2014年高考数学真题分类汇编理科-导数与定积分(理科)

导数与定积分
一. 选择题
1.（2014 大纲理 7） 曲线1e x y x -=在点()1,1处切线的斜率等于（ ）. A ．2e B ．e C ．2 D ．1
2.（2014 湖北理 6）若函数()(),f x g x 满足
()()1
d =01f x g x x -⎰，则称()(),f x g x 为区
间[]1,1-上的一组正交函数，给出三组函数： ①()()11sin
,cos 22
f x x
g x x ==；②()()
1,1f x x g x x =+=-；③()()2
,f x xg x x ==
.
其中为区间[]1,1-的正交函数的组数是（ ）.
A.0
B.1
C.2
D.3 3.（2014 湖南理 9）已知函数()()sin f x x ϕ=-，且()230
d 0f x x π
=⎰
则函数()f x 的图像
的一条对称轴是（ ）.
A.6x 5π=
B.12x 7π=
C.3x π=
D.6
x π= 4.（2014 辽宁理 11） 当[]2,1x ∈-时，不等式3
2
430ax x x -++…
恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）.
A ．[]5,3--
B ．96,8⎡
⎤
--
⎢⎥⎣
⎦
C ．[]6,2--
D ．[]4,3-- 5.(2014 山东理 8) 已知函数()21f x x =-+,()kx x g =.若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是（ ）.
A.102⎛
⎫ ⎪⎝⎭， B.112⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
C.()1,2
D.()2+∞， 6.（2014 江西理 8）若()()12
2
d f x x f x x =+⎰，则()1
d f x x =⎰（ ）.
A.1-
B.13-
C.1
3
D.1 7.（2014 山东理 6）直线x y 4=与曲线3y x =在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）.
A.22
B.24
C.2
D.4
8.（2014 陕西理 3） 定积分
()1
2e d 0x
x x +⎰的值为（ ）.
A.e 2+
B.e 1+
C.e
D.e 1-
9.（2014 新课标1理11）已知函数()3
2
31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且
00x >，则a 的取值范围是（ ）.
A. ()2,+∞
B. ()1,+∞
C. (),2-∞-
D. (),1-∞-
10.（2014 新课标2理8）设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（ ）.
A.0
B.1
C.2
D. 3 11.（2014 新课标2理12）设函数(
)sin
x
f x m
π=
.若存在()f x 的极值点0x 满足()2
22
00x f x m +<⎡⎤⎣⎦
，则m 的取值范围是（ ）. A.()(),66,-∞-+∞ B.()(),44,-∞-+∞ C.()
(),22,-∞-+∞ D.()(),11,-∞-+∞
二. 填空题
1.（2014 广东理 10）曲线5e 2x y -=+在点()0,3处的切线方程为 .
2.（2014 江苏理 11）在平面直角坐标系xOy 中，若曲线2
b
y ax x
=+
（,a b 为常数）过点()2,5P -，
且该曲线在点P 处的切线与直线7230x y ++=平行，则a b +的值是 ． 3.（2014 江西理 13）若曲线e x y -=上点P 处的切线平行于直线210x y ++=，则点P 的坐标是 .
4.（2014 辽宁理 14）正方形的四个顶点()1,1A --，()1,1B -，()1,1C ，()1,1D -，分别在抛物线2y x =-和2y x =
中，则质
点落在阴影区域的概率是 .
5.（2014 四川理 15）以A 表示值域为R 2
2x
()x ϕ组成的集合：对于函数()x ϕ，存在一个正数M ，使得函数()x ϕ的值域包含于区间
[],M M -.例如，当()31x x ϕ=，()2sin x x ϕ=时，()1x A ϕ∈，()2x B ϕ∈.现有如下命
题：
①设函数()f x 的定义域为D ，则“()f x A ∈”的充要条件是“b ∀∈R ，a D ∃∈，()f a b =”
； ②函数()f x B ∈的充要条件是()f x 有最大值和最小值；
③若函数()f x ，()g x 的定义域相同，且()f x A ∈，()g x B ∈，则()()f x g x B +∉； ④若函数()()2ln 21
x
f x a x x =++
+()2,x a >-∈R 有最大值，则()f x B ∈. 其中的真命题有 .（写出所有真命题的序号）
三.解答题
1.（2014 安徽理 18）（本小题满分12分）
设函数()()2
3
11f x a x x x =++--，其中0a >.
（1）讨论()f x 在其定义域上的单调性；
（2）当[]0,1x ∈时，求()f x 取得最大值和最小值时的x 的值. 2.（2014 北京理 18）（本小题13分） 已知函数()πcos sin ,0,2f x x x x x ⎡
⎤=-∈⎢⎥⎣
⎦
， （1）求证：()0f x …； （2）若sin x a b x <
<在π0,2⎛⎫
⎪⎝⎭
上恒成立，求a 的最大值与b 的最小值. 3.（2014 大纲理 22）（本小题满分12分）
函数()()()ln 11ax
f x x a x a
=+->+. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()111,ln 1n n a a a +==+，求证：
23
+22
n a n n <+…. 4.（2014 福建理 20）（本小题满分14分）
已知函数()e x
f x ax =-（a 为常数）的图像与y 轴交于点A ，曲线()y f x =在点A
处的切线斜率为1-.
（1）求a 的值及函数()f x 的极值； （2）证明：当0>x 时，2
e x
x <；
（3）证明：对任意给定的正数c ，总存在0x ，使得当()∞+∈，0x x ，恒有2
e x
x c <.
5.（2014 广东理 21）（本题14分）设函数()
f x =，
其中2k <-，
（1）求函数()f x 的定义域D ；（用区间表示） （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；
（3）若6k <-，求D 上满足条件()()1f x f >的x 的集合. 6．（2014 湖北理 22）（本小题满分14分） π为圆周率，e=2.71828为自然对数的底数. （1）求函数()ln x
f x x
=
的单调区间； （2）求3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数中的最大数与最小数；
（3）将3e πe π3e ,3,e ,π,3,π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论. 7.（2014 湖南理 22）已知常数0a >，函数()()2ln 12
x
f x ax x =+-+. （1）讨论()f x 在区间()0,+∞上的单调性；
（2）若()f x 存在两个极值点12,x x ，且()()120f x f x +>，求a 的取值范围. 8.（2014 江苏理 19）已知函数()e e x
x
f x -=+，其中e 是自然对数的底数．
（1）证明：()f x 是R 上的偶函数； （2）若关于x 的不等式()e
1x
mf x m -+-…在()0,+∞上恒成立，
求实数m 的取值范围； （3）已知正数a 满足：存在[)01,x ∈+∞，使得()()
30003f x a x x <-+成立．试比较1e
a -与e 1
a
-的大小，并证明你的结论．
9.（2014 江苏理 23）（本小题满分10 分）
已知函数()0sin x
f x x
=()0x >，设()n f x 为()1n f x -的导数，*n ∈N ． （1）求122222f f πππ⎛⎫⎛⎫
+
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
的值；
（2）证明：对任意的*
n ∈N ，等式14442n n nf f -πππ⎛⎫⎛⎫
+= ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
都成立． 10.（2014 江西理 18）（本小题满分12分）
已知函数()(2
f x x bx b
=++()b ∈R .
（1）当4b =时，求()f x 的极值；
（2）若()f x 在区间10,3⎛⎫
⎪⎝⎭
上单调递增，求b 的取值范围. 11.（2014 辽宁理 21）（本小题满分12分） 已知函数()()()()8
cos 2sin 13
f x x x x x =-π+-
+，()()()23πcos 41sin ln 3x g x x x x ⎛
⎫=--+- ⎪π⎝
⎭.
证明：（1）存在唯一00,
2x π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，使()00f x =； （2）存在唯一1,2x π⎛⎫
∈π
⎪⎝⎭
，使()10g x =，且对（1）中的01x x +<π. 12.（2014 山东理 20）（本小题满分13分）
设函数()2e 2ln x f x k x x x ⎛⎫
=-+ ⎪⎝⎭
（k 为常数，e 2.71828
=是自然对数的底数）
（1）当0k …时，求函数()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围. 13.（2014 陕西理 21）（本小题满分14分）
设函数()()()()ln 1,,0f x x g x xf x x '=+=…，其中()f x '是()f x 的导函数. （1）()()()()()
11,n n g x g x g x g g x +==，n +∈N ，求()n g x 的表达式； （2）若()()f x ag x …恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设n +∈N ，比较()()()12g g g n +++与()n f n -的大小，并加以证明.
14.（2014 四川理 21）已知函数()2
e 1x
f x ax bx =---，其中,a b ∈R ，e 2.71828=为自然对数的底数.
（1）设()g x 是函数()f x 的导函数，求函数()g x 在区间[]0,1上的最小值； （2）若()10f =，函数()f x 在区间()0,1内有零点，求a 的取值范围. 15.（2014 新课标1理21）（本小题满分12分）
设函数()1e e ln x x
b f x a x x
-=+，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线为
()e 12y x =-+.
（1）求,a b ； （2）证明：()1f x >.
16.（2014 新课标2理21）（本小题满分12分） 已知函数()e e
2x
x
f x x -=--.
（1）讨论()f x 的单调性；
（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值；
（3）已知1.4142 1.4143<<，估计ln 2的近似值（精确到0.001）. 17.（2014 浙江理 22）（本题满分14分）已知函数()()3
3f x x x a a =+-∈R .
（1）若()x f 在[]1,1-上的最大值和最小值分别记为()(),M a m a ，求()()M a m a -； （2）设,b ∈R 若()2
4f x b +⎡⎤⎣⎦…对[]1,1-∈x 恒成立，求b a +3的取值范围.
18.（2014 重庆理 20）本小题满分12分，（1）问4分，（2）问3分，（3）问5分） 已知函数()()22e e
,,x
x
f x a b cx a b c -=--∈R 的导函数()f x '为偶函数，且曲线
()y f x =在点()()0,0f 处的切线的斜率为4c -.
（1）确定,a b 的值；
（2）若3c =，判断()f x 的单调性； （3）若()f x 有极值，求c 的取值范围.。