振型向量模态向量的正交性展开定理

sin1 cos1 0
sin2 3 2, cos2 1 2, sin2 cos2 3 4
当3=210时，有
sin3 1 2, cos3 3 2, sin3 cos3 3 4
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cos
i
sini cosi
那么振型向量应满足下面的关系式
u(s)TMu(r) rs (r, s 1, 2,L , n) (5.3-10)
u(s)T Ku(r )
2
rs r
(r, s 1, 2,L , n) (5.3-11)
式中rs为克朗尼格符号，其数学定义为
rs
1 0
(r s) (r s)
(5.3-12)
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矩阵的作用。将方程(5.3-6)代入方程(5.3-3)，可 得振型向量关于刚度矩阵也是正交的，即
u(s)T Ku(r) 0 (r s)
(5.3-7)
●需要再次强调指出，正交性关系式(5.3-6)和 (5.3-7)只有当M和K为对称矩阵时才是正确的。
如果r=s，则不论u(s)TMu(r)取任何值，式(5.3-5) 都自然满足，因而可令
(K 12M )u(1) 0
(K 12M )u(2) 0
因此，有
K 12M C1u(1) C2u(2)
(5.3-13) (5.3-14)
C1 K 12M u(1) C2 K 12M u(2) 0 (5.3-15)
故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是对应于1或2的固有
2 2k m
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由于运动微分方程是两个独立的方程，表明x， y正好是两个固有坐标，因此固有振型为
u(1)
0 1 ,
u(2)
1 0
为了验证振型向量的正交性，将振型向量u(1)和 u(2)代入方程(5.3-6)，有
u(1)TMu(2) 0
1
m
0
0 m
1 0
0
满足正交性条件。
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第一阶主振型
第二阶主振型
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二.具有重特征值的系统
★具有重特征值，也就是有相同的固有频率的 系统，称为退化系统。
●当系统存在p(2pn)个相同的固有频率时， 对应重特征值的特征向量与其余的n-p个特征向 量是正交的，但一般说来，对应重特征值的特征 向量之间并非一定正交。
●当特征值问题是由实对称矩阵M和K来确定 时，相应于重特征值的特征向量有p个、但不超 过p个相互正交的特征向量。
●由于对应于重特征值的特征向量的任一线性 组合也是一个特征向量，所以特征向量不是唯一 的。
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●一般来说，总可以选择p个对应于重特征值 的特征向量的线性组合，使它们构成相互正交的 特征向量组，从而使得问题中的特征向量唯一地 确定。
▲假定系统的固有频率1和2相等，其他各固
有频率则与它们不同，则在特征值问题的n方程
sin 2 i
k
1 0
0 0
k
1
4 3
4
3
3 4
4
k
34 34
3 4
1
4
k
2 0
0 1
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代入质量m的运动微分方程为
m 0 &x& 2k
0
m
&y&
0
特征值问题为
0
k
x y
Qx Qy
2k 2m
0
由此得固有频率为
k
0
2m
u1 u2
Байду номын сангаас
0 0
1 k m
例5.3-1 图5.3-1所示三个弹簧悬挂着质量m， 三个弹簧位于同一平面内，弹簧常数分别为k1， k2和k3，试写出质量m的运动微分方程。若弹簧刚
度k1=k2=k3=k，并且1=0，2=120，3=210，
求系统的固有频率和固有振型，并验证振型向量 的正交性。
解：取直角坐标x-y如图所示。
如果只考虑微小位移，并设弹
振型，所以可以认为有无穷多个固有振型的解， 其中只能任意选取两个相互独立的解，其他的解 均可由这两个解的线性组合得到。
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任意的两个独立的固有振型u(1)和u(2)一般不满 足正交性条件，即
性 恢 复 力 为 R1，R2 和 R3， 则 质 量m的运动微分方程为
图 5.3-1
3
3
m&x& Ri cosi Qx , m&y& Ri sin i Qy
i 1
i 1
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式中弹性力为
Ri=-ki(xcosi+ysini)
将Ri的值代入运动微分方程，得
3
m&x& ki (x cos2 i y sini cosi ) Qx i 1 3
用u(s)T左乘方程(5.3-1)的两边和用u(r)T左乘方程
(5.3-2)的两边，得
u(s)T u(s)T Ku(r ) r2u(s)T Mu(r )
(5.3-3)
u(r)T u(r )T Ku(s) s2u(r )T Mu(s)
(5.3-4)
因为矩阵M和K是对称的，转置方程(5.3-4)，可得
组中，只有n-2个是独立的，这正是由于1是一
个特征方程的二重根。
▲两个固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的任 意性，可以把任意的组合C1u(1)+C2u(2)看成是对应
于固有频率1=2的一个固有振型(其中C1和C2为
任意常数)。
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将 ，12 和22 u(1)、12 u(2)分别代入方程(5.2-10)，有
m&y& ki (x sini cosi y sin2 i ) Qy i 1
写成矩阵形式为
m
0
0 m
&x& &y&
3 i1
ki
sincosi 2cosi i
sini cosi sin2 i
x
y
Qx Qy
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当1=0时，有
sin1 0, cos1 1,
当2=120时，有
u(s)T Ku(r ) s2u(s)T Mu(r )
并与方程(5.3-3)相减，可得
(r2 s2 )u(s)T Mu(r) 0
当rs，即rs时，必须有 u(s)TMu(r) 0 (r s)
(5.3-5) (5.3-6)
这就是振型向量的正交性条件。 第1页/共50页
这个正交性是关于质量矩阵M的，它起了加权
u(r)T Mu(r) M r
(5.3-8)
u(r)T Ku(r) Kr 称Mr为模态质量，Kr为第2页模/共态50页刚度。
(5.3-9)
●如果将振型向量正则化，则称振型向量为关 于质量矩阵和刚度矩阵的正则正交性。
若正则化是按照方程(5.2-15)得到的，即
u(r)TMu(r) 1 (r 1, 2,L , n)