2014年高考数学真题分类汇编理科-导数与定积分(理科)

导数与定积分

一. 选择题

1.（2014 大纲理 7） 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）. A ．2e B ．e C ．2 D ．1

2.（2014 湖北理 6）若函数()(),f x g x 满足

()()1

d =01f x g x x -⎰，则称()(),f x g x 为区

间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数： ①()()11sin

,cos 22

f x x

g x x ==；②()()

1,1f x x g x x =+=-；③()()2

,f x xg x x ==

.

其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）.

A.0

B.1

C.2

D.3 3.（2014 湖南理 9）已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230

d 0f x x π

=⎰

则函数()f x 的图像

的一条对称轴是（ ）.

A.6x 5π=

B.12x 7π=

C.3x π=

D.6

x π= 4.（2014 辽宁理 11） 当[]2,1x ∈-时，不等式3

2

430ax x x -++…

恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.

A ．[]5,3--

B ．96,8⎡

⎤

--

⎢⎥⎣

⎦

C ．[]6,2--

D ．[]4,3-- 5.(2014 山东理 8) 已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）.

A.102⎛

⎫ ⎪⎝⎭， B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭

，

C.()1,2

D.()2+∞， 6.（2014 江西理 8）若()()12

2

d f x x f x x =+⎰，则()1

d f x x =⎰（ ）.

A.1-

B.13-

C.1

3

D.1 7.（2014 山东理 6）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）.

A.22

B.24

C.2

D.4

8.（2014 陕西理 3） 定积分

()1

2e d 0x

x x +⎰的值为（ ）.

A.e 2+

B.e 1+

C.e

D.e 1-

9.（2014 新课标1理11）已知函数()3

2

31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且

00x >，则a 的取值范围是（ ）.

A. ()2,+∞

B. ()1,+∞

C. (),2-∞-

D. (),1-∞-

10.（2014 新课标2理8）设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（ ）.

A.0

B.1

C.2

D. 3 11.（2014 新课标2理12）设函数(

)sin

x

f x m

π=

.若存在()f x 的极值点0x 满足()2

22

00x f x m +<⎡⎤⎣⎦

，则m 的取值范围是（ ）. A.()(),66,-∞-+∞ B.()(),44,-∞-+∞ C.()

(),22,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞

二. 填空题

1.（2014 广东理 10）曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为 .

2.（2014 江苏理 11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2

b

y ax x

=+

（,a b 为常数）过点()2,5P -，

且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 3.（2014 江西理 13）若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 .

4.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =

中，则质

点落在阴影区域的概率是 .

5.（2014 四川理 15）以A 表示值域为R 2

2x

()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间

[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命

题：

①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”

； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；

③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数()()2ln 21

x

f x a x x =++

+()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）

三.解答题

1.（2014 安徽理 18）（本小题满分12分）

设函数()()2

3

11f x a x x x =++--，其中0a >.

（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；

（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 2.（2014 北京理 18）（本小题13分） 已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡

⎤=-∈⎢⎥⎣

⎦

， （1）求证：()0f x …； （2）若sin x a b x <

<在π0,2⎛⎫

⎪⎝⎭

上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 3.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）

函数()()()ln 11ax

f x x a x a

=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；

（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：

23

+22

n a n n <+…. 4.（2014 福建理 20）（本小题满分14分）

已知函数()e x

f x ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A