例谈中考数学能力考查

例谈中考数学能力考查

南安国光初级中学吴文献

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纵观近几年的泉州市数学中考试题和每年的各区市数学质检试卷，我们不难发现，数学综合题的重点都放在高中继续学习的函数问题上。此类题在中考中往往有起点不高、但要求较全面的特点。常常以数与形、代数计算与几何证明、相似三角形和四边形的判定与性质、画图分析与列方程求解、勾股定理与函数、圆和三角函数相结合的综合性试题。同时考查学生初中数学中最重要的数学思想方法，如数形结合的思想、分类讨论的思想和几何运动变化等数学思想。此类题融入了动态几何的变和不变，对给定的图形施行平移、翻折和旋转的位置变化，然后在新的图形中分析有关图形之间的关系。

这些题目的特点是：注重考查学生的实验、猜想、证明的探索能力。解题灵活多变，能够考查学生分析问题和解决问题的能力，有一定难度，但上手还是容易的。此类题还常常会以几个小问题的形式出现，相当于几个台阶，这种恰当的铺垫给了考生较宽的入口，有利于考生发挥正常水平。

(一)函数型综合题：

压轴题的灵魂是数形结合，数形结合的精髓是函数，函数的核心是运动变化。

这类题型是先给定直角坐标系和几何图形，求(已知)函数的解析式(即求解前已

知函数的类型)，然后进行图形的研究，求点的坐标或研究图形的某些性质。

初中已知函数有①一次函数(包括正比例函数)和常值函数，它们所对应的图像是直线；②反比例函数，它所对应的图像是双曲线；③二次函数，它所对应的图像是抛物线。求已知函数的解析式主要方法是待定系数法，关键是求点的坐标，而求点的坐标基本方法是几何法(图形法)和代数法(解析法)。

例1（2011四川凉山）二次函数2

y ax bx c

=++的图象如图所示，反比例函

数

a

y

x

=与正比例函数y bx

=在同一坐标系内的大致图像是（）

【答案】B。

【分析】本题把二次函数、反比例函数、正比例函数的图象和性质融合在一起。主要考察数形结合思想。

【解题思路】由二次函数2y ax bx c =++的图象可知，∵图象开口向下，∴0a <；∵对称轴在y 轴左侧，∴02b

-

，

由0a <，知0b <。根据反比例函数图象的性质，当0a <时，函数a

y x

=图象在二、四象限；根据正比例函数图象的性质，当0b <时，函数y bx =图象经过二、四象限。故选B 。

变式题1（2010龙岩）对于反比例函数k y x

=，当x ＞0时，y 随x 的增大而增

大，则二次函数2y kx kx =+的大致图象是（ ）

例2（2011广西桂林）已知二次函数2134

2

y x x =-+的图象如图．

（1）求它的对称轴与x 轴交点D 的坐标；

（2）将该抛物线沿它的对称轴向上平移，设平移后的抛物线与x 轴，y 轴的交点分别为A 、B 、C 三点，若∠ACB=90°，求此时抛物线的解析式；

（3）设（2）中平移后的抛物线的顶点为M ，以AB 为直径，D 为圆心作⊙D，试判断直线CM 与⊙D 的位置关系，并说明理由．

【分析】该题通过平移抛物线，把观察、探究、计算融合在一起，将二次函数的性质，平移的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，勾股定理和逆定理，相似三角形的判定和性质等初中数学的主干知识融为一体。蕴含着数形结合思想、化归的思想、方程与函数的思想、运动变化等数学思想。

【解题思路】（1）根据对称轴公式求出2b

x a

=-

，求出即可。

（2）用待定系数法设出平移后的解析式即可得出图象与x 轴的交点坐标，再利用勾股定理求出即可。

（3）由抛物线的解析式21344

2

y x x =-++可得，A ，B ，C ，M 各点的坐标，再利

用勾股定理逆定理求出CD⊥CM，即可证明。 【答案】解：（1）由2134

2

y x x =-+，得32b

x a

=-

=，∴D（3，0）

。 （2）如图1，设平移后的抛物线的解析式为2134

2

y x x k =-++，

则C （0，k ），OC=k ， 令y =0，即21304

2

x x k -++=，

法一：得12349 , 349x k x k =++=+

∴A ()

349 , 0 k +，B ()

349 , 0 k +，

∴22AB 493349 1636k k k =+-++=+，

()

()

2

2

22222AC BC 349 +349

2836k k k k k k +=+-++++=++。

∵AC 2+BC 2=AB 2，即：21636836k k k +=++，得k 1=4，k 2=0（舍去）， ∴抛物线的解析式为21344

2

y x x =-++。

法二：可证AOC COB ∆∆，得2OC OA OB =⋅，即216,4k k =∴= （3）如图2，由抛物线的解析式21344

2

y x x =-++可得，

A （﹣2，0），

B （8，0），

C （4，0），

D （3，0），M 253 , 4⎛⎫

⎪⎝

⎭

，

过C 、M 作直线，连接CD ，过M 作MH 垂直y 轴于H ， 则MH=3，

∴2

2

25625

DM 416⎛⎫==

⎪⎝⎭

，