图所示， 如果t=0时质点位于坐标原点，则t=4.5s时质点在x轴 上的位置为（ ）。 (A) 0 (B) 5m √ (C) 2m (D) －2m
2、某质点的运动方程为x=3t-5t3+5，则该质点作（ (A) 匀加速直线运动，加速度沿X轴正方向 (B) 匀加速直线运动，加速度沿X轴负方向 (C) 变加速直线运动，加速度沿X轴正方向 √ (D) 变加速直线运动，加速度沿X轴负方向
2 例1 已知质点位矢函数为 r 4t i (3 2t ) j
求： 1）质点运动的轨道方程； 2）t=1秒和t=2秒时刻的速度； 3）从t=1秒到t=2秒的位移，该时间内的平均速度； 4）t时刻的切向加速度和法向加速度。
2 解：1）由 r 4t i (3 2t ) j
a dv dv dx dv v kv 2 dt dx dt dx
。
dv 把式子 v kv 2 整理 dx
则可得到
v
1 dv kdx v
x 1 v0 vdv 0 kdx
两边积分
ln v v kx 0
v
0
x
v v0 e kx
例5
某质点沿x轴运动，其加速度a与位置坐标x 的关系
1 2 v0 t , gt 2
速率
2 2 2 v vx vy v0 g 2t 2
切向加速度 法向加速度
dv at dt
g 2t
2 v0 g 2t 2
an a 2 at2 g 2 at2
gv0
2 v0 g 2t 2
例4 一汽车正以速率 v0 行驶，发动机关闭后由于地面阻力得到 与速度方向相反、大小与速率平方成正比的加速度 a kv 2 试求汽车在关闭发动机后又行驶x 距离时的速率。 解：根据题意
，如果质点在原点处的速度为零，试求其在 任意位置处的速度。 解：设质点在x 处的速度为v
根据题意 , 加速度可以表达为 a
dv dv dx dv v 5 6x 2 dt dx dt dx
a 5 6x2
将上式进行整理并将等式两边积分
则
1 2 v 2
v
v
0
vdv (5 6 x 2 )dx
2 2 t
2
2
at
百度文库
dv 32t dt 16t 2 1
an a a
8 16t 2 1
例2 一质点以半径r=0.1m做圆周运动，其角位置θ = 2 + 4t3 （rad） 求：（1）t = 1s时，法向加速度an和切向加速度at？ （2）当切向加速度恰为总加速度大小的一半时，θ为何值？ （3）在哪一时刻，切向加速度和法向加速度恰有相等的值？
5、以下四种运动，加速度保持不变的运动是（ (A)单摆的运动 (B)圆周运动 √ (C)抛体运动 (D)匀速率曲线运动
）。
6、质点沿半径为R 的圆周作匀速率运动，每T秒转一圈。 在2T时间间隔中，其平均速度大小与平均速率大小分别为（
(A) 2R/T ，2R/T (C) 0，0
R/T √ (B) 0，2 (D) 2R/T ，0
）。
3、某物体的运动规律为 a kv 2 t ，式中的k为大于零的常 数。当t=0时，初速为v０，则速度v与时间t 的函数关系是（ ）。
√
4、对于沿曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种是正确的（ ）。 (A)切向加速度必不为零 √ (B) 法向加速度必不为零（拐点处除外） (C) 由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零 (D) 若物体的加速度a为恒矢量，它一定作匀变速率运动
r r 2 r 1 v 12i 2 j t 2 1
平均速度
4）速率
2 2 v vx vy 2 16t 2 1
d 2x d 2 y 2 2 a a x ay 2 2 8 dt dt
解：（1）根据题意小球的运动方程为
x v0 t
1 2 y gt 2
t 时刻的坐标
gx 2 消去以上方程组中的t，可得小球的轨迹方程 y 2v0 2 dx dy （2） 速度 v vx i v y j i j v0 i gt j dt dt
x 4t 2
y 3 2t
消t，得轨道方程：
x ( y 3) 2
v (2) 16i 2 j
dr 8t i 2 j 2） v dt
3）位移
v (1) 8i 2 j
r r 2 r 1 12i 2 j