振型向量模态向量的正交性展开定理
第四章 结构固有振动特征值问题的数值解
第四章结构固有振动特征值问题的数值解§4.1 概述根据结构振动的数学模型，即振动微分方程所形成的矩阵特征值问题，求解结构的固有振动特性——固有频率与固有振型，是结构振动分析的一个主要任务。
结构的固有振动特性是结构振动的内因。
固有振动特性也是进行结构振动响应分析和结构动力学设计的基础。
对于简单的结构，如均匀直梁、均匀直杆等，可以用解析的方法解得其固有振动特性。
对于一般结构，如果只需获得结构有限阶的固有振动特性，也可以采用试验测试（模态识别）的方法来获得。
但是对于大型复杂结构，不可能用解析分析的方法得到其固有振动特性，而采用试验测试的方法不仅花费高，而且周期长，对于处于设计状态的结构，显然也无法进行试验。
所以对复杂的工程结构，常用的方法是建立结构的数学模型，用数值求解的方法获得结构的固有振动特性。
随着计算技术飞速发展和特征值计算方法的研究进展，通过矩阵特征值问题的求解来获得结构固有振动特性，是已经被振动工程界普遍接受的一个有效和可靠的途径。
从数学理论上也可以证明，许多特征值计算方法具有相当好的精度，并且获得了实践和实验的证明。
由于结构固有振动特性求解与矩阵特征值求解问题的密切关系，在结构振动分析中，矩阵特征值问题已经成为结构固有振动特性分析的一个代名词。
所以在本章中，只要不作说明，一般讲的矩阵特征值问题就是指结构的固有振动特性求解问题。
所谓系统的特征值就代指结构的固有频率，特征向量代指结构的固有振型（固有模态）矩阵特征值问题的数值求解方法可以分为三类：矩阵分解法、迭代法和矩阵变换法。
由于矩阵（代数）特征值问题本身就是一个完整的系统，本章只能根据结构固有振动分析问题的需要，介绍一些常用的求解方法。
详尽的矩阵特征值问题的数值求解方法可以参考威尔金森的名著《代数特征值问题》。
本章的论述是建立在已经用有限元素法建立了结构振动运动数学模型的基础上。
§4.2 结构振动特征值问题的性质根据结构振动方程，可以得到结构固有振动的代数特征值问题：}]{[}]{[2x M x K ω=（4－1）或 }]{[}]{[x M x K λ= （2ωλ=） （4－2）振动特征值问题除了第二章所述的性质外，在特征值问题的数值求解中，还要用到如下一些性质： 1． 移轴特性对特征值问题}]{[}]{[x M x K λ= （4－3）若μ为一已知实数，则有：}]{)[(}]){[]([x M x M K μλμ-=- （4－4）新的特征值问题可写为：}]{[}]{ˆ[x M x Kρ= （4－5） ][][]ˆ[M K Kμ-= （μλρ-=） （4－6） 显然，上面两个特征值问题具有相同的特征向量，而特征值间的关系为：μρλ+=i i （4－7）μ称为移轴量。
《振型的正交性》课件
• 振型正交性的定义 • 振型正交性的性质 • 振型正交性的应用 • 振型正交性的证明方法 • 振型正交性的扩展知识
01
振型正交性的定义
什么是振型正交性
振型正交性是指两个或多个振动 模态在空间上相互垂直，即它们 的位移不发生耦合，各自独立振
动。
在物理上，振型正交性意味着不 同模态的振动不会互相干扰，每
特性的贡献程度。
03
振型正交性的应用
在振动分析中的应用
01
振型正交性在振动分析中用于描述不同振动模式之间的独立性 。
02
在线性系统中，各阶振型独立，互不干扰，通过正交性可以单
独分析每个振型。
振型正交性有助于确定系统的固有频率和模态，进而分析系统
03
的动态特性。
在波动分析中的应用
在波动分析中，振型 正交性用于描述波动 在不同方向上的独立 传播。
振型正交性与能量守恒定律的关系
振型正交性与能量守恒定律之间存在密切关系。在振动过 程中，各振型之间相互独立，互不干扰，即一个振型的能 量不会转化为另一个振型的能量。
这是因为各振型具有不同的频率和周期，它们之间的相互 作用受到约束。因此，在振动分析中，可以利用振型正交 性来保证能量守恒定律的成立，从而保证计算结果的准确 性和可靠性。
利用实例证明
实例
以一维弹簧振荡器为例，其模态为简谐振动。我们可以通过计算两个不同频率下的简谐振动的位移分布，来验证 它们是否满足正交性。
证明
假设一维弹簧振荡器的两个不同频率分别为f1和f2，那么它们的位移分布可以表示为u_1(x,t)和u_2(x,t)。否满足正交性。如果内积为零，那么这两个函数是正交的，从而证明 了振型的正交性。
振动力学第四章
L2
2
m2
y
(x2 , y2 )
能完备的描述系统运动的一组独立的坐标叫广义坐标。
本例202中0年1，月1可9日选(x1, x2 ) 作为广义坐标。 3
本例《振中动力，学》也可选(θ1,θ2 ) 作为广义坐标。
多自由度系统振动的基本知识
教学内容
4.1 广义坐标 4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式 4.3 线性变换和坐标耦合 4.4 无阻尼自由振动，特征值问题 4.5 模态向量的正交性和展开定理 4.6 系统对初始激励的响应
k3
0
k3
k3
2020年1月19日 12
《振动力学》
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
例3： 直接写出图示系统的质量矩阵、刚度矩阵及运动方程。
k5
P2(t)
k6
k1
P1(t) k2 m2
m1
k3
P3(t) k4
m3
解： 系统的质量矩阵为：
m1 0 0
[m] 0
5
4.2 线性系统的运动方程及其矩阵表达式
刚度矩阵 [k] 中的元素 kij 是使系统仅在第 j 个坐标上产 生
单位位移而相应于第 i 个坐标上所需施加的力
kij
Qi
qj qr
1 0(r
1, 2..., n, r
j)
例如
Q1
k11 Q1 k1 k2
k1 1
m1
k21 Q2 k2
m1 0
0
m2
位移向量为：
2020年1月19日 《振动力学》
{x}
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法
第六章 结构振动特征值问题的矩阵摄动法§6.1 概述工程振动问题中经常遇到结构有小改动的情形，例如结构的制造误差、结构的小修改设计、对结构参数改变进行灵敏度分析等。
这些情况都有一个共同的特点，就是结构的参数仅发生很小的变化。
结构参数的小变化所引起的结构振动特性变化问题，对工程结构优化设计有重要意义。
经典的方法是每修改一次方案就需要求解一次结构的固有特性，即求解广义特征值问题。
这对于大型结构的振动分析，是非常麻烦的。
我们希望能找到一种能够利用修改前结构的固有特性信息，且计算量小的方法，来解决上述问题。
矩阵摄动法就是这种结构特征值重分析和灵敏度快速分析的计算方法。
§6.2 孤立特征值的摄动法对离散系统特征值问题，假定已经得到了其特征对的解：（6－1）分别为参数未变化的原结构刚度矩阵和质量矩阵，第个特征值，为第阶固有频率，为第阶特征向量（固有模态）。
结构参数的变化或修改设计一般通过刚度矩阵和质量矩阵的改变反映出来。
即（6－2）（6－3）称为小参数。
先看是单根的情形。
上标代表第个根，下标代表参数未变化的原结构。
从物理意义上知道，绝大多数情况下，质量阵和刚度阵只有小变化时，特征值和特征向量也只有小量变化，根据摄动理论，特征值和特征向量按小参数展开为：（6－4）代入方程（6－1），略去以上的项，比较同次幂的系数，得到： }]{[}]{[)(00)(0)(00i i i u M u K λ=][],[00M K i 2)(0)(0)(i i ωλ=)(0i ωi }{)(0i u i ][][][10M M M ε+=][][][10K K K ε+=ε）（i 0λ)(i i 0)(ε+++=+++=)(22)(1)(0)()(22)(1)(0)(}{}{}{}{i i i i i i i i u u u u λεελλλεε)(2εO ε（6－5）（6－6）（6－7）、、、分别是特征值与特征向量的第一阶摄动和第二阶摄动。
03-4 振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法
将振型函数对于质量ρ(x)A(x) 的正交性关系
L
L 0
( x) A( x)Yr ( x)Ys ( x)dx 0 (r s) 代入式(3)
2
d 0 Ys ( x) dx2
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
2 L 2
dYr ( x) d Ys ( x) d Ys ( x) d Yr ( x) EJ ( x) EJ(x) 2 2 d x d x d x d x 0 0
L
注意 :上式右边是 x=0和 x=L的端点边界条件。对于固支 端、铰支端和自由端的任一组合而成的梁，上式右边都 等于零。
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
用途：对振型函数正则 化，确定正则化系数
考虑如下关系
d 0 Ys ( x) dx2
L 2 2
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d Yr ( x) d Yr ( x) d EJ ( x) dx 2 dx Ys ( x) dx EJ ( x) dx 2 0
振型的正交性PPT课件
式
2{X}=[D]{X}
（9）
就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代
数所介绍的特征值问题解法就可求得[D]矩阵的特征
对[2，{X}]，再由式（5）可求得广义特征问题的振
型矩阵{A}。
由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特
征方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以 及和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构 的频谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基
多看一些例子、多做一些练习。限于学时这里不举例 了。
4.2 振型的正交性
因为 i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j 前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，
由于质量、刚度的对称性，可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
由此可得
(11)
式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证 i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i = i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0 (c)
按此思路继续左乘,即可证明
{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0
类似地，请自行证明
(18)
T
-1
n
4.2 振型的正交性
目前多自由度问题分析先求无阻尼自由振动确 定频率、振型等动力特性，然后利用振型的正交性， 在假定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分析通过 振型分解化为单自由度问题的组合来解决。再一次体 现了，化未知问题为已知问题的研究方法和思想。
对复杂荷载情况（象地震地面运动等离散荷载） 要用时程分析方法或随机振动理论来解决（第六章）。
(36)
{u}=ii(t){A}i ，
工程力学结构动力学复习题
工程力学结构动力学复习题一、简答题1、结构的动力特性主要指什么？对结构做动力分析可分为哪几个阶段？2、何谓结构的振动自由度？它与机动分析中的自由度有何异同？3、何谓动力系数？简谐荷载下动力系数与哪些因素有关？4、动力荷载与静力荷载有什么区别？动力计算与静力计算的主要差别是什么？5、为什么说结构的自振频率和周期是结构的固有性质？怎样改变他们？6、简述振型分解法是如何将耦联的运动方程解耦的．7、时域法求解与频域法求解振动问题各有何特点？8、什么叫动力系数，动力系数大小与哪些因素有关？单自由度体系位移动力系数与内力动力系数是否一样？答：动力放大系数是指动荷载引起的响应幅值与动荷载幅值作为静荷载所引起的结构静响应之比值。
简谐荷载下的动力放大系数与频率比、阻尼比有关。
当惯性力与动荷载作用线重合时，位移动力系数与内力动力系数相等；否则不相等。
原因是：当把动荷载换成作用于质量的等效荷载时，引起的质量位移相等，但内力并不等效，根据动力系数的概念可知不会相等。
9、振型正交性的物理意义是什么？振型正交性有何应用？答：由振型关于质量、刚度正交性公式可知，i振型上的惯性力在,振型上作的虚功为0。
由此可知，既然每一主振型相应的惯性力在其他主振型上不做功，那么它的振动能量就不会转移到别的主振型上去。
换句话说，当一个体系只按某一主振型振动时，不会激起其他主振型的振动。
这说明各个主振型都能单独出现，彼此线性无关。
这就是振型正交的物理意义。
一是可用于校核振型的正确性；二是在已知振型的条件下，可以通过折算质量与折算刚度计算对应的频率。
而更主要的是任一同阶向量均可用振型的线性组合来表示，在受迫振动分析中，利用振型的正交性，在阻尼矩阵正交的假设下可使运动方程解藕。
10、什么是阻尼、阻尼力，产生阻尼的原因一般有哪些？什么是等效粘滞阻尼？答：振动过程的能量耗散称为阻尼。
产生阻尼的原因主要有：材料的内摩擦、构件间接触面的摩擦、介质的阻力等等。
主振型的正交性
写成矩阵形式
Y 1 1
Y 21 m1 Y 31 0 0
3
0 m2 0
0 0 m3
Y13 Y 23 0 Y 33
简写 一般地 同理
Y
1 T
M Y
0
Y Y
iT iT
M Y K Y
y 1 Y1 1 y 2 Y 2 1 s in 1 t y Y 3 31
1 m 1Y 1 1
2
y m 1 1 1 m 1Y1 1 2 2 1 m 2 Y 2 1 s in 1 t m2 y m 2 m Y y 3 3 1 3 31
2 2 2 2
m 1Y 1 1 Y 1 2
m 2Y 2 1 Y 2 2 1 2
2
2
0
因为
1 2
2
2
0
,故
m 1Y 1 1 Y 1 2 m 2 Y 2 1 Y 2 2 0
写成矩阵形式
Y 11
m1 Y 21 0 0 m2 Y12 0 Y 22
k
Y
k T
M Y K Y
2
k
k振型的广义质量
K k Y
k T
k
k振型的广义刚度
k
由第k振型方程 左乘 Y
k T
K
k
M
Y
0
得
k T
Y
K M Y
★不同频率相应的振型对质量矩阵正交
结构动力学7
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n2M n 0
{φ}n={φ1n，φ2n ，…，φNn }T—体系的n阶振型 。
◆由于特征方程的齐次性（线性方程组是线性相关的）， 振型向量是不定的，只有人为给定向量中的某一值， 例如令φ1n=1，◆实际求解时就是令振型向量中的某才 能确定其余的值。
算例1 运动方程的特征方程：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
3000 1200 0
K 1200 1800 600
0 600 600
3000 2 2
(K
2
M
)
1200
0
1200
1800 1.5 2
600
0
600
600
2
B 2 600
5 2B 2
0 0
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
以上分析方法就是代数方程中的特征值分析，自振频率
相应于特征值，而振型即是特征向量。
得到体系的N个自振频率和振型后，可以把振型和自振 频率分别写成矩阵的形式，
1 2 N
1 0 0
0
2
0
0
0
N
其中，ωn— n阶自振频率，{φ}n— n阶振型。
7.1 多自由度体系的自振振型和自振频率
算例1 结构的质量阵、刚度阵：
2.0 0 0
M
0
1.5
0
0 0 1.0
k11 k12 k13 3000 1200 0
K k21
k 22
k 23
1200
1800
振型的正交性
征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建
立{A}=2[f][M]{A}
（10）
3）拿上具体问题后，关键是正确确定[M]、[K]或[f]，
有了它们不管什麽结构，由统一格式可写出式（3）
或式（10）。
4.1 多自由度无阻尼自由振动
4）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频 率方程，根据具体的刚、柔度系数和质量，解此频率
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功。
从式（12）和特征方程立即可证 它表明第j振型对应的{弹A}性jT恢[K复]{A力}i=在0第i振型位移上不(13) 做功。
│- 2[M]+[K] │=0
（1）
或者
(- 2[M]+[K]) {A}={0}
（2）
上述两式分别称为频率和特征方程。
由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结
构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统
的频率。但一般更多是从式（2）出发。
4.1 多自由度无阻尼自由振动
式（2）可改写为
2[M]{A}=[K]{A}
（3）
数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对
称矩阵特征值问题，需作如下改造：
设
[M]=([M]1/2)T[M]1/2
（4）
[M]1/2{A}={X} 则 {A}=([M]1/2)-1{X} （5）
代回式（3）得
2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}
第五节振型向量正交性
情况，称之为惯性解耦。
2
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
振型向量模态向量的正交性展开定理PPT学习教案
向量的线性组合，也就意味着由任意激励产生的
系统的运动可以看作固有振型用适当的常数相乘
后的叠加。
第276页/共50页
●如果用正则振型来表示系统的运动，就是把
一组联立的运动微分方程变换成一组独立的方程，
这里的变换矩阵就是振型矩阵u。 ★把联立的运动方程变换成一组互不相关的
方程来得出系统响应的过程称为振型分析或模态
▲两个固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的任 意性，可以把任意的组合C1u(1)+C2u(2)看成是对应
于固有频率1=2的一个固有振型(其中C1和C2为
任意常数)。
第110页/共50页
将 ，12 和22 u(1)1、2 u(2)分别代入方程(5.2-10)，有
(K 12M )u(1) 0
(K 12M )u(2) 0
因此，
有 K 12M C1u(1) C2u(2)
(5.3-13) (5.3-14)
C1 K 12M u(1) C2 K 12M u(2) 0 (5.3-15)
故 C1u(1)+C2u(2) 也 可 以 看 成 是 对 应 于 1 或 2 的 固
有振型，所以可以认为有无穷多个固有振型的解， 其中只能任意选取两个相互独立的解，其他的解 均可由这两个解的线性组合得到。
●这种既相互独立又正交的固有振型仍有无穷 多组，其中任意一组都可以作为重特征值的特征 向量。
第143页/共50页
例5.3-2 在图5.3-2所示的系统中，m1=m2=m， k1=k2=2k，k3=k，k4=k5=4k，试求作微幅振动时， 系统的固有频率和固有振型。
解：由于系统作微幅振动， 可以认为弹簧k1和k2在x方向的变 形不影响其他弹簧的状态，而其 他弹簧在y方向的变形也不影响 弹簧k1和k2的状态。系统运动微 分方程为
振型分解反应谱法基础知识
3 质点 i 在任意时刻的地震惯性力
i 质点在任意时刻的水平相对位移反应为
n
xi (t ) j j (t ) ji
j 1
求二阶到，可得任意时刻的水平相对加速度反应为
(t ) xi (t ) j j } 的线性组合，有
由方程 {i }T [ K ]{i } i2 {i }T [M ]{i } 可知 i2 如果令 2i i
{i }T [ K ]{i } {i }T [M ]{i }
{i }T [C ]{i } {i }T [M ]{1} ， ，(*)式可化简为 i {i }T [M ]{i } {i }T [M ]{i }
n j 1 n j 1
{x(t )} j j (t ){ j } {x j (t )}
其中 {x j (t )} j j (t ){ j } 为体系第 j 阶振型的地震反应。 质点 i 在第 j 阶振型下的水平相对位移为
xij (t ) j j (t ) ji
{ j }T [ K ]{i } i2 { j }T [ M ]{i } T 2 T 两边转置 { j }T [ K ]{i } 2 j }T [ M ]{i } j{ {i } [ K ]{ j } j {i } [ M ]{ j }
1.3 地震影响系数与地震反应谱的关系
a(Tn ) mSa (Tn ) Sa (Tn ) G g
具体涉及到设计反应谱的编制内容将另外撰文总结
2 质点 i 在任意时刻的水平相对位移反应
由振型的正交性可知， {1} 、 {2 } ，……， {n } 相互独立，故体系的位移反应向量 {x} 可表示成
n
03_4_振型函数的正交性与连续系统的响应.振型叠加法
d2 dx2
EJ
(
x)
d
2Y (x) dx2
2 (x) A(x)Y (x)
0
(0
x
L)
设Yr(x)和Ys(x)分别代表对应于r阶和s阶固有频率r和
s的两个不同阶的振型函数，代入上式得
d2 dx2
EJ (x)
d2Yr ( dx2
x)
r2(x) A(x)Yr
(x)
x L (1)
用Ys(x)乘方程(1)，并在梁全长上进行积分
0
dYr (x) dx
EJ
(x)
d2Ys (x) dx2
L 0
L 0
EJ
(x)
d2Yr (x) dx2
d2Ys (x) dx2
dx
s2
L
0 (x) A(x)Yr (x)Ys (x)dx
经过变换后得如下两个方程
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
d2Ys (x) dx2
dx
r2 rs
可按以上两式对振型函数正则化。
3.6 连续系统的响应·振型叠加法
燕山大学机械工程学院
School of Mechanical Engineering, Yanshan University
★在讨论离散系统响应时，采用了振型叠加法。
★利用系统的振型矩阵进行坐标变换，可以将系统相互
M&x&Cx&Kx Q(t)
多自由度离散系统的自由振动：
M&x&Kx 0
特征矩阵： [B] [K ] 2[M ]
求出n个固有频率
第五节振型向量正交性
第五节振型向量正交性对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。
只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。
因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。
为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。
一、耦合与解耦（教材6.7和6.8）举例说明什么是耦合与解耦。
Dy如图所示是一刚性杆AD，用刚度分别为1k和2k的弹簧支承与A、D两端。
（1） 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。
则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。
由几何关系，得12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θθθ+⎧=⎪=-+⎧⎪⇒⎨⎨=+-⎩⎪=⎪+⎩由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为121122C A DA D my k y k y J k y l k y l θ=--⎧⎨=-⎩ （a ） 式中m 是刚性杆AD 的质量，J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。
整理式（a ），得()()()()12221122221111220C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=⎧⎪⎨+-++=⎪⎩ （b ） 写成矩阵的形式12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-⎧⎫⎡⎤⎧⎫⎧⎫⎡⎤+=⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎢⎥⎢⎥-+⎩⎭⎣⎦⎩⎭⎩⎭⎣⎦ （c ） 在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度）C y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。
刚度矩阵是非对角矩阵，反映在方程组中，也就是两个微分方程的每一个方程都包含广义坐标C y 和θ，这种坐标之间有耦合的情况，称之为弹性耦合（静力耦合）。
32 振型正交性
交条件
( ( j) )T K (i)
−
2
j
(
(
j
)
)T
M
(i
)
=
0
( ( j) )T K (i) = 0
第二正 交条件
32.2、振型正交性的物理意义
主振型即是体系按照某一频率所作的简谐振动，位移和惯性力将同
时达到幅值，第j振型
(
j
)
可视为由惯性力幅值
2 j
m11(
j
)
,
,
m 2
(
j nn
j
)
所产生的静位移,第i振型 (i)可视为由惯性力幅值i2m11(i) , ,i2mnn(i)
32、振型正交性
32.1、振型正交性的推导
设频率ωi 对应的振型向量为Φ(i),频率ωj 对应的振型向量为Φ(j), 则：
K (i) − i2M (i) = 0
(a)
K ( j) − 2j M ( j) = 0 (b)
用振型向量(Φ(j))T左乘式(a)，用振型向量(Φ(i))T左乘式(b)，则有：
+
+ i2mnn(i)
( j) n
=0
第i主振型惯性力在第j主振型位移上所做的功等于零。
物理意义:第j主振型惯性力在第i主振型位移上所做的功等于零；第 i主振型惯性力在第j主振型位移上所做的功等于零。
结论：某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会 转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动。
所产生的静位移。
2 j
(
(
j
)
)T
M
(i)
=
0
m 2
(
三维模型振型向量
三维模型振型向量三维模型振型向量是指描述三维物体在振动中的各个方向上的振动状态的向量。
在物理学中，振动是指物体在平衡位置附近做周期性的往复运动。
三维模型振型向量可以用来描述物体在振动中的各个方向上的运动情况，对于研究物体的振动特性具有重要意义。
我们来了解一下什么是振动。
振动是物体在受到外力作用后，由于弹性力的作用而产生的往复运动。
物体在振动过程中会围绕着平衡位置来回振动，这种振动可以分解为不同方向上的振动。
三维模型振型向量是用来描述物体在振动中各个方向上的振动状态的向量。
在三维空间中，物体可以沿着x轴、y轴和z轴方向进行振动。
因此，我们可以用一个三维向量来表示物体在振动中的振动状态。
对于一个简单的振动系统，比如弹簧振子，物体在振动中的振动状态可以分解为沿x轴、y轴和z轴方向的三个分量。
这三个分量分别对应着物体在振动过程中沿着不同方向上的位移。
通过测量这三个分量的变化，我们可以确定物体在振动中的振动状态。
三维模型振型向量还可以用来描述复杂的振动系统，比如弦振动、声音振动等。
对于这些系统，物体在振动中的振动状态可以是非常复杂的，需要用更多的分量来描述。
三维模型振型向量可以将物体在振动中的振动状态表示为一个向量，每个分量对应着物体在振动过程中沿着不同方向上的振动状态。
三维模型振型向量在工程领域和科学研究中有着广泛的应用。
在工程领域，我们可以利用三维模型振型向量来研究物体的振动特性，比如结构的固有频率、振动模态等。
这对于设计和优化结构的稳定性和安全性非常重要。
在科学研究中，三维模型振型向量可以用来研究物体的振动行为和振动机制。
通过分析物体在振动过程中不同方向上的振动状态，我们可以了解物体的振动特性和振动机理，为振动控制和噪声减少等方面的研究提供依据。
三维模型振型向量是用来描述物体在振动中各个方向上的振动状态的向量。
它在工程领域和科学研究中有着重要的应用价值。
通过研究物体在振动过程中的振动状态，我们可以深入了解物体的振动特性和振动机制，为相关领域的研究和应用提供支持。
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u(s)T Ku(r ) s2u(s)T Mu(r )
并与方程(5.3-3)相减，可得
(r2 s2 )u(s)T Mu(r) 0
当rs，即rs时，必须有 u(s)TMu(r) 0 (r s)
(5.3-5) (5.3-6)
这就是振型向量的正交性条件。 第1页/共50页
这个正交性是关于质量矩阵M的，它起了加权
2 2k m
第7页/共50页
由于运动微分方程是两个独立的方程，表明x， y正好是两个固有坐标，因此固有振型为
u(1)
0 1 ,
u(2)
1 0
为了验证振型向量的正交性，将振型向量u(1)和 u(2)代入方程(5.3-6)，有
u(1)TMu(2) 0
1
m
0
0 m
1 0
0
满足正交性条件。
第8页/共50页
例5.3-1 图5.3-1所示三个弹簧悬挂着质量m， 三个弹簧位于同一平面内，弹簧常数分别为k1， k2和k3，试写出质量m的运动微分方程。若弹簧刚
度k1=k2=k3=k，并且1=0，2=120，3=210，
求系统的固有频率和固有振型，并验证振型向量 的正交性。
解：取直角坐标x-y如图所示。
如果只考虑微小位移，并设弹
第一阶主振型
第二阶主振型
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二.具有重特征值的系统
★具有重特征值，也就是有相同的固有频率的 系统，称为退化系统。
●当系统存在p(2pn)个相同的固有频率时， 对应重特征值的特征向量与其余的n-p个特征向 量是正交的，但一般说来，对应重特征值的特征 向量之间并非一定正交。
●当特征值问题是由实对称矩阵M和K来确定 时，相应于重特征值的特征向量有p个、但不超 过p个相互正交的特征向量。
矩阵的作用。将方程(5.3-6)代入方程(5.3-3)，可 得振型向量关于刚度矩阵也是正交的，即
u(s)T Ku(r) 0 (r s)
(5.3-7)
●需要再次强调指出，正交性关系式(5.3-6)和 (5.3-7)只有当M和K为对称矩阵时才是正确的。
如果r=s，则不论u(s)TMu(r)取任何值，式(5.3-5) 都自然满足，因而可令
振型，所以可以认为有无穷多个固有振型的解， 其中只能任意选取两个相互独立的解，其他的解 均可由这两个解的线性组合得到。
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任意的两个独立的固有振型u(1)和u(2)一般不满 足正交性条件，即
m&y& ki (x sini cosi y sin2 i ) Qy i 1
写成矩阵形式为
m
0
0 m
&x& &y&
3 i1
ki
sincosi 2cosi i
sini cosi sin2 i
x
y
Qx Qy
第5页/共50页
当1=0时，有
sin1 0, cos1 1,
当2=120时，有
u(r)T Mu(r) M r
(5.3-8)
u(r)T Ku(r) Kr 称Mr为模态质量，Kr为第2页模/共态50页刚度。
(5.3-9)
●如果将振型向量正则化，则称振型向量为关 于质量矩阵和刚度矩阵的正则正交性。
若正则化是按照方程(5.2-15)得到的，即
u(r)TMu(r) 1 (r 1, 2,L , n)
sin 2 i
k
1 0
0 0
k
1
4 3
4
3
3 4
4
k
34 34
3 4
1
4
k
2 0
0 1
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代入质量m的运动微分方程为
m 0 &x& 2k
0
m
&y&
0
特征值问题为
0
k
x y
Qx Qy
2k 2m
0
由此得固有频率为
k
0
2m
u1 u2
0 0
1 k m
组中，只有n-2个是独立的，这正是由于1是一
个特征方程的二重根。
▲两个固有振型u(1)和u(2)的取值具有一定的任 意性，可以把任意的组合C1u(1)+C2u(2)看成是对应
于固有频率1=2的一个固有振型(其中C1和C2为
任意常数)。
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将 ，12 和22 u(1)、12 u(2)分别代入方程(5.2-10)，有
那么振型向量应满足下面的关系式
u(s)TMu(r) rs (r, s 1, 2,L , n) (5.3-10)
u(s)T Ku(r )
2
rs r
(r, s 1, 2,L , n) (5.3-11)
式中rs为克朗尼格符号，其数学定义为
rs
1 0
(r s) (r s)
(5.3-12)
第3页/共50页
(K 12M )u(1) 0
(K 12M )u(2) 0
因此，有
K 12M C1u(1) C2u(2)
(5.3-13) (5.3-14)
C1 K 12M u(1) C2 K 12M u(2) 0 (5.3-15)
故C1u(1)+C2u(2)也可以看成是对应于1或2的固有
●由于对应于重特征值的特征向量的任一线性 组合也是一个特征向量，所以特征向量不是唯一 的。
第10页/共50页
●一般来说，总可以选择p个对应于重特征值 的特征向量的线性组合，使它们构成相互正交的 特征向量组，从而使得问题中的特征向量唯一地 确定。
▲假定系统的固有频率1和2相等，其他各固
有频率则与它们不同，则在特征值问题的n方程
性 恢 复 力 为 R1，R2 和 R3， 则 质 量m的运动微分方程为
图 5.3-1
3
3
m&x& Ri cosi Qx , m&y& Ri sin i Qy
i 1
i -ki(xcosi+ysini)
将Ri的值代入运动微分方程，得
3
m&x& ki (x cos2 i y sini cosi ) Qx i 1 3
sin1 cos1 0
sin2 3 2, cos2 1 2, sin2 cos2 3 4
当3=210时，有
sin3 1 2, cos3 3 2, sin3 cos3 3 4
将以上各i值和k1=k2=k3=k代入刚度矩阵，得
3
i1
ki
cos2 i sini cos
i
sini cosi
用u(s)T左乘方程(5.3-1)的两边和用u(r)T左乘方程
(5.3-2)的两边，得
u(s)T u(s)T Ku(r ) r2u(s)T Mu(r )
(5.3-3)
u(r)T u(r )T Ku(s) s2u(r )T Mu(s)
(5.3-4)
因为矩阵M和K是对称的，转置方程(5.3-4)，可得