极限的运算

；
同样，第二段时间末细菌的数量为：
A0
(1
k
t )2 n
……依此类推，
到最后一段时间末细菌的数量为：A
0
(1
k
t n
)n
.
若对时间间隔无限
细分（即 n ），则可以得到经过时间 t 后细菌的总数 A(t) ：
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1.3.2 两个重要极限
生长函数
y A0ek t
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1.3.2 两个重要极限
课堂练习 P30 习题1-3: 4(1),(4)
高等数学应用教程 小结
1.3 极限的运算
极限的运算法则 两个重要极限 求极限的方法类型 应用——生长函数
作业
P29，习题1-3: 1（3）—（8）； 4（2）， （4） ，（5）， （6）
例5
、例 6
中分子与分母的
极限均为零，但它们商的极限却可能会有各种不同的极限 值，因此称这种类型的极限为未定式的极限. 未定式的极 限类型主要有 0 ， ， 0 g ， 、1
0
例7 求
解
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1.3.1 极限的运算法则
例8 求
解 该式是 g0 型的未定式，先对分子有理化，再 用 x 除分子、分母.
1.3.2 两个重要极限
例10 解
高等数学应用教程 例11 解
1.3.2 两个重要极限
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1.3.2 两个重要极限
例12 证 由P12例1.16得到：圆内接正边形面积为
所以
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2.
lim
x
1
1 x
x
e
（ 1
）
1.3.2 两个重要极限
公式：
lim
x
1
1 x
x
e
结构特点
➢ 1.3.1 极限的运算法则
➢ 1.3.2 两个重要极限 ➢ 1.3.3 无穷小的比较
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1.3.1 极限的运算法则
定理1.5
1.3.1 极限的运算法则
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1.3.1 极限的运算法则
例1 解 一般可以用代入法求多项式函数及有理函数的极限
即
方法总结：直接代入法求极限
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2
解法2
高等数学应用教程 例15
1.3.2 两个重要极限
解 将 时 间 间 隔 [0,t] 分 成 n 等 份 . 由 于 细 菌 的 繁 殖 速 度 为
v
kA
0
，此即为单位时间的繁殖数量.在第一段时间
(0,
t) n
内细菌繁
殖的数量为：
kA 0
t n
；第一段时间末细菌的数量为：
A0 (1
k
t) n
n
1 n2
2 lim
n n 2
L
n lim
n n 2
00L 0 0
错在哪里？
解
lim
n
1 n2
2 n2
L
n n2
高等数学应用教程 例5
1.3.1 极限的运算法则
解 方法总结：消去零因子法（因式分解）法求极限
例6
解
方法总结：消去零因子法（有理化）法求极限
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1.3.1 极限的运算法则
1.3.1 极限的运算法则
例2 解
由无穷小与无穷大之间的关系得
方法总结：利用无穷小与无穷大之间的倒数（分母 不为零）关系求极限
高等数学应用教程 例3 解
1.3.1 极限的运算法则
方法总结：无穷小分出法求极限
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1.3.1 极限的运算法则
例4
错解
lim
n
1 n2
2
n2
L
n n2
lim
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1.3.1 极限的运算法则
求极限方法小结
（ 1）运用极限的四则运算法则 时，必须注意只有各项极限存在（求
商时还要规定分母的极限不为零）才
能适用；
（2）如果所求极限是 0 或 等 0
不定 式形式，不 能直接用 极限法则 时，必须先对原 式进行恒等变形（因 式分 解、通分、 有理化、 变量代换 等），然后再求极 限.
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1.3 极限的运算
复习
数列极限 函 数 极 限
lim
n
xn
a
lim f ( x) A
x
lim f ( x) A
x x0
无穷大 lim f (x)
两者的 关系
ห้องสมุดไป่ตู้
极限存在的 充要条件
左右极限
无穷小 lim f ( x) 0
无穷小 的性质
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1.3 极限的运算
1.3 极限的运算
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1.3.2 两个重要极限
例13
解 所以
1
lim(1 x)x
x0
lim
t
1
1 t
t
e
第二个重要极限公式的两种形式:
形式1
lim
x
1
1 x
x
e
1
形式2 lim 1 x x e x
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1.3.2 两个重要极限
例14 解法 1 用变量代换法令 t x ，当 x 时， t
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1.3.1 极限的运算法则
课堂练习 P29 习题1-3: 1(1),(2),(3),(6);2
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1.3.2 两个重要极限
1. lim sin x 1 （ 0 ）
x0 x
0
1.3.2 两个重要极限
公式： lim sin x 1 x0 x
结构特点
高等数学应用教程 例9 解