2014年高考数学真题分类汇编理科-导数与定积分(理科)
2014年浙江省高考数学试卷(理科)(含解析版)
2014 年浙江省高考数学试卷(理科)一、选择题(每小题 5 分,共 50 分).(分)设全集U={ x∈N| x≥2},集合 A={ x∈ N| x 2≥5} ,则?U()1 5A=A.?B.{ 2}C.{ 5}D.{ 2,5} 2.(5分)已知 i 是虚数单位, a,b∈R,则“ a=b=1是”“( a+bi)2=2i ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.(5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm24.(5 分)为了得到函数y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数y=cos3x 的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位.(分)在()6(1+y)4的展开式中,记 x m n项的系数为 f( m,n),则 f5 51+x y(3,0)+f( 2, 1) +f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210 6.(5 分)已知函数 f( x)=x3+ax2+bx+c.且 0<f(﹣ 1)=f(﹣ 2)=f(﹣ 3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤ 6C.6<c≤9D.c>9 7.(5 分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a( x> 0),g(x)=log a x 的图象可1能是()A.B.C.D.8.(5 分)记 max{ x,y} =,min{ x,y} =,设,为平面向量,则()A.min{|+ |,|﹣ |}≤min{|| ,||}B.min{|+ |,|﹣ |}≥min{|| ,||}.+ |2,|﹣ |2}≤| |2+| |2C max{|.+ |2, |﹣ |2}≥| |2+| |2D max{|9.( 5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球( m ≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.( a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 p i(i=1,2).则()A.p1> p2,E(ξ1)< E(ξ2)B.p1< p2,E(ξ1)> E(ξ2).1>p2,E(ξ1)> E(ξ2)D.p1<p2,E(ξ1)< E(ξ2)C p10.(5 分)设函数 f1(x)=x2,f2( x)=2( x﹣ x2),,,,,,,.记k=| f k(a1)﹣f k(a0)|+| f k(a2)﹣f k(a1)丨+ +| f ki=0 1 299I(a99)﹣ f k( a98)| ,k=1, 2, 3,则()A.I1<I2<I3.2<I1<I3.1<I3<I2.3<I2<I1B IC ID I2二、填空题11.( 4 分)在某程序框图如图所示,当输入50 时,则该程序运算后输出的结果是.12.( 4 分)随机变量ξ的取值为 0,1,2,若 P(ξ =0) = , E(ξ)=1,则 D(ξ)=.13.(4 分)当实数 x,y 满足时,1≤ax+y≤ 4恒成立,则实数a的取值范围是.14.( 4 分)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有种(用数字作答).15.( 4 分)设函数 f(x)=,若f(f(a))≤ 2,则实数a的取值范围是.16.( 4 分)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点 P( m,0)满足 | PA| =| PB| ,则该双曲线的3离心率是.17.(4 分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角θ的大小.若 AB=15m,AC=25m,∠ BCM=30°,则 tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面 ABC所成角)三、解答题18.( 14 分)在△ ABC中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= ,cos2A﹣cos2 B= sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角 C 的大小;(2)若 sinA= ,求△ ABC的面积.4.(分)已知数列{ a n } 和{ b } 满足 a a(n∈N*).若 { a } 为等19 14n1a2a3n=n比数列,且 a1=2, b3=6+b2.(Ⅰ)求 a n和 b n;(Ⅱ)设 c(∈N *).记数列 { c } 的前 n 项和为 S .n=n n n(i)求 S n;(i i)求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 S k≥ S n.20(.15 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC= .(Ⅰ)证明: DE⊥平面 ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣ E 的大小.521.( 15 分)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限.(Ⅰ)已知直线l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标;(Ⅱ)若过原点O 的直线 l1与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a ﹣b.22.( 14 分)已知函数 f (x)=x3+3| x﹣ a| (a∈R).(Ⅰ)若 f(x)在 [ ﹣ 1,1] 上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求 M(a)﹣ m(a);(Ⅱ)设 b∈R,若 [ f(x)+b] 2≤4 对 x∈[ ﹣1,1] 恒成立,求 3a+b 的取值范围.62014 年浙江省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(每小题 5 分,共 50 分)1.(5 分)设全集 U={ x∈N| x≥2} ,集合 A={ x∈ N| x2≥ 5} ,则 ?U A=()A.?B.{ 2}C.{ 5}D.{ 2,5}【考点】 1F:补集及其运算.【专题】 5J:集合.【分析】先化简集合 A,结合全集,求得 ?U A.【解答】解:∵全集 U={ x∈N| x≥2} ,集合 A={ x∈N| x2≥5} ={ x∈ N| x≥3} ,则 ?U A={ 2} ,故选: B.【点评】本题主要考查全集、补集的定义,求集合的补集,属于基础题.2.(5 分)已知 i 是虚数单位, a,b∈R,则“ a=b=1是”“( a+bi)2=2i ”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【考点】 29:充分条件、必要条件、充要条件; A1:虚数单位 i、复数.【专题】 5L:简易逻辑.【分析】利用复数的运算性质,分别判断“a=b=1?”“( a+bi )2=2i ”与“”a=b=1?“(a+bi)2=2i ”的真假,进而根据充要条件的定义得到结论.【解答】解:当“a=b=1时”,“(a+bi)2=(1+i)2=2i ”成立,故“a=b=1是”“(a+bi)2=2i ”的充分条件;当“(a+bi)2 =a2﹣ b2+2abi=2i 时”,“a=b=1或”“a=b=﹣1”,故“a=b=1是”“(a+bi)2=2i ”的不必要条件;综上所述,“a=b=1是”“(a+bi)2=2i ”的充分不必要条件;7故选: A.【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义,复数的运算,难度不大,属于基础题.3.(5 分)某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是()A.90cm2B.129cm2C.132cm2D.138cm2【考点】 L!:由三视图求面积、体积.【专题】 5Q:立体几何.【分析】几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,根据三视图判断直三棱柱的侧棱长与底面的形状及相关几何量的数据,判断四棱柱的高与底面矩形的边长,把数据代入表面积公式计算.【解答】解:由三视图知:几何体是直三棱柱与直四棱柱的组合体,其中直三棱柱的侧棱长为 3,底面是直角边长分别为 3、4 的直角三角形,四棱柱的高为 6,底面为矩形,矩形的两相邻边长为 3 和 4,∴几何体的表面积S=2×4× 6+3×6+3×3+2×3×4+2××3×4+(4+5)×3=48+18+9+24+12+27=138( cm2).故选: D.【点评】本题考查了由三视图求几何体的表面积,根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键.84.(5 分)为了得到函数y=sin3x+cos3x 的图象,可以将函数y=cos3x 的图象()A.向右平移个单位B.向左平移个单位C.向右平移个单位D.向左平移个单位【考点】 HJ:函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【专题】 57:三角函数的图像与性质.【分析】利用两角和与差的三角函数化简已知函数为一个角的一个三角函数的形式,然后利用平移原则判断选项即可.【解答】解:函数 y=sin3x+cos3x=,故只需将函数y=cos3x 的图象向右平移个单位,得到 y==的图象.故选: C.【点评】本题考查两角和与差的三角函数以及三角函数的平移变换的应用,基本知识的考查.5.(5 分)在( 1+x)6(1+y)4的展开式中,记 x m y n项的系数为 f( m,n),则 f(3,0)+f( 2, 1) +f(1,2)+f(0,3)=()A.45B.60C.120D.210【考点】 DA:二项式定理.【专题】 5P:二项式定理.【分析】由题意依次求出 x3y0,x2y1, x1y2,x0y3,项的系数,求和即可.【解答】解:( 1+x)6( 1+y)4的展开式中,含 x3y0的系数是:=20.f(3,0)=20;含 x2y1的系数是=60, f(2,1)=60;含 x1y2的系数是=36, f(1,2)=36;含 x0y3的系数是=4,f( 0, 3) =4;9∴f(3,0)+f( 2, 1) +f (1,2)+f(0,3)=120.故选: C.【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.6.(5 分)已知函数 f( x)=x3+ax2+bx+c.且 0<f(﹣ 1)=f(﹣ 2)=f(﹣ 3)≤3,则()A.c≤3B.3<c≤ 6C.6<c≤9D.c>9【考点】 7E:其他不等式的解法.【专题】 11:计算题; 51:函数的性质及应用.【分析】由 f(﹣ 1)=f(﹣ 2)=f(﹣ 3)列出方程组求出a,b,代入 0<f(﹣ 1)≤3,即可求出 c 的范围.【解答】解:由 f(﹣ 1)=f(﹣ 2)=f(﹣ 3)得,解得,则 f( x)=x3+6x2+11x+c,由0<f(﹣1)≤3,得0<﹣1+6﹣11+c≤3,即 6<c≤ 9,故选: C.【点评】本题考查方程组的解法及不等式的解法,属于基础题.7.(5 分)在同一直角坐标系中,函数f(x)=x a( x> 0),g(x)=log a x 的图象可能是()A.B.10C.D.【考点】 3A:函数的图象与图象的变换.【专题】 51:函数的性质及应用.【分析】结合对数函数和幂函数的图象和性质,分当0< a< 1 时和当 a>1 时两种情况,讨论函数f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x 的图象,比照后可得答案.此时答案 D 满足要求,当 a>1 时,函数 f(x)=x a(x≥0),g(x)=log a x 的图象为:无满足要求的答案,11综上:故选 D,故选: D.【点评】本题考查的知识点是函数的图象,熟练掌握对数函数和幂函数的图象和性质,是解答的关键.8.(5 分)记 max{ x,y} =,min{ x,y} =,设,为平面向量,则()A.min{|+ |,|﹣ |} ≤min{| | ,||}B.min{| + | ,| ﹣ |} ≥min{|| ,||}.max{|+ |2,|﹣ |2}≤| |2+| |2.max{| + |2,| ﹣ |2} ≥C D| |2+|| 2【考点】 98:向量的加法; 99:向量的减法.【专题】 5A:平面向量及应用.【分析】将,平移到同一起点,根据向量加减法的几何意义可知,+ 和﹣分别表示以,为邻边所做平行四边形的两条对角线,再根据选项内容逐一判断.【解答】解:对于选项 A,取⊥,则由图形可知,根据勾股定理,结论不成立;对于选项 B,取,是非零的相等向量,则不等式左边min{|+ | ,|﹣|} =0,显然,不等式不成立;对于选项C,取,是非零的相等向量,则不等式左边max{| + | 2, |﹣| 2} =| + | 2=4,而不等式右边=|| 2+| | 2=2,故C不成立,D选项正确.故选: D.【点评】本题在处理时要结合着向量加减法的几何意义,将,,,放12在同一个平行四边形中进行比较判断,在具体解题时,本题采用了排除法,对错误选项进行举反例说明,这是高考中做选择题的常用方法,也不失为一种快速有效的方法,在高考选择题的处理上,未必每一题都要写出具体解答步骤,针对选择题的特点,有时“排除法”,“确定法”,“特殊值”代入法等也许是一种更快速,更有效的方法.9.( 5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球( m ≥3,n≥3),从乙盒中随机抽取i(i=1,2)个球放入甲盒中.( a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1,2);(b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 p i(i=1,2).则()> p ,E(ξ)< E(ξ)A.p1 212 C.p1>p2,E(ξ1)> E(ξ2)B.p < p ,E(ξ)> E(ξ)1212 D.p1<p2,E(ξ1)< E(ξ2)【考点】 CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】 5I:概率与统计.【分析】首先,这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的,然后分两种情况:即当ξ=1时,有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放入甲盒;ξ=2时,则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红;最后利用概率公式及分布列知识求出P1,P2和E(ξ1),E(ξ2)进行比较即可.【解答】解析:,,,所以 P1>P2;由已知ξ的取值为 1、2,ξ的取值为 1、2、 3,12所以,==,13)﹣ E(ξ)=.E(ξ12故选: A.【点评】正确理解ξi(i=1,2)的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法,不妨令 m=n=3,也可以很快求解..(分)设函数1(x)=x2,f2(x)=2(x﹣x2),,,10 5fi=0, 1,2,, 99.记 I k=| f k(a1)﹣ f k(a0)|+| f k(a2)﹣ f k(a1)丨 + +| f k (a99)﹣ f k( a98)| ,k=1, 2, 3,则()A.I1<I2<I3B.I2<I1<I3C.I1<I3<I2D.I3<I2<I1【考点】 57:函数与方程的综合运用.【专题】 51:函数的性质及应用.【分析】根据记 I k=| f k(a1)﹣ f k(a0)|+| f k(a2)﹣ f k(a1)丨 + +| f k( a99)﹣ f k (a98)| ,分别求出 I1, I2,I3与 1 的关系,继而得到答案【解答】解:由,故==1,由,故×= ×<1,+=,故 I2<I1<I3,故选: B.【点评】本题主要考查了函数的性质,关键是求出这三个数与1 的关系,属于难题.14二、填空题11.( 4 分)在某程序框图如图所示,当输入50 时,则该程序运算后输出的结果是 6 .【考点】 E7:循环结构; EF:程序框图.【专题】 5K:算法和程序框图.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到满足条件S>50,跳出循环体,确定输出的 i 的值.【解答】解:由程序框图知:第一次循环 S=1,i=2;第二次循环 S=2×1+2=4,i=3;第三次循环S=2×4+3=11, i=4;第四次循环 S=2×11+4=26,i=5;第五次循环 S=2×26+5=57,i=6,满足条件 S> 50,跳出循环体,输出i=6.故答案为: 6.【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.1512.( 4 分)随机变量ξ的取值为 0,1,2,若 P(ξ =0) = , E(ξ)=1,则 D(ξ)=.【考点】 CH:离散型随机变量的期望与方差.【专题】 5I:概率与统计.【分析】结合方差的计算公式可知,应先求出P(ξ=1),P(ξ=2),根据已知条件结合分布列的性质和期望的计算公式不难求得.【解答】解析:设 P(ξ=1)=p,P(ξ=2)=q,则由已知得 p+q=,,解得,,所以.故答案为:【点评】本题综合考查了分布列的性质以及期望、方差的计算公式.13.(4 分)当实数 x,y 满足时,1≤ax+y≤ 4恒成立,则实数a的取值范围是[].【考点】 7C:简单线性规划.【专题】 59:不等式的解法及应用.【分析】由约束条件作出可行域,再由1≤ax+y≤ 4 恒成立,结合可行域内特殊点 A, B, C 的坐标满足不等式列不等式组,求解不等式组得实数 a 的取值范围.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得 C(1,).联立,解得 B(2,1).16在 x﹣y﹣ 1=0 中取 y=0 得 A(1,0).要使 1≤ax+y≤4 恒成立,则,解得: 1.∴实数 a 的取值范围是.解法二:令 z=ax+y,当 a>0 时, y=﹣ax+z,在 B 点取得最大值, A 点取得最小值,可得,即 1≤a≤;当 a<0 时, y=﹣ax+z,在 C 点取得最大值,① a<﹣ 1 时,在 B 点取得最小值,可得,解得0≤a≤(不符合条件,舍去)②﹣ 1<a< 0 时,在 A 点取得最小值,可得,解得1≤a≤(不符合条件,舍去)综上所述即: 1≤a≤;故答案为:.【点评】本题考查线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,考查了数学转化17思想方法,训练了不等式组得解法,是中档题.14.( 4 分)在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人,每人 2 张,不同的获奖情况有60种(用数字作答).【考点】 D9:排列、组合及简单计数问题.【专题】 5O:排列组合.【分析】分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得;一、二、三等奖,有 1 人获得2张,1人获得 1张.【解答】解:分类讨论,一、二、三等奖,三个人获得,共有=24 种;一、二、三等奖,有 1 人获得 2 张, 1 人获得 1 张,共有=36 种,共有 24+36=60 种.故答案为: 60.【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题,考查学生的计算能力,属于基础题.15.( 4 分)设函数 f(x)=,若f(f(a))≤ 2,则实数a的取值范围是(﹣∞,].【考点】 5B:分段函数的应用.【专题】 59:不等式的解法及应用.【分析】画出函数 f (x)的图象,由f(f( a))≤ 2,可得 f( a)≥﹣ 2,数形结合求得实数 a 的取值范围.【解答】解:∵函数 f (x)=,它的图象如图所示:由 f(f( a))≤ 2,可得 f( a)≥﹣ 2.当 a<0 时, f (a)=a2+a=(a+)2﹣≥﹣2恒成立;18当 a≥0 时, f (a)=﹣a2≥﹣ 2,即 a2≤2,解得 0≤ a≤,则实数 a 的取值范围是a≤,故答案为:(﹣∞,] .【点评】本题主要考查分段函数的应用,其它不等式的解法,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.16.( 4 分)设直线 x﹣3y+m=0(m≠0)与双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别交于点A,B.若点 P( m,0)满足 | PA| =| PB| ,则该双曲线的离心率是.【考点】 KC:双曲线的性质.【专题】 5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】先求出 A,B 的坐标,可得AB 中点坐标为(,),利用点 P( m,0)满足 | PA| =| PB| ,可得=﹣3,从而可求双曲线的离心率.【解答】解:双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线方程为y=±x,则19与直线 x﹣3y+m=0 联立,可得 A(,),B(﹣,),∴ AB中点坐标为(,),∵点 P(m, 0)满足 | PA| =| PB| ,∴=﹣3,∴ a=2b,∴= b,∴e= = .故答案为:.【点评】本题考查双曲线的离心率,考查直线的位置关系,考查学生的计算能力,属于中档题.17.(4 分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离为 AB,某目标点 P 沿墙面上的射线 CM 移动,此人为了准确瞄准目标点 P,需计算由点 A 观察点 P 的仰角θ的大小.若 AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则 tan θ的最大值是.(仰角θ为直线AP与平面 ABC所成角)【考点】 HO:三角函数模型的应用;HU:解三角形.【专题】 58:解三角形.20【分析】过 P 作 PP′⊥ BC,交 BC于 P′,连接 AP′,则 tan θ=,求出PP′,AP′,利用函数的性质,分类讨论,即可得出结论.【解答】解:∵ AB=15m,AC=25m,∠ ABC=90°,∴ BC=20m,过 P 作 PP′⊥ BC,交 BC于 P′,连接 AP′,则 tan θ=,设 BP′=x,则 CP′=20﹣ x,由∠ BCM=30°,得 PP′=CP′tan30 °=(20﹣ x),在直角△ ABP′中, AP′=,∴ tan θ= ?,令 y=,则函数在x∈[ 0,20]单调递减,∴ x=0 时,取得最大值为=.若 P′在 CB的延长线上, PP′=CP′tan30 °=(20+x),在直角△ ABP′中, AP′=,∴ tan θ= ?,令 y=,则y′=0可得x=时,函数取得最大值,故答案为:.【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题,考查函数的单调性,考查学生分21析解决问题的能力,属于中档题.三、解答题18.( 14 分)在△ ABC中,内角 A, B, C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c= ,cos2A﹣cos2 B= sinAcosA﹣sinBcosB(1)求角 C 的大小;(2)若 sinA= ,求△ ABC的面积.【考点】 GL:三角函数中的恒等变换应用;HP:正弦定理.【专题】 58:解三角形.【分析】( 1)利用倍角公式、两角和差的正弦公式可得,由 a≠ b 得, A≠B,又 A+B∈( 0,π),可得,即可得出.(2)利用正弦定理可得 a,利用两角和差的正弦公式可得 sinB,再利用三角形的面积计算公式即可得出.【解答】解:(1)由题意得,,∴,化为,由 a≠b 得, A≠ B,又 A+B∈( 0,π),得,即,∴;( 2)由,利用正弦定理可得,得,由 a<c,得 A<C,从而,故,∴.【点评】本题考查了正弦定理、倍角公式、两角和差的正弦公式、三角形的面积计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.22.(分)已知数列{ a n } 和{ b } 满足 a a(n∈N*).若 { a } 为等19 14n1a2a3n=n比数列,且 a1=2, b3=6+b2.(Ⅰ)求 a n和 b n;(Ⅱ)设 c(∈N *).记数列 { c } 的前 n 项和为 S .n=n n n(i)求 S n;(i i)求正整数 k,使得对任意 n∈N*均有 S k≥ S n.【考点】 8E:数列的求和; 8K:数列与不等式的综合.【专题】 54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)先利用前n 项积与前( n﹣1)项积的关系,得到等比数列 { a n } 的第三项的值,结合首项的值,求出通项 a n,然后现利用条件求出通项 b n;(Ⅱ)(i)利用数列特征进行分组求和,一组用等比数列求和公式,另一组用裂项法求和,得出本小题结论;(ii)本小题可以采用猜想的方法,得到结论,再加以证明.【解答】解:(Ⅰ)∵ a1 23 a n(∈*)①,a a=n N当 n≥2,n∈N*时,②,由①②知:,令 n=3,则有.∵b3=6+b2,∴ a3=8.∵{ a n} 为等比数列,且 a1=2,∴ { a n} 的公比为 q,则=4,由题意知 a n>0,∴ q> 0,∴ q=2.∴( n∈ N*).又由 a a(∈N * )得:1a2a3n=n,23,∴b n=n(n+1)(n∈N*).(Ⅱ)(i)∵ c n ===.∴S n=c1+c2+c3+ +c n====;(ii)因为 c1=0,c2>0,c3> 0, c4>0;当 n≥5 时,,而=>0,得,所以,当 n≥5 时, c n< 0,综上,对任意 n∈ N*恒有 S4≥S n,故 k=4.【点评】本题考查了等比数列通项公式、求和公式,还考查了分组求和法、裂项求和法和猜想证明的思想,证明可以用二项式定理,还可以用数学归纳法.本题计算量较大,思维层次高,要求学生有较高的分析问题解决问题的能力.本题属于难题.20.(15 分)如图,在四棱锥 A﹣BCDE中,平面 ABC⊥平面 BCDE,∠CDE=∠BED=90°,AB=CD=2,DE=BE=1,AC=.(Ⅰ)证明: DE⊥平面 ACD;(Ⅱ)求二面角B﹣AD﹣ E 的大小.24【考点】 LW:直线与平面垂直; MJ:二面角的平面角及求法.【专题】 5F:空间位置关系与距离;5G:空间角; 5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)依题意,易证AC⊥平面 BCDE,于是可得 AC⊥ DE,又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD;(Ⅱ)作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥ DE,与 AE交于点 G,连接 BG,由(Ⅰ)知 DE⊥AD,则 FG⊥AD,所以∠ BFG就是二面角 B﹣AD﹣ E 的平面角,利用题中的数据,解三角形,可求得 BF=,AF= AD,从而 GF= ,cos∠BFG==,从而可求得答案.【解答】证明:(Ⅰ)在直角梯形 BCDE中,由 DE=BE=1,CD=2,得 BD=BC=,由 AC=222,AB=2得 AB=AC+BC ,即 AC⊥BC,又平面 ABC⊥平面 BCDE,从而 AC⊥平面 BCDE,所以 AC⊥DE,又 DE⊥DC,从而 DE⊥平面 ACD;(Ⅱ)作 BF⊥AD,与 AD 交于点 F,过点 F 作 FG∥ DE,与 AE交于点 G,连接 BG,由(Ⅰ)知 DE⊥AD,则 FG⊥AD,所以∠ BFG就是二面角 B﹣AD﹣ E 的平面角,222在直角梯形 BCDE中,由 CD =BC+BD ,得 BD⊥BC,又平面ABC⊥平面BCDE,得BD⊥平面ABC,从而BD⊥AB,由于 AC⊥平面 BCDE,得 AC⊥ CD.在 Rt△ACD中,由 DC=2,AC= ,得 AD= ;在Rt△AED中,由 ED=1,AD= 得 AE= ;在 Rt△ABD 中,由 BD=,AB=2,AD=得BF=,AF= AD,从而GF=,在△ ABE,△ ABG中,利用余弦定理分别可得 cos∠BAE=,BG=.在△ BFG中, cos∠BFG==,25所以,∠ BFG=,二面角B﹣AD﹣E的大小为.【点评】本题主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,推理论证能力和运算求解能力.21.( 15 分)如图,设椭圆C:(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点 P,且点 P 在第一象限.(Ⅰ)已知直线l 的斜率为 k,用 a,b,k 表示点 P 的坐标;(Ⅱ)若过原点O 的直线 l1与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1的距离的最大值为 a ﹣b.【考点】 KH:直线与圆锥曲线的综合.【专题】 5D:圆锥曲线的定义、性质与方程;5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(Ⅰ)设直线 l 的方程为 y=kx+m( k< 0),由,消去y得(b2+a2k2)x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0,利用△ =0,可求得在第一象限中点P的坐标;(Ⅱ)由于直线 l1过原点 O 且与直线 l 垂直,设直线 l1的方程为 x+ky=0,利用点26到直线间的距离公式,可求得点P到直线l1的距离d=,整理即可证得点 P 到直线 l 1的距离的最大值为a﹣b..【解答】解:(Ⅰ)设直线 l 的方程为 y=kx+m(k<0),由,消去 y得(b2+a2k2) x2+2a2kmx+a2m2﹣a2b2=0.由于直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点P,故△ =0,即 b2﹣ m2+a2 k2=0,此时点 P 的横坐标为﹣,代入y=kx+m得点 P 的纵坐标为﹣ k?+m=,∴点 P 的坐标为(﹣,),又点 P 在第一象限,故m>0,故 m=,故点 P 的坐标为 P(,).(Ⅱ)由于直线 l1过原点 O 且与直线 l 垂直,故直线 l1的方程为 x+ky=0,所以点P 到直线 l1的距离d=,整理得: d=,27因为a2k2 +≥ 2ab,所以≤=a﹣b,当且仅当k2=时等号成立.所以,点 P 到直线 l1的距离的最大值为a﹣b.【点评】本题主要考查椭圆的几何性质、点到直线间的距离、直线与椭圆的位置关系等基础知识,同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.22.( 14 分)已知函数 f (x)=x3+3| x﹣ a| (a∈R).(Ⅰ)若 f(x)在 [ ﹣ 1,1] 上的最大值和最小值分别记为M(a),m(a),求 M (a)﹣ m(a);(Ⅱ)设 b∈R,若 [ f(x)+b] 2≤4 对 x∈[ ﹣1,1] 恒成立,求 3a+b 的取值范围.【考点】 6E:利用导数研究函数的最值.【专题】 53:导数的综合应用.【分析】(Ⅰ)利用分段函数,结合 [ ﹣ 1,1] ,分类讨论,即可求 M( a)﹣ m( a);(Ⅱ)令 h(x)=f( x)+b,则 h( x)=,h′(x)=,则[ f( x)+b] 2≤4 对 x∈ [ ﹣ 1,1] 恒成立,转化为﹣ 2≤h(x)≤2 对 x∈[ ﹣1,1] 恒成立,分类讨论,即可求 3a+b 的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)∵ f(x)=x3+3| x﹣a| =,28∴ f (′ x)=,①a≤﹣ 1 时,∵﹣ 1≤x≤1,∴ x≥a,f( x)在(﹣ 1, 1)上是增函数,∴ M(a)=f(1)=4﹣3a, m(a)=f(﹣ 1) =﹣4﹣3a,∴M(a)﹣ m( a) =8;②﹣ 1<a< 1 时, x∈( a, 1),f (x)=x3+3x﹣ 3a,在( a,1)上是增函数;x∈(﹣ 1, a),f(x) =x3﹣ 3x+3a,在(﹣ 1,a)上是减函数,∴M(a)=max{ f(1),f(﹣ 1)} ,m(a)=f(a)=a3,∵ f(1)﹣ f(﹣ 1) =﹣ 6a+2,∴﹣ 1<a≤时, M(a)﹣ m( a)=﹣a3﹣3a+4;<a< 1 时, M ( a)﹣ m(a)=﹣a3+3a+2;③a≥ 1 时,有 x≤ a, f(x)在(﹣ 1,1)上是减函数,∴ M(a)=f(﹣ 1) =2+3a,m( a)=f(1)=﹣2+3a,∴ M(a)﹣ m( a) =4;(Ⅱ)令 h(x)=f( x)+b,则 h( x)=,h′(x)=,∵[ f(x)+b] 2≤ 4 对 x∈[ ﹣1,1] 恒成立,∴﹣ 2≤h(x)≤ 2 对 x∈ [ ﹣ 1, 1] 恒成立,由(Ⅰ)知,① a≤﹣ 1 时, h( x)在(﹣ 1,1)上是增函数,最大值 h(1)=4﹣3a+b,最小值 h(﹣ 1)=﹣4﹣3a+b,则﹣ 4﹣3a+b≥﹣ 2 且 4﹣3a+b≤2 矛盾;②﹣ 1<a≤时,最小值h(a)=a3+b,最大值h(1)=4﹣ 3a+b,∴ a3+b≥﹣ 2且 4﹣ 3a+b≤ 2,令 t( a) =﹣ 2﹣ a3+3a,则 t ′( a)=3﹣3a2>0,t (a)在( 0,)上是增函数,∴t (a)> t (0)=﹣2,∴﹣ 2≤3a+b≤0;③<a<1时,最小值h(a)=a3+b,最大值 h(﹣ 1)=3a+b+2,则 a3+b≥﹣ 229且 3a+b+2≤2,∴﹣< 3a+b≤0;④a≥ 1 时,最大值 h(﹣ 1)=3a+b+2,最小值 h(1)=3a+b﹣2,则 3a+b﹣2≥﹣2 且 3a+b+2≤2,∴ 3a+b=0.综上, 3a+b 的取值范围是﹣ 2≤3a+b≤0.【点评】本题考查导数的综合运用,考查函数的最值,考查分类讨论、化归与转化的数学思想,难度大.30。
2014年高考真题——理科数学(全国大纲卷)解析版 Word版含解析
第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设103i z i=+,则z 的共轭复数为 ( )A .13i -+B .13i --C .13i +D .13i -2.设集合2{|340}M x x x =--<,{|05}N x x =≤≤,则M N =I ( )A .(0,4]B .[0,4)C .[1,0)-D .(1,0]-3.设sin 33,cos55,tan 35,a b c =︒=︒=︒则 ( )A .a b c >>B .b c a >>C .c b a >>D .c a b >>4.若向量,a b r r 满足:()()1,,2,a a b a a b b =+⊥+⊥r r r r r r r 则b =r ( )A .2B .2C .1D .225.有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A .60种B .70种C .75种D .150种6.已知椭圆C :22221x y a b +=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F 3,过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点,若1AF B ∆的周长为43C 的方程为 ( )A .22132x y +=B .2213x y +=C .221128x y +=D .221124x y +=7.曲线1x y xe-=在点(1, 1)处切线的斜率等于( ) A .2e B .e C .2 D .18.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为 ( )A .814πB .16πC .9πD .274π 【答案】A .【解析】考点:1.球的内接正四棱锥问题;2. 球的表面积的计算.9.已知双曲线C 的离心率为2,焦点为1F 、2F ,点A 在C 上,若122F A F A =,则21cos AF F ∠=( )A .14B .13C .24D .23 10.等比数列{}n a 中,452,5a a ==,则数列{lg }n a 的前8项和等于 ( )图2A .6B .5C .4D .311.已知二面角l αβ--为60︒,AB α⊂,AB l ⊥,A 为垂足,CD β⊂,C l ∈,135ACD ∠=︒,则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为 ( )A .14B 2C 3D .12【答案】B.【解析】12.函数()y f x =的图象与函数()y g x =的图象关于直线0x y +=对称,则()y f x =的反函数是( )A .()y g x =B .()y g x =-C .()y g x =-D .()y g x =--第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 8y x 的展开式中22x y 的系数为 . 【答案】70.14.设,x y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,则4z x y =+的最大值为.15.直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线,若1l 与2l 的交点为()1,3,则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .2l的夹角的正切值:12124 tan13k kk kθ-==+.考点:1.直线与圆的位置关系(相切);2.两直线的夹角公式.16.若函数()cos2sinf x x a x=+在区间(,)62ππ是减函数,则a的取值范围是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.(本小题满分10分)ABC∆的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知3cos2cosa C c A=,1tan3A=,求B.18. (本小题满分12分)等差数列{}na的前n项和为nS,已知110a=,2a为整数,且4nS S≤.(I )求{}n a 的通项公式; (II )设11n n n b a a +=,求数列{}n b 的前n 项和n T . 19. (本小题满分12分) 如图,三棱柱111ABC A B C -中,点1A 在平面ABC 内的射影D 在AC 上,090ACB ∠=,11,2BC AC CC ===. (I )证明:11AC A B ⊥; (II )设直线1AA 与平面11BCC B 31A AB C --的大小.20. (本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(I)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(II)X表示同一工作日需使用设备的人数,求X的数学期望.21.(本小题满分12分)已知抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,直线4y =与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且5||||4QF PQ =. (I )求C 的方程;(II )过F 的直线l 与C 相交于A ,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相较于M ,N 两点,且A ,M ,B ,N 四点在同一圆上,求l 的方程.【答案】(I )24y x =;(II )直线l 的方程为10x y --=或10x y +-=.22. (本小题满分12分)函数()()()ln 11ax f x x a x a=+->+. (I )讨论()f x 的单调性;(II )设111,ln(1)n n a a a +==+,证明:23+22n a n n <≤+. 【答案】(I )(i )当12a <<时,()f x 在()21,2a a --上是增函数,在()22,0a a -上是减函数,在()0,+∞上是增函数;(ii )当2a =时,()f x 在()1,-+?上是增函数;(iii )当2a >时,()f x 在是()1,0-上是增函数,在()20,2a a -上是减函数,在()22,a a -+∞上是增函数;(II)详见试题分析.1n k=+时有2333kak k<?++,结论成立.根据(i)、(ii)知对任何n N*Î结论都成立.考点:1.利用导数研究函数的单调性;2.利用数学归纳法证明数列不等式.。
2014年陕西高考理科数学试题含答案(Word版)
2014年陕西高考数学试题(理)一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|0},{|1,}M x x N x x x R =≥=<∈,则MN =( ).[0,1]A .[0,1)B .(0,1]C .(0,1)D【答案】 B 【解析】B N M N M 选,).1,0[),11-(),,0[=∩∴=+∞=2.函数()cos(2)6f x x π=-的最小正周期是( ).2A π.B π .2C π .4D π 【答案】 B 【解析】B T 选∴,π2π2||π2===ω 3.定积分1(2)xx e dx +⎰的值为( ).2A e + .1B e + .C e .1D e -【答案】 C 【解析】C e e e e x dx e x x x 选∴,-0-1|)()2(1001102∫=+=+=+4.根据右边框图,对大于2的整数N ,输出数列的通项公式是( ).2n Aa n = .2(1)n B a n =- .2n n C a = 1.2n n D a -=【答案】 C 【解析】C q a a a a a n 选的等比数列是.2,2∴,8,4,21321=====5.已知底面边长为1为( )32.3A π .4B π .2C π 4.3D π【答案】 D 【解析】D r r r r 选解得设球的半径为.π3434V ∴,1,4)2(11)2(,32222====++=π6.从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( )1.5A2.5B3.5C 4.5D 【答案】 C 【解析】C p 选反向解题.53C 4C 4-1.2525=== 7.下列函数中,满足“()()()f x y f x f y +=”的单调递增函数是( )(A )()12f x x = (B )()3f x x = (C )()12xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭(D )()3xf x =【答案】 D 【解析】D y f x f y x f D C y x y x y x 选而言,对不是递增函数只有.333)()(,3)(.++=•=•=+8.原命题为“若12,z z 互为共轭复数,则12z z =”,关于逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )(A )真,假,真 (B )假,假,真 (C )真,真,假 (D )假,假,假 【答案】 B 【解析】Bz z b a z b a z bi a z bi a z 选选择完成判断逆命题的真假即可逆否名称也为真,不需,原命题为真,则设,逆命题和否命题等价原命题和逆否名称等价.,||||∴,||||,-,.2122222111=+=+==+=设样本数据1210,,,x x x 的均值和方差分别为1和4,若i i y x a =+(a 为非零常数,1,2,,10i =),则12,10,y y y 的均值和方差分别为( )(A )1+,4a (B )1,4a a ++ (C )1,4 (D )1,4+a【答案】 A 【解析】A 选变均值也加此数,方差不样本数据加同一个数,.10.如图,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处下降, 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则函数的解析式为( )(A )3131255y x x =- (B )3241255y x x =-(C )33125y x x =- (D )3311255y x x =-+ 【答案】 A【解析】AA f x f f x f A f x 选符合只有,,而言,对即为极值点且),三次奇函数过点..053-53)5(53-1253x )(2-3-1)5(∴x 53-x 1251)(.0)5(,5,2-5(),0,0(23==′=′====′= 第二部分(共100分)二、填空题:把答案填写在答题卡相应题号后的横线上(本大题共5小题,每小题5分,共25分).11.已知,lg ,24a x a==则x =________. 【答案】10【解析】.1010,21lg 12a ∴,lg ,224212aa========x a x a x 所以,12.若圆C 的半径为1,其圆心与点)0,1(关于直线x y =对称,则圆C 的标准方程为_______.【答案】11-(22=+)y x 【解析】.11-(1),1,0(∴)1,0()0,1(22=+=)的标准方程为半径为圆心为,的对称点关于点y x x y 设20πθ<<,向量()()sin 2cos cos 1a b θθθ==,,,,若b a //,则=θtan _______. 【答案】 21【解析】.21tan θθ,cos θcos θsin 2θcos θ2sin ∴//).1,θ(cos ),θcos ,θ2(sin 22=====解得即,b a b a 14.猜想一般凸多面体中,E V F ,,所满足的等式是_________. 【答案】 2+=+E V F 【解析】.2+=+E V F 经观察规律,可得15.(考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分).A (不等式选做题)设,,,a b m n R ∈,且225,5a b ma nb +=+=的最小值为.B (几何证明选做题)如图,ABC ∆中,6BC =,以BC 为直径的半圆分别交,AB AC于点,E F ,若2AC AE =,则EF =.C (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点(2,)6π到直线sin()16πρθ-=的距离是 【答案】 A 5 B 3 C 1【解析】A5.≤5)φθsin(∴5)φθsin(5os θ5θsin 5,os θ5,θsin 5∴,52222222222的最小值为所以,,则设n m n m n m n m c n m nb ma c b a b a ++=++=++=+=+===+B.3,2,6∴Δ=∴===ΔEF AE AC BC CBEFAC AE ACB AEF ,且相似与 C1|1323-3|023-1,3(∴,2-3121os θρ-23θsin ρ)6π-θsin(ρ,1,3()6π,2(=++==+==••=d y x x y c 的距离)到直线点即对应直线)对应直角坐标点极坐标点 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共6小题,共75分) 16. (本小题满分12分)ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,. (I )若c b a ,,成等差数列,证明:()C A C A +=+sin 2sin sin ; (II )若c b a ,,成等比数列,求B cos 的最小值. 【答案】 (1) 省略 (2)21【解析】 (1)C)sin(A sinC sinA .∴C),sin(A sinB sinC.sinA 2sinB c,a b 2∴,,+=++=+=+= 即成等差,c b a(2).,21cosB 212ac ac -2ac 2ac b -2ac ≥2ac b -c a cosB ac.b ∴,,22222这时三角形为正三角形取最小值时,仅当又成等比,b c a c b a ====+==17. (本小题满分12分)四面体ABCD 及其三视图如图所示,过棱AB 的中点E 作平行于AD ,BC 的平面分 别交四面体的棱CA DC BD ,,于点H G F ,,.(I )证明:四边形EFGH 是矩形;(II )求直线AB 与平面EFGH 夹角 的正弦值.【答案】 (1) 省略 (2)510【解析】 (1).FG.⊥BCD ⊥,//∴,,AD//HG AD//EF,∴ADHG ADEF EFGH ⊂HG EF,EFGH,AD//HC AH EH//BC,∴EHBC EFGH,⊂EH EFGH,//B BCD⊥AD DC,⊥BD Δ,Δ为矩形所以,四边形,即面,且且共面和,面面同理且共面面面面且为等腰由题知,EHGF EF EF HG EF HG EF GC DG FB DF C RT BCD ====(2)510|,cos |sin 510252||||,cos ),0,1,1(0),,,()0,1-1(),2100(),1-20()0,0,1(),211,0(),0,1,0(),020(),100(,,DA ,DB ,DC (1)=><==<∴=======∴n AB n AB n AB n FG n FE n z y x n EHGF FG FE AB G E F B A z y x θ所以,,解得一个则法向量,设面,,,,,,,,,,轴建系,则为知,分别以由18.(本小题满分12分)在直角坐标系xOy 中,已知点)2,3(),3,2(),1,1(C B A ,点),(y x P 在ABC ∆三边围成的 区域(含边界)上(1)若0=++PC PB PA ,求OP ;(2)设),(R n m AC n AB m OP ∈+=,用y x ,表示n m -,并求n m -的最大值.【答案】 (1) 22 (2)m-n=y-x, 1【解析】 (1)22|OP |22|OP |,2,2,0-2-3-1,0-3-2-1(0,0))-2,-3()-3,-2()-1,-1(PC PB PA ∴),,(),2,3(),3,2(),11(22==+=∴===++=++∴=++=++所以,解得,y x y x y y y x x x y x y x y x y x P C B A (2)1---.1-)3,2(.,,-.--.2,2),1,2()2,1(y)x,(∴,AC AB OP 最大值为,所以,取最大值时,经计算在三个顶点求线性规划问题,可以代含边界内的最大值,属在三角形即求解得即n m x y n m x y B C B A ABC x y x y n m n m y n m x n m n m ==+=+=+=+= 19.(本小题满分12分)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1000元,此作物的市场价格和这块地上 的产量具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:(1)设X 表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X 的分布列;(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于...2000元 的概率.【答案】 (1)(800,0.2)(2000,0.5)(4000,0.3) (2) 0.896【解析】 (1)3.06.0*5.0)4000(,5.04.0*5.06.0*5.0)2000(,2.04.0*5.0)800(.4000,2000,80040001000-10*50020001000-6*50020001000-10*3008001000-6*300.-*====+==========X p X p X p X X 三个,即,,,可以取考虑产量和价格,利润成本价格产量利润X 的分布列如下表:X 800 2000 4000 P0.20.50.3(2)896.020*******.08.02.0*8.0*3)-1()-1(200023.8.03.05.02000)1(8001000-6*300.-*32333223的概率是季的利润不少于季中至少有所以,的概率季的利润不少于季中至少有则的概率知,一季利润不少于由,可以取考虑产量和价格,利润成本价格产量利润=+=+==+===p p C p p C P p X X20.(本小题满分13分)如图,曲线C 由上半椭圆22122:1(0,0)y x C a b y a b+=>>≥和部分抛物线22:1(0)C y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为32. (1)求,a b 的值;(2)过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q (均异于点,A B ),若AP AQ ⊥,求直线l的方程.【答案】 (1) a=2,b=1 (2) )1-(38-x y =【解析】 (1)14,3,1,2∴,23.1∴)0,1(),0,1-(1-2222222=+===+===+=x yc b a c b a a c b x y 椭圆方程为联立解得又,交于点抛物线 (2))1-(38-.38-,0)2(4-)2,1)(4-,(,0)2k -k - -k,()4k8- 1,44-(,0∴⊥),0,1-()2k --k ,1--k (,2k --k )1-(,1--k 0,1-k -:1-)4k8-,44-(,4k 8-)1-(,44-04-2-)4(,44)12x -(14),,(),,(),1-()0,1(222222222222222112212222222222211x y k k k k k k k k AQ AP AQ AP A Q x k y x kx x x y k k k P k x k y k k x k x k x k x x k x y y x Q y x P x k y B ===+=+=•+++=•====++=+++==+==++=++=+=所以,所求直线方程为解得即即即由韦达定理得联立得与即由韦达定理得,即联立得与的直线方程为设过21.(本小题满分14分) 设函数()ln(1),()'(),0f x x g x xf x x =+=≥,其中'()f x 是()f x 的导函数.(1)11()(),()(()),n n g x g x g x g g x n N ++==∈,求()n g x 的表达式; (2)若()()f x ag x ≥恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n N +∈,比较(1)(2)()g g g n +++与()n f n -的大小,并加以证明.【答案】 (1) nx x x g n +=1)((2),1](-∞ (3) 前式 > 后式【解析】 (1)+++++=++=+=++=+++=+==+=+++=+===+=+=′′=+=N n nx xx g xk xx g k n x k x kxx kx xx g kx x x g k n x xxx x xx g x x x g x g g x g x g x g xx x g x x f x x f x x g x x f n k k k n n ∈,1)(,.)1(1)(1∴)1(1111)(.1)(1≥21111)(1)(∴))(()()()(1)(,11)(∴,0≥),()(),1ln()(112111综上也成立时,当则时,假设当,,, (2),1](-a 1.a 0.≥-1),0[∈∃0≥(x)h ,0),,0[∈∃∴0≥0≥h(x),0h(0))1(-1)1()-1(-11(x)h ,0.≥,1-)1ln(h(x)0.≥,≥1-)1ln(∴1)(),(≥)(22∞∈≤+′>=++=+++=′++=+++=所以,解得,即使上恒成立在则令a x t x t t x x x ax x x x a x x x ax x x x axx x x x g x ag x f (3)+∈>++++>>++∴>∈++=+++++++++=+++++••••=++++=+++++=+=+=N n f(n)-n )()3()2()1(0)(,011-n 1n ln .0)()2(],1,0,1 -)1ln()((a) )11-n 1n (ln )311-34(ln )211-23(ln )111-12(ln 11--311-211-111-n 1n 342312ln 11--311-211-111-f(n)f(n)]-[n -)()3()2()1(∴11-11)(∴,1)(,所以,恒成立式恒成立恒成立知,则由(令)(n g g g g a nx h x xxx x h nnnn g g g g nn n n g x x x g。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)(2014•河南)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[﹣2,﹣1]B.[﹣1,2)C.[﹣1,1]D.[1,2)2.(5分)(2014•河南)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i3.(5分)(2014•河南)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.(5分)(2014•河南)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m5.(5分)(2014•河南)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.6.(5分)(2014•河南)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.7.(5分)(2014•河南)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.8.(5分)(2014•河南)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β=9.(5分)(2014•河南)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)(2014•河南)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.211.(5分)(2014•河南)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)12.(5分)(2014•河南)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(2014•河南)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为_________.(用数字填写答案)14.(5分)(2014•河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为_________.15.(5分)(2014•河南)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为_________.16.(5分)(2014•河南)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为_________.三、解答题17.(12分)(2014•河南)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:a n+2﹣a n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.18.(12分)(2014•河南)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z﹣N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.19.(12分)(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.20.(12分)(2014•河南)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)(2014•河南)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.四、选做题(22-24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)选修4-1:集合证明选讲22.(10分)(2014•河南)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.选修4-4:坐标系与参数方程23.(2014•河南)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.选修4-5:不等式选讲24.(2014•河南)若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)(2014•河南)已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B=()A.[﹣2,﹣1]B.[﹣1,2)C.[﹣1,1]D.[1,2)考点:交集及其运算.专题:集合.分析:根据集合的基本运算即可得到结论.解答:解:A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1},B={x|﹣2≤x<2},则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1},故选:A点评:本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)(2014•河南)=()A.1+i B.1﹣i C.﹣1+i D.﹣1﹣i考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.解答:解:==﹣(1+i)=﹣1﹣i,故选:D.点评:本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)(2014•河南)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数考点:函数奇偶性的判断;函数的定义域及其求法.专题:函数的性质及应用.分析:由题意可得,|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,从而得出结论.解答:解:∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴|f(x)|为偶函数,|g(x)|为偶函数.再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数,可得f(x)|g(x)|为奇函数,故选:C.点评:本题主要考查函数的奇偶性,注意利用函数的奇偶性规律,属于基础题.4.(5分)(2014•河南)已知F为双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为()A.B.3C.m D.3m考点:双曲线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.解答:解:双曲线C:x2﹣my2=3m(m>0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为=0,∴点F到C 的一条渐近线的距离为=.故选:A.点评:本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)(2014•河南)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为()A.B.C.D.考点:等可能事件的概率.专题:计算题;概率与统计.分析:求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.解答:解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况,周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况,∴所求概率为=.故选:D.点评:本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)(2014•河南)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x 的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P 做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]的图象大致为()A.B.C.D.考点:抽象函数及其应用.专题:三角函数的图像与性质.分析:在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.解答:解:在直角三角形OMP中,OP=1,∠POM=x,则OM=|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|,其周期为T=,最大值为,最小值为0,故选C.点评:本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)(2014•河南)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.B.C.D.考点:程序框图.专题:概率与统计.分析:根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.解答:解:由程序框图知:第一次循环M=1+=,a=2,b=,n=2;第二次循环M=2+=,a=,b=,n=3;第三次循环M=+=,a=,b=,n=4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M=.故选:D.点评:本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)(2014•河南)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα=,则()A.3α﹣β=B.3α+β=C.2α﹣β=D.2α+β=考点:三角函数的化简求值.专题:三角函数的求值.分析:化切为弦,整理后得到sin(α﹣β)=cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α﹣β)=cosα,则答案可求.解答:解:由tanα=,得:,即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα,sin(α﹣β)=cosα.由等式右边为单角α,左边为角α与β的差,可知β与2α有关.排除选项A,B后验证C,当时,sin(α﹣β)=sin()=cosα成立.故选:C.点评:本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)(2014•河南)不等式组的解集记为D,有下列四个命题:p1:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2 p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3 p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1其中真命题是()A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3考点:命题的真假判断与应用.专题:不等式的解法及应用.分析:作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可.解答:解:作出图形如下:由图知,区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域,显然,区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方,故A:∀(x,y)∈D,x+2y≥﹣2成立;在直线x+2y=2的右上方区域,:∃(x,y)∈D,x+2y≥2,故p2:∃(x,y)∈D,x+2y≥2正确;由图知,p3:∀(x,y)∈D,x+2y≤3错误;x+2y≤﹣1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4:∃(x,y)∈D,x+2y≤﹣1错误;综上所述,p1、p2正确;故选:C.点评:本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)(2014•河南)已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若=4,则|QF|=()A.B.3C.D.2考点:抛物线的简单性质.专题:计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:求得直线PF的方程,与y2=8x联立可得x=1,利用|QF|=d可求.解答:解:设Q到l的距离为d,则|QF|=d,∵=4,∴|PQ|=3d,∴直线PF的斜率为﹣2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y=﹣2(x﹣2),与y2=8x联立可得x=1,∴|QF|=d=1+2=3,故选:B.点评:本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)(2014•河南)已知函数f(x)=ax3﹣3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则a的取值范围是()A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(﹣∞,﹣2)D.(﹣∞,﹣1)考点:函数在某点取得极值的条件;函数的零点.专题:导数的综合应用.分析:分类讨论:当a≥0时,容易判断出不符合题意;当a<0时,由于而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,可知:存在x0>0,使得f(x0)=0,要使满足条件f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,则必须极小值>0,解出即可.解答:解:当a=0时,f(x)=﹣3x2+1=0,解得x=,函数f(x)有两个零点,不符合题意,应舍去;当a>0时,令f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=>0,列表如下:x (﹣∞,0)0f′(x)+0 ﹣0 +f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞,f(x)→+∞,而f(0)=1>0,∴存在x<0,使得f(x)=0,不符合条件:f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,应舍去.当a<0时,f′(x)=3ax2﹣6x=3ax=0,解得x=0或x=<0,列表如下:0 (0,+∞)x(﹣∞,)f′(x)﹣0 + 0 ﹣f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f(0)=1>0,x→+∞时,f(x)→﹣∞,∴存在x0>0,使得f(x0)=0,∵f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,∴极小值=,化为a2>4,∵a<0,∴a<﹣2.综上可知:a的取值范围是(﹣∞,﹣2).故选:C.点评:本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法,考查了推理能力和计算能力,属于难题.12.(5分)(2014•河南)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为()A.6B.6C.4D.4考点:由三视图求面积、体积.专题:空间位置关系与距离.分析:画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.解答:解:几何体的直观图如图:AB=4,BD=4,C到BD的中点的距离为:4,∴.AC==6,AD=4,显然AC最长.长为6.故选:B.点评:本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(2014•河南)(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为﹣20.(用数字填写答案)考点:二项式定理的应用;二项式系数的性质.专题:二项式定理.分析:由题意依次求出(x+y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.解答:解:(x+y)8的展开式中,含xy7的系数是:=8.含x2y6的系数是=28,∴(x﹣y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为:8﹣28=﹣20.故答案为:﹣20点评:本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)(2014•河南)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;乙说:我没去过C城市;丙说:我们三人去过同一城市;由此可判断乙去过的城市为A.考点:进行简单的合情推理.专题:推理和证明.分析:可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.解答:解:由乙说:我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说:我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为:A.点评:本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)(2014•河南)已知A,B,C为圆O上的三点,若=(+),则与的夹角为90°.考点:数量积表示两个向量的夹角.专题:平面向量及应用.分析:根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.解答:解:在圆中若=(+),即2=+,即+的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为临边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为:90°点评:本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)(2014•河南)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,则△ABC面积的最大值为.考点:正弦定理.专题:解三角形.分析:由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4.再利用基本不等式可得bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,从而求得它的面积的值.解答:解:△ABC中,∵a=2,且(2+b)(sinA﹣sinB)=(c﹣b)sinC,∴利用正弦定理可得4﹣b2=(c﹣b)c,即b2+c2﹣bc=4.再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc,∴bc≤4,当且仅当b=c=2时,取等号,此时,△ABC为等边三角形,它的面积为==,故答案为:.点评:本题主要考查正弦定理的应用,基本不等式,属于中档题.三、解答题17.(12分)(2014•河南)已知数列{a n}的前n项和为S n,a1=1,a n≠0,a n a n+1=λS n﹣1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明:a n+2﹣a n=λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{a n}为等差数列?并说明理由.考点:数列递推式;等差关系的确定.专题:等差数列与等比数列.分析:(Ⅰ)利用a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,相减即可得出;(Ⅱ)对λ分类讨论:λ=0直接验证即可;λ≠0,假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.可得λ=a n+2﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,.得到λS n=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.解答:(Ⅰ)证明:∵a n a n+1=λS n﹣1,a n+1a n+2=λS n+1﹣1,∴a n+1(a n+2﹣a n)=λa n+1∵a n+1≠0,∴a n+2﹣a n=λ.(Ⅱ)解:①当λ=0时,a n a n+1=﹣1,假设{a n}为等差数列,设公差为d.则a n+2﹣a n=0,∴2d=0,解得d=0,∴a n=a n+1=1,∴12=﹣1,矛盾,因此λ=0时{a n}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{a n}为等差数列,设公差为d.则λ=a n+2﹣a n=(a n+2﹣a n+1)+(a n+1﹣a n)=2d,∴.∴,,∴λS n=1+=,根据{a n}为等差数列的充要条件是,解得λ=4.此时可得,a n=2n﹣1.因此存在λ=4,使得{a n}为等差数列.点评:本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)(2014•河南)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图:(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表);(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2);(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附:≈12.2.若Z﹣N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544.考点:正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;离散型随机变量的期望与方差.专题:计算题;概率与统计.分析:(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出;(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而求出P(187.8<Z<212.2),注意运用所给数据;(ii)由(i)知X~B(100,0.6826),运用EX=np即可求得.解答:解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为:=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826;(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26.点评:本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)(2014•河南)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明:AC=AB1;(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值.考点:用空间向量求平面间的夹角;空间向量的夹角与距离求解公式.专题:空间向量及应用.分析:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10=CO,进而可得AC=AB1;(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.解答:解:(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10=CO,∴AC=AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO=CO,又∵AB=BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB1=60°,∴△CBB1为正三角形,又AB=BC,∴A(0,0,),B(1,0,0,),B1(0,,0),C(0,,0)∴=(0,,),==(1,0,),==(﹣1,,0),设向量=(x,y,z)是平面AA1B1的法向量,则,可取=(1,,),同理可得平面A1B1C1的一个法向量=(1,﹣,),∴cos<,>==,∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评:本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)(2014•河南)已知点A(0,﹣2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程;(Ⅱ)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.考点:直线与圆锥曲线的关系;椭圆的标准方程.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(Ⅰ)设F(c,0),利用直线的斜率公式可得,可得c.又,b2=a2﹣c2,即可解得a,b;(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2.与椭圆的方程联立可得根与系数的关系,再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ.通过换元再利用基本不等式的性质即可得出.解答:解:(Ⅰ)设F(c,0),∵直线AF的斜率为,∴,解得c=.又,b2=a2﹣c2,解得a=2,b=1.∴椭圆E的方程为;(Ⅱ)设P(x1,y1),Q(x2,y2).由题意可设直线l的方程为:y=kx﹣2.联立,化为(1+4k2)x2﹣16kx+12=0,当△=16(4k2﹣3)>0时,即时,,.∴|PQ|===,点O到直线l的距离d=.∴S△OPQ==,设>0,则4k2=t2+3,∴==1,当且仅当t=2,即,解得时取等号.满足△>0,∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为:.点评:本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力,考查了换元法和转化方法,属于难题.21.(12分)(2014•河南)设函数f(x)=ae x lnx+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y=e(x ﹣1)+2.(Ⅰ)求a、b;(Ⅱ)证明:f(x)>1.考点:导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究曲线上某点切线方程.专题:综合题;导数的综合应用.分析:(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)=2,f′(1)=e,解出即可;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,函数h(x)=,只需证明g(x)min>h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max;解答:解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=+,由题意可得f(1)=2,f′(1)=e,故a=1,b=2;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)=e x lnx+,从而f(x)>1等价于xlnx>xe﹣x﹣,设函数g(x)=xlnx,则g′(x)=1+lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)<0;当x∈(,+∞)时,g′(x)>0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,从而g(x)在(0,+∞)上的最小值为g()=﹣.设函数h(x)=,则h′(x)=e﹣x(1﹣x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)>0;当x∈(1,+∞)时,h′(x)<0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,从而h(x)在(0,+∞)上的最大值为h(1)=﹣.综上,当x>0时,g(x)>h(x),即f(x)>1.点评:本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.四、选做题(22-24题任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分)选修4-1:集合证明选讲22.(10分)(2014•河南)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.(Ⅰ)证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.考点:与圆有关的比例线段.专题:选作题;几何证明.分析:(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D=∠CBE,由CB=CE,可得∠E=∠CBE,即可证明:∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A=∠CBE,进而可得∠A=∠E,即可证明△ADE 为等边三角形.解答:证明:(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D=∠CBE,∵CB=CE,∴∠E=∠CBE,∴∠D=∠E;(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A=∠CBE,∵∠CBE=∠E,∴∠A=∠E,由(Ⅰ)知,∠D=∠E,∴△ADE为等边三角形.点评:本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4:坐标系与参数方程23.(2014•河南)已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.考点:参数方程化成普通方程;直线与圆锥曲线的关系.专题:坐标系和参数方程.分析:(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.点评:本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5:不等式选讲24.(2014•河南)若a>0,b>0,且+=.(Ⅰ)求a3+b3的最小值;(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由.考点:基本不等式;基本不等式在最值问题中的应用.专题:不等式的解法及应用.分析:(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥4,再利用基本不等式求得a3+b3的最小值.(Ⅱ)根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b>8,从而可得不存在a,b,使得2a+3b=6.解答:解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且+=,∴=+≥2,∴ab≥2,当且仅当a=b=时取等号.∵a3+b3 ≥2≥2=4,当且仅当a=b=时取等号,∴a3+b3的最小值为4.(Ⅱ)由(1)可知,2a+3b≥2=2≥4>6,故不存在a,b,使得2a+3b=6成立.点评:本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.参与本试卷答题和审题的老师有:lincy;caoqz;wyz123;刘长柏;sxs123;wfy814;孙佑中;minqi5;清风慕竹;maths;qiss(排名不分先后)菁优网2014年6月23日。
2014年湖北省高考数学理科试题及解析(全部题目)
2014年湖北省高考数学理科试题及解析1. i 为虚数单位,=+-2)11(ii A. -1 B.1 C. -i D. i 【解题提示】利用复数的运算法则进行计算 【解析】选A . 122)1)(1()1)(1()11(2-=-=++--=+-iii i i i i i 2.若二项式7)2(x a x +的展开式中31x 的系数是84,则实数a = A. 2 B.34 C.1 D.42【解题提示】 考查二项式定理的通项公式 【解析】选C . 因为1r T += r r r r rrrx a C xa x C 2777772)()2(+---⋅⋅⋅=⋅⋅,令327-=+-r ,得2=r ,所以84227227=⋅⋅-a C ,解得a =1. 3.设U 为全集,B A ,是集合,则“存在集合C 使得,U A C B C ⊆⊆”是“∅=B A ”的A. 充分而不必要的条件B. 必要而不充分的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要的条件【解题提示】考查集合与集合的关系,充分条件与必要条件的判断 【解析】选C . 依题意,若C A ⊆,则UUC A ⊆,当UB C ⊆,可得∅=B A ;若∅=B A ,不妨另C A = ,显然满足,UA CBC ⊆⊆,故满足条件的集合C 是存在的.4.得到的回归方程为a bx y +=ˆ,则A.0,0>>b aB.0,0<>b aC.0,0><b aD.0.0<<b a【解题提示】 考查根据已知样本数判绘制散点图,由散点图判断线性回归方程中的b 与a 的符号问题【解析】选B .画出散点图如图所示,y 的值大致随x 的增加而减小,因而两个变量呈负相关,所以0<b ,0>a5..在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②【解题提示】 考查由已知条件,在空间坐标系中作出几何体的大致形状,进一步得到正视图与俯视图 【解析】选D . 在坐标系中标出已知的四个点,根据三视图的画图规则判断三棱锥的正视图为④与俯视图为②,故选D . 6.若函数f(x),()g x 满足11()g()d 0f x x x -=⎰,则称f(x),()g x 为区间[-1,1] 上的一组正交函数,给出三组函数:①11()sin,()cos 22f x x g x x ==;②()1,g()1f x x x x =+=-;③2(),g()f x x x x ==其中为区间]1,1[-的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3【解题提示】 考查微积分基本定理的运用【解析】选C . 对①,1111111111(sin cos )(sin )cos |02222x x dx x dx x ---⋅==-=⎰⎰,则)(x f 、)(x g 为区间]1,1[-上的正交函数;对②,1123111114 (1)(1)(1)()|033x x dx x dx x x---+-=-=-=-≠⎰⎰,则)(x f、)(x g不为区间]1,1[-上的正交函数;对③,1341111()|04x dx x--==⎰,则)(x f、)(x g为区间]1,1[-上的正交函数.所以满足条件的正交函数有2组.7.由不等式⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥≤2xyyx确定的平面区域记为1Ω,不等式⎩⎨⎧-≥+≤+21yxyx,确定的平面区域记为2Ω,在1Ω中随机取一点,则该点恰好在2Ω内的概率为()A.81B.41C.43D.87【解题提示】首先根据给出的不等式组表示出平面区域,然后利用面积型的几何概型公式求解【解析】选D. 依题意,不等式组表示的平面区域如图,由几何概型概率公式知,该点落在2Ω内的概率为111221722218222BDF CEFBDFS SPS⨯⨯-⨯⨯-===⨯⨯.8.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“囷盖”的术:置如其周,另相乘也。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1.(5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2} 2.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.﹣5B.5C.﹣4+i D.﹣4﹣i3.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.54.(5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.15.(5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.456.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.78.(5分)设曲线y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.39.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10B.8C.3D.210.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.11.(5分)直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,∠BCA=90°,M,N分别是A1B1,A1C1的中点,BC=CA=CC1,则BM与AN所成角的余弦值为()A.B.C.D.12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答)13.(5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.14.(5分)函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)的最大值为.15.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是.16.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+<.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.19.(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x﹣2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.六、解答题(共1小题,满分0分)24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅱ)参考答案与试题解析一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求.1.(5分)设集合M={0,1,2},N={x|x2﹣3x+2≤0},则M∩N=()A.{1}B.{2}C.{0,1}D.{1,2}【考点】1E:交集及其运算.【专题】5J:集合.【分析】求出集合N的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|(x﹣1)(x﹣2)≤0}={x|1≤x≤2},∴M∩N={1,2},故选:D.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.2.(5分)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=()A.﹣5B.5C.﹣4+i D.﹣4﹣i【考点】A5:复数的运算.【专题】5N:数系的扩充和复数.【分析】根据复数的几何意义求出z2,即可得到结论.【解答】解:z1=2+i对应的点的坐标为(2,1),∵复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,∴(2,1)关于虚轴对称的点的坐标为(﹣2,1),则对应的复数,z2=﹣2+i,则z1z2=(2+i)(﹣2+i)=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5,故选:A.【点评】本题主要考查复数的基本运算,利用复数的几何意义是解决本题的关键,比较基础.3.(5分)设向量,满足|+|=,|﹣|=,则•=()A.1B.2C.3D.5【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算.【专题】5A:平面向量及应用.【分析】将等式进行平方,相加即可得到结论.【解答】解:∵|+|=,|﹣|=,∴分别平方得+2•+=10,﹣2•+=6,两式相减得4•=10﹣6=4,即•=1,故选:A.【点评】本题主要考查向量的基本运算,利用平方进行相加是解决本题的关键,比较基础.4.(5分)钝角三角形ABC的面积是,AB=1,BC=,则AC=()A.5B.C.2D.1【考点】HR:余弦定理.【专题】56:三角函数的求值.【分析】利用三角形面积公式列出关系式,将已知面积,AB,BC的值代入求出sinB的值,分两种情况考虑:当B为钝角时;当B为锐角时,利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值,利用余弦定理求出AC的值即可.【解答】解:∵钝角三角形ABC的面积是,AB=c=1,BC=a=,∴S=acsinB=,即sinB=,当B为钝角时,cosB=﹣=﹣,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5,即AC=,当B为锐角时,cosB==,利用余弦定理得:AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1,即AC=1,此时AB2+AC2=BC2,即△ABC为直角三角形,不合题意,舍去,则AC=.故选:B.【点评】此题考查了余弦定理,三角形面积公式,以及同角三角函数间的基本关系,熟练掌握余弦定理是解本题的关键.5.(5分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【考点】C8:相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式.【专题】5I:概率与统计.【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.75×p=0.6,由此解得p的值.【解答】解:设随后一天的空气质量为优良的概率为p,则由题意可得0.75×p=0.6,解得p=0.8,故选:A.【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题.6.(5分)如图,网格纸上正方形小格的边长为1(表示1cm),图中粗线画出的是某零件的三视图,该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为()A.B.C.D.【考点】L!:由三视图求面积、体积.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】由三视图判断几何体的形状,通过三视图的数据求解几何体的体积即可.【解答】解:几何体是由两个圆柱组成,一个是底面半径为3高为2,一个是底面半径为2,高为4,组合体体积是:32π•2+22π•4=34π.底面半径为3cm,高为6cm的圆柱体毛坯的体积为:32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为:=.故选:C.【点评】本题考查三视图与几何体的关系,几何体的体积的求法,考查空间想象能力以及计算能力.7.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.7【考点】EF:程序框图.【专题】5K:算法和程序框图.【分析】根据条件,依次运行程序,即可得到结论.【解答】解:若x=t=2,则第一次循环,1≤2成立,则M=,S=2+3=5,k=2,第二次循环,2≤2成立,则M=,S=2+5=7,k=3,此时3≤2不成立,输出S=7,故选:D.【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断,比较基础.8.(5分)设曲线y=ax﹣ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=()A.0B.1C.2D.3【考点】6H:利用导数研究曲线上某点切线方程.【专题】52:导数的概念及应用.【分析】根据导数的几何意义,即f′(x0)表示曲线f(x)在x=x0处的切线斜率,再代入计算.【解答】解:,∴y′(0)=a﹣1=2,∴a=3.故选:D.【点评】本题是基础题,考查的是导数的几何意义,这个知识点在高考中是经常考查的内容,一般只要求导正确,就能够求解该题.在高考中,导数作为一个非常好的研究工具,经常会被考查到,特别是用导数研究最值,证明不等式,研究零点问题等等经常以大题的形式出现,学生在复习时要引起重视.9.(5分)设x,y满足约束条件,则z=2x﹣y的最大值为()A.10B.8C.3D.2【考点】7C:简单线性规划.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:(阴影部分ABC).由z=2x﹣y得y=2x﹣z,平移直线y=2x﹣z,由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时,直线y=2x﹣z的截距最小,此时z最大.由,解得,即C(5,2)代入目标函数z=2x﹣y,得z=2×5﹣2=8.故选:B.【点评】本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法.10.(5分)设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.【考点】K8:抛物线的性质.【专题】5D:圆锥曲线的定义、性质与方程.【分析】由抛物线方程求出焦点坐标,由直线的倾斜角求出斜率,写出过A,B 两点的直线方程,和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程,由根与系数关系得到A,B两点纵坐标的和与积,把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案.【解答】解:由y2=2px,得2p=3,p=,则F(,0).∴过A,B的直线方程为y=(x﹣),即x=y+.联立,得4y2﹣12y﹣9=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y 1+y 2=3,y 1y 2=﹣.∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=.故选:D .【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系,考查数学转化思想方法,涉及直线和圆锥曲线关系问题,常采用联立直线和圆锥曲线,然后利用一元二次方程的根与系数关系解题,是中档题.11.(5分)直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,BC=CA=CC 1,则BM 与AN 所成角的余弦值为( ) A .B .C .D .【考点】LM :异面直线及其所成的角.【专题】5F :空间位置关系与距离.【分析】画出图形,找出BM 与AN 所成角的平面角,利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值.【解答】解:直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中,∠BCA=90°,M ,N 分别是A 1B 1,A 1C 1的中点,如图:BC 的中点为O ,连结ON ,,则MN0B 是平行四边形,BM 与AN 所成角就是∠ANO ,∵BC=CA=CC 1,设BC=CA=CC 1=2,∴CO=1,AO=,AN=,MB===, 在△ANO 中,由余弦定理可得:cos ∠ANO===.故选:C .【点评】本题考查异面直线对称角的求法,作出异面直线所成角的平面角是解题的关键,同时考查余弦定理的应用.12.(5分)设函数f(x)=sin,若存在f(x)的极值点x0满足x02+[f(x0)]2<m2,则m的取值范围是()A.(﹣∞,﹣6)∪(6,+∞)B.(﹣∞,﹣4)∪(4,+∞)C.(﹣∞,﹣2)∪(2,+∞)D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【考点】H4:正弦函数的定义域和值域.【专题】57:三角函数的图像与性质.【分析】由题意可得,f(x0)=±,且=kπ+,k∈Z,再由题意可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,可得m2 >m2+3,由此求得m的取值范围.【解答】解:由题意可得,f(x0)=±,即=kπ+,k∈z,即x0=m.再由x02+[f(x0)]2<m2,即x02+3<m2,可得当m2最小时,|x0|最小,而|x0|最小为|m|,∴m2 >m2+3,∴m2>4.求得m>2,或m<﹣2,故选:C.【点评】本题主要正弦函数的图象和性质,函数的零点的定义,体现了转化的数学思想,属于中档题.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.(第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答)13.(5分)(x+a)10的展开式中,x7的系数为15,则a=.【考点】DA:二项式定理.【专题】5P:二项式定理.【分析】在二项展开式的通项公式中,令x的幂指数等于3,求出r的值,即可求得x7的系数,再根据x7的系数为15,求得a的值.【解答】解:(x+a)10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r,+1令10﹣r=7,求得r=3,可得x7的系数为a3•=120a3=15,∴a=,故答案为:.【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式,求展开式中某项的系数,二项式系数的性质,属于中档题.14.(5分)函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)的最大值为1.【考点】GP:两角和与差的三角函数;HW:三角函数的最值.【专题】56:三角函数的求值.【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sinx,从而求得函数的最大值.【解答】解:函数f(x)=sin(x+2φ)﹣2sinφcos(x+φ)=sin[(x+φ)+φ]﹣2sinφcos (x+φ)=sin(x+φ)cosφ+cos(x+φ)sinφ﹣2sinφcos(x+φ)=sin(x+φ)cosφ﹣cos(x+φ)sinφ=sin[(x+φ)﹣φ]=sinx,故函数f(x)的最大值为1,故答案为:1.【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用,正弦函数的最值,属于中档题.15.(5分)已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x﹣1)>0,则x的取值范围是(﹣1,3).【考点】3N:奇偶性与单调性的综合.【专题】51:函数的性质及应用.【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f(|x﹣1|)>f(2),即可得到结论.【解答】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,∴不等式f(x﹣1)>0等价为f(x﹣1)>f(2),即f(|x﹣1|)>f(2),∴|x﹣1|<2,解得﹣1<x<3,故答案为:(﹣1,3)【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用,将不等式等价转化为f(|x﹣1|)>f(2)是解决本题的关键.16.(5分)设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是[﹣1,1] .【考点】J9:直线与圆的位置关系.【专题】5B:直线与圆.【分析】根据直线和圆的位置关系,画出图形,利用数形结合即可得到结论.【解答】解:由题意画出图形如图:点M(x0,1),要使圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N,使得∠OMN=45°,而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值,此时MN=1,图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1,∴x0的取值范围是[﹣1,1].【点评】本题考查直线与圆的位置关系,直线与直线设出角的求法,数形结合是快速解得本题的策略之一.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤.17.(12分)已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=3a n+1.(Ⅰ)证明{a n+}是等比数列,并求{a n}的通项公式;(Ⅱ)证明:++…+<.【考点】87:等比数列的性质;8E:数列的求和.【专题】14:证明题;54:等差数列与等比数列.【分析】(Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即=常数,又首项不为0,所以为等比数列;再根据等比数列的通项化式,求出{a n}的通项公式;(Ⅱ)将进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从而求和,证明不等式.【解答】证明(Ⅰ)==3,∵≠0,∴数列{a n+}是以首项为,公比为3的等比数列;∴a n+==,即;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当n≥2时,∵3n﹣1>3n﹣3n﹣1,∴<=,∴当n=1时,成立,当n≥2时,++…+<1+…+==<.时,++…+<.∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是常用的方法之一,通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消法求和的新数列.属于中档题.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点.(Ⅰ)证明:PB∥平面AEC;(Ⅱ)设二面角D﹣AE﹣C为60°,AP=1,AD=,求三棱锥E﹣ACD的体积.【考点】LF:棱柱、棱锥、棱台的体积;LS:直线与平面平行;MJ:二面角的平面角及求法.【专题】5F:空间位置关系与距离.【分析】(Ⅰ)连接BD交AC于O点,连接EO,只要证明EO∥PB,即可证明PB∥平面AEC;(Ⅱ)延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,说明∠CMD=60°,是二面角的平面角,求出CD,即可三棱锥E﹣ACD的体积.【解答】(Ⅰ)证明:连接BD交AC于O点,连接EO,∵O为BD中点,E为PD中点,∴EO∥PB,(2分)EO⊂平面AEC,PB⊄平面AEC,所以PB∥平面AEC;(6分)(Ⅱ)解:延长AE至M连结DM,使得AM⊥DM,∵四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,∴CD⊥平面AMD,∴CD⊥MD.∵二面角D﹣AE﹣C为60°,∴∠CMD=60°,∵AP=1,AD=,∠ADP=30°,∴PD=2,E为PD的中点.AE=1,∴DM=,CD==.三棱锥E﹣ACD的体积为:==.【点评】本题考查直线与平面平行的判定,几何体的体积的求法,二面角等指数的应用,考查逻辑思维能力,是中档题.19.(12分)某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如表:年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9(Ⅰ)求y关于t的线性回归方程;(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的回归方程,分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为:=,=﹣.【考点】BK:线性回归方程.【专题】11:计算题;5I:概率与统计.【分析】(Ⅰ)根据所给的数据,利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数,横标和纵标的积的和,与横标的平方和,代入公式求出b的值,再求出a的值,写出线性回归方程.(Ⅱ)根据上一问做出的线性回归方程,代入所给的t的值,预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入,这是一个估计值.【解答】解:(Ⅰ)由题意,=×(1+2+3+4+5+6+7)=4,=×(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,∴== =0.5,=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3.∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3;(Ⅱ)由(Ⅰ)知,b=0.5>0,故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3,得:=0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.【点评】本题考查线性回归分析的应用,本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数,这是整个题目做对的必备条件,本题是一个基础题.20.(12分)设F1,F2分别是C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C 上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.【考点】K4:椭圆的性质.【专题】5E:圆锥曲线中的最值与范围问题.【分析】(1)根据条件求出M的坐标,利用直线MN的斜率为,建立关于a,c的方程即可求C的离心率;(2)根据直线MN在y轴上的截距为2,以及|MN|=5|F1N|,建立方程组关系,求出N的坐标,代入椭圆方程即可得到结论.【解答】解:(1)∵M是C上一点且MF2与x轴垂直,∴M的横坐标为c,当x=c时,y=,即M(c,),若直线MN的斜率为,即tan∠MF1F2=,即b2==a2﹣c2,即c2+﹣a2=0,则,即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2(舍去),即e=.(Ⅱ)由题意,原点O是F1F2的中点,则直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,设M(c,y),(y>0),则,即,解得y=,∵OD是△MF1F2的中位线,∴=4,即b2=4a,由|MN|=5|F1N|,则|MF1|=4|F1N|,解得|DF1|=2|F1N|,即设N(x1,y1),由题意知y1<0,则(﹣c,﹣2)=2(x1+c,y1).即,即代入椭圆方程得,将b2=4a代入得,解得a=7,b=.【点评】本题主要考查椭圆的性质,利用条件建立方程组,利用待定系数法是解决本题的关键,综合性较强,运算量较大,有一定的难度.21.(12分)已知函数f(x)=e x﹣e﹣x﹣2x.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)设g(x)=f(2x)﹣4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值;(Ⅲ)已知1.4142<<1.4143,估计ln2的近似值(精确到0.001).【考点】6B:利用导数研究函数的单调性.【专题】16:压轴题;53:导数的综合应用.【分析】对第(Ⅰ)问,直接求导后,利用基本不等式可达到目的;对第(Ⅱ)问,先验证g(0)=0,只需说明g(x)在[0+∞)上为增函数即可,从而问题转化为“判断g′(x)>0是否成立”的问题;对第(Ⅲ)问,根据第(Ⅱ)问的结论,设法利用的近似值,并寻求ln2,于是在b=2及b>2的情况下分别计算,最后可估计ln2的近似值.【解答】解:(Ⅰ)由f(x)得f′(x)=e x+e﹣x﹣2,即f′(x)≥0,当且仅当e x=e﹣x即x=0时,f′(x)=0,∴函数f(x)在R上为增函数.(Ⅱ)g(x)=f(2x)﹣4bf(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(e x﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,则g′(x)=2[e2x+e﹣2x﹣2b(e x+e﹣x)+(4b﹣2)]=2[(e x+e﹣x)2﹣2b(e x+e﹣x)+(4b﹣4)]=2(e x+e﹣x﹣2)(e x+e﹣x+2﹣2b).①∵e x+e﹣x>2,e x+e﹣x+2>4,∴当2b≤4,即b≤2时,g′(x)≥0,当且仅当x=0时取等号,从而g(x)在R上为增函数,而g(0)=0,∴x>0时,g(x)>0,符合题意.②当b>2时,若x满足2<e x+e﹣x<2b﹣2即,得,此时,g′(x)<0,又由g(0)=0知,当时,g(x)<0,不符合题意.综合①、②知,b≤2,得b的最大值为2.(Ⅲ)∵1.4142<<1.4143,根据(Ⅱ)中g(x)=e2x﹣e﹣2x﹣4b(e x﹣e﹣x)+(8b﹣4)x,为了凑配ln2,并利用的近似值,故将ln即代入g(x)的解析式中,得.当b=2时,由g(x)>0,得,从而;令,得>2,当时,由g(x)<0,得,得.所以ln2的近似值为0.693.【点评】1.本题三个小题的难度逐步增大,考查了学生对函数单调性深层次的把握能力,对思维的要求较高,属压轴题.2.从求解过程来看,对导函数解析式的合理变形至关重要,因为这直接影响到对导数符号的判断,是解决本题的一个重要突破口.3.本题的难点在于如何寻求ln2,关键是根据第(2)问中g(x)的解析式探究b的值,从而获得不等式,这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值,达到了估值的目的.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号.【选修4-1:几何证明选讲】22.(10分)如图,P是⊙O外一点,PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,PC=2PA,D为PC的中点,AD的延长线交⊙O于点E,证明:(Ⅰ)BE=EC;(Ⅱ)AD•DE=2PB2.【考点】N4:相似三角形的判定;NC:与圆有关的比例线段.【专题】17:选作题;5Q:立体几何.【分析】(Ⅰ)连接OE,OA,证明OE⊥BC,可得E是的中点,从而BE=EC;(Ⅱ)利用切割线定理证明PD=2PB,PB=BD,结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2.【解答】证明:(Ⅰ)连接OE,OA,则∠OAE=∠OEA,∠OAP=90°,∵PC=2PA,D为PC的中点,∴PA=PD,∴∠PAD=∠PDA,∵∠PDA=∠CDE,∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°,∴OE⊥BC,∴E是的中点,∴BE=EC;(Ⅱ)∵PA是切线,A为切点,割线PBC与⊙O相交于点B,C,∴PA2=PB•PC,∵PC=2PA,∴PA=2PB,∴PD=2PB,∴PB=BD,∴BD•DC=PB•2PB,∵AD•DE=BD•DC,∴AD•DE=2PB2.【点评】本题考查与圆有关的比例线段,考查切割线定理、相交弦定理,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.【选修4-4:坐标系与参数方程】23.在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,](Ⅰ)求C的参数方程;(Ⅱ)设点D在半圆C上,半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,求直线CD的倾斜角及D的坐标.【考点】QH:参数方程化成普通方程.【专题】5S:坐标系和参数方程.【分析】(1)利用即可得出直角坐标方程,利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程.(2)利用半圆C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,则直线CD的斜率与直线l的斜率相等,即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标.【解答】解:(1)由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ,θ∈[0,],即ρ2=2ρcosθ,可得C的普通方程为(x﹣1)2+y2=1(0≤y≤1).可得C的参数方程为(t为参数,0≤t≤π).(2)设D(1+cos t,sin t),由(1)知C是以C(1,0)为圆心,1为半径的上半圆,∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等,∴tant=,t=.故D的直角坐标为,即(,).【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.六、解答题(共1小题,满分0分)24.设函数f(x)=|x+|+|x﹣a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.【考点】R5:绝对值不等式的解法.【专题】59:不等式的解法及应用.【分析】(Ⅰ)由a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|,利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f(x)≥2成立.(Ⅱ)由f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,分当a>3时和当0<a≤3时两种情况,分别去掉绝对值,求得不等式的解集,再取并集,即得所求.【解答】解:(Ⅰ)证明:∵a>0,f(x)=|x+|+|x﹣a|≥|(x+)﹣(x﹣a)|=|a+|=a+≥2=2,故不等式f(x)≥2成立.(Ⅱ)∵f(3)=|3+|+|3﹣a|<5,∴当a>3时,不等式即a+<5,即a2﹣5a+1<0,解得3<a<.当0<a≤3时,不等式即6﹣a+<5,即a2﹣a﹣1>0,求得<a≤3.综上可得,a的取值范围(,).【点评】本题主要考查绝对值三角不等式,绝对值不等式的解法,体现了转化、分类讨论的数学思想,属于中档题.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试分类汇编5—函数导数与积分T(理科)
2014高考数学分类汇编—函数导数定积分(一) 函数及其表示1.[2014·安徽卷] 6. 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( )A.12B.32 C .0 D .-12[解析]6.A. 由已知可得,f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫17π6+sin 17π6=f ⎝⎛⎭⎫11π6+sin 11π6+sin 17π6 =f ⎝⎛⎭⎫5π6+sin 5π6+sin 11π6+sin 17π6=2sin 5π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 5π6=12. 2.[2014·北京卷] 2.下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-xD .y =log 0.5(x +1)[解析] 2.A. 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.3.[2014·福建卷] 7. 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)[解析]7.D 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1]; ∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).4.[2014·江西卷]2. 函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( )A .(0,1]B .[0,1]C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-∞,0]∪[1,+∞)[解析]2.C. 由x 2-x >0,得x >1或x <0.5.[2014·山东卷] 3.函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) [解析] 3.C 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C. (二) 反函数(高中针对指对函数)6.[2014·全国卷] 12.函数y =f (x )的图像与函数y =g (x )的图像关于直线x +y =0对称,则y =f (x )的反函数是( )A .y =g (x )B .y =g (-x )C .y =-g (x )D .y =-g (-x )[解析] 12.D. 设(x 0,y 0)为函数y =f (x )的图像上任意一点,其关于直线x +y =0的对称点为(-y 0,-x 0).根据题意,点(-y 0,-x 0)在函数y =g (x )的图像上,又点(x 0,y 0)关于直线y =x 的对称点为(y 0,x 0),且(y 0,x 0)与(-y 0,-x 0)关于原点对称,所以函数y =f (x )的反函数的图像与函数y =g (x )的图像关于原点对称,所以-y =g (-x ),即y =-g (-x ).(三) 函数的单调性与最值7.[2014·北京卷] 2. 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)[解析]2.A 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A. 8. [2014·福建卷] 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)[解析] 7.D 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1]; ∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).9. [2014·广东卷] 21.设函数f (x )=1(x 2+2x +k )2+2(x 2+2x +k )-3,其中k <-2. (1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示);(2)讨论函数f (x )在D 上的单调性;(3)若k <-6,求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示).解法一:21.(1).可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->, 22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->,223x x k ∴++<-或221x x k ++>,2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->,|1|x∴+<|1|x +>,1∴-<1x <-1x <-1x >-+所以函数()f x 的定义域D 为(,1-∞-(1-1-(1)-+∞;(2). 22(2)(22)2(22)'()x x k xx f x +++++=-2(21)(22)x x k x ++++=-,由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<,即(1)()(1)0x xx +++<,1x ∴<-或11x -<<-,结合定义域知1x <-11x -<<-所以函数()f x 的单调递增区间为(,1-∞-,(1,1--,同理递减区间为(11)--,(1)-+∞;(3).由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-,2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=,22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=,(11(3)(1)0x x x x ∴++⋅+-=,1x ∴=-1x =-或3x =-或1x =,6k <-,1(1,1∴∈--,3(11)-∈--,11-<-11->-结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(11--(13)--(1,1-(11--.解法二:解:(1)依题意有222(2)2(2)30x x k x x k +++++-> ()()222+3210x x k x x k ++⋅++->2,31,13k k k <-∴+<-<-故222+3=021=0x x k x x k ++++-,均有两根记为12341111x x x x =-=-=-=-注意到3124x x x x >>>,故不等式()()222+3210x x k x x k ++⋅++->的解集为()()()4213,,,x x x x -∞⋃⋃+∞ ,即()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞(2)令()222=(2)2(2)3,g x x x k x x k x D +++++-∈ 则()()()()'22=2(2)222(22)412+1g x x x k x x x x x k ++⋅+++=+⋅++ 令()'0g x =,注意到2,11k k <-+<-,故方程2210x x k +++=有两个不相等的实数根记为5611x x =-=-,且71x =-注意到3512641x x x x x x >>>->>>结合图像可知在区间()()23,1,,x x -+∞上()'0g x >,()g x 单调递增在区间()()41,,1,x x -∞-上()'0g x <,()g x 单调递减 故()f x 在区间()()23,1,,x x -+∞上单调递减,在区间()()41,,1,x x -∞-上单调递增.(3)(1)f ==在区间D 上,令()()1f x f =,,即 2222(2)2(2)3=812x x k x x k k k +++++-++()()222(2)2(2)350x x k x x k k k +++++-+⋅+=()()2223250x x k k x x k k ⎡⎤⎡⎤++-+++++=⎣⎦⎣⎦22232250x x x x k ⎡⎤⎡⎤+-+++=⎣⎦⎣⎦()*方程22250x x k +++=的判别式8160k ∆=-->,故此方程()*有4个不相等的实数根,记为8910111,3,11x x x x ==-=-=-注意到6k <-,故,1211,13x x =->=-<-,故89,x x D ∈(103110x x -=-+-+=>,故10x D ∈4112420k k x x -----==>故11x D ∈ 结合()()()4213,,,D x x x x =-∞⋃⋃+∞和函数的图像可得()(1)f x f >的解集为()()()()1142981310,,,,x x x x x x x x ⋃⋃【品题】函数题(1)考查了数轴标根法,4个根,学过这个方法的学生就能快速做出第一问.我记得考纲上有这样一句“试题中函数一般不超过3次”这次真超过4次了.(2)考查了复合函数单调性,利用导数作工具,这个题还是很容易的,而且不涉及到分类讨论,就是题目的根太多太多了.(3)利用数形结合的思想,容易知道所求的范围,接下来只要根不求错,那就没问题了. 总的来说,本题就是根太多,结合图像,不要搞错咯~~二次函数问题依旧是备考的重点,也是难点,平时努力了,也未必有大收获.附:()g x x 3x 5x1-1x 2x 6x 4()f x 的大致图像为x 10x 3x 1x 8x 9x 2x 4x 1110. [2014·四川卷] 12.设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________. [解析] 12.1 由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭⎫-122+2=1. 11. [2014·四川卷] 15.以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∉B ; ④若函数f (x )=a ln(x +2)+x x 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B . 其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)[解析] 15.①③④ 若f (x )∈A ,则f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (a 0)=b -g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+x x 2+1(x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=x x 2+1(x >-2). 易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确. 12. [2014·四川卷] 21. 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值;(2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围.解:21. (1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b .所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增, 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当a ≥e 2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减, 因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e 2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当12<a <e 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e 2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b . (2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减.则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负.故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1.同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2.故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点; 当a ≥e 2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意. 所以12<a <e 2. 此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增.因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0.由f (1)=0得a +b =e -1<2,则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0,解得e -2<a <1.当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )).若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0.又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0,故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).(四) 函数的奇偶性与周期性13. [2014·福建卷] 7.已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( ) A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)[解析]7.D. 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1;当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1]; ∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).14.[2014·湖南卷] 3.已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .3[解析]3.C 因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (1)+g (1)=f (-1)-g (-1)=(-1)3+(-1)2+1=1.15. [2014·新课标全国卷Ⅰ] 3.设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数[解析] C 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 15. 已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.[解析] (-1,3) 根据偶函数的性质,易知f (x )>0的解集为(-2,2),若f (x -1)>0,则-2<x -1<2,解得-1<x <3.(五) 二次函数17.[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是________.[解析] 16.(-∞,2] 。
2014年高考理科数学试题及答案全国卷i
2014年高考理科数学试题及答案全国卷i 2014年高考理科数学试题及答案全国卷I一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的。
1. 若函数f(x)=x^2+bx+c,且f(1)=0,则b的值为:A. 1B. -1C. 2D. -22. 已知向量a=(3,2),向量b=(-1,2),向量a与向量b的点积为:A. 4B. 5C. 6D. 73. 若直线l的方程为y=kx+b,且直线l与x轴交于点(2,0),与y轴交于点(0,3),则k的值为:A. 3/2B. -3/2C. 2/3D. -2/34. 已知等差数列{an}的首项为1,公差为2,求该数列的前10项和S10:A. 100B. 105C. 110D. 1155. 若复数z满足|z|=1,且z的实部为1/2,则z的虚部为:A. √3/2B. -√3/2C. √3/2iD. -√3/2i6. 已知函数f(x)=x^3-3x,求f'(x):A. 3x^2-3B. x^2-3C. 3x^2+3D. x^2+37. 若双曲线C的方程为x^2/a^2-y^2/b^2=1,且双曲线C的渐近线方程为y=±(√3/3)x,则a与b的关系为:A. a=bB. a=√3bC. b=√3aD. b=3a8. 已知函数f(x)=x^2-4x+3,求函数f(x)的最小值:A. -1B. 0C. 1D. 49. 若圆C的方程为(x-1)^2+(y-2)^2=9,求圆C的圆心坐标和半径:A. 圆心(1,2),半径3B. 圆心(2,1),半径3C. 圆心(1,2),半径√9D. 圆心(2,1),半径√910. 已知正方体的棱长为a,求正方体的表面积:A. 6a^2B. 12a^2C. 24a^2D. 36a^211. 若函数f(x)=ln(x+√(x^2+1)),求f'(x):A. 1/(x+√(x^2+1))B. 1/(x-√(x^2+1))C. 1/(2x+2√(x^2+1))D. 1/(2x-2√(x^2+1))12. 已知函数f(x)=x^2-6x+8,求函数f(x)的零点:A. 2和4B. 1和5C. 3和3D. 4和2二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
2014年高考浙江理科数学试题及答案(word解析版)
2014年普通高等學校招生全國統一考試(浙江卷)數學(理科)第Ⅰ卷(選擇題 共50分)一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分,在每小題給出の四個選項中,只有一項符合題目要求. (1)【2014年浙江,理1,5分】設全集{|2}U x N x =∈≥,集合2{|5}A x N x =∈≥,則U A =ð( )(A )∅ (B ){2} (C ){5} (D ){2,5} 【答案】B【解析】2{|5}{|A x N x x N x =∈≥=∈,{|2{2}U C A x N x =∈≤=,故選B . 【點評】本題主要考查全集、補集の定義,求集合の補集,屬於基礎題. (2)【2014年浙江,理2,5分】已知i 是虛數單位,,a b R ∈,則“1a b ==”是“2(i)2i a b +=”の( )(A )充分不必要條件 (B )必要不充分條件 (C )充分必要條件 (D )既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】當1a b ==時,22(i)(1i)2i a b +=+=,反之,2(i)2i a b +=,即222i 2i a b ab -+=,則22022a b ab ⎧-=⎨=⎩,解得11a b =⎧⎨=⎩ 或11a b =-⎧⎨=-⎩,故選A .【點評】本題考查の知識點是充要條件の定義,複數の運算,難度不大,屬於基礎題.(3)【2014年浙江,理3,5分】某幾何體の三視圖(單位:cm )如圖所示,則此幾何體の表面積是( ) (A )902cm (B )1292cm (C )1322cm (D )1382cm【答案】D【解析】由三視圖可知直觀圖左邊一個橫放の三棱柱右側一個長方體,故幾何體の表面積為:1246234363334352341382S =⨯⨯+⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯⨯=,故選D .【點評】本題考查了由三視圖求幾何體の表面積,根據三視圖判斷幾何體の形狀及數據所對應の幾何量是解題の關鍵.(4)【2014年浙江,理4,5分】為了得到函數sin 3cos3y x x =+の圖像,可以將函數y x の圖像( )(A )向右平移4π個單位 (B )向左平移4π個單位 (C )向右平移12π個單位 (D )向左平移12π個單位【答案】C【解析】sin3cos3))]412y x x x x ππ=+=+=+,而2s i n (32y x x π=+)]6x π+,由3()3()612x x ππ+→+,即12x x π→-,故只需將y x の圖象向右平移12π個單位,故選C .【點評】本題考查兩角和與差の三角函數以及三角函數の平移變換の應用,基本知識の考查. (5)【2014年浙江,理5,5分】在64(1)(1)x y ++の展開式中,記m n x y 項の系數(,)f m n ,則(3,0)(2,1)(1,2)f f f f +++=( ) (A )45 (B )60 (C )120 (D )210 【答案】C 【解析】令x y =,由題意知(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++即為10(1)x +展開式中3x の系數,故(3,0)(2,1)(1,2)(0,3)f f f f +++=710120C =,故選C .【點評】本題考查二項式定理系數の性質,二項式定理の應用,考查計算能力. (6)【2014年浙江,理6,5分】已知函數32()f x x ax bx c =+++ ,且0(1)(2)(3)3f f f <-=-=-≤( ) (A )3c ≤ (B )36c <≤ (C )69c <≤ (D )9c >【答案】C【解析】由(1)(2)(3)f f f -=-=-得184212793a b c a b c a b c a b c -+-+=-+-+⎧⎨-+-+=-+-+⎩,解得611a b =⎧⎨=⎩,所以32()611f x x x x c =+++,由0(1)3f <-≤,得016113c <-+-+≤,即69c <≤,故選C .【點評】本題考查方程組の解法及不等式の解法,屬於基礎題. (7)【2014年浙江,理7,5分】在同一直角坐標系中,函數()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =の圖像可能是( )(A ) (B ) (C ) (D )【答案】D【解析】函數()(0)a f x x x =≥,()log a g x x =分別の冪函數與對數函數答案A 中沒有冪函數の圖像, 不符合;答案B 中,()(0)a f x x x =≥中1a >,()log a g x x =中01a <<,不符合;答案C 中,()(0)a f x x x =≥中01a <<,()log a g x x =中1a >,不符合;答案D 中,()(0)a f x x x =≥中01a <<,()log a g x x =中01a <<,符合,故選D .【點評】本題考查の知識點是函數の圖象,熟練掌握對數函數和冪函數の圖象和性質,是解答の關鍵.(8)【2014年浙江,理8,5分】記,max{,},x x y x y y x y ≥⎧=⎨<⎩,y,min{,}x,x yx y x y ≥⎧=⎨<⎩,設,a b 為平面向量,則( )(A )min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≤ (B )min{||,||}min{||,||}a b a b a b +-≥ (C )2222max{||,||}||||a b a b a b +-≤+ (D )2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+【答案】D【解析】由向量運算の平行四邊形法可知min{||,||}a b a b +-與min{||,||}a b の大小不確定,平行四邊形法可知max{||,||}a b a b +-所對の角大於或等於90︒ ,由餘弦定理知2222max{||,||}||||a b a b a b +-≥+,(或22222222||||2(||||)max{||,||}||||22a b a b a b a b a b a b ++-++-≥==+),故選D .【點評】本題在處理時要結合著向量加減法の幾何意義,將a ,b ,a b +,a b -放在同一個平行四邊形中進行比較判斷,在具體解題時,本題采用了排除法,對錯誤選項進行舉反例說明,這是高考中做選擇題の常用方法,也不失為一種快速有效の方法,在高考選擇題の處理上,未必每一題都要寫出具體解答步驟,針對選擇題の特點,有時“排除法”,“確定法”,“特殊值”代入法等也許是一種更快速,更有效の方法.(9)【2014年浙江,理9,5分】已知甲盒中僅有1個球且為紅球,乙盒中有m 個紅球和n 個籃球(3,3)m n ≥≥,從乙盒中隨機抽取(1,2)i i =個球放入甲盒中.(a )放入i 個球後,甲盒中含有紅球の個數記為(1,2)i i ξ=; (b )放入i 個球後,從甲盒中取1個球是紅球の概率記為(1,2)i p i =.則( )(A )1212,()()p p E E ξξ><(B )1212,()()p p E E ξξ<>(C )1212,()()p p E E ξξ>>(D )1212,()()p p E E ξξ<< 【答案】A【解析】解法一:11222()m n m np m n m n m n +=+⨯=+++ ,211222221233n m n m m n m n m nC C C C p C C C +++=++=223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-,∴1222()m n p p m n +-=+-223323()(1)m m mn n n m n m n -++-++-=5(1)06()(1)mn n n m n m n +->++-,故12p p >. 又∵1(1)n P m n ξ==+,1(2)m P m n ξ==+,∴12()12n m m nE m n m n m nξ+=⨯+⨯=+++,又222(1)(1)()(1)n m n C n n P C m n m n ξ+-===++-,11222(2)()(1)n m m n C C mnP C m n m n ξ+===++-,222(m 1)(3)()(1)m m n C m P C m n m n ξ+-===++- ∴2(1)2(1)()123()(1)()(1)()(1)n n mn m m E m n m n m n m n m n m n ξ--=⨯+⨯+⨯++-++-++-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++-21()()E E ξξ-=22334()(1)m n m n mn m n m n +--+++--2m nm n ++=(1)0()(1)m m mn m n m n -+>++-,所以21()()E E ξξ>,故選A . 解法二:在解法一中取3m n ==,計算後再比較,故選A .【點評】正確理解()1,2i i ξ=の含義是解決本題の關鍵.此題也可以采用特殊值法,不妨令3m n ==,也可以很快求解.(10)【2014年浙江,理10,5分】設函數21()f x x =,22()2()f x x x =-,31()|sin 2|3f x x π=,99i ia =,0,1,2i =,,99,記10219998|()()||()()||()()|k k k k k k k I f a f a f a f a f a f a =-+-++-,1,2,3k =,則( ) (A )123I I I << (B )213I I I << (C )132I I I << (D )321I I I << 【答案】B【解析】解法一:由22112199999999i i i --⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2111352991199()199999999999999I ⨯-=++++==,由2211199(21)22||999999999999i i i i i ----⎛⎫⎛⎫--+=⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故2150(980)98100221992999999I +=⨯⨯⨯=<⨯, 3110219998(|sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)||sin(2)|)3999999999999I ππππππ=-+-++-=12574[2sin(2)2sin(2)]139999ππ->,故213I I I <<,故選B . 解法二:估算法:k I の幾何意義為將區間[0,1]等分為99個小區間,每個小區間の端點の函數值之差の絕對值之和.如圖為將函數21()f x x =の區間[0,1]等分為4個小區間の情形,因1()f x 在[0,1]上遞增,此時110213243|()()||()()||()()||()()|I f a f a f a f a f a f a f a f a =-+-+-+- =11223344A H A H A H A H +++(1)(0)f f =-1=,同理對題中給出の1I ,同樣有11I =;而2I 略小於1212⨯=,3I 略小於14433⨯=,所以估算得213I I I <<,故選B .【點評】本題主要考查了函數の性質,關鍵是求出這三個數與1の關系,屬於難題.第Ⅱ卷(非選擇題 共100分)二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分.(11)【2014年浙江,理11,5分】若某程序框圖如圖所示,當輸入50時,則該程序運算後輸出の結果是 . 【答案】6【解析】第一次運行結果1,2S i ==;第二次運行結果4,3S i ==;第三次運行結果11,4S i ==;第四次運行結果26,5S i ==;第五次運行結果57,6S i ==;此時5750S =>,∴輸出6i =.【點評】本題考查了直到型循環結構の程序框圖,根據框圖の流程模擬運行程序是解答此類問題の常用方法.(12)【2014年浙江,理12,5分】隨機變量ξの取值為0,1,2,若1(0)5P ξ==,()1E ξ=,則()D ξ= . 【答案】25 【解析】設1ξ=時の概率為p ,ξの分布列為: 由11()012(1)155E p p ξ=⨯+⨯+⨯--= ,解得35p =ξの分布列為即為故2221312()(01)(11)(21)5555E ξ=-⨯+-⨯+-⨯=.【點評】本題綜合考查了分布列の性質以及期望、方差の計算公式.(13)【2014年浙江,理13,5分】當實數,x y 滿足240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩時,14ax y ≤+≤恒成立,則實數a の取值範圍是 __.【答案】3[1,]2【解析】解法一:作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖,由14ax y ≤+≤恒成立,故3(1,0),(2,1),(1,)2A B C ,三點坐標代入14ax y ≤+≤,均成立得1412143142a a a ⎧⎪≤≤⎪≤+≤⎨⎪⎪≤+≤⎩解得312a ≤≤ ,∴實數a の取值範圍是3[1,]2.解法二:作出不等式組240101x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩所表示の區域如圖,由14ax y ≤+≤得,由圖分析可知,0a ≥且在(1,0)A 點取得最小值,在(2,1)B 取得最大值,故1214a a ≥⎧⎨+≤⎩,得312a ≤≤,故實數a の取值範圍是3[1,]2.【點評】本題考查線性規劃,考查了數形結合の解題思想方法,考查了數學轉化思想方法,訓練了不等式組得解法,是中檔題.(14)【2014年浙江,理14,5分】在8張獎券中有一、二、三等獎各1張,其餘5張無獎.將這8張獎券分配給4個人,每人2張,不同の獲獎情況有 種(用數字作答). 【答案】60【解析】解法一:不同の獲獎分兩種,一是有一人獲兩張獎券,一人獲一張獎券,共有223436C A =, 二是有三人各獲得一張獎券,共有3424A =,因此不同の獲獎情況共有362460+=種. 解法二:將一、二、三等獎各1張分給4個人有3464=種分法,其中三張獎券都分給一個人の有4種分法, 因此不同の獲獎情況共有64460-=種.【點評】本題考查排列、組合及簡單計數問題,考查學生の計算能力,屬於基礎題.(15)【2014年浙江,理15,5分】設函數22,0(),0x x x f x x x ⎧+<⎪=⎨-≥⎪⎩若(())2f f a ≤,則實數a の取值範圍是 .【答案】(-∞.【解析】由題意2()0()()2f a f a f a <⎧⎨+≤⎩或2()0()2f a f a ≥⎧⎨-≤⎩,解得()2f a ≥-∴當202a a a <⎧⎨+≥-⎩或202a a ≥⎧⎨-≥-⎩,解得a【點評】本題主要考查分段函數の應用,其它不等式の解法,體現了數形結合の數學思想,屬於中檔題.(16)【2014年浙江,理16,5分】設直線30x y m -+=(0m ≠) 與雙曲線22221x y a b-=(0,0a b >>)兩條漸近線分別交於點A ,B .若點(,0)P m 滿足||||PA PB =,則該雙曲線の離心率是 .【解析】解法一:由雙曲線の方程可知,它の漸近線方程為b y x a =和by x a =-,分別與直線l : 30x y m -+= 聯立方程組,解得,(,)33am bm A a b a b ----,(,)33am bmB a b a b -++,設AB 中點為Q ,由||||PA PB = 得,則3333(,)22am am bm bma b a b a b a b Q ---++-+-+,即2222223(,)99a m b m Q a b a b ----,PQ 與已知直線垂直,∴1PQ l k k =-,即222222319139b m a b a m m a b --=----, 即得2228a b =,即22228()a c a =-,即2254c a =,所以c e a ==.解法二:不妨設1a =,漸近線方程為222201x y b -=即2220b x y -=,由222030b x y x y m ⎧-=⎨-+=⎩消去x ,得2222(91)60b y b my b m --+=,設AB 中點為00(,)Q x y ,由韋達定理得:202391b m y b =-……① ,又003x y m =-,由1P Q l k k =-得00113y x m =--,即得0011323y y m =--得035y m =代入①得2233915b m m b =-, 得214b =,所以22215144c a b =+=+=,所以c =,得c e c a ===.【點評】本題考查雙曲線の離心率,考查直線の位置關系,考查學生の計算能力,屬於中檔題. (17)【2014年浙江,理17,5分】如圖,某人在垂直於水平地面ABC の牆面前の點A 處進行射擊訓練.已知點A 到牆面の距離為AB ,某目標點P 沿牆面上の射擊線CM 移動,此人為了准確瞄准目標點P ,需計算由點A 觀察點P の仰角θの大小.若15AB m =,25AC m =,30∠︒,則tan θの最大值是 (仰角θ為直線AP 與平面ABC 所成角).2320225x x -+2320032250-+'',設B P 2320225x x ++22545204<=355339=,2320225x x -+2320225x x -+20),23225'(x)(225)f x ++454=- 時20時'0y <203445225(++ 15201225AB BC AC ==,20tan 30DB BC ︒=203533DB ===【點評】屬於中檔題. 三、解答題:本大題共5題,共72分.解答應寫出文字說明,演算步驟或證明過程.(18解:(即A B +=,所以C =.(2c 得A C <,從而3cos A =,,所以,ABC ∆(19)【2014年浙江,理19,14分】已知數列{}n a 和{}n b 滿足123(2)(*)n b n a a a a n N =∈.若{}n a 為等比數列,且1322,6a b b ==+.(1)求n a 與n b ;(2)設11(*)n n n c n N a b =-∈.記數列{}n c の前n 項和為n S .(ⅰ)求n S ;(ⅱ)求正整數k ,使得對任意*n N ∈均有S S ≥.解:(1(2)(3(2)n a a =N ). (2n c ++=111(22n n ++-1(12n ++--=1112n n -+20>,3c 55(51)12+<,4n S ≥,故【點評】本題考查了等比數列通項公式、求和公式,還考查了分組求和法、裂項求和法和猜想證明の思想,證明可以用二項式定理,還可以用數學歸納法.本題計算量較大,思維層次高,要求學生有較高の分析問題解決問題の能力.本題屬於難題.(20)【2014年浙江,理20,15分】如圖,在四棱錐A BCDE -中,平面ABC ⊥平面BCDE ,90CDE BED ∠=∠=︒,2AB CD ==,1DE BE ==,AC =(1)證明:DE ⊥平面ACD ;(解:(1(2BF GF=の原點,分別以射線DE所示.由題意知各點坐標如下:(0,2,0),(0,2,Aの法向量為111(,m x y=222(,,)n x y z=,可算得:(0,2)AD=-,(1,2,AE=-,(1,1,0)DB=,由ADm AE=⎨=⎪⎩,即1111122020y zx y⎧--=⎪⎨-=⎪⎩,可取(0,1,m=-,由n ADn BD⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222220y zx y⎧--=⎪⎨+=⎪⎩可取(0,n=-,於是|||cos,|||||3m nm nm n⋅<>===⋅⋅運算求解能力.(21)【2014年浙江,理21,15分】如圖,設橢圓C:22221(0)x ya ba b+=>>動直線l與橢圓C 只有一個公共點P,且點P在第一象限.(1)已知直線lの斜率為k,用,,a b k表示點Pの坐標;(2)若過原點Oの直線1l與l垂直,證明:點P到直線1lの距離の最大值為a b-.解:(1''1P l k =-,得,b (2幾何の基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力.(22)【2014年浙江,理22,14分】已知函數()33()f x x x a a R =+-∈.(1)若()f x 在[]1,1-上の最大值和最小值分別記為(),()M a m a ,求()()M a m a -; (2)設,b R ∈若()24f x b +≤⎡⎤對[]1,1x ∈-恒成立,求3a b +の取值範圍.解:(1(2。
2014年山东省高考数学试卷真题及答案(理科)
2014年山东省高考数学试卷(理科)一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a﹣i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=()A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i2.(5分)设集合A={x||x﹣1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=()A.[0,2]B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)3.(5分)函数f(x)=的定义域为()A.(0,)B.(2,+∞)C.(0,)∪(2,+∞)D.(0,]∪[2,+∞)4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5.(5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>siny D.x3>y36.(5分)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B.4 C.2 D.47.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.6 B.8 C.12 D.188.(5分)已知函数f(x)=丨x﹣2丨+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,)B.(,1)C.(1,2) D.(2,+∞)9.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b >0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5 B.4 C.D.210.(5分)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.(5分)执行如图程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为.12.(5分)若△ABC中,已知•=tanA,当A=时,△ABC的面积为.13.(5分)三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE 的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=.14.(5分)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为.15.(5分)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈R),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈R),y=h(x)满足:对任意x∈R,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,n),函数f(x)=•,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2).(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.17.(12分)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.18.(12分)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在C上记3分,在D上记1分,其它情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响,求:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.19.(12分)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=(﹣1)n﹣1,求数列{b n}的前n项和T n.20.(13分)设函数f(x)=﹣k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.21.(14分)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.2014年山东省高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共10小题,每小题5分,满分50分)1.(5分)(2014•山东)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a﹣i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=()A.5﹣4i B.5+4i C.3﹣4i D.3+4i【分析】由条件利用共轭复数的定义求得a、b的值,即可得到(a+bi)2的值.【解答】解:∵a﹣i与2+bi互为共轭复数,则a=2、b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i,故选:D.【点评】本题主要考查复数的基本概念,两个复数代数形式的乘除法法则的应用,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.2.(5分)(2014•山东)设集合A={x||x﹣1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B=()A.[0,2]B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)【分析】求出集合A,B的元素,利用集合的基本运算即可得到结论.【解答】解:A={x丨丨x﹣1丨<2}={x丨﹣1<x<3},B={y丨y=2x,x∈[0,2]}={y丨1≤y≤4},则A∩B={x丨1≤y<3},故选:C【点评】本题主要考查集合的基本运算,利用条件求出集合A,B是解决本题的关键.3.(5分)(2014•山东)函数f(x)=的定义域为()A.(0,)B.(2,+∞)C.(0,)∪(2,+∞)D.(0,]∪[2,+∞)【分析】根据函数出来的条件,建立不等式即可求出函数的定义域.【解答】解:要使函数有意义,则,即log2x>1或log2x<﹣1,解得x>2或0<x<,即函数的定义域为(0,)∪(2,+∞),故选:C【点评】本题主要考查函数定义域的求法,根据对数函数的性质是解决本题的关键,比较基础.4.(5分)(2014•山东)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.故选:A.【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查.5.(5分)(2014•山东)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.>B.ln(x2+1)>ln(y2+1)C.sinx>siny D.x3>y3【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.【解答】解:∵实数x,y满足a x<a y(0<a<1),∴x>y,A.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但==,故>不成立.B.若x=1,y=﹣1时,满足x>y,但ln(x2+1)=ln(y2+1)=ln2,故ln(x2+1)>ln(y2+1)不成立.C.当x=π,y=0时,满足x>y,此时sinx=sinπ=0,siny=sin0=0,有sinx>siny,但sinx>siny不成立.D.∵函数y=x3为增函数,故当x>y时,x3>y3,恒成立,故选:D.【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.6.(5分)(2014•山东)直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2 B.4 C.2 D.4【分析】先根据题意画出区域,然后依据图形得到积分上限为2,积分下限为0的积分,从而利用定积分表示出曲边梯形的面积,最后用定积分的定义求出所求即可.【解答】解:先根据题意画出图形,得到积分上限为2,积分下限为0,曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫(4x﹣x3)dx,而∫(4x﹣x3)dx=(2x2﹣x4)|=8﹣4=4,∴曲边梯形的面积是4,故选:D.【点评】考查学生会求出原函数的能力,以及会利用定积分求图形面积的能力,同时考查了数形结合的思想,属于基础题.7.(5分)(2014•山东)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.6 B.8 C.12 D.18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,第三组中没有疗效的有6人,第三组中有疗效的有12人.故选:C.【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合,列举对事件是解决问题的关键,属中档题.8.(5分)(2014•山东)已知函数f(x)=丨x﹣2丨+1,g(x)=kx.若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围是()A.(0,)B.(,1)C.(1,2) D.(2,+∞)【分析】画出函数f(x)、g(x)的图象,由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,数形结合求得k的范围.【解答】解:由题意可得函数f(x)的图象(蓝线)和函数g(x)的图象(红线)有两个交点,如图所示:K OA=,数形结合可得<k<1,故选:B.【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系,体现了转化、数形结合的数学思想,属于基础题.9.(5分)(2014•山东)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by (a>0,b>0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5 B.4 C.D.2【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得:A(2,1).化目标函数为直线方程得:(b>0).由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.∴2a+b=2.即2a+b﹣2=0.则a2+b2的最小值为.故选:B.【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了点到直线距离公式的应用,是中档题.10.(5分)(2014•山东)已知a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,双曲线C2的方程为﹣=1,C1与C2的离心率之积为,则C2的渐近线方程为()A.x±y=0 B.x±y=0 C.x±2y=0 D.2x±y=0【分析】求出椭圆与双曲线的离心率,然后推出ab关系,即可求解双曲线的渐近线方程.【解答】解:a>b>0,椭圆C1的方程为+=1,C1的离心率为:,双曲线C2的方程为﹣=1,C2的离心率为:,∵C1与C2的离心率之积为,∴,∴=,=,C2的渐近线方程为:y=,即x±y=0.故选:A.【点评】本题考查椭圆与双曲线的基本性质,离心率以及渐近线方程的求法,基本知识的考查.二、填空题(共5小题,每小题5分,满分25分)11.(5分)(2014•山东)执行如图程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n 的值为3.【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.【解答】解:循环前输入的x的值为1,第1次循环,x2﹣4x+3=0≤0,满足判断框条件,x=2,n=1,x2﹣4x+3=﹣1≤0,满足判断框条件,x=3,n=2,x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件,x=4,n=3,x2﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件,输出n:3.故答案为:3.【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.12.(5分)(2014•山东)若△ABC中,已知•=tanA,当A=时,△ABC的面积为.【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义,求得AB•AC=,再根据△ABC 的面积为AB•AC•sinA,计算求得结果.【解答】解:△ABC中,∵•=AB•AC•cosA=tanA,∴当A=时,有AB•AC•=,解得AB•AC=,△ABC的面积为AB•AC•sinA=××=,故答案为:.【点评】本题主要考查两个向量的数量积的定义,三角形的面积公式,属于基础题.13.(5分)(2014•山东)三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,记三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,则=.【分析】画出图形,通过底面面积的比求解棱锥的体积的比.【解答】解:如图,三棱锥P﹣ABC中,D,E分别为PB,PC的中点,三棱锥D﹣ABE的体积为V1,P﹣ABC的体积为V2,∴A到底面PBC的距离不变,底面BDE底面积是PBC面积的=,∴==.故答案为:.【点评】本题考查三棱锥的体积,着重考查了棱锥的底面面积与体积的关系,属于基础题.14.(5分)(2014•山东)若(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,则a2+b2的最小值为2.【分析】利用二项式定理的展开式的通项公式,通过x幂指数为3,求出ab关系式,然后利用基本不等式求解表达式的最小值.【解答】解:(ax2+)6的展开式中x3项的系数为20,==,所以T r+1令12﹣3r=3,∴r=3,,∴ab=1,a2+b2≥2ab=2,当且仅当a=b=1时取等号.a2+b2的最小值为:2.故答案为:2.【点评】本题考查二项式定理的应用,基本不等式的应用,基本知识的考查.15.(5分)(2014•山东)已知函数y=f(x)(x∈R),对函数y=g(x)(x∈R),定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为函数y=h(x)(x∈R),y=h(x)满足:对任意x∈R,两个点(x,h(x)),(x,g(x))关于点(x,f(x))对称.若h(x)是g(x)=关于f(x)=3x+b的“对称函数”,且h(x)>g(x)恒成立,则实数b的取值范围是(2,+∞).【分析】根据对称函数的定义,将不等式恒成立转化为直线和圆的位置关系,即可得到结论.【解答】解:根据“对称函数”的定义可知,,即h(x)=6x+2b﹣,若h(x)>g(x)恒成立,则等价为6x+2b﹣>,即3x+b>恒成立,设y1=3x+b,y2=,作出两个函数对应的图象如图,当直线和上半圆相切时,圆心到直线的距离d=,即|b|=2,∴b=2或﹣2,(舍去),即要使h(x)>g(x)恒成立,则b>2,即实数b的取值范围是(2,+∞),故答案为:(2,+∞)【点评】本题主要考查对称函数的定义的理解,以及不等式恒成立的证明,利用直线和圆的位置关系是解决本题的关键.三、解答题(共6小题,满分75分)16.(12分)(2014•山东)已知向量=(m,cos2x),=(sin2x,n),函数f(x)=•,且y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2).(Ⅰ)求m,n的值;(Ⅱ)将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y=g(x)的图象,若y=g(x)图象上的最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y=g(x)的单调递增区间.【分析】(Ⅰ)由题意可得函数f(x)=msin2x+ncos2x,再由y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2),解方程组求得m、n的值.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=2sin(2x+),根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律求得g(x)=2sin(2x+2φ+)的图象,再由函数g(x)的一个最高点在y轴上,求得φ=,可得g(x)=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得x 的范围,可得g(x)的增区间.【解答】解:(Ⅰ)由题意可得函数f(x)=•=msin2x+ncos2x,再由y=f(x)的图象过点(,)和点(,﹣2),可得.解得m=,n=1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(x)=sin2x+cos2x=2(sin2x+cos2x)=2sin(2x+).将y=f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位后,得到函数g(x)=2sin[2(x+φ)+]=2sin(2x+2φ+)的图象,显然函数g(x)最高点的纵坐标为2.y=g(x)图象上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,故函数g(x)的一个最高点在y轴上,∴2φ+=2kπ+,k∈Z,结合0<φ<π,可得φ=,故g(x)=2sin(2x+)=2cos2x.令2kπ﹣π≤2x≤2kπ,k∈Z,求得kπ﹣≤x≤kπ,故y=g(x)的单调递增区间是[kπ﹣,kπ],k∈Z.【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式,三角恒等变换,函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,余弦函数的单调性,体现了转化的数学思想,属于中档题.17.(12分)(2014•山东)如图,在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,底面ABCD是等腰梯形,∠DAB=60°,AB=2CD=2,M是线段AB的中点.(Ⅰ)求证:C1M∥平面A1ADD1;(Ⅱ)若CD1垂直于平面ABCD且CD1=,求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【分析】(Ⅰ)连接AD1,易证AMC1D1为平行四边形,利用线面平行的判定定理即可证得C1M∥平面A1ADD1;(Ⅱ)作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系,易求C1(﹣1,0,),D1,(0,0,),M(,,0),=(1,1,0),=(,,﹣),设平面C1D1M的法向量=(x1,y1,z1),可求得=(0,2,1),而平面ABCD的法向量=(1,0,0),从而可求得平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值.【解答】解:(Ⅰ)连接AD1,∵ABCD﹣A1B1C1D1为四棱柱,∴CD C1D1,又M为AB的中点,∴AM=1.∴CD∥AM,CD=AM,∴AM C1D1,∴AMC1D1为平行四边形,∴AD1∥MC1,又MC1⊄平面A1ADD1,AD1⊂平面A1ADD1,∴C1M∥平面A1ADD1;(Ⅱ)解法一:∵AB∥A1B1,A1B1∥C1D1,∴面D1C1M与ABC1D1共面,作CN⊥AB,连接D1N,则∠D1NC即为所求二面角,在ABCD中,DC=1,AB=2,∠DAB=60°,∴CN=,在Rt△D1CN中,CD1=,CN=,∴D1N=∴cos∠D1CN===解法二:作CP⊥AB于P,以C为原点,CD为x轴,CP为y轴,CD1为z轴建立空间坐标系则C1(﹣1,0,),D1,(0,0,),M(,,0),∴=(1,0,0),=(,,﹣),设平面C1D1M的法向量=(x1,y1,z1),则,∴=(0,2,1).显然平面ABCD的法向量=(0,0,1),cos<,>|===,显然二面角为锐角,∴平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.【点评】本题考查用空间向量求平面间的夹角,主要考查空间点、线、面位置关系,二面角等基础知识,同时考查空间想象能力,空间向量的坐标运算,推理论证能力和运算求解能力.18.(12分)(2014•山东)乒乓球台面被网分成甲、乙两部分,如图,甲上有两个不相交的区域A,B,乙被划分为两个不相交的区域C,D,某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球,规定:回球一次,落点在C上记3分,在D 上记1分,其它情况记0分.对落点在A上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为;对落点在B上的来球,小明回球的落点在C上的概率为,在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A,B上各一次,小明的两次回球互不影响,求:(Ⅰ)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.【分析】(Ⅰ)分别求出回球前落点在A上和B上时,回球落点在乙上的概率,进而根据分类分布原理,可得小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率;(Ⅱ)两次回球结束后,小明得分之和ξ的取值有0,1,2,3,4,6六种情况,求出随机变量ξ的分布列,代入数学期望公式可得其数学期望Eξ.【解答】解:(Ⅰ)小明回球前落点在A上,回球落点在乙上的概率为+=,回球前落点在B上,回球落点在乙上的概率为+=,故小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率P=×(1﹣)+(1﹣)×=+=.(Ⅱ)ξ的可能取值为0,1,2,3,4,6其中P(ξ=0)=(1﹣)×(1﹣)=;P(ξ=1)=×(1﹣)+(1﹣)×=;P(ξ=2)=×=;P(ξ=3)=×(1﹣)+(1﹣)×=;P(ξ=4)=×+×=;P(ξ=6)=×=;故ξ的分布列为:ξ012346P故ξ的数学期望为E(ξ)=0×+1×+2×+3×+4×+6×=.【点评】本题考查离散型随机变量的分布列,求离散型随机变量的分布列和期望是近年来理科高考必出的一个问题,题目做起来不难,运算量也不大,只要注意解题格式就问题不大.19.(12分)(2014•山东)已知等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,且S1,S2,S4成等比数列.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=(﹣1)n﹣1,求数列{b n}的前n项和T n.【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b n=.对n分类讨论“裂项求和”即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵等差数列{a n}的公差为2,前n项和为S n,∴S n==n2﹣n+na1,∵S1,S2,S4成等比数列,∴,∴,化为,解得a1=1.∴a n=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b n=(﹣1)n﹣1==.∴T n=﹣++…+.当n为偶数时,T n=﹣++…+﹣=1﹣=.当n为奇数时,T n=﹣++…﹣+=1+=.∴Tn=.【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“裂项求和”、分类讨论思想方法,属于难题.20.(13分)(2014•山东)设函数f(x)=﹣k(+lnx)(k为常数,e=2.71828…是自然对数的底数).(Ⅰ)当k≤0时,求函数f(x)的单调区间;(Ⅱ)若函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求k的取值范围.【分析】(Ⅰ)求出导函数,根据导函数的正负性,求出函数的单调区间;(Ⅱ)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点,等价于它的导函数f′(x)在(0,2)内有两个不同的零点.【解答】解:(Ⅰ)f(x)的定义域为(0,+∞),∴f′(x)=﹣k(﹣)=(x>0),当k≤0时,kx≤0,∴e x﹣kx>0,令f′(x)=0,则x=2,∴当0<x<2时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x>2时,f′(x)>0,f(x)单调递增,∴f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).(Ⅱ)由(Ⅰ)知,k≤0时,函数f(x)在(0,2)内单调递减,故f(x)在(0,2)内不存在极值点;当k>0时,设函数g(x)=e x﹣kx,x∈(0,+∞).∵g′(x)=e x﹣k=e x﹣e lnk,当0<k≤1时,当x∈(0,2)时,g′(x)=e x﹣k>0,y=g(x)单调递增,故f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;当k>1时,得x∈(0,lnk)时,g′(x)<0,函数y=g(x)单调递减,x∈(lnk,+∞)时,g′(x)>0,函数y=g(x)单调递增,∴函数y=g(x)的最小值为g(lnk)=k(1﹣lnk)函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点当且仅当解得:e综上所述,函数f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k的取值范围为(e,)【点评】本题考查了导数在求函数的单调区间,和极值,运用了等价转化思想.是一道导数的综合应用题.属于中档题.21.(14分)(2014•山东)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,A为C上异于原点的任意一点,过点A的直线l交C于另一点B,交x轴的正半轴于点D,且有丨FA丨=丨FD丨.当点A的横坐标为3时,△ADF为正三角形.(Ⅰ)求C的方程;(Ⅱ)若直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,(ⅰ)证明直线AE过定点,并求出定点坐标;(ⅱ)△ABE的面积是否存在最小值?若存在,请求出最小值;若不存在,请说明理由.【分析】(1)根据抛物线的焦半径公式,结合等边三角形的性质,求出的p值;(2)(ⅰ)设出点A的坐标,求出直线AB的方程,利用直线l1∥l,且l1和C有且只有一个公共点E,求出点E的坐标,写出直线AE的方程,将方程化为点斜式,可求出定点;(ⅱ)利用弦长公式求出弦AB的长度,再求点E到直线AB的距离,得到关于面积的函数关系式,再利用基本不等式求最小值.【解答】解:(1)当点A的横坐标为3时,过点A作AG⊥x轴于G,A(3,),F(,0),,∴.∵△ADF为正三角形,∴.又∵,∴,∴p=2.∴C的方程为y2=4x.当D在焦点F的左侧时,.又|FD|=2|FG|=2(﹣3)=p﹣6,∵△ADF为正三角形,∴3+=p﹣6,解得p=18,∴C的方程为y2=36x.此时点D在x轴负半轴,不成立,舍.∴C的方程为y2=4x.(2)(ⅰ)设A(x1,y1),|FD|=|AF|=x1+1,∴D(x1+2,0),∴k AD=﹣.由直线l1∥l可设直线l1方程为,联立方程,消去x得①由l1和C有且只有一个公共点得△=64+32y1m=0,∴y1m=﹣2,这时方程①的解为,代入得x=m2,∴E(m2,2m).点A的坐标可化为,直线AE方程为y﹣2m=(x﹣m2),即,∴,∴,∴,∴直线AE过定点(1,0);(ⅱ)直线AB的方程为,即.联立方程,消去x得,∴,∴=,由(ⅰ)点E的坐标为,点E到直线AB的距离为:=,∴△ABE的面积=,当且仅当y1=±2时等号成立,∴△ABE的面积最小值为16.【点评】本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法,切线方程的求法,定点问题与最值问题.。
(完整版)2014年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2014年北京市高考数学试卷(理科)参考答案与试题解析一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项)1.(5分)(2014•北京)已知集合A={x|x2﹣2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{0,1} C.{0,2} D.{0,1,2}考点:交集及其运算.专题:集合.分析:解出集合A,再由交的定义求出两集合的交集.解答:解:∵A={x|x2﹣2x=0}={0,2},B={0,1,2},∴A∩B={0,2}故选C点评:本题考查交的运算,理解好交的定义是解答的关键.2.(5分)(2014•北京)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是()A.y=B.y=(x﹣1)2C.y=2﹣x D.y=log0.5(x+1)考点:对数函数的单调性与特殊点.专题:函数的性质及应用.分析:根据基本初等函数的单调性,判断各个选项中函数的单调性,从而得出结论.解答:解:由于函数y=在(﹣1,+∞)上是增函数,故满足条件,由于函数y=(x﹣1)2在(0,1)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=2﹣x在(0,+∞)上是减函数,故不满足条件,由于函数y=log0.5(x+1)在(﹣1,+∞)上是减函数,故不满足条件,故选:A.点评:本题主要考查函数的单调性的定义和判断,基本初等函数的单调性,属于基础题.3.(5分)(2014•北京)曲线(θ为参数)的对称中心()A.在直线y=2x上B.在直线y=﹣2x上C.在直线y=x﹣1上D.在直线y=x+1上考点:圆的参数方程.专题:选作题;坐标系和参数方程.分析:曲线(θ为参数)表示圆,对称中心为圆心,可得结论.解答:解:曲线(θ为参数)表示圆,圆心为(﹣1,2),在直线y=﹣2x上,点评:本题考查圆的参数方程,考查圆的对称性,属于基础题.4.(5分)(2014•北京)当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S的值为()A.7B.42 C.210 D.840考点:循环结构.专题:计算题;算法和程序框图.分析:算法的功能是求S=7×6×…×k的值,根据条件确定跳出循环的k值,计算输出S的值.解答:解:由程序框图知:算法的功能是求S=7×6×…×k的值,当m=7,n=3时,m﹣n+1=7﹣3+1=5,∴跳出循环的k值为4,∴输出S=7×6×5=210.故选:C.点评:本题考查了循环结构的程序框图,根据框图的流程判断算法的功能是解答本题的关键.5.(5分)(2014•北京)设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}”为递增数列的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;等比数列.专题:等差数列与等比数列;简易逻辑.分析:根据等比数列的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论.解答:解:等比数列﹣1,﹣2,﹣4,…,满足公比q=2>1,但“{a n}”不是递增数列,充分性不成立.若a n=﹣1为递增数列,但q=>1不成立,即必要性不成立,故“q>1”是“{a n}”为递增数列的既不充分也不必要条件,点评:本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用等比数列的性质,利用特殊值法是解决本题的关键.6.(5分)(2014•北京)若x,y满足且z=y﹣x的最小值为﹣4,则k的值为()A.2B.﹣2 C.D.﹣考点:简单线性规划.专题:数形结合;不等式的解法及应用.分析:对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,当k≥0时,可行域内没有使目标函数z=y﹣x取得最小值的最优解,k<0时,若直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的左边,z=y﹣x的最小值为﹣2,不合题意,由此结合约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,由图得到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,代入目标函数得答案.解答:解:对不等式组中的kx﹣y+2≥0讨论,可知直线kx﹣y+2=0与x轴的交点在x+y﹣2=0与x轴的交点的右边,故由约束条件作出可行域如图,由kx﹣y+2=0,得x=,∴B(﹣).由z=y﹣x得y=x+z.由图可知,当直线y=x+z过B(﹣)时直线在y轴上的截距最小,即z最小.此时,解得:k=﹣.故选:D.点评:本题考查简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.7.(5分)(2014•北京)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C (0,2,0),D(1,1,),若S1,S2,S3分别表示三棱锥D﹣ABC在xOy,yOz,zOx 坐标平面上的正投影图形的面积,则()A.S1=S2=S3B.S2=S1且S2≠S3C.S3=S1且S3≠S2D.S3=S2且S3≠S1考点:空间直角坐标系.专题:空间向量及应用.分析:分别求出三棱锥在各个面上的投影坐标即可得到结论.解答:解:设A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,),则各个面上的射影分别为A',B',C',D',在xOy坐标平面上的正投影A'(2,0,0),B'(2,2,0),C'(0,2,0),D'(1,1,0),S1=.在yOz坐标平面上的正投影A'(0,0,0),B'(0,2,0),C'(0,2,0),D'(0,1,),S2=.在zOx坐标平面上的正投影A'(2,0,0),B'(2,0,0),C'(0,0,0),D'(1,0,),S3=,则S3=S2且S3≠S1,故选:D.点评:本题主要考查空间坐标系的应用,求出点对于的投影坐标是解决本题的关键.8.(5分)(2014•北京)学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级,依次为“优秀”“合格”“不合格”.若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙,且其中至少有一门成绩高于乙,则称“学生甲比学生乙成绩好”.如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好,并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生,则这一组学生最多有()A.2人B.3人C.4人D.5人考点:进行简单的合情推理.专题:推理和证明.分析:分别用ABC分别表示优秀、及格和不及格,根据题干中的内容推出文成绩得A,B,C的学生各最多只有1个,继而推得学生的人数.解答:解:用ABC分别表示优秀、及格和不及格,显然语文成绩得A的学生最多只有1个,语文成绩得B得也最多只有一个,得C最多只有一个,因此学生最多只有3人,显然(AC)(BB)(CA)满足条件,故学生最多有3个.故选:B.点评:本题主要考查了合情推理,关键是找到语句中的关键词,培养了推理论证的能力.二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)9.(5分)(2014•北京)复数()2=﹣1.考点:复数代数形式的乘除运算.专题:数系的扩充和复数.分析:由复数代数形式的除法运算化简括号内部,然后由虚数单位i的运算性质得答案.解答:解:()2=.故答案为:﹣1.点评:本题考查了复数代数形式的除法运算,考查了虚数单位i的运算性质,是基础题.10.(5分)(2014•北京)已知向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),则|λ|=.考点:平面向量数量积的坐标表示、模、夹角.专题:平面向量及应用.分析:设=(x,y).由于向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),可得,解出即可.解答:解:设=(x,y).∵向量,满足||=1,=(2,1),且+=(λ∈R),∴=λ(x,y)+(2,1)=(λx+2,λy+1),∴,化为λ2=5.解得.故答案为:.点评:本题考查了向量的坐标运算、向量的模的计算公式、零向量等基础知识与基本技能方法,属于基础题.11.(5分)(2014•北京)设双曲线C经过点(2,2),且与﹣x2=1具有相同渐近线,则C的方程为;渐近线方程为y=±2x.考点:双曲线的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:利用双曲线渐近线之间的关系,利用待定系数法即可得到结论.解答:解:与﹣x2=1具有相同渐近线的双曲线方程可设为﹣x2=m,(m≠0),∵双曲线C经过点(2,2),∴m=,即双曲线方程为﹣x2=﹣3,即,对应的渐近线方程为y=±2x,故答案为:,y=±2x.点评:本题主要考查双曲线的性质,利用渐近线之间的关系,利用待定系数法是解决本题的关键,比较基础.12.(5分)(2014•北京)若等差数列{a n}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n=8时,{a n}的前n项和最大.考点:等差数列的性质.专题:等差数列与等比数列.分析:可得等差数列{a n}的前8项为正数,从第9项开始为负数,进而可得结论.解答:解:由等差数列的性质可得a7+a8+a9=3a8>0,∴a8>0,又a7+a10=a8+a9<0,∴a9<0,∴等差数列{a n}的前8项为正数,从第9项开始为负数,∴等差数列{a n}的前8项和最大,故答案为:8.点评:本题考查等差数列的性质和单调性,属中档题.13.(5分)(2014•北京)把5件不同产品摆成一排,若产品A与产品B相邻,且产品A与产品C不相邻,则不同的摆法有36种.考点:排列、组合的实际应用;排列、组合及简单计数问题.专题:排列组合.分析:分3步进行分析:①用捆绑法分析A、B,②除去A、B相邻又满足A、C相邻的情况.解答:解:先考虑产品A与B相邻,把A、B作为一个元素有种方法,而A、B可交换位置,所以有2=48种摆法,又当A、B相邻又满足A、C相邻,有2=12种摆法,故满足条件的摆法有48﹣12=36种.故答案为:36.点评:本题考查分步计数原理的应用,要优先分析受到限制的元素,如本题的A、B、C.14.(5分)(2014•北京)设函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ是常数,A>0,ω>0)若f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=f()=﹣f(),则f(x)的最小正周期为π.考点:由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的周期性及其求法.专题:三角函数的图像与性质.分析:由f()=f()求出函数的一条对称轴,结合f(x)在区间[,]上具有单调性,且f()=﹣f()可得函数的半周期,则周期可求.解答:解:由f()=f(),可知函数f(x)的一条对称轴为x=,则x=离最近对称轴距离为.又f()=﹣f(),则f(x)有对称中心(,0),由于f(x)在区间[,]上具有单调性,则≤T⇒T≥,从而=⇒T=π.故答案为:π.点评:本题考查f(x)=Asin(ωx+φ)型图象的形状,考查了学生灵活处理问题和解决问题的能力,是中档题.三、解答题(共6小题,共80分,解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程)15.(13分)(2014•北京)如图,在△ABC中,∠B=,AB=8,点D在边BC上,且CD=2,cos∠ADC=.(1)求sin∠BAD;(2)求BD,AC的长.考点:余弦定理的应用.专题:解三角形.分析:根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.解答:解:(1)在△ABC中,∵cos∠ADC=,∴sin∠ADC====,则sin∠BAD=sin(∠ADC﹣∠B)=sin∠ADC•cosB﹣cos∠ADC•sinB=×﹣=.(2)在△ABD中,由正弦定理得BD==,在△ABC中,由余弦定理得AC2=AB2+CB2﹣2AB•BCcosB=82+52﹣2×8×=49,即AC=7.点评:本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.16.(13分)(2014•北京)李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立);场次投篮次数命中次数场次投篮次数命中次数主场1 22 12 客场1 18 8主场2 15 12 客场2 13 12主场3 12 8 客场3 21 7主场4 23 8 客场4 18 15主场5 24 20 客场5 25 12(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率;(2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记是表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX与的大小(只需写出结论).考点:离散型随机变量的期望与方差;相互独立事件的概率乘法公式.专题:概率与统计.分析:(1)根据概率公式,找到李明在该场比赛中超过0.6的场次,计算即可,(2)根据互斥事件的概率公式,计算即可.(3)求出平均数和EX,比较即可.解答:解:(1)设李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率为事件A,由题意知,李明在该场比赛中超过0.6的场次有:主场2,主场3,主场5,客场2,客场4,共计5场所以李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率P(A)=,(2)设李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为事件B,同理可知,李明主场命中率超过0.6的概率,客场命中率超过0.6的概率,故P(B)=P1×(1﹣P2)+P2×(1﹣P1)=;(3)=(12+8+12+12+8+7+8+15+20+12)=11.4EX=点评:本题主要考查了概率的计算、数学期望,平均数,互斥事件的概率,属于中档题.17.(14分)(2014•北京)如图,正方形AMDE的边长为2,B,C分别为AM,MD的中点,在五棱锥P﹣ABCDE中,F为棱PE的中点,平面ABF与棱PD,PC分别交于点G,H.(1)求证:AB∥FG;(2)若PA⊥底面ABCDE,且PA=AE,求直线BC与平面ABF所成角的大小,并求线段PH的长.考点:直线与平面所成的角.专题:计算题;证明题;空间位置关系与距离;空间角.分析:(1)运用线面平行的判定定理和性质定理即可证得;(2)由于PA⊥底面ABCDE,底面AMDE为正方形,建立如图的空间直角坐标系Axyz,分别求出A,B,C,E,P,F,及向量BC的坐标,设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),求出一个值,设直线BC与平面ABF所成的角为α,运用sinα=|cos|,求出角α;设H(u,v,w),再设,用λ表示H的坐标,再由n=0,求出λ和H的坐标,再运用空间两点的距离公式求出PH的长.解答:(1)证明:在正方形AMDE中,∵B是AM的中点,∴AB∥DE,又∵AB⊄平面PDE,∴AB∥平面PDE,∵AB⊂平面ABF,且平面ABF∩平面PDE=FG,∴AB∥FG;(2)解:∵PA⊥底面ABCDE,∴PA⊥AB,PA⊥AE,如图建立空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),C(2,1,0),P(0,0,2),E(0,2,0),F(0,1,1),,设平面ABF的法向量为n=(x,y,z),则即,令z=1,则y=﹣1,∴n=(0,﹣1,1),设直线BC与平面ABF所成的角为α,则sinα=|cos|=||=,∴直线BC与平面ABF所成的角为,设H(u,v,w),∵H在棱PC上,∴可设,即(u,v,w﹣2)=λ(2,1,﹣2),∴u=2λ,v=λ,w=2﹣2λ,∵n是平面ABF的法向量,∴n=0,即(0,﹣1,1)•(2λ,λ,2﹣2λ)=0,解得λ=,∴H(),∴PH==2.点评:本题主要考查空间直线与平面的位置关系,考查直线与平面平行、垂直的判定和性质,同时考查直线与平面所成的角的求法,考查运用空间直角坐标系求角和距离,是一道综合题.18.(13分)(2014•北京)已知函数f(x)=xcosx﹣sinx,x∈[0,](1)求证:f(x)≤0;(2)若a<<b对x∈(0,)上恒成立,求a的最大值与b的最小值.考点:利用导数求闭区间上函数的最值.专题:导数的综合应用.分析:(1)求出f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,判定出在区间∈(0,)上f′(x)=﹣xsinx<0,得f(x)在区间∈[0,]上单调递减,从而f(x)≤f(0)=0.(2)当x>0时,“>a”等价于“sinx﹣ax>0”,“<b”等价于“sinx﹣bx<0”构造函数g(x)=sinx﹣cx,通过求函数的导数讨论参数c求出函数的最值,进一步求出a,b的最值.解答:解:(1)由f(x)=xcosx﹣sinx得f′(x)=cosx﹣xsinx﹣cosx=﹣xsinx,此在区间∈(0,)上f′(x)=﹣xsinx<0,所以f(x)在区间∈[0,]上单调递减,从而f(x)≤f(0)=0.(2)当x>0时,“>a”等价于“sinx﹣ax>0”,“<b”等价于“sinx﹣bx<0”令g(x)=sinx﹣cx,则g′(x)=cosx﹣c,当c≤0时,g(x)>0对x∈(0,)上恒成立,当c≥1时,因为对任意x∈(0,),g′(x)=cosx﹣c<0,所以g(x)在区间[0,]上单调递减,从而,g(x)<g(0)=0对任意x∈(0,)恒成立,当0<c<1时,存在唯一的x0∈(0,)使得g′(x0)=cosx0﹣c=0,g(x)与g′(x)在区间(0,)上的情况如下:x (0,x0)x0(x0,)g′(x)+ ﹣g(x)↑↓因为g(x)在区间(0,x0)上是增函数,所以g(x0)>g(0)=0进一步g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立,当且仅当综上所述当且仅当时,g(x)>0对任意x∈(0,)恒成立,当且仅当c≥1时,g(x)<0对任意x∈(0,)恒成立,所以若a<<b对x∈(0,)上恒成立,则a的最大值为,b的最小值为1 点评:本题考查利用导数求函数的单调区间;利用导数求函数的最值;考查解决不等式问题常通过构造函数解决函数的最值问题,属于一道综合题.19.(14分)(2014•北京)已知椭圆C:x2+2y2=4,(1)求椭圆C的离心率(2)设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2+y2=2的位置关系,并证明你的结论.考点:圆与圆锥曲线的综合;椭圆的简单性质.专题:圆锥曲线的定义、性质与方程.分析:(1)化椭圆方程为标准式,求出半长轴和短半轴,结合隐含条件求出半焦距,则椭圆的离心率可求;(2)设出点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0,由OA⊥OB得到,用坐标表示后把t用含有A点的坐标表示,然后分A,B的横坐标相等和不相等写出直线AB的方程,然后由圆x2+y2=2的圆心到AB的距离和圆的半径相等说明直线AB 与圆x2+y2=2相切.解答:解:(1)由x2+2y2=4,得椭圆C的标准方程为.∴a2=4,b2=2,从而c2=a2﹣b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e=;(2)直线AB与圆x2+y2=2相切.证明如下:设点A,B的坐标分别为(x0,y0),(t,2),其中x0≠0.∵OA⊥OB,∴,即tx0+2y0=0,解得.当x0=t时,,代入椭圆C的方程,得.故直线AB的方程为x=,圆心O到直线AB的距离d=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.当x0≠t时,直线AB的方程为,即(y0﹣2)x﹣(x0﹣t)y+2x0﹣ty0=0.圆心O到直线AB的距离d=.又,t=.故=.此时直线AB与圆x2+y2=2相切.点评:本题考查椭圆的简单几何性质,考查了圆与圆锥曲线的综合,训练了由圆心到直线的距离判断直线和圆的位置关系,体现了分类讨论的数学思想方法,考查了计算能力和逻辑思维能力,是压轴题.20.(13分)(2014•北京)对于数对序列P:(a1,b1),(a2,b2),…,(a n,b n),记T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k﹣1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),其中max{T k﹣1(P),a1+a2+…+a k}表示T k﹣1(P)和a1+a2+…+a k两个数中最大的数,(Ⅰ)对于数对序列P:(2,5),(4,1),求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)记m为a,b,c,d四个数中最小的数,对于由两个数对(a,b),(c,d)组成的数对序列P:(a,b),(c,d)和P′:(c,d),(a,b),试分别对m=a和m=d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小;(Ⅲ)在由五个数对(11,8),(5,2),(16,11),(11,11),(4,6)组成的所有数对序列中,写出一个数对序列P使T5(P)最小,并写出T5(P)的值(只需写出结论).考点:分析法和综合法.专题:新定义;分析法.分析:(Ⅰ)利用T1(P)=a1+b1,T k(P)=b k+max{T k﹣1(P),a1+a2+…+a k}(2≤k≤n),可求T1(P),T2(P)的值;(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b},分类讨论,利用新定义,可比较T2(P)和T2(P′)的大小;(Ⅲ)根据新定义,可得结论.解答:解:(Ⅰ)T1(P)=2+5=7,T2(P)=1+max{T1(P),2+4}=1+max{7,6}=8;(Ⅱ)T2(P)=max{a+b+d,a+c+d},T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}.当m=a时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+d+b,∵a+b+d≤c+d+b,且a+c+d≤c+b+d,∴T2(P)≤T2(P′);当m=d时,T2(P′)=max{c+d+b,c+a+b}=c+a+b,∵a+b+d≤c+a+b,且a+c+d≤c+a+d,∴T2(P)≤T2(P′);∴无论m=a和m=d,T2(P)≤T2(P′);(Ⅲ)数对(4,6),(11,11),(16,11),(11,8),(5,2),T5(P)最小;T1(P)=10,T2(P)=26;T3(P)42,T4(P)=50,T5(P)=52.点评:本题考查新定义,考查学生分析解决问题的能力,正确理解与运用新定义是解题的关键.。
2014高考数学真题——导数 (理)
【2014新课标I 理—第21题12分】设函数()xbe x ae x f x x1ln -+=,曲线()x f y =在点()()1,1f 处的切线方程为()21+-=x e y 。
(1)求b a ,; (2)证明:().1>x f【2014新课标II 理—第21题12分】已知函数()x ee xf xx2--=-。
(1)讨论()x f 的单调性;(2)设()()()x bf x f x g 42-=,当0>x 时,()0>x g ,求b 的最大值; (3)已知4143.124142.1<<,估计2ln 的近似值(精确到0.001)。
【2014大纲理—第22题12分】函数()()()11ln >+-+=a ax axx x f 。
(1)讨论()x f 的单调性;(2)设11=a ,()1ln 1+=+n n a a ,证明:2322+≤<+n a n n 。
【2014山东理—第20题13分】设函数()⎪⎭⎫⎝⎛+-=x x k x e x f x ln 22,(k 为常数,Λ71828.2=e 是自然对数的底数)。
(1)当0≤k 时,求函数()x f 的单调区间;(2)若函数()x f 在()2,1内存在两个极值点,求k 的取值范围。
【2014江苏—第19题16分】已知函数()xxee xf -+=,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:()f x 是R 上的偶函数; (2)若关于x 的不等式()1-+≤-m ex mf x在(0)+∞,上恒成立,求实数m 的取值范围;(3)已知正数a 满足:存在[)+∞∈,10x ,使得()()03003x x a x f +-<成立.试比较1-a e 与1-e a的大小,并证明你的结论.【2014江苏—第23题10分】已知函数()()0sin 0>=x xxx f ,设()x f n 为()x f n 1-的导数,n *∈N . (1)求⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛222221πππf f 的值; (2)证明:对任意的n *∈N ,等式224441=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-πππn n f nf 都成立.【2014安徽理—第18题12分】设函数()()3211x x x a x f --++=,其中0>a 。
十年高考真题分类汇编 数学 专题 导数与定积分
8.(2016·四川·理 T9)设直线 l 1,l 2 分别是函数 f(x)={lnx ,x > 1十年高考真题分类汇编(2010—2019)数学专题 04 导数与定积分1.(2019·全国 2·T 文 T10)曲线 y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为()A.x-y-π-1=0B.2x-y-2π-1=0C.2x+y-2π+1=0D.x+y-π+1=02.(2019·全国 3·T 理 T6 文 T7)已知曲线 y=ae x +xln x 在点(1,ae)处的切线方程为 y=2x+b,则 ()A.a=e,b=-1B.a=e,b=1C.a=e -1,b=1D.a=e -1,b=-13.(2018·全国 1·理 T5 文 T6)设函数 f(x)=x 3+(a-1)x 2+ax,若 f(x)为奇函数,则曲线 y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x4.(2017·全国 2·理 T11)若 x=-2 是函数 f(x)=(x 2+ax-1)e x-1 的极值点,则 f(x)的极小值为()A.-1B.-2e -3C.5e -3D.15.(2017·浙江·T7)函数 y=f(x)的导函数 y=f'(x)的图象如图所示,则函数 y=f(x)的图象可能是 ()6.(2016·山东·理 T10)若函数 y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称 y=f(x)具有 T 性质.下列函数中具有 T 性质的是()A.y=sin xB.y=ln xC.y=e xD.y=x 37.(2016·全国 1·文 T12)若函数 f(x)=x-1sin 2x+asin x 在(-∞,+∞)单调递增,则 a 的取值范围是( )3A.[-1,1]C.[- 1 , 1]3 3B.[-1, 1]3D.[-1,- 1]3-lnx ,0 < x < 1, 图象上点 P 1,P 2 处的切线,l 1 与 l 2 垂直相交于点 P,且 l 1,l 2 分别与 y 轴相交于点 A,B,则△PAB 的面积的取值范围是()A.(0,1)B.(0,2)C.(0,+∞)D.(1,+∞)m 29.(2015·全国 2·理 T12)设函数 f'(x)是奇函数 f(x)(x∈R)的导函数,f(-1)=0,当 x>0 时,xf'(x)-f(x)<0,则使得 f(x)>0 成立的 x 的取值范围是()A.(-∞,-1)∪(0,1)B.(-1,0)∪(1,+∞)C.(-∞,-1)∪(-1,0)D.(0,1)∪(1,+∞)10.(2015·全国 1·理 T12)设函数 f(x)=e x (2x-1)-ax+a,其中 a<1,若存在唯一的整数 x 0 使得 f(x 0)<0,则 a的取值范围是( )A.[- 3 ,1)2eC.[ 3 , 3)2e 4B.[- 3 , 3)2e 4D.[ 3 ,1)2e11.(2014·全国 1·理 T11 文 T12)已知函数 f(x)=ax 3-3x 2+1,若 f(x)存在唯一的零点 x 0,且 x 0>0,则 a 的取值范围是( )A.(2,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,-2)D.(-∞,-1)12.(2014·江西,理 8)若 f(x)=x 2+2∫1 f(x)dx,则∫1 f(x)dx=()A.-1B.-13C.13D.113.(2014·全国 2·理 T8)设曲线 y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为 y=2x,则 a=()A.0B.1C.2D.314.(2014·全国 2·文 T11)若函数 f(x)=kx-ln x 在区间(1,+∞)单调递增,则 k 的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)15.(2014·全国 2·理 T12)设函数 f(x)=√3sin πx .若存在 f(x)的极值点 x 0 满足x 0+[f(x 0)]2<m 2,则 m 的取值范围是( )A.(-∞,-6)∪(6,+∞)B.(-∞,-4)∪(4,+∞)C.(-∞,-2)∪(2,+∞)D.(-∞,-1)∪(1,+∞)16.(2014·湖北·理 T6)若函数 f(x),g(x)满足∫1f(x)g(x)dx=0,则称 f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组-1正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin 1x,g(x)=cos 1x;22②f(x)=x+1,g(x)=x -1;3B.2C.83D.16√25 B.4③f(x)=x,g(x)=x 2.其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是()A.0B.1C.2D.317.(2014·山东,理 6)直线 y=4x 与曲线 y=x 3 在第一象限内围成的封闭图形的面积为()A.2√2B.4√2C.2D.418.(2013·北京,理 7)直线 l 过抛物线 C:x 2=4y 的焦点且与 y 轴垂直,则 l 与 C所围成的图形的面积等于() A.4319.(2013·全国 2·理 T10 文 T11)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+c,下列结论中错误的是()A.∃x 0∈R,f(x 0)=0B.函数 y=f(x)的图象是中心对称图形C.若 x 0 是 f(x)的极小值点,则 f(x)在区间(-∞,x 0)单调递减D.若 x 0 是 f(x)的极值点,则 f'(x 0)=020.(2013·湖北,理 7)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度 v(t)=7-3t+ 25 (t 的单1+t位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是()A.1+25ln 5C.4+25ln 5B.8+25ln 113D.4+50ln 221.(2012·湖北·理 T3)已知二次函数 y=f(x)的图象如图所示,则它与 x 轴所围图形的面积为()A.2π3C.32D.π222.(2011·全国,理 9)由曲线 y=√x ,直线 y=x-2 及 y 轴所围成的图形的面积为()A.10B.4C.16D.63323.(2010·全国,理 3)曲线 y= x 在点(-1,-1)处的切线方程为()x+2A.y=2x+1B.y=2x-1C.y=-2x-3D.y=-2x-224.(2010·全国·文 T4)曲线 y=x 3-2x+1 在点(1,0)处的切线方程为()A.y=x-1B.y=-x+1C.y=2x-2D.y=-2x+225.(2019·全国1·T13)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.26.(2019·天津·文T11)曲线y=cos x-x在点(0,1)处的切线方程为.227.(2019·江苏,11)在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自然对数的底数),则点A的坐标是.28.(2018·天津·文T10)已知函数f(x)=e x ln x,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.29.(2018·全国2·理T13)曲线y=2ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为.30.(2018·全国2·文T13)曲线y=2ln x在点(1,0)处的切线方程为.31.(2018·全国3,理14)直线y=(ax+1)e x在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=.32.(2018·江苏·T11)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.33.(2017·全国1,文14)曲线y=x2+在点(1,2)处的切线方程为.34.(2017·天津,文10)已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距为.35.(2017·山东·理T15)若函数e x f(x)(e=2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+236.(2017·江苏·T11)已知函数f(x)=x3-2x+e x-1,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数ae x的取值范围是.37.(2016·全国2·理T16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.38.(2015·全国1·文T14)已知函数f(x)=ax3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则a=.39.(2015·全国2·文T16)已知曲线y=x+ln x在点(1,1)处的切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,则a=.40.(2015·陕西·理T15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐x标为.41.(2015·天津,理11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为______________.42.(2015·陕西·理T16)如图,一横截面为等腰梯形的水渠,因泥沙沉积,导致水渠截面边界呈抛物线型(图中虚线所示),则原始的最大流量与当前最大, 42时,证明f(x)+g(x)2-x≥0;(3)设xn 为函数u(x)=f(x)-1在区间2nπ+π,2nπ+π内的零点,其中n∈N,证明2nπ+π-xn<sinx0-cosx0流量的比值为.43.(2012·上海·理T13)已知函数y=f(x)的图象是折线段ABC,其中A(0,0),B(1,5),C(1,0).函数2y=xf(x)(0≤x≤1)的图象与x轴围成的图形的面积为________________.44.(2012·全国·文T13)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为.45.(2012·山东·理T15)设a>0.若曲线y=√x与直线x=a,y=0所围成封闭图形的面积为a2,则a=.46.(2019·全国3·文T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当0<a<3时,记f(x)在区间[0,1]的最大值为M,最小值为m,求M-m的取值范围.47.(2019·浙江·T22)已知实数a≠0,设函数f(x)=aln x+√1+x,x>0.(1)当a=-3时,求函数f(x)的单调区间;4(2)对任意x∈1,+∞均有f(x)≤√x,求a的取值范围.e22a注:e=2.71828…为自然对数的底数.48.(2019·全国2,文21,12分,难度)已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明:(1)f(x)存在唯一的极值点;(2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.49.(2019·江苏,19,16分,难度)设函数f(x)=(x-a)(x-b)(x-c),a,b,c∈R,f'(x)为f(x)的导函数.(1)若a=b=c,f(4)=8,求a的值;(2)若a≠b,b=c,且f(x)和f'(x)的零点均在集合{-3,1,3}中,求f(x)的极小值;(3)若a=0,0<b≤1,c=1,且f(x)的极大值为M,求证:M≤4.2750.(2019·全国3·理T20)已知函数f(x)=2x3-ax2+b.(1)讨论f(x)的单调性;(2)是否存在a,b,使得f(x)在区间[0,1]的最小值为-1且最大值为1?若存在,求出a,b的所有值;若不存在,说明理由.51.(2019·天津·理T20)设函数f(x)=e x cos x,g(x)为f(x)的导函数.(1)求f(x)的单调区间;(2)当x∈πππ42252.(2019·全国1·理T20)已知函数f(x)=sin x-ln(1+x),f'(x)为f(x)的导数.证明:e-2nπ.(3)证明当 a≥e e 时,存在直线 l,使 l 是曲线 y=f(x)的切线,也是曲线 y=g(x)的切线.(1)f'(x)在区间(-1,π)存在唯一极大值点;2(2)f(x)有且仅有 2 个零点.53.(2019·全国 1·文 T20)已知函数 f(x)=2sin x-xcos x-x,f'(x)为 f(x)的导数.(1)证明:f'(x)在区间(0,π)存在唯一零点;(2)若 x∈[0,π]时,f(x)≥ax,求 a 的取值范围.54.(2019·全国 2·理 T20)已知函数 f(x)=ln x-x+1.x -1(1)讨论 f(x)的单调性,并证明 f(x)有且仅有两个零点;(2)设 x 0 是 f(x)的一个零点,证明曲线 y=ln x 在点 A(x 0,ln x 0)处的切线也是曲线 y=e x 的切线.55.(2019·天津·文 T20)设函数 f(x)=ln x-a(x-1)e x ,其中 a∈R.(1)若 a≤0,讨论 f(x)的单调性;(2)若 0<a<1,e①证明 f(x)恰有两个零点;②设 x 0 为 f(x)的极值点,x 1 为 f(x)的零点,且 x 1>x 0,证明 3x 0-x 1>2.56.(2018·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ax 2.(1)若 a=1,证明:当 x≥0 时,f(x)≥1;(2)若 f(x)在(0,+∞)只有一个零点,求 a.57.(2018·全国 2·文 T21 度)已知函数 f(x)=1x 3-a(x 2+x+1).3(1)若 a=3,求 f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.58.(2018·天津·理 T20)已知函数 f(x)=a x ,g(x)=log a x,其中 a>1.(1)求函数 h(x)=f(x)-xln a 的单调区间;(2)若曲线 y=f(x)在点(x 1,f(x 1))处的切线与曲线 y=g(x)在点(x 2,g(x 2))处的切线平行,证明 x 1+g(x 2)=-2lnlna ;159.(2018·天津·文 T20)设函数 f(x)=(x-t 1)(x-t 2)(x-t 3),其中 t 1,t 2,t 3∈R,且 t 1,t 2,t 3 是公差为 d 的等差数列.(1)若 t 2=0,d=1,求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若 d=3,求 f(x)的极值;(3)已知函数 f(x)=-x 2be +a,g(x)= .对任意 a>0,判断是否存在 b>0,使函数 f(x)与 g(x)在区间(0,+∞)内存在(2)若 f(x)存在两个极值点 x 1,x 2,证明:f (x 1)-f (x 2)<a-2. 65.(2018·全国 3,文 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=ax +x -1.(3)若曲线 y=f(x)与直线 y=-(x-t 2)-6 √3有三个互异的公共点,求 d 的取值范围.60.(2018·北京·理 T18 文 T19)设函数 f(x)=[ax 2-(4a+1)x+4a+3]e x .(1)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 x 轴平行,求 a;(2)若 f(x)在 x=2 处取得极小值,求 a 的取值范围.61.(2018·江苏·T19)记 f'(x),g'(x)分别为函数 f(x),g(x)的导函数.若存在 x 0∈R,满足 f(x 0)=g(x 0),且f'(x 0)=g'(x 0),则称 x 0 为函数 f(x)与 g(x)的一个“S 点”. (1)证明:函数 f(x)=x 与 g(x)=x 2+2x-2 不存在“S 点”;(2)若函数 f(x)=ax 2-1 与 g(x)=ln x 存在“S 点”,求实数 a 的值;xx“S 点”,并说明理由.62.(2018·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=1-x+aln x.x(1)讨论 f(x)的单调性;x 1-x 263.(2018·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=ae x -ln x-1.(1)设 x=2 是 f(x)的极值点,求 a,并求 f(x)的单调区间;(2)证明:当 a≥ 时,f(x)≥0.64.(2018·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=(2+x+ax 2)ln(1+x)-2x.(1)若 a=0,证明:当-1<x<0 时,f(x)<0;当 x>0 时,f(x)>0;(2)若 x=0 是 f(x)的极大值点,求 a.2 e x(1)求曲线 y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当 a≥1 时,f(x)+e≥0.66.(2018·浙江·T22)已知函数 f(x)=√x -ln x.(1)若 f(x)在 x=x 1,x 2(x 1≠x 2)处导数相等,证明:f(x 1)+f(x 2)>8-8ln 2;(2)若 a≤3-4ln 2,证明:对于任意 k>0,直线 y=kx+a 与曲线 y=f(x)有唯一公共点.67.(2018·江苏·T17)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和线段 MN 构成.已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形 ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上.设OC 与 MN 所成的角为 θ .2 2n11q q1(1)用 θ 分别表示矩形 ABCD 和△CDP 的面积,并确定 sin θ 的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4∶3.求当 θ 为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.68.(2017·全国 3·理 T21)已知函数 f(x)=x-1-aln x.(1)若 f(x)≥0,求 a 的值;(2)设 m 为整数,且对于任意正整数 n,(1 + 1) (1 + 2 ) … (1 + 2 )<m,求 m 的最小值.69.(2017·全国 2·文 T21)设函数 f(x)=(1-x 2)e x .(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 x≥0 时,f(x)≤ax+1,求 a 的取值范围.70.(2017·天津·文 T19)设 a,b∈R,|a|≤1.已知函数 f(x)=x 3-6x 2-3a(a-4)x+b,g(x)=e x f(x).(1)求 f(x)的单调区间;(2)已知函数 y=g(x)和 y=e x 的图象在公共点(x 0,y 0)处有相同的切线,①求证:f(x)在 x=x 0 处的导数等于 0;②若关于 x 的不等式 g(x)≤e x 在区间[x 0-1,x 0+1]上恒成立,求 b 的取值范围. 71.(2017·全国 3·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+ax 2+(2a+1)x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 a<0 时,证明 f(x)≤- 3 -2.4a72.(2017·天津·理 T20)设 a∈Z,已知定义在 R 上的函数 f(x)=2x 4+3x 3-3x 2-6x+a 在区间(1,2)内有一个零点x 0,g(x)为 f(x)的导函数.(1)求 g(x)的单调区间;(2)设 m∈[1,x 0)∪(x 0,2],函数 h(x)=g(x)(m-x 0)-f(m),求证:h(m)h(x 0)<0;(3)求证:存在大于 0 的常数 A,使得对于任意的正整数 p,q,且p ∈[1,x 0)∪(x 0,2],满足|p -x 0| ≥ Aq 4.73.(2017·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=ae 2x +(a-2)e x -x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.(2)证明:当 a∈[0,1)时,函数 g(x)=e -ax -a (x>0)有最小值.设 g(x)的最小值为 h(a),求函数 h(a)的值域.(3)设 a>0,函数 g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于 .1... 74.(2017·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=e x (e x -a)-a 2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)≥0,求 a 的取值范围.75.(2017·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=ax 2-ax-xln x,且 f(x)≥0.(1)求 a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点 x 0,且 e -2<f(x 0)<2-2.76.(2017·山东·理 T20)已知函数 f(x)=x 2+2cos x,g(x)=e x (cos x-sin x+2x-2),其中 e≈2.718 28…是自然对数的底数.(1)求曲线 y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程.(2)令 h(x)=g(x)-af(x)(a∈R),讨论 h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.77.(2017·江苏·T20)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数 f'(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b 2>3a;(3)若 f(x),f'(x)这两个函数的所有极值之和不小于-7,求 a 的取值范围.278.(2017·北京·理 T19)已知函数 f(x)=e x cos x-x.(1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数 f(x)在区间[0, π]上的最大值和最小值.279.(2017·浙江·T20)已知函数 f(x)=(x-√2x -1)e -x (x ≥ 1).2(1)求 f(x)的导函数;(2)求 f(x)在区间[1 , + ∞)上的取值范围.280.(2016·全国 2·理 T21)(1)讨论函数 f(x)= x -2 e x 的单调性,并证明当 x>0 时,(x-2)e x +x+2>0;x+2xx 281.(2016·天津,理 20,12 分,难度)设函数 f(x)=(x-1)3-ax-b,x∈R,其中 a,b∈R.(1)求 f(x)的单调区间;(2)若 f(x)存在极值点 x 0,且 f(x 1)=f(x 0),其中 x 1≠x 0,求证:x 1+2x 0=3;482.(2016·全国 2·文 T20)已知函数 f(x)=(x+1)ln x-a(x-1).(1)当 a=4 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(2)若当 x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求 a 的取值范围.83.(2016·四川·文 T21)设函数 f(x)=ax 2-a-ln x,g(x)=1 − e 其中 a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.xe x(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明:当 x>1 时,g(x)>0;(3)确定 a 的所有可能取值,使得 f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.84.(2016·全国 3·理 T21)设函数 f(x)=αcos 2x+(α-1)(cos x+1),其中 α>0,记|f(x)|的最大值为 A.(1)求 f'(x);(2)求 A;(3)证明|f'(x)|≤2A.85.(2016·全国 3·文 T21)设函数 f(x)=ln x-x+1.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)证明当 x∈(1,+∞)时,1<x -1<x;lnx(3)设 c>1,证明当 x∈(0,1)时,1+(c-1)x>c x .86.(2016·全国 1,理 21,12 分,难度)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2 有两个零点.(1)求 a 的取值范围;(2)设 x 1,x 2 是 f(x)的两个零点,证明:x 1+x 2<2.87.(2016·全国 1·文 T21)已知函数 f(x)=(x-2)e x +a(x-1)2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)若 f(x)有两个零点,求 a 的取值范围.88.(2016·北京·理 T18)设函数 f(x)=xe a-x +bx,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y=(e-1)x+4.(1)求 a,b 的值;(2)求 f(x)的单调区间.89.(2016·山东·文 T20)设 f(x)=xln x-ax 2+(2a-1)x,a∈R.(1)令 g(x)=f'(x),求 g(x)的单调区间;(2)已知 f(x)在 x=1 处取得极大值.求实数 a 的取值范围.90.(2015·山东·理 T21)设函数 f(x)=ln(x+1)+a(x 2-x),其中 a∈R.(1)讨论函数 f(x)极值点的个数,并说明理由;97.(2015·北京·文 T19)设函数x f(x)= -kln x,k a (1)当 b= +1 时,求函数 f(x)在[-1,1]上的最小值 g(a)的表达式; a (2)若∀x>0,f(x)≥0 成立,求 a 的取值范围.91.(2015·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=ln x+a(1-x).(1)讨论 f(x)的单调性;(2)当 f(x)有最大值,且最大值大于 2a-2 时,求 a 的取值范围.92.(2015·全国 2·理 T21)设函数 f(x)=e mx +x 2-mx.(1)证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意 x 1,x 2∈[-1,1],都有|f(x 1)-f(x 2)|≤e -1,求 m 的取值范围.93.(2015·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=e 2x -aln x.(1)讨论 f(x)的导函数 f'(x)零点的个数;(2)证明:当 a>0 时,f(x)≥2a+aln 2.a94.(2015·天津·理 T20)已知函数 f(x)=nx-x n ,x∈R,其中 n∈N *,且 n≥2.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设曲线 y=f(x)与 x 轴正半轴的交点为 P,曲线在点 P 处的切线方程为 y=g(x),求证:对于任意的正实数 x,都有 f(x)≤g(x);(3)若关于 x 的方程 f(x)=a(a 为实数)有两个正实数根 x 1,x 2,求证:|x 2-x 1|<1-n +2.95.(2015·全国 1·理 T21)已知函数 f(x)=x 3+ax+1,g(x)=-lnx. 4(1)当 a 为何值时,x 轴为曲线 y=f(x)的切线;(2)用 min{m,n}表示 m,n 中的最小值,设函数 h(x)=min{f(x),g(x)}(x>0),讨论 h(x)零点的个数.96.(2015·江苏·理 T19)已知函数 f(x)=x 3+ax 2+b(a,b∈R).(1)试讨论 f(x)的单调性;(2)若 b=c-a(实数 c 是与 a 无关的常数),当函数 f(x)有三个不同的零点时,a 的取值范围恰好是(-∞,-3)∪(1, 3) ∪ (3 , + ∞),求 c 的值. 2 22 2 (1)求 f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若 f(x)存在零点,则 f(x)在区间(1,√e ]上仅有一个零点.98.(2015·浙江·文 T20)设函数 f(x)=x 2+ax+b(a,b∈R).2 4(2)已知函数 f(x)在[-1,1]上存在零点,0≤b -2a≤1.求 b 的取值范围.x 102.(2014·全国 1 ·理 T21) 设函数 f(x)=ae ln x+be x , 曲线 y=f(x) 在点 (1,f(1)) 处的切线方程为 a 99.(2014·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 3-3x 2+ax+2,曲线 y=f(x)在点(0,2)处的切线与 x 轴交点的横坐标为-2.(1)求 a;(2)证明:当 k<1 时,曲线 y=f(x)与直线 y=kx-2 只有一个交点.100.(2014·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -e -x -2x.(1)讨论 f(x)的单调性;(2)设 g(x)=f(2x)-4bf(x),当 x>0 时,g(x)>0,求 b 的最大值;(3)已知 1.414 2<√2<1.414 3,估计 ln 2 的近似值(精确到 0.001).101.(2014·全国 1·文 T21)设函数 f(x)=aln x+1-a x 2-bx(a≠1),曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 20.(1)求 b;(2)若存在 x 0≥1,使得 f(x 0)<a -1,求 a 的取值范围.x -1y=e(x-1)+2.(1)求 a,b;(2)证明:f(x)>1.103.(2013·全国 2·理 T21)已知函数 f(x)=e x -ln(x+m).(1)设 x=0 是 f(x)的极值点,求 m,并讨论 f(x)的单调性;(2)当 m≤2 时,证明 f(x)>0.104.(2013·全国 2·文 T21)已知函数 f(x)=x 2e -x .(1)求 f(x)的极小值和极大值;(2)当曲线 y=f(x)的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取值范围.105.(2013·重庆·文 T20)某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r米,高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平方米,底面的建造成本为 160 元/平方米,该蓄水池的总建造成本为 12000π 元(π 为圆周率).(1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域;(2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大.106.(2013·全国 1·理 T21)设函数 f(x)=x 2+ax+b,g(x)=e x (cx+d).若曲线 y=f(x)和曲线 y=g(x)都过点 P(0,2),且在点 P 处有相同的切线 y=4x+2.(1)求a,b,c,d的值;(2)若x≥-2时,f(x)≤kg(x),求k的取值范围.107.(2013·全国1·文T20)已知函数f(x)=e x(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.(1)求a,b的值;(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值.108.(2012·全国·理T21)已知函数f(x)满足f(x)=f'(1)e x-1-f(0)x+1x2.2(1)求f(x)的解析式及单调区间;(2)若f(x)≥1x2+ax+b,求(a+1)b的最大值.2109.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.110.(2012·全国·文T21)设函数f(x)=e x-ax-2.(1)求f(x)的单调区间;(2)若a=1,k为整数,且当x>0时,(x-k)f'(x)+x+1>0,求k的最大值.111.(2011·山东·理T21)某企业拟建造如图所示的容器(不计厚度,长度单位:米),其中容器的中间为圆柱形,左右两端均为半球形,按照设计要求容器的容积为80π立方米,且l≥2r.假设该容器的建造费用仅与其表3面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元,半球形部分每平方米建造费用为c(c>3)千元.设该容器的建造费用为y千元.(1)写出y关于r的函数表达式,并求该函数的定义域;(2)求该容器的建造费用最小时的r.112.(2011·全国·理T21)已知函数f(x)=alnx+b,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.x+1x(1)求a,b的值;(2)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx+k,求k的取值范围.x-1x113.(2011·全国·文T21)已知函数f(x)=(1)若a=>,求f(x)的单调区间;x+1+,曲线b alnxx(1)求a,b的值;(2)证明:当x>0,且x≠1时,f(x)>lnx.x-1114.(2010·全国·理T21)设函数f(x)=e x-1-x-ax2.(1)若a=0,求f(x)的单调区间;(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.115.(2010·全国·文T21)设函数f(x)=x(e x-1)-ax2.12(2)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.。
导数高考题(大全)
一.有关切线的斜率问题:[2014·江苏卷] 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线y =ax 2+b x(a ,b 为常数)过点P (2,-5),且该曲线在点P 处的切线与直线7x +2y +3=0平行,则a +b 的值是________.[2014·广东卷] 曲线y =-5e x +3在点(0,-2)处的切线方程为________.的值求处的切线垂直于直线在点且曲线其中重庆卷)已知函数a xy f x f y R a x x a x x f )1(21))1(,1()(,,23ln 4)(2014(==∈--+=处切线方程在,求曲线)若(为常数,其中山东卷)设函数))1(,1()(0111ln )(2014(f x f y a a x x x a x f ==+-+=bf x f y a bx x a x a x f )求(,处的切线斜率为在点曲线,)设函数全国新课标10))1(,1()()1()1(2ln )(12014(2=≠--+=的值求处的切线的斜率为在点且曲线为偶函数的导函数)已知函数重庆理b a c f x f y x f cx be ae x f x x ,)1(4))0(,0()(,)()(202014(/22-=--=-(2013年高考大纲卷(文))已知曲线()421-128=y x ax a a =+++在点,处切线的斜率为,[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知函数f(x)=x 3-3x 2+ax +2,曲线y =f(x)在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.求a 的值。
A .9B .6C .-9D .-6(2013年高考广东卷(文))若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x轴,则a =___________(2013年高考江西卷(文))若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________(2013年高考浙江卷(文)) 已知a ∈R,函数f(x)=2x 3-3(a+1)x 2+6ax(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2013年高考陕西卷(文))已知函数()e ,x f x x =∈R . (Ⅰ) 求f (x )的反函数的图象上图象上点(1,0)处的切线方程; (2013年高考北京卷(文)) 已知函数2()sin cos f x x x x x =++.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(,())a f a )处与直线y b =相切,求a 与b 的值2013年高考课标Ⅰ卷(文)) 已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(2013年高考福建卷(文)) 已知函数()1x af x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数).(1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a的值; (2)求函数()f x 的极值;(2013年重庆数学(理))设()()256ln f x a x x =-+,其中a R∈,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴相交于点()0,6.(1)确定a 的值;(2013福建数学(理)) 已知函数()ln ()f x x a x a R =-∈(1)当2a=时,求曲线()y f x =在点(1,(1))A f 处的切线方程;2013年新课标1(理))已知函数()f x =2x ax b ++,()g x =()xe cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),在点P 处有相同的切线42y x =+ (Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;(2013浙江数学(理)) 已知R a ∈,函数.3333)(23+-+-=a ax x x x f(1)求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程;(2013北京卷(理)) 设L 为曲线C:ln xy x=在点(1,0)处的切线. (I)求L 的方程; [2014包头一模]的解析式及单调区间求处切线为在点曲线)已知函数)(01))0(,0()(,21(2x f y f x f y bx x ae x f x =-=++=二.不含参的单调性、极值、最值问题:的单调区间和极值求函数的值求处的切线垂直于直线在点且曲线其中重庆卷)已知函数)()2()1(21))1(,1()(,,23ln 4)(2014(x f a xy f x f y R a x x a x x f ==∈--+=[2014·福建卷] 已知函数f(x)=ex -ax(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f(x)在点A 处的切线斜率为-1. (1)求a 的值及函数f(x)的极值[2014·北京卷文20] 已知函数f (x )=2x 3-3x . (1)求f (x )在区间[-2,1]上的最大值; [2014·湖北卷](1)求函数f (x )=ln xx的单调区间;[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=x cos x -sin x +1(x >0). (1)求f (x )的单调区间;的极值时,求)当(())函数江西理)(41)(,21)(182014(2x f b R b x b bx x x f =∈-++=的单调性判断若处的切线的斜率为在点且曲线为偶函数的导函数)已知函数重庆理)(,3)2(4))0(,0()(,)()(202014(/22x f c c f x f y x f cx be ae x f x x =-=--=-(2013年高考大纲卷(文)) 已知函数()32=33 1.f x x ax x +++(I)求()2f ;a x =时,讨论的单调性;(2013年高考课标Ⅱ卷(文)) 己知函数f(X) = x 2e -x (I)求f(x)的极小值和极大值; 2013年高考课标Ⅰ卷(文))已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--, 曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.(2013年高考湖南(文))已知函数f(x)=xe x21x 1+- (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (2013年高考广东卷(文))设函数x kx x x f +-=23)( ()R k ∈.(1) 当1=k 时,求函数)(x f 的单调区间;2013新课标Ⅱ卷数学(理))已知函数)ln()(m x e x f x +-=.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性;(2013广东省数学(理)卷)设函数()()21x f x x e kx =--(其中k ∈R ).(Ⅰ) 当1k=时,求函数()f x 的单调区间;(2013天津数学(理))已知函数2l ()n f x x x =. (Ⅰ) 求函数f(x)的单调区间; [2014鄂尔多斯一模]的极大值点时,求当已知函数)(2,4)1()()()(,21)(,ln )(2x h b a x g x f x h bx ax x g x x f ==-=+==2012年高考(重庆理)) 设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.(2012年高考(山东理))已知函数ln ()xx kf x e+=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数), 曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;二.含参的单调性、极值、最值问题:的单调区间和极值。
历年(2014)高考真题分类汇编(共14套)含答案精品打包下载
历年(2014)高考真题分类汇编(共14套)含答案精品打包下载.doc数学A单元集合与常用逻辑用语A1 集合及其运算1.A1[2014·北京卷] 已知集合A={x|x2-2x=0},B={0,1,2},则A∩B=()A.{0} B.{0,1}C.{0,2} D.{0,1,2}1.C[解析] ∵A={0,2},∴A∩B={0,2}∩{0,1,2}={0,2}.15.A1、M1[2014·福建卷] 若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系:①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是________.15.6[解析] 若①正确,则②③④不正确,可得b≠1不正确,即b=1,与a=1矛盾,故①不正确;若②正确,则①③④不正确,由④不正确,得d=4;由a≠1,b≠1,c≠2,得满足条件的有序数组为a=3,b=2,c=1,d=4或a=2,b=3,c=1,d=4.若③正确,则①②④不正确,由④不正确,得d=4;由②不正确,得b=1,则满足条件的有序数组为a=3,b=1,c=2,d=4;若④正确,则①②③不正确,由②不正确,得b=1,由a≠1,c≠2,d≠4,得满足条件的有序数组为a=2,b=1,c=4,d=3或a=3,b=1,c=4,d=2或a=4,b=1,c=3,d=2;综上所述,满足条件的有序数组的个数为6.1.A1[2014·广东卷] 已知集合M={-1,0,1},N={0,1,2,},则M∪N=()A.{0,1} B.{-1,0,2}C.{-1,0,1,2} D.{-1,0,1}1.C[解析] 本题考查集合的运算.因为M={-1,0,1},N={0,1,2},所以M∪N ={-1,0,1,2}.3.A1 A2[2014·湖北卷] U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.C[解析] 若存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C,则可以推出A∩B=∅;若A∩B=∅,由维思图可知,一定存在C=A,满足A⊆C,B⊆∁U C,故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁U C”是“A∩B=∅”的充要条件.故选C.1.A1[2014·辽宁卷] 已知全集U=R,A={x|x≤0},B={x|x≥1},则集合∁U(A∪B)=()A.{x|x≥0} B.{x|x≤1}C.{x|0≤x≤1} D.{x|0<x<1}1.D[解析] 由题意可知,A∪B={x|x≤0或x≥1},所以∁U(A∪B)={x|0<x<1}.2.A1、E3[2014·全国卷] 设集合M={x|x2-3x-4<0},N={x|0≤x≤5},则M∩N=() A.(0,4] B.[0,4)C.[-1,0) D.(-1,0]2.B[解析] 因为M={x|x2-3x-4<0}={x|-1<x<4},N={x|0≤x≤5},所以M∩N ={x|-1<x<4}∩{0≤x≤5}={x|0≤x<4}.1.A1[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A={x|x2-2x-3≥0},B={x|-2≤x<2},则A∩B =()A.[-2,-1] B.[-1,2)B.[-1,1] D.[1,2)1.A[解析] 集合A=(-∞,-1]∪[3,+∞),所以A∩B=[-2,-1].1.A1[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设集合M={0,1,2},N={x|x2-3x+2≤0},则M∩N =()A.{1} B.{2} C.{0,1} D.{1,2}1.D[解析] 集合N=[1,2],故M∩N={1,2}.2.A1,B6[2014·山东卷] 设集合A={x||x-1|<2},B={y|y=2x,x∈[0,2]},则A∩B =()A.[0,2] B.(1,3) C.[1,3) D.(1,4)2.C[解析] 根据已知得,集合A={x|-1<x<3},B={y|1≤y≤4},所以A∩B={x|1≤x <3}.故选C.1.A1[2014·陕西卷] 设集合M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R},则M∩N=()A.[0,1] B.[0,1) C.(0,1] D.(0,1)1.B[解析] 由M={x|x≥0,x∈R},N={x|x2<1,x∈R}={x|-1<x<1,x∈R},得M∩N =[0,1).1.A1[2014·四川卷] 已知集合A={x|x2-x-2≤0},集合B为整数集,则A∩B=() A.{-1,0,1,2} B.{-2,-1,0,1}C.{0,1} D.{-1,0}1.A[解析] 由题意可知,集合A={x|-1≤x≤2},其中的整数有-1,0,1,2,故A∩B ={-1,0,1,2},故选A.19.A1、D3、E7[2014·天津卷] 已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M={0,1,2,…,q-1},集合A={x|x=x1+x2q+…+x n q n-1,x i∈M,i=1,2,…,n}.(1)当q=2,n=3时,用列举法表示集合A.(2)设s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,其中a i,b i∈M,i=1,2,…,n.证明:若a n<b n,则s<t.19.解:(1)当q=2,n=3时,M={0,1},A={x|x=x1+x2·2+x3·22,x i∈M,i=1,2,3},可得A={0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明:由s,t∈A,s=a1+a2q+…+a n q n-1,t=b1+b2q+…+b n q n-1,a i,b i∈M,i =1,2,…,n及a n<b n,可得s-t=(a1-b1)+(a2-b2)q+…+(a n-1-b n-1)q n-2+(a n-b n)q n-1≤(q-1)+(q-1)q+…+(q-1)q n-2-q n-1=(q-1)(1-q n-1)1-q-q n-1=-1<0,所以s<t.1.A1[2014·浙江卷] 设全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},则∁U A=()A.∅B.{2} C.{5} D.{2,5}1.B[解析] ∁U A={x∈N|2≤x<5}={2},故选B.11.A1[2014·重庆卷] 设全集U={n∈N|1≤n≤10},A={1,2,3,5,8},B={1,3,5,7,9},则(∁U A)∩B=________.11.{7,9}[解析] 由题知∁U A={4,6,7,9,10},∴(∁U A)∩B={7,9}.A2 命题及其关系、充分条件、必要条件2.A2[2014·安徽卷] “x<0”是“ln(x+1)<0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件2.B[解析] ln(x+1)<0⇔0<1+x<1⇔-1<x<0,而(-1,0)是(-∞,0)的真子集,所“x<0”是“ln(x+1)<0”的必要不充分条件.5.A2[2014·北京卷] 设{a n}是公比为q的等比数列,则“q>1”是“{a n}为递增数列”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件5.D [解析] 当a 1<0,q >1时,数列{a n }递减;当a 1<0,数列{a n }递增时,0<q <1.故选D.6.A2、H4[2014·福建卷] 直线l :y =kx +1与圆O :x 2+y 2=1相交于A ,B 两点,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分又不必要条件6.A [解析] 由直线l 与圆O 相交,得圆心O 到直线l 的距离d =1k 2+1<1,解得k ≠0. 当k =1时,d =12,|AB |=2r 2-d 2=2,则△OAB 的面积为12×2×12=12;当k =-1时,同理可得△OAB 的面积为12,则“k =1”是“△OAB 的面积为12”的充分不必要条件.3.A1 A2[2014·湖北卷] U 为全集,A ,B 是集合,则“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的( )A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.C [解析] 若存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ,则可以推出A ∩B =∅;若A ∩B =∅,由维思图可知,一定存在C =A ,满足A ⊆C ,B ⊆∁U C ,故“存在集合C 使得A ⊆C ,B ⊆∁U C ”是“A ∩B =∅”的充要条件.故选C.8.A2[2014·陕西卷] 原命题为“若z 1,z 2互为共轭复数,则|z 1|=|z 2|”,关于其逆命题,否命题,逆否命题真假性的判断依次如下,正确的是( )A .真,假,真B .假,假,真C .真,真,假D .假,假,假 8.B [解析] 设z 1=a +b i ,z 2=a -b i ,且a ,b ∈R ,则|z 1|=|z 2|=a 2+b 2,故原命题为真,所以其否命题为假,逆否命题为真.当z 1=2+i ,z 2=-2+i 时,满足|z 1|=|z 2|,此时z 1,z 2不是共轭复数,故原命题的逆命题为假.7.A2[2014·天津卷] 设a ,b ∈R ,则“a >b ”是“a |a |>b |b |”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分又不必要条件 7.C [解析] 当ab ≥0时,可得a >b 与a |a |>b |b |等价.当ab <0时,可得a >b 时a |a |>0>b |b |;反之,由a |a |>b |b |知a >0>b ,即a >b .2.L4、A2[2014·浙江卷] 已知i 是虚数单位,a ,b ∈R ,得“a =b =1”是“(a +b i)2=2i ”的( )A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2.A [解析] 由a ,b ∈R ,(a +b i)2=a 2-b 2+2ab i =2i, 得⎩⎪⎨⎪⎧a 2-b 2=0,2ab =2,所以⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =1或⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,b =-1.故选A. 6.A2[2014·重庆卷] 已知命题p :对任意x ∈R ,总有2x >0,q :“x >1”是“x >2”的充分不必要条件,则下列命题为真命题的是( )A .p ∧qB .綈p ∧綈qC .綈p ∧qD .p ∧綈q6.D [解析] 根据指数函数的图像可知p 为真命题.由于“x >1”是“x >2”的必要不充分条件,所以q 为假命题,所以綈q 为真命题,所以p ∧綈q 为真命题.A3 基本逻辑联结词及量词 5.A3[2014·湖南卷] 已知命题p :若x >y ,则-x <-y ,命题q :若x >y ,则x 2>y 2.在命题①p ∧q ;②p ∨q ;③p ∧(綈q );④(綈p )∨q 中,真命题是( ) A .①③ B .①④ C .②③ D .②④5.C [解析] 依题意可知,命题p 为真命题,命题q 为假命题.由真值表可知p ∧q 为假,p ∨q 为真,p ∧(綈q )为真,(綈p )∨q 为假.5.A3、F1[2014·辽宁卷] 设a ,b ,c 是非零向量,已知命题p :若a ·b =0,b ·c =0,则a ·c =0,命题q :若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c ,则下列命题中真命题是( )A .p ∨qB .p ∧qC .(綈p )∧(綈q )D .p ∨(綈q ) 5.A [解析] 由向量数量积的几何意义可知,命题p 为假命题;命题q 中,当b ≠0时,a ,c 一定共线,故命题q 是真命题.故p ∨q 为真命题.9.E5、A3[2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥1,x -2y ≤4的解集记为D ,有下面四个命题:p 1:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≥-2, p 2:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≥2, p 3:∀(x ,y )∈D ,x +2y ≤3, p 4:∃(x ,y )∈D ,x +2y ≤-1. 其中的真命题是( ) A .p 2,p 3 B .p 1,p 2 C .p 1,p 4 D .p 1,p 39.B [解析] 不等式组表示的区域D 如图中的阴影部分所示,设目标函数z =x +2y ,根据目标函数的几何意义可知,目标函数在点A (2,-1)处取得最小值,且z min =2-2=0,即x +2y 的取值范围是[0,+∞),故命题p 1,p 2为真,命题p 3,p 4为假.A4 单元综合2.[2014·福州期末] 已知全集U =R ,集合A ={1,2,3,4,5},B =[3,+∞),则图X11中阴影部分所表示的集合为(A .{0,1,2}B .{0,1}C .{1,2}D .{1}2.C [解析] 由题意,阴影部分表示A ∩(∁U B ).因为∁U B ={x |x <3},所以A ∩(∁U B )={1,2}.4.[2014·湖南十三校一联] 下列说法正确的是( )A .命题“若x 2=1,则x =1”的否命题为“若x 2=1,则x ≠1”B .命题“∃x 0∈R ,x 20+x 0-1<0”的否定是“∀x ∈R ,x 2+x -1>0” C .命题“若x =y ,则sin x =sin y ”的逆否命题为假命题 D .若“p 或q ”为真命题,则p ,q 中至少有一个为真命题4.D [解析] A 中否命题应为“若x 2≠1,则x ≠1”;B 中否定应为“∀x ∈R ,x 2+x -1≥0”;C 中原命题为真命题,故逆否命题为真命题;易知D 正确.6.[2014·郑州质检] 已知集合A ={x |x >2},B ={x |x <2m },且A ⊆(∁R B ),则m 的值可以是( )A .1B .2C .3D .46.A [解析] 易知∁R B ={x |x ≥2m },要使A ⊆(∁R B ),则2m ≤2,∴m ≤1,故选A.9.[2014·湖北八市联考] 已知集合M =⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )⎪⎪⎪y -3x -2=3,N ={(x ,y )|ax +2y +a =0},且M ∩N =∅,则a =( )A .-6或-2B .-6C .2或-6D .-29.A [解析] 易知集合M 中的元素表示的是过(2,3)点且斜率为3的直线上除(2,3)点外的所有点.要使M ∩N =∅,则N 中的元素表示的是斜率为3且不过(2,3)点的直线,或过(2,3)点且斜率不为3的直线,∴-a2=3或2a +6+a =0,∴a =-6或a =-2.11.[2014·吉林实验中学模拟] 已知集合A ={1,2a },B ={a ,b }.若A ∩B =⎩⎨⎧⎭⎬⎫12,则A ∪B=____________.11.{-1,12,1} [解析] ∵A ∩B =12,∴2a =12,∴a =-1,∴b =12,∴A =⎩⎨⎧⎭⎬⎫1,12,B=-1,12,∴A ∪B ={-1,12,1}.12.[2014·杭州一模] “λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的____________条件.12.充分不必要 [解析] ∵{a n }为递增数列⇔a n +1>a n ⇔2n +1-2λ>0⇔2n +1>2λ⇔3>2λ⇔λ<32,∴“λ<0”是“数列{a n }(a n =n 2-2λn ,n ∈N *)为递增数列”的充分不必要条件.数 学B 单元 函数与导数B1 函数及其表示 6.B1[2014·安徽卷] 设函数f (x )(x ∈R )满足f (x +π)=f (x )+sin x .当0≤x <π时,f (x )=0,则f ⎝⎛⎭⎫23π6=( )A.12B.32 C .0 D .-126.A [解析] 由已知可得,f ⎝⎛⎭⎫23π6=f ⎝⎛⎭⎫17π6+sin 17π6=f ⎝⎛⎭⎫11π6+sin 11π6+sin 17π6 =f ⎝⎛⎭⎫5π6+sin 5π6+sin 11π6+sin 17π6=2sin 5π6+sin ⎝⎛⎭⎫-π6=sin 5π6=12.2.B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( )A .y =x +1B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 2.B1[2014·江西卷] 函数f (x )=ln(x 2-x )的定义域为( ) A .(0,1] B .[0,1]C .(-∞,0)∪(1,+∞)D .(-∞,0]∪[1,+∞) 2.C [解析] 由x 2-x >0,得x >1或x <0.3.B1,B7[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( ) A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞)C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞)D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.B2 反函数 12.B2[2014·全国卷] 函数y =f (x )的图像与函数y =g (x )的图像关于直线x +y =0对称,则y =f (x )的反函数是( )A .y =g (x )B .y =g (-x )C .y =-g (x )D .y =-g (-x )12.D [解析] 设(x 0,y 0)为函数y =f (x )的图像上任意一点,其关于直线x +y =0的对称点为(-y 0,-x 0).根据题意,点(-y 0,-x 0)在函数y =g (x )的图像上,又点(x 0,y 0)关于直线y =x 的对称点为(y 0,x 0),且(y 0,x 0)与(-y 0,-x 0)关于原点对称,所以函数y =f (x )的反函数的图像与函数y =g (x )的图像关于原点对称,所以-y =g (-x ),即y =-g (-x ).B3 函数的单调性与最值 2.B1、B3[2014·北京卷] 下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是( ) A .y =x +1 B .y =(x -1)2C .y =2-x D .y =log 0.5(x +1)2.A [解析] 由基本初等函数的性质得,选项B 中的函数在(0,1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+∞)上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞).21.B3、B12[2014·广东卷] 设函数f (x )=1(x 2+2x +k )2+2(x 2+2x +k )-3,其中k <-2.(1)求函数f (x )的定义域D (用区间表示); (2)讨论函数f (x )在D 上的单调性;(3)若k <-6,求D 上满足条件f (x )>f (1)的x 的集合(用区间表示). 12.B3[2014·四川卷] 设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-4x 2+2,-1≤x <0,x , 0≤x <1,则f ⎝⎛⎭⎫32=________.12.1 [解析] 由题意可知,f ⎝⎛⎭⎫32=f ⎝⎛⎭⎫2-12=f ⎝⎛⎭⎫-12=-4⎝⎛⎭⎫-122+2=1. 15.B3,B14[2014·四川卷] 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数φ(x )组成的集合:对于函数φ(x ),存在一个正数M ,使得函数φ(x )的值域包含于区间[-M ,M ].例如,当φ1(x )=x 3,φ2(x )=sin x 时,φ1(x )∈A ,φ2(x )∈B .现有如下命题:①设函数f (x )的定义域为D ,则“f (x )∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ,∃a ∈D ,f (a )=b ”; ②函数f (x )∈B 的充要条件是f (x )有最大值和最小值;③若函数f (x ),g (x )的定义域相同,且f (x )∈A ,g (x )∈B ,则f (x )+g (x )∉B ;④若函数f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1(x >-2,a ∈R )有最大值,则f (x )∈B .其中的真命题有________.(写出所有真命题的序号)15.①③④ [解析] 若f (x )∈A ,则f (x )的值域为R ,于是,对任意的b ∈R ,一定存在a ∈D ,使得f (a )=b ,故①正确.取函数f (x )=x (-1<x <1),其值域为(-1,1),于是,存在M =1,使得f (x )的值域包含于[-M ,M ]=[-1,1],但此时f (x )没有最大值和最小值,故②错误.当f (x )∈A 时,由①可知,对任意的b ∈R ,存在a ∈D ,使得f (a )=b ,所以,当g (x )∈B 时,对于函数f (x )+g (x ),如果存在一个正数M ,使得f (x )+g (x )的值域包含于[-M ,M ],那么对于该区间外的某一个b 0∈R ,一定存在一个a 0∈D ,使得f (a 0)=b -g (a 0),即f (a 0)+g (a 0)=b 0∉[-M ,M ],故③正确.对于f (x )=a ln(x +2)+xx 2+1 (x >-2),当a >0或a <0时,函数f (x )都没有最大值.要使得函数f (x )有最大值,只有a =0,此时f (x )=xx 2+1(x >-2).易知f (x )∈⎣⎡⎦⎤-12,12,所以存在正数M =12,使得f (x )∈[-M ,M ],故④正确. 21.B3,B12[2014·四川卷] 已知函数f (x )=e x -ax 2-bx -1,其中a ,b ∈R ,e =2.718 28…为自然对数的底数.(1)设g (x )是函数f (x )的导函数,求函数g (x )在区间[0,1]上的最小值; (2)若f (1)=0,函数f (x )在区间(0,1)内有零点,求a 的取值范围. 21.解:(1)由f (x )=e x -ax 2-bx -1,得g (x )=f ′(x )=e x -2ax -b . 所以g ′(x )=e x -2a .当x ∈[0,1]时,g ′(x )∈[1-2a ,e -2a ].当a ≤12时,g ′(x )≥0,所以g (x )在[0,1]上单调递增,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ; 当a ≥e2时,g ′(x )≤0,所以g (x )在[0,1]上单调递减,因此g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b ;当12<a <e2时,令g ′(x )=0,得x =ln(2a )∈(0,1),所以函数g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增,于是,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b .综上所述,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (0)=1-b ;当12<a <e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (ln(2a ))=2a -2a ln(2a )-b ; 当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上的最小值是g (1)=e -2a -b .(2)设x 0为f (x )在区间(0,1)内的一个零点,则由f (0)=f (x 0)=0可知,f (x )在区间(0,x 0)上不可能单调递增,也不可能单调递减. 则g (x )不可能恒为正,也不可能恒为负. 故g (x )在区间(0,x 0)内存在零点x 1. 同理g (x )在区间(x 0,1)内存在零点x 2. 故g (x )在区间(0,1)内至少有两个零点.由(1)知,当a ≤12时,g (x )在[0,1]上单调递增,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点;当a ≥e2时,g (x )在[0,1]上单调递减,故g (x )在(0,1)内至多有一个零点,都不合题意.所以12<a <e 2.此时g (x )在区间[0,ln(2a )]上单调递减,在区间(ln(2a ),1]上单调递增. 因此x 1∈(0,ln(2a )],x 2∈(ln(2a ),1),必有 g (0)=1-b >0,g (1)=e -2a -b >0. 由f (1)=0得a +b =e -1<2,则g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0, 解得e -2<a <1.当e -2<a <1时,g (x )在区间[0,1]内有最小值g (ln(2a )). 若g (ln(2a ))≥0,则g (x )≥0(x ∈[0,1]),从而f (x )在区间[0,1]内单调递增,这与f (0)=f (1)=0矛盾,所以g (ln(2a ))<0. 又g (0)=a -e +2>0,g (1)=1-a >0.故此时g (x )在(0,ln(2a ))和(ln(2a ),1)内各只有一个零点x 1和x 2.由此可知f (x )在[0,x 1]上单调递增,在(x 1,x 2)上单调递减,在[x 2,1]上单调递增. 所以f (x 1)>f (0)=0,f (x 2)<f (1)=0, 故f (x )在(x 1,x 2)内有零点.综上可知,a 的取值范围是(e -2,1).B4 函数的奇偶性与周期性7.B1、B3、B4[2014·福建卷] 已知函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧x 2+1,x >0,cos x , x ≤0,则下列结论正确的是( )A .f (x )是偶函数B .f (x )是增函数C .f (x )是周期函数D .f (x )的值域为[-1,+∞)7.D [解析] 由函数f (x )的解析式知,f (1)=2,f (-1)=cos(-1)=cos 1,f (1)≠f (-1),则f (x )不是偶函数;当x >0时,令f (x )=x 2+1,则f (x )在区间(0,+∞)上是增函数,且函数值f (x )>1; 当x ≤0时,f (x )=cos x ,则f (x )在区间(-∞,0]上不是单调函数,且函数值f (x )∈[-1,1];∴函数f (x )不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[-1,+∞). 3.B4[2014·湖南卷] 已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且f (x )-g (x )=x 3+x 2+1,则f (1)+g (1)=( )A .-3B .-1C .1D .33.C [解析] 因为f (x )是偶函数,g (x )是奇函数,所以f (1)+g (1)=f (-1)-g (-1)=(-1)3+(-1)2+1=1. 3.B4[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数3.C [解析] 由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为C.15.B4[2014·新课标全国卷Ⅱ] 已知偶函数f (x )在[0,+∞)单调递减,f (2)=0,若f (x -1)>0,则x 的取值范围是________.15.(-1,3) [解析] 根据偶函数的性质,易知f (x )>0的解集为(-2,2),若f (x -1)>0,则-2<x -1<2,解得-1<x <3.B5 二次函数16.B5、C6[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a的取值范围是________.16.(-∞,2] [解析] f (x )=cos 2x +a sin x =-2sin 2x +a sin x +1,令sin x =t ,则f (x )=-2t 2+at +1.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π6,π2,所以t ∈⎝⎛⎭⎫12,1,所以f (x )=-2t 2+at +1,t ∈⎝⎛⎭⎫12,1.因为f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,所以f (x )=-2t 2+at +1在区间⎝⎛⎭⎫12,1上是减函数,又对称轴为x =a 4,∴a 4≤12,所以a ∈(-∞,2].B6 指数与指数函数 4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.3.B6[2014·江西卷] 已知函数f (x )=5|x |,g (x )=ax 2-x (a ∈R ).若f [g (1)]=1,则a =( ) A .1 B .2 C .3 D .-13.A [解析] g (1)=a -1,由f [g (1)]=1,得5|a -1|=1,所以|a -1|=0,故a =1.3.B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .2.A1,B6[2014·山东卷] 设集合A ={x ||x -1|<2},B ={y |y =2x ,x ∈[0,2]},则A ∩B =( )A .[0,2]B .(1,3)C .[1,3)D .(1,4) 2.C [解析] 根据已知得,集合A ={x |-1<x <3},B ={y |1≤y ≤4},所以A ∩B ={x |1≤x <3}.故选C.5.B6,B7,E1[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.7.B6[2014·陕西卷] 下列函数中,满足“f (x +y )=f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A .f (x )=x 12 B .f (x )=x 3C .f (x )=⎝⎛⎭⎫12xD .f (x )=3x7.B [解析] 由于f (x +y )=f (x )f (y ),故排除选项A ,C.又f (x )=⎝⎛⎭⎫12x为单调递减函数,所以排除选项D.11.B6[2014·陕西卷] 已知4a =2,lg x =a ,则x =________.11.10 [解析] 由4a =2,得a =12,代入lg x =a ,得lg x =12,那么x =1012 =10.B7 对数与对数函数 5.B6,B7,E1[2014·山东卷] 已知实数x ,y 满足a x <a y (0<a <1),则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2+1>1y 2+1B. ln(x 2+1)>ln(y 2+1)C. sin x >sin yD. x 3>y 35.D [解析] 因为a x <a y (0<a <1),所以x >y ,所以sin x >sin y ,ln(x 2+1)>ln(y 2+1),1x 2+1>1y 2+1都不一定正确,故选D.3.B1,B7[2014·山东卷] 函数f (x )=1(log 2x )2-1的定义域为( )A.⎝⎛⎭⎫0,12 B .(2,+∞) C. ⎝⎛⎭⎫0,12∪(2,+∞) D. ⎝⎛⎦⎤0,12∪[2,+∞) 3.C [解析] 根据题意得,⎩⎪⎨⎪⎧x >0,(log 2)2-1>0,解得⎩⎪⎨⎪⎧x >0,x >2或x <12.故选C.4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.13.D3、B7[2014·广东卷] 若等比数列{a n }的各项均为正数,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,则ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=________.13.50 [解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质.∵{a n }为等比数列,且a 10a 11+a 9a 12=2e 5,∴a 10a 11+a 9a 12=2a 10a 11=2e 5,∴a 10a 11=e 5, ∴ln a 1+ln a 2+…+ln a 20=ln(a 1a 2…a 20)= ln(a 10a 11)10=ln(e 5)10=ln e 50=50.3.B6、B7[2014·辽宁卷] 已知a =2-13,b =log 213,c =log 1213,则( )A .a >b >cB .a >c >bC .c >a >bD .c >b >a3.C [解析] 因为0<a =2-13<1,b =log 213<0,c =log 1213>log 1212=1,所以c >a >b .4.B7[2014·天津卷] 函数f (x )=log 12(x 2-4)的单调递增区间为( )A .(0,+∞)B .(-∞,0)C .(2,+∞)D .(-∞,-2)4.D [解析] 要使f (x )单调递增,需有⎩⎪⎨⎪⎧x 2-4>0,x <0,解得x <-2.7.B7、B8[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.12.B7[2014·重庆卷] 函数f (x )=log 2x ·log 2(2x )的最小值为________.12.-14 [解析] f (x )=log 2 x ·log 2(2x )=12log 2 x ·2log 2(2x )=log 2x ·(1+log 2x )=(log 2x )2+log 2x =⎝⎛⎭⎫log 2x +122-14,所以当x =22时,函数f (x )取得最小值-14.B8 幂函数与函数的图像 4.B6、B7、B8[2014·福建卷] 若函数y =log a x (a >0,且a ≠1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是( )图1-1A BC D图1-24.B [解析] 由函数y =log a x 的图像过点(3,1),得a =3.选项A 中的函数为y =⎝⎛⎭⎫13x,则其函数图像不正确;选项B 中的函数为y =x 3,则其函数图像正确;选项C 中的函数为y =(-x )3,则其函数图像不正确;选项D 中的函数为y =log 3(-x ),则其函数图像不正确.10.B8[2014·湖北卷] 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数,当x ≥0时,f (x )=12(|x -a 2|+|x -2a 2|-3a 2).若∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎡⎦⎤-16,16B.⎣⎡⎦⎤-66,66C.⎣⎡⎦⎤-13,13D.⎣⎡⎦⎤-33,33 10.B [解析] 因为当x ≥0时,f (x )=12()||x -a 2+||x -2a 2-3a 2,所以当0≤x ≤a 2时,f (x )=12()a 2-x +2a 2-x -3a 2=-x ;当a 2<x <2a 2时,f (x )=12()x -a 2+2a 2-x -3a 2=-a 2;当x ≥2a 2时,f (x )=12()x -a 2+x -2a 2-3a 2=x -3a 2.综上,f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧-x ,0≤x ≤a 2,-a 2,a 2<x <2a 2,x -3a 2,x ≥2a 2.因此,根据奇函数的图象关于原点对称作出函数f (x )在R 上的大致图象如下,观察图象可知,要使∀x ∈R ,f (x -1)≤f (x ),则需满足2a 2-(-4a 2)≤1,解得-66≤a ≤66.故选B. 8.B8[2014·山东卷] 已知函数f (x )=|x -2|+1,g (x )=kx ,若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( )A. ⎝⎛⎭⎫0,12B. ⎝⎛⎭⎫12,1 C. (1,2) D. (2,+∞) 8.B [解析] 画出函数f (x )的图像,如图所示.若方程f (x )=g (x )有两个不相等的实数,则函数f (x ),g (x )有两个交点,则k >12,且k <1.故选B.7.B7、B8[2014·浙江卷] 在同一直角坐标系中,函数f (x )=x a (x >0),g (x )=log a x 的图像可能是( )AC D图1-2 图1-27.D [解析] 只有选项D 符合,此时0<a <1,幂函数f (x )在(0,+∞)上为增函数,且当x ∈(0,1)时,f (x )的图像在直线y =x 的上方,对数函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,故选D.B9 函数与方程10.B9、B14[2014·湖南卷] 已知函数f (x )=x 2+e x -12(x <0)与g (x )=x 2+ln(x +a )的图像上存在关于y 轴对称的点,则a 的取值范围是( )A .(-∞,1e) B .(-∞,e)C.⎝⎛⎭⎫-1e ,eD.⎝⎛⎭⎫-e ,1e10.B [解析] 依题意,设存在P (-m ,n )在f (x )的图像上,则Q (m ,n )在g (x )的图像上,则有m 2+e -m -12=m 2+ln(m +a ),解得m +a =ee -m -12,即a =ee -m -12-m (m >0),可得a ∈(-∞,e).14.B9[2014·天津卷] 已知函数f (x )=|x 2+3x |,x ∈R .若方程f (x )-a |x -1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为________.14.(0,1)∪(9,+∞) [解析] 在同一坐标系内分别作出y =f (x )与y =a |x -1|的图像如图所示.当y =a |x -1|与y =f (x )的图像相切时,由⎩⎪⎨⎪⎧-ax +a =-x 2-3x ,a >0,整理得x 2+(3-a )x+a =0,则Δ=(3-a )2-4a =a 2-10a +9=0,解得a =1或a =9.故当y =a |x -1|与y =f (x )的图像有四个交点时,0<a <1或a >9.6.B9[2014·浙江卷] 1)=f (-2)=f (-3)≤3,则( )A .c ≤3B .3<c ≤6C .6<c ≤9D .c >96.C [解析] 由f (-1)=f (-2)=f (-3)得⎩⎪⎨⎪⎧-1+a -b +c =-8+4a -2b +c ,-8+4a -2b +c =-27+9a -3b +c ⇒⎩⎪⎨⎪⎧-7+3a -b =0,19-5a +b =0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a =6,b =11,则f (x )=x 3+6x 2+11x +c ,而0<f (-1)≤3,故0<-6+c ≤3, ∴6<c ≤9,故选C.B10 函数模型及其应用 8.B10[2014·湖南卷] 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p +q 2B.(p +1)(q +1)-12C.pqD.(p +1)(q +1)-18.D [解析] 设年平均增长率为x ,则有(1+p )(1+q )=(1+x )2,解得x =(1+p )(1+q )-1. 10.B10[2014·陕西卷] 如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为 ( )图1-2A .y =1125x 3-35xB .y =2125x 3-45xC .y =3125x 3-xD .y =-3125x 3+15x10.A [解析] 设该三次函数的解析式为y =ax 3+bx 2+cx +d .因为函数的图像经过点(0,0),所以d =0,所以y =ax 3+bx 2+cx .又函数过点(-5,2),(5,-2),则该函数是奇函数,故b =0,所以y =ax 3+cx ,代入点(-5,2)得-125a -5c =2.又由该函数的图像在点(-5,2)处的切线平行于x 轴,y ′=3ax 2+c ,得当x =-5时,y ′=75a +c =0.联立⎩⎪⎨⎪⎧-125a -5c =2,75a +c =0,解得⎩⎨⎧a =1125,c =-35.故该三次函数的解析式为y =1125x 3-35x .B11 导数及其运算 18.B11、B12[2014·安徽卷] 设函数f (x )=1+(1+a )x -x 2-x 3,其中a >0. (1)讨论f (x )在其定义域上的单调性;(2)当x ∈[0,1]时 ,求f (x )取得最大值和最小值时的x 的值. 18.解: (1)f (x )的定义域为(-∞,+∞), f ′(x )=1+a -2x -3x 2.令f ′(x )=0,得x 1=-1-4+3a3,x 2=-1+4+3a 3,x 1<x 2,所以f ′(x )=-3(x -x 1)(x -x 2). 当x <x 1或x >x 2时,f ′(x )<0; 当x 1<x <x 2时,f ′(x )>0.故f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫-∞,-1-4+3a 3和 ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1+4+3a 3,+∞内单调递减,在⎝⎛⎭⎪⎫-1-4+3a 3,-1+4+3a 3内单调递增.(2)因为a >0,所以x 1<0,x 2>0,①当a ≥4时,x 2≥1.由(1)知,f (x )在[0,1]上单调递增,所以f (x )在x =0和x =1处分别取得最小值和最大值. ②当0<a <4时,x 2<1.由(1)知,f (x )在[0,x 2]上单调递增,在[x 2,1]上单调递减, 所以f (x )在x =x 2=-1+4+3a3处取得最大值.又f (0)=1,f (1)=a ,所以当0<a <1时,f (x )在x =1处取得最小值;当a =1时,f (x )在x =0和x =1处同时取得最小值; 当1<a <4时,f (x )在x =0处取得最小值. 21.B11、M3、D5[2014·安徽卷] 设实数c >0,整数p >1,n ∈N *. (1)证明:当x >-1且x ≠0时,(1+x )p >1+px ;(2)数列{a n }满足a 1>c 1p ,a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n ,证明:a n >a n +1>c 1p. 21.证明:(1)用数学归纳法证明如下.①当p =2时,(1+x )2=1+2x +x 2>1+2x ,原不等式成立. ②假设p =k (k ≥2,k ∈N *)时,不等式(1+x )k >1+kx 成立.当p =k +1时,(1+x )k +1=(1+x )(1+x )k >(1+x )(1+kx )=1+(k +1)x +kx 2>1+(k +1)x . 所以当p =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,当x >-1,x ≠0时,对一切整数p >1,不等式(1+x )p >1+px 均成立. (2)方法一:先用数学归纳法证明a n >c 1p .①当n =1时,由题设知a 1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >c 1p成立. 由a n +1=p -1p a n +c p a 1-p n 易知a n >0,n ∈N *. 当n =k +1时,a k +1a k =p -1p +c p a -p k =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1. 由a k >c 1p >0得-1<-1p <1p ⎝⎛⎭⎫c a p k-1<0.由(1)中的结论得⎝⎛⎭⎫a k +1a k p =⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1p>1+p · 1p ⎝⎛⎭⎫c a p k -1=c a p k . 因此a p k +1>c ,即a k +1>c 1p, 所以当n =k +1时,不等式a n >c 1p也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >c 1p 均成立.再由a n +1a n =1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p n -1可得a n +1a n <1, 即a n +1<a n .综上所述,a n >a n +1>c 1p,n ∈N *.方法二:设f (x )=p -1p x +c p x 1-p ,x ≥c 1p ,则x p ≥c ,所以f ′(x )=p -1p +c p (1-p )x -p =p -1p ⎝⎛⎭⎫1-c x p >0. 由此可得,f (x )在[c 1p ,+∞)上单调递增,因而,当x >c 1p 时,f (x )>f (c 1p )=c 1p .①当n =1时,由a 1>c 1p>0,即a p 1>c 可知 a 2=p -1p a 1+c p a 1-p 1=a 1⎣⎡⎦⎤1+1p ⎝⎛⎭⎫c a p 1-1<a 1,并且a 2=f (a 1)>c 1p ,从而可得a 1>a 2>c 1p , 故当n =1时,不等式a n >a n +1>c 1p成立.②假设n =k (k ≥1,k ∈N *)时,不等式a k >a k +1>c 1p 成立,则当n =k +1时,f (a k )>f (a k +1)>f (c 1p ),即有a k +1>a k +2>c 1p,所以当n =k +1时,原不等式也成立.综合①②可得,对一切正整数n ,不等式a n >a n +1>c 1p均成立.20.B11、B12[2014·福建卷] 已知函数f (x )=e x -ax (a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线y =f (x )在点A 处的切线斜率为-1.(1)求a 的值及函数f (x )的极值; (2)证明:当x >0时,x 2<e x ;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在x 0,使得当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 20.解:方法一:(1)由f (x )=e x -ax ,得f ′(x )=e x -a . 又f ′(0)=1-a =-1,得a =2. 所以f (x )=e x -2x ,f ′(x )=e x -2. 令f ′(x )=0,得x =ln 2.当x <ln 2时,f ′(x )<0,f (x )单调递减; 当x >ln 2时,f ′(x )>0,f (x )单调递增. 所以当x =ln 2时,f (x )取得极小值,且极小值为f (ln 2)=e ln 2-2ln 2=2-ln 4, f (x )无极大值.(2)证明:令g (x )=e x -x 2,则g ′(x )=e x -2x . 由(1)得,g ′(x )=f (x )≥f (ln 2)=2-ln 4>0, 故g (x )在R 上单调递增,又g (0)=1>0, 所以当x >0时,g (x )>g (0)>0,即x 2<e x .(3)证明:①若c ≥1,则e x ≤c e x .又由(2)知,当x >0时,x 2<e x . 故当x >0时,x 2<c e x .取x 0=0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .②若0<c <1,令k =1c >1,要使不等式x 2<c e x 成立,只要e x >kx 2成立.而要使e x >kx 2成立,则只要x >ln(kx 2),只要x >2ln x +ln k 成立. 令h (x )=x -2ln x -ln k ,则h ′(x )=1-2x =x -2x.所以当x >2时,h ′(x )>0,h (x )在(2,+∞)内单调递增.取x 0=16k >16,所以h (x )在(x 0,+∞)内单调递增.又h (x 0)=16k -2ln(16k )-ln k =8(k -ln 2)+3(k -ln k )+5k , 易知k >ln k ,k >ln 2,5k >0,所以h (x 0)>0. 即存在x 0=16c,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .综上,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法二:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)对任意给定的正数c ,取x 0=4c ,由(2)知,当x >0时,e x>x 2,所以e x=e x 2·e x 2>⎝⎛⎭⎫x 22·⎝⎛⎭⎫x 22,当x >x 0时,e x>⎝⎛⎭⎫x 22⎝⎛⎭⎫x 22>4c ⎝⎛⎭⎫x 22=1c x 2,因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x . 方法三:(1)同方法一. (2)同方法一.(3)首先证明当x ∈(0,+∞)时,恒有13x 3<e x .证明如下:令h (x )=13x 3-e x ,则h ′(x )=x 2-e x .由(2)知,当x >0时,x 2<e x ,从而h ′(x )<0,h (x )在(0,+∞)上单调递减, 所以h (x )<h (0)=-1<0,即13x 3<e x .取x 0=3c ,当x >x 0时,有1c x 2<13x 3<e x .因此,对任意给定的正数c ,总存在x 0,当x ∈(x 0,+∞)时,恒有x 2<c e x .10.B11、H7[2014·广东卷] 曲线y =e -5x +2在点(0,3)处的切线方程为________. 10.y =-5x +3 [解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法.因为y ′=-5e -5x ,所以切线的斜率k =-5e 0=-5,所以切线方程是:y -3=-5(x -0),即y =-5x +3.13.B11[2014·江西卷] 若曲线y =e -x 上点P 处的切线平行于直线2x +y +1=0,则点P 的坐标是________.13.(-ln 2,2) [解析] 设点P 的坐标为(x 0,y 0),y ′=-e -x .又切线平行于直线2x +y +1=0,所以-e -x 0=-2,可得x 0=-ln 2,此时y =2,所以点P 的坐标为(-ln 2,2).18.B11、B12[2014·江西卷] 已知函数f (x )=(x 2+bx +b )1-2x (b ∈R ). (1)当b =4时,求f (x )的极值;(2)若f (x )在区间⎝⎛⎭⎫0,13上单调递增,求b 的取值范围. 18.解:(1)当b =4时,f ′(x )=-5x (x +2)1-2x ,由f ′(x )=0,得x =-2或x =0.所以当x ∈(-∞,-2)时,f ′(x )<0,f (x )单调递减;当x ∈(-2,0)时,f ′(x )>0,f (x )单调递增;当x ∈⎝⎛⎭⎫0,12时,f ′(x )<0,f (x )单调递减,故f (x )在x =-2处取得极小值f (-2)=0,在x =0处取得极大值f (0)=4.(2)f ′(x )=-x [5x +(3b -2)]1-2x ,易知当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,-x1-2x<0, 依题意当x ∈⎝⎛⎭⎫0,13时,有5x +(3b -2)≤0,从而53+(3b -2)≤0,得b ≤19. 所以b 的取值范围为⎝⎛⎦⎤-∞,19. 7.B11[2014·全国卷] 曲线y =x e x -1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A .2eB .eC .2D .17.C [解析] 因为y ′=(x e x -1)′=e x -1+x e x -1,所以y =x e x -1在点(1,1)处的导数是y ′|x =1=e 1-1+e 1-1=2,故曲线y =x e x -1在点(1,1)处的切线斜率是2.8.B11[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设曲线y =ax -ln(x +1)在点(0,0)处的切线方程为y =2x ,则a =( )A .0B .1C .2D .38.D [解析] y ′=a -1x +1,根据已知得,当x =0时,y ′=2,代入解得a =3.21.B11,B12,E8,M3[2014·陕西卷] 设函数f (x )=ln(1+x ),g (x )=xf ′(x ),x ≥0,其中f ′(x )是f (x )的导函数.(1)令g 1(x )=g (x ),g n +1(x )=g (g n (x )),n ∈N +,求g n (x )的表达式; (2)若f (x )≥ag (x )恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n ∈N +,比较g (1)+g (2)+…+g (n )与n -f (n )的大小,并加以证明.21.解:由题设得,g (x )=x1+x (x ≥0).(1)由已知,g 1(x )=x 1+x,g 2(x )=g (g 1(x ))=x 1+x 1+x 1+x =x1+2x ,g 3(x )=x 1+3x ,…,可得g n (x )=x 1+nx. 下面用数学归纳法证明.①当n =1时,g 1(x )=x 1+x ,结论成立.②假设n =k 时结论成立,即g k (x )=x1+kx.那么,当n =k +1时,g k +1(x )=g (g k (x ))=g k (x )1+g k (x )=x 1+kx 1+x 1+kx =x1+(k +1)x ,即结论成立.由①②可知,结论对n ∈N +成立.(2)已知f (x )≥ag (x )恒成立,即ln(1+x )≥ax1+x恒成立. 设φ(x )=ln(1+x )-ax1+x (x ≥0),则φ′(x )=11+x -a(1+x )2=x +1-a (1+x )2, 当a ≤1时,φ′(x )≥0(仅当x =0,a =1时等号成立), ∴φ(x )在[0,+∞)上单调递增,又φ(0)=0, ∴φ(x )≥0在[0,+∞)上恒成立,∴a ≤1时,ln(1+x )≥ax1+x 恒成立(仅当x =0时等号成立).当a >1时,对x ∈(0,a -1]有φ′(x )<0, ∴φ(x )在(0,a -1]上单调递减, ∴φ(a -1)<φ(0)=0.即a >1时,存在x >0,使φ(x )<0, 故知ln(1+x )≥ax1+x不恒成立. 综上可知,a 的取值范围是(-∞,1].(3)由题设知g (1)+g (2)+…+g (n )=12+23+…+nn +1,比较结果为g (1)+g (2)+…+g (n )>n -ln(n +1).证明如下:方法一:上述不等式等价于12+13+…+1n +1<ln(n +1),在(2)中取a =1,可得ln(1+x )>x1+x,x >0.。
2014年上海高考数学真题(理科)试卷(word解析版)
⎩→∞ 2 绝密★启用前2014 年普通高等学校招生全国统一考试(上海卷)数学试卷(理工农医类)考生注意(满分 150 分,考试时间 120 分钟)1. 本场考试时间 120 分钟,试卷共 4 页,满分 150 分,答题纸共 2 页.2. 作答前,在答题纸正面填写姓名、准考证号,反面填写姓名,将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3. 所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域,不得错位.在试卷上作答一律不得分.4. 用 2B 铅笔作答选择题,用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分.1. 函数 y = 1- 2 cos 2 (2x ) 的最小正周期是.2. 若复数z=1+2i ,其中 i 是虚数单位,则(z + 1) ⋅ z = .z3. 若抛物线 y 2=2px 的焦点与椭圆x + y 9 5.= 1 的右焦点重合,则该抛物线的准线方程为⎧x , x ∈(-∞, a ),4. 设 f (x ) = ⎨x 2 , x ∈[a ,+∞], 若 f (2) = 4 ,则a 的取值范围为.5. 若实数 x,y 满足 xy=1,则 x 2 + 2 y 2 的最小值为.6. 若圆锥的侧面积是底面积的 3 倍,则其母线与底面角的大小为 (结果用反三角函数值表示).7. 已知曲线 C 的极坐标方程为 p (3cos θ - 4 sin θ ) = 1,则 C 与极轴的交点到极点的距离是 .8. 设无穷等比数列{ a n }的公比为 q ,若a 1 = lim(a 3 + a 4 + ) ,则q=.n211 2 19.若f (x) =x 3 -x 2 ,则满足f (x) < 0 的x 取值范围是.10.为强化安全意识,某商场拟在未来的连续10 天中随机选择3 天进行紧急疏散演练,则选择的3 天恰好为连续3 天的概率是(结构用最简分数表示).11.已知互异的复数a,b 满足ab≠0,集合{a,b}={ a 2, b2},则a +b = .12.设常数 a 使方程sin x + x +x2+x3=. 3 cos x =a 在闭区间[0,2 π] 上恰有三个解x , x2, x3,则13.某游戏的得分为1,2,3,4,5,随机变量ξ表示小白玩游戏的得分.若E(ξ) =4.2,则小白得5 分的概率至少为.14.已知曲线C:x =- l:x=6.若对于点A(m,0),存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得AP +AQ = 0 ,则m 的取值范围为.二、选择题:本大题共4 个小题,每小题5 分,共20 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.15.设a, b ∈R ,则“a +b > 4 ”是“a > 2,且b > 2 ”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必要条件(D)既非充分又非必要条件16.如图,四个棱长为1 的正方体排成一个正四棱柱,AB 是一条侧棱,P i (i =1,2,...) 是上→→底面上其余的八个点,则AB⋅AP i (i =1,2...) 的不同值的个数为()(A)1 (B)2 (C)4 (D)84 -y2⎨ 1 17. 已知 P 1 (a 1 , b 1 ) 与 P 2 (a 2 , b 2 ) 是直线 y=kx+1(k 为常数)上两个不同的点,则关于 x 和 y⎧a 1x + b 1 y = 1的方程组⎨a x + b y = 1 的解的情况是()⎩ 2 2(A )无论 k , P 1 , P 2 如何,总是无解 (B)无论k , P 1 , P 2 如何,总有唯一解 (C )存在 k , P 1 , P 2 ,使之恰有两解(D )存在 k , P 1 , P 2 ,使之有无穷多解18.⎧(x - a )2, x ≤ 0, f (x ) = ⎪x + + a , x > 0, 若 f (0) 是 f (x ) 的最小值,则a 的取值范围为().⎪⎩x(A)[-1,2](B)[-1,0](C)[1,2](D) [0, 2]三.解答题(本大题共 5 题,满分 74 分) 19、(本题满分 12 分)底面边长为 2 的正三棱锥 P - ABC ,其表面学科网展开图是三角形 p 1 p 2 p 3 ,如图,求△p 1 p 2 p 3 的各边长及此三棱锥的体积V .zxxk20.(本题满分 14 分)本题有 2 个小题,第一小题满分 6 分,第二小题满分 1 分。
2014年高考理科数学真题解析分类汇编:函数专题练习[1]解析
函数专题练习下列函数中,在区间(0,+R )上为增函数的是()A . y = x + 1B .y = (x — 1)2 C . y = 2 x D .y = log o.5(x + 1)x 2 +1, x>0 ,3.已知函数f(x)=则下列结论正确的是()|cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s )4.函数f(x) = ln(x 2 — x)的定义域为()A . (0, 1]B . [0 , 1]C . ( — 3 0) U (1 ,+s )6.[函数y = f(x)的图像与函数y = g(x)的图像关于直线5. 函数f(x)"(log 2x ) 2—1的定义域为 A. 0, 2 B . (2 ,+s ) C.(2,+s )D.U [2 ,+s )7. A . y = g(x) B . y = g( — x) C . y =— g(x)D . y =— g(— x)下列函数中,在区间(0,+s )上为增函数的是( ) A . y = x + 1 B . y = (x — 1)2 C . y = 2 x D . y = log °.5(x + 1) 广2x + 1 , x>0 , & 已知函数f(x)= f 则下列结论正确的是( ) |cos x , x < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1,+s ) 设函数 f(x) - , ( x 2+ 2x + k ) 2+ 2 (x 2+ 2x + k )— 3 ,其中k<— 2. (1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示); ⑵讨论函数f(x)在D 上的单调性;(3)若k< — 6,求D 上满足条件f(x)>f(1)的x 的集合(用区间表示).1设函数 f(x)(x € R )满足 f(x + n )= f(x)+ sin x .当 0< x< n 时,f(x)= 0,贝U f1 A.2B FC . 0D .2. D . ( — 3, 0] U [1,+s )x + y = 0对称,则y = f(x)的反函数是(P■- 4X 2+ 2,— 1 < x<0,10.设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x € [ — 1,1)时,f(x)i则f[2 ;= ________ •x,0 < X <1 ,匕丿11. 以A 表示值域为R 的函数组成的集合,B 表示具有如下性质的函数 «x)组成的集合:对于函数 0(x),存 在一个正数M ,使得函数 «x)的值域包含于区间[一 M , M].例如,当$1(x)=X 3,如X ) = sin X 时,© 1(x)€ A ,© 2(x)€B.现有如下命题:① 设函数f(x)的定义域为D ,则“ f(x)€ A ”的充要条件是“ ? b € R , ? a € D , f(a)= b ”; ② 函数f(x)€ B 的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③ 若函数f(x), g(x)的定义域相同,且 f(x)€ A , g(x)€ B ,则f(x)+ g(x)?B ;X④ 若函数 f(x)= aln(x + 2) + -2石(X > — 2, a € R )有最大值,则 f(x) € B. 其中的真命题有 _________ .(写出所有真命题的序号)-2+ 1 , ->0 ,12.已知函数f(x)= <则下列结论正确的是()|cos X , X < 0,A . f(x)是偶函数B . f(x)是增函数C . f(x)是周期函数D . f(x)的值域为[—1 ,+s )13.已知f(x), g(x)分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数,且f(x)— g(x)= X 3+ -2 + 1,则f(1)+ g(1)=()A . — 3B . — 1C . 1D . 314•设函数f(-), g(-)的定义域都为 R ,且f(-)是奇函数,g(-)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( )A . f(x)g(x)是偶函数B . |f(x)|g(x)是奇函数C . f(x)|g(x)|是奇函数D . |f(x)g(x)|是奇函数15 .已知偶函数f(x)在[0,+^ )单调递减,f(2) = 0,若f(x — 1)>0,则X 的取值范围是 __________________17.若函数y = log a x(a>0,且a ^ 1)的图像如图1-1所示,则下列函数图像正确的是(16 . 若函数 f(x) = cos 2X + asin X 在区间 —,—;是减函数,则a 的取值范围是18. 已知函数 f(x)= 5|X , g(x)= ax 2— x(a € R )•若 f[g(1)] = 1,则 a =( )A . 1B . 2C . 3D . — 11 1 1119. 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 元,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a20 .设集合 A = {x||x — 1|v 2}, B = {y|y = 2x , x € [0 , 2]},则 A A B =()A . [0, 2]B . (1 , 3)C . [1 , 3)D . (1 , 4)21.已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是( )11 2 233A. 2 >-2B. ln(x 2+ 1)> In(y 2+ 1) C. sin x >sin y D. x 3>y 3x 十1 y 十122 .下列函数中,满足“ f(x + y) = f(x) •y)”的单调递增函数是( )1 3 WxA . f(x)= x2B . f(x) = xC . f(x)= 2D . f(x)= 323 .已知 4a = 2, Ig x = a ,贝V x = ________ .24 .已知实数x , y 满足a x v a y (0 v a v 1),则下列关系式恒成立的是()1 12 233A. 2 >弋B. In(x + 1)>ln(y + 1)C. sin x >sin yD. x >yx 十1 y 十126 . 若等比数列{ a n }的各项均为正数,且 aean + a g a 12 = 2e 5,则In a 1 + In a 2 +…+ In a 2o = ____________1 1 1127 . 已知 a = 2— 3, b = Iog 2§, c = log 云,则( )A . a>b>cB . a>c>bC . c>a>bD . c>b>a1 228 .函数f(x)= Iog2(x — 4)的单调递增区间为( )A . (0,+^ )B .(―汽 0)C . (2,+^ )D . ( — m,— 2)29.在同一直角坐标系中,函数 )25 .函数 f(x) =1(Iog 2x ) 2 的定义域为(—1A.B . (2 ,+s )C. 0, U (2 ,+ )30 .函数 f(x)= Iog2& • log/(2x)的最小值为 ____________1 2 2 231. 已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x >0 时,f(x)= $(|x — a 2|+ |x — 2a 2|— 3a 2).若? x € R, f(x — 1)< f(x),则实数a 的取值范围为( )32. 已知函数f(x)= |x — 2|+ 1, g(x)= kx ,若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实根,则实数 k 的取值范围是( 0, 2 B. 2 1 C.(1 , 2) D. (2 ,+^ )33.在同一直角坐标系中,函数134.已知函数f(x) = x 2 + e x — 2(x<0)与g(x) = x 2 + ln(x + a)的图像上存在关于 y 轴对称的点,则a 的取值范围是( (—命同D.[-g 越35. 已知函数f(x) = x 2 + 3x|, x € R 若方程f(x)— a|x — 1|= 0恰有4个互异的实数根,则实数 a 的取值范围为36.已知函数 f(x)= x 3+ ax 2 + bx + c ,且 0<f(— 1) = f( — 2) = f(— 3)< 3,则( )A . c < 3B . 3<c < 6C . 6<c < 9D . c>937. 某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为 p ,第二年的增长率为 q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )p + q (P + 1) (q+ 1)—1I — /A. 2B. 2 ° pq D. (p +1)( q +1)— 138.如图1-2,某飞行器在4千米高空水平飞行,从距着陆点A 的水平距离10千米处开始下降,已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分,则该函数的解析式为( )A.6' 6B. C. 1 11 3,3D.A.A . i, ―)B . i, e) C.码,)图1-2A.y=在x3-5xB. 2 3 4y=质x-5x C.y = 2x3- x D .y —2x3+1x y125x40.曲线y= e-5x+ 2在点(0, 3)处的切线方程为_____________41.若曲线y = e-x上点P处的切线平行于直线2x+ y+ 1 = 0,则点P的坐标是42.已知函数f(x)= (x2+ bx+ b) 1 —2x(b € R).(1)当b= 4时,求f(x)的极值;⑵若f(x)在区间0, 3上单调递增,求b的取值范围.43 •曲线y= xe x—1在点(1,1)处切线的斜率等于()A. 2eB. eC. 2D. 144.设曲线y= ax—In(x+ 1)在点(0, 0)处的切线方程为y= 2x,则a =( )A. 0B. 1 C . 2 D . 345 .已知函数f(x)= ax3—3x2+ 1,若f(x)存在唯一的零点x°,且x0>0,则a的取值范围是()A . (2,+^ )B . (1,+^ )C . ( — g, 2)D . ( — g, —1)46.如图1-4,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为147.若函数f(x), g(x)满足f(x)g(x) dx = 0,则称f(x) , g(x)为区间[—1, 1]上的一组正交函数,给出三组函数:* — 11 1 2① f(x) = singx , g(x) = cosqx :②f(x) = x +1, g(x) = x — 1;③f(x) = x , g(x) = x .其中为区间[—1, 1]上的正交函数 的组数是()A . 0B . 1C . 2D . 32 n48. 已知函数f(x)= sin(x —妨,且/ —of(x) dx = 0,则函数f(x)的图像的一条对称轴是49.若 f(x)= x 2 + 2 J f(x)dx ,则'1f(x)dx =( )* 0 * 01 1A . — 1B . — 3C .3D . 150.直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A. 22 B. 42 C. 2 D. 451 .定积分J (2x + e x )dx 的值为()2 0A . e + 2B . e + 1C . eD . e — 152.已知 f(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x), x € (— 1, 1).现有下列命题:f 2x 、①f( — x) = — f(x);②f =2f(x);③|f(x)p 2|x|.其中的所有正确命题的序号是 ( )A .①②③B .②③C .①③D .①②y 轴对称的点,则a 的取值范围是(54. 设f(x)是定义在(0,+^ )上的函数,且f(x)>0,对任意a>0, b>0,若经过点(a , f(a)), (b , — f(b))的直线 与x 轴的交点为(c , 0),则称c 为a , b 关于函数f(x)的平均数,记为 M f (a , b),例如,当f(x)= 1(x>0)时,可得M f (a ,a + bb) = c =—厂,即M f (a , b)为a , b 的算术平均数.(以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可 )55. 已知定义在[0, 1]上的函数f(x)满足:A . x = 5 n"67n x =12(1) 当 f(x) = (2) 当 f(x) = _______ (x>0)时, _______ (x>0)时, M f (a , b)为a , b 的几何平均数; M f (a , b)为a , b 的调和平均数 2aba + b53 .已知函数f(x) = x 2+ e x — *x<0)与g(x)= x 2 + In(x + a)的图像上存在关于① f(0) = f(1) = 0;②对所有x, y€ [0, 1],且X M y,有|f(x) —f(y)|<;|x—y|. 若对所有x, y € [0, 1], |f(x)—f(y)|<k恒成立,则k的最小值为()1111込 B.4D.856. 以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数M组成的集合:对于函数0(x),存在一个正数M,使得函数«x)的值域包含于区间[一M , M].例如,当O i(x)= x3,规(x) = sin x时,©i(x)€ A, © 2(x)€ B.现有如下命题:①设函数f(x)的定义域为D,则“ f(x)€ A”的充要条件是“ ? b € R, ? a € D , f(a)= b”;②函数f(x)€ B的充要条件是f(x)有最大值和最小值;③若函数f(x), g(x)的定义域相同,且f(x)€ A, g(x)€ B,则f(x)+ g(x)?B;x④若函数f(x)= aln(x+ 2) + -2—^(x> —2, a€ R)有最大值,则f(x) € B.x ~—I其中的真命题有_________ .(写出所有真命题的序号)2 2 1 i 、57. 设函数f i(x) = x , f2(x)= 2(x—x ), f3(x) = §|sin 2n x|, a i = 99, i= 0, 1, 2,…,99.记l k=l f k(a i)—f k(a o)|+ |f k(a2)—fg)—…+ |f k(a99)—f k(a98)|, k= 1, 2, 3,则( )A . I1<l2<l3B . I2<I1<I 3C . I1<I 3<I2D . I3<l2<l1x2+ x, x<0,58. [2014浙江卷]设函数f(x) = 2 若f[f(a)] < 2,则实数a的取值范围是____________ .——, x》0.11. ①③④ [解析]若f(x) € A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故 ①正确.取函数f(x)= x(- 1 < x < 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [- 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + PR (x >- 2),当a > 0或a < 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,答案11 nn . 5 n =sin - 6 61 2.2. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+^ )3. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝y f(x)在区间(0,+8 )上是增函数,且函数值 f(1)M f(- 1),贝y f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为 [—1,+^ ).4. C [解析]由 x 2- x>0,得 x>1 或 x<0.5. C [解析]根据题意得,x > 0, (lOg 2)X> 0,2- 1 >0,解得x >2或x <1故选C.6. D [解析]设(X 0, y 0)为函数y = f(x)的图像上任意一点,其关于直线 x + y = 0的对称点为(—y °,一 x 0).根据 题意,点(—y 0,- X 0)在函数y = g(x)的图像上,又点(X 0 , y °)关于直线y =x 的对称点为(y 0, X 0),且(y 0, x 0)与(—y 0,—x 0)关于原点对称,所以函数y = f(x)的反函数的图像与函数y = g(x)的图像关于原点对称,所以-y = g(-x),即y=-g( - x).7. A [解析]由基本初等函数的性质得,选项 上为减函数,所以排除B ,C ,D ,选A.B 中的函数在(0, 1)上递减,选项C ,D 中的函数在(0,+g )& D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(- 1) = cos(- 1) = cos 1, 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+g )上是增函数,且函数值f(1)M f(- 1),贝U f(x)不是偶函数; f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(-g, 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [- 1, 1];•函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+g ).1. A [解析]由已知可得,f心=fi n6 . 6siJ!n + sin^6 6+ sin10. 1 [解析]由题意可知,1 1 1 1 1易知f(x) € — 2,2,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.12. D [解析]由函数 f(x)的解析式知,f(1) = 2, f(— 1) = cos(— 1) = cos 1, f(1)丰 f(— 1),则 f(x)不是偶函数; 当x>0时,令f(x) = x 2 + 1,贝U f(x)在区间(0,+^ )上是增函数,且函数值 f(x)>1 ;当x < 0时,f(x) = cos x ,贝U f(x)在区间(一汽 0]上不是单调函数,且函数值 f(x)€ [ — 1, 1];•••函数f(x)不是单调函数,也不是周期函数,其值域为[—1,+^ ).13. C [解析]因为 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,所以 f(1) + g(1) = f( — 1) — g(— 1)= (— 1) + (— 1) + 1= 1. 14. C [解析]由于偶函数的绝对值还是偶函数,一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数,故正确选项为 C.15.(— 1, 3)[解析]根据偶函数的性质,易知 f(x)>0的解集为(—2, 2),若f(x — 1)>0,则—2<x — 1<2,解得 —1<x<3.16. (— ^, 2][解析]f(x)= cos 2x + as in x =— 2si n x + asi n x + 1,令 si n x = t ,贝 U f(x) = — 2t + at + 1•因为 x € 時,n ,所以 t € g, 1 ,所以 f(x) = — 2t 2+ at + 1, t € £, 1 J 因为 f(x)= cos 2x + asin x 在区间 肓,j 是减函数, 所以f(x) = — 2t 2+ at + 1在区间1, 1上是减函数,又对称轴为 x =罗,•学2,所以a € ( — ^, 2].17. B [解析]由函数y = log a x 的图像过点(3, 1),得a = 3. 选项A 中的函数为y = 3,则其函数图像不正确;选项的函数为y = (— x)3,则其函数图像不正确;选项 D 中的函数为y = log 3(— x),则其函数图像不正确.18.A[解析]g(1) = a — 1,由 f [g(1)] = 1,得 5|a "= 1,所以 |a — 1|= 0,故 a = 1.19. C [解析]因为 0<a = 2 — 3<1 , b = Iog 2§<0, c = log 刃>log^ = X 所以 c>a>b.20. C [解析]根据已知得,集合 A = {x|— 1v x v 3}, B = {y|1< y < 4},所以 A n B = {x|1<x v 3}.故选 C.1 121. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y , ln(x 2 +1)>ln(y 2 + 1), 定正确,故选D.22.B [解析]由于f(x + y) = f(x)f(y),故排除选项 A , C.又f(x)= *为单调递减函数,所以排除选项D.__ 1 1 1 ___________________________________________________________23. ,10 [解析]由 4a = 2,得 a = ^,代入 lg x = a ,得 lg x = p 那么 x = 10? = . 10.24. D [解析]因为 a x v a y (0v a v 1),所以 x >y ,所以 sin x >sin y ,ln(x 2+1)>In(y 2 + 1),尹+门 定正确,故选D.X> 0,解得 1故选C.x > 2或x v ?.B 中的函数为y = x 3,则其函数图像正确;选项25. C [解析]根据题意得, 爲 2—1> 0,526. 50 [解析]本题考查了等比数列以及对数的运算性质••••{a n }为等比数列,且 a io a ii + a g a i2= 2e ,55二 a i°a ii + a g a i2=2a i°a ii = 2e ,二 a i°a ii = e ,• • In a i + In a ?+…+ In a 20=In (a i a 2 …a 2o )= In (a io a ii/0 = In (e)" = In e'° = 50.” —「,1111 11 * 才,27. C [解析]因为 0<a = 2-3<1 , b = Iog 2§<0, c = log刃'log^ =1,所以 c>a>b.28. D [解析]要使f(x)单调递增,需有宀4>°,解得x<-2. x<0,29. D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选D.1 2 2 2 2 12 2231.B [解析]因为当 x >0 时,f(x) = q (|x -a |+ |x — 2a|-3a ),所以当 0W x < a 时,f(x) = ^(a - x + 2a — x — 3a ) =-x ;当 a 2<x<2a 2 时,f(x) = 1(x - a 2+ 2a 2-x - 3a 2) = - a 2; 当 x >2a 2时,f(x) = *(x — a 2+ x — 2a 2— 3a 2) = x — 3a 2.x , 0W x < a 2,22小2—a , a <x<2a ,x 3a , x — 2a .30.— 14,所以当[解析]f(x) = Iog 2 x • log 2(2x)=1 4.1^Iog 2 x • 2log 2(2x) = Iog 2x • (1 + log 2X )= (log 2x)+ log 2x = T f —综上,f(x)=x =,函数f(x)取得最小值- W *■/.故选 B.32. B [解析]画出函数f(x)的图像,如图所示.若方程f(x) = g(x)有两个不相等的实数,则函数 f(x), g(x)有两1个交点,则k > ,且k v 1.故选B.33.D [解析]只有选项D 符合,此时0<a<1,幕函数f(x)在(0,+^ )上为增函数,且当x € (0, 1)时,f(x)的 图像在直线y = x 的上方,对数函数 g(x)在(0,+^ )上为减函数,故选 D. 34. B [解析]依题意,设存在 P(- m , n)在f(x)的图像上,贝UQ(m , n)在g(x)的图像上,则有 m 2+ e m —-=m 2 + ln(m + a),解得 m + a = ee _m — 3,即卩 a = ee _m —?— m(m >0),可得 a € (— a, e).35. (0, 1) U (9,+a )[解析]在同一坐标系内分别作出y = f(x)与y = a|x — 1|的图像如图所示.当y = a|x —1|r2—ax + a =一 x 一3x , 2 2 2 七 整理得 x 2+ (3 — a)x + a = 0,则△ = (3 — a)2— 4a = a 2— 10a + 9 = 0,a>0,36. C [解析]由 f( — 1) = f( — 2) = f( — 3)得? f = 6, 则 f(x)= x 3+ 6x 2 + 11x + c ,而 0<f(— 1)w 3,故 0< — 6+ c < 3, b = 11, 37. D [解析]设年平均增长率为 x ,则有(1 + p)(1 + q)= (1 + x)2,解得x = , (1 + p )( 1 + q )— 1.与y = f(x)的图像相切时,由—1 + a — b + c =— 8 + 4a — 2b + c ,—8 + 4a — 2b + c =— 27+ 9a — 3b + c—7+ 3a — b = 0, 19 — 5a + b = 0 6<c W 9,故选 C.=0.联立厂 125a 一 5c = 2,75a + c = 0,/ =盍,解得故该三次函数的解析式为_丄3 3 y= 125x 一 5x38. A [解析]设该三次函数的解析式为y= ax3+ bx2+ cx + d•因为函数的图像经过点(0, 0),所以d= 0,所以y = ax3+ bx2 + cx.又函数过点(一5, 2), (5,—2),则该函数是奇函数,故b = 0,所以y = ax3+ cx,代入点(一5, 2) 得—125a —5c= 2•又由该函数的图像在点(—5, 2)处的切线平行于x轴,y'= 3ax2+ c,得当x=—5时,y'= 75a + c_ 5x40.y =- 5x + 3 [解析]本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法•因为 y=_ 5e _,所以切线的斜率 k =_ 5e 0=_ 5,所以切线方程是:y — 3 =_ 5(x _ 0),即 y =— 5x + 3.一 x41.(— In 2, 2)[解析]设点P 的坐标为(x o , y o ), y '=— e .又切线平行于直线2x + y + 1 = 0,所以—e _x o =_ 2,可得x o =_ In 2,此时y = 2,所以点P 的坐标为(一In 2 , 2).—5x (x + 2)42. ----------------------------------------------------------- 解:(1)当 b = 4 时,f' x)= ,由 f 'x)= 0,得 x =_ 2 或 x = 0.\1 — 2x所以b 的取值范围为(_R, £] 43. C [解析]因为y'= (xe x 1) = e x 1 + xe x 1,所以 y = xe x1在点(1, 1)处的导数是 y '=l= e 11+ e 11=2,故曲线y = xe x —1在点(1, 1)处的切线斜率是 2.144. D [解析]y = a _石,根据已知得,当x = 0时,y ' = 2,代入解得a = 3. 45. C [解析]当a = 0时,f(x)=_ 3x 2 + 1,存在两个零点,不符合题意,故 a 丰0.由 f 'x(= 3ax 2— 6x = 0,得 x = 0 或 x = 2 a若a>0,则f(x)极大值=f(0) = 1>0,此时函数f(x)一定存在小于零的零点,不符合题意. 综上可知,实数a 的取值范围为(一a, — 2). 246. -2 [解析]因为函数y = In x 的图像与函数y = e x 的图像关于正方形的对角线所在直线 y = x 对称,则图中的e两块阴影部分的面积为eS = 2 e ln xdx = 2(xln x — x)|1 = 2[(eln e — e)_ (In 1 — 1)] = 2,*12 故根据几何概型的概率公式得,该粒黄豆落到阴影部分的概率P =与e47.C [解析]由题意,要满足f(x) ,所以当x € (―汽―2)时,f'x)<0, f(x)单调递减;当x € (— 2, 0)时,f 'x)>0, f(x)单调递增;当f'x)<0, f(x)单调递减,故f(x)在x =_ 2处取得极小值f(— 2) = 0,在x = 0处取得极大值 —x[5x +( 3b — 2) ] 一”’ _ f 11, 一 x (2)f'x)= f(0) = 4..1 — 2x 依题意当x € 0, 3时,有,易知当x €卩舟”产瓦<0,5 5x + (3b — 2)< 0,从而-+ (3b _ 2)< 0,得3只需 若a<0,则函数f(x)的极大值点为 x = 0,且 f(x) 极大值 =f(0) = 1,极小值点为2 口 x =:,且f(x)极小值=f2 a 2— 42 = 丁,此时2a — 4 >0, a ,即可解得 a< —2;g(x)是区间[—1, 1]上的正交函数,即需满足11 f(x)g(x) dx = 0.* -1①f(x)g(x) dx= sin^xcos^xdx =打1 sinxdx= (一*cos x 丿_ 1 = 0,故第①组是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1 '-1②d f(x)g(x) dx= d (x+ 1)(x —1)dx =〒—x —1 = _彳工0,故第②组不是区间[—1, 1]上的正交函数;'_ 1 ' _ 1418③f f(x)g(x) dx = f x • x 2dx =竽1= 0,故第③组是区间[—1,1]上的正交函数.,—1 ,— 1 综上,是区间[—1, 1]上的正交函数的组数是 2.故选C. 2 n 2 n 2 n[解析]因为 / 丁0f(x) dx = 0,即 / —0f(x) dx =— cos(x — ©才0=—cos5 n x = ~6-是函数f(x)图像的一条对称轴.=x(x>0).48. A49. B[解析]f f(x)dx =「■ 0■ 0+ 2f (x ) dx dx =1 3.50. D [解析]直线y = 4x 与曲线y = x 3在第一象限的交点坐标是(2, 8),所以两者围成的封闭图形的面积为 3(4x — x )dx =2x 2—步4 ; 0 = 4,故选 D.51 . C [解析]J (2x + e x )dx = (x 2 + e x )J = (12+ e 1)— (02 + e 0)= e.” 052. Ad yd I y[解析]f(— x)= ln(1 — x)— ln(1 + x) = In ~ =— ln =— [ln (1 + x )— ln (1 — x )]1 + x 1 — x2x=—f(x),故①正确;当 x € ( — 1, 1)时,1+2€ (— 1, 1),且 fI I .X. .1 + x 2 + 2x . =ln 2 = ln 1 + x 2 — 2x由①知,f(x)为奇函数,所以|f(x)|为偶函数,则只需判断当x € [0 , 1)时,f(x)与2x 的大小关系即可.记 g(x)= f(x) — 2x , 0 < x v 1,彳 + x 2 1 + x 1+x = 2ln L = 2[ln(1 + x) — ln(1 - x)] = 2f(x),故②正确;即 g(x)= ln(1 + x)— ln(1 — x)— 2x , 0< x<1 , g ' (x)= — + 丄—2=-^, 0< x v 1.1 + x 1 — x 1 — x 即g(x)在[0, 1)上为增函数,且g(0) = 0,所以g(x)> 0,1),于是|f(x)| >2|x|正确.综上可知,①②③都为真命题,故选A.当0 < x v 1时, 即 f(x) — 2x >0,g'x) > 0,x € [0,53. B [解析] 依题意, m 2+ In (m + a),解得 m + a = 设存在 P(— m , n)在f(x)的图像上,贝U Q(m , n)在g(x)的图像上,则有 —1 —1ee m — 2,即 a = ee m —?— m(m >0),可得 a € (— 8, m 2+ e -m —壬.e).54. (1) .x (2)x(或填(1)k 1 .x ; (2)k 2x ,其中 k 1, k ?为正常数) [解析]设 A(a , f(a)), B(b ,— f(b)), C(c , 0),则此三点共线:0 — f (a ) = 0+ f (b ) 即 c — a c— b ab — a Jab — bb>0,所以化简得f ) = f#,故可以选择f(x) = Vx(x>0); 0| f (b),因为a>0, b>0,所以化简得 2ab ,—b a + b(1)依题意,因为a>0. ⑵依题意,........ 需c —迪则 0―f (a )c= a + b ‘ 则 2ab a —a a + b0— f (a ) 0+ f (b ) f (a ) _f (b ) a =故可以选择f(x)cos © = 0,可取 ©?+ 仔:f ( x ) 1 1 1 =Q + 2' f(x)dx ,得'f(x)dx = ■ 0 ■ 055. B [解析]不妨设0 w y<x w 1.1 ill当 x — y < 2时,f(x) — f(y)l<2lx — y|=2(x — y)w 4.1 1 当 x — y>2时,|f(x) — f(y)|= |f(x) — f(1) — (f(y) — f(0))| w |f(x) — f(1)| + |f(y) — f(0)|<111 1 1 斗 1|x — 1|+ 2|y — 0|= —2(x — y)+ 2<4.故 k min — 4.56.①③④ [解析]若f(x)€ A ,则f(x)的值域为R ,于是,对任意的b € R ,一定存在a € D ,使得f(a) = b ,故①正确.取函数f(x)= x( — 1 v x v 1),其值域为(—1, 1),于是,存在M = 1,使得f(x)的值域包含于[—M , M ] = [ — 1 , 1], 但此时f(x)没有最大值和最小值,故②错误.当f(x) € A 时,由①可知,对任意的b € R ,存在a € D ,使得f(a)= b ,所以,当g(x) € B 时,对于函数f(x) + g(x), 如果存在一个正数M ,使得f(x) + g(x)的值域包含于[—M , M ],那么对于该区间外的某一个b °€ R ,一定存在一个a 0 € D ,使得 f(a °)=b — g(a 0),即卩 f(a °) + g(a °) = b °?[ — M , M ],故③正确.x对于f(x) = aln(x + 2) + 2 , 1 (x >— 2),当a >0或a v 0时,函数f(x)都没有最大值.要使得函数f(x)有最大值,x只有 a = 0,此时 f(x) = x ?+ 1 (x >— 2).-1111 一易知f(x) € — 2, 2,,所以存在正数 M = 2,使得f(x) € [ — M , M ],故④正确.1 I 3= §sin血 2n X 99 -sin 2n X 器=58.(―汽 2][解析]函数f(x)的图像如图所示,令t = f(a),则f(t )w 2,由图像知t >— 2,所以f(a)>— 2,则 a w 2.\ y t1\)■=-2——\i : 2 - Xx只有 a = 0,此时 f(x) = T(x >— 2).° -仁2©9丿(99 992=992= 1;对于 i 2, 2100X 98 99 — 1h<1.2 9999 由于2」——L 丄仁译 9999 =1 , 2,…,99),故-丄, 250 (98+ 0) —扁丿 + 百丿=992|100— 2i|(i =1,2,…,99),故 I 2=992X 2X 57. B [解析]对于11,由于sin 2 n X 99 — sin 2n X 2nX 99 — sin 2n X …+ 1 2sin [2 n X 2sin 2 n X4>1.故丨2<11<13,故选 B.x + 1。
2014年高考理科数学全国卷2(含详细答案)
数学试卷 第1页(共42页) 数学试卷 第2页(共42页) 数学试卷 第3页(共42页)绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试(全国新课标卷2)理科数学使用地区:海南、宁夏、黑龙江、吉林、新疆、云南、内蒙古、青海、贵州、甘肃、西藏注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上.2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效.4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合2{|(1)4,}M x x x =-<∈R ,{1,0,1,2,3}N =-,则M N = ( )A .{0,1,2}B .{1,0,1,2}-C .{1,0,2,3}-D .{0,1,2,3} 2.设复数z 满足(1i)2i z -=,则z =( )A .1i -+B .1i --C .1i +D .1i -3.等比数列{}n a 的前n 项和为n S .已知32110S a a =+,59a =,则1a =( )A .13B .13-C .19D .19-4.已知m ,n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β.直线l 满足l m ⊥,l ⊥n ,l α⊄,l β⊄,则( )A .αβ∥且l α∥B .αβ∥且l β⊥C .α与β相交,且交线垂直于lD .α与β相交,且交线平行于l5.已知5(1)(1)ax x ++的展开式中的2x 的系数为5,则a =( )A .4-B .3-C .2-D .1-6.执行如图的程序框图,如果输入的10N =,则输出的S = ( ) A .11112310++++B .11112!310++++!!C .11112311++++ D .11112311++++!!!7.一个四面体的顶点在空间直角坐标系O xyz -中的坐标分别是(1,0,1),(1,1,0),(0,1,1),(0,0,0),画该四面体三视图中的正视图时,以zOx 平面为投影面,则得到的正视图可以为 ( )8.设3log 6a =,5log 10b =,7log 14c =,则( )A .c b a >>B .b a c >>C .a c b >>D .a b c >>9.已知0a >,x ,y 满足约束条件1,3,(3).x x y y a x ⎧⎪+⎨⎪-⎩≥≤≥若2z x y =+的最小值为1,则a = ( )A .14B .12C .1D .210.已知函数32()f x x ax bx c =+++,下列结论中错误的是( )A .0x ∃∈R ,0()0f x =B .函数()y f x =的图象是中心对称图形C .若0x 是()f x 的极小值点,则()f x 在区间0(,)x -∞上单调递减D .若0x 是()f x 的极值点,则0()0f x '=11.设抛物线C :22(0)y px p =>的焦点为F ,点M 在C 上,||5MF =.若以MF 为直径的圆过点(0,2),则C 的方程为( )A .24y x =或28y x =B .22y x =或28y x =C .24y x =或216y x =D .22y x =或216y x =12.已知点(1,0)A -,(1,0)B ,(0,1)C ,直线(0)y ax b a =+>将ABC △分割为面积相等的两部分,则b 的取值范围是( )A .(0,1) B .1(1)2C .1(1]3-D .11[,)32第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求作答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.已知正方形ABCD 的边长为2,E 为CD 的中点,则AE BD =________. 14.从n 个正整数1,2,,n 中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为114,则n =________.15.设θ为第二象限角,若π1tan()42θ+=,则sin cos θθ+=________. 16.等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知100S =,1525S =,则n nS 的最小值为________.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC △在内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知cos sin a b C c B =+.(Ⅰ)求B ;(Ⅱ)若2b =,求ABC △面积的最大值.--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------姓名________________ 准考证号_____________数学试卷 第4页(共42页)数学试卷 第5页(共42页) 数学试卷 第6页(共42页)18.(本小题满分12分)如图,直棱柱111ABC A B C -中,D ,E 分别是AB ,1BB 的中点,1AA AC CB ==. (Ⅰ)证明:1BC ∥平面1A CD ;(Ⅱ)求二面角1D ACE --的正弦值.19.(本小题满分12分)经销商经销某种农产品,在一个销售季度内,每售出1t 该产品获利润500元,未售出的产品,每1t 亏损300元.根据历史资料,得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图,如图所示.经销商为下一个销售季度购进了130t 该农产品.以X (单位:t ,100150X ≤≤)表示下一个销售季度内的市场需求量,T (单位:元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润. (Ⅰ)将T 表示为X 的函数;(Ⅱ)根据直方图估计利润T 不少于57 000元的概率;(Ⅲ)在直方图的需求量分组中,以各组的区间中点值代表该组的各个值,并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如:若需求量[100,110)X ∈,则取105X =,且105X =的概率等于需求量落入[100,110)的频率),利润T 的数学期望.20.(本小题满分12分) 平面直角坐标系xOy 中,过椭圆M :22221(0)x y a b a b+=>>右焦点的直线0x y +交M 于A ,B 两点,P 为AB 的中点,且OP 的斜率为12.(Ⅰ)求M 的方程;(Ⅱ)C ,D 为M 上的两点,若四边形ABCD 的对角线CD AD ⊥,求四边形ABCD 面积的最大值.21.(本小题满分12分)已知函数()e ln()xf x x m =-+.(Ⅰ)设0x =是()f x 的极值点,求m ,并讨论()f x 的单调性; (Ⅱ)当2m ≤时,证明:()0f x >.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按做的第一题积分.作答时请写清题号.22.(本小题满分10分)选修4—1:几何证明选讲如图,CD 为ABC △外接圆的切线,AB 的延长线交直线CD 于点D ,E ,F 分别为弦AB 与弦AC 上的点,且BC AE DC AF =,B ,E ,F ,C 四点共圆.(Ⅰ)证明:CA 是ABC △外接圆的直径;(Ⅱ)若DB BE EA ==,求过B ,E ,F ,C 四点的圆的面积与ABC △外接圆面积的比值.23.(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程已知动点P ,Q 都在曲线C :2cos ,2sin x t y t =⎧⎨=⎩(t 为参数)上,对应参数分别为=t α与=2t α(02π)α<<,M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.24.(本小题满分10分)选修4—5:不等式选讲设a ,b ,c 均为正数,且1a b c ++=.证明: (Ⅰ)13ab bc ca ++≤;(Ⅱ)2221a b c b c a++≥.0,M N={1,的公共元素,即可确定出两集合的交集.3 / 14;;10⨯⨯,110!S++,【解析】如图所示,该四面体在空间直角坐标系O-xyz的图象为下图:则它在平面zOx上的投影即正视,故选A.4225 / 14.直线226则1(),2AE=,2(2,BD=-所以2AE BD=.7 / 1482为坐标原点,CA的方向为,(1,1,0CD=,(0,2,1CE=,2,0,2(CA=设,(,n x y z=10,0,n CDn CA⎧=⎪⎨=⎪⎩即0,+20.z=⎧⎨=可取1,(,11n=--同理,设m是平面10,0,m CEm CA⎧=⎪⎨=⎪⎩可取2,1(,m=-3,3||||n mm nn m<>==,故6,3m n<>=D-A C-E的正弦值为3(步骤4)为坐标原点,CA的方向为,,(,n x y z=CD的法向量,同理,设3,3||||n mm nn m<>==,故6sin,m n<>=【考点】直线与平面的判定,空间直角坐标系,空间向量及其运算.9 / 141086AB=|||96.AB CD即可得到关于|||【考点】椭圆的方程、椭圆的简单几何性质、点差法的应用和直线与椭圆的位置关系.11 / 14=DB BA DB223==DA BDC DB D12DB BA DB=2【考点】弦切角,圆内接四边形的性质.x=⎧14。
2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数
2014年高考数学(理)真题分类汇编:三角函数C1 角的概念及任意角的三角函数 6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1A BC D 6.CC2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4,所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .17.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34,所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C3 三角函数的图象与性质9.[2014·辽宁卷] 将函数y =3sin ⎝⎛⎭⎫2x +π3的图像向右平移π2个单位长度,所得图像对应的函数( )A .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递减B .在区间⎣⎡⎦⎤π12,7π12上单调递增C .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递减D .在区间⎣⎡⎦⎤-π6,π3上单调递增9.B3.[2014·全国卷] 设a =sin 33°,b =cos 55°,c =tan 35°,则( ) A .a >b >c B .b >c >a C .c >b >a D .c >a >b 3.C6.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 如图1-1,圆O 的半径为1,A 是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x ),则y =f (x )在[0,π]上的图像大致为( )图1-1C D 6.C 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.117.[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C4 函数sin()y A x ωϕ=+的图象与性质3.[2014·四川卷] 为了得到函数y =sin (2x +1)的图像,只需把函数y =sin 2x 的图像上所有的点( )A .向左平行移动12个单位长度B .向右平行移动12个单位长度C .向左平行移动1个单位长度D .向右平行移动1个单位长度 3.A11.[2014·安徽卷] 若将函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4的图像向右平移φ个单位,所得图像关于y 轴对称,则φ的最小正值是________.11.3π814.[2014·北京卷] 设函数f (x )=A sin(ωx +φ)(A ,ω,φ是常数,A >0,ω>0).若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6,π2上具有单调性,且f ⎝⎛⎭⎫π2=f ⎝⎛⎭⎫2π3=-f ⎝⎛⎭⎫π6,则f (x )的最小正周期为________.14.π16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x=22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1. (2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.12.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设函数f (x )=3sinπxm,若存在f (x )的极值点x 0满足x 20+[f (x 0)]2<m 2,则m 的取值范围是( )A .(-∞,-6)∪(6,+∞)B .(-∞,-4)∪(4,+∞)C .(-∞,-2)∪(2,+∞)D .(-∞,-1)∪(1,+∞) 12.C 16.,[2014·山东卷] 已知向量a =(m ,cos 2x ),b =(sin 2x ,n ),函数f (x )=a ·b ,且y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2. (1)求m ,n 的值;(2)将y =f (x )的图像向左平移φ(0<φ<π)个单位后得到函数y =g (x )的图像,若y =g (x )图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1,求y =g (x )的单调递增区间.16.解:(1)由题意知,f (x )==m sin 2x +n cos 2x .因为y =f (x )的图像过点⎝⎛⎭⎫π12,3和点⎝⎛⎭⎫2π3,-2,所以⎩⎨⎧3=m sin π6+n cos π6,-2=m sin 4π3+n cos 4π3,即⎩⎨⎧3=12m +32n ,-2=-32m -12n ,解得m =3,n =1.(2)由(1)知f (x )=3sin 2x +cos 2x =2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π6.由题意知,g (x )=f (x +φ)=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +2φ+π6.设y =g (x )的图像上符合题意的最高点为(x 0,2).由题意知,x 20+1=1,所以x 0=0,即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2). 将其代入y =g (x )得,sin ⎝⎛⎭⎫2φ+π6=1.因为0<φ<π,所以φ=π6.因此,g (x )=2sin ⎝⎛⎭⎫2x +π2=2cos 2x .由2k π-π≤2x ≤2k π,k ∈Z 得k π-π2≤x ≤k π,k ∈Z ,所以函数y =g (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-π2,k π,k ∈Z .2.[2014·陕西卷] 函数f (x )=cos ⎝⎛⎭⎫2x -π6的最小正周期是( )A.π2 B .π C .2π D .4π 2.B16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.4.[2014·浙江卷] 为了得到函数y =sin 3x +cos 3x 的图像,可以将函数y =2cos 3x 的图像( )A .向右平移π4个单位B .向左平移π4个单位C .向右平移π12个单位D .向左平移π12个单位4.C17.,,[2014·重庆卷] 已知函数f (x )=3sin(ωx +φ)⎝⎛⎭⎫ω>0,-π2≤φ<π2的图像关于直线x =π3对称,且图像上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫α2=34⎝⎛⎭⎫π6<α<2π3,求cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2的值.17.解:(1)因为f (x )的图像上相邻两个最高点的距离为π,所以ƒ(x )的最小正周期T =π,从而ω=2πT=2.又因为f (x )的图像关于直线x =π3对称,所以2×π3+φ=k π+π2,k =0,±1,±2,….因为-π2≤φ<π2,所以φ=-π6.(2)由(1)得ƒ⎝⎛⎭⎫α2=3sin(2×α2-π6)=34, 所以sin ⎝⎛⎭⎫α-π6=14.由π6<α<2π3得0<α-π6<π2, 所以cos ⎝⎛⎭⎫α-π6=1-sin 2⎝⎛⎭⎫α-π6=1-⎝⎛⎭⎫142=154.因此cos ⎝⎛⎭⎫α+3π2=sin α=sin ⎣⎡⎦⎤(α-π6)+π6=sin ⎝⎛⎭⎫α-π6cos π6+cos ⎝⎛⎭⎫α-π6sin π6=14×32+154×12 =3+158.C5 两角和与差的正弦余弦正切 14.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 函数f (x )=sin(x +2φ)-2sin φcos(x +φ)的最大值为________.14.116.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎭⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.7.[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l 1,l 2,l 3,l 4满足l 1⊥l 2,l 2⊥l 3,l 3⊥l 4,则下列结论一定正确的是( )A .l 1⊥l 4B .l 1∥l 4C .l 1与l 4既不垂直也不平行D .l 1与l 4的位置关系不确定 7.D16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角, 因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79. 所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )] =-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°.8.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈⎝⎛⎭⎫0,π2,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,且tan α=1+sin βcos β,则( )A .3α-β=π2B .3α+β=π2C .2α-β=π2D .2α+β=π28.C13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.6016.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A-B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤24 10.AC6 二倍角公式 15.[2014·全国卷] 直线l 1和l 2是圆x 2+y 2=2的两条切线.若l 1与l 2的交点为(1,3),则l 1与l 2的夹角的正切值等于________.15.4316.[2014·全国卷] 若函数f (x )=cos 2x +a sin x 在区间⎝⎛⎭⎫π6,π2是减函数,则a 的取值范围是________.16.(-∞,2]16.[2014·福建卷] 已知函数f (x )=cos x (sin x +cos x )-12.(1)若0<α<π2,且sin α=22,求f (α)的值;(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间.16.解:方法一:(1)因为0<α<π2,sin α=22,所以cos α=22.所以f (α)=22×⎝⎛⎭⎫22+22-12=12. (2)因为f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4, 所以T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .方法二:f (x )=sin x cos x +cos 2x -12=12sin 2x +1+cos 2x 2-12 =12sin 2x +12cos 2x =22sin ⎝⎛⎭⎫2x +π4. (1)因为0<α<π2,sin α=22,所以α=π4,从而f (α)=22sin ⎝⎛⎭⎫2α+π4=22sin 3π4=12. (2)T =2π2=π.由2k π-π2≤2x +π4≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-3π8≤x ≤k π+π8,k ∈Z .所以f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π-3π8,k π+π8,k ∈Z .16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52. 15.[2014·天津卷] 已知函数f (x )=cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x +π3-3cos 2x +34,x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值和最小值.15.解:(1)由已知,有f (x )=cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x +32cos x -3cos 2x +34=12sin x ·cos x -32cos 2x +34 =14sin 2x -34(1+cos 2x )+34 =14sin 2x -34cos 2x =12sin ⎝⎛⎭⎫2x -π3, 所以f (x )的最小正周期T =2π2=π.(2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,-π12上是减函数,在区间⎣⎡⎦⎤-π12,π4上是增函数,f ⎝⎛⎭⎫-π4=-14,f ⎝⎛⎭⎫-π12=-12,f ⎝⎛⎭⎫π4=14, 所以函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤-π4,π4上的最大值为14,最小值为-12.C7 三角函数的求值化简与证明16.[2014·广东卷] 已知函数f (x )=A sin ⎝⎛⎭⎫x +π4,x ∈R ,且f ⎝⎛⎭⎫5π12=32.(1)求A 的值;(2)若f (θ)+f (-θ)=32,θ∈⎝⎛⎭⎫0,π2,求f ⎝⎛⎭⎫3π4-θ.17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温.16.[2014·江西卷] 已知函数f (x )=sin(x +θ)+a cos(x +2θ),其中a ∈R ,θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2.(1)当a =2,θ=π4时,求f (x )在区间[0,π]上的最大值与最小值;(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,求a ,θ的值.16.解:(1)f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫x +π4+2cos ⎝⎛⎭⎫x +π2=22(sin x +cos x )-2sin x =22cos x -22sin x =sin ⎝⎛⎭⎫π4-x . 因为x ∈[0,π],所以π4-x ∈⎣⎡⎦⎤-3π4,π4,故f (x )在区间[0,π]上的最大值为22,最小值为-1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧f ⎝⎛⎭⎫π2=0,f (π)=1,得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ(1-2a sin θ)=0,2a sin 2θ-sin θ-a =1. 又θ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2,知cos θ≠0,所以⎩⎪⎨⎪⎧1-2a sin θ=0,(2a sin θ-1)sin θ-a =1,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-1,θ=-π6.16.,,,[2014·四川卷] 已知函数f (x )=sin ⎝⎛⎭⎫3x +π4.(1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,f ⎝⎛⎭⎫α3=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4cos 2α,求cos α-sin α的值.16.解:(1)因为函数y =sin x 的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π2+2k π,π2+2k π,k ∈Z ,由-π2+2k π≤3x +π4≤π2+2k π,k ∈Z ,得-π4+2k π3≤x ≤π12+2k π3,k ∈Z .所以,函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤-π4+2k π3,π12+2k π3,k ∈Z . (2)由已知,得sin ⎝⎛⎭⎫α+π4=45cos ⎝⎛⎭⎫α+π4(cos 2α-sin 2α),所以sin αcos π4+cos αsin π4=45⎝⎛⎭⎫cos α cos π4-sin αsin π4(cos 2 α-sin 2 α),即sin α+cos α=45(cos α-sin α)2(sin α+cos α).当sin α+cos α=0时,由α是第二象限角, 得α=3π4+2k π,k ∈Z ,此时,cos α-sin α=- 2.当sin α+cos α≠0时,(cos α-sin α)2=54.由α是第二象限角,得cos α-sin α<0,此时cos α-sin α=-52. 综上所述,cos α-sin α=-2或-52.C8 解三角形12.[2014·天津卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .已知b -c =14a ,2sin B =3sin C ,则cos A 的值为________.12.-1416.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]12.[2014·广东卷] 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别为a ,b ,c .已知b cos C +c cos B =2b ,则ab=________.12.216.[2014·安徽卷] 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别是a ,b ,c ,且b =3,c =1,A =2B .(1)求a 的值;(2)求sin ⎝⎛⎭⎫A +π4的值.16.解: (1)因为A =2B ,所以sin A =sin 2B =2sin B cos B ,由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =sin A 2sin B ,所以由正弦定理可得a =2b ·a 2+c 2-b 22ac. 因为b =3,c =1,所以a 2=12,即a =2 3. (2)由余弦定理得cos A =b 2+c 2-a 22bc =9+1-126=-13.因为0<A <π,所以sin A =1-cos 2A =1-19=2 23. 故sin ⎝⎛⎫A +π4=sin A cos π4+cos A sin π4=2 23×22+⎝⎛⎭⎫-13×22=4-26.15.[2014·北京卷] 如图1-2,在△ABC 中,∠B =π3,AB =8,点D 在BC 边上,且CD=2,cos ∠ADC =17.(1)求sin ∠BAD ; (2)求BD ,AC 的长.图1-215.解:(1) 在△ADC 中,因为cos ∠ADC =17,所以sin ∠ADC =4 37.所以sin ∠BAD =sin(∠ADC -∠B )=sin ∠ADC cos B -cos ∠ADC sin B =4 37×12-17×32=3 314. (2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD =AB ·sin ∠BADsin ∠ADB =8×33144 37=3.在△ABC 中,由余弦定理得 AC 2=AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =82+52-2×8×5×12=49,所以AC =7.12.[2014·福建卷] 在△ABC 中,A =60°,AC =4,BC =2 3,则△ABC 的面积等于________.12.2 3 18.[2014·湖南卷] 如图1-5ABCD 中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32. 在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 4.[2014·江西卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c .若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A .3 B.9 32 C.3 32 D .3 34.C17.[2014·辽宁卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a >c .已知BA →·BC→=2,cos B =13,b =3.求:(1)a 和c 的值; (2)cos(B -C )的值.17.解:(1)由BA →·BC →=2得c ·a ·cos B =2,又cos B =13,所以ac =6.由余弦定理,得a 2+c 2=b 2+2ac cos B , 又b =3,所以a 2+c 2=9+2×2=13. 解⎩⎪⎨⎪⎧ac =6,a 2+c 2=13,得⎩⎪⎨⎪⎧a =2,c =3或⎩⎪⎨⎪⎧a =3,c =2. 因为a >c ,所以a =3,c =2.(2)在△ABC 中,sin B =1-cos 2B =1-⎝⎛⎭⎫132=223.由正弦定理,得sin C =c b sin B =23·2 23= 4 29.因为a =b >c ,所以C 为锐角,因此cos C =1-sin 2C =1-⎝⎛⎭⎫4 292=79.所以cos(B -C )=cos B cos C +sin B sin C =13×79+2 23×4 29=2327.17. [2014·全国卷] △ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .已知3a cos C =2c cos A ,tan A =13,求B .17.解:由题设和正弦定理得 3sin A cos C =2sin C cos A , 故3tan A cos C =2sin C .因为tan A =13,所以cos C =2sin C ,所以tan C =12.所以tan B =tan[180°-(A +C )]=-tan(A +C ) =tan A +tan Ctan A tan C -1=-1,所以B =135°. 16.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ,b ,c 分别为△ABC 三个内角A ,B ,C 的对边,a =2,且(2+b )·(sin A -sin B )=(c -b )sin C ,则△ABC 面积的最大值为________.16. 34.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC =2,则AC =( )A .5 B. 5 C .2 D .1 4.B12.,[2014·山东卷] 在△ABC 中,已知AB →·AC →=tan A ,当A =π6时,△ABC 的面积为______.12.1616.,,[2014·陕西卷] △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c . (1)若a ,b ,c 成等差数列,证明:sin A +sin C =2sin(A +C ); (2)若a ,b ,c 成等比数列,求cos B 的最小值. 16.解:(1)∵a ,b ,c 成等差数列,∴a +c =2b . 由正弦定理得sin A +sin C =2sin B . ∵sin B =sin[π-(A +C )]=sin(A +C ), ∴sin A +sin C =2sin(A +C ).(2)∵a ,b ,c 成等比数列,∴b 2=ac . 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac ≥2ac -ac 2ac =12,当且仅当a =c 时等号成立, ∴cos B 的最小值为12.13.,[2014·四川卷] 如图1-3所示,从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ,C 的俯角分别为67°,30°,此时气球的高度是46 m ,则河流的宽度BC 约等于________m .(用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据:sin 67°≈0.92,cos 67°≈0.39,sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,3≈1.73)图1-313.60 18. [浙江卷] 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a ≠b ,c =3,cos 2A -cos 2B =3sin A cos A -3sin B cos B .(1)求角C 的大小;(2)若sin A =45,求△ABC 的面积.18.解:(1)由题意得1+cos 2A 2-1+cos 2B 2=32sin 2A -32sin 2B ,即32sin 2A -12cos 2A=32sin 2B -12cos 2B ,sin ⎝⎛⎭⎫2A -π6=sin ⎝⎛⎭⎫2B -π6. 由a ≠b ,得A ≠B ,又A +B ∈(0,π),得2A -π6+2B -π6=π,即A +B =2π3,所以C =π3.(2)由c =3,sin A =45,a sin A =c sin C ,得a =85.由a <c ,得A <C ,从而cos A =35,故sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =4+3 310.所以,△ABC 的面积为S =12ac sin B =8 3+1825.10.,[2014·重庆卷] 已知△ABC 的内角A ,B ,C 满足sin 2A +sin(A -B +C )=sin(C -A -B )+12,面积S 满足1≤S ≤2,记a ,b ,c 分别为A ,B ,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( )A .bc (b +c )>8B .ab (a +b )>16 2C .6≤abc ≤12D .12≤abc ≤2410.A [解析] 因为A +B +C =π,所以A +C =π-B ,C =π-(A +B ),所以由已知等式可得sin 2A +sin(π-2B )=sin[π-2(A +B )]+12,即sin 2A +sin 2B =sin 2(A +B )+12,所以sin[(A +B )+(A -B )]+sin[(A +B )-(A -B )]=sin 2(A +B )+12,所以2 sin(A +B )cos(A -B )=2sin(A +B )cos(A +B )+12,所以2sin(A +B )[cos(A -B )-cos(A +B )]=12,所以sin A sin B sin C =18.由1≤S ≤2,得1≤12bc sin A ≤2.由正弦定理得a =2R sin A ,b =2R sin B ,c =2R sin C ,所以1≤2R 2·sin A sin B sin C ≤2,所以1≤R 24≤2,即2≤R ≤2 2,所以bc (b +c )>abc =8R 3sinA sinB sinC =R 3≥8.C9 单元综合16.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.16.[-1,1]17.[2014·湖北卷] 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t (单位:h)的变化近似满足函数关系:f (t )=10-3cos π12t -sin π12t ,t ∈[0,24).(1)求实验室这一天的最大温差.(2)若要求实验室温度不高于11℃,则在哪段时间实验室需要降温?17.解:(1)因为f (t )=10-2⎝⎛⎭⎫32cos π12t +12sin π12t =10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,又0≤t <24,所以π3≤π12t +π3<7π3,-1≤sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3≤1.当t =2时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=1;当t =14时,sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3=-1.于是f (t )在[0,24)上取得的最大值是12,最小值是8.故实验室这一天的最高温度为12 ℃,最低温度为8 ℃,最大温差为4 ℃. (2)依题意,当f (t )>11时,实验室需要降温.由(1)得f (t )=10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3,故有10-2sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3>11,即sin ⎝⎛⎭⎫π12t +π3<-12.又0≤t <24,因此7π6<π12t +π3<11π6,即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温. 18.[2014·湖南卷] 如图1-5中,AD =1,CD =2,AC =7.(1)求cos ∠CAD 的值;(2)若cos ∠BAD =-714,sin ∠CBA =216,求BC 的长.18.解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得cos ∠CAD =AC 2+AD 2-CD 22AC ·AD,故由题设知,cos ∠CAD =7+1-427=277.(2)设∠BAC =α,则α=∠BAD -∠CAD .因为cos ∠CAD =277,cos ∠BAD =-714,所以sin ∠CAD =1-cos 2∠CAD = 1-⎝⎛⎭⎫2772=217, sin ∠BAD =1-cos 2∠BAD =1-⎝⎛⎭⎫-7142=32114.于是sin α=sin (∠BAD -∠CAD )=sin ∠BAD cos ∠CAD -cos ∠BAD sin ∠CAD=32114×277-⎝⎛⎭⎫-714×217=32.在△ABC 中,由正弦定理,得BC sin α=ACsin ∠CBA. 故BC =AC ·sin αsin ∠CBA=7×32216=3. 21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎭⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.21.[2014·辽宁卷] 已知函数f (x )=(cos x -x )(π+2x )-83(sin x +1),g (x )=3(x -π)cos x-4(1+sin x )ln ⎝⎛⎭⎫3-2xπ.证明:(1)存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0;(2)存在唯一x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0,且对(1)中的x 0,有x 0+x 1<π.21.证明:(1)当x ∈⎝⎛⎫0,π2时,f ′(x )=-(1+sin x )·(π+2x )-2x -23cos x <0,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫0,π2上为减函数.又f (0)=π-83>0,f ⎝⎛⎭⎫π2=-π2-163<0,所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使f (x 0)=0.(2)记函数h (x )=3(x -π)cos x 1+sin x-4ln ⎝⎛⎭⎫3-2πx ,x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π.令t =π-x ,则当x ∈⎣⎡⎦⎤π2,π时,t ∈⎣⎡⎦⎤0,π2.记u (t )=h (π-t )=3t cos t1+sin t -4 ln ⎝⎛⎭⎫1+2πt ,则u ′(t )=3f (t )(π+2t )(1+sin t ).由(1)得,当t ∈(0,x 0)时,u ′(t )>0,当t ∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2时,u ′(t )<0.故在(0,x 0)上u (t )是增函数,又u (0)=0,从而可知当t ∈(0,x 0]时,u (t )>0,所以u (t )在(0,x 0]上无零点.在⎝⎛⎭⎫x 0,π2上u (t )为减函数,由u (x 0)>0,u ⎝⎛⎭⎫π2=-4ln 2<0,知存在唯一t 1∈⎝⎛⎭⎫x 0,π2,使u (t 1)=0,故存在唯一的t 1∈⎝⎛⎭⎫0,π2,使u (t 1)=0.因此存在唯一的x 1=π-t 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使h (x 1)=h (π-t 1)=u (t 1)=0.因为当x ∈⎝⎛⎭⎫π2,π时,1+sin x >0,故g (x )=(1+sin x )h (x )与h (x )有相同的零点,所以存在唯一的x 1∈⎝⎛⎭⎫π2,π,使g (x 1)=0.因为x 1=π-t 1,t 1>x 0,所以x 0+x 1<π.。
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导数与定积分一. 选择题1.(2014 大纲理 7) 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于( ). A .2e B .e C .2 D .12.(2014 湖北理 6)若函数()(),f x g x 满足()()1d =01f x g x x -⎰,则称()(),f x g x 为区间[]1,1-上的一组正交函数,给出三组函数: ①()()11sin,cos 22f x xg x x ==;②()()1,1f x x g x x =+=-;③()()2,f x xg x x ==.其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是( ).A.0B.1C.2D.3 3.(2014 湖南理 9)已知函数()()sin f x x ϕ=-,且()230d 0f x x π=⎰则函数()f x 的图像的一条对称轴是( ).A.6x 5π=B.12x 7π=C.3x π=D.6x π= 4.(2014 辽宁理 11) 当[]2,1x ∈-时,不等式32430ax x x -++…恒成立,则实数a 的取值范围是( ).A .[]5,3--B .96,8⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C .[]6,2--D .[]4,3-- 5.(2014 山东理 8) 已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根,则实数k 的取值范围是( ).A.102⎛⎫ ⎪⎝⎭, B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭,C.()1,2D.()2+∞, 6.(2014 江西理 8)若()()122d f x x f x x =+⎰,则()1d f x x =⎰( ).A.1-B.13-C.13D.1 7.(2014 山东理 6)直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为( ).A.22B.24C.2D.48.(2014 陕西理 3) 定积分()12e d 0xx x +⎰的值为( ).A.e 2+B.e 1+C.eD.e 1-9.(2014 新课标1理11)已知函数()3231f x ax x =-+,若()f x 存在唯一的零点0x ,且00x >,则a 的取值范围是( ).A. ()2,+∞B. ()1,+∞C. (),2-∞-D. (),1-∞-10.(2014 新课标2理8)设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =,则a =( ).A.0B.1C.2D. 3 11.(2014 新课标2理12)设函数()sinxf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦,则m 的取值范围是( ). A.()(),66,-∞-+∞ B.()(),44,-∞-+∞ C.()(),22,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞二. 填空题1.(2014 广东理 10)曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为 .2.(2014 江苏理 11)在平面直角坐标系xOy 中,若曲线2by ax x=+(,a b 为常数)过点()2,5P -,且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行,则a b +的值是 . 3.(2014 江西理 13)若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=,则点P 的坐标是 .4.(2014 辽宁理 14)正方形的四个顶点()1,1A --,()1,1B -,()1,1C ,()1,1D -,分别在抛物线2y x =-和2y x =中,则质点落在阴影区域的概率是 .5.(2014 四川理 15)以A 表示值域为R 22x()x ϕ组成的集合:对于函数()x ϕ,存在一个正数M ,使得函数()x ϕ的值域包含于区间[],M M -.例如,当()31x x ϕ=,()2sin x x ϕ=时,()1x A ϕ∈,()2x B ϕ∈.现有如下命题:①设函数()f x 的定义域为D ,则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ,a D ∃∈,()f a b =”; ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值;③若函数()f x ,()g x 的定义域相同,且()f x A ∈,()g x B ∈,则()()f x g x B +∉; ④若函数()()2ln 21xf x a x x =+++()2,x a >-∈R 有最大值,则()f x B ∈. 其中的真命题有 .(写出所有真命题的序号)三.解答题1.(2014 安徽理 18)(本小题满分12分)设函数()()2311f x a x x x =++--,其中0a >.(1)讨论()f x 在其定义域上的单调性;(2)当[]0,1x ∈时,求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 2.(2014 北京理 18)(本小题13分) 已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡⎤=-∈⎢⎥⎣⎦, (1)求证:()0f x …; (2)若sin x a b x <<在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立,求a 的最大值与b 的最小值. 3.(2014 大纲理 22)(本小题满分12分)函数()()()ln 11axf x x a x a=+->+. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设()111,ln 1n n a a a +==+,求证:23+22n a n n <+…. 4.(2014 福建理 20)(本小题满分14分)已知函数()e xf x ax =-(a 为常数)的图像与y 轴交于点A ,曲线()y f x =在点A处的切线斜率为1-.(1)求a 的值及函数()f x 的极值; (2)证明:当0>x 时,2e xx <;(3)证明:对任意给定的正数c ,总存在0x ,使得当()∞+∈,0x x ,恒有2e xx c <.5.(2014 广东理 21)(本题14分)设函数()f x =,其中2k <-,(1)求函数()f x 的定义域D ;(用区间表示) (2)讨论()f x 在区间D 上的单调性;(3)若6k <-,求D 上满足条件()()1f x f >的x 的集合. 6.(2014 湖北理 22)(本小题满分14分) π为圆周率,e=2.71828为自然对数的底数. (1)求函数()ln xf x x=的单调区间; (2)求3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数中的最大数与最小数;(3)将3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数按从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 7.(2014 湖南理 22)已知常数0a >,函数()()2ln 12xf x ax x =+-+. (1)讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性;(2)若()f x 存在两个极值点12,x x ,且()()120f x f x +>,求a 的取值范围. 8.(2014 江苏理 19)已知函数()e e xxf x -=+,其中e 是自然对数的底数.(1)证明:()f x 是R 上的偶函数; (2)若关于x 的不等式()e1xmf x m -+-…在()0,+∞上恒成立,求实数m 的取值范围; (3)已知正数a 满足:存在[)01,x ∈+∞,使得()()30003f x a x x <-+成立.试比较1ea -与e 1a-的大小,并证明你的结论.9.(2014 江苏理 23)(本小题满分10 分)已知函数()0sin xf x x=()0x >,设()n f x 为()1n f x -的导数,*n ∈N . (1)求122222f f πππ⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值;(2)证明:对任意的*n ∈N ,等式14442n n nf f -πππ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭都成立. 10.(2014 江西理 18)(本小题满分12分)已知函数()(2f x x bx b=++()b ∈R .(1)当4b =时,求()f x 的极值;(2)若()f x 在区间10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,求b 的取值范围. 11.(2014 辽宁理 21)(本小题满分12分) 已知函数()()()()8cos 2sin 13f x x x x x =-π+-+,()()()23πcos 41sin ln 3x g x x x x ⎛⎫=--+- ⎪π⎝⎭.证明:(1)存在唯一00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使()00f x =; (2)存在唯一1,2x π⎛⎫∈π⎪⎝⎭,使()10g x =,且对(1)中的01x x +<π. 12.(2014 山东理 20)(本小题满分13分)设函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭(k 为常数,e 2.71828=是自然对数的底数)(1)当0k …时,求函数()f x 的单调区间;(2)若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点,求k 的取值范围. 13.(2014 陕西理 21)(本小题满分14分)设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=…,其中()f x '是()f x 的导函数. (1)()()()()()11,n n g x g x g x g g x +==,n +∈N ,求()n g x 的表达式; (2)若()()f x ag x …恒成立,求实数a 的取值范围;(3)设n +∈N ,比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小,并加以证明.14.(2014 四川理 21)已知函数()2e 1xf x ax bx =---,其中,a b ∈R ,e 2.71828=为自然对数的底数.(1)设()g x 是函数()f x 的导函数,求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值; (2)若()10f =,函数()f x 在区间()0,1内有零点,求a 的取值范围. 15.(2014 新课标1理21)(本小题满分12分)设函数()1e e ln x xb f x a x x-=+,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为()e 12y x =-+.(1)求,a b ; (2)证明:()1f x >.16.(2014 新课标2理21)(本小题满分12分) 已知函数()e e2xxf x x -=--.(1)讨论()f x 的单调性;(2)设()()()24g x f x bf x =-,当0x >时,()0g x >,求b 的最大值;(3)已知1.4142 1.4143<<,估计ln 2的近似值(精确到0.001). 17.(2014 浙江理 22)(本题满分14分)已知函数()()33f x x x a a =+-∈R .(1)若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为()(),M a m a ,求()()M a m a -; (2)设,b ∈R 若()24f x b +⎡⎤⎣⎦…对[]1,1-∈x 恒成立,求b a +3的取值范围.18.(2014 重庆理 20)本小题满分12分,(1)问4分,(2)问3分,(3)问5分) 已知函数()()22e e,,xxf x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数,且曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为4c -.(1)确定,a b 的值;(2)若3c =,判断()f x 的单调性; (3)若()f x 有极值,求c 的取值范围.。