水力学教程 第2章

第二章 水静力学

水静力学（Hydrostatics ）是研究液体处于静止状态时的力学规律及其在实际工程中的应用。“静止”是一个相对的概念。这里所谓“静止状态”是指液体质点之间不存在相对运动，而处于相对静止或相对平衡状态的液体，作用在每个液体质点上的全部外力之和等于零。

绪论中曾指出，液体质点之间没有相对运动时，液体的粘滞性便不起作用，故静止液体质点间无切应力；又由于液体几乎不能承受拉应力，所以，静止液体质点间以及质点与固壁间的相互作用是通过压应力（称静水压强）形式呈现出来。水静力学的主要任务是根据力的平衡条件导出静止液体中的压强分布规律，并根据其分布规律，进而确定各种情况下的静水总压力。因此，水静力学是解决工程中水力荷载问题的基础，同时也是学习水动力学的基础。

§2-1 静水压强及其特性

1．静水压强的定义

在静止的液体中，围绕某点取一微小作用面，设其面积为 ΔA ，作用在该面积上的压力为ΔP ，则当ΔA 无限缩小到一点时，平均压强A P ∆∆/便趋近于某一极限值，此极限值便定义为该点的静水压强(Hydrostatic Pressure)，通常用符号p 表示，即

dA

dP A P p A =∆∆=→∆0lim (2-1) 静水压强的单位为2/m N (Pa(帕))，量纲为 [][]

21--=T ML p 。

2．静水压强的特性

静水压强具有两个重要的特性：

(1)静水压强方向与作用面的内法线方向重合。

在静止的液体中取出一团液体，用任意平面将其切割成两部分，则切割面上的作用力就是液体之间的相互作用力。现取下半部分为隔离体，如图2-1所示。假如切割面上某一点M 处的静水压强p 的方向不是内法线方向而是任意方向，则p 可以分解为切应力τ和法向应力p n 。

从绪论中知道，静止的液体不能承受剪切力也不可能承受拉力，否则将平衡破坏，与静止液体的前提不符。所以，静水压强唯一可能的方向就是和作用面的内法线方向一致。

(2)静水压强的大小与其作用面的方位无关，亦即任何一点处各方向上的静水压强大小相等。在静止的液体中点()z y x M ,,附近，取一微分四面体如图2-2所示。

为方便起见，三个正交面与坐标平面方向一致，棱长分别为dx 、dy 、dz 。任意方向的倾斜面积为n dA ，其外法线n 的方向余弦为()x n ,cos 、()y n ,cos 、()z n ,cos ，则

()()()dxdy z n dA dzdx y n dA dydz x n dA n n n 2

1,cos 2

1,cos 2

1,cos === 四面体所受的力包括表面力和质量力。在静止液体中表面力只有四个面上的压力P x 、P y 、P z 和P n 。设各面上的平均压强分别为p x 、p y 、p z 、p n ，则

n n n z z y y x

x dA p P dxdy p P dzdx p P dydz p P 212

12121====

四面体的体积是61dxdydz ，质量是61dxdydz ρ，设单位质量力在坐标轴方向的分量分别为X 、Y 、Z ，则质量力F 在坐标轴方向的分量是：

dxdydzZ F dxdydzY F dxdydzX F z y x ρρρ6

16

16

1=== 根据力的平衡条件，四面体处于静止状态下各个方向的作用力之和应分别为零。以x 方向为例：

()0,cos =+-x n x F x n P P

将上面各式代入后得

06

12121=+-dxdydzX dydz p dydz p n x ρ 当dx 、dy 、dz 趋近于零，也就是四面体缩小到M 点时，上式中左边最后一项质量力和前两项表面力相比为高阶微量，可以忽略不计，因而可得出

n x p p =

同理，在y 方向得n y p p =，在z 方向可得n s p p =，所以

n s y x p p p p === (2-1-2)

因为n 方向是任意选定的，故上式表明，静水中同一点各个方向上的静水压强均相等，与作用面的方位无关，可以把各个方向的压强均写成p 。因为p 只是位置的函数，在连续介质中，它是空间点坐标的连续函数：

()z y x p p ,,=

(2-1-3)

§2-2 液体平衡微分方程及其积分

1．液体平衡的微分方程

在静止液体中任取一边长为dx 、dy 、dz 的微小正六面体，如图2-3所示。

设其中心点()z y x O ,,'的密度为ρ，液体静水压强为p ，单位质量力为X 、Y 、Z 。以x 方向为例，过点O ′作平行于x 轴的直线与六面体左右两端面分别交于点⎪⎭⎫ ⎝⎛-z y dx x M ,,21和⎪⎭

⎫ ⎝⎛+z y dx x N ,,21。因静水压强是空间坐标的连续函数，又dx 为微量，故点M 和N 的静水压强，可按泰勒级数展开并略去二阶以上微量后，分别为:

dx x p p p dx x p p p N M ∂∂+=∂∂-

=2121 由于六面体各面的面积微小，可以认为平面中点的静水压强即为该面的平均静水压强，于是可得作用在六面体左右两端面上的表面力为

dydz dx x p p p dydz dx x p p p N M ⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂-=2121 此外，作用在六面体上的质量力在x 方向的分量为X ²dxdydz ρ。

由静力平衡方程，在x 方向上有 (p-21x p ∂∂dx )dydz-(p+21x

p ∂∂dx)dydz+X ∙ρdxdydz=0 化简上式并整理得

同理，考虑y ,z 方向可得 X-

ρ1x

p ∂∂=0 Y-ρ1y

p ∂∂=0 Z-ρ1z p ∂∂=0 (2-1-4) 上式为液体平衡微分方程，是由瑞士学者欧拉(Euler)于1775年首先导出的，故又称欧拉平衡方程。它表明了处于平衡状态的液体中压强的变化率和单位