高中数学知识点精讲精析 直观图

1.3 直观图

1.概念：用来表示空间图形平面图像，叫做空间图形的直观图.

把空间图形画在平面内，使得既富有立体感，又能表达出图形各主要部分的位置关系和度量关系的图形.

2.斜二测画法

斜二测画法为国家规定的画直观图的一种方法，它的规则为：

（1）建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系；

（2）画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的,,使=450（或1350

），它们确定的平面表示水平平面；

（3）画对应图形，在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一半；

（4）擦去辅助线，图画好后，要擦去轴.轴及为画图添加的辅助线（虚线）.

3.正等测画法与斜二测画法的区别

正等测画法的依据仍是平行投影的性质，与斜二测画法的主要区别是：

正等测画法的投射线和人的视线平行，并且投射线与投射面垂直

1. 画棱长为2厘米的正方体的直观图.

OX OY ''X O ''Y O '

''X OY

X 'X Y '

Y X Y

画法：

第一步：作水平放置的正方形直观图ABCD ，使=，AB=2cm ，AD=1cm. 第二步：过A 作z ′轴，使=，分别过点B ，C ，D 作z ′轴的平行线，在z ′

轴及这组平行线上分别截取AA ′=B B ′=C C ′=D D ′=2cm.

第三步：连结A ′B ′，B ′C ′，C ′D ′，D ′A ′.

斜二测画法规则：

（1）在已知图形中取互相垂直的x 轴.y 轴.再过交点O 截取z 轴，使画直观图时，把它画成对应的x ′轴.y ′轴，使∠x ′O ′y ′=45°（或135°）.它们确定的平面表示水平平面.

（2）已知图形中平行于x 轴.y 轴.z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x ′轴.y ′轴，z ′轴的线段.

（3）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y 轴的线段，长度为原来的一半

例2.画正五棱柱的直观图，使底面边长为3cm 侧棱长为5cm.

解析：先作底面正五边形的直观图，再沿平行于Z 轴方向平移即可得.

作法：

（1）画轴：画X ′，Y ′，Z ′轴，使∠X ′O ′Y ′=45°（或135°），∠X ′O ′Z ′=90°.

（2）画底面：按X ′轴，Y ′轴画正五边形的直观图ABCDE.

（3）画侧棱：过A.B.C.D.E 各点分别作Z ′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA ′，BB ′，CC ′，DD ′，EE.′

（4）成图：顺次连结A ′，B ′，C ′，D ′，F ′，加以整理，去掉辅助线，改被遮挡的部分为虚线.

点评：用此方法可以依次画出棱锥.棱柱.棱台等多面体的直观图.

点评：该题属于斜二测画法的应用，解题的关键在于建立实物图元素与直观图元素之间的对应关系.特别底和高的对应关系.

例3. 已知斜二测画法得得的直观图A/B/C/是正三角形,画出原三角形的图形．

（例2题图）

解析：在直角坐标系xOy 中, 取OB=O/B/, OC=O/C/, OA=2O/A/, 如图, 连结ABC

便得到

BAD ∠45'BAZ ∠ 9090,90xoz yoz ∠=∠=

∆

原图.

（例2题图）