2017绵阳二诊文科数学试题答案

绵阳市高2014级第二次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．

CABCA DBCDD CB

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．1422=-y x 14．24 15．32

16．25- 三、解答题：本大题共6小题，共70分．

17．解 ：(Ⅰ)设{a n }的公差为d ，则由题意可得 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+++-=⨯+，

，d a d a d a d a 453922331111……………………………………………………3分 解得a 1=-4，d =1， ……………………………………………………………5分 ∴ a n =-4+1×(n -1)=n -5． ……………………………………………………6分 (Ⅱ)T n =a 1+a 2+a 3+…+a n +n a a a 22221+⋅⋅⋅++ =2)54(-+-n n +)222(32

121n +⋅⋅⋅++ ………………………………10分 =2

1)21(23212)9(--⋅+-n n n =16

122)9(-+-n n n ．……………………………………………………12分 18．解：(Ⅰ) ∵a c 2=，

∴ 由正弦定理有sin C =2sin A ． …………………………………………2分 又C =2A ，即sin2A =2sin A ，

于是2sin A cos A =2sin A ， …………………………………………………4分 在△ABC 中，sin A ≠0，于是cos A =

22， ∴ A =4

π． ……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)根据已知条件可设21+=+==n c n b n a ，，， n ∈N *． 由C =2A ，得sin C =sin2A =2sin A cos A ，

∴ a

c A C A 2sin 2sin cos ==． ……………………………………………………8分 由余弦定理得a

c bc a c b 22222=-+， 代入a ，b ，c 可得 n

n n n n n n 22)2)(1(2)2()1(222+=++-+++， ……………………………………………10分 解得n =4，

∴ a =4，b =5，c =6，从而△ABC 的周长为15，

即存在满足条件的△ABC ，其周长为15． ………………………………12分

19．解：(Ⅰ)由已知有 1765179181176174170=++++=x ， 6656870666462=++++=y ， 2222)176179()176181()176174()176170()6668)(176179()6670)(176181()6664)(176174()6662)(176170(ˆ-+-+-+---+--+--+--=b =37

27≈0.73， 于是17673.066ˆˆ⨯-=-=x b y a

=-62.48， ∴ 48.6273.0ˆˆˆ-=+=x a x b y

．………………………………………………10分 (Ⅱ) x =185，代入回归方程得48.6218573.0ˆ-⨯=y

≈72.57， 即可预测M 队的平均得分为72.57． ………………………………………12分

20．解：(Ⅰ) 点A (0，2)在椭圆C 上，于是

122=b ，即b 2=2． 设椭圆C 的焦半距为c ，则由题意有

23=a c ，即224

3a c =， 又a 2=b 2+c 2，代入解得a 2=8， ∴ 椭圆C 的标准方程为12

82

2=+y x ． ……………………………………4分 (Ⅱ)设直线PQ ：1+=ty x ，)()(2211y x Q y x P ，，，．

联立直线与椭圆方程： ⎪⎩⎪⎨⎧+==+，，11282

2ty x y x 消去x 得：072)4(22=-++ty y t ， 显然Δ=4t 2+28(t 2+4)>0，

∴ y 1+y 2=422+-

t t ，y 1y 2=4

72+-t ． ………………………………………7分 于是4

82)(22121+=++=+t y y t x x ， 故P ，Q 的中点)4

44(22+-+t t t D ，． ………………………………………8分 设)1(0y N ，-， 由NQ NP =，则1-=⋅PQ ND k k ， 即t t t t

y -=+--++

4

414220，整理得4320++=t t t y ，得)431(2++-t t t N ，． 又△NPQ 是等边三角形， ∴ PQ ND 23=，即224

3PQ ND =， 即]474)42)[(1(43)44()144(22222222+-⋅-+-+=+++++t t t t t t t t ， 整理得22222)4(8424)144(++=++t t t ， 即2

22222)4(8424)48(++=++t t t t ，

解得 102=t ，10±=t ， …………………………………………………11分

∴ 直线

l 的方程是110+±=y x ． ………………………………………12分 21．解：(Ⅰ)∵ x

e ax x

f -=2)(在)0(∞+，上有两个零点， ∴ 方程2x e a x =有两个根，等价于y =a 与2x

e y x

=有两个交点． 令2)(x

e x h x =，则3)2()(x x e x h x -='，……………………………………………3分 于是x ∈(0，2)时，0)(<'x h ，即h (x )在(0，2)上单调递减； 当x ∈(2，+∞)时，0)(>'x h ，即h (x )在(2，+∞)上单调递增，

∴ h (x )mi n =h (2)=4

2

e ， ∴ a 的取值范围为(4

2

e ，+∞)． ……………………………………………5分 (Ⅱ)∵)(2121x x x x <，是x e ax x

f -=2)(在)0(∞+，上的零点， ∴ 121x e ax =，222x e ax =， 两式相除可得12212)(

x x e x x -=． ………………………………………………7分 令)1(12>=t t x x ， ① 上式变为122x x e t -=，即t t x x ln 2ln 212==-， ②

联立①②解得：1ln 21-=

t t x ，1

ln 22-=t t t x ． …………………………………9分 要证明421>+x x ， 即证明

41

ln 21ln 2>-+-t t t t t ， 即证明22ln ln ->+t t t t ． 令22ln ln )(+-+=t t t t t h ，则1ln 1)(-+='t t

t h ． …………………………10分 令0111)(1ln 1)(22>-=-='-+=t

t t t t t t t ϕϕ，， 故)(t ϕ在)1(∞+，上单调递增，故0)1()(=>ϕϕt ， 即0)(>'t h ， 故)(t h 在)1(∞+，上单调递增，故0)1()(=>h t h ，

即22ln ln ->+t t t t ，得证． ………………………………………………12分

22．解：(Ⅰ)消去参数得1322

=+y x ． …………………………………………5分

（Ⅱ）将直线l 的方程化为普通方程为0323=++y x ．

设Q (ααsin cos 3，)，则M (ααsin 2

11cos 23+，)， ∴ 233)4

sin(26232sin 2

33cos 23++=+++=παααd ，