第二节 多元函数的偏导数
第二节 偏导数
V k , T V, T P P k
从而
P V
V T
T P
kT V2
k P
V k
kT PV
1
.
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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警告各位！
偏导数 z 是一个整体记号, 不能拆分. x
不能像一元函数那样将 z , z 看成是
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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1997年研究生考题, 选择, 3分
f
(
x,
y)
x2
xy
y2
( x, y) (0,0)在点(0,0)处( C
).
0 ( x, y) (0,0)
A. 连续,偏导数存在;
B. 连续,偏导数不存在; C. 不连续,偏导数存在; D. 不连续,偏导数不存在.
x y
z 与 x , y 的商.
2019年12月24日星期二
徐州工程学院数理学院
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例7 求 u e x xy2z3 的偏导数 .
解:
u e xxy2z3 (1 y2 ) ;
x
u e xxy2z3 2x y ; y
u e xxy2z3 (3z2 ) . z
函数有相应的增量 (称为关于x的偏增量), 即
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
如果极限
lim x z lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
x0 x x0
第 二 节 偏 导 数
定理7.1
在区域D内连续，那么在该区域 内这两个二阶混合偏导 数必
相等.
2 2 2 (0,0,1), f xz (1,0,2), 例6 设f ( x, y, z) xy yz zx , 求f xx
§7.2 偏导数
偏导数的概念 偏导数的几何意义
偏导数与连续的关系
高阶偏导数 小结 思考与练习
偏导数的概念
设函数z f ( x, y)在点（x0 , y0 )的某一邻域内有定义， 当y固定
在y0 , 而x在x0处有增量x时, 相应的函数有增量
x z f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )
例1 解
求z x 2 sin 2 y的偏导数。
为求 z , 视y看作常数，对 x求导，得 x
z 2 x sin 2 y x
z z 2 x 2 cos 2 y 为求 , 视x看作常数，对y求导，得 y y
例2 解
设f ( x, y ) x y x 2 y 2 , 求f x(3,4), f y (0,5)
偏导数与连续的关系
我们知道，一元函数 y f ( x)在x0可导，则它在该点必连 续.
但对于二元函数 z f ( x, y),即使在点 ( x0 , y0 )的两个偏导数都存在 ,
函数f ( x, y)在点（x0 , y0 )不一定连续。
x2 y 2 例如 f ( x, y ) 1
z x,
f x ( x, y),
z , y
f ( x, y ) , y
z y,
f y( x, y),
-多元函数的偏导数
偏导数存在 连续. 反之成立吗？
例如： z x2 y2 在（0,0）连x0
x
在（0,0）处对 x 不可导。
同理在(0,0)点对 y 的偏导数也不存在.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面z f ( x, y) 上一点, fx ( x0, y0 ), f y ( x0, y0 )在几何上表示
偏导函数在点 ( x0, y0 ) 处的函数值。
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f ( x, y, z)在 ( x, y, z)处
fx(x, y, z)
lim
x0
f ( x x,
y,z) x
f (x, y,z),
f
y
(
x,
y,
z
)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z) lim f ( x, y, z z) f ( x, y, z) .
z
z0
z
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,1) 处的偏导 数．
解 z 2x 3y ; z 3x 2 y .
x
y
z x
x1
y1
21 31 5 ,
z y
x1 y1
31 21 5 .
有关偏导数的几点说明： １、偏导数u 是一个整体记号，不能拆分;
x
* ２、求分界点处的偏导数要用定义求；
例
5
设
f
( x,
y)
xy x2 y2
0
求 f ( x, y)的偏导数.
( x, y) (0,0) ( x, y) (0,0)
第二节：偏导数
2 f 2z z = , 或 zx y , 或 fx y ( x, y). ,或 xy xy y x
.
x z z 例 3 设z = arcsin 2 ,求 , . 2 x y x +y
解
z = y
1 x2 1 2 x + y2
′ x x2 + y2 y
x2 + y2 (xy) = | y| ( x2 + y2 )3
x 2 , y>0 2 x +y = x 2 , y<0 2 x +y
理 以 义 数 同 可 定 函 z = f ( x, y)对 变 y 的 导 , 自 量 偏 数
z f 记作 , , z y 或 f y ( x, y). y y
上述关于二元函数偏导数的定义, 上述关于二元函数偏导数的定义,可推广到 n 元函数的情形. 元函数的情形. 例如: 例如:u = f ( x , y , z )
第二节 偏导数
一,偏导数的定义及其计算法 二,高阶偏导数 三,小结
一元函数导数概念的回顾 定义: 的某个邻域内有定义, 定义:设 y = f (x) 在点 x0 的某个邻域内有定义, 当自变量 x 在 x0 处取得增量 x ( x0 + x仍在该邻域内) 相应的函数也取得增量 y = f ( x0 + x) f ( x0 )
y= y0
y= y0
如果函数 z = f ( x, y)在区域 D内任一点( x, y)处对
x的偏导数都存在,那么这个偏导数还是 x, y的函数, 的偏导数都存在, 的函数, 的偏导函数, 它就称为函数 z = f ( x, y)对自变量 x的偏导函数,
简称为偏导数. 简称为偏导数. z f , zx或 fx ( x, y) 记为 , x x
多元函数的偏导数
z 解 因为 2 x sin 2 y, x
所以
dz 2x sin(2 y)dx 2x2 cos(2 y)dy
2
例3 求函数 z 1 x 解 因为
y 2 4 的全微分 dz
z 2 x x x 2 1 x 2 1 x2
2 zy x 2y 4 z yy 2 x 2y
z yx
2
x 2y
2
例4 求下列二元函数的所有二阶偏导数
2
解
ze
x2 y
z x2 y e 2 xy x 2 z x2 y 2 2 x2 y e 4 x y 2 ye 2 x
z x2 y e x2 y 2 z 4 x2 y x e 2 y
z 相对于 x 以及 z 相对于 y 的瞬时变化率——偏导数
z f x, y 为例，我们分别讨论：
偏导数的定义
设函数 若
x 0
lim
z f x, y 在点 x0 , y0 的某一邻域内有定义， f x0 x, y0 f x0 , y0
函数
偏导数的定义
对一元函数：
导数
f x0 x f x0 f x0 lim x 0 x
y f x
描述了函数在
x x0 处的瞬时变化率，
0
它的几何意义就是函数曲线上点
x , f x 处的切线的斜率。
0
对于多元函数，我们同样感兴趣它在某处的瞬时变化率问题， 以二元函数
所以
z 2y y x 2 y 2 4 y2 4 x y dz dx dy 1 x2 y2 4
第二节 偏导数
f ( x Δx , y , z) f ( x , y , z)
fx(x
,
y
,
z)
lim
Δx 0
Δx
f ( x , y Δy , z) f ( x , y , z)
fy(x
,
y
,
z)
lim
Δy 0
Δy
f ( x , y , z Δz) f ( x , y , z)
fz(x
,
y
,
z)
lim
函数在此点连续
• 混合偏导数连续
与求导顺序无关
2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法
先代后求 先求后代 利用定义
逐次求导法
(与求导顺序无关时， 应选择方便的求导顺序)
第九章 第二节
24
f
(
x,
y)
x2
xy
y
2
( x , y) (0 , 0)
0 ( x , y) (0 , 0)
依定义知在 (0 , 0) 处，fx (0 , 0) f y (0 , 0) 0
但函数在该点处并不连续，
所以偏导数存在 连续
第九章 第二节
13
例5 理想气体的状态方程 pV = RT (R 为常数) ，
y( y2 x2 ) ( x2 y2 )2
当 ( x , y) (0 , 0) 时，
f (0 Δx , 0) f (0 , 0)
fx
(0
,
0)
lim
Δx0
Δx
0
第九章 第二节
11
fx(x
,
y)
y(
y2
x2
)
8-2多元函数的偏导数
解(方法1) 先求后代
z 2x3y,
x
z
3x2y
y
z
21328,
x (1, 2)
z
31227
y (1, 2 )
(方法2) 先代后求
z y 2 x2 6x4
z x
(1,
dz(x,2) 2 ) dx
x1ddx(x26x4)x1
(x0, y0)处对x 的偏导数，记为
z
f
; x ( x0 , y0 )
; x ( x0, y0 )
zx ( x0 , y0 ) ;
fx(x0,y0).
注
fx(x0, y0)
lim f(x0 x,y0)f(x0,y0) d
x 0
x
dx
f
(x,
y0)
xx0
同样可定义 函数 f(x, y) 在点(x0, y0) 对 y 的偏导数
例9 证明函数
1 u ,r
x2y2z2满足拉普拉斯
r
方程
2u 2u 2u u 0
在点 (x , y , z) 连续时, 有
f x y z ( x ,y , z ) f y z x ( x ,y , z ) f z x y ( x ,y , z ) f x z y ( x , y , z ) f y x z ( x , y , z ) f z y x ( x , y , z )
第八章
第二节 多元函数的偏导数
一、 偏导数的概念 二 、偏导数的计算 三 、偏导数的几何意义 四 、高阶偏导数
一、偏导数的概念
1.引例 弦线的振动问题. 研究弦在点 x0 处的振动 速度与加速度 , 就是将 振幅 u(x, t) 中的 x 固定 于x0 处, 求 u(x0, t) 关于 t 的一阶导数与二阶导数.
多元函数的偏导数与全微分
f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数，记为
z f ， ，z x x0 x x0 x x x y y y y
一、偏导数的概念 二、偏导数的计算 三、全微分的概念与应用
1、偏导数的定义及其计算法
定义 1 设函数 z f ( x , y )在点 ( x0 , y0 ) 的某一 邻域内有定义，当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有增 量 x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) ，
说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全
微分存在，
定理２（充分条件）
z z 导数 、 都存在，且在点( x , y )可微分．
上述两个定理也完全适用于三元及三元以上的多 元函数.
如果函数 z f ( x , y )的偏
x z arctan 例 5 计算函数 y 的全微分.
f ( x, y ) 可以证明，对本例中的函数f (x,y), ( x , ylim ) ( 0 , 0 ) 不存在，因此它在原点不连续,但在原点的两个偏 函数都存在，这一点和一元函数是不同的.在一元 函数中，我们证明了函数可导则一定连续。
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
x2 y2 0
2 2
.
x y 0
f x (0,0) f y (0,0) 0
x y z [ f x (0,0) x f y (0,0) y ] , 2 2 ( x ) ( y )
(0,0) ， 如果考虑点 P ( x , y ) 沿着直线y x 趋近于
多元函数的偏导数计算
偏导数是微积分中重要的概念之一，用来描述多元函数在某个特定变量上的变化率。
多元函数是指依赖于多个自变量的函数，比如 f(x, y) 或者 g(x, y, z) 等。
在计算偏导数时，我们只关注其中一个自变量的变化对函数值的影响，而将其他自变量视为常数。
偏导数的计算方法与单变量函数的导数计算类似，我们只需要将其他所有自变量视为常数，然后对目标变量求导即可。
以二元函数 f(x, y) 为例，偏导数可以表示为∂f/∂x 和∂f/∂y，分别表示函数在 x 和 y 方向上的变化率。
对于一般函数 f(x, y)，偏导数的计算方法如下：1.对于目标自变量 x，将 y 视为常数，然后对 f(x, y) 求关于 x 的导数，即为∂f/∂x。
2.对于目标自变量 y，将 x 视为常数，然后对 f(x, y) 求关于 y 的导数，即为∂f/∂y。
在实际计算过程中，可以使用基本的导数规则，如乘法规则、链式法则等，来计算偏导数。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以按照上述方法计算出偏导数为：∂f/∂x = 2x + 2y∂f/∂y = 2x + 2y这样，我们就可以得到关于 x 和 y 的偏导数的表达式。
需要注意的是，偏导数计算中有一个重要的概念叫偏导函数。
偏导函数是指将多元函数的偏导数作为自变量构成的新函数。
例如，对于函数 f(x, y) = x^2 + 2xy + y^2，我们可以求得偏导函数：fx(x, y) = 2x + 2yfy(x, y) = 2x + 2y偏导函数的计算能够帮助我们更好地理解多元函数的性质和行为。
通过分析偏导函数，我们可以判断函数在某个点的变化趋势、最大值和最小值等信息。
除了二元函数，我们还可以推广偏导数的计算到更高维度的函数，比如三元函数、四元函数等。
对于 n 元函数f(x1, x2, …, xn)，我们可以依次求各个自变量的偏导数，即∂f/∂x1、∂f/∂x2、…、∂f/∂xn。
多元函数微分学偏导数与全微分
fx 1
x x2 y2
fy 1
y x2 y2
f y (0,2)
fx (0,1) 1, f y (0,2) 0
例2. u zxy 求偏导数
u x
z xy (ln
z) y
u y
z xy (ln z)x
u xyz xy1
z
例3.
f
(x,
y)
求 2z , 2z
yx xy
z x
1
1 ( y )2
(
y x2
)
y , x2 y2
x
z y
1 1 ( y)2
1 x
x x2
y2
,
x
2z yx
y2 x2 (x2 y2)2
2z xy
例6. z x3 y2 3xy3 xy 1
x2
y2 z2
,
u z
3xy2 z 2
sin
x2 y2 z2
2xy2 (x2
y2 ) cos
x2
z2
y2
2.
z
x sin
y x
cos
y x
,求
2z y 2
,
2z xy
z cos y 1 sin y ,
y
xx x
2z y 2
1 x
sin
y x
求 2z , 2z , 2z , 2z , 3z
x2 yx xy y 2 x3
z 3x2 y2 3y3 y, z 2x3 y 9xy2 x
多元函数偏导数公式
多元函数偏导数公式多元函数偏导数公式是对多元函数进行求导的一种工具。
偏导数表示了函数在其中一方向上的变化率，它是求导数的一个特殊形式，即将变量除了所求导变量之外都视为常数。
在多元函数中，一个自变量的变化不会影响其他自变量的取值，因此我们只需分别对每个自变量求导即可。
对于一个二元函数f(x,y)，它包含两个自变量x和y。
我们可以通过对每个自变量分别求导的方式来求得偏导数。
具体来说，偏导数表示了函数在其中一自变量的变化方向上的变化率。
偏导数的求导公式如下：1.对于单个自变量的偏导数：a)对于自变量x的偏导数：∂f/∂xb)对于自变量y的偏导数：∂f/∂y通过对f(x,y)分别对x和y求偏导数，我们可以得到函数在x和y 方向上的变化率。
2.对于多个自变量的偏导数：a)对于变量x1的偏导数：∂f/∂x1b)对于变量x2的偏导数：∂f/∂x2c)对于变量x3的偏导数：∂f/∂x3...对于一个n元函数，我们可以分别对每个自变量求偏导数，得到函数在每个自变量方向上的变化率。
需要注意的是，对于一个多元函数，偏导数的计算顺序是无关紧要的。
也就是说，我们可以先对自变量x求偏导数，再对自变量y求偏导数，或者先对y求偏导数，再对x求偏导数，最终得到的结果是相同的。
除了偏导数外，我们还可以求高阶偏导数。
高阶偏导数表示了函数在多个变量上的变化率。
对于二阶偏导数，我们可以通过将一阶偏导数再次进行求导来得到。
例如，对于函数f(x,y)，我们可以先对x求偏导得到∂f/∂x，然后再对x求偏导，得到∂²f/∂x²。
同样，我们也可以对y求偏导得到∂f/∂y，然后再对y求偏导，得到∂²f/∂y²。
此外，我们还可以求混合偏导数，即对一个自变量求偏导后再对另一个自变量求偏导。
例如，对函数f(x,y)，我们可以先对x求偏导后再对y求偏导，得到∂²f/∂x∂y。
综上所述，多元函数偏导数公式提供了计算函数在各个自变量方向上的变化率的工具。
第八章第2节 偏导数及其应用
一、 多元函数的偏导数
三. 多元函数的偏导数
x
y x f y x x f x z x ∆−∆+=∂∂→∆),(),(lim 0
求多元
函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质
上是求忘记了, 请赶快复习
一下.如果一元函数的求
导方法和公式
求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n－1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .
3xy+
=
x
tan ),( 000β=∂∂=y
y x f x x 平面上在四. 偏导数的几何意义
五. 偏导数存在与连续的关系连续可导连续可导
( ),( 2222≠++=y x y
x xy y x f
该例说明了一个重要问题：
想想是什么问题?
二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿x 轴和y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.
六高阶偏导数六 高阶偏导数
二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项二元函数的二阶偏导数共 22 = 4 项
发现求高阶导数与求导顺序有关.
废话! 求出偏导数才能判断连续性, 这时一眼就可看出混合偏导数是否相等了, 还要定理干什么.
七、偏导数在经济分析中的应用
——交叉弹性(cross elastic)
自学
自学的内容也很重要啊！。
第二章多元函数微分法及其应用第二节偏导数与全微分
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
- 21 -
第二节 偏导数与全微分
二 全微分
1 全微分的定义
第
八 函数 z f ( x, y) 在点 P( x, y)的某邻域内有定义，
章并设 P( x x, y y) 为这邻域内的任意一点，则
多
元称这两点的函数值之差
u x
ye xy yz2
元 函 数 的
2u xy
e xy
xye xy z2
微 分 法 及
2u 0 2 yz 2 yz xz
其
应
用
- 20 -
第二节 偏导数与全微分
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？
第 定理. 若 fx y ( x,y)和 f y x ( x,y)都在点( x0 , y0 )连续, 则
dx
f ( x, y0 )
x
x0
z
M0
元 函 数 的
是曲线
z
f (x, y y0
y)在点
M0 处的切线
Tx
微 分
M 0Tx
对 x 轴的斜率.
o
Ty
y0
y
法 及 其 应
f
d
y
x x0 y y
0
dy
f ( x0, y)
y
y0
x0
x
用 是曲线
在点M0 处的切线 M0Ty 对 y 轴的
分 法
fz(x, y,z) ?
及
其
应
用
x x
x
x
高等数学讲义——多元函数微分法
dz Ax By
定理2 (必要条件) 若函数 z f (x, y)在点(x, y)可微,则
(1) f (x, y)在(x, y)处连续;
xy
yx
例4 证明u
1
满足拉普拉斯方程
x2 y2 z2
2u x 2
2u y 2
2u z 2
0
证明:
u
1
(x2
y2
z
2
)
3 2
2x
x 2
x
3
(x2 y2 z2)2
2u x 2
(x2
1 y2
3
z2)2
x[ 3 (x2 2
y2
5
z2) 2
2x]
2x2 y2 z2
5
(x2 y2 z2)2
F f xy (x 3x, y 4y)xy 0 3 , 4 1
f yx (x 2x, y 4y) f xy (x 3x, y 4y)
由于f xy , f yx连续, 令x 0, y 0得 : f xy (x, y) f yx (x, y)
二. 全微分
1. 概念
x
(3)u z yx
z 6x2 y 2 ex y
(2) z x
1
1
y2 x2
(
y) x2
x2
y
y2
;
z x y x2 y2
(3) u z y x ln z y x ln y; u z y x ln z xy x1;
x
y
u y x z y x 1 z
多元函数微分学(共184张PPT)
z
sin
x2
1 y2
1
• 在 点圆 都周 是x2间 断y2 点1，是上一没条有曲定线义，. 所以该圆周上各
• 性质1(最大值和最小值定理) 在有界闭区域 D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小
值.
• 在D上至少有一点 及一点 ，使得 为最大 值而 为最小值，P 即1 对于一切P 2 P∈D，有f ( P1 )
•
P
于E的点，也有不属于E的点，
•
E
则称P为E的边界点（图8-2）.
•
设D是开集.如果对于D内的
• 图 8-1 任何两点，都可用折线连结起
上一页 下一页 返 回
•
来,而且该折线上的点都属于D,
•
P 则称开集D是连通的.
•
连通的开集称为区域或开区域.
•
E
开区域连同它的边界一起,称
•
为闭区域.
• 图 8-2
f( x x ,y ) f( x ,y ) A x ( x )
• 上式两边各除以 x ，再令 x 0而极限，就得
limf(xx,y)f(x,y)A • 从而 ，x 偏0导数 z 存 在x，而且等于A.同样可证
• =B.所以三式 x 成立.证毕.
z y
上一页 下一页 返 回
• 定理2(充分条件) 如果z=f(x,y)的偏导数
• 3.n维空间
• 设n为取定的一个自然数,我们称有序n元数组
•
的全体为n维空间,而每个有序n元数
(x1组,x2, ,xn) 称为n维空间中的一个点,数 称
(x1,x2, ,xn)
xi
上一页 下一页 返 回
• 为该点的第i个坐标,n维空间记为 .n
大学高数第四章1-2节_多元函数-偏导数与全微分
(x, y)1 x2 y2 4 是有界闭区域
(x, y) x y 1是无界开区域
30
例1 求 f ( x, y) ln(x y) 的定义域
解 所求定义域为
x y0
D {( x, y) | x y 0}.
例2 求 f ( x, y) arcsin(x2 y2 ) 的定义域。
O
x
以点P0 (x0, y0 )为中心、
以为半径的圆的内部所有点
24
邻域
o
点P0(x0, y0)的去心邻域 记作U (P0, )
o
U (P0 , ) (x, y) 0 (x x0 )2 ( y y0 )2
y
当不需要强调邻域半径时，
P0 (x0, y0 )
P的邻域和去心邻域
可分别简记为
P 则称P为E的边界点
E的边界点全体称为E的边界27
例：平面点集E
E (x, y)1 x2 y2 2
满足1 x2 y2 2的点(x, y)是E的内点 满足x2 y2 1的点(x, y)是E的边界点
这些边界点不属于E
满足x2 y2 2的点(x, y)是E的边界点 这些边界点属于E
只含x, z而缺y的方程F(x, z) 0 表示平行于y轴的柱面 只含y, z而缺x的方程F( y, z) 0 表示平行于x轴的柱面
15
平面方程
Ax By Cz D 0 (A, B,C不同时为零) D 0, Ax By Cz 0 过原点的平面 C 0, Ax By D 0 平行于z轴的平面
于p0 (x0, y0 )时,函数f (x, y)都无限趋近于一个常数A,则称
f (x, y)当p(x, y) p0 (x0, y0 )时,以A为极限, 记作
多元函数二阶偏导数
多元函数二阶偏导数多元函数二阶偏导数是关于多元函数的导数的高阶导数，用来分析多元函数形态和变化特征，是深入理解和研究多元函数的重要工具。
通俗来讲，多元函数二阶偏导数指的是多元函数H（x1，x2，x3，…xn），在（x1，x2，x3，…xn）中，任意两个变量xi，xj的二阶偏导数。
定义：如果存在多元函数H（x1，x2，x3，…xn），其偏导数存在且连续，则多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）中，任意两个变量xi，xj的二阶偏导数可定义为：H2（xi，xj）=2H/xixj=2H/xjxi。
多元函数二阶偏导数具有丰富的几何意义。
多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的二阶偏导数可表示为H2（xi，xj），其余向量（x1，x2，x3，…xn）的组合也可以使用二阶偏导数的符号表示。
例如：H（x，y）的二阶偏导数可表示为H2（x，y）=h2（x，y）（x），其余两向量（x，z）可用H2（x，z）=H2（x，y）（x）表示。
此外，多元函数二阶偏导数具有重要的应用意义，主要表现在一下几个方面：一是决定极值点，多元函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的极值可由满足条件：H2（xi，xj）> 0（xi，xj至少有一个可以改变）的不等式定义出来。
二是决定曲线的切线问题，求多变量函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处切线斜率t[H(x1,x2,x3,...,xn)]，则有t[H(x1,x2,x3,...,xn)] = H2(x1,x2) + H2(x1,x3) + + H2(xn-1,xn) 三是求积分，求多变量函数H（x1，x2，x3，…xn）在（x1，x2，x3，…xn）处的不定积分，则有∫H(x1,x2,...,xn)dx1dx2...dxn=H2(x1,x2)[1/3(x1-a1)(x2-a2)^3+1 /2(x2-a2)(x1-a1)^2]+H2(x2,x3)[1/3(x2-a2)(x3-a3)^3+1/2(x3-a3 )(x2-a2)^2]+...+H2(xn-1,xn)[1/3(xn-1-an-1)(xn-an)^3+1/2(xn-an)(xn-1-an-1)^2]以上，就是多元函数二阶偏导数的定义、意义和应用的一些基本概念，多元函数二阶偏导数的重要性不言而喻。
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f ( x 0 , y 0 y ) f ( x 0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为
偏导数 , 记为
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
2
类似可以定义更高阶的偏导数. 例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数 为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
n z ) n 1 x y
例8. 求函数 z e
x2y
z x2y 解: e x
在点 (x , y , z) 连续时, 有
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等 函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导
数可以选择方便的求导顺序.
例10. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
分子与分母的商 !
p V T RT 1 V T p pV
例5 . 求 z
3
x y 在点(0,0) 处的偏导数.
2 2 z x y 例6. 求 在点(0,0) 处的偏导数.
x2 y , ( x， y ) (0, 0) 4 2 例7. 求 z f ( x, y ) x y 0 , ( x， y ) (0, 0)
2z
例3. 求 的偏导数 . 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作
2
2
二 者 不 等
定理. 若 f x y ( x,y ) 和 f y x ( x,y ) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续 , 则
f x y ( x0 , y 0 ) f y x ( x0 , y 0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数
解法2: z
2 x 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
2 1 3 y y x 1
z y (1, 2)
求证 例2. 设 z x y ( x 0, 且 x 1 ） ， x z 1 z 2z y x ln x y 证:
x z 1 z y x ln x y
z . 的二阶偏导数及 2 y x z 2 e x2y y 2z 2 e x2y x y
3
x y 2 2 xy 2 , x y 0 2 例9 f ( x , y ) x y 2 2 0, x y 0 4 2 2 4 x 4x y y 2 2 y , x y 0 2 2 2 f x ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 2 2 x , x y 0 2 2 2 f y ( x, y ) (x y ) 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
f ; zx x ( x0 , y 0 )
( x0 , y 0 )
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim x 0 x
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y , z ) ?
二元函数偏导数的几何意义: f d f ( x, y 0 ) x x0 x x0 x y y0 dx
z
M0
z f ( x, y ) 在点 M0 处的切线 是曲线 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的
斜率.
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
谢 谢！
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数
z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y )
的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导
数:
2 z z z z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x 2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
1 3 x2 1 3 x r 2u 4 3 5 r r x2 r 3 r x 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2u 2u 2u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
2
z x2y e 2 x 2 2 z z x2y x2y 2 e 4 e y x y2 3 z 2z x2y ( ) 2e 2 x y x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
在点(0,0) 处的偏导数.
注意： 函数在某点各偏导数都存在, 但在该点不一定连续. 例如
xy , x2 y2 0 2 z f ( x, y ) x y 2 2 2 0 , x y 0
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
一、 偏导数定义及其计算法 定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , 0 ) 对 x 的偏导数，记为
r2
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)